PORTFÓLIO MEEC
- CAMPO ELETROMAGNÉTICO –
ELETROMAGNETISMO / ELETROTECNIA
J. A. Brandão Faria
Na disciplina de Física, no ensino secundário, foram ministrados os rudimentos de
«Eletricidade». Agora, como estudantes do IST e futuros engenheiros eletrotécnicos, vão
necessariamente aprofundar os conhecimentos nessa área; vão aprofundá-los (nos primeiros
anos) mas também aplicá-los, mais adiante, nas disciplinas da especialidade, sejam elas de
Energia, de Eletrónica, de Telecomunicações, ou de Controlo.
1. Introdução
A disciplina de Electromagnetismo e Óptica, do 2.º ano, 1.º semestre, é comum a todos os cursos
de engenharia; fornece os fundamentos teóricos do campo eletromagnético e é lecionada pelo
Departamento de Física. A disciplina de Electrotecnia Teórica, do 2.º ano, 2.º semestre, não
obstante o seu nome, está já virada para as aplicações da engenharia eletrotécnica; de facto, a
disciplina é lecionada pelo Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores.
Em ambas as disciplinas, a ferramenta ou linguagem utilizada é a da Matemática,
designadamente, a Análise Diferencial e Integral bem como a Análise Vetorial. Uma preparação
deficiente nestas ‘linguagens’ pode, decerto, comprometer o sucesso na aprendizagem das
matérias lecionadas em Electromagnetismo e Óptica, e em Electrotecnia Teórica. Fica o alerta!
Este curto texto, concebido no âmbito da disciplina de Portfólio, pretende despertar/incentivar o
interesse dos estudantes para o tema do Electromagnetismo/Electrotecnia. A tarefa não é fácil,
pois, como referimos, a linguagem própria do tema (análise matemática) ainda não está à vossa
disposição. De toda a maneira vamos tentar...
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As primeiras contribuições de natureza científica para o eletromagnetismo devem-se sobretudo a
Andrè-Marie Ampère (1775-1836) e a Michael Faraday (1791-1867). Há, porém, um nome
incontornável que deve ser retido na memória, o de James Clerk Maxwell (1831-1879), físico
escocês, que formulou a teoria moderna do eletromagnetismo1, unificando a eletricidade, o
magnetismo e a óptica — ciências até então consideradas distintas.
De facto, foi em 1873 que Maxwell publicou a sua obra Treatise on Electricity and Magnetism,
onde são apresentadas as equações que governam o campo eletromagnético — as chamadas
Equações de Maxwell, que mais adiante apresentaremos — ver (5). No que respeita a essas
equações há pelo menos quatro factos notáveis que merecem realce:
Primeiro: A sua longevidade. Apesar de estabelecidas há quase 150 anos, não houve ainda
qualquer evidência experimental que as pusesse em causa.
Segundo: O conteúdo das equações permite, por via puramente dedutiva, prever a existência
de ondas eletromagnéticas (de que a luz é um caso particular). A demonstração experimental da
existência de ondas eletromagnéticas2 foi feita por Hertz em 1889.
Terceiro: As equações são intrinsecamente relativistas. Verificou-se, a posteriori, que elas
estão de acordo com os resultados da Teoria da Relatividade desenvolvida por Einstein em 1905.
Quarto, e talvez mais importante: As equações de Maxwell aplicam-se indistintamente a todos
os fenómenos macroscópicos do eletromagnetismo (fenómenos lentos ou rápidos, fenómenos
com corpos em repouso ou em movimento). Em verdade, com base nessas equações é possível
explicar e analisar todos os fenómenos do campo eletromagnético que interessam à Engenharia
Eletrotécnica, por exemplo, o funcionamento de motores e geradores elétricos (Fig. 1), a
1
Maxwell é também conhecido pela sua contribuição para a Teoria Cinética dos Gases, teoria que veio a revelar-se
importante no desenvolvimento da Termodinâmica Estatística e posteriormente da Mecânica Quântica.
2
Também conhecidas por ondas Hertzianas.
2
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transmissão de sinais elétricos nas placas de circuitos eletrónicos (Fig. 2), a transmissão de
energia ao longo das linhas de alta tensão (Fig. 3), a transmissão de sinais luminosos em fibras
ópticas (Fig. 4), a radiação das antenas (Fig. 5), as comunicações no espaço livre (Fig. 6), etc.
etc.
(a)
(b)
Fig. 1. Conversão eletromecânica de energia. (a) Motor elétrico. (b) Gerador elétrico. No caso motor a
máquina é alimentada (no estator) por correntes elétricas e a peça móvel no interior (o rotor) adquire
movimento de rotação. No caso gerador ocorre o inverso; o rotor é colocado em movimento de rotação
(via energia hidráulica, eólica, ou outra) e no estator surgem tensões elétricas.
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Fig. 2. Placa de circuito impresso utilizada na montagem de componentes eletrónicos, onde se observa a
complexidade das pistas metálicas que servem de interligação entre componentes. Os sinais elétricos
transmitidos pelas diversas pistas interagem entre si devido ao acoplamento quer elétrico quer magnético.
Fig. 3. Poste e linha de alta tensão. As linhas de alta tensão operam a 50 Hz e podem ter comprimentos de
centenas de km. As correntes e cargas elétricas dos condutores da linha dão origem a um campo
eletromagnético que se propaga ao longo da estrutura, viajando a uma velocidade próxima da velocidade
da luz.
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Fig. 4. Conjunto de fibras ópticas truncadas num dos extremos, emitindo luz visível. Nas fibras utilizadas
em comunicação óptica a luz não é visível, pois se situa na zona do infravermelho (com comprimentos de
onda cerca de 1300 nm e 1500 nm, a que correspondem frequências na gama do THz).
Fig. 5. Antena Yagi-Uda utilizada nas bandas de VHF (50 a 200 MHz) e UHF (0,3 a 3 GHz). A radiação
do elemento principal (dipolo dobrado) é reforçada pela presença de hastes refletoras e diretoras, que
conferem a esta antena características direcionais.
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Fig. 6. Antena parabólica para comunicações via satélite (3 a 30 GHz). O satélite está colocado numa
órbita geoestacionária cerca de 36 mil km acima do nível do mar. No foco da parábola encontra-se o
elemento emissor ou recetor.
2. Noção de campo vetorial
Para prosseguir, vamos agora falar um pouco sobre a noção de campo, mais propriamente sobre
campo vetorial3 — vetores do espaço 3D cujas componentes variam com as coordenadas de
espaço e tempo.
O conceito de força é já conhecido do ensino secundário.
A Fig. 7 representa um atleta a fazer um lançamento de martelo (um corpo esférico de metal com
7,26 kg de massa). O corpo esférico é tracionado por uma força F exercida pelo atleta que
rodopia. A força é transmitida por um cabo de arame com cerca de 1 m de comprimento.
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Ao longo deste texto as entidades vetoriais serão representadas por letras em negrito. Por exemplo, a letra F
simboliza uma força (um vetor).
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F
Fig. 7. Lançamento de martelo. A força F é transmitida pelo cabo de arame.
Há porém situações em que o movimento dos corpos ocorre sem que haja qualquer força visível
e sem a necessidade dum meio de transmissão (como o referido cabo de arame).
No exemplo da Fig. 8 está representada a passagem de uma sonda espacial perto de um planeta.
A sonda de massa m, liberta de qualquer influência, seguiria uma trajetória retilínea (a tracejado).
No entanto, a presença do planeta de massa M provoca uma alteração dessa trajetória (a traço
cheio). Na vizinhança de M está presente uma força gravitacional atrativa. Essa força manifestase em todos os pontos do espaço e, apesar de ela não ser detetável diretamente pelos nossos
sentidos, podemos inferir da sua existência analisando a trajetória da sonda de massa m —
diremos assim que estamos perante um campo gravitacional G. As linhas de ação desse campo
são radiais, com simetria esférica, e estão representadas na Fig. 9.
m
r
G
M
Fig. 8. Trajetória de uma sonda espacial (de massa m) perto de um planeta.
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G
M
Fig. 9. Linhas de ação do campo gravitacional G criado pela massa M.
O campo gravitacional atuante sobre m é caracterizado por um vetor força Fg cuja orientação é a
das linhas de ação desse campo:
Fg  mG
(1)
O campo G, com as dimensões de uma aceleração (m/s2), originado pela massa M, é
proporcional a M e inversamente proporcional ao quadrado da distância r, isto é,
G (r )  
M
er
r2
(2)
onde  é a constante de gravitação universal,   6,67 1011 Nm2 /kg 2 e er é o vetor unitário da
direção radial.
3. Campo eletromagnético. Equações de Maxwell.
Enquanto os fenómenos gravitacionais são causados por distribuições de massa, os fenómenos
do eletromagnetismo são desencadeados por distribuições de carga elétrica e por distribuições de
corrente elétrica4. Em redor dessas distribuições surge também um campo — o campo
4
As correntes elétricas estabelecem-se em fios de material condutor e correspondem a um movimento caótico de
partículas com carga elétrica negativa (eletrões) em colisão permanente com a estrutura atómica do material de que é
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eletromagnético — o qual, como o campo gravítico, exerce uma força atuante sobre qualquer
partícula com carga elétrica (positiva ou negativa) que fique sob a sua influência.
Contrariamente ao campo gravitacional, o campo eletromagnético requere não um, mas dois
vetores para o caracterizar: o campo elétrico E e o campo de indução magnética B.
A título ilustrativo apresenta-se na Fig. 10 um conjunto de linhas de campo dos vetores E e B
criados ao redor de dois fios condutores cilíndricos paralelos, carregados com carga elétrica Q
e percorridos por correntes elétricas  I .
As linhas do campo elétrico E são abertas, nascem e morrem à superfície dos fios (onde se
acumula a carga elétrica); as linhas de B são fechadas, abraçando os fios condutores de corrente.
Também, a título ilustrativo, apresenta-se na Fig. 11 um conjunto de linhas de campo dos vetores
E e B criados por uma antena do tipo dipolo (peça central, na vertical). As linhas de campo quer
de E quer de B são fechadas5.
feito o fio condutor (tipicamente, o cobre). A velocidade média dessas partículas móveis é pequena, da ordem dos
cm/s.
5
A existência de linhas fechadas do campo elétrico só é possível quando o campo de indução magnética B for
variável no tempo (como é o caso numa antena).
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B
E
Fig. 10. Campo eletromagnético dum par de fios condutores cilíndricos paralelos (corte transversal).
Fig. 11. Perspetiva tridimensional do campo eletromagnético radiado por uma antena do tipo dipolo.
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A força F associada ao campo eletromagnético é usualmente decomposta em duas parcelas, a
força elétrica Fe e a força magnética Fm, a primeira dependente do campo elétrico E, a segunda
dependente do campo de indução magnética B.
F = Fe (E) + Fm (B)
(3a)
Quando se coloca uma partícula de massa m, com carga elétrica q, animada de velocidade v,
numa região onde tenha sido estabelecido um campo eletromagnético, observa-se uma alteração
da trajetória dessa partícula causada simultaneamente por Fe e Fm. Essas duas forças calculam-se
através de:
Fe  qE
(3b)
Fm  q v  B
(3c)
A força elétrica é de cálculo trivial; de acordo com (3b) tem direção paralela a E se q > 0, e
antiparalela se q < 0. Em todo o caso, a intensidade de Fe é diretamente proporcional à
intensidade do campo elétrico E atuante sobre q.
Por exemplo, se tivermos uma esfera metálica no ar, carregada com uma carga elétrica Q, o
campo E existente em seu redor é radial, com simetria esférica, dado por
E(r )  
Q
er
r2
(4)
onde a constante  vale   9 109 m/F. Note-se a enorme semelhança entre as equações (1) e
(3b) e também entre (2) e (4).
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A Fig. 12 mostra a trajetória de uma partícula com carga elétrica q positiva quando fica sob a
ação dum campo elétrico E originado por uma esfera carregada com carga Q. A força elétrica é
atrativa se qQ < 0, mas repulsiva se qQ > 0. Repare-se na semelhança entre as Figuras 8 e 12a.
E
v
E
Q<0
Q>0
(a)
(b)
v
Fig. 12. Força elétrica. (a) Trajetória da partícula se Q < 0. (b) Trajetória da partícula se Q < 0.
A análise da força magnética Fm, dada por (3c), é um pouco mais complicada.
Na equação (3c) o símbolo v  B representa um novo vetor: o chamado produto externo6 de v
com B. O módulo deste vetor calcula-se multiplicando o módulo de v, o módulo de B, e o seno
do ângulo  entre esses vetores. A direção do vetor é perpendicular ao plano definido por v e B e
o seu sentido é definido pela «regra dos 3 dedos»7: alinhando o dedo indicador com v, alinhando
o dedo do meio com B, o produto externo fica alinhado com o polegar — ver Fig. 13.
Assim, pode concluir-se que se v e B forem paralelos ou antiparalelos (   0,   180º ) a força
magnética não se fará sentir; ao contrário, se v e B forem perpendiculares (   90º ) a força
magnética será máxima.
6
7
Atenção: o produto externo é anti-comutativo, isto é, v  B  B  v .
Da mão direita.
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v×B
área = vB sen= |vB|
B

v
Fig. 13. Produto externo v  B .
Na Fig. 14 ilustra-se a trajetória de uma partícula com carga elétrica q positiva, animada de
velocidade v, ao passar no entreferro de ar de um eletroíman onde existe um campo de indução
magnética8 B responsável pela força magnética Fm.
Ferro
I
d
N
B
(a)
B
v
Plano da trajetória
(b)
Fig. 14. (a) Eletroíman com campo B no entreferro de ar. (b) Trajetória da partícula móvel com
velocidade v sob ação da força magnética originada pelo campo de indução magnética B.
8
No entreferro de ar do eletroíman, a intensidade do campo de indução magnética pode ser calculada
aproximadamente através de B  0 NI /d , onde: 0  4π 107 H/m, I é a intensidade de corrente elétrica na bobina
com N espiras, e d é a espessura do entreferro.
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Vamos concluir.
Como referimos logo na Introdução, o comportamento do campo eletromagnético é regido pelas
equações de Maxwell, as quais se escrevem sob a seguinte forma
B

 rot E   t

 div B  0
Equações de Maxwell: 
rot H  J  D

t
 div D  

(5)
Os alunos irão encontrar as equações de Maxwell já no 2º ano e nos anos subsequentes farão uso
intensivo das mesmas9. Neste momento não nos é possível abordar o significado e alcance das
equações (5); no entanto, podemos, desde já, identificar as grandezas físicas que nelas constam
(mais que não seja para começarem a familiarizar-se com a nomenclatura):
O par E e D é de natureza elétrica. E é o vetor campo elétrico, D é o vetor deslocamento
elétrico10.
O par H e B é de natureza magnética. H é o vetor campo magnético, B é o vetor campo de
indução magnética11.
A grandeza escalar  representa a densidade de carga elétrica, enquanto J representa o vetor
densidade de corrente elétrica (carga em movimento).
9
Sem pretender ser exaustivo citam-se, a título de exemplo, as seguintes unidades curriculares do 2.º ciclo do MEEC
onde a utilização das equações de Maxwell desempenha papel importante: Máquinas eléctricas (4.º ano); Regimes
transitórios em redes (4.º ano); Microondas (4.º ano); Antenas (4.º ano); Fotónica (4.º ano); Sistemas de
telecomunicações por fibra óptica (4.º ano); Alta tensão (5.º ano); Radiopropagação (5.º ano).
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Em certas situações os vetores E e D são proporcionais, podendo escrever-se D = E, onde  é a permitividade.
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Em certas situações os vetores B e H são proporcionais, podendo escrever-se B = H, onde  é a permitividade.
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O símbolo  /t traduz a derivada em ordem ao tempo t.
Os símbolos rot e div (operadores rotacional e divergência) são mais complicados. Para abreviar,
diremos apenas que ambos estão associados a operações de diferenciação em ordem às
coordenadas de espaço, x, y, z.
Podemos, talvez, acrescentar a seguinte informação (que virá a ser útil).
Quanto às equações relativas aos operadores divergência:
div B  0 revela que as linhas de campo B são, em todas as circunstâncias, linhas fechadas.
div D   revela que as cargas elétricas criam campo elétrico.
Quanto às equações relativas aos operadores rotacional:
rot E  B / t revela que um campo magnético variável no tempo cria campo elétrico.
rot H  J  D / t revela que correntes elétricas e campos elétricos variáveis no tempo 12 dão
origem a campo magnético.
O facto de um campo magnético variável no tempo gerar um campo elétrico variável no tempo e
vice-versa é, precisamente, a razão que conduz à ideia de que o campo eletromagnético é uma
entidade auto-sustentável:
 B(t )  E(t )  B(t )  E(t )  B(t )  E(t ) 
Uma vez desencadeado um campo eletromagnético variável, este pode sustentar-se a si próprio e
propagar-se a grandes distâncias sob a forma de ondas13 — Fig. 15.
12
A parcela D/t , designada “corrente de deslocamento", tem um papel crucial na teoria do eletromagnetismo
desenvolvida por Maxwell.
13
Ou sob a forma de fotões (na perspetiva quântica).
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E
E
E
E
E
E
...
...
B
v
B
B
B
~
B
v
Fig. 15. Campo eletromagnético auto-sustentável. Ondas eletromagnéticas.
O processo ondulatório não é porém instantâneo, as ondas eletromagnéticas viajam a uma
velocidade finita v que depende do meio onde elas se propagam; no caso de o meio ser o espaço
livre essa velocidade é próxima de 300 000 km/s.
Bibliografia:
- J. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, Dover, 1954.
- K. Simonyi, Foundations of Electrical Engineering, Academic Press, 1950.
- L. Solymar, Lectures on Electromagnetic Theory, Oxford U. Press, 1984.
- S. Ramo, J. Whinnery, T. Duzer, Fields and Waves in Communication Electronics, Wiley, 1965.
- J. Brandão Faria, Electromagnetic Foundations of Electrical Engineering, Wiley, 2008.
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Nota biográfica:
J. A. Brandão Faria iniciou funções docentes no Instituto Superior Técnico em 1975. Doutorou-se em
Engenharia Electrotécnica e de Computadores (EEC) em 1986. É Professor Catedrático desde 1994.
Os seus interesses pedagógicos situam-se na área transversal dos fundamentos de EEC, em particular, nas
aplicações do eletromagnetismo. A sua atividade de investigação científica, centrada nesse tema, mas com
uma diversificação acentuada no domínio da teoria das linhas de transmissão, tem sido desenvolvida em
várias Unidades de I&D do IST. É membro do Instituto de Telecomunicações desde 2011. Anteriormente,
entre 1994 e 2000, foi Presidente do Centro de Eletrotecnia Teórica e Medidas Elétricas do IST.
É autor de quatro livros, dedicados a temas da Engenharia Electrotécnica, designadamente:
Multiconductor Transmission-Line Structures, Wiley, New York, USA, 1993.
Óptica – Fundamentos e Aplicações, Editorial Presença, Lisboa, Portugal, 1995.
Electromagnetic Foundations of Electrical Engineering, Wiley, Chichester, UK, 2008.
Análise de Circuitos, IST Press, Lisboa, Portugal, 2013.
No âmbito do seu trabalho de investigação publicou mais de uma centena de artigos científicos em
revistas internacionais da especialidade. Em reconhecimento dessa atividade, o Institute of Electrical and
Electronics Engineers14 elevou-o à categoria de Fellow em 2010/11.
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O Institute of Electrical and Electronics Engineers, conhecido pela sigla IEEE, é uma instituição internacional
com sede em New York, USA, com delegações espalhadas por todo o mundo, dedicada ao avanço e disseminação
do conhecimento em todas as áreas da engenharia eletrotécnica e de computadores. O IEEE é o principal
responsável pela organização de conferências técnico-científicas e pela publicação de trabalhos de investigação,
originais e inovadores, na fronteira do conhecimento das diversas especialidades que integram a EEC. Os alunos
devem estar alertados para as publicações do IEEE, porque nelas encontrarão a maior e mais fiável fonte de
informação para as suas atividades, quer como estudantes, quer, mais tarde, como profissionais.
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