Breve introdução à óptica geométrica
Luı́s J.M. Amoreira
Departamento de Fı́sica
UBI
Primavera 2011
Índice
1 Introdução
2
2 Reflexão em espelhos planos
2.1 Propriedades da imagem reflectida num espelho plano . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
3 Reflexão em espelhos esféricos
3.1 A aproximação paraxial . . . . . . . . . .
3.2 Foco de um espelho esférico . . . . . . . .
3.3 Imagem reflectida num espelho convexo .
3.4 Imagem reflectida num espelho côncavo .
3.5 Imagens formadas por reflexão — Resumo
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4 Refracção em superfı́cies planas
4
5
5
7
8
10
11
5 Refracção em superfı́cies esféricas
5.1 Focos de uma superfı́cie refractora esférica. Potência dióptrica .
5.2 Posição e caracterı́sticas das imagens refractadas . . . . . . . .
5.3 Traçado de raios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Refracção em superfı́cies esféricas — Resumo . . . . . . . . . .
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12
13
15
17
17
6 Lentes finas
6.1 Equação das lentes . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Traçado de raios e ampliação transversal . . . .
6.3 Propriedades das imagens refractadas em lentes
6.4 Refracção em lentes finas — Resumo . . . . . .
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18
19
21
22
23
7 Sistemas ópticos compostos
7.1 Objectos virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
25
8 Instrumentos ópticos
8.1 O olho humano . . . .
8.2 A lente de aumento . .
8.3 Microscópio composto
8.4 Telescópio . . . . . . .
26
26
26
26
26
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finas
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1
Introdução
Escrevo estas notas porque no manual recomendado para a disciplina de Elementos de Fı́sica II
(Halliday, Resnick e Krane, “Fı́sica vol. 4”) é seguida uma convenção de sinais para as distâncias
medidas em sistemas ópticos que considero complicada de compreender e de aplicar e que, na
minha opinião, será talvez abandonada. Espero com este esforço produzir apontamentos que
possam, neste capı́tulo de óptica geométrica, substituir o manual.
Estes apontamentos ocupam-se essencialmente com a determinação das propriedades (posição,
ampliação, etc.) das imagens produzidas em sistemas ópticos simples constituı́dos por lentes e
espelhos. Os pontos de partida para este estudo são a Lei
da Reflexão e a Lei de Snell, que já foram abordadas (e deduzidas) nas aulas. Recapitulando muito brevemente estas
leis, sabemos que quando um raio de luz incide na superfı́cie
de separação de dois meios diferentes, uma parte da energia
luminosa é reflectida na superfı́cie, e outra refractada (ver
a figura). Se θ1 , θ2 e θ3 forem, respectivamente, os ângulos
que o raio incidente, o raio refractado e o raio reflectido
Figura 1
fazem com a normal à superfı́cie no ponto de incidência,
então verificam-se as seguintes
Lei da reflexão: Os raios incidente e reflectido e a normal à superfı́cie no ponto de incidência
pertencem ao mesmo plano e tem-se
θ1 = θ3 .
(1)
Lei de Snell: Os raios incidente e refractado e a normal à superfı́cie no ponto de incidência
pertencem ao mesmo plano e tem-se
n1 sin θ1 = n2 sin θ2 ,
(2)
onde n1 e n2 são, respectivamente, os ı́ndices de refracção do meio onde se propaga o raio
incidente e do de onde se propaga o raio refractado.
Um aspecto destas duas leis que vale a pena realçar, porque será útil mais tarde, é que delas
se deduz que o trajecto dos raios luminosos num sistema óptico é reversı́vel. Com efeito, se
invertermos o sentido dos raios de luz numa reflexão ou refracção, os mesmos ângulos, agora em
papel inverso (o que era um ângulo de “entrada” é agora um ângulo de “saı́da”), continuam a
satisfazer as eqs. (1) ou (2). Verifique-o!
2
Reflexão em espelhos planos
Consideremos um objecto pontual O, colocado a uma
suas
distância do de um espelho plano (ver a figura). Alguns
raios de luz que dele emanam (em todas as direcções) incidem no espelho e sofrem aı́ uma reflexão. De acordo com
a eq. (1) os ângulos que as direcções de incidência e de
reflexão fazem com a normal à superfı́cie do espelho são
iguais. Consideremos três (ou mais) quaisquer destes raios
que incidem no espelho. Constatamos que as direcções dos
raios reflectidos intersectam-se todas num ponto situado
atrás do espelho. Assim, os raios reflectidos parecem, aos
olhos de um observador, ter origem nesse ponto. Trata-se,
pois, da imagem I do objecto O por reflexão no espelho.
Considerações geométricas simples (recorrendo às propriedades de semelhança de triângulos ou à trigonomeFigura 2
tria básica) permitem-nos concluir que os objectos e as
imagens formadas por reflexão num espelho plano encontram-se a iguais distâncias do espelho, ou
2
seja,
di = do ,
e pertencem (objecto e imagem) a uma mesma normal à superfı́cie do espelho.
2.1
Propriedades da imagem reflectida num espelho plano
Consideremos agora a imagem formada por reflexão num espelho plano de um objecto extenso.
Para simplificar (e seguindo um preceito de aplicação universal em óptica geométrica), o objecto
considerado é uma seta paralela ao espelho (ver a Figura 3). Sejam O e O0 os pontos extremos da
seta e I e I 0 as suas imagens.
Figura 3: Objecto e imagem numa reflexão num espelho plano.
Posição
Aproveitamos estudo simples para introduzir a convenção de sinais que vamos seguir neste curso.
Para especificar a posição do objecto e da imagem num problema de óptica, usamos um sistema de
coordenadas cartesiano que tem a origem no centro do elemento óptico que estamos a considerar
em cada momento (neste caso, temos apenas um elemento — o espelho — e a origem encontra-se
assinalada pelo ponto V na figura); as posições à direita da origem tem coordenada horizontal
positiva, as que se encontram à esquerda, têm-na negativa. De igual modo, as posições acima da
origem têm coordenada vertical positiva, e as que se encontram abaixo têm-na negativa.
Assim, representando por o e i as coordenadas horizontais do objecto e da sua imagem, o facto
de elas se encontrarem a iguais distâncias do espelho (logo, da origem) traduz-se na equação
i = −o
(reflexão num espelho plano).
Ampliação transversal
É usual representar a altura do objecto (isto é, na Figura 3, a distância O0 O) por h e a da imagem
por h0 . Chama-se ampliação transversal de um sistema óptico ao quociente entre a altura da
imagem e a do objecto, ou seja,
h0
(3)
A= .
h
Se o valor da ampliação transversal é positivo, isso significa que o objecto e a imagem aparecem
ambos do mesmo lado do eixo óptico: estão os dois acima, ou abaixo, do eixo. Nesse caso, dizemos
(veja já a seguir) que a imagem é direita. Caso a ampliação transversal seja negativa, então a
imagem e o objecto estão orientados em sentido oposto e dizemos que a imagem é invertida.
Para a reflexão num espelho plano que estamos a estudar, como os pontos O e I (Figura 3)
estão à mesma altura sobre o eixo e o mesmo sucede com os pontos O0 e I 0 , concluı́mos que, neste
caso, h = h0 , ou seja,
A=1
(reflexão num espelho plano).
3
Orientação
O objecto e a sua imagem na reflexão num espelho plano estão ambos orientados no no mesmo
sentido (as duas setas na Figura 3 estão as duas viradas para cima). Nesta situação, dizemos que
a imagem é direita. Estudaremos em breve situações em que a imagem tem sentido inverso ao do
objecto, caso em que dizemos tratar-se de uma imagem invertida.
Realidade
Quando analisámos a formação da imagem na reflexão num espelho plano (reveja a Figura 2),
constatámos que os raios reflectidos parecem todos ter origem no ponto imagem I. É claro que
isso não é verdade, uma vez que a luz nem sequer se propaga para trás do espelho. A posição da
imagem é obtida pelo prolongamento dos raios reflectidos, criando a ilusão da sua localização. Em
situações como estas, dizemos que a imagem é virtual.
Noutras situações, que estudaremos a seguir, a imagem de um objecto está efectivamente
localizada numa posição de onde emanam os raios de luz que chegam aos olhos dos observadores.
Nessas situações dizemos que a imagem é real. Quando se coloca um écran na posição de uma
imagem real (como acontece numa projecção de slides ou de cinema), ela é aı́ materializada.
Obviamente, tal não pode ocorrer na reflexão num espelho plano, já que a imagem se situa atrás
do espelho, onde não chega a luz.
3
Reflexão em espelhos esféricos
Na análise da reflexão da luz, devemos distinguir dois tipos de superfı́cies esféricas: as côncavas,
quando a curvatura da superfı́cie é para o lado de onde incide a luz, e as convexas, que têm a
curvatura para o lado oposto àquele de onde a luz vem (veja a Figura 4). Um espelho esférico é
Figura 4: A reflexão em espelhos côncavos (esquerda) e convexos (direita).
uma porção reflectora de superfı́cie esférica (por exemplo, uma calote, se se tratar de um espelho
circular). As caracterı́sticas mais óbvias (e mais relevantes para o estudo que se segue) desta
superfı́cie reflectora são (1) que todos os seus pontos se encontram à mesma distância (o raio) de
um mesmo ponto (o centro da esfera a que pertence), e (2) que a sua normal, em cada ponto,
contém também o centro (veja a Figura 5).
Figura 5: Centro de curvatura de espelhos esféricos côncavos (à esquerda) e convexos (à direita)
e normal à superfı́cie em cada ponto.
4
Dado um espelho esférico, escolhemos um ponto da sua superfı́cie de forma mais ou menos
arbitrária (mas é conveniente que seja um ponto próximo do centro geométrico do espelho), a que
chamaremos vértice. A direcção normal à superfı́cie reflectora que contém o vértice chama-se eixo
óptico do espelho. Convencionalmente, em esquemas para a análise de sistemas ópticos, desenha-se
o eixo óptico em posição horizontal, e representa-se o espelho de tal forma que a luz incide vinda
do lado esquerdo do diagrama.
Consideremos um raio de luz que incide num espelho
côncavo num ponto Q segundo uma direcção paralela ao
eixo óptico e dele distanciada h (ver a figura ao lado). Este
raio será reflectido numa direcção que cruza o eixo óptico
num ponto F , cuja posição pode ser determinado a partir
da lei da reflexão. Seja α o ângulo que o raio incidente faz
com a normal ao espelho no ponto de incidência, isto é com
a direcção do segmento de recta QC, onde C é o centro de
Figura 6
curvatura do espelho. Então podemos escrever
h
CS
h
tan 2α =
FS
tan α =
3.1
(4)
A aproximação paraxial
A resolução destas equações para a determinação da posição do ponto F não é nada simples. Mas,
em quase todas as situações de interesse prático, a distância h é pequena quando comparada com
o raio de curvatura do espelho (ou seja, o trajecto do raio incidente é muito próximo do eixo
óptico). Nessas situações, então, o ângulo de incidência α é muito pequeno, o que permite fazer
as seguintes substituições aproximadas:
tan α ' α
tan 2α ' 2α
CS ' CV
FS ' FV ,
com as quais o sistema da eq. (4) se reescreve como
h
CV
h
2α =
,
FV
α=
de onde se obtem facilmente
CV
.
(5)
2
Esta aproximação, que nos permitiu obter facilmente uma solução aproximada para o sistema da
eq. (4), tem o nome de aproximação paraxial e será sempre usada nestes apontamentos.
FV =
3.2
Foco de um espelho esférico
O ponto F , para onde são reflectidos os raios que incidem num espelho concâvo paralelamente ao
eixo óptico, chama-se ponto focal ou foco do espelho. De acordo com a eq. (5), o foco situa-se no
ponto médio do centro de curvatura e do vértice do espelho, qualquer que seja o valor de h (desde
que seja suficientemente pequeno para que se justifique a aplicação da aproximação paraxial, bem
entendido). Note-se que, como o trajecto dos raios de luz na reflexão é reversı́vel, raios de luz que
tenham origem no foco (ou que simplesmente passem pelo foco) de um espelho côncavo são por
ele reflectidos reflectidos em direcções paralelas ao eixo óptico (veja a Figura 7).
5
Figura 7: O foco de um espelho esférico côncavo é o ponto para onde convergem raios que incidem
paralelamente ao eixo óptico (direita). Inversamente, raios com origem no foco são reflectidos pelo
espelho em direcções paralelas ao eixo (direita).
Para espelhos convexos também se define um foco, já não
como ponto para onde os raios de luz reflectidos convergem,
porque os espelhos convexos não têm essa propriedade, mas sim
como ponto de onde raios que incidem no espelho paralelos ao
eixo parecem divergir. Com efeito, consideremos um raio paralelo ao eixo de um espelho convexo num ponto situado a uma
altura h. Seja α o ângulo que a direcção de incidência faz com
a normal ao espelho nesse ponto (veja figura ao lado). Como no
Figura 8
estudo da reflexão num espelho côncavo, também aqui podemos escrever, impondo a aproximação
paraxial,
h
VC
h
2α '
,
VF
de onde resulta, tal como para a reflexão no espelho côncavo,
α'
VC
.
2
Assim, constatamos que, também para espelhos convexos, o foco se encontra no ponto médio entre
o vértice e o centro de curvatura.
O foco dos espelhos convexos também se pode determinar considerando a situação inversa:
raios que, depois de reflectidos, são paralelos ao eixo devem ter incidido no espelho dirigidos ao
foco (veja a Figura 9).
VF =
Figura 9: O foco de um espelho esférico convexo é o ponto de onde parecem emanar os reflexos
de raios que incidiram paralelamente ao eixo (esquerda), ou, equivalentemente, o ponto para onde
se dirigem raios incidentes que são reflectidos paralelamente ao eixo.
Como resultado da reflexão num espelho côncavo, os raios reflectidos são sempre mais convergentes (ou menos divergentes) do que os incidentes. Por isso, os espelhos côncavos dizem-se
convergentes.
6
3.3
Imagem reflectida num espelho convexo
Consideremos agora um objecto extenso (a convencional seta vertical) colocado em frente a um
espelho convexo (veja a Figura 10). Em geral, não é tarefa muito simples encontrar em que
direcção um raio arbitrário com origem no ponto O é reflectido pelo espelho. Mas há três raios
especiais para os quais essa determinação é muito fácil. O primeiro destes raios é o que incide
Figura 10: Formação da imagem reflectida num espelho esférico convexo.
no espelho paralelamente ao eixo. Já sabemos que esse raio é reflectido numa direcção tal que,
depois da reflexão, parece ter tido origem no foco do espelho. O segundo raio é aquele que incide
no vértice do espelho. Nesse ponto, a normal à superfı́cie espelhada é o eixo óptico, a partir do
qual é fácil traçar o raio reflectido. O terceiro raio é aquele que vai dirigido ao centro de curvatura
do espelho. Esse incide perpendicularmente, logo, é reflectido na mesma direcção de incidência,
mas em sentido oposto. Ora, os prolongamentos destes três raios intersectam-se todos no ponto
I representado na Figura 10, que, assim, parece ser a origem de todos os raios que, tendo tido
origem no ponto O, sofreram reflexão no espelho convexo. O ponto I é pois a imagem do ponto O
por reflexão neste espelho. Uma construção em tudo semelhante permite demonstrar que o ponto
I 0 é a imagem do ponto O0 , de forma que a imagem do objecto extenso (seta O0 O) é a seta I 0 I.
Posição da imagem
Seja, mais uma vez h a altura do objecto (ou seja, a distância O’O) e o a sua coordenada horizontal (de acordo com a convenção que introduzimos, o < 0). Da mesma maneira, sejam h0 e i
respectivamente a altura e a coordenada horizontal da imagem. Então, analisando a Figura 10,
podemos escrever
h
h0
= 0
0
OV
IV
h
h0
tan β =
= 0
VF
IF
tan α =
Destas duas igualdades obtemos
h0 /h =
V I0
i
=
−o
O0 V
e
de onde resulta
−
h0 /h =
I 0F
f −i
=
,
f
VF
i
f −i
=
,
o
f
ou seja,
−if = of − oi.
Dividindo esta equação por oif e reorganizando os termos obtemos
1 1
1
+ = ,
i
o
f
7
(6)
que é a chamada equação dos espelhos. Veremos mais tarde que ela se aplica também a espelhos
côncavos. Como deve ser óbvio, esta equação é válida para espelhos planos: nesse caso, o raio de
curvatura da superfı́cie é infinito, logo, 1/f = 0 e resulta então apenas o = −i, resultado que já
deduzimos anteriormente.
Ampliação transversal
Tal como no caso da reflexão em espelhos planos, a ampliação transversal define-se como o quociente entre a altura da imagem e a do objecto, ou seja,
h0
.
h
A=
Como vimos na dedução da eq. (6), esta razão é igual à razão V I 0 /O0 V . Então podemos também
escrever
i
A=− .
o
Usando a equação dos espelhos para escrever i como função de o, obtemos
A=−
f
.
o−f
Tratando-se de um espelho convexo, o foco encontra-se à direita do vértice, logo f > 0. Assim,
o denominador da fracção no lado direito desta equação é negativo e maior em módulo do que f .
Logo, a ampliação trasnversal da imagem reflectida por um espelho convexo é positiva e menor do
que 1.
Orientação
Uma vez que a ampliação transversal tem valor positivo, a imagem reflectida num espelho convexo
é direita.
Realidade
Tal como para a reflexão em espelhos planos, a imagem reflectida num espelho convexo forma-se
atrás do espelho, onde não chegam os raios de luz. Logo, ela só pode ser uma imagem virtual.
3.4
Imagem reflectida num espelho côncavo
Caso 1: o objecto está atrás do centro de curvatura
A Figura 11 ilustra a geometria da formação da imagem reflectida num espelho côncavo. Os
raios de luz originados no ponto O reflectidos no espelho cruzam-se todos (os três representados e
outros que considerássemos) no ponto I, ou seja, parecem ter aı́ origem aos olhos de um observador.
Assim, este ponto é a imagem do ponto O por reflexão no espelho côncavo.
Podemos repetir a análise feita antes para os espelhos convexos. Note que
h
−h0
=
f −o
−f
−h0
h
=
,
tan β =
−o
−i
tan α =
onde, como antes, o, i e f são respectivamente as coordenadas horizontais do objecto, da imagem
e do foco (agora são todas negativas, porque estes elementos estão todos à esquerda do vértice), h
8
Figura 11: Formação da imagem por reflexão num espelho côncavo.
é a altura do objecto e h0 (agora negativo) é a altura da imagem. De cada uma destas expressões
deduzimos duas fórmulas para a ampliação transversal
h0
f
=
h
f −o
i
h0
=− ,
h
o
(7)
(8)
de onde resulta a igualdade
i
f
=− ,
f −o
o
ou seja
f o = −if + io.
Dividindo esta expressão por iof obtemos, por fim,
1 1
1
+ = ,
i
o
f
(9)
fórmula em tudo semelhante à que obtivemos na análise da reflexão em espelhos convexos [eq. (6)].
A imagem reflectida é agora real, já que definida pelos próprios raios reflectidos, e não pelos
seus prolongamentos atrás do espelho. Ela é também, claramente, invertida e reduzida (uma
vez que |i| < |o|). Mas estas propriedades da imagem reflectida num espelho côncavo não são
universais, dependem da posição do objecto. Há três situações a distinguir: (1) quando o objecto
está a uma distância do espelho superior ao seu raio de curvatura (o < −R = 2f ), situação que
acabámos de estudar; (2) quando o objecto está situado entre o centro de curvatura e o foco do
espelho (2f < o < f ); (3) quando o objecto está entre o foco e o espelho (f < o < 0).
Não vamos repetir a análise que fizemos há pouco agora para os casos 2 e 3 (mas o leitor deve
fazê-lo!). Apresentamos apenas os diagramas de raios para essas situações e algumas constatações.
Caso 2: o objecto encontra-se entre o centro e o foco do espelho
Imagem real, invertida, ampliada
9
Caso 3: o objecto encontra-se entre o foco e o espelho
Imagem virtual, direita, ampliada
3.5
Imagens formadas por reflexão — Resumo
• Foco de um espelho esférico: raios de luz que incidem num espelho côncavo paralelamente ao
eixo óptico são reflectidos em direcções que convergem para o foco; raios de luz que incidem
num espelho convexo paralelamente ao eixo óptico são reflectidos em direcções que divergem
do foco.
• O foco de um espelho encontra-se sobre o eixo óptico, no ponto médio entre o vértice e o
centro de curvatura (f = r/2)
• Representam-se os diagramas de raios com a luz incidindo do lado esquerdo.
• As coordenadas horizontais são consideradas positivas para posições à direita do espelho, e
negativas em caso contrário.
• As coordenadas verticais são consideradas positivas para posições acima do eixo óptico e
negativas para posições abaixo desse eixo.
• Dadas as três regras anteriores, a coordenada do foco de um espelho côncavo é negativa, a
do de um espelho convexo é positiva
• As coordenadas horizontais da imagem (i), do objecto (o) e do foco do espelho (f ) relacionamse através da equação dos espelhos
1 1
1
+ =
i
o
f
• A ampliação transversal é o quociente entre a altura do objecto e a da imagem (considerada
negativa se for invertida, de acordo com a convenção de sinais). Pode também ser calculada
pelo simétrico do quociente entre a coordenada horizontal da imagem e a do objecto:
A=
h0
i
=− .
h
o
• Quando a ampliação é positiva, a imagem é direita; quando a ampliação é negativa, a imagem
é invertida. Quando a ampliação tem módulo maior do que um, a imagem é ampliada; quando
o módulo da ampliação é menor do que um, a imagem é reduzida.
• A imagem reflectida num espelho convexo é sempre virtual, direita e reduzida
• As propriedades da imagem reflectida num espelho côncavo variam com a distância do objecto ao espelho:
– objecto atrás do centro: imagem real, invertida, reduzida
– objecto entre o centro e o foco: imagem real, invertida, ampliada
– objecto entre o foco e o espelho: imagem virtual, direita, ampliada
10
• Taçado de raios
1. raios de luz que incidem no espelho paralelamente ao eixo óptico são reflectidos em
direcções que convergem para o foco (espelhos côncavos) ou que divergem do foco
(espelhos convexos)
2. Raios de luz que incidem em direcções que contêm o foco são reflectidos paralelamente
ao eixo óptico
3. Raios de luz que incidem no espelho numa direcção que contém o centro de curvatura
são reflectidos na mesma direcção (mas em sentido oposto, é claro)
4
Refracção em superfı́cies planas
Quando olhamos a paisagem através de uma janela de vidro ou quando vemos peixes nadando
num lago ou num aquário, a luz vinda dos objectos que observamos sofre um (ou mais) processos
de refração no vidro da janela ou na superfı́cie da água, antes de chegar aos nossos olhos. Por isso,
aquilo que observamos são as imagens refractadas dos objectos e não os objectos em si. Quase
sempre, a posição onde observamos a imagem não é aquela onde se encontra o objecto. No que
se segue, vamos ocupar-nos com o estudo da posição e das propriedades das imagens refractadas,
começando pela situação mais simples, em que a refracção se faz numa superfı́cie plana.
Consideremos então dois meios com ı́ndices de refracção
n1 e n2 separados por uma superfı́cie plana. Esses dois meios
podem ser, por exemplo, vidro e ar. Consideremos um objecto
(a já proverbial setinha) no interior do meio com ı́ndice n1 , que
é observado a partir do meio com ı́ndice n2 e consideremos,
para concretizar a discussão e os diagramas, que n1 > n2 (ver
a figura). Quando atravessam a superfı́cie que separa os dois
meios, os raios de luz são refractados, verificando-se a lei de
Figura 12
Snell,
n1 sin θ1 = n2 sin θ2 .
A imagem refractada da extremidade da setinha objecto (o ponto O, na figura), é um ponto I de
onde parecem emanar os os raios de luz que chegam ao meio 2. Consideremos os dois raios com
origem em O representados na figura: um incide perpendicularmente na superfı́cie refractora, o
outro segundo uma direcção que faz com a normal um ângulo θ1 . O primeiro, dado que incide
perpendicularmente, é refractado mantendo a sua direcção; o segundo é desviado afastando-se da
normal (uma vez que considerámos, para concretizar, que n1 > n2 ). As direcções dos dois raios
refractados intersectam-se no ponto I, que é então a imagem do ponto objecto O.
Note-se que a posição do ponto I depende da direcção do segundo raio considerado. Logo, nem
todos os raios com origem em O são refractados segundo direcções que parecem ter origem em I.
Assim, a posição da imagem refractada depende da direcção de observação. Mas, se restringirmos
a nossa atenção aos limites de validade da aproximação paraxial (ou seja, considerando apenas
raios perpendiculares, ou quase perpendiculares, à superfı́cie refractora), obtemos facilmente uma
expressão para a posição da imagem. Com efeito, a lei de Snell, nos termos da aproximação
paraxial (em que os ângulos envolvidos são pequenos, logo, é válida a aproximação sin θ ' θ),
resume-se a
n1 θ1 = n2 θ2 .
(10)
Por outro lado, da figura obtemos as igualdades seguintes
tan θ1 =
h
−o
tan θ2 =
h
,
−i
onde, como no estudo dos espelhos, o e i representam as coordenadas horizontais, medidas a partir
de uma origem situada na superfı́cie refractora, do objecto e da imagem, respectivamente. Estas
11
igualdades, nos termos da aproximação paraxial, simplificam-se como
θ1 = −
h
o
h
θ2 = − ,
i
de onde se deduz que
oθ1 = iθ2 ,
e substituindo aqui a versão aproximada da lei de Snell [eq. (10)], obtemos
n2 o = n1 i,
equação que reescrevemos numa forma diferente, por razões que se tornarão claras daqui a pouco:
n1
n2
−
= 0.
i
o
(11)
Esta equação permite-nos calcular a posição da imagem refractada numa superfı́cie plana, na
aproximação paraxial. Note-se que, nesta aproximação, a ampliação transversal tem o valor 1 (esse
facto foi até usado na dedução). Como se pode verificar na figura, ou por inspecção da eq. (11),
quando n1 > n2 , a imagem situa-se mais perto da superfı́cie do que o objecto. Este efeito é posto
em evidência na Figura 13.
Figura 13: Refracção da luz na superfı́cie da água. Como a imagem de cada ponto submerso do
cabo da colher está mais próxima da superfı́cie do que o respectivo ponto, o cabo da colher parece
ter um ângulo, apesar de ser rectilı́neo.
5
Refracção em superfı́cies esféricas
Analizemos agora a refracção em superfı́cies esféricas, como o que acontece quando a luz entra ou
sai de uma lente ou quando vemos um peixe que nada no interior de um aquário esférico.
Sejam então dois meios 1 e 2, com ı́ndices de refracção respectivamente n1 e n2 (por exemplo, ar
e vidro), separados por uma superfı́cie esférica. Para concretizar ideias, consideremos um objecto
no meio 1, observado a partir do meio 2. Conforme a concavidade ou convexidade da superfı́cie
refractora e a relação entre os valores dos ı́ndices de refracção dos dois meios, a superfı́cie pode ser
convergente ou divergente. Uma vez que, nos processos de refracção, os raios de luz se aproximam
da normal quando penetram num meio de ı́ndice de difracção superior, deduzimos facilmente que,
se a superfı́cie refractora fôr côncava e o ı́ndice de refracção do meio onde a luz penetra for superior
ao daquele que ela abandona, então a superfı́cie refractora é divergente. Considerações semelhantes
permitem-nos compreender as restantes situações, todas resumidas na Figura 14
12
Figura 14: Convergência ou divergência de superfı́cies refractoras esféricas. Se o meio de incidência
tem ı́ndice de difracção inferior ao do meio para onde se dá a refracção, então uma superfı́cie
convexa é convergente e uma côncava é divergente (diagramas da linha de cima). Se a relação de
ordem entre os ı́ndices for a inversa, então as superfı́cies convexas são divergentes e as côncavas
convergentes (diagramas da linha de baixo).
5.1
Focos de uma superfı́cie refractora esférica. Potência dióptrica
Consideremos um raio de luz que incide numa superfı́cie refractora esférica segundo uma direcção
paralela ao eixo óptico1 , não muito afastada dele. O raio difractado não é, em geral, paralelo ao
eixo óptico; logo, a sua direcção intersecta esse eixo. Dentro da validade da aproximação paraxial,
qualquer raio que incida paralelamente ao eixo óptico é refractado numa direcção que cruza o eixo
óptico num mesmo ponto, chamado foco secundário da superfı́cie. Esse ponto pode estar à frente
ou atrás do vértice, consoante a superfı́cie é convergente ou divergente (veja a Figura 15).
Consideremos agora um raio que incide na superfı́cie refractora de tal modo que é refractado
paralelamente ao eixo óptico. O ponto onde a direcção do raio incidente se cruza com o eixo óptico
chama-se o foco primário da superfı́cie (veja a Figura 15).
Figura 15: Pontos focais de superfı́cies convergentes (esquerda) e de superfı́cies divergentes (direita).
Determinemos a posição dos focos de uma superfı́cie refractora. Para tal consideramos um raio
que incide na superfı́cie paralelamente ao eixo óptico (ver a Figura 16, à esquerda). Examinando
a figura, obtemos as seguintes igualdades:
tan α2 =
h2
r
tan θ2 =
h2
,
f2
onde f2 representa a coordenada horizontal do ponto F2 , medida a partir de uma origem situada
no vértice da superfı́cie. Impondo agora a aproximação paraxial, estas fórmulas escrevem-se na
1 O vértice, o centro de curvatura e o eixo óptico de uma superfı́cie refractora esférica definem-se da mesma
forma que para os espelhos esféricos (Secção 3).
13
Figura 16: Diagramas para a determinação da posição do foco secundário (esquerda) e primário
(direita).
forma
α2 =
h2
r
θ2 =
h2
,
f2
de onde resulta
rα2 = f2 θ2 .
(12)
Por outro lado, a Lei de Snell determina que
n1 sin α2 = n2 sin β2 ,
ou seja, nos termos da aproximação paraxial,
n1 α2 = n2 β2 .
(13)
Por fim, sendo β2 e θ2 dois ângulos internos de um triângulo e sendo α2 o ângulo externo do
terceiro vértice, temos
θ2 = α 2 − β 2 .
(14)
Substituindo a eq. (14) na eq. (12), obtemos
(f2 − r)α2 = f2 β2 ;
substituindo agora aqui α2 dado pela eq. (13) resulta
n2 − n1
f2 = r,
n2
equação que reescrevemos como
n2 − n1
n2
=
.
f2
r
(15)
Seguindo um procedimento em tudo semelhante, obtemos uma fórmula para a determinação
da posição do foco primário F1 :
n1
n1 − n2
n2
=
=− .
(16)
f1
r
f2
Note-se que, se n2 > 11 , então f1 < 0 (o que significa que F1 está à esquerda da superfı́cie) e
f2 > 0 (ou seja, F2 está à direita da superfı́cie). Estes factos estão de acordo com as ilustrações
qualitativas da Figura 15.
Veremos adiante que outros sitemas ópticos (na verdade, todos os sistemas ópticos) podem
ser caracterizados pela existência destes dois focos. Ao inverso da coordenada horizontal do foco
secundário chama-se potência dióptrica:
1
P = .
f2
A unidade da potência dióptrica, no Sistema Internacional, é o m−1 , a que, neste contexto da
óptica, se dá o nome de dioptria.
14
5.2
Posição e caracterı́sticas das imagens refractadas
Posição da imagem — fórmula da refracção em superfı́cies esféricas
Vamos agora deduzir uma expressão para o cálculo da posição
da imagem refractada numa superfı́cie esférica. Consideremos,
mais uma vez, dois meios 1 e 2, separados por uma superfı́cie
esférica com raio r e um objecto com altura h, situado no meio
1 e observado a partir do meio 2. A figura ao lado ilustra esta
situação para o caso em que a superfı́cie é convexa e convergente.
Figura 17
Seja h0 a coordenada vertical da extremidade da seta imagem
(|h0 | é a altura da imagem) e f2 , i e o as coordenadas horizontais respectivamente do foco secundário, da imagem e do objecto. Da análise da figura, aceitando a aproximação paraxial,
obtemos as igualdades
n1 α = n2 β
(17a)
0
−h
h
,
β=
−o
i
0
−h
h
=
θ=
f2
i − f2
α=
Da última destas equações obtemos
h0
i − f2
=−
;
h
f2
(17b)
(17c)
(18)
divindindo as duas equações (17b) uma pela outra, resulta
βi
h0
=
;
h
αo
usando agora a eq. 17a), vem
h0
n1 i
=
.
h
n2 o
As duas equações (18) e (19) podem agora ser igualadas, obtendo-se
(19)
n1 if2 = −n2 oi + n2 of2 .
Dividindo esta equação por oif2 , resulta
n1
n2
n2
−
=
.
i
o
f2
Por fim, substituı́mos aqui a expressão que encontrámos para a posição do foco secundário
[eq. (15)], resultando a fórmula da refracção em superfı́cies esféricas:
n2
n1
n2 − n1
−
=
.
i
o
r
(20)
Esta fórmula foi deduzida considerando uma superfı́cie refractora convexa convergente (ou seja,
com o meio onde a luz entra com maior ı́ndice de refracção do que o daquele que a luz abandona).
No entanto a sua validade é geral, ficando ao cargo do leitor verificá-lo nos restantes casos. Aliás,
ela é até válida para a refracção em superfı́cies planas: nesse caso, devemos tomar r → ∞, e a
eq. (20) reduz-se à que deduzimos para a refracção em planos, a eq. (11).
Atenção: o manual escolhido (Halliday Resnick e Krane, “Fı́sica”) segue uma
convenção de sinais diferente e, por isso, apresenta uma fórmula diferente para
a refracção em superfı́cies esféricas, na qual o termo n1 /o aparece a somar, e
não a subtrair. Os alunos da disciplina podem aplicar a fórmula que preferirem
(desde que a apliquem correctamente, é claro).
15
Caracterı́sticas da imagem refractada
A ampliação transversal de uma imagem refractada, dada pelo quociente entre as coordenadas
verticais do ponto imagem e do ponto objecto, pode ser calculada com a eq. (19), que aqui
reescrevemos:
n1 i
.
A=
n2 o
O valor da ampliação pode ser usado para determinar se a imagem é ampliada ou reduzida (conforme o seu módulo é maior ou menor do que a unidade) e se é direita ou invertida (conforme o
seu sinal é positivo ou negativo).
Tal como sucede na reflexão em espelhos esféricos, também aqui devemos distinguir as situações
em que a refracção é convergente daquelas em que é divergente. É importante recordar (ver a
Figura 15), quando a refracção é convergente o foco secundário situa-se no meio onde se propaga
a luz refractada e o foco primário naquele onde se propaga a luz incidente; quando a refracção é
divergente, esta disposição dos focos inverte-se.
Consideremos primeiro a primeira situação, isto é, a refracção numa superfı́cie convergente.
Neste caso, o objecto (de onde partem os raios incidentes) encontra-se do mesmo lado que o foco
primário, ou seja, f1 e o têm o mesmo sinal. Então, a razão x = o/f1 é positiva. Substituindo
o = xf1 na equação das superfı́cies refractoras [eq. (20)], obtemos
x f1
n2
=
i
1 − x n1
[usou-se aqui também a eq. (16)], e substituindo este resultado na fórmula da ampliação da eq. (19)
resulta
1
.
A=
1−x
Esta fórmula permite-nos determinar o valor da ampliação (logo, a orientação e a ampliação da
imagem) quando a superfı́cie é convergente. Devemos considerar três situações:
1. O objecto está entre o foco primário e a superfı́cie. Neste caso,
o < f1 , logo x < 1. Então A > 1, ou seja, a imagem é ampliada
e direita. Por outro lado, como a ampliação é positiva, constatamos que a imagem é formada do lado do objecto; logo, é
definida pelos prolongamentos dos raios refractados, e não pelos raios em si. Ela é, assim,
uma imagem virtual.
2. O objecto está mais afastado que o foco primário, mas a uma
distância do espelho inferior ao dobro da distância desse foco,
isto é 2f1 < o < f1 (recorde que o e f1 são negativos). Então
1 < x < 2, logo A < −1: a imagem é ampliada e invertida.
Além disso, como a ampliação é negativa, a imagem forma-se
no lado oposto ao do objecto. Assim, a sua posição é definida pela intersecção dos raios de
luz refractada, ou seja, é real.
3. O objecto está a uma distância da superfı́cie refractora superior ao dobro da distância que separa o foco primário dessa
superfı́cie. Então x > 2, −1 < A < 0: a imagem é reduzida e
invertida. Tal como no caso anterior, também aqui a imagem é
real.
Consideremos agora o caso de uma superfı́cie divergente. Nesse
caso, o foco primário está à frente da superfı́cie, logo, f1 > 0. Assim,
a razão x = o/f1 é agora negativa. A ampliação A = 1/(1 − x) é
consequentemente sempre positiva e menor do que a unidade (note
que 1 − x com x negativo é maior do que 1): a imagem formada
por uma superfı́cie refractora divergente é então reduzida e direita, qualquer que seja a distância
16
Figura 18: Passos na construção de um diagrama de raios para estudar a refração em superfı́cies
convergentes (à esquerda) e divergentes (à direita) [considera-se que o meio de incidência têm
ı́ndice de refracção inferior]. A imagem formada numa refracção divergente é sempre reduzida,
direita e virtual. No exemplo ilustrado à esquerda, a imagem é invertida, reduzida e real, porque
o objecto encontra-se a uma distância da superfı́cie superior ao dobro da primeira distância focal
(o < 2f1 ).
a que se encontra o objecto. Como no caso 1 das superfı́cies convergentes, também aqui a imagem
é virtual.
5.3
Traçado de raios
Para se determinar a posição e as caracterı́sticas da imagem refractada por traçado de raios,
começamos por calcular as posições dos dois focos (primário e secundário, usando as eqs. (15)
e (16). Em seguida, representamos num diagrama (desenhado à escala o mais cuidadosamente
possı́vel) a superfı́cie refractora, o eixo óptico, o objecto e os dois focos; desenhamos um raio com
origem no objecto que incida paralelamente ao eixo óptico: esse raio será refractado numa direcção
que passa pelo foco secundário; desenhamos agora um raio com origem no objecto que incide na
superfı́cie numa direcção que contenha o foco primário: esse raio será difractado paralelamente ao
eixo óptico. O ponto onde as direcções dos dois raios se intersectam é a imagem refractada. A
Figura 18 ilustra o procedimento para uma superfı́cie convergente (à esquerda) e outra divergente
(à direita).
Podemos testar a qualidade do diagrama analisando a trajectória de raios que incidem perpendicularmente à superfı́cie. Esses raios são refractados mantendo a sua direcção (já que o ângulo
de incidência, medido relativamente à normal, é neste caso zero), e essa direcção deve conter o
ponto imagem, como acontece com todos os raios com origem no objecto. Assim, a recta que une
oo objecto e a sua imagem deve ser perpendicular à superfı́ce refractora.
Por fim, depois determinada a posição da da imagem, estimamos a distância que a separa
da superfı́cie e a sua altura medindo os comprimentos respectivos com uma régua e fazendo a
transformação de escala apopriada.
5.4
Refracção em superfı́cies esféricas — Resumo
• Focos de uma superfı́cie refractora esférica: raios que incidem numa superfı́cie refractora
paralelamente ao eixo óptico vão ser refractados em direcções que intersectam o eixo óptico
num ponto chamado foco secundário (F2 ); raios que são refractados em direcções paralelas
ao eixo óptico incidem na lente segundo uma direcção que contém o foco primário (F1 )
• A convenção de sinais é a mesma que foi usada para espelhos: posições à esquerda da
superfı́cie refractora têm coordenada horizontal negativa, posições à sua direita teem-na
17
positiva; posições acima do eixo óptico têm coordenada vertical positiva, posições abaixo
teem-na negativa.
• Coordenadas dos focos (note que já não ficam no ponto médio entre o centro de curvatura
e o vértice):
n2
n2 − n1
=
f2
r
n1
n2 − n1
=−
f1
r
• Potência dióptrica da superfı́cie:
P =
1
f2
À unidade de potência (m−1 ) dá-se, em óptica, o nome dioptria.
• Equação das superfı́cies esféricas:
n1
n2 − n1
n2
n1
n2
−
=
=
=−
i
o
r
f2
f1
• Ampliação:
a=
n1 i
h0
=
h
n2 o
• A imagem refractada numa superfı́cie divergente é sempre reduzida, direita, virtual
• A imagem refractada numa superfı́ce convergente pode ser de diferentes tipos:
– objecto a uma distância superior ao dobro da do foco primário (o < 2f1 ): imagem
invertida, reduzida, real
– objecto mais afastado do que o foco primário, mas a uma distância inferior ao dobro
da do foco (2f1 < o < f1 ): imagem invertida, ampliada, real
– Objecto entre o foco e a superfı́cie (o > f1 ): imagem direita, ampliada, virtual
• Traçado de raios
1. Raios que incidem na superfı́cie paralelamente ao eixo óptico, são refractados em direcções que contêm o foco secundário.
2. Raios que incidem na superfı́cie segundo direcções que contêm o foco primário são
refractados paralelamente ao eixo óptico
6
Lentes finas
Uma lente é um pedaço de material transparente (vidro ou plástico, em geral) limitado por duas
superfı́cies (as faces da lente), em geral com forma esférica. O eixo óptico da lente é uma linha
que une os centros de curvatura das duas faces (ver a Figura 19).
Figura 19: Eixo óptico, centros de curvatura e raios de uma lente bi-convexa (esquerda) e côncavoconvexa (direita).
18
Figura 20: Perfis possı́veis para lentes convergentes (em cima) e divergentes(em baixo).
Quando a luz atravessa uma lente, dão-se dois processos de refracção: um à entrada, quando
a luz entra para o interior da lente, e um outro à saı́da. Para compreendermos o efeito que a lente
tem sobre a propagação da luz, devemos pois analisar estes dois processos. Em princı́pio, podemos
fazê-lo aplicando a lei de Snell no estudo de cada refracção.
Um pouco de reflexão considerando a lei de Snell convence-nos de que uma lente com faces
planas e paralelas não tem um efeito apreciável sobre a trajectória dos raios de luz que nela
incidem2 . Caso as duas faces da lente sejam tais que a lente é mais espessa no seu centro (onde
passa o eixo óptico) do que na periferia, a lente é convergente e, ao contrário, se a lente for mais
fina no centro do que na periferia, então ela é divergente. A Figura 20 ilustra diferentes perfis
possı́veis para lentes convergentes e divergentes.
Mas, se pretendermos determinar a posição e as caracterı́sticas da imagens formadas por refracção em lentes, a aplicação directa da lei de Snell leva a cálculos muito complicados. Em vez
disso, analisamos separadamente as duas refracções. A luz proveniente do objecto refracta-se na
superfı́cie anterior da lente, o que origina uma imagem, cuja posição e caracterı́sticas já sabemos
determinar. Esta imagem pode ser real ou virtual mas, para todos os efeitos, a trajectória dos
raios de luz resultantes da refracção é em tudo semelhante à de raios originários de um objecto com
as dimensões, posição e orientação dessa imagem. Assim, a imagem resultante da refracção na superfı́cie anterior vai servir como objecto para a refracção na superfı́cie posterior (ver a Figura 21).
Figura 21: Determinação da imagem refractada numa lente: a imagem da refracção na face anterior
(esquerda) serve de objecto para a refracção na face posterior (direita).
6.1
Equação das lentes
Consideremos uma lente, com duas faces esféricas de raios r1 e r2 . Seja ne o ı́ndice de refracção
do meio exterior à lente (quase sempre ar) e ni o do material que constitui a lente (quase sempre
vidro). Seja d a distância entre os vértices (isto é, os pontos onde o eixo óptico intersecta as
superfı́cies) das duas faces da lente. Consideremos a luz que incide na lente proveniente de um
objecto situado à esquerda, a uma |o| do vértice da primeira face. De acordo com a equação
das superfı́cies refractoras, a primeira refracção (a que ocorre na primeira superfı́cie) produz uma
2E
esse efeito é mesmo nulo, caso se possa desprezar a espessura da lente (veja o Exercı́cio 9 da primeira série).
19
imagem cuja posição é dada por
ne
ni − ne
ni
−
=
,
0
i
o
r1
(21)
onde i0 , o e r1 são as coordenadas horizontais da imagem, do objecto e do centro de curvatura,
relativamente a uma origem situada no vértice da superfı́cie onde se dá a refracção, ou seja, neste
caso, no da face anterior da lente.
Agora a imagem formada na primeira refracção vai servir como objecto para a segunda. Ora,
a coordenada horizontal deste objecto, relativamente a uma origem situada no vértice da segunda,
é
o0 = i − d.
Aplicando de novo a equação das superfı́cies refractoras mas agora à refracção na face posterior,
obtemos
ne − ni
ni
ne
− 0 =
,
i
o
r2
ou seja,
ni
ne − ni
ne
− 0
=
,
(22)
i
i −d
r2
Fazemos agora uma aproximação que simplifica imenso esta análise: consideremos que a espesssura
da lente, d, é desprezável face aos raios de curvatura das suas faces. A esta aproximação chamase aproximação das lentes finas. As lentes mais comuns (as dos óculos, ou as dos instrumentos
ópticos mais vulgares) são de facto finas, de forma que esta aproximação não restringe muito a
aplicabilidade dos resultados que viermos a obter.
Considerando então apenas lentes finas, para as quais d ' 0, reescrevemos a eq. (22) como
ni
ne − ni
ne
− 0 =
.
i
i
r2
Mas, substituindo aqui ni /i0 dado pela eq. (21), obtemos
ni − ne 1
1 1
1
− =
−
.
i
o
ne
r2
r1
(23)
Uma lente, como qualquer sistem óptico, pode ser caracterizada pelos seus dois focos, o foco
primário e o foco secundário. Recordo que o foco primário é o ponto onde se intersectam o
eixo óptico e as direcções dos raios incidentes que são refractados paralelamente ao eixo óptico,
e que o foco secundário é o ponto onde se intersectam o eixo óptico e as direcções dos raios
refractados que incidiram paralelamente ao eixo óptico. Consideremos um objecto à esquerda da
lente, infinitamente afastado. Os raios de luz que dele chegam à lente incidem nela paralelamente,
e são refractados em direcções que intersectam o eixo óptico no foco secundário, que é então a
imagem deste objecto. Assim, subtituindo o = −∞ e i = f2 na eq. (23) obtemos uma expressão
para a posição do foco secundário:
1
ni − ne 1
1
=
−
.
(24)
f2
ne
r2
r1
De igual modo, consideremos agora um objecto pontual situado sobre o foco primário. Então os
raios que incidam na lente em direcções que contenham a posição deste objecto são refractados
pela lente em direcções paralelas ao eixo óptico, ou seja, convergem (e formam a imagem) no
infinito. Substituindo agora na eq. (23) o = f1 e i = ∞, obtemos
1
ni − ne 1
1
=−
−
.
f1
ne
r2
r1
Comparando estas duas igualdades, concluı́mos que
f1 = −f2 ,
20
(25)
ou seja, os dois focos de uma lente estão à mesma distância da lente, um de cada lado.
Define-se distância focal de uma lente como a posição do seu foco secundário, isto é,
f = f2 .
Substituido f = f2 na eq. (23) e tendo em conta a eq. (24), obtemos, por fim, a equação das lentes
1 1
1
− = .
i
o
f
(26)
Atenção: o manual escolhido (Halliday Resnick e Krane, “Fı́sica”) segue uma
convenção de sinais diferente e, por isso, apresenta uma fórmula diferente para
a refracção em superfı́cies esféricas, na qual o termo n1 /o aparece a somar, e
não a subtrair. Os alunos da disciplina podem aplicar a fórmula que preferirem
(desde que a apliquem correctamente, é claro).
6.2
Traçado de raios e ampliação transversal
Podemos também determinar a posição da imagem refractada por uma lente por métodos geométricos, com um diagrama de raios, que se constrói do mesmo modo que para superfı́cies refractoras,
ou seja, considerando as definições dos focos. No caso das lentes finas, a construção dos diagramas
até é mais simples porque os dois focos encontram-se à mesma distância da lente, um de cada
lado.
Começamos por representar no diagrama o eixo óptico, o objecto, a lente3 e os seus dois focos
(que são equidistantes da lente). Se se trata de uma lente convergente, o foco secundário deve
ser marcado à direita da lente e o foco primário à sua esquerda (do lado em que se deve colocar,
por convenção, o objecto; se, pelo contrário, a lente é divergente, o foco secundário deve ficar do
lado esquerdo e o primário do lado direito da lente. Em seguida, traçamos um raio com origem
no objecto que incide na lente paralelamente ao eixo óptico; este raio é refractado numa direcção
que passa no foco secundário. Por fim, traçamos outro raio com origem no objecto que incide na
lente segundo uma direcção que passa no foco primário; este raio é refractado paralelamente ao
eixo óptico. O ponto onde as direcções dos dois raios refractados se cruzam é o ponto imagem.
Até aqui, o procedimento é, como se vê, em tudo idêntico ao seguido no traçado de raios para
superfı́cies refractoras. Com lentes, no entanto, dispomos de um raio adicional. No centro da
lente, as duas faces são paralelas (porque ambas são aı́ perpendiculares ao eixo óptico. Assim,
para um raio que incida no centro de uma lente com espessura desprezável, tudo se passa como se
incidisse numa lente de faces planas e paralelas; logo, não um tal raio não sofre nenhum desvio,
ou seja, atravessa a lente rectilineamente.
A Figura 22 ilustra os diagramas de raios para lentes convergentes e divergentes.
Figura 22: Diagramas de raios para a refracção em lentes convergentes (à esquerda) e divergentes
(à direita).
Foquemos agora a nossa atenção no primeiro diagrama (o da esquerda) da Figura 22, mais
concretamente dos triângulos rectângulos definidos pelas duas extremidades do objecto e pelo
3 Aproveito para introduzir uma convenção de notações: nos diagramas de raios, é costume representar uma lente
convergente por um traço vertical com setas viradas para fora nos seus extremos ( ) e as divergentes por um traço
vertical com setas viradas para dentro ( ).
21
vértice da lente (um), e pelas duas extremidades da imagem e pelo vértice (o outro). Estes dois
triângulos são obviamente semelhantes, de forma que podemos escrever
h
h0
= ,
−o
i
onde h e h0 são respectivamente as alturas do objecto e da imagem e o e i são as suas respectivas
coordenadas horizontais. Reordenando os termos, obtemos
i
h0
= .
h
o
Mas o quociente entre a altura da imagem e do objecto é a ampliação transversal. Então a
expressão da ampliação das imagens refractadas em lentes é
A=
6.3
i
.
o
(27)
Propriedades das imagens refractadas em lentes finas
Lentes divergentes
Como já vimos, o foco secundário das lentes divergentes situa-se à esquerda da lente, ou seja,
f ≡ f2 < 0. Assim, a razão x = o/f é positiva (é o quociente entre dois números negativos).
Podemos exprimir i como função de o e f , resolvendo a equação das lentes [eq. (26)] em onde a i,
obtendo-se
of
i=
o+f
Substituindo esta igualdade na expressão da ampliação transversal [eq. (27)], vem
A=
f
1
1
=
=
.
o+f
1 + o/f
1+x
Mas, como acabámos de constatar, para lentes divergentes o quociente
x = o/f é positivo, de forma que a ampliação resulta positiva e menor
que a unidade. A imagem refractada numa lente divergente é, pois, direita
e reduzida. Além disso, como a ampliação é positiva, i e o têm o mesmo
sinal, ou seja, a imagem forma-se do lado da lente onde se encontra o
objecto. Assim, a sua posição é definida pelo prolongamento dos raios
refractados para o lado da incidência, e não pelos raios refractados em si,
isto é, trata-se de uma imagem virtual.
Lentes convergentes
Para lentes convergentes, o foco secundário encontra-se à direita da lente; logo, f ≡ f2 > 0. A
razão x = o/f é agora negativa. Assim, considerando a fórmula para a ampliação que deduzimos
no parágrafo anterior, A = 1/(1 + x), devemos agora distinguir as três seguintes possibilidades:
• o objecto encontra-se entre o foco e a lente (o > −f ). Neste caso, −1 < x < 0 e a ampliação
é então maior do que a unidade. Assim, neste caso a imagem é direita e ampliada. Para
além disso, a imagem forma-se do lado do objecto e, portanto, é virtual.
• o objecto encontra-se a uma distância da lente superior à distância focal, mas inferior ao
dobro da distância focal (−2f < o < −f ). Agora, temos A < −1, ou seja, a imagem é
invertida e ampliada. Por outro lado, ela forma-se do lado da lente oposto àquele onde se
encontra o objecto; logo, é real
• o objecto encontra-se a uma distância da lente superior ao dobreo da distância focal (o <
−2f ). Temos agora −1 < A < 0: a imagem é invertida, reduzida e real.
A Figura 23 mostra diagramas de raios ilustrando estas três situações.
22
Figura 23: Diagramas de raios para uma lente convergente quando o objecto se encontra entre a
lente e o foco (à esquerda), quando o objecto se encontra a uma distância da lente compreendida
entre uma e duas distâncias focais (ao centro) e quando o objecto se encontra a uma distância da
lente superior a duas distâncias focais (à direita).
6.4
Refracção em lentes finas — Resumo
• Os dois focos de uma lente fina encontram-se a igual distância do seu centro, um de cada
lado.
• Para lentes convergentes, o foco primário encontra-se do lado da incidência da luz e o foco
secundário do lado oposto. Para lentes divergentes, é ao contrário.
• Raios que incidem na lente paralelamente ao eixo óptico são refractados em direcções que
passam no foco secundário. Raios que incidem na lente segundo direcções que passam no
foco primário são refractados paralelamente ao eixo óptico. Raios que incidem no centro da
lente não sofrem qualquer desvio quando atravessam a lente, mantâm a sua direcção.
• Coordenadas dos focos de uma lente
ni − ne 1
1
n1
=−
−
,
f1
ne
r1
r2
n2
ni − ne
=
f2
ne
1
1
−
r1
r2
,
onde se verifica a convenção de sinais (cartesiana) a que aderimos, ni e ne são respectivamente
os ı́ndices de refracção do material de que é composta a lente e do meio exterior e r1 e r2
são, respectivamente (e a atenção que ordem é importante!), os raios de curvatura das faces
de entrada e de saı́da da luz na lente.
• Distância focal de uma lente é a coordenada horizontal do foco secundário:
f ≡ f2 .
• Equação das lentes:
1
1 1
− = .
i
o
f
• Ampliação
A=
7
i
o
Sistemas ópticos compostos
Sistemas ópticos compostos são sistemas que são constituı́dos por vários elementos ópticos (lentes,
espelhos, superfı́cies) e não por um único, como os que até agora temos vindo a estudar. Nesta
secção vamos estudar as propriedades das imagens produzidas por estes sistemas.
Na verdade, já estudámos nestes apontamentos um exemplo de sistemas ópticos compostos.
Com efeito, descrevemos as lentes finas como duas superfı́cies refractoras esféricas. A abordagem
23
que usámos para o estudo das lentes como um sistemas de duas superfı́cies é o molde com que
se estudam todos os sistemas ópticos compostos. Consiste em considerar separadamente cada um
dos elementos, e em usar a imagem produzida por cada um como objecto para a formação da
imagem no seguinte.
É mais fácil perceber isto seguindo um exemplo. Consideremos o sistema óptico esquematizado
na Figura 24, constituı́do por duas lentes (convergentes, mas isso é um detalhe agora irrelevante)
com distâncias focais f e f 0 , situadas a uma distância d uma da outra. Para determinarmos
Figura 24: Um sistema óptico composto por duas lentes com distâncias focais f e f 0 situadas a
uma distância d uma da outra.
as propriedades das imagens formadas por refracção nas duas lentes do sistema, consideramos
primeiro o efeito da primeira lente e depois o efeito da seguunda lente, tomando como objecto a
imagem produzida pela primeira. Em termos do traçado de raios, as duas fases deste processo
estão esquematizadas na Figura 25.
Figura 25: Como determinar a posição da imagem refractada num sistema de duas lentes: a
imagem produzida por refracção na primeira lente serve de objecto para a refracção na segunda.
Algebricamente, o processo consiste no mesmo: determina-se a posição da imagem refractada
na primeira lente e essa imagem será o objecto para a refracção na segunda. Assim, se o for o
valor da coordenada horizontal do objecto, medida relativamente à primeira lente, então o valor,
i1 da coordenada horizontal (medida ainda relativamente à primeira lente) da imagem refractada
nessa lente é dada por
1
1
1
− = .
i1
o
f
A coordenada horizontal desta posição (que será agora a do objecto para a refracção na segunda
lente), medida relativamente à segunda lente é
o2 = i1 − d,
onde, recordo, d é a distância entre as duas lentes. A imagem refractada na segunda lente do
objecto que consiste na imagem do objecto original refractada na primeira lente tem então uma
posição, medida relativamente à segunda lente, dada de novo pela lei das lentes:
1
1
1
−
= 0.
i
o2
f
24
A ampliação transversal da imagem refractada pelas duas lentes é, como sempre, a razão entre
a altura da imagem (final) e a do objecto:
A=
h0
.
h
Mas podemos multiplicar e dividir o segundo membro desta igualdade pela altura da imagem
intermédia, isto é daquela que se forma por refracção na primeira lente apenas. Representando
essa altura por h00 , temos
h0 h00
= A2 A1 ,
A = 00
h h
onde A1 e A2 são as ampliações da primeira e da segunda refracções, respectivamente.
7.1
Objectos virtuais
Pode ocorrer que a imagem refractada pela primeira lente se situe à direita da segunda lente, como
mostra a Figura 26. Nesse caso, dizemos que o objecto para a refracção na segunda lente é um
objecto virtual.
Figura 26: Exemplo de um objecto virtual: a imagem refractada na primeira lente está situada à
direita da segunda lente.
Do ponto de vista algébrico, um objecto virtual distingue-se dos objectos reais apenas por
terem coordenada horizontal positiva (ao contrário de todos os que considerámos até agora, que
eram todos reais). Mesmo estando o objecto intermédio à direita da segunda lente, a equação das
lentes continua válida, pelo que a podemos continuar a usar também nestes casos. Ou seja, numa
abordagem algébrica o procedimento é exactamente o mesmo, quer o objecto seja real, quer seja
virtual.
Mas como fazer o traçado de raios com um objecto virtual? O problema é como determinar em
que direcções são refractados os raios que traçámos para definir a posição da imagem refractada na
primeira lente, e que encontram a segunda lente antes de a formarem. Para o raio que incidiu na
primeira lente após ter passado no foco primário da primeira (ou, no caso das lentes divergentes,
após ter incidido na primeira lente numa direcção que continha o seu foco primário), a questão é
trivial, uma vez que este raio incide na segunda lente paralelamente ao eixo óptico. Ele é refractado
pela segunda lente numa direcção que contem o seu foco secundário.
Por outro lado, um outro raio refractado pela primeira lente tem um comportamento fácil de
prever quando atravessa a segunda lente: o raio que incide nela exactamente no centro. Este raio
não é desviado pela segunda lente, de forma que continua o seu caminho até atingir o ponto onde
se encontra a imagem refractada pela primeira lente. O ponto onde estes dois raios (o que incide
na segunda lente paralelamente ao eixo óptico e o que incide no seu centro) se intersectam é local
onde se forma a imagem refractada no conjunto das duas lentes (veja a Figura 27).
25
Figura 27: Como determinar a posição da imagem refractada numa lente de um objecto virtual:
considera-se um raio que incida na lente paralelamente ao eixo óptico e outro que incida no centro
da lente.
8
Instrumentos ópticos
8.1
O olho humano
8.2
A lente de aumento
8.3
Microscópio composto
8.4
Telescópio
26