Profª Débora Bastos
Antiderivadas
 Todas as operações básicas possuem as
chamadas operações inversas:
 Adição
Subtração
3 + 2 = 5
5  2 = 3
 Multiplicação
Divisão
2x3 = 6
6  3 = 2
 Potenciação
Radiciação
9 3
32 = 9
 Potenciação
Logaritmação
32= 9
log39=2
Antiderivadas
 Se considerarmos a derivada como um
operador sobre as funções, a operação
inversa será chamada de antiderivada.
 Definição 1: Uma função F será chamada de
função primitiva ou antiderivada de uma
função f, num intervalo I se F’(x)=f(x)
para todo x  I.
 Exemplo:Encontre a antiderivada da função
f(x)= 4x3
 F1(x)=x4
 F1’(x)=4x3
 F2(x)=x4+1
 F2’(x)=4x3
 F3(x)=x4+200  F3’(x)=4x3
Antiderivada
 Observação: Se foi informada apenas a
função f, a antiderivada não é única,
pois qualquer constante acrescentada a
derivada será a mesma.
 Exemplo: Encontre a função primitiva de
f(x)=4x3:
F(x)= x4 + k, k constante k lR.
 Observação: Dizemos que a antiderivada de
f é uma família de funções, pois temos
infinitas possibilidades para k.
Antiderivadas
 Exemplo: Encontre a antiderivada F da
função real f tal que f(x)= 4x3, sabendo
que F(1)=3.
 F(x)= x4 + k
1+ k =3
K = 2
 F(1)= 1 + k
 F(x)= x4 + 2
Interpretação Geométrica
 Exemplo: Encontre a
família de funções
primitivas da função
real tal que
f(x)=2x.
 F(x)=x2+k
 Fixado qualquer
valor de x, as retas
tangentes a família
F em x são
paralelas.
Antidiferenciação
 Definição 2: Antidiferenciação é o
processo de encontrar o conjunto de todas
as antiderivadas de uma dada função.
 Notação:
Integral
Indefinida
Família de
antiderivadas
 f(x)dx  F(x) k
Função
Integrando
Sinal de
integração
Diferencial da
variável de
integração
Integral Indefinida
 Observação: A notação da integral
indefinida (antidiferenciação), usa o
conceito de diferencial (introduzido por
Leibniz), pois além de estar de acordo
com a definição de antiderivada auxilia
em dispositivos práticos para obter a
antiderivada.
 Seja F a função primitiva de f, ou seja,
F’(x)=f(x) para todo x  D(f).
dy
 Y=F(x)
 F'(x) f(x)
dx

f(x)dx 

dy
.dx  dy  y
dx

Teoremas sobre integrais indefinidas
 Sendo k uma constante real:
d(x)
1  dx  x  k
 1
dx

2


af(x)dx  a f(x)dx
a constante real
3
d(au)
du
 a
dx
dx
 [f(x)  g(x)]dx   f(x)dx   g(x)dx
n 1
x
4  x n dx 
 k
n  1
para n  1

d(u  v)
du
dv


dx
dx
dx
d(xn )
 nxn  1
dx
 Observação: Para verificar se a integral
indefinida foi obtida corretamente,
podemos derivar o resultado e verificar
se a resposta é o integrando da integral
indefinida.
n 1
x
4  x n dx 
 k
n  1
para n  1

 xn  1 

d
n  1
n 1
1
d
(
x
)
n 1

 


 xn  1  1  xn
dx
n 1
dx
n 1
Exemplos:
1 
2 
3


x2dx

3 x dx
1
x
2
dx
Determine:
 (3x  5)dx
5   (5x4 - 8x3  9x2 - 2x  7)dx
4 
6 

 x3  2x2  7x 

dx


x


Mais fórmulas básicas
5 

6 

n 1
v
v n dv 
 k
n  1
dv
 ln v  k
v
7

v
a
a v dv 
 k
ln a
8

ev dv  ev  k
d(vn )
n  1 dv
 nv
dx
dx
d(lnv)
1
dv


dx
v
dx
d(av )
dv
v
 a . ln a 
dx
dx
d(ev )
dv
v
 e 
dx
dx
Exemplos:
 2x  5 dx
2    x 5x2  3 dx


2
1 

dx
1  5x
4

x3
5 
 tgxdx
3
4
x
 2
6 
7
x

1  4x2
dx

9   3tg4xsec24xdx
10   e3xdx
8
dx
 cotgxdx
11 
2x dx
e
x2
xdx