ALGORITMOS DE CÁLCULO COM AS QUATRO OPERAÇÕES E SEUS
SIGNIFICADOS PARA OS LICENCIANDOS EM MATEMÁTICA
Helena Alessandra Scavazza Leme
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul – UEMS
e-mail: [email protected]
Há cinco anos venho acumulando experiência como professora de um curso de
formação de professores de matemática e tenho notado, a cada ano, quando proponho a
resolução de alguns algoritmos envolvendo as quatro operações, que nossos acadêmicos
cada vez mais sabem apenas (e algumas vezes não sabem) resolver mecanicamente
esses algoritmos, mas não entendem - talvez porque nunca lhes foi devidamente
ensinado - o processo das técnicas envolvidas nesses algoritmos. Tentarei ser mais clara.
Normalmente tenho de 20 a 30 acadêmicos(as) cursando a disciplina de Prática de
Ensino na 3ª série de um curso noturno de licenciatura em matemática oferecido na
Unidade de Glória de Dourados da Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul. A
cada ano começando com uma nova turma, sempre proponho que os acadêmicos em
grupos de 3 a 4 integrantes resolvam operações simples do tipo: 54 + 89 ; 921 – 498 ; 18
x 12 ; 1000 – 999 ; 251 – 346; 25 x 20; 313 ÷ 2; 5 ÷ 4; 642 ÷ 6; entre outras.
Como esses acadêmicos serão futuros professores de matemática é importante
que saibam corretamente como efetuar algoritmos com as quatro operações para que
tenham bases sólidas de conhecimento que proporcione um entender e dar sentido
àquilo que procurarem ensinar, independente se estarão ou não utilizando uma
calculadora. Como bem colocado por Medeiros (2003, p.20):
Um dos argumentos contra o uso da calculadora é de que esta inibe
o raciocínio dos alunos. Entretanto, ao fazer contas com os algoritmos
habituais também não há raciocínio, há uma repetição de procedimentos
que, na maioria das vezes, o aluno decora sem entender o significado.
Portanto, o problema não é usar ou não a calculadora, mas trabalhar os
cálculos sem compreensão, sem dar o significado aos mesmos para o aluno.
Nas atividades desenvolvidas em sala de aula, depois que os grupos resolviam as
operações, propunha que um dos representantes de cada grupo viesse até o quadro para
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que juntos discutíssemos o algoritmo utilizado e os procedimentos de como aquele
grupo havia realizado a operação proposta. Foi importante a resolução em grupo uma
vez que essa dinâmica facilitou a troca de concepções entre os estudantes,
oportunizando a transposição das dificuldades encontradas na tarefa desenvolvida. A
importância dos trabalhos em conjunto em sala de aula está vinculada ao pressuposto de
que a aprendizagem está vinculada “... como um processo que sempre inclui relações
entre indivíduos.” (Oliveira, 1995, p.56). As atividades desenvolvidas em grupo
proporcionam oportunidade de trabalho em conjunto entre os alunos e estes com o
professor. Segundo Leme (1997, p.141), “os debates, gerados nos grupos, fazem com
que idéias e raciocínios matemáticos sejam planejados e desenvolvidos a partir dos
questionamentos e pontos de vistas distintos”, oferecendo oportunidade para que todos
possam se envolver no trabalho proposto.
Sendo assim, escolhia-se um acadêmico por grupo, que ia ao quadro resolver
determinada operação, começava então a questioná-lo, e aos outros, sobre os porquês de
cada procedimento de cálculo que havia sido utilizado para a resolução. Tomemos um
exemplo para melhor elucidação de como ocorria a dinâmica.
Uma aluna estava no quadro e calculou 54 + 89, resolvendo da seguinte maneira:
11
654
89
+
____
743
Ao ser indagada a respeito do número 1 em cima do 5 e do outro 1 em cima do
6, não soube explicar o que significava, apenas salientou que sempre somava daquele
modo e aprendera a fazer desse jeito, com o “vai um”. Uma discussão (discussão no
sentido de refletir sobre o problema) se instaurou na sala e percebi que muitos sabiam o
sentido daqueles números 1. Mas alguns alunos que utilizam nos seus métodos de
cálculos o processo do “vai um” e “empresta um” geralmente não sabiam o que isso
significava. O fato de que nesse processo de cálculo estamos posicionando
adequadamente o resultado da soma, passava desapercebido para esses alunos que
apenas pareciam dominar a técnica mecanicamente sem compreendê-la. Fizemos então
juntos a operação de adição explicando passo a passo seus fundamentos: somamos as 4
unidades com as 9 e obtemos 13, que é composto de 1 dezena e 3 unidades. Deixamos o
3 na posição das unidades e esse “vai um” é a dezena que estamos transportando para
sua posição, novamente quando somamos na posição seguinte 1 + 5 + 8, estamos
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somando as dezenas, ficamos então com 14 dezenas, ou seja, 140 = 100 + 40 e então
deixamos as 4 dezenas na sua posição e transportamos 1 centena para a posição
seguinte que somada a 6 resulta 7 centenas.
Esse processo “oculto” no algoritmo era desconhecido de alguns alunos que
realizam-no apenas como uma técnica mecânica. Esse exemplo quando abordado com
os alunos sempre nos levou a mostrar que na verdade quando somamos o fazemos com
base nas posições das unidades, dezenas, centenas, etc, de cada número; assim somar
654 com 89 significa ter que somar as unidades: 4 + 9 = 13, somar as dezenas: 80 + 50
= 130 e acrescentar o resultado obtido à centena: 600, ou seja, 13 + 130 + 600 = 743.
Lembrei-os que este último era um dos processos geralmente utilizados quando fazemos
cálculo mental para somar, uma vez que facilita e agiliza o raciocínio.
Tenho notado que esse processo de descodificar o algoritmo, que até então era
resolvido de maneira mecânica, leva os alunos a descobrirem por si próprios, fazendo-os
perceberem o significado do que antes era apenas “decoreba” de procedimentos.
Explorei também com eles somas que geralmente não são as mais usadas “no
papel” mas que podem facilitar o cálculo mental e não podem ser ignoradas pelo
professor caso seu aluno prefira esse método para as suas resoluções:
25 +
19
___
30
14
____
44
Tentei fazer com que eles percebessem que o que ocorreu nessa resolução foi
primeiro completar o 25 para chegar em 30, o que resulta de uma diferença de 5
unidades que foram retiradas do 19, ficando com 14 e a subseqüente soma das parcelas
30 e 14, resultando 44.
Com relação à subtração, surgiram nas experiências vivenciadas, dois processos
de cálculos utilizados pelos acadêmicos, são eles:
I)
8 1
921
498
-
_______
423
Os alunos que utilizavam esse algoritmo explicaram o procedimento da seguinte
maneira: “como não podemos de 1 unidade retirar 8, tiramos das 2 dezenas uma delas o
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que nos fornece 10 unidade que unidas a primeira unidade ficam 11 unidades, tirando as
8 resulta em 3 unidades. Na dezena do primeiro número somente restam 1 dezena pois a
outra foi transformada em unidades, assim de 1 dezena não conseguimos retirar 9,
repetimos o processo anterior, agora com as centenas.”
O outro modo que os alunos utilizavam para a subtração é o esquema do
“empresta um” e “cai um” ou “escorrega um”, como eles mesmos costumam dizer ao
efetuar o processo:
II)
9 12 11
8
14 19
-
___________
4
2
3
Esse processo foi efetuado e relatado pelos alunos da seguinte maneira: “1
menos 8 não é possível, então ‘emprestamos 1’ e ficamos com 11 que retirado 8 dá 3,
como emprestamos 1 ele ‘cai’ para junto do 9 ficando 10, 2 menos 10 não é possível,
então ‘emprestamos 1’ e ficamos com 12 que tirado de 10 fica 2, o 1 ‘emprestado’ ‘cai’
para junto do quatro ficando 5 e 9 menos 5 dá 4.”
Na classe surgiu toda uma discussão sobre os dois processos, os que utilizavam
o primeiro explicaram para os demais e os que utilizavam o segundo fizeram o mesmo,
assim sempre havia o debate sobre as etapas, singularidades e dificuldade de cada um
deles, gerando trocas de experiências entre os alunos.
Quanto ao processo de multiplicação, geralmente a resolução apareceu de uma
das duas maneiras colocadas abaixo:
18
x 12
18
x 12
______
_______
36
18
____
216
36
18+
_____
216
Quando perguntei o significado do sinal + embaixo do 6 ou o espaço vazio sobre
o mesmo número, os dois alunos que estavam no quadro resolvendo a multiplicação,
cada um com sua técnica, não souberam responder, então realizei a mesma conta,
colocando-a da seguinte maneira no quadro:
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5
18
x 12
______
36
180
____
216
E então perguntei se também estava correto fazer daquele jeito e apenas
responderam que o resultado era o mesmo, então começamos a verificar o que era igual
e o que era diferente nos três procedimentos. Decompomos o número 12 (10 + 2) e
verificamos que o 36 era proveniente da multiplicação: 2 x 18 e que o 180 era 10 x 18 e
assim eles foram percebendo que a ‘casa vazia’ ou o sinal ‘+’ era um artifício para que a
casa da dezena se mantivesse, pois quando realizamos o algoritmo costumamos
multiplicar apenas o número 1(nesse caso) que na verdade é 1 dezena e não 1 unidade.
A partir da decomposição do 12 em 10 + 2 também conseguimos evidenciar a
propriedade associativa da multiplicação:
18 x 12 = 18 x (10+2) = 18 x 10 + 18 x 2 = 180 + 36 = 216
Expliquei aos alunos que, na verdade, colocar o sinal de + ou o espaço vazio é
um procedimento incorreto na técnica operatória, uma vez que ela deve ser baseada na
propriedade enunciada acima, conforme Carvalho (1994). Mas, percebi que para os
alunos não é fácil abandonar uma prática que foi utilizada por eles ao longo de anos de
escolarização.
Pedi então que realizassem 251 x 346:
251
x 346
251
x 346
_________
_________
1506
1004+
753++
_______
86846
1506
1004
753
_______
86846
E então cada grupo foi incumbido de explicar as ‘casas vazias’ ou os sinais de
‘+’, conforme a técnica utilizada, e as respostas vieram desta vez através da
decomposição, ou seja:
346 = 300 + 40 + 6
251 x 346 = 251x (300 + 40 + 6)
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6
251 x 6 = 1.506
251 x 40 = 10.040
(I)
251 x 300 = 75.300
(II)
Explicação dada pelos alunos:
(I)
no algoritmo fazemos apenas 4 x 251, o que na verdade são 4 dezenas, então
o primeiro sinal (ou a casa vazia) ocupa o espaço do zero da multiplicação
pela dezena;
(II)
no algoritmo fazemos apenas 3 x 251, o que na verdade são 3 centenas, então
os outros dois sinais (ou as duas outras casas vazias) substituem o lugar dos
dois zeros da multiplicação pela centena .
Desse modo deduziram e verificaram a utilidade e o significado do sinal ‘+’ e da
‘casa vazia’ e pareceram conseguir estender o conceito para a multiplicação de números
com a posição da unidade, dezena, centena de milhar e os outros subseqüentes.
Depois de todas as discussões sobre os métodos que eles utilizavam para os
cálculos de multiplicação lembrei que esses não eram os únicos e que existiam outros e
como futuros professores de matemática, antes de acharem que um aluno efetuou algo
incorretamente, convinha analisar a situação e mesmo questioná-lo sobre como efetuou
o procedimento. E exemplifiquei a situação. “Se um aluno aparecesse com o seguinte
resultado para a multiplicação 25 x 20”:
25
x 20
_____
400
100
_____
500
“Eles iriam considerar tal procedimento correto ou não?” Após a análise da
resolução por cada grupo, chegaram à conclusão de que o procedimento utilizado foi o
da decomposição do 25 em 20 e 5 e a conseqüente multiplicação de cada parcela por 20
e que o procedimento, embora diferente dos usualmente trabalhados, estava correto.
Com a operação da divisão as dúvidas e dificuldades foram ainda maiores. Vou
tomar como exemplo apenas as experiências que obtive de divisões entre números
inteiros, pois não teria como abordar aqui todas as situações vivenciadas.
Pedi que eles realizassem algumas divisões procurando explicar, entre seus pares
no grupo, cada etapa do procedimento que utilizavam. Divisões simples tais como: 313
÷ 2; 5 ÷ 4; 30 ÷ 8; 647 ÷ 6; 503 ÷ 5.
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Na divisão 313 ÷ 2 o problema não foi em resolver a operação, mas em como
explicar o aparecimento do 0 (zero) junto ao número 1 e a vírgula após o número 6, no
algoritmo que utilizavam:
3 1 3 |_2__
11
156,5
13
10
0
Como eles não sabiam o porquê daquele procedimento de colocar um zero e a
vírgula e depois de algumas discussões sobre o impasse do problema, um dos alunos
teve a idéia de tentar resolver decompondo o 313. Talvez isso ocorreu porque eles
perceberam que com o processo de multiplicação o procedimento foi muito útil. Assim
resolveram:
313 = 300 + 10 + 3
300 ÷ 2 = 150
10 ÷ 2 = 5
3 ÷ 2 = 1,5
e assim, 150 + 5 + 1,5 = 156,5
Começaram então a se questionar sobre o resultado 1,5 proveniente da divisão
de 3 por 2. Como 3 = 2 + 1, teriam 2 ÷ 2 =1 e 1 ÷ 2 = 0,5 e assim começaram a tentar
entender o que acontecia no algoritmo. Precisei ajudá-los a perceber que quando
colocavam o zero junto ao número 1 na verdade estavam pegando aquele inteiro e
fracionando-o em décimos, por isso o resultado precisaria da vírgula, para indicar a
parte decimal que caberia para a divisão por 2 no quociente. Assim, 1 inteiro ficaria
dividido em 10 partes equivalendo cada uma a 0,1; e dividindo essas 10 partes decimais
por 2 ficaria com 5 partes de 0,1 ou seja, 0,5. Toda essa explicação foi realizada
utilizando esquemas na lousa representando os inteiros e as partes decimais envolvidas
no processo.
Já na divisão de 5 por 4, além de eles trabalharem com os décimos teriam que
associar o mesmo raciocínio, agora com os centésimos.
5
10
20
0
|_4__
1,25
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8
Muitos até perceberam como poderiam fazer, mas a maioria precisou de ajuda
quando foram fracionar o 2 (dois décimos) que ficaria com partes em centésimos (20 x
0,01) um aluno questionou o fato de que a primeira vez que colocamos o zero junto com
o número 1 colocamos a vírgula no quociente, ele sabia que não existiam números
decimais com mais do que uma vírgula, mas como justificar que não era necessária a
segunda vírgula, se um de seus alunos viesse a questioná-lo? Repassei a pergunta para a
classe para verificar o que os outros responderiam e o argumento utilizado, depois de
terem analisado a situação, foi que da primeira vez era necessário pois teríamos que
separar a parte inteira da parte decimal do resultado (quociente), mais depois sempre
que necessário os números colocados posteriormente já estariam na parte decimal do
resultado (como décimos, centésimos, milésimos, ...) e assim uma segunda vírgula não
era necessária.
Na operação:
6 4 2 |_6__
042 107
0
↑
O problema foi como explicar o “aparecimento” do zero no quociente. Alguns
grupos não fizeram a conta corretamente colocando como resultado 17 e não 107,
perguntei a estes grupos se aquele resultado fazia sentido, uma vez que 17 x 6 não
ultrapassaria 120, fazendo uma simples estimativa. Observado e percebido esse erro
cometido voltamos ao nosso problema inicial que era explicar o zero no quociente.
Como já haviam feito anteriormente, alguns alunos passaram a decompor o 642 (600 +
40 + 2) e notaram que 600 ÷ 6 = 100 e que 40 ÷ 6 não teriam um número exato de
dezenas para a divisão, mas se juntassem com o 2, teriam 42 unidades e conseguiriam
fazer a divisão chegando no resultado de 7 unidades, portanto a posição da dezena
deveria ficar vazia uma vez que as 4 dezenas foram transformadas em 40 unidades que
juntamente com mais 2 unidades resultaria em 7 na divisão. Assim aquele zero
significava a ausência na posição da dezena. Nesse problema foi necessário que
resolvêssemos mais alguns outros semelhantes para que os alunos com dúvidas
pudessem superá-las.
Para que eles conhecessem outros procedimentos com cálculos resolvi mostrar
como poderíamos proceder numa divisão por tentativa: 537 ÷ 3. Começamos as
tentativas colocando no quociente 100, ficando com o resto 237, sugeriu-se depois o
número 40, que multiplicado por 3 forneceria 120, tirado de 237 ainda teríamos 117
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9
como resto, outra sugestão foi o 30, resultando 90 que retirado de 117 restaria 27 o que
fecharia o cálculo se colocássemos no quociente o 9. O último procedimento foi a soma
de todos os valores (100 + 40 + 30 + 9) que resultou no quociente 179.
-
537
|__3__
300
100
_____
40
30
- 237
120
9
_____
____
179
- 117
90
______
- 027
27
______
0
+
Resolvi aqui esse cálculo pelo procedimento longo pois alguns dos alunos
sabiam como fazê-lo e esse método foi abordado com toda a sala. Com respeito ao
processo por tentativa, o interessante foi que eles notaram que podiam se libertar de
qualquer procedimento rígido e irem tentando até que conseguissem chegar numa
resposta mais aproximada.
Ao longo de toda a experiência, discutindo com os acadêmicos as técnicas
operatórias das quatro operações, notei que eles sempre me questionavam sobre qual a
técnica mais adequada que deveriam utilizar ou ensinar em suas aulas como professores.
Tentei fazer com que entendessem
que eles iriam se deparar com procedimentos
diversificados de cálculo em sala de aula e não deveriam escolher um único em
detrimento dos outros. O importante é respeitar a opção de cada aluno, pois ele é que irá
optar pelo método que julgar mais fácil, mesmo que seja o mais trabalhoso do ponto de
vista do professor, ou seja, o aluno deve ter acesso a diferentes técnicas para poder,
inclusive, fazer comparações, mas a escolha por uma dependerá de seus próprios
procedimentos mentais. A função do professor é a de verificar se o algoritmo utilizado
por seus alunos é coerente, tendo como base as características do sistema de numeração
decimal, inclusive abordando o significado de cada procedimento utilizado na técnica.
Poderia aqui discorrer ainda sobre tantos outros casos que foram discutidos e
analisados junto com os acadêmicos nas aulas de prática de ensino, contudo creio que já
forneci uma visão geral de como alguns deles “aprenderam” a fazer seus cálculos
durante todos os anos de suas vidas escolares, quais as dificuldades mais comuns e
alguns dos procedimentos de resolução implementados por eles durante as aulas.
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O quadro geral da situação abordada aqui me leva a crer que nesses longos anos
de escolaridade (foram no mínimo 8 no ensino fundamental, 3 no ensino médio e 2 no
ensino superior) lhes foi tirado o direito de “pensar sobre” o que estavam fazendo,
refletir sobre o seu conhecimento. Apenas lhes foi pedido a repetição do que é uma
técnica mecânica para a resolução dessas operações, técnica essa que por ser mecânica é
muito fácil de ser esquecida ou confundida, como pude verificar ao longo do trabalho
desenvolvido. Esses alunos muitas vezes não foram levados a perguntar, por exemplo,
“por que temos que abaixar esse zero?” ou “por que o sinal de ‘+’ aparece no
algoritmo?”. Imagino que talvez alguns deles nesses anos possam ter feito essas
perguntas aos professores, mas também estes provavelmente não tenham sabido
responder, assim como aqueles alunos enquanto futuros professores de matemática,
também não o souberam.
E quanto a tantas outras questões – ‘simples’ diriam os matemáticos – mas sem
respostas convenientemente exploradas ficam sem respostas para nossos alunos?
Parece que em nossos cursos de formação de professores, assim como em todas
as fases de escolarização, não estamos deixando nossos alunos fazerem e redescobrirem por si próprios conceitos matemáticos, mas apenas copiando a matemática
que lhes é imposta, não apenas porque não sabem o porquê de alguns algoritmos, pois
se assim fosse seria mais simples resolver o problema, mas porque não os deixamos
muitas vezes pensar sobre o que estão fazendo e tentando aprender.
O aluno é treinado a adotar certos procedimentos, os quais o levarão à
resposta esperada pelo professor. Esta prática educacional, embasada em
modelos, repetições e utilização de regras, treina e conduz a uma
aprendizagem
mecânica,
provocando,
no
aluno,
a
sensação
de
incapacidade, quando se depara em situações não treinadas em sala de aula.
(Fonseca, 1997, p.19)
Os conteúdos são despejados aos montes e questões básicas ficam esquecidas ou
delegadas a segundo plano. Os alunos de licenciatura muitas vezes provam as condições
para que um conjunto seja um Grupo, mas não sabem o significado do sinal ‘+’ que
colocam num simples algoritmo de multiplicação. E o conhecimento de Grupo é
relativamente novo para um acadêmico de matemática comparado ao algoritmo de
multiplicação que ele realiza desde as primeiras séries da escolarização.
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Não estamos afirmando com isso que não se deva ensinar conteúdos importantes
de álgebra e análise ou que eles não sejam importantes para a formação do futuro
professor de matemática, apenas afirmamos que há uma disparidade nessa situação.
Concordamos com Pavanello (2003, p.9), quando ressalta que:
Para que possa levar os estudantes a aprender Matemática, para que
se esteja em condições de lhes proporcionar experiências enriquecedoras e
significativas com ela, é evidente que o professor precisa de conhecimentos
que lhe permitam executar com êxito sua tarefa, dentre as quais não pode
deixar de ser mencionado um conhecimento abrangente e profundo dos
conteúdos que serão abordados em sala de aula.
A qualidade daquilo que nosso acadêmico ensinará estará vinculado à visão
geral que ele, enquanto professor, tem de todo o conhecimento que procurará fazer com
que seus alunos aprendam. Para que possa executar sua tarefa com êxito, um dos
pressupostos necessários, é que consiga proporcionar a seus alunos experiências que
sejam significativas e isso só é possível quando ele mesmo tem domínio sobre essas
experiências.
Durante o processo de ensino aprendizado é necessário que os licenciandos em
matemática reflitam sobre o que estão fazendo para que o que estão aprendendo seja
significativo, o conhecimento de determinado conceito matemático deve ser
evidenciado para que a técnica utilizada seja proveniente deste e se origine com bases
sólidas no conceito apreendido pelo acadêmico.
Palavras Chaves: quatro operações, algoritmos, licenciatura em matemática.
Referências Bibliográficas
CARVALHO, Dione Lucchesi de. Metodologia do ensino da Matemática. São Paulo:
Cortez, 1994.
FONSECA, Solange. Metodologia de Ensino: Matemática. Belo Horizonte: Editora
Lê, 1997.
LEME, Helena Alessandra Scavazza. Matemática Financeira através de atividades
orientadoras de ensino (AOE) com jornais e dinâmica de grupo, 1997. Dissertação
Anais do VIII ENEM – Relato de Experiência
GT 7 - Formação de Professores que Ensinam Matemática
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(Mestrado em Educação Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas,
Universidade Estadual Paulista-UNESP, Rio Claro.
MEDEIROS, Kátia Maria de. A influência da calculadora na resolução de
problemas matemáticos abertos. Revista da Sociedade Brasileira de Educação
Matemática, ano 10, n. 14, p. 19-28, ago. 2003.
OLIVEIRA, Marta Kohl. Vygotsky: Aprendizado e desenvolvimento um processo
sócio histórico. São Paulo: Scipione, 1995.
PAVANELLO, Regina Maria. A pesquisa na formação de professores de
matemática para a escola básica. Revista da Sociedade Brasileira de Educação
Matemática, ano 10, n. 15, p. 8-13, dez. 2003.