Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em
Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior
Aula 8 - Questões Comentadas e Resolvidas
Variável Aleatória: definição, função discreta de probabilidade, função
de distribuição de probabilidade, função densidade de probabilidade.
Valor Esperado: média, variância e valor esperado de função de
variável aleatória. Desigualdade de Chebyshev. Principais distribuições
de probabilidade (binomial, Poisson, normal etc.).
1. (Analista do BACEN/Área 3/2005/FCC) O número de televisores
modelo M vendidos diariamente numa loja é uma variável aleatória discreta
(X) com a seguinte distribuição de probabilidades:
O preço unitário de venda do televisor modelo M é de R$ 1.000,00. Se num
determinado dia a receita de vendas referente a este modelo for inferior a R$
3.000,00, a probabilidade dela ser positiva é
A) 20%
B) 30%
C) 50%
D) 60%
E) 75%
Resolução
PRELIMINARES
A Noção de Variável Aleatória
Uma variável aleatória é uma descrição numérica do resultado de um
experimento.
Por exemplo, considere o experimento "contactar cinco clientes". Seja X a
variável aleatória que representa o número de clientes que colocam um pedido
de compra. Então os valores possíveis de X são 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
Uma variável aleatória X é denominada discreta se assume valores num
conjunto contável ou enumerável (como o conjunto dos números inteiros Z ou
o conjunto dos números naturais N ) , com certa probabilidade. Formalmente,
uma variável aleatória é uma função, e não uma "variável" propriamente
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dita. A variável aleatória do exemplo anterior é discreta. Também são
exemplos de variáveis aleatórias discretas:
•
Número de coroas obtido no lançamento de duas moedas;
•
Número de itens defeituosos
aleatoriamente, de um lote;
•
Número de defeitos em
produção.
um
em
uma
carro que sai
amostra
retirada,
de uma
linha
de
Vejamos um outro exemplo. Considere o lançamento de duas moedas
mencionado acima. O espaço amostral (isto é, o conjunto de todos os
resultados possíveis do experimento) é
{(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)},
e os valores que a variável aleatória X (número de coroas) pode assumir são
X = {0, 1, 2}.
Observe que o valor x = 0 está associado ao resultado (cara, cara), o valor x =
1 está associado aos resultados (cara, coroa) e (coroa, cara) e o valor x = 2
está associado ao resultado (coroa, coroa).
Uma variável aleatória contínua é uma função que associa elementos do
espaço amostral ao conjunto dos números reais (conjunto não enumerável).
Exemplos de variáveis aleatórias contínuas:
•
Tempo de resposta de um sistema computacional;
•
Volume de água perdido por dia, num sistema de abastecimento;
•
Resistência ao desgaste de um tipo de aço, num teste padrão.
Voltemos à resolução da questão. Muitas vezes, o fato de sabermos que certo
evento ocorreu faz com que se modifique a probabilidade que atribuímos a
outro evento. Denotamos por P(A|B) a probabilidade do evento A, sabendo que
B ocorreu, ou probabilidade de A condicionada a B. Temos
A questão pede que o candidato calcule a probabilidade de a receita de vendas
num dado dia ser positiva sabendo-se que ela é inferior a R$ 3.000,00 naquele
mesmo dia, ou seja, deve ser calculada a probabilidade condicional
P(receita de vendas > 0 | receita de vendas < R$ 3.000,00).
Ora, a probabilidade acima é igual à probabilidade
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em que X é a variável aleatória que denota o número de televisores modelo M
vendidos diariamente.
Precisamos encontrar o valor da incógnita p para resolver a questão. Para tal,
usaremos a equação
Então,
p + 1,5p + 1,5p + p = 1
Assim:
X
P(x)
0
0,20
1
0,30
2
0,30
3
0,20
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,20 + 0,60 = 0,80
Logo,
75%
GABARITO: E
2. (BACEN/Área 2/2010/CESGRANRIO/Adaptada) A variável aleatória
contínua x tem a seguinte função de densidade de probabilidade:
para todos os outros valores de x.
Sendo k uma constante, seu valor é igual a
A) 1
B) -3/4
C) 2/3
D) -5/24
E) 1/12
Resolução
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Função Densidade de Probabilidade
Diz-se que f(x) é uma função contínua de probabilidade ou função densidade
de probabilidade para uma variável aleatória contínua X, se satisfaz duas
condições:
2.
a área definida por f(x) é igual a 1.
A condição 2 é dada pela integral (memorize para a prova!)
A figura a seguir ilustra uma função densidade que satisfaz:
que T é uma constante, para
= 0 para os demais valores,
de maneira que a função tem a forma de um pulso retangular. Observe que
f(x) deve ser igual a 1/T para
pois a área sob a função densidade
é unitária (como a base do pulso é T, então a altura do pulso deve ser 1/T,
para que a área do pulso seja igual a 1).
Para calcular probabilidades, temos que, para
A
figura
abaixo
mostra o significado geométrico da fórmula
é igual a área sob f(x) no intervalo [a,b].
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acima:
a
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Observe que a probabilidade de ocorrência de um dado valor isolado "k" é
sempre nula, ou seja, P[x = k] = 0.
Voltemos à resolução. Para determinar o valor de k, basta lembrar que a área
sob a função densidade de probabilidade f(x) é unitária:
Gostaríamos de apresentar para vocês um "bizu" de integração antes de
prosseguir com a resolução da questão. De acordo com a fórmula de NewtonLeibniz, temos que
b. A função F(x) é denominada primitiva de g(x).
x 3 . Assim,
Podemos generalizar a integração exemplificada acima para integrandos do
tipo g(x) = x n , em que n é um valor inteiro:
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Vamos retornar para a resolução? Precisamos substituir a função f(x) na
GABARITO: D
3. (Analista/SUSEP/2006/ESAF) Se a variável X pode assumir um conjunto
infinito (contínuo) de valores, o polígono de freqüência relativa de uma
amostra torna-se uma curva contínua, cuja equação é Y = p(X). A área total
limitada por essa curva e pelo eixo dos X é igual a 1 e a área compreendida
entre as verticais X = a e X = b, sendo a < b e, ambos, contidos na área total
da curva, a probabilidade de X cair neste intervalo a e b é dada por
composta pela soma de P(X=a) + P(X=b).
composta pela integral de P(X=a) até P(X=b).
composta pela soma de P(X=a) - P(X=b).
composta pela integral de P(X=a) até P(X=b).
composta pela P(X=b), de forma cumulativa até o ponto b.
Resolução
Deve-se descartar as opções A, C e E, pois a probabilidade de X cair no
intervalo [a,b] é dada pela seguinte integral (observe que o enunciado afirma
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que "(..) o polígono de freqüência relativa de uma amostra torna-se uma curva
contínua"):
A opção D é incorreta porque o sinal da desigualdade está trocado (P(a>X>b)
no lugar de P(a<X<b)). Logo, B é a opção correta.
GABARITO: B
4. (AFRFB/2009/ESAF/adaptada) A função densidade de probabilidade de
uma variável aleatória contínua x é dada por:
Obs.: c.c. denota "caso contrário".
Para esta função, a média de x, também denominada expectância de x e
denotada por E(x) é igual a:
Resolução
PRELIMINARES
A Noção de Média ou Expectância de Variável Aleatória
A média (também conhecida como valor esperado, expectância ou
esperança) é uma medida de posição de uma função de probabilidade,
servindo para localizar a função sobre o eixo de variação da variável em
questão. Em particular, a média caracteriza o centro de uma função de
probabilidade. A média é uma característica numérica de uma função de
probabilidade.
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Se X for uma variável aleatória discreta que pode tomar os valores x 1 , x 2 , ...,
xn com probabilidades f(x1), f(x2), ..., f(xn), então a média de X é definida por
em que E denota o operador esperança matemática. A média de X também
é usualmente representada por
(leia-se "X barra") ou pela letra grega
(leia-se "mi").
Se a variável aleatória discreta X puder tomar um número infinito de valores,
então a fórmula anterior pode ser generalizada na forma
O valor esperado de uma variável aleatória contínua X com densidade de
probabilidade fX(x) é dado pela integral
Voltemos à resolução. Primeiramente, devemos descartar as opções D e E,
pois a média de uma variável aleatória é um número. Observe que as opções
apontadas são funções de x e não números!
Vimos que o cálculo da esperança E[X] da variável aleatória contínua X é feito
pela integração
Observe que a função densidade de probabilidade é nula para x < -1 e x > 0.
Logo o limite inferior da integral é -1 e o superior é 0. Portanto,
Como a primitiva da integral
temos que
GABARITO: C
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5. (AFRFB/2009/ESAF) A tabela mostra
relativas populacionais (f') de uma variável X:
X
- 2
1
2
a
distribuição
de freqüências
f '
6a
1a
3a
Sabendo que "a" é um número real, então a média e a variância de X são,
respectivamente:
Resolução
PRELIMINARES
Valor Esperado de Função de Variável Aleatória
Seja X uma variável aleatória discreta com função de probabilidade fX(xi) e
g(X) uma função de X. Então o valor esperado de g(X) é
Caso X seja uma variável aleatória contínua com
probabilidade fX(x), o valor esperado de g(X) é dado por
densidade
de
Se g(X) = g1(X) + g2(X), em que g1(X) e g2(X) também são funções de X, então
vale
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Relacionamos abaixo algumas propriedades importantes da esperança
matemática E(.). Sejam "a" e "c" valores constantes e X uma variável aleatória
(tanto faz se contínua ou discreta), então valem:
1.
a média de um número qualquer "c" é o próprio número
"c";
a média de uma variável multiplicada por um
número é igual ao número multiplicado pela média de X;
a média da soma de um número qualquer
"a" com a variável X multiplicada por um número qualquer c é igual à
soma do número "a" com a média de X multiplicada por "c".
O Conceito de Variância
Sejam X uma variável aleatória (discreta ou contínua)
função de X. Define-se a variância de X (denotada por var(X)
valor esperado
Desenvolvamos a expressão acima.
pois colocamos
igualdade e
em evidência
no segundo termo do
lado direito da
A variância de X é igual a média do quadrado de X subtraída da
média de X ao quadrado (memorize para a prova!).
Sejam "a" e "c" constantes e Z = a + cX. Observe que Z é uma transformação
linear de X, porque Z = a+cX define a equação de uma reta com declividade
"c" e intercepto "a". Não é difícil demonstrar que vale a propriedade
A raiz quadrada positiva da variância é chamada de desvio-padrão ou
erro-padrão, sendo denotada pelo símbolo
(memorize para a prova!).
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Voltemos à questão. Em primeiro lugar, deve-se eliminar a opção B, pois não
existe variância com valor negativo. Assim, esta opção é absurda.
Soma das Freqüências Relativas = 6a + 1a + 3a = 10a = 1.
Logo a = 0,1.
X
f '
- 2 6a = 6 x 0,1 = 0,6
1
1a = 1 x 0,1 = 0,1
2
3a = 3 x 0,1 = 0,3
1
Total
X.f '
-1,2
0,1
0,6
-0,5
X 2 .f '
2,4
0,1
1,2
3,7
Vimos que a média de uma variável aleatória discreta é calculada pela fórmula
Para a questão temos
podemos
eliminar
as
opções C e E (sobraram A e D).
A variância é dada por
sendo que
(reparou que a opção D é uma
"pegadinha"?). Logo,
GABARITO: A
6. (Analista/Área 3/BACEN/2006/FCC) Um empresário, investindo em um
determinado empreendimento, espera ter os seguintes lucros em função dos
cenários "Bom", "Médio" e "Ruim":
Cenário
Lucro (R$)
Bom
Médio
Ruim
R$ 8 000,00
R$ 5 000,00
R$ 2 000,00
Distribuição de
Probabilidades do Cenário
0,25
0,60
0,15
A expectância e a variância do lucro são, em R$ e (R$)2, respectivamente,
A) 5 500,00 e 3 160,00
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B) 5 300,00 e 3 510,00
C) 5 300,00 e 3 160,00
D) 5 000,00 e 3 510,00
E) 5 000,00 e 3 160,00
Resolução
Expectância: E(X)
Variância: Var(X) = E(X2) - [E(X)]2
E(X) = ZX.P(X) = 8 x 0,25 + 5 x 0,60 + 2 x 0,15 = 5,3 mil = 5.300,00
E(X2) = 8 2 x 0,25 + 5 2 x 0,60 + 2 2 x 0,15 = 31,6 mil
Var(X) = 31,6 - 5,32 = 3,51 mil = 3.510,00
GABARITO: B
7. (AFPS/2002/ESAF) Sejam X1,...,Xn observações de um atributo X. Sejam:
Assinale a opção correta.
A) Pelo menos 95% das observações de X diferem de
menos que 2S.
em valor absoluto por
B) Pelo menos 99% das observações de X diferem de
menos que 2S.
em valor absoluto por
C) Pelo menos 75% das observações de X diferem de
menos que 2S.
em valor absoluto por
D) Pelo menos 80% das observações de X diferem de
menos que 2S.
em valor absoluto por
E) Pelo menos 90% das observações de X diferem de
menos que 2S.
em valor absoluto por
Resolução
Note que todas as opções envolvem a seguinte frase padrão: "pelo menos Y%
em valor absoluto por menos que 2S".
das observações de X diferem de
Vamos equacionar esta frase? Fica da seguinte forma:
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A expressão acima sugere que trata-se de uma questão que cobra a aplicação
da desigualdade de Chebyshev.
Vamos relembrar a definição da desigualdade? Seja X uma variável aleatória
valem as seguintes
relações
correspondem,
Observe que as expressões
respectivamente, à média aritmética e a variância de um conjunto de dados
Suponha que você tenha à sua disposição um número n muito grande
de observações da variável aleatória X. Neste caso, é razoável supor que
(é assim que se faz na prática!). Substituindo
na desigualdade, obtemos
Concluímos que pelo menos 75% das observações de X diferem de
absoluto por menos que 2S.
em valor
GABARITO: C
8. (ICMS-RJ/2010/FGV). 40% dos eleitores de uma certa população
votaram, na última eleição, num certo candidato A. Se cinco eleitores forem
escolhidos ao acaso, com reposição, a probabilidade de que três tenham
votado no candidato A é igual a:
Resolução
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A Distribuição Binomial
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Considere os seguintes experimentos aleatórios e variáveis aleatórias:
1.
Jogue uma moeda 50 vezes. Seja X = número de caras obtidas.
2.
Nos próximos 30 nascimentos em uma maternidade, seja X = número de
nascimentos de meninos.
Cada um desses experimentos aleatórios pode ser pensado como consistindo
em uma série de tentativas aleatórias e repetidas: 50 arremessos de moedas
no experimento (1) e 30 nascimentos de bebês no experimento (2). A variável
aleatória em cada caso é uma contagem do número de tentativas que
satisfazem um determinado critério. O resultado de cada tentativa satisfaz ou
não o critério que X conta; por conseguinte, cada tentativa pode ser
sumarizada como resultando em um sucesso ou um fracasso (falha ou
insucesso), respectivamente. Por exemplo, sucesso, no experimento (1), é a
obtenção de cara no lançamento da moeda. No experimento (2), o nascimento
de uma menina é um fracasso.
Uma tentativa com somente dois resultados possíveis é denominada tentativa
de Bernoulli. Considera-se que as tentativas que constituem o experimento
aleatório sejam independentes. Ou seja, o resultado de uma tentativa não tem
efeito sobre o resultado da tentativa seguinte. Além disso, admitimos que a
probabilidade de um sucesso em cada tentativa seja constante.
Definição:
Um experimento aleatório, consistindo em n repetidas tentativas, de modo que
(1) as tentativas sejam independentes,
(2) cada tentativa resulte em somente dois resultados possíveis, designados
por "sucesso" e "fracasso",
(3) a probabilidade de um sucesso em cada tentativa seja p
é chamado
aleatória X,
distribuição
probabilidade
de experimento de Bernoulli (ou Binomial). A variável
que conta o número de sucessos em n tentativas, tem
binomial (ou de Bernoulli) com parâmetros p e n. A função de
de X (distribuição binomial) é
Se fizermos (1-p) = q (é a probabilidade de insucesso em uma tentativa) na
função de probabilidade acima, obtemos
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Alguns autores optam por definir a distribuição binomial como a probabilidade
de se ter k sucessos em n tentativas:
A figura abaixo mostra a distribuição da Binomial para n = 10 e p = 1/2.
A Tabela a seguir fornece a
Distribuição Binomial.
média, a variância
e o desvio
padrão da
Tabela: Caracterização da Binomial
Voltemos à resolução. A probabilidade de que três eleitores tenham votado no
candidato A (k=3 "sucessos") em n = 5 tentativas, sendo p=0,4 (probabilidade
de sucesso), é dada pela distribuição binomial
Logo,
GABARITO: C
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9. (Analista/SUSEP/2006/ESAF). Um grupo de
seguinte composição etária (em anos):
-
1.000
pessoas tem a
[0 - 20]: 200 pessoas;
[21 - 30]: 200 pessoas;
[31 - 40]: 200 pessoas;
[41 - 50]: 200 pessoas;
de 51 anos em diante: 200 pessoas;
Considerando que as probabilidades média de morte (qx), segundo
determinada tábua, é de:
-
uma
[0 - 20] até 20 anos: 0,600% o (por mil);
[21 - 30]: 0,800% o (por mil);
[31 - 40]: 1,500% o (por mil);
[41 - 50]: 5,000% o (por mil);
de 51 anos em diante: 20,000% o (por mil).
Pode-se afirmar que a possibilidade de ocorrer a morte de exatamente 10
pessoas com idade superior a 51 anos é um evento:
(A) Certo.
(B) Impossível.
(C) Provável.
(D) Muito Provável.
(E) Pouco Provável.
Resolução
O problema é uma mera aplicação da Lei Binomial. Seja X a variável aleatória
que denota o número de mortes de pessoas com idade de 51 anos em diante.
Neste caso, temos um "sucesso" quando alguém desta faixa etária morre. A
probabilidade de sucesso é
Lembre que a
distribuição binomial é dada pela fórmula (probabilidade de X = k sucessos)
Logo, a possibilidade de ocorrer a morte de exatamente 10 pessoas com idade
superior a 51 anos é dada por
P(X = 10) =
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(200^
10
190
X 0,02 X 0,98
íyj
\ 10 J
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Como é proibido usar calculadora na prova, deve-se partir para uma análise
qualitativa dos fatores da probabilidade P(X = 10):
representa um número muito grande;
representa um número "absurdamente" próximo de zero, ou seja, é
um infinitesimal;
representa um número próximo de zero, pois elevar um número
menor que 1, ainda que bastante próximo da unidade, à centésima potência,
resulta em um valor próximo de zero.
Note que, se
também é
é um infinitesimal, então o produto
um infinitesimal (ainda mais próximo de zero que 0,0210).
Assim,
o
número
deve
estar
próximo
de
zero,
pois
corresponde ao produto de um valor muito grande por um infinitesimal. Ou
seja,
é um valor "pouco provável" (opção E).
Nota: obtivemos
com uma calculadora científica.
GABARITO: E
10. (AFRFB/2009/ESAF) O número de petroleiros que chegam a uma
refinaria ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de dois
petroleiros por dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no
máximo três petroleiros em dois dias é igual a:
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A Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson com parâmetro a (a > 0) é dada por
A Tabela a seguir fornece a
Distribuição de Poisson
média, a variância
e o desvio
padrão da
Tabela: Caracterização da Poisson
Observe que a média é igual a variância, e que ambas são iguais ao
parâmetro a.
médio de eventos por unidade da grandeza
A fórmula acima caracteriza o processo de contagem de Poisson, o qual é
apropriado para aplicações que envolvam a contagem do número de vezes que
um evento aleatório ocorre em um dado intervalo de tempo, distância, área,
etc. Algumas aplicações que envolvem a distribuição de Poisson incluem o
número de pessoas que entram em uma loja em uma hora e o número de
falhas por 1.000 metros de fita de vídeo.
Neste ponto, estamos prontos para apresentar a definição formal da Lei ou
Distribuição de Poisson, o que será feito a seguir.
Seja a contagem do número de ocorrências de eventos no intervalo (t, t+T). Se
o intervalo puder ser dividido em subintervalos suficientemente pequenos tal
que
(1) a probabilidade de mais de uma contagem em um subintervalo seja zero,
(2) a probabilidade de uma contagem em um subintervalo seja a mesma para
todos os subintervalos e proporcional ao comprimento do subintervalo e
(3) a contagem
subintervalos,
em
cada
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subintervalo
seja
independente
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outros
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então esse experimento aleatório será designado por processo de Poisson.
Se o número médio de contagens no intervalo for a > 0, a variável aleatória X,
que representa o número de contagens no intervalo, terá uma distribuição de
Poisson, com parâmetro a, dada por
volume, distância, etc. Ou seja, o processo de Poisson não é necessariamente
um processo de contagem no tempo.
Nota: na literatura (e também nas provas!), é bastante comum encontrarmos
a seguinte definição para a Lei (distribuição) de Poisson:
Neste caso,
Observe que a fórmula acima pode ser obtida fazendo-se
subentende-se que o intervalo de contagem é unitário, ou seja, T = 1.
A figura a seguir representa a distribuição de Poisson com
definição
Voltemos ao exercício. Vimos que a distribuição de Poisson pode ser dada por
a taxa média de ocorrência dos eventos por unidade de
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Dados da questão:
Portanto, Ár = 2 x 2 = 4 petroleiros. A probabilidade de a refinaria receber no
máximo três petroleiros em dois dias, denotada por
GABARITO: C
11. (ICMS-SP/2009/FCC) O número de pessoas que chega ao guichê de
uma repartição pública para autuação de processos apresenta uma distribuição
de Poisson a uma taxa de duas pessoas por minuto. A probabilidade de que
nos próximos 2 minutos chegue pelo menos uma pessoa neste guichê é
Observação:
e = 2,71828...
Resolução
A distribuição de Poisson com parâmetro a (a > 0) é dada por
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A probabilidade de que nos próximos 2 minutos chegue pelo menos uma
pessoa é dada por:
GABARITO: A
12. (ICMS-RJ/2009/FGV) O número de clientes que buscam, em cada dia,
os serviços de um renomado cirurgião tem uma distribuição de Poisson com
média de 2 pacientes por dia.
Para cada cirurgia efetuada, o cirurgião recebe R$ 10.000,00. No entanto, ele
consegue fazer o máximo de duas cirurgias em um dia; clientes excedentes
são perdidos para outros para outros cirurgiões.
Assinale a alternativa que indique o valor esperado da receita diária do
cirurgião.
A) R$ 5.600,00
B) R$ 8.400,00
C) R$ 10.000,00
D) R$ 14.400,00
E) R$ 20.000,00
Resolução
Seja R a variável aleatória que representa a receita diária do cirurgião. Essa
variável aleatória só pode assumir três valores possíveis, quais sejam: r1 = R$
0,00 (zero cirurgia), r2 = R$ 10.000,00 (uma cirurgia) e r3 = R$ 20.000,00
(duas cirurgias). Sabe-se que o valor esperado da receita diária do cirurgião,
denotado por E(R), é dado pela fórmula
distribuição de Poisson? A resposta é NÃO e a justificativa é simples: a
distribuição de R é discreta e possui apenas três probabilidades.
A probabilidade do cirurgião não faturar num determinado dia (denotada por
P(R=0)) é igual à probabilidade da variável aleatória X (que representa o
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número de clientes que buscam, em cada dia, o cirurgião) ser igual a zero. De
acordo com o enunciado, X tem distribuição de Poisson. Logo, P(R=0) = P(X=0)
é dada por:
A probabilidade de o cirurgião faturar R$ 10.000,00 num determinado dia
(P(R=10.000)) é igual à probabilidade da variável aleatória X ser igual a um:
O cirurgião consegue fazer o máximo de duas cirurgias em um dia; clientes
excedentes são perdidos para outros cirurgiões. Sendo assim, o cirurgião
faturará R$ 20.000,00 num determinado dia caso seja procurado por 2 ou mais
clientes. Portanto, P(R=20.000) = P(X > 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 0,14 - 0,28 = 0,58.
O valor esperado da receita diária do cirurgião é então
E(R) = 0x0,14 + 10.000,00x0,28 + 20.000,00x0,58 = R$ 14.400,00
GABARITO: D
13. (Analista da SUSEP/Atuária/2010/ESAF).
Resolução
Esta questão aborda o comportamento assintótico da Lei Binomial (lei de
Poisson).
Suponha n >> 1 (isto é, que n seja grande), p << 1 (probabilidade de sucesso
próxima de zero), mas de tal forma que np permaneça constante, digamos np
na distribuição binomial
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Portanto
(admitindo-se k
<< n), obtemos
O resultado acima mostra que a distribuição Binomial pode
aproximada pela Distribuição de Poisson quando n >> 1, p << 1,
ser
GABARITO: B
14. (AFPS/2002/ESAF). A variável aleatória X tem distribuição uniforme no
intervalo
é uma constante maior do que 0,5. Determine o valor
A) 3/4
B) 1/4
C) 1
D) 5/7
E) 1/2
Resolução
PRELIMINARES
Função de Distribuição de Probabilidade
A função de distribuição (ou acumulada) de probabilidade F(x) de uma
variável aleatória X é definida por
A função de distribuição F(x) de uma variável aleatória contínua X pode ser
posta na forma
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em que f(x) denota a função densidade de probabilidade.
Distribuição Uniforme
Uma variável aleatória contínua X com uma função densidade de probabilidade
tem distribuição uniforme (veja a figura a seguir).
A média de uma variável aleatória uniforme é
|
. A
E a variância
Voltemos à resolução de exercício. O enunciado define a distribuição uniforme
ilustrada pela figura abaixo.
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Sabemos que
F(0,5) =
área sob a curva uniforme entre x = 0 e x = 0,5.
Então,
GABARITO: D
(APOFP-SP/2010/FCC/Adaptada) Instruções: para resolver às próximas
duas questões utilize as informações abaixo referentes à distribuição normal
padrão Z:
z
P(0<Z<z)
1,00
0,34
1,25
0,39
1,50
0,43
1,75
0,46
2,00
0,48
2,25
0,49
15. Os salários dos empregados de uma determinada categoria profissional
apresentam uma distribuição normal com média igual a R$ 1.200,00 e desvio
padrão igual a R$ 160,00. A proporção dos empregados com salários
superiores a R$ 1.000,00 e inferiores a R$ 1.520,00 é
(A) 98%
(B) 96%
(C) 92%
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(D) 89%
(E) 87%
Resolução
PRELIMINARES
A Distribuição Normal
Uma variável aleatória X tem distribuição normal (também denominada
aussiana pelos engenheiros) com parâmetros
se sua função densidade
§ dada por
Não fique assustado(a) com a fórmula acima. Você não precisará decorá-la
para a prova, pois os exercícios que envolvam a distribuição normal serão
resolvidos com o auxílio de uma tabela de probabilidades, como será visto
mais adiante.
Neste curso, usaremos a notação
para indicar que X tem
distribuição normal com parâmetros
A figura acima mostra a curva
normal padrão. Repare que o seu formato é parecido com o de um sino.
A distribuição normal possui as seguintes propriedades:
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denotam a média e a variância da
Demonstra-se que os parâmetros
distribuição normal, respectivamente (memorize para a prova!).
Z terá média zero e variância 1. Não é fácil mostrar que Z também tem
distribuição normal, ou seja, Z - N(0, 1). Isso não será feito nesta aula. Diz-se
que Z tem distribuição normal padrão ou normal reduzida. Esta
distribuição é muito importante para a prova.
prova!).
A figura acima mostra que:
- o intervalo
dos valores da distribuição normal;
- o intervalo
contém 95,45% dos valores da distribuição normal.
- o intervalo
contém 99,73% dos valores da distribuição normal.
A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória normal padrão é
usualmente denotada por
Ressaltamos que (memorize para a prova!)
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O apêndice contém tabelas auxiliares que fornecem os valores das seguintes
probabilidades:
Dê uma olhada nas tabelas auxiliares da normal padrão; é importante que
você esteja familiarizado com o uso das tabelas!
Exemplo. Seja a variável aleatória normal padrão Z e as tabelas auxiliares da
normal.
A Tabela II do apêndice da normal reduzida indica que
= 0,1038 (veja a figura a seguir). A Tabela I nos dá esse resultado de forma
direta, pois P(Z>1,26) = 0,1038.
normal
padrão
Atenção: podemos generalizar o resultado (4) para qualquer variável aleatória
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Memorize o resultado acima para a prova, pois o mesmo será muito
utilizado para resolver questões de Estatística que envolvam a distribuição
normal (vide figura a seguir).
normal
Voltemos à questão. De acordo com o enunciado, a distribuição dos salários
dos empregados (variável X) é normal com parâmetros
= 160 (desvio padrão). Pede-se a proporção dos empregados com salários
superiores a R$ 1.000,00 e inferiores a R$ 1.520,00, ou seja, a probabilidade
P[1.000<X<1.520].
Seja a nova variável Z
que
em que Z é a normal padrão. Aprendemos
A tabela da normal padrão fornece as seguintes probabilidades:
padrão é simétrica em relação à origem z =0.
GABARITO: E
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16. A distribuição das medidas dos cabos fabricados por uma indústria é
considerada normal. Sabe-se que 7% dos cabos medem no máximo 2,4
metros e apenas 2% medem no mínimo 16,4 metros. A média das medidas
destes cabos é igual a
(A) 9,4 metros.
(B) 8,4 metros.
(C) 8,2 metros.
(D) 8,0 metros.
(E) 7,8 metros.
Resolução
Foram dadas as seguintes probabilidades: P(X<2,4) = 0,07 e P(X>16,4) =
0,02. É razoável supor que a banca tenha fornecido dois valores extremos da
normal (x1 = 2,4 e x 2 =16,4) e que a média esteja situada em algum valor entre
os dois extremos (uma rápida olhada nas opções confirma essa suspeita!).
De acordo com a tabela, P(0<Z<1,5) = 0,43 = P(-1,5<Z<0) (lembre que a
normal é simétrica). Logo, P(Z<-1,5) = 0,5 - P(-1,5<Z<0) = 0,5 - 0,43 =
0,07, o que nos leva a afirmar (sem medo de errar!) que z=-1,5 é o valor
transformado de x=2,4. Similarmente, P(Z>2,0) = 0,5 - P(0<Z<2,0) = 0,5 0,48 = 0,02, e isto indica que z=2,0 corresponde ao valor reduzido de x=16,4.
A média
das medidas dos cabos é então determinada resolvendo-se o
seguinte sistema de equações:
COMENTÁRIOS ADICIONAIS
O fato dos erros associados às medições serem bem modelados pela
distribuição normal é um dos motivos de sua grande popularidade. Além disso,
a distribuição da soma de um grande número de observações
independentes e identicamente distribuídas tende para a distribuição
normal. Este teorema, denominado "Teorema Central do Limite", será
apresentado de forma mais detalhada em outra aula.
Propriedade reprodutiva da Distribuição Normal
variáveis aleatórias normais e independentes, com
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são constantes, será uma variável aleatória normal com
e variância
Então a média da soma de n variáveis normais e independentes é igual à soma
das n médias individuais
e a variância da soma de n variáveis normais e independentes é igual à soma
das variâncias individuais
GABARITO: B
O enunciado a seguir refere-se às próximas duas questões.
Seja X uma variável aleatória com densidade de probabilidade
para os demais valores.
17. A probabilidade de se obter X maior do que 0 é
(A) 0
(B) 0,75
(C) 0,25
(D) 0,5
(E) 1
Resolução
O
gráfico
da
função
densidade
de
probabilidade
representado abaixo. A probabilidade de se obter X maior do que 0 é, por
definição, igual à área sob f(x), a qual é unitária, pois representa a
probabilidade do evento certo. Conferindo:
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GABARITO: E
18. A probabilidade de se obter X maior do que 0,5 é
(A) 0
(B) 0,75
(C) 0,25
(D) 0,5
(E) 1
Resolução
A probabilidade de se obter X maior do que 0,5 é igual à área sob f(x) no
GABARITO: C
19. (AFPS/2002/ESAF) A média e o desvio-padrão obtidos num lote de
produção de 100 peças mecânicas são, respectivamente, 16kg e 40g. Uma
peça particular do lote pesa 18kg. Assinale a opção que dá o valor padronizado
do peso da bola.
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A) -50
B) 0,05
C) 50
D) -0,05
E) 0,02
Resolução
Dados fornecidos:
- peso de uma peça = 18kg = 18 x 1.000g = 18.000g
Valor padronizado:
(18.000 - 16.000)/40 = 2.000/40 = 50
GABARITO: C
20. (AFPS/2002/ESAF) O atributo X tem distribuição normal com média 2 e
variância 4. Assinale a opção que dá o valor do terceiro quartil de X, sabendose que o terceiro quartil da normal padrão é 0,6745.
A) 3,3490
B) 0,6745
C) 2,6745
D) 2,3373
E) 2,7500
Resolução
Dados fornecidos:
Sabemos que o valor padronizado é dado pela fórmula
Aplicando a fórmula acima para o terceiro quartil da normal padrão, obtemos
0,6745 = (x - 2)/2 ^ x = 1,3490 + 2 = 3,3490
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GABARITO: A
21. (ICMS-RJ/2008/FGV) Dentre as distribuições
seguir, aquela em que E(X) = E(X-E(X))2 é:
de
probabilidades
a
A) de densidade
B) de densidade
Resolução
A relação E(X) = E(X-E(X))2 pode ser reescrita como
(média igual a
variância da distribuição). Vimos que a média é igual a variância da
distribuição de Poisson. Logo a resposta é a letra D. Não obstante,
analisemos as alternativas restantes com atenção.
Análise das demais alternativas
(A) a distribuição
é a normal padrão, que
INCORRETA.
(B) a distribuição
é a uniforme, em que
e
INCORRETA.
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é a binomial, que possui
(C) a distribuição
INCORRETA.
(E) a distribuição
é
a
hipergeométrica
associada a um conjunto com (N+M) elementos, em que há N sucessos e M
fracassos; n representa o número de elementos selecionados de forma
aleatória e sem reposição a partir dos (N+M) elementos. Neste caso, temos
que
em que p denota a probabilidade de sucesso e
INCORRETA.
GABARITO: D
22. (ICMS-RJ/2007/FGV) Um candidato se submete a uma prova contendo
três questões de múltipla escolha precisando acertar pelo menos duas para ser
aprovado. Cada questão apresenta cinco alternativas, mas apenas uma é
correta. Se o candidato não se preparou e decide responder a cada questão ao
acaso, a probabilidade de ser aprovado no concurso é igual a:
A) 0,200.
B) 0,040.
C) 0,096.
D) 0,008.
E) 0,104.
Resolução
Trata-se de aplicação da distribuição Binomial. O "chute" a ser dado em
cada questão da prova é uma tentativa de Bernoulli (n = 3 tentativas), em que
p = 1/5 e (1-p)=4/5. Seja X a variável aleatória que denota o número de
questões certas. Então a probabilidade de acertar pelo menos 2 questões
(numa prova de 3 questões de múltipla escolha) é dada por
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GABARITO: E
23. (Assistente Técnico-Administrativo do MF/2009/ESAF) Ao se jogar
um dado honesto três vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de o
número 1 sair exatamente uma vez?
A) 35%
B) 17%
C) 7%
D) 42%
E) 58%
Resolução
I - Utilizando a Distribuição Binomial:
P(n,x) = probabilidade de ocorrer exatamente x vezes o evento "A", após n
repetições.
Evento "A" = sair um número igual a
Complementar de "A" = A ' = não sair um número igual a 1
n= 3 vezes
x = 1 (1 sair exatamente uma vez)
GABARITO: A
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24. (APOFP-SP/2009/ESAF) Seja Z uma variável aleatória Normal Padrão.
Dados os valores de z e de P(Z < z) a seguir, obtenha o valor mais próximo de
P(-2,58 < Z < 1,96).
z
P(Z < z )
1,96
0,975
2,17
0,985
2,33
0,99
2,41
0,992
2,58
0,995
A) 0,99
B) 0,97
C) 0,98
D) 0,985
E) 0,95
Resolução
Z => variável aleatória normal padrão
Sabemos que:
GABARITO: B
25. (AFTM-RN/2008/ESAF) Numa distribuição Binomial, temos que:
I. A E[x] = n p q, ou seja, é o produto dos parâmetros n - número de
elementos da avaliação, p - probabilidade de ocorrência do evento e q probabilidade contrária (q = 1 - p).
II. O desvio-padrão é dado pela raiz quadrada do produto entre os parâmetros
n e p.
III. A variância é dada pelo somatório dos quadrados dos valores (Xi) menos o
quadrado da média.
Apontando os três itens acima como V - Verdadeiro e F - Falso, a opção
correta é:
A) F, V, F
B) V, V, F
C) F, F, F
D) V, F, F
E) V, V, V
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Resolução
Esperança da distribuição binomial: E(X) = np
Variância da distribuição binomial: Var(X) = np(1-p)
Vamos analisar as alternativas:
I. A E[x] = n p q, ou seja, é o produto dos parâmetros n - número de
elementos da avaliação, p - probabilidade de ocorrência do evento e q probabilidade contrária (q = 1 - p).
Esperança da distribuição binomial: E(X) = np. O item é FALSO.
II. O desvio-padrão é dado pela raiz quadrada do produto entre os parâmetros
n e p.
Variância da distribuição binomial: Var(X) = np(1-p)
Desvio-Padrão = [np(1-p)]1/2 => é dado pela raiz quadrada do produto entre
n, p e (1-p). O item é FALSO.
III. A variância é dada pelo somatório dos quadrados dos valores (Xi) menos o
quadrado da média.
A fórmula geral da variância é: Var(X) = E(X2) - [E(X)]2 => ou seja, é a média
dos quadrados do valores menos o quadrado da média. O item é FALSO.
Lembre que a variância da distribuição binomial é np(1-p).
GABARITO: C
26. (Analista Técnico da SUSEP/2006/ESAF) Em uma casa de jogos
(Bingo S/A, por exemplo) a premiação será de R$ 10,00, para quem obtiver
uma face de número primo ao jogar um dado honesto e de R$ 20,00, para
quem obtiver outra alternativa (face de número não primo). Para N jogadas
(sendo N um número suficientemente grande de jogadas), o valor médio da
aposta, ou seja, o valor esperado, será de:
A) R$ 10,00
B) R$ 10,33
C) R$ 13,33
D) R$ 15,00
E) R$ 17,33
Resolução
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} => n(S) = 6
E = número primo = {2, 3, 5} => um número é primo quando somente é
divisível por 1 e por ele mesmo => n(E) = 3
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P(número primo) = 3/6 = 1/2 => Premiação (primo) = R$ 10,00
E ' = número não primo = {1, 4, 6} => n(E') = 3
P(número não primo) = 3/6 = 1/2 => Premiação (não primo) = R$ 20,00
Valor esperado da variável aleatória X para um número N, suficientemente
grande, de jogadas:
E(X) = P(número primo) x premiação(primo) +
premiação(não primo)
P(número não primo) x
E(X) = (1/2) x 10 + (1/2) x 20 = 30/2 = R$ 15,00
GABARITO: D
27. (Analista Técnico da SUSEP/2006/ESAF) Sendo X uma v. a. d. variável aleatória discreta e sendo Y = aX + b, pode concluir-se que var (aX +
b) é igual a:
A) = var X.
B) = E(X2) - (EX)2.
C) = E(X - E(X))2.
D) = a 2 var X.
E) = a 2 var X - b.
Resolução
Var(cX) = c2 Var(X), sendo c = constante
Var(X + a) = Var (X), sendo a = constante.
Var(aX + b) = a2 Var(X)
GABARITO: D
O enunciado abaixo refere-se às próximas quatro questões.
Após vários anos de magistério no ensino superior, um professor de Estatística
constatou que, em sua aula na graduação, a função de probabilidade de X,
variável aleatória que representa o número de alunos ausentes às sextasfeiras, é a seguinte
X
f(x)
0
0,010
1
0,020
2
0,310
3
0,320
4
0,240
5
0,080
6
0,019
7
0,001
28. Então a probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 alunos
estarão ausentes é
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(A) 0,63
(B) 0,13
(C) 0,87
(D) 0,56
(E) 1
Resolução
A probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 estarão ausentes é
dada por
GABARITO: C
29. O valor esperado da variável aleatória X é
(A) 3,08
(B) 3,26
(C) 2,12
(D) 0,32
(E) 0,96
Resolução
Logo, E[X]
GABARITO: A
30. O valor esperado de Y = 5X + 4 é
(A) 4
(B) 3,1
(C) 15,4
(D) 19,4
(E) 81
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Resolução
GABARITO: D
31. A variância de X é
(A) 9,49
(B) 1,22
(C) 10,71
(D) 20,305
(E) 85,525
Resolução
Então,
GABARITO: B
32. (AFPS/2002/ESAF) Tem-se uma variável aleatória normal X com média
Assinale a opção que dá o intervalo contendo exatamente
95% da massa de probabilidades de X
Resolução
Esta questão é trivial. Aprendemos que
95% (resultado que deve ser memorizada para
a prova!)
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GABARITO: E
33. (Analista Ministerial/Estatística/MPE-PE/2006/FCC) Seja X uma
variável aleatória assumindo os valores -2 e 2, com probabilidade 1/4 e 3/4,
respectivamente.
a média de X. Então o limite superior de
obtido pela desigualdade de Tchebysheff, é dado por
A) 0,40
B) 0,25
C) 0,20
D) 0,12
E) 0,10
Resolução
A Desigualdade de Tchebysheff pode ser dada pela expressão
Dados:
calcular a média
distribuição de probabilidades de X (logo é possível
Então
GABARITO: B
(AFTM-SP/2007/FCC/Adaptada) Instruções: para responder à próxima
questão, utilize, dentre as informações abaixo, as que julgar adequadas. Se Z
tem distribuição normal padrão, então:
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P(0< Z < 1) = 0,341, P(0< Z < 1,6) = 0,445, P(0< Z < 2) = 0,477
34. Os depósitos efetuados no Banco B, num determinado mês, têm
distribuição normal com média R$ 9.000,00 e desvio padrão R$ 1.500,00. Um
depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em
questão. A probabilidade de que o depósito exceda R$ 6.000,00 é de
A) 97,7%
B) 94,5%
C) 68,2%
D) 47,7%
E) 34,1%
Resolução
Dados: X é uma variável aleatória normal com
Normal padrão:
97,7%
GABARITO: A
35. (AFTE-RS/2009/Fundatec) Seja
normalmente distribuída com média
P(Z < - 1 ) = 0,1587 e P(Z > 2) = 0,0228. Seja
normalmente distribuída com média
P(180<X<240), é:
Z uma variável aleatória contínua
zero e desvio padrão um. Seja
X uma variável aleatória contínua
200 e desvio padrão 20, então
A) 0,9772
B) 0,8413
C) 0,3413
D) 0,8185
E) 0,4772
Resolução
Dados: X1 = 180, X2 = 240, P(Z < - 1 ) = 0,1587 e P(Z > 2) = 0,0228 .
Z1 = (180 - 200)/20 = -1
Z2 = (240 - 200)/20 = 2
Pede-se P(180<X<240) = P(-1<Z<2).
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P(-1<Z<2) = P(-1<Z<0) + P(0<Z<2)
Mas P(-1<Z<0) = 0,5 - P(Z<-1) e P(0<Z<2) = 0,5 - P(Z>2). Logo,
P(-1<Z<2) = 0,5 - P(Z<-1) + 0,5 - P(Z>2) = 0,5 - 0,1587 + 0,5 - 0,0228 =
0,8185 (opção D).
GABARITO: D
36. (AFTE-RS/2009/Fundatec) Seja X uma variável aleatória contínua, com
A) 0,5
B) 0
C) 2/3
D) 1
E) 1/3
Resolução
O gráfico da figura acima ilustra a forma da função densidade de probabilidade
de X, denotada por f(x). Como f(x) é simétrica em relação a zero, temos
que a média de X é zero (opção B). Repare que resolvi a questão sem fazer
nenhuma conta! Bastou saber esboçar o gráfico de f(x).
Por completeza, calcularei o valor da constante "c". Sabemos que a área sob
f(x) é unitária. Então,
2 x (área do triângulo retângulo delimitado por 0<x<1/c) = 1
2 x (base x altura)/2 = 1
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base x altura = 1
A figura a seguir mostra o gráfico de f(x).
GABARITO: B
37. (ICMS-RJ/2011/FGV/Adaptada) Assuma que uma distribuição de
Bernoulli tenha dois possíveis resultados n=0 e n = 1, no qual n = 1 (sucesso)
ocorre com probabilidade p, e n=0 (falha) ocorre com probabilidade
Sendo 0<p<1, a função densidade de probabilidade é
Resolução
A distribuição Binomial (ou de Bernouilli) nos dá a probabilidade de k sucessos
em n tentativas:
De acordo com o enunciado, a distribuição possui somente dois possíveis
resultados: X=0 (zero sucesso) e X=1 (um sucesso). Logo, está implícito que
há somente uma tentativa (n=1 na fórmula acima). Então, a probabilidade de
0 sucesso em uma tentativa é
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e a probabilidade de um sucesso em uma tentativa é
Agora é preciso compatibilizar a nossa notação com aquela que foi usada pela
banca no enunciado. Substitua a variável aleatória X por n nas probabilidades
acima: P(n = 0) = p 0 (l-p) 1 e P(n = 1) = p'(l-p) 0 .
Observe que as fórmulas das probabilidades
podem ser
generalizadas pela expressão
Questãozinha "boa", não é mesmo? A banca "brincou" com a notação e cobrou
o significado da distribuição binomial.
GABARITO: A
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Exercícios de Revisão
38. (Profissional Básico - Engenharia/BNDES/2008/Cesgranrio) Para
um estudo sobre a distribuição de salário mensal dos empregados de uma
empresa foram coletados os salários de uma amostra aleatória de 50
empregados. Os resultados amostrais levaram à construção da distribuição de
freqüência abaixo. Não existem observações coincidentes com os extremos das
classes.
Classe (em
salários
mínimos)
1 - 3
3 - 5
5 - 7
7 - 11
Frequência
relativa
acumulada
40
70
90
100
A média aritmética e a variância amostral valem, aproximadamente,
Média amostral
(em salários mínimos)
Variância amostral
(em salários mínimos 2 )
2,6
2,6
4,1
4,1
7,2
2,2
2,9
2,9
5,0
12,1
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Resolução
O enunciado menciona que o conjunto de dados é proveniente de uma amostra
aleatória. Por enquanto, considere que uma amostra aleatória é um conjunto
de dados. Lembre-se de que estudaremos o assunto Amostragem em uma aula
posterior.
Quando os dados são agrupados, todos os valores incluídos num certo
intervalo de classe são considerados coincidentes com o ponto médio do
intervalo.
Fórmulas para resolver a questão:
em que os fi's denotam as frequências e os x/s são os pontos médios de cada
classe.
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(*) Lembre que caso os dados estejam associados a uma amostra, o fator n
que aparece no denominador do lado direito da fórmula (15) deve ser
substituído por n-1.
A tabela abaixo será usada no cálculo da média aritmética e da variância.
Variância amostral:
A opção que contém os valores mais próximos aos que foram calculados é a
alternativa D.
GABARITO: D
39. (IBGE - Estatística/2010/Cesgranrio) Um comitê é formado por três
pesquisadores escolhidos dentre quatro estatísticos e três economistas. A
probabilidade de não haver nenhum estatístico é
A) 1/35
B) 4/35
C) 27/243
D) 64/243
E) 3/7
Resolução
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A probabilidade P de não haver nenhum estatístico em um comitê formado por
três pesquisadores escolhidos dentre quatro estatísticos e três economistas
P = (no de resultados favoráveis)/(n o de resultados possíveis).
no de resultados possíveis = C 7 , 3 = 7!/(4! x 3!) = 35
no de resultados favoráveis = 1 (só existe uma maneira de formar um comitê
de 3 pesquisadores )
Então P = 1/35
GABARITO: A
40. (Administrador(a) Júnior Petrobrás /2010/Cesgranrio) Em um
posto de combustíveis entram, por hora, cerca de 300 clientes. Desses, 210
vão colocar combustível, 130 vão completar o óleo lubrificante e 120 vão
calibrar os pneus. Sabe-se, ainda, que 70 colocam combustível e completam o
óleo; 80 colocam combustível e calibram os pneus e 50 colocam combustível,
completam o óleo e calibram os pneus. Considerando que os 300 clientes
entram no posto de combustíveis para executar uma ou mais das atividades
acima mencionadas, qual a probabilidade de um cliente entrar no posto para
completar o óleo e calibrar os pneus?
(A) 0,10
(B) 0,20
(C) 0,25
(D) 0,40
(E) 0,45
Resolução
Dados:
- de um total de 300 clientes (= espaço amostral), 210 colocam combustível,
130 completam o óleo e 120 calibram os pneus;
- 70 clientes colocam combustível e completam o óleo, 80 colocam combustível
e calibram os pneus e 50 colocam combustível, completam o óleo e calibram
os pneus.
Resolveremos a questão usando a técnica do Diagrama de Venn. Note que 50
clientes colocam combustível, completam o óleo e calibram os pneus. O
diagrama abaixo mostra que a interseção entre os três conjuntos (combustível,
óleo e pneus) é composta por 50 clientes.
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Setenta (70) clientes colocam combustível e completam o óleo (adicionei 20
clientes à interseção entre os conjuntos combustível e óleo):
Oitenta (80) clientes colocam combustível e calibram os pneus (adicionei 30
clientes à interseção entre os conjuntos combustível e pneus):
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Duzentos e dez clientes (210) colocam combustível. Logo, temos que adicionar
210 - (30 + 50 + 20) = 110 clientes que entram no posto somente para
colocar combustível ao conjunto combustível:
Finalmente, completarei o diagrama com as variáveis X, Y e Z, que denotam,
respectivamente, o número restante de clientes que completam o óleo e
calibram os pneus, que somente calibram os pneus e que somente completam
o óleo:
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A probabilidade de um cliente entrar no posto para completar o óleo e calibrar
os pneus é dada pela fração
P = (no de resultados favoráveis)/(n o de resultados possíveis) =
Okay! Resolveremos o problema, se soubermos determinar o valor de X. Mas
como faremos isso? A resposta é simples: basta montar um "sisteminha
linear"!
Sabemos o que alguns pensarão: mas professores, esqueci como se faz isso!
Calma minha gente! Não entrem em desespero (risos). Ensinaremos como
montar o sistema de equações na sequência.
Cento e vinte (120) clientes calibram os pneus. Portanto (veja o diagrama de
Venn acima),
30 + 50 + X + Y = 120 ^ 80 + X + Y = 120 ^ X + Y = 120 - 80 = 40
Cento e trinta clientes completam o óleo. Então,
O total de clientes é 300:
Chegamos deste modo ao seguinte sistema de equações:
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Multiplicando a segunda equação por -1, e somando o resultado obtido com a
terceira tem-se que
Y = 30.
Substituindo-se o valor de Y na primeira equação, obtemos
Assim,
Probabilidade de um cliente entrar no posto para completar o óleo e calibrar os
pneus é dada pela fração = (50 + X)/300 = (50 + 10)/300 = 60/300 = 0,2 =
20%.
GABARITO: B
41. (Fiscal de Rendas do Município do RJ/2010/ESAF) Em um amostra
de 100 empresas, 52 estão situadas no Rio de Janeiro, 38 são exportadoras e
35 são sociedades anônimas. Das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 são
exportadoras e 15 são sociedades anônimas e das empresas exportadoras 18
são sociedades anônimas. Não estão situadas no Rio de Janeiro nem são
sociedades anônimas e nem exportadoras 12 empresas. Quantas empresas
que estão no Rio de Janeiro são sociedades anônimas e exportadoras ao
mesmo tempo?
A) 18
B) 15
C) 8
D) 0
E) 20
Resolução
Temos um espaço amostal Q com n = 100 empresas. Seja o conjunto das
empresas situados no Rio de Janeiro denotado por "RJ", o das exportadoras
por "EXP" e o das sociedades anônimas por "SA". Do total de empresas, temos
que:
•
52 estão situadas no Rio de Janeiro: n(RJ) = 52;
•
38 são exportadoras: n(EXP) = 38;
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• 35 são sociedades anônimas: n(SA) = 35;
•
das
empresas
situadas
no
Rio
de
Janeiro,
12
são
exportadoras:
•
das empresas situadas no Rio de Janeiro, 15 são sociedades anônimas
•
das empresas exportadoras, 18 são sociedades anônimas:
18; e
•
12 não estão no Rio nem são sociedades anônimas e nem exportadoras:
Pede-se o número de empresas que estão no Rio de Janeiro, são sociedades
anônimas e exportadoras ao mesmo tempo, ou seja, qual é o valor de
O número de empresas que estão situadas no Rio ou são exportadoras ou são
sociedades anônimas é dado por
O diagrama de Venn a seguir ilustra os dados da questão.
Aprendemos no item 15.6 da aula passada a regra
probabilidades, dada pela fórmula (memorize para a prova!)
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de
adição
das
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Essa regra será aplicada na resolução da questão, mas antes é preciso
manipulá-la, pois o problema cobra a contagem
probabilidade
Como o número de elementos do espaço amostral é finito, temos que
P(RJ) = n(RJ)/n' e assim por diante.
Então a regra de adição pode ser reescrita na forma de contagem
desde que multipliquemos os lados esquerdo e direito da equação da regra de
adição das probabilidades por n', o que fará com que todos os denominadores
n' sejam eliminados da relação
= 88 - 52 - 38 - 35 + 12 + 15 + 18 = 8.
A próxima figura mostra que, das 52 empresas situadas no Rio, 33 (= 52 - 4 8 - 7) não são SA e nem exportadoras. O mesmo raciocínio vale para as 16
empresas que somente são exportadoras e para as 10 empresas que somente
são sociedades anônimas.
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GABARITO: C
42. (Fiscal de Rendas do Município do RJ/2010/ESAF) Em cada um de
um certo número par de cofres são colocadas uma moeda de ouro, uma de
prata e uma de bronze. Em uma segunda etapa, em cada um de metade dos
cofres, escolhidos ao acaso, é colocada uma moeda de ouro, e em cada um
dos cofres restantes, uma moeda de prata. Por fim, em cada um de metade
dos cofres, escolhidos ao acaso, coloca-se uma moeda de ouro, e em cada um
dos cofres restantes, uma moeda de bronze. Desse modo, cada cofre ficou com
cinco moedas. Ao se escolher um cofre ao acaso, qual é a probabilidade de ele
conter três moedas de ouro?
A) 0,15
B) 0,20
C) 0,5
D) 0,25
E) 0,7
Resolução
Sejam os eventos:
conter 1 moeda de ouro na 1a etapa;
conter 1 moeda de ouro na 2a etapa; e
:onter 1 moeda de ouro na 3a etapa.
A probabilidade P de um cofre escolhido ao acaso conter três moedas de ouro é
dada por
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pois os eventos são independentes. O
enunciado especificou que
P{E1> = 1, pois foi dito que "Em cada um de um certo número par de cofres
são colocadas uma moeda de ouro, uma de prata e uma de bronze",
P{E2> = 0,5, porque "Em uma segunda etapa, em cada um de metade dos
cofres, escolhidos ao acaso, é colocada uma moeda de ouro, e em cada
um dos cofres restantes, uma moeda de prata", ou seja, a probabilidade de um
cofre receber uma moeda de ouro nesta etapa é 50% e
P{E3> = 0,5, haja vista que "Por fim, em cada um de metade dos cofres,
escolhidos ao acaso, coloca-se uma moeda de ouro, e em cada um dos
cofres restantes, uma moeda de bronze", isto é, a probabilidade de um cofre
receber uma moeda de ouro nesta etapa é 50%.
GABARITO: D
43. (APO/2010/ESAF) Um viajante, a caminho de determinada cidade,
deparou-se com uma bifurcação onde estão três meninos e não sabe que
caminho tomar. Admita que estes três meninos, ao se lhes perguntar algo, um
responde sempre falando a verdade, um sempre mente e o outro mente em
50% das vezes e consequentemente fala a verdade nas outras 50% das vezes.
O viajante perguntou a um dos três meninos escolhido ao acaso qual era o
caminho para a cidade e ele respondeu que era o da direita. Se ele fizer a
mesma pergunta a um outro menino escolhido ao acaso entre os dois
restantes, qual a probabilidade de ele também responder que é o caminho da
direita?
A) 1.
B) 2/3.
C) 1/2.
D) 1/3.
E) 1/4.
Resolução
Vamos analisar as seguintes hipóteses:
Hipótese 1: O primeiro menino escolhido pelo viajante sempre fala a verdade
(respondeu que a cidade era para direita). A probabilidade de escolher este
menino é 1/3. Há duas possibilidades para a escolha do segundo menino
(escolher um menino entre dois):
•
menino que sempre mente: responderá que a cidade é para a esquerda;
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• menino que fala verdade em 50% das vezes: há 50% de chance de dizer
que a cidade é para direita.
Então a probabilidade de que o segundo menino responda que a cidade é para
direita é dada por:
P(escolher o menino que fala a verdade em 50% das vezes) x 50% (chance de
dizer que a cidade é para direita) = 50% x 50% = 25%
A probabilidade associada à hipótese 1 é
Hipótese 2: O primeiro menino escolhido pelo viajante sempre mente
(respondeu que a cidade era para direita). A probabilidade de escolher este
menino é 1/3. Há duas possibilidades para a escolha do segundo menino:
•
•
menino que sempre fala a verdade: responderá que a cidade é para a
esquerda;
menino que fala verdade em 50% das vezes: há 50% de chance de dizer
que a cidade é para direita.
Portanto, a probabilidade de que o segundo menino responda que a cidade é
para direita é igual a:
P(escolher menino que fala a verdade 50% das vezes) x 50% (chance de dizer
que a cidade é para direita) = 50% x 50% = 25%
A probabilidade associada à hipótese
Hipótese 3: O primeiro menino escolhido pelo viajante diz a verdade em 50%
das vezes (respondeu que a cidade era para direita). A probabilidade de
escolher este menino é 1/3.
Escolha do segundo menino:
•
menino que sempre fala a verdade: responderá que a cidade é para a
direita (se o primeiro menino disse a verdade) ou responderá que a
cidade é para a esquerda (se o primeiro menino mentiu);
•
menino que sempre mente: responderá que a cidade é para a direita (se
o primeiro menino mentiu) ou responderá que a cidade é para a
esquerda (se o primeiro menino disse a verdade).
Portanto, a probabilidade de que o segundo menino responda que a cidade é
para direita é:
P(primeiro menino ter dito a verdade) x P(escolher o menino que sempre fala a
verdade) = 50% x 50% = 25% ou
P(primeiro menino ter mentido) x P(escolher o menino que sempre mente) =
50% x 50% = 25%.
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A probabilidade associada à hipótese 3 é P3 = 1/3 x (25% + 25%) = 1/3 x
50%.
Probabilidade Final = 1/3 x 25% + 1/3 x 25% + 1/3 x 50% = 1/3 x (25% +
25% + 50%) = 1/3 x 100% = 1/3 x 1 = 1/3.
GABARITO: D
44. (APO/2010/ESAF) Em uma urna existem 200 bolas misturadas,
diferindo apenas na cor e na numeração. As bolas azuis estão numeradas de 1
a 50, as bolas amarelas estão numeradas de 51 a 150 e as bolas vermelhas
estão numeradas de 151 a 200. Ao se retirar da urna três bolas escolhidas ao
acaso, com reposição, qual a probabilidade de as três bolas serem da mesma
cor e com os respectivos números pares?
A) 10/512.
B) 3/512.
C) 4/128.
D) 3/64.
E) 1/64.
Resolução
Total de Bolas = 200
Bolas Azuis = 50 (numeradas de 1 a 50)
Bolas Amarelas = 100 (numeradas de 51 a 150)
Bolas Vermelhas = 50 (numeradas de 151 a 200)
Probabilidade de se retirar da urna três bolas escolhidas, com reposição, de
modo que sejam da mesma cor e com os respectivos números pares.
Bolas Azuis e Pares = 25
Bolas Amarelas e Pares = 50
Bolas Vermelhas e Pares = 25
Hipótese I: três bolas azuis e pares
P (Azul e Par) = 25/200 x 25/200 x 25/200 = 1/8 x 1/8 x 1/8 = 1/512
Hipótese II: três bolas amarelas e pares
P (Amarela e Par) = 50/200 x 50/200 x 50/200 = 1/4 x 1/4 x 1/4 = 1/64
Hipótese III: três bolas vermelhas e pares
P (Vermelha e Par) = 25/200 x 25/200 x 25/200 = 1/8 x 1/8 x 1/8 = 1/512
Probabilidade Total = (1/512) + (1/64) + (1/512) = 10/512
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GABARITO: A
45. (Técnico do DECEA - Ciências Econômicas/2009/CESGRANRIO) A
probabilidade de que, no lançamento de três dados comuns, honestos, a soma
dos resultados seja igual a 18 é
A) 1/12
B) 1/36
C) 1/216
D) 3/18
E) 3/216
Resolução
Os resultados são independentes, logo
P = (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/216
GABARITO: C
46. (IBGE - Estatística/2009/CESGRANRIO) Lança-se uma moeda
honesta três vezes. Sejam os eventos: A = {sair duas caras ou três caras} e B
= {os dois primeiros resultados são iguais}. Nessas condições, tem-se que
A) P(A) = 0,25; P(B) = 0,25; A e B não são independentes e não são
mutuamente exclusivos.
B) P(A) = 0,25; P(B) = 0,25; A e B são independentes e não são mutuamente
exclusivos.
C) P(A) = 0,5; P(B) = 0,25; A e B não são independentes e não são
mutuamente exclusivos.
D) P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; A e B são independentes e não são mutuamente
exclusivos.
E) P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; A e B não são independentes e não são
mutuamente exclusivos.
Resolução
A = {sair duas caras ou três caras}
P(A) = P{(CCK) ou (KCC) ou (CKC) ou (CCC)}, em que C denota cara e K
representa coroas.
P(A) = P(CCK) + P(KCC) + P(CKC) + P(CCC)
Mas
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P(CCK) = P(KCC) = P(CKC) = P(CCC) = (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8
Então P(A) = 4 x 1/8 = 1/2 = 0,5.
B = {os dois primeiros resultados são iguais}
P(B) = P{(CCK) ou (KKC) ou (CCC) ou (KKK)>.
P(B) = P(CCK) + P(KKC) + P(CCC) + P(KKK)
Mas
P(CCK) = P(KKC) = P(CCC) = P(KKK) = (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8
Então P(B) = 4 x 1/8 = 1/2 = 0,5.
Os eventos A e B estão definidos sobre o mesmo espaço amostral. Eles não
são mutuamente exclusivos, haja vista os resultados elementares (CCK) e
(CCC), presentes nos dois eventos. Contudo, a probabilidade de ocorrência de
B não é afetada pela ocorrência anterior de A, e vice-versa, ou seja, P(B|A) =
P(B) e P(A|B) = P(A). Logo, os eventos são independentes.
GABARITO: D
47. (Administrador(a) Júnior Petrobrás/2011/Cesgranrio) Um estudo
sobre a fidelidade do consumidor à operadora de telefonia móvel, em uma
determinada localidade, mostrou as seguintes probabilidades sobre o hábito de
mudança:
Probabilidade de um consumidor
mudar de (ou manter a) operadora
Se a
operadora
atual é
A
B
C
A
0,50
0,20
0,40
A nova operadora é
B
0,35
0,70
0,30
C
0,15
0,10
0,30
A probabilidade de o 1° telefone de um indivíduo ser da operadora A é 0,60; a
probabilidade de o 1° telefone de um indivíduo ser da operadora B é 0,30; e a
de ser da operadora C é 0,10.
Dado que o 2° telefone de um cliente é da operadora A, a probabilidade de o
1° também ter sido é de
(A) 0,75
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(B) 0,70
(C) 0,50
(D) 0,45
(E) 0,40
Resolução
A questão cobra a aplicação da Regra de Bayes. Pergunta-se:
"Dado que o
OBSERVADO
2° telefone de um cliente é da
operadora A"
"a probabilidade de o 1° também ter sido é de"
Ou seja, deve-se determinar P(1° Tel. A|2° Tel. A).
A Regra de
observado:
Bayes
nos dá
probabilidade da
causa
dado o efeito
são mutuamente exclusivos e exaustivos (isto
em que os eventos
B é um evento qualquer definido sobre
é, cobrem, todo o espaço amostral
o mesmo espaço amostral
é a probabilidade total de B.
Aplicando a Regra de Bayes à questão, obtemos
Cálculo da probabilidade total P(2° Tel. A):
P(2° Tel. A) = P(2° Tel. A|1° Tel. A). P(1° Tel. A) + P(2° Tel. A|1° Tel. B).
P(1° Tel. B) + P(2° Tel. A|1° Tel. C). P(1° Tel. C)
Dados fornecidos:
- probabilidades a priori: P(1° Tel. A)=0,60, P(1° Tel. B)=0,30 e P(1° Tel. C) =
0,60. Note que P(1° Tel. A) + P(1° Tel. B) + P(1° Tel. C) = 1;
- probabilidades condicionais: P(2° Tel. A|1° Tel. A) = 0,50, P(2° Tel. A|1° Tel.
B) = 0,20 e P(2° Tel. A|1° Tel. C) = 0,40;
Então:
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P(2° Tel. A) = (0,50 x 0,60) + (0,20 x 0,30) + (0,40 x 0,10) = 0,30 + 0,06 +
0,04 = 0,40
P(1° Tel. A|2° Tel. A) = 0,50 x 0,60/0,40 = 0,30/0,40 = 3/4 = 0,75.
GABARITO: A
48. (Administrador(a) Júnior Petrobrás/2011/Cesgranrio) Analise as
afirmativas a seguir sobre o coeficiente de variação.
I - O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa.
II - Se uma distribuição é bimodal, então seu coeficiente de variação é zero.
III - O coeficiente de variação tem a mesma unidade que o desvio padrão.
É(São) corretas APENAS a(s) afirmativas
(A) I
(B) II
(C) III
(D) I e II
(E) II e III
Resolução
O Coeficiente de Variação (CV) é dado pela razão entre o desvio padrão e a
média:
CV = desvio padrão/média
Ele caracteriza a dispersão dos dados em termos relativos à média. Portanto, é
uma medida de dispersão relativa e a afirmativa I é correta.
O coeficiente de variação é um adimensional, podendo ser expresso
como uma porcentagem. Logo, é incorreto afirmar que possui a mesma
unidade do desvio padrão (afirmativa III é incorreta).
A afirmativa II é absurda. Sem maiores comentários.
GABARITO: A
49. (ICMS-RJ/2011/FGV) Em uma repartição, foi tomada uma amostra do
número de filhos de 4 funcionários. O resultado foi {2, 1, 4, 2>. A média
geométrica simples dessa amostra é
(A) 2,25
(B) 1,75
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(C) 2
(D) 2,4
(E) 2,5
Resolução
Média Geométrica de um conjunto de 4 elementos:
GABARITO: C
50. (ICMS-RJ/2011/FGV) Quantas combinações existem para determinar o
primeiro e o segundo lugares de um concurso com 10 pessoas? (O primeiro e o
segundo lugares não podem ser a mesma pessoa).
(A) 18.000
(B) 90
(C) 19
(D) 680
(E) 18.000
Resolução
A fórmula do Arranjo Simples nos dá o número de agrupamentos
ordenados possíveis de n elementos de um conjunto, tomados r a r,
considerando r elementos distintos:
Assim, o número de combinações que existem para determinar o primeiro e o
segundo lugares (r=2) de um concurso com 10 pessoas (n=10) é
GABARITO: B
Abraços e até a próxima aula.
Bons estudos!
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Questões Comentadas e Resolvidas Nesta Aula
1. (Analista do BACEN/Área 3/2005/FCC) O número de televisores
modelo M vendidos diariamente numa loja é uma variável aleatória discreta
(X) com a seguinte distribuição de probabilidades:
X
P(x)
0
p
1
1,5p
2
3
1,5p
P
O preço unitário de venda do televisor modelo M é de R$ 1.000,00. Se num
determinado dia a receita de vendas referente a este modelo for inferior a R$
3.000,00, a probabilidade dela ser positiva é
A) 20%
B) 30%
C) 50%
D) 60%
E) 75%
2. (BACEN/Área 2/2010/CESGRANRI0/Adaptada) A variável aleatória
contínua x tem a seguinte função de densidade de probabilidade:
para todos os outros valores de x.
Sendo k uma constante, seu valor é igual a
A) 1
B) -3/4
C) 2/3
D) -5/24
E) 1/12
3. (Analista/SUSEP/2006/ESAF) Se a variável X pode assumir um conjunto
infinito (contínuo) de valores, o polígono de freqüência relativa de uma
amostra torna-se uma curva contínua, cuja equação é Y = p(X). A área total
limitada por essa curva e pelo eixo dos X é igual a 1 e a área compreendida
entre as verticais X = a e X = b, sendo a < b e, ambos, contidos na área total
da curva, a probabilidade de X cair neste intervalo a e b é dada por
A) P(a<X<b), composta pela soma de P(X=a) + P(X=b).
B) P(a<X<b), composta pela integral de P(X=a) até P(X=b).
C) P(a>X>b), composta pela soma de P(X=a) - P(X=b).
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D) P(a>X>b), composta pela integral de P(X=a) até P(X=b).
E) P(a<X<b), composta pela P(X=b), de forma cumulativa até o ponto b.
4. (AFRFB/2009/ESAF/adaptada) A função densidade de probabilidade de
uma variável aleatória contínua x é dada por:
Obs.: c.c. denota "caso contrário".
Para esta função, a média de x, também denominada expectância de x e
denotada por E(x) é igual a:
5. (AFRFB/2009/ESAF) A tabela mostra
relativas populacionais (f') de uma variável X:
X
- 2
1
2
a
distribuição
de freqüências
f '
6a
1a
3a
Sabendo que "a" é um número real, então a média e a variância de X são,
respectivamente:
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6. (Analista/Área 3/BACEN/2006/FCC) Um empresário, investindo em um
determinado empreendimento, espera ter os seguintes lucros em função dos
cenários "Bom", "Médio" e "Ruim":
Cenário
Lucro (R$)
Bom
Médio
Ruim
R$ 8 000,00
R$ 5 000,00
R$ 2 000,00
Distribuição de
Probabilidades do Cenário
0,25
0,60
0,15
A expectância e a variância do lucro são, em R$ e (R$)2, respectivamente,
A) 5 500,00 e 3 160,00
B) 5 300,00 e 3 510,00
C) 5 300,00 e 3 160,00
D) 5 000,00 e 3 510,00
E) 5 000,00 e 3 160,00
7. (AFPS/2002/ESAF) Sejam X1,...,Xn observações de um atributo X. Sejam:
Assinale a opção correta.
A) Pelo menos 95% das observações de X diferem de
menos que 2S.
em valor absoluto por
B) Pelo menos 99% das observações de X diferem de
menos que 2S.
em valor absoluto por
C) Pelo menos 75% das observações de X diferem de
menos que 2S.
em valor absoluto por
D) Pelo menos 80% das observações de X diferem de
menos que 2S.
em valor absoluto por
E) Pelo menos 90% das observações de X diferem de
menos que 2S.
em valor absoluto por
8. (ICMS-RJ/2010/FGV). 40% dos eleitores de uma certa população
votaram, na última eleição, num certo candidato A. Se cinco eleitores forem
escolhidos ao acaso, com reposição, a probabilidade de que três tenham
votado no candidato A é igual a:
A) 12,48%.
B) 17,58%.
C) 23,04%.
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D) 25,78%.
E) 28,64%.
9. (Analista/SUSEP/2006/ESAF). Um grupo de
seguinte composição etária (em anos):
-
1.000 pessoas tem a
[0 - 20]: 200 pessoas;
[21 - 30]: 200 pessoas;
[31 - 40]: 200 pessoas;
[41 - 50]: 200 pessoas;
de 51 anos em diante: 200 pessoas;
Considerando que as probabilidades média de morte (qx), segundo
determinada tábua, é de:
-
uma
[0 - 20] até 20 anos: 0,600% o (por mil);
[21 - 30]: 0,800% o (por mil);
[31 - 40]: 1,500% o (por mil);
[41 - 50]: 5,000% o (por mil);
de 51 anos em diante: 20,000% o (por mil).
Pode-se afirmar que a possibilidade de ocorrer a morte de exatamente 10
pessoas com idade superior a 51 anos é um evento:
(A) Certo.
(B) Impossível.
(C) Provável.
(D) Muito Provável.
(E) Pouco Provável.
10. (AFRFB/2009/ESAF) O número de petroleiros que chegam a uma
refinaria ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de dois
petroleiros por dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no
máximo três petroleiros em dois dias é igual a:
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11. (ICMS-SP/2009/FCC) O número de pessoas que chega ao guichê de
uma repartição pública para autuação de processos apresenta uma distribuição
de Poisson a uma taxa de duas pessoas por minuto. A probabilidade de que
nos próximos 2 minutos chegue pelo menos uma pessoa neste guichê é
Observação:
e = 2,71828...
12. (ICMS-RJ/2009/FGV) O número de clientes que buscam, em cada dia,
os serviços de um renomado cirurgião tem uma distribuição de Poisson com
média de 2 pacientes por dia.
Para cada cirurgia efetuada, o cirurgião recebe R$ 10.000,00. No entanto, ele
consegue fazer o máximo de duas cirurgias em um dia; clientes excedentes
são perdidos para outros para outros cirurgiões.
Assinale a alternativa que indique o valor esperado da receita diária do
cirurgião.
(considere e -2 = 0,14)
A) R$ 5.600,00
B) R$ 8.400,00
C) R$ 10.000,00
D) R$ 14.400,00
E) R$ 20.000,00
14. (AFPS/2002/ESAF). A variável aleatória X tem distribuição uniforme no
intervalo (0, a ) , onde a é uma constante maior do que 0,5. Determine o valor
de a tal que F(0,5) = 0,7, sendo F(x)a função de distribuição de X.
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A) 3/4
B) 1/4
C) 1
D) 5/7
E) 1/2
(APOFP-SP/2010/FCC/Adaptada) Instruções: para resolver às próximas
duas questões utilize as informações abaixo referentes à distribuição normal
padrão Z:
z
P(0<Z<z)
1,00
0,34
1,25
0,39
1,50
0,43
1,75
0,46
2,00
0,48
2,25
0,49
15. Os salários dos empregados de uma determinada categoria profissional
apresentam uma distribuição normal com média igual a R$ 1.200,00 e desvio
padrão igual a R$ 160,00. A proporção dos empregados com salários
superiores a R$ 1.000,00 e inferiores a R$ 1.520,00 é
(A) 98%
(B) 96%
(C) 92%
(D) 89%
(E) 87%
16. A distribuição das medidas dos cabos fabricados por uma indústria é
considerada normal. Sabe-se que 7% dos cabos medem no máximo 2,4
metros e apenas 2% medem no mínimo 16,4 metros. A média das medidas
destes cabos é igual a
(A) 9,4 metros.
(B) 8,4 metros.
(C) 8,2 metros.
(D) 8,0 metros.
(E) 7,8 metros.
O enunciado a seguir refere-se às próximas duas questões.
17. A probabilidade de se obter X maior do que 0 é
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(A) 0
(B) 0,75
(C) 0,25
(D) 0,5
(E) 1
18. A probabilidade de se obter X maior do que 0,5 é
(A) 0
(B) 0,75
(C) 0,25
(D) 0,5
(E) 1
19. (AFPS/2002/ESAF) A média e o desvio-padrão obtidos num lote de
produção de 100 peças mecânicas são, respectivamente, 16kg e 40g. Uma
peça particular do lote pesa 18kg. Assinale a opção que dá o valor padronizado
do peso da bola.
A) -50
B) 0,05
C) 50
D) -0,05
E) 0,02
20. (AFPS/2002/ESAF) O atributo X tem distribuição normal com média 2 e
variância 4. Assinale a opção que dá o valor do terceiro quartil de X, sabendose que o terceiro quartil da normal padrão é 0,6745.
A) 3,3490
B) 0,6745
C) 2,6745
D) 2,3373
E) 2,7500
21. (ICMS-RJ/2008/FGV) Dentre as distribuições
seguir, aquela em que E(X) = E(X-E(X))2 é:
de
probabilidades
a
A) de densidade
B) de densidade
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22. (ICMS-RJ/2007/FGV) Um candidato se submete a uma prova contendo
três questões de múltipla escolha precisando acertar pelo menos duas para ser
aprovado. Cada questão apresenta cinco alternativas, mas apenas uma é
correta. Se o candidato não se preparou e decide responder a cada questão ao
acaso, a probabilidade de ser aprovado no concurso é igual a:
A) 0,200.
B) 0,040.
C) 0,096.
D) 0,008.
E) 0,104.
23. (Assistente Técnico-Administrativo do MF/2009/ESAF) Ao se jogar
um dado honesto três vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de o
número 1 sair exatamente uma vez?
A) 35%
B) 17%
C) 7%
D) 42%
E) 58%
24. (APOFP-SP/2009/ESAF) Seja Z uma variável aleatória Normal Padrão.
Dados os valores de z e de P(Z < z) a seguir, obtenha o valor mais próximo de
P(-2,58 < Z < 1,96).
z
P(Z < z )
1,96
0,975
2,17
0,985
2,33
0,99
2,41
0,992
2,58
0,995
A) 0,99
B) 0,97
C) 0,98
D) 0,985
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E) 0,95
25. (AFTM-RN/2008/ESAF) Numa distribuição Binomial, temos que:
I. A E[x] = n p q, ou seja, é o produto dos parâmetros n - número de
elementos da avaliação, p - probabilidade de ocorrência do evento e q probabilidade contrária (q = 1 - p).
II. O desvio-padrão é dado pela raiz quadrada do produto entre os parâmetros
n e p.
III. A variância é dada pelo somatório dos quadrados dos valores (Xi) menos o
quadrado da média.
Apontando os três itens acima como V - Verdadeiro e F - Falso, a opção
correta é:
A) F, V, F
B) V, V, F
C) F, F, F
D) V, F, F
E) V, V, V
26. (Analista Técnico da SUSEP/2006/ESAF) Em uma casa de jogos
(Bingo S/A, por exemplo) a premiação será de R$ 10,00, para quem obtiver
uma face de número primo ao jogar um dado honesto e de R$ 20,00, para
quem obtiver outra alternativa (face de número não primo). Para N jogadas
(sendo N um número suficientemente grande de jogadas), o valor médio da
aposta, ou seja, o valor esperado, será de:
A) R$ 10,00
B) R$ 10,33
C) R$ 13,33
D) R$ 15,00
E) R$ 17,33
27. (Analista Técnico da SUSEP/2006/ESAF) Sendo X uma v. a. d. variável aleatória discreta e sendo Y = aX + b, pode concluir-se que var (aX +
b) é igual a:
A) = var X.
B) = E(X2) - (EX)2.
C) = E(X - E(X))2.
D) = a 2 var X.
E) = a 2 var X - b.
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O enunciado abaixo refere-se às próximas quatro questões.
Após vários anos de magistério no ensino superior, um professor de Estatística
constatou que, em sua aula na graduação, a função de probabilidade de X,
variável aleatória que representa o número de alunos ausentes às sextasfeiras, é a seguinte
X
f(x)
0
0,010
1
0,020
2
0,310
3
0,320
4
0,240
5
0,080
6
0,019
7
0,001
28. Então a probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 alunos
estarão ausentes é
(A) 0,63
(B) 0,13
(C) 0,87
(D) 0,56
(E) 1
29. O valor esperado da variável aleatória X é
(A) 3,08
(B) 3,26
(C) 2,12
(D) 0,32
(E) 0,96
30. O valor esperado de Y = 5X + 4 é
(A) 4
(B) 3,1
(C) 15,4
(D) 19,4
(E) 81
31. A variância de X é
(A) 9,49
(B) 1,22
(C) 10,71
(D) 20,305
(E) 85,525
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32. (AFPS/2002/ESAF) Tem-se uma variável aleatória normal X com média
Assinale a opção que dá o intervalo contendo exatamente
95% da massa de probabilidades de X
33. (Analista Ministerial/Estatística/MPE-PE/2006/FCC) Seja X uma
variável aleatória assumindo os valores -2 e 2, com probabilidade 1/4 e 3/4,
respectivamente. Seja u a média de X. Então o limite superior de
obtido pela desigualdade de Tchebysheff, é dado por
A) 0,40
B) 0,25
C) 0,20
D) 0,12
E) 0,10
(AFTM-SP/2007/FCC/Adaptada) Instruções: para responder à próxima
questão, utilize, dentre as informações abaixo, as que julgar adequadas. Se Z
tem distribuição normal padrão, então:
34. Os depósitos efetuados no Banco B, num determinado mês, têm
distribuição normal com média R$ 9.000,00 e desvio padrão R$ 1.500,00. Um
depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em
questão. A probabilidade de que o depósito exceda R$ 6.000,00 é de
A) 97,7%
B) 94,5%
C) 68,2%
D) 47,7%
E) 34,1%
35. (AFTE-RS/2009/Fundatec) Seja Z uma variável aleatória contínua
normalmente distribuída com média zero e desvio padrão um. Seja
Seja X uma variável aleatória contínua
normalmente distribuída com média 200 e desvio padrão 20, então
P(180<X<240), é:
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A) 0,9772
B) 0,8413
C) 0,3413
D) 0,8185
E) 0,4772
36. (AFTE-RS/2009/Fundatec) Seja X uma variável aleatória contínua, com
função densidade de probabilidade dada por f(x) = 1 + cx, se -
A) 0,5
B) 0
C) 2/3
D) 1
E) 1/3
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Exercícios de Revisão
38. (Profissional Básico - Engenharia/BNDES/2008/Cesgranrio) Para
um estudo sobre a distribuição de salário mensal dos empregados de uma
empresa foram coletados os salários de uma amostra aleatória de 50
empregados. Os resultados amostrais levaram à construção da distribuição de
freqüência abaixo. Não existem observações coincidentes com os extremos das
classes.
Classe (em
salários
mínimos)
1 - 3
3 - 5
5 - 7
7 - 11
Frequência
relativa
acumulada
40
70
90
100
A média aritmética e a variância amostral valem, aproximadamente,
Média amostral
(em salários mínimos)
Variância amostral
(em salários mínimos 2 )
2,6
2,6
4,1
4,1
7,2
2,2
2,9
2,9
5,0
12,1
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
39. (IBGE - Estatística/2010/Cesgranrio) Um comitê é formado por três
pesquisadores escolhidos dentre quatro estatísticos e três economistas. A
probabilidade de não haver nenhum estatístico é
A) 1/35
B) 4/35
C) 27/243
D) 64/243
E) 3/7
40. (Administrador(a) Júnior Petrobrás /2010/Cesgranrio) Em um
posto de combustíveis entram, por hora, cerca de 300 clientes. Desses, 210
vão colocar combustível, 130 vão completar o óleo lubrificante e 120 vão
calibrar os pneus. Sabe-se, ainda, que 70 colocam combustível e completam o
óleo; 80 colocam combustível e calibram os pneus e 50 colocam combustível,
completam o óleo e calibram os pneus. Considerando que os 300 clientes
entram no posto de combustíveis para executar uma ou mais das atividades
acima mencionadas, qual a probabilidade de um cliente entrar no posto para
completar o óleo e calibrar os pneus?
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(A) 0,10
(B) 0,20
(C) 0,25
(D) 0,40
(E) 0,45
41. (Fiscal de Rendas do Município do RJ/2010/ESAF) Em um amostra
de 100 empresas, 52 estão situadas no Rio de Janeiro, 38 são exportadoras e
35 são sociedades anônimas. Das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 são
exportadoras e 15 são sociedades anônimas e das empresas exportadoras 18
são sociedades anônimas. Não estão situadas no Rio de Janeiro nem são
sociedades anônimas e nem exportadoras 12 empresas. Quantas empresas
que estão no Rio de Janeiro são sociedades anônimas e exportadoras ao
mesmo tempo?
A) 18
B) 15
C) 8
D) 0
E) 20
42. (Fiscal de Rendas do Município do RJ/2010/ESAF) Em um amostra
de 100 empresas, 52 estão situadas no Rio de Janeiro, 38 são exportadoras e
35 são sociedades anônimas. Das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 são
exportadoras e 15 são sociedades anônimas e das empresas exportadoras 18
são sociedades anônimas. Não estão situadas no Rio de Janeiro nem são
sociedades anônimas e nem exportadoras 12 empresas. Quantas empresas
que estão no Rio de Janeiro são sociedades anônimas e exportadoras ao
mesmo tempo?
A) 18
B) 15
C) 8
D) 0
E) 20
43. (APO/2010/ESAF) Um viajante, a caminho de determinada cidade,
deparou-se com uma bifurcação onde estão três meninos e não sabe que
caminho tomar. Admita que estes três meninos, ao se lhes perguntar algo, um
responde sempre falando a verdade, um sempre mente e o outro mente em
50% das vezes e consequentemente fala a verdade nas outras 50% das vezes.
O viajante perguntou a um dos três meninos escolhido ao acaso qual era o
caminho para a cidade e ele respondeu que era o da direita. Se ele fizer a
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mesma pergunta a um outro menino escolhido ao acaso entre os dois
restantes, qual a probabilidade de ele também responder que é o caminho da
direita?
A) 1.
B) 2/3.
C) 1/2.
D) 1/3.
E) 1/4.
44. (AP0/2010/ESAF) Em uma urna existem 200 bolas misturadas,
diferindo apenas na cor e na numeração. As bolas azuis estão numeradas de 1
a 50, as bolas amarelas estão numeradas de 51 a 150 e as bolas vermelhas
estão numeradas de 151 a 200. Ao se retirar da urna três bolas escolhidas ao
acaso, com reposição, qual a probabilidade de as três bolas serem da mesma
cor e com os respectivos números pares?
A) 10/512.
B) 3/512.
C) 4/128.
D) 3/64.
E) 1/64.
45. (Técnico do DECEA - Ciências Econômicas/2009/CESGRANRI0) A
probabilidade de que, no lançamento de três dados comuns, honestos, a soma
dos resultados seja igual a 18 é
A) 1/12
B) 1/36
C) 1/216
D) 3/18
E) 3/216
46. (IBGE - Estatística/2009/CESGRANRI0) Lança-se uma moeda
honesta três vezes. Sejam os eventos: A = {sair duas caras ou três caras} e E
= {os dois primeiros resultados são iguais}. Nessas condições, tem-se que
A) P(A) = 0,25; P(B) = 0,25; A e B não são independentes e não são
mutuamente exclusivos.
B) P(A) = 0,25; P(B) = 0,25; A e B são independentes e não são mutuamente
exclusivos.
C) P(A) = 0,5; P(B) = 0,25; A e B não são independentes e não são
mutuamente exclusivos.
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D) P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; A e B são independentes e não são mutuamente
exclusivos.
E) P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; A e B não são independentes e não são
mutuamente exclusivos.
47. (Administrador(a) Júnior Petrobrás/2011/Cesgranrio) Um estudo
sobre a fidelidade do consumidor à operadora de telefonia móvel, em uma
determinada localidade, mostrou as seguintes probabilidades sobre o hábito de
mudança:
Probabilidade de um consumidor
mudar de (ou manter a) operadora
Se a
operadora
atual é
A
B
C
A
0,50
0,20
0,40
A nova operadora é
B
0,35
0,70
0,30
C
0,15
0,10
0,30
A probabilidade de o 1° telefone de um indivíduo ser da operadora A é 0,60; a
probabilidade de o 1° telefone de um indivíduo ser da operadora B é 0,30; e a
de ser da operadora C é 0,10.
Dado que o 2° telefone de um cliente é da operadora A, a probabilidade de o
1° também ter sido é de
(A) 0,75
(B) 0,70
(C) 0,50
(D) 0,45
(E) 0,40
48. (Administrador(a) Júnior Petrobrás/2011/Cesgranrio) Analise as
afirmativas a seguir sobre o coeficiente de variação.
I - O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa.
II - Se uma distribuição é bimodal, então seu coeficiente de variação é zero.
III - O coeficiente de variação tem a mesma unidade que o desvio padrão.
É(São) corretas APENAS a(s) afirmativas
(A) I
(B) II
(C) III
(D) I e II
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(E) II e III
49. (ICMS-RJ/2011/FGV) Em uma repartição, foi tomada uma amostra do
número de filhos de 4 funcionários. O resultado foi {2, 1, 4, 2}. A média
geométrica simples dessa amostra é
(A) 2,25
(B) 1,75
(C) 2
(D) 2,4
(E) 2,5
50. (ICMS-RJ/2011/FGV) Quantas combinações existem para determinar o
primeiro e o segundo lugares de um concurso com 10 pessoas? (O primeiro e o
segundo lugares não podem ser a mesma pessoa).
(A) 18.000
(B) 90
(C) 19
(D) 680
(E) 18.000
Bibliografia
Moraes Junior, Alexandre Lima. Raciocínio Lógico, incluindo Matemática
Matemática Financeira e Estatística. Editora Método. Rio de Janeiro. 2010.
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