INSTITUTO DE FÍSICA DA UFBA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO
DISCIPLINA: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL IV (FIS 124)
FORMAÇÃO DE IMAGENS
Seja um sistema
óptico projetado para se obter uma imagem de um objeto. Esta imagem é
classificada de duas formas: imagem real e imagem virtual. Numa imagem real o raio luminoso passa
efetivamente pelo ponto imagem; na imagem virtual a luz se comporta como se
divergisse do ponto
imagem sem, entretanto, passar efetivamente por ele. Exemplo:
Lente convergente
Espelho plano
O
I
O
Objeto
Imagem real
I
Objeto
Imagem
virtual
Estes sistemas ópticos são constituídos por diafragmas, superfícies refringentes ou refletoras
planas ou curvas. As superfícies estritamente planas já foram estudadas em capítulo anterior. As demais,
particularmente as esféricas, serão objeto de estudo deste capítulo. Estas superfícies podem ser
classificadas de duas formas: superfície côncava e convexa. Uma superfície esférica, quando vista de
dentro, é dita côncava e quando vista de fora é convexa. Exemplo de lentes:
Biconvexa
Plano convexa
Bicôncava
Plano côncava
Menisco
Dois outros critérios importantes, principalmente quando se fazem observações a olho nu, são os
critérios de nitidez e de ponto próximo. Estes critérios são puramente arbitrários, pois variam de pessoa a
pessoa. No entanto, se tomarmos uma média de um grande número de observadores com visão normal,
podemos estabelecer os seguintes critérios:
•
Nitidez: é a capacidade de poder distinguir 2 pontos com separação angular de 1’ a 3’ de arco como
duas entidades individuais em vez de uma única somente. Isto corresponde a perceber uma régua
milimetrada a distâncias de 3,43 m ou 1,14 m respectivamente.
1
•
Ponto próximo: É a menor distância no qual o olho humano pode perceber uma imagem sem perda de
nitidez e sem realizar esforço excessivo. Uma criança de 10 anos, por exemplo, tem ponto próximo de 7
cm enquanto na velhice este ponto chega a 2 m. Mas a média estatística das pessoas adultas nos leva
a um valor de 25 cm .
Assim, no ponto próximo, uma pessoa que tem a capacidade de distinguir separação angular de 3’
pode perceber até cerca de 5 linhas/mm, enquanto aqueles que tem acuidade visual para 1’ de arco podem
perceber até 14 linhas/mm !
1. FORMAÇÃO DE IMAGENS POR DIAFRAGMAS
O sistema de formação de imagens mais simples é
constituído por um diafragma: é o que sucede em uma
h’
h
câmara escura. Este sistema consiste basicamente em
uma caixa totalmente fechada e um pequeno orifício que
p
q
permite a passagem da luz. A imagem é formada na
parede oposta ao diafragma e é invertida.
Calculemos o aumento linear, ou “magnificação linear” da imagem. Seja h a altura do objeto e h’ a
altura da imagem. Seja p a distância do objeto ao diafragma e q a distância da imagem ao diafragma. A
magnificação da imagem é definida como a “menor razão entre o tamanho da imagem pelo tamanho do
objeto, isto é M = h'/h. Da figura ao lado podemos ver facilmente que M = -q/p. O sinal negativo indica que
a imagem é invertida em relação ao objeto (veja convenção de sinais mais adiante).
Contudo a imagem aparecerá difusa e com contornos
pouco definidos. Isso se deve ao fato de que a imagem de um
ponto do objeto será um círculo cuja área depende do tamanho
2a
O
r
da abertura. Vejamos como calcular o raio deste círculo. Da
figura ao lado podemos ver que:
r
a

q
=
∴ r = a 1 + 
p+q p
p

p
Note que, como seria de se esperar, se o ponto O estivesse no infinito a imagem teria a mesma
dimensão do diafragma. Poderíamos também pensar que a imagem ficaria mais nítida se diminuíssemos o
diâmetro do diafragma. De fato, pode-se perceber da expressão acima que a imagem tende a um ponto se
o raio a do diafragma tender a um valor infinitesimal. No entanto, se o diafragma assumisse este valor, os
efeitos de difração tornariam tão pronunciados que a imagem continuaria difusa ainda. Por este motivo, o
sistema de câmera escura com diafragma apenas não é utilizado com freqüência nos sistemas de formação
de imagens. Para tanto são utilizados, superfícies refletoras e/ou refratoras com ou sem diafragma. As
imagens formadas por estes sistemas também não são perfeitas, mas tem qualidade infinitas vezes
superior às aquelas formadas pela câmera escura simples.
2. SUPERFÍCIES REFRINGENTES ESFÉRICAS.
Estudaremos agora as imagens formadas por uma única superfície refringente esférica. Na
realidade, isto não é um caso muito usual, mas serve como introdução a outro assunto: as lentes. Afora
2
isto, este estudo nos leva a algumas conclusões importantes acerca do comportamento dos raios luminosos
na passagem de um meio para outro e que também será útil nos estudos das lentes.
a. Equação dos pontos conjugados
B
θ1
n1
r
β
α
O
n2
θ2
γ
A
I
C
q
p
Suponha que um feixe de luz emitido por uma fonte puntiforme O, localizada dobre o eixo óptico
OC, a uma distância p do vértice A, e imerso em um meio cujo índice de refração é n1, incida sobre uma
superfície refringente esférica de índice de refração n2, centro em C e raio de curvatura r. Inicialmente
vamos supor que n2 > n1. O raio OA atravessa sem deflexão a superfície, enquanto o raio OB, que forma
um ângulo θ1 com a normal à superfície, é refratado com um ângulo θ2 e prossegue na direção do ponto I.
Este ponto se situa a uma distância q do vértice A e pode, em certas circunstâncias, estar à esquerda de A.
Veremos mais adiante que circunstâncias são estas.
Vamos estabelecer uma equação para este ponto e para tal utilizaremos uma propriedade dos
triângulos, qual seja, a de que o “ângulo externo de um triângulo é igual a soma dos ângulos internos não
adjacentes”. Assim
Para o
∆ OBC, teremos
Para o
∆ CBI, teremos β = θ2 + γ
θ1 = α + β (1)
(2)
Além dessa equações a lei da refração nos fornece n1sen θ1 = n 2 sen θ 2 . Com estas três relações
é possível encontrar uma relação exata para os pontos O e I. Contudo não seguiremos este caminho, pois
as manipulações matemáticas são enormes, e também se mostra que, no caso geral, a localização do
ponto I irá depender do ângulo α de incidência. Neste caso, como não temos um único ponto
correspondente a O, I não poderá ser chamada de imagem de O. Contudo, faremos algumas aproximações
para pequenos ângulos, ou seja nos restringiremos ao estudo da ótica paraxial. Nesta aproximação, se
θ<<1, então senθ ≈ θ. Assim a lei de Snell se reduz a
Por outro lado teremos
α≈
AB
p
A equação (1) usando (3) fica:
θ1 =
β=
AB
r
n1 θ1 ≈ n2 θ 2 (3)
e
γ≈
AB
q
(4)
n
n2
θ 2 = α + β → θ 2 = 1 ( α + β)
n2
n1
3
Usando (2) obtemos β =
n1
(α + β) ou
n2
(n 2 − n1 ) β = n1α + n 2 γ → n1
AB
AB
AB
+ n2
= (n2 − n1 )
p
q
r
Chegamos finalmente à equação dos pontos conjugados:
n1 n2 (n2 − n1 )
+
=
p
q
r
(5)
Como se pode observar, esta relação independe dos valores de α, β, γ, θ1 e θ2. Note que obtivemos
esta relação traçando um único raio que forma um ângulo α com o eixo e este prossegue na direção de I,
não importando o valor que a ele atribuímos.
n1
A única restrição que a ele fizemos foi que
n2
deve ser paraxial. Portanto, nestas condições,
qualquer raio que parte do O deve convergir no
ponto I, formando uma imagem de O e os
I
O
pontos O e I serão chamados de
pontos
conjugados.
Se, contudo, o ângulo de incidência é grande
n1
não obteremos mais os pontos conjugados, uma vez que
n2
a localização de I dependerá de α. A medida que este
ângulo aumenta, o raio refratado cruzará com o eixo
O
I’
I
óptico a uma distância q diferente da anterior. Isto se
chama aberração esférica.
Vejamos outras conseqüências da equação dos pontos conjugados (5). Suponha que o ponto
objeto coincida com o ponto F que está uma distância do vértice igual a p = f =
n1
r .
n 2 − n1
Substituindo este valor em (5), obtemos
n1
n2
F
n2
= 0 o que nos
q
leva a q → ∞ . Isto significa que a imagem de O se localiza
no infinito, ou em outras palavras, os raios refratados tornamse paralelos. O ponto F é chamado de ponto focal primário
f
e f=
n1
r (6) é a distância focal primária.
n 2 − n1
Por outro lado, se p → ∞ , os raios
n2
incidentes são paralelos e convergirão em um
ponto F' situado a uma distância f' do vértice. F'
é chamado de ponto focal secundário e a
n1
F’
distância focal secundária é.
f' =
n2
n2 − n1
f’
r
(7)
4
n  1
1
1
Voltemos à equação (5) novamente. Dividindo-a por n1 e usando (6) obtemos:  2  = − . Se
 n1  q f p
O se localizar entre F e o vértice, isto é se p < f, então q será negativo. O que significa esta distância ser
negativa?
n1
n2
F
O
F’
I
Para interpretarmos isto, observe a figura acima. Suponha que o ponto O se localize a uma
distância muito grande comparada com f. Nestas condições imagem deve estar próxima a F'. À medida
que O se aproxima de F a imagem se afasta de F' e no caso de O coincidir com F a imagem se formará no
infinito.
n1
Quando O se aproxima mais ainda do
vértice, os raios começarão a divergir, apesar de
nossa hipótese inicial do sistema ser convergente
I
F
O
n2
(n1 < n2 ). Na verdade a superfície torna os raios
menos divergentes do que era então.
Naturalmente os raios emergentes não se encontram para formar uma imagem real, mas o seu
prolongamento à esquerda da superfície refratora se cruzam num ponto I que se situa à distância q do
vértice. O sinal negativo obtido através da equação dos pontos conjugados nos indica, portanto, que a
imagem é virtual (já que I se comporta como se os raios partissem dele) e se situa à esquerda do vértice.
O sistema até agora era convergente (pois n2 > n1 e a superfície esférica, vista pelos raios
incidentes, era convexa). O que sucede com um sistema divergente? O que podemos adiantar, pois é de
fácil demonstração, é que a equação dos pontos conjugados permanece inalterada. Em vista disto,
apenas os sinais das distâncias focais f e f', bem como do raio de curvatura deverão ser reinterpretados.
Vamos continuar supondo que n2 > n1 com a superfície côncava em
n1
relação ao feixe incidente. Suponha que este feixe seja paralelo o qual,
n2
F’
após atingir a superfície, torna-se divergente. Isto é fácil verificar
aplicando-se a lei da refração. O prolongamento destes raios
divergentes à esquerda da superfície devem se interceptar num ponto
F' que é o ponto focal secundário e se situa à distância f' do vértice.
Da equação dos pontos conjugados tem-se que f ' =
n2
n2 − n1
r , o que em princípio nos dá uma
quantidade positiva. Contudo, como discutimos anteriormente, quando a imagem se encontra à esquerda
da superfície (imagem virtual), devemos atribuir um valor negativo para sua distância. Mas de acordo com
a expressão acima isto só será possível se atribuirmos um valor negativo para o raio de curvatura r.
Adotaremos este ponto de vista, para que todas as interpretações sejam uniformizadas.
5
Analisemos agora uma outra situação. Suponha que um feixe de
luz convergente incida sobre a superfície refratora. Este feixe deve
convergir para um ponto O situado à direita do vértice. Contudo,
ao
O
I
n1
se
refratar
na
superfície, este feixe torna-se
menos
convergente e se encontra em um ponto I. Mas à medida que O se
afasta do vértice, o ponto I se afasta mais ainda, até chegar uma
n2
situação em que a imagem se localize no infinito, ou seja os raios
emergentes tornam-se paralelos.
Neste caso, o ponto F de intersecção (dos
prolongamentos) dos raios incidentes é chamado
de ponto focal primário e sua distância f ao vértice
é a distância focal primária. Da equação dos
pontos conjugados, obtemos f =
n1
r.
n 2 − n1
F
n1
n2
Como assumimos que o raio r é negativo, a distância focal f também o será, o que é coerente com o fato de
F se encontrar à direita do vértice.
O leitor pode observar que neste estudo, tanto as distâncias do objeto e da imagem, assim como o
raio de curvatura podem assumir valores positivos ou negativos, cada qual com seu significado. Desta
forma é preciso sistematizar essas interpretações numa convenção de sinais para se evitar maiores
confusões.
b. Convenção de Sinais
•
Todas a figuras serão traçadas com o feixe de luz incidindo da esquerda para a direita
•
As distâncias dos objetos serão positivas se estes se encontram à esquerda do vértice e negativas
quando à direita
•
As distâncias das imagens serão positivas se estas se encontram à direita do vértice e negativas
quando à esquerda
•
As distâncias focais (primárias e secundárias) serão positivas para um sistema convergente e
negativas para um sistema divergente
•
O raio de curvatura é positivo quando a superfície, vista pelo raio incidente, é convexo e negativo se a
superfície é côncava
•
A altura do objeto ou da imagem é positiva se medida acima do eixo óptico e negativa quando abaixo.
3. LENTES DELGADAS (ou LENTES FINAS)
Os sistemas formados por uma única superfície refringente não é, em geral, muito prático apesar
de ser facilmente observável. O que se estuda e se aplica mais correntemente são os sistemas de duas ou
mais superfícies refringentes esféricas, ou seja, as lentes. Neste tópico iremos aplicar os resultados
obtidos no estudo anterior para o caso de uma lente delgada, ou seja para uma lente cuja espessura é
6
muito menor que as distâncias geralmente associadas com suas propriedades óticas. Estaremos também
restritos ao caso da ótica paraxial.
a. Equação das lentes delgadas
P
Q
n1
r1
B
A
O
C2
n3
I
C1
r2
p
n2
I’
q
p’
q’
t
Seja uma lente cujo índice de refração é n2 e raios de curvatura r1 e r2 respectivamente. De um
lado da lente tem-se um meio cujo índice de refração é n1 e de outro n3. Um feixe de luz partindo de O
a
atinge a 1 superfície no ponto P e é desviado segundo a direção PQ. Caso o meio n2 se estendesse até o
infinito a imagem de O se formaria em um ponto I' a uma distância q' o vértice A. A equação dos pontos
conjugados nos fornece:
n1 n 2 (n 2 − n1 )
(8)
+
=
p
q'
r1
No entanto, devido a segunda superfície, a imagem I' atuará como objeto para esta superfície. A distância
deste objeto ao vértice B é p' e a imagem final será formada no ponto I que se situa a uma distância q de
B. Para estes pontos conjugados devemos Ter:
(n − n 3 )
n 2 n 3 (n3 − n 2 )
+
=
=− 2
p'
q
r2
r2
(9)
Observemos dois fatos. Em primeiro lugar, desde que assumimos que a espessura t é muito
pequena em relação às distâncias envolvidas, podemos assumir que tanto p' quanto q' são iguais em
módulo. Em segundo lugar, se a imagem I' se forma à direita de A, q' será positivo, segundo a nossa
convenção. Contudo, para a segunda superfície p' deverá ser negativo, pois, neste caso, o objeto se
encontra à esquerda da mesma. Note que isto só é sempre verdade no caso onde a espessura da lente é
desprezível. Por outro lado, se I' se encontra á esquerda de A, q' será negativo e consequentemente p'
deverá ser positivo. Desta forma, a relação entre p' e q' será:
p' = - q' , o que nos conduz a:
n2
n
= − 2 (10)
q'
p'
Usando (10) e somando (8) e (9), obtemos finalmente:
7
n1 n3 (n2 − n1 ) (n2 − n3 )
+
=
−
p
q
r2
r1
Esta é uma relação bastante geral onde a lente separa dois meios de índices de refração
diferentes. Um caso mais corriqueiro é quando a lente está imersa em um meio cujo índice de refração n0 .
Assim, fazendo n1 = n3 = n0 e n2 = n (índice de refração da lente) teremos:
1 1 (n − no )  1 1 
 −  (11)
+ =
p q
no  r1 r2 
Para encontrarmos as distâncias focais, fazemos q ⇒
1 1 (n − no )  1 1 
 − 
= =
p f
no  r1 r2 
∞ e teremos
F
F - ponto focal primário
f - comprimento focal primário
f
F’
Se p ⇒
∞ , obtemos
1 1 (n − no )  1 1 
 − 
= =
q f′
no  r1 r2 
F'- ponto focal secundário
f’
Como se vê f = f' , de modo que
f' - comprimento focal secundário
1 1 (n − no )  1 1 
 − 
= =
f f′
no  r1 r2 
(12)
Esta relação é chamada de equação do fabricante e mostra que, quando a lente está imersa em
um mesmo meio, as distâncias focais primária e secundária são as mesmas. Desta forma, para este caso,
podemos escrever a equação das lentes finas:
1 1 1
+ =
p q f
(13)
b. Construção geométrica das imagens da lente
Para se construir a imagem formada por uma lente poderíamos utilizar a equação das lentes.
Contudo muitas vezes isto não é muito prático uma vez que essa equação relaciona apenas as distâncias
do objeto e da imagem à lente e nada diz sobre a altura tanto dos mesmos. Por isso o método geométrico,
que se baseia em algumas propriedades conhecidas das lentes, é bastante útil em muitas aplicações.
Vejamos quais são estas propriedades.
1 Todo o raio que percorre o eixo óptico (eixo que passa pelos dois centros de curvatura da lente) não
é desviado.
8
2 Raios incidentes paralelos ao eixo óptico, passam, após a refração, pelo (ou emergem do) ponto
focal secundário
3 Raios que passam pelo ( ou convergem para) o ponto focal primário, emergem, após a refração,
paralelamente ao eixo óptico.
4 Raios que atravessam o centro da lente (intersecção do eixo óptico com a parte central da lente) não
β
α
são desviados.
Este último resultado vem do fato que os planos α e β, tangentes às superfícies das lentes no
eixo óptico, são paralelos entre si, Podemos mostrar que o raio emergente é paralelo ao
incidente com um desvio proporcional à espessura da lente. Como esta é desprezível, o raio não
é desviado.
A figura abaixo mostra alguns exemplos desta construção geométrica, onde utilizamos o símbolo
para as lentes convergentes e
para as divergentes.
3
I
F’
O
F’
1
F
3
2
2
3
3
F’
I
2
4
4
2
O
1
F I O
F
4
1
F’ O
I
F
4
1
c. Amplificação transversal linear
Considere um objeto de altura h , como mostra a
B
figura
h
D
C
A
p
lado.
Sua
imagem
terá
altura
h'.
Construímos, na figura, uma imagem real e invertida,
h’
q
ao
E
mas as propriedades que abaixo descreveremos são
válidas para qualquer situação.
Observe que os triângulos ABC e CDE são semelhantes, de forma que
DE
AB
=
CD
AC
. De acordo com a
convenção de sinais, devemos ter h = AB , h' = −DE , p = AC e q = CD .
9
Definimos amplificação transversal linear M (ou magnificação, ampliação ou aumento linear) à
razão entre as alturas da imagem e do objeto. Assim, M =
h'
q
= − (14)
h
p
De acordo com a figura acima, tanto p quanto q são positivos de modo que M será negativo. Isso
indica que a imagem será real e invertida. Se p fosse positivo e q negativo, M seria positivo indicando uma
imagem virtual e ereta.
Podemos utilizar a equação das lentes para expressarmos M de outra forma. Seja
modo que
1 1 1
+ = , de
p q f
1 1 1
q

= − . Substituindo em (14), encontramos: M = 1 − 
p f q
f

No caso de lentes fotográficas é mais interessante obter informações sobre o aumento a partir da
−1
p
p

distância do objeto. Note que M = −  o que, usando (14), nos leva a: M = 1 − 
f

q
−1
Para se fotografar objetos distantes é muito útil utilizar as teleobjetivas. Para uma câmera mono
reflex de 35 mm encontra-se no mercado teleobjetivas cujas distâncias focais variam desde 85 mm até
1000 mm. Se um objeto se encontra a grande distância, a razão p/f torna-se muito maior que a unidade e a
amplificação torna-se igual a
M=−
f
para p >> f
p
o que significa que se desejarmos uma maior amplificação, devemos usar uma objetiva de maior distância
focal.
ESPELHOS ESFÉRICOS
Os espelhos esféricos, sejam eles côncavos ou convexos, também formam imagens reais ou
virtuais. Mostraremos neste tópico que a fórmula que descreve o comportamento dos pontos conjugados é
igual à das lentes finas para raios paraxiais. Contudo, como agora temos uma superfície refletora ao invés
de refratora, haverá uma mudança de interpretação dos sinais das distâncias e dos raios de curvatura
envolvidos.
10
a. A fórmula do espelho
B
θ
β
I
α
O
C
θ
γ
A
q
r
p
Seja um espelho esférico, de raio r, cuja curvatura, vista pelo raio incidente, é côncava. Este
espelho é convergente. Suponha um ponto O, situado a uma distância p do vértice A, emitindo um feixe de
luz que caminha na direção OB formando um ângulo α com o eixo óptico. Este raio é refletido no espelho e
intercepta o eixo no ponto I, situado a uma distância q do espelho, formando um ângulo γ com o eixo. Note
que, aplicando o teorema do ângulo externo no
∆OBC obtemos β = α + θ. Do ∆OBI obtemos γ = α + 2θ.
Substituindo o valor de θ em ambas equações, obtemos γ = α +2β - 2α, ou seja γ + α = 2β
Contudo, na aproximação paraxial devemos ter α ≈
fórmula do espelho:
AB
,
p
β=
AB
r
e
γ≈
AB
, o que nos leva à
q
1 1 2
+ =
p q r
Observe que esta fórmula independe dos ângulos acima citados, o que indica que qualquer raio
partindo de O deve se concentrar em I. É claro que isto está restrito ao caso paraxial. O ponto I será
portanto a imagem de O.
Suponha agora que objeto O esteja a uma distância muito grande do
espelho, ou seja p ⇒ ∞ e os raios incidentes serão paralelos ao eixo óptico.
F’
Os raios refletidos deverão se concentrar em um ponto F' denominado de
ponto focal secundário situado a uma distância do vértice q = f ' =
f’
r
2
chamado de distância focal secundária.
Por outro lado, se o ponto O se localizar no ponto focal primário F,
localizado a uma distância
p = f
=
r
, chamada de distância focal
2
primária, a imagem irá se formar no infinito, isto é os raios refletidos serão
F
paralelos. Note que os focos primário e secundário coincidem e ambas
distâncias focais serão iguais a f = f ' =
r
.
2
f
11
É devido a este fato que usaremos apenas uma das distâncias focais quando formos representar
um espelho. Desta forma a formula do espelho terá a mesma forma da fórmula das lentes, isto é
1 1 1
+ = v
p q f
Façamos uma discussão acerca dos sinais das grandezas
envolvidas. Para isto suponha que O esteja localizada a uma
distância p < f de modo que, usando a fórmula do espelho
I
F
acima, devemos encontrar uma distância q negativa. A figura ao
lado ilustra esta situação e se vê claramente que os raios
O
refletidos irão divergir do eixo, mas eles se comportam como se
divergissem de um ponto I localizado à direita do vértice. Temos,
portanto, o caso de uma imagem virtual cuja distância ao
espelho é negativa.
Discutimos até agora um espelho convergente. O que sucederia com um divergente, isto é, um
espelho cuja superfície, vista pelo feixe incidente é convexa ? Afirmaremos inicialmente, sem provar, que a
fórmula do espelho continua inalterada para este caso. Contudo haverá uma modificação na interpretação
dos sinais das distâncias envolvidas, como se segue.
Suponha um feixe de luz incidente paralelo ao eixo óptico (
isto é p ⇒ ∞ ) como se vê na figura ao lado. Aplicando a lei da
reflexão nota-se claramente que o feixe refletido será divergente,
F
mas o prolongamento do mesmo à direita do vértice interceptará
o eixo óptico em um ponto F localizado a uma distância f do
espelho. Da discussão anterior vimos que esta distância é
negativa pois a imagem é virtual.
Por outro lado, sabemos que f =
r
o que nos leva à
2
conclusão de que o raio de curvatura r é negativo. Observe que
no caso das superfícies refringentes, uma superfície convexa
tinha um raio de curvatura positivo! Se os raios incidentes
F
estiverem convergindo para o ponto F, os raios refletidos serão
paralelos. Isto eqüivale a dizer que q ⇒ ∞ e que p = f =
r
.
2
Como r é negativo, f e p também o serão pois se encontram à
direita do vértice.
Como se vê os sinais das grandezas dependerão da localização do objeto e da imagem, bem como
da curvatura da superfície refletora. A interpretação de alguns sinais estão em completa oposição àquelas
que foram estabelecidas para o caso das superfícies refringentes, de modo que deveremos restabelecer
uma nova convenção de sinais.
12
b. Convenção de Sinais
•
Todas a figuras serão traçadas com o feixe incidente caminhando da esquerda para a direita e o feixe
refletido da direita para a esquerda.
•
As distâncias p do objeto e q da imagem serão positivas se estes se encontram à esquerda do vértice
e negativas quando à direita
•
A distância focal de um espelho convergente é positiva e para um espelho divergente é negativa.
•
O raio de curvatura é positivo quando a superfície, vista pelo raio incidente, é côncava e negativo se a
superfície é convexa.
•
A altura do objeto ou da imagem é positiva se medida acima do eixo óptico e negativa quando abaixo.
c. Construção geométrica de imagens formada por espelhos esféricos.
Da mesma forma que fizemos com as lentes, podemos construir as imagens formada por um espelho
utilizando algumas propriedades já estudadas. São elas:
1 Todo o raio que percorre o eixo óptico (eixo que passa pelo centro de curvatura do espelho e
pelo vértice) não é desviado.
2 Raios incidentes paralelos ao eixo óptico passam pelo (ou divergem do) ponto focal após a
reflexão
3 Raios incidentes que passam pelo (ou convergem para) ponto focal, emergem, após a reflexão,
paralelamente ao eixo óptico.
4 Raios que incidem exatamente no vértice são refletidos sob o mesmo ângulo em relação ao eixo
óptico. (Isto porque o eixo óptico passa pelo centro de curvatura do espelho e é, portanto, normal
à superfície)
Exemplos:
3
I
1
F
1
O
F
O
2
3
4
I
4
2
2
3
1
F
I
O
4
13
d. Amplificação linear
Considere um objeto de altura h localizado a
B
uma distância p do vértice. Sua imagem, de
altura h', estará localizada a uma distância q do
h
C
D
A
espelho. A
amplificação linear é definida
como a razão M =
h’
ao lado, os
E
q
p
modo que
h'
. De acordo com a figura
h
∆ABC e ∆CDE são semelhantes de
DE
AB
=
CD
CA
.
Mas, de acordo com a convenção de sinais teremos: DE = −h' , AB = h , CD = q e CA = p . Desta forma,
a amplificação será portanto M = −
q
.
p
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