Óptica / Ondas – Exercícios resolvidos Quasar
Óptica / Ondas
Exercícios resolvidos
1. Ondas estacionárias
Considere duas ondas planas sinusoidais, φ1 e φ 2 , com a mesma frequência,
amplitude, número de ondas, mas que se propagam em sentidos opostos. Prove que da
sobreposição destas duas ondas resulta uma onda estacionária e determine a posição dos
nodos.
Resolução:
Pelo princípio de sobreposição: φ1 ( x, t ) + φ 2 ( x, t ) = ψ ( x, t )
ψ ( x, t ) = A sin (kx − ωt + φ 0 ) + A sin (kx + ωt + φ 0 )
Vamos considerar fase inicial φ 0 como sendo nula.
ψ ( x, t ) = A[sin (kx − ωt ) + sin (kx + ωt )]
⎛a +b⎞ ⎛a −b⎞
Lembrando que sin (a ) + sin (b ) = 2 sin ⎜
⎟ cos⎜
⎟ vem
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
ψ ( x, t ) = 2 A sin (kx ) cos(− ωt )
Esta função apresenta zeros independentes do tempo (pontos onde nunca há
perturbação), logo, trata-se de uma onda estacionária.
0 = 2 A sin (kx )cos(− ωt )
Ignorando as soluções em função do tempo temos que
sin (kx ) = 0 ⇔ kx = 0 + mπ , m = 0,1,2,... ⇔ x = 0 +
Sabendo que k (número de ondas) =
x=
2π
λ
mπ
, m = 0,1,2,...
2
, λ é o comprimento de onda.
mλ
, m = 0,1,2,... que é a posição dos nodos, ou seja, os pontos em que nunca há
2
propagação da onda.
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2. Cordas / Batimentos
Um guitarrista vai afinar a corda em lá da sua guitarra. O comprimento da corda
é 70cm , a sua densidade linear μ é 10 −2 Kgm −1 e o som produzido, quando está afinada,
tem uma frequência de 110 Hz .
a) Calcule o comprimento de onda da onda que se propaga na corda quando esta está
afinada.
b) E se a corda estiver desafinada (vibrando por exemplo a uma frequência de 100 Hz ),
o comprimento de onda é o mesmo? O que é que varia quando se estica a corda?
c) Calcule a velocidade de propagação da onda na corda e a tensão a que esta fica
sujeita quando está afinada.
d) Qual a frequência da 4ª harmónica da corda afinada?
e) Na realidade, um guitarrista quando afina a sua guitarra compara o som de um
diapasão com o som produzido pela 4ª harmónica da corda afinada em lá (esta
harmónica também é um lá, mas ligeiramente mais agudo), fazendo-os soar
simultaneamente. Se o guitarrista ouvir dois batimentos por segundo e se o diapasão
tiver uma frequência de 440Hz, que frequências pode ter a corda?
f) Quantos batimentos por segundo tem o guitarrista de ouvir para que a corda esteja
afinada (frequência da 4ª harmónica igual à do diapasão)?
Resolução:
a) A corda de uma guitarra tem ambas as extremidades fixas em pontos chamados
nodos. Como vimos no exercício anterior trata-se de uma onda estacionária, e esses
pontos, no modo fundamental, encontram-se nas posições 0 e
λ
2
, que corresponde a
metade do comprimento de onda. Então o comprimento de onda será o dobro do
comprimento da corda.
λ = 2 L = 2 × 0,7 = 1,4m
b) O comprimento de onda só depende da geometria do instrumento como condição para
formar ondas estacionárias. Como vimos, é o dobro do comprimento da corda, pelo que
não depende da variação da frequência.
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A velocidade de propagação da onda na corda é dada por v =
T
μ
, onde T é a tensão a
que a corda está sujeita. Quando a corda é esticada a tensão aumenta, logo aumenta
também a velocidade. E, como o comprimento de onda se mantém constante, a
frequência também aumenta (o som produzido é mais agudo).
c) v = λf = 1,4 × 110 = 154ms −1
T = v 2 μ = 154 2 × 10 −2 = 237 N
d) No modo fundamental λ corresponde ao dobro de L. Na 2ª harmónica λ diminui para
metade, logo L passa a ser igual a λ. Na 3ª harmónica λ diminui para 1/3 e λ=2/3L.
Finalmente na 4ª harmónica λ diminui para 1/4 pelo que λ=L/2.
f =
v
λ
=
154
= 440 Hz
0,7
2
e) Quando duas ondas harmónicas viajando na mesma direcção mas com frequências
ligeiramente diferentes se sobrepõe resultam num batimento, uma onda cuja amplitude
varia com o tempo, num determinado ponto do espaço. Esta onda é da forma
ψ ( x, t ) = 2 A cos(Δkx − Δωt )sin (kx − ωt ) .
A intensidade, que é proporcional ao quadrado da amplitude, varia no tempo com
frequência igual à diferença das frequências entre as duas ondas que lhe dão origem.
ψ ( x, t ) ∝ cos 2 (Δkx − Δωt )
2
Se o guitarrista ouvir dois batimentos por segundo
Δf = f 2 − f1 = 2 Hz , isto significa que a corda pode estar a vibrar com frequências
⎧ f = 438 Hz
⎨
⎩ f = 442 Hz
f) Quando a corda estiver afinada, as duas frequências f 1 e f 2 serão iguais, pelo que
não existirão batimentos (o som passa a ter intensidade constante no tempo).
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3. Efeito Doppler / velocidade do som
Num circuito de F1 um automóvel passa na recta da meta com uma velocidade
vf
. Qual a frequência do som ouvido pela assistência quando o automóvel se aproxima?
A temperatura do ar considera-se T , M a massa molar, R a constante dos gases
perfeitos e f a frequência do som emitido pelo automóvel.
Resolução:
Devido ao efeito Doppler a frequência do som ouvido pela assistência é maior que a do
emitido pela fonte. A equação do efeito Doppler é
f '= f
v ± v0
, onde v é a velocidade do som no ar e v0 a velocidade do receptor em
v m vf
relação à fonte. O sinal alternativo usa-se quando a fonte ou o receptor se afastam um do
outro. Como a assistência está parada e o automóvel se aproxima fica
f '= f
v
=
v −vf
1−
f
.
vf
v
Para determinar a velocidade do som podemos usar a expressão v =
γP
, onde γ
ρ
é o coeficiente adiabático, P a pressão atmosférica e ρ a massa volúmica do ar. E,
tendo a equação dos gases perfeitos PV =
ficamos com v =
γRT
M
m
m
RT e ρ =
substituindo em cima
V
M
. A propagação do som no ar pode ser considerada como um
processo adiabático (compressões e rarefacções de massas de ar sem trocas de calor). O
ar é composto maioritariamente por gases diatómicos, pelo que γ ≈ 1,403 .
A frequência é então: f ' =
1−
f
vf
1,403RT
M
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4. Difracção
1. Difracção por uma fenda
Uma única fenda de espessura d = 0,10mm é iluminada por um feixe de luz de
raios paralelos com comprimento de onda λ . Nestas condições são observadas bandas
de difracção num alvo a 40cm do orifício. A distância entre a terceira banda escura e a
banda brilhante central é 0,72cm . Determine o comprimento de onda.
Resolução:
Para uma única fenda a localização das bandas escuras, onde há interferência destrutiva
entre duas ondas (mínimos), é dada por d sin θ = mλ , m = 0,±1,±2,... m é o número de
ordem da franja escura de difracção e θ os ângulos em relação há direcção de
propagação rectilínea para os quais há escuridão total.
sin θ =
3λ
⇔ θ = arcsin (3,0 x10 4 λ ) , que é o ângulo entre a direcção de
0,10 x10 −3
incidência e do 3º mínimo.
Por outro lado também temos que
tan θ =
[
]
y3
0,72 x10 −2
⇔ tan arcsin (3,0 x10 4 λ ) =
⇔ λ = 6,0 x10 −7 m
D
40 x10 − 2
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2. Difracção por uma fenda dupla (fenda de Young)
Duas fendas estreitas são iluminadas pela luz amarela do sódio ( λ = 589nm ). A
1m de distância formam-se riscas num ecrã espaçadas de 1cm . Qual a distância entre as
fendas? Qual o espaçamento entre as riscas formadas no ecrã se as mesmas fendas forem
iluminadas por luz vermelha com comprimento de onda λ = 650nm ?
Resolução:
Haverá um máximo de intensidade no alvo se as ondas estiverem em fase. Isso acontece
se o caminho percorrido pelas duas ondas (uma parte da fenda de baixo, a outra parte da
de cima) diferir de um número inteiro de comprimentos de onda, ou seja, há uma
interferência
construtiva.
A
condição
de
máximos
será
então
d sin θ = mλ , m = 0,±1,±2,...
Como sin θ ≈ tan θ =
y máx
mλD
589 x10 −9 × 1
⇔ y máx =
⇔d=
= 0,06mm
d
0,01
D
Para o espaçamento entre as riscas é só substituir em cima
y máx
650 x10 −9 × 1
=
= 1,1cm
0,06 x10 −3
3. Difracção por uma rede
Um feixe de luz vermelha incide perpendicularmente sobre uma rede de
difracção de 4000linhas / cm , e a imagem de segunda ordem é difractada fazendo 34,0º
com a normal. Determine o comprimento de onda da luz.
Resolução:
Da equação das redes de difracção a sin θ = mλ , m = 0,±1,±2,... a é a distância entre as
fendas e m o número de ordem da imagem difractada.
1
× sin 34,0
cm
4000
Podemos escrever então λ =
= 699nm
2
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5. Lentes ópticas
1. Uma lente com uma distância focal f projecta num alvo a imagem de um objecto
luminoso amplificada M vezes. Mostre que a distância da lente ao alvo é f (M + 1) .
Resolução:
A relação entre a posição de um objecto e a da respectiva imagem para lentes
convergentes e divergentes é
•
1 1 1
+ =
onde:
s0 si
f
s 0 é a distância do objecto à lente, positiva para objectos reais e negativa para
objectos virtuais;
•
si é a distância da imagem à lente, positiva para imagens reais e negativa para
imagens virtuais;
•
f é distância focal da lente, positiva para lentes convergentes e negativa para lentes
divergentes.
A imagem é real, visto que pode ser projectada num alvo, portanto si é positivo.
A amplificação linear é dada pela razão
M =
⎛1
si
= si ⎜⎜
s0
⎝ s0
si
, logo temos que
s0
⎛1 1⎞ s
⎞
⎟⎟ = si ⎜⎜ − ⎟⎟ = i − 1 ⇔ s i = f (M + 1)
⎝ f si ⎠ f
⎠
2. Há duas posições para as quais uma lente convergente de distância focal + 9,00cm
forma imagens de um objecto luminoso num alvo colocado a 40,0cm do objecto. Calcule
essas duas posições.
Resolução:
Sabe-se que s 0 + si = 40,0cm e f = +9,00cm .
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1 1 1
1
1
1
40,0 ± 1600 − 1440
2
+ = ⇔
+
=
⇔ s 0 − 40,0s 0 + 360 = 0 ⇔ s 0 =
⇔
s 0 si
f
s 0 40,0 − s 0 9,0
2
⇔ s 0 = 13,7cm ∨ s 0 = 26,3cm
As duas posições da lente são a 13,7cm e a 26,3cm do objecto.
3. Uma lente acromática é formada por duas lentes finas em contacto, com potências de
+ 10,0dioptrias e de − 6,0dioptrias . Determine a potência e a distância focal da
associação.
Resolução:
A potência de uma lente é dada em dioptrias pelo inverso da distância focal
distância focal de uma associação é
1
e a
f
1
1
1
1
=
+
+ ..... +
para n lentes em contacto.
f
f1 f 2
fn
Então a distância focal desta associação será
1
= 10,0 − 6,0 = 4,0 ⇔ f = 25cm
f
A potência de uma associação é a soma das potências individuais
P = 10,0 − 6,0 = 4,0dioptrias
4. Uma lente de vidro ( n = 1,50 ) tem uma distância focal de + 10cm no ar. Calcule a sua
distância focal dentro de água ( n = 1,33 ).
Resolução:
A equação dos construtores de lentes é
⎛1 1
1
= (n − 1)⎜⎜ −
f
⎝ r1 r2
⎞
⎟⎟ , onde n é o índice de
⎠
refracção do material de que efeito a lente, r1 e r2 os raios de curvatura das superfícies
esféricas que delimitam a lente. O seu valor é positivo se o centro de curvatura ficar à
direita da superfície em causa e negativo se ficar à esquerda. Se a lente com índice de
refracção n1 estiver imersa num meio com índice de refracção n2 a equação passa a
escrever-se
⎞⎛ 1 1 ⎞
1 ⎛ n1
= ⎜⎜ − 1⎟⎟⎜⎜ − ⎟⎟ .
f ⎝ n2
⎠⎝ r1 r2 ⎠
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Então, obtém-se
⎛1 1
1
= (1,50 − 1)⎜⎜ −
10
⎝ r1 r2
⎞
1 ⎛ 1,50 ⎞⎛ 1 1
⎟⎟ no ar e
=⎜
− 1⎟⎜ −
f ⎝ 1,33 ⎠⎜⎝ r1 r2
⎠
⎞
⎟⎟ na água.
⎠
1 ⎛ 1,50 ⎞
− 1⎟
⎜
1 10 ⎝ 1,33 ⎠
=
⇔ f = 39cm .
Substituindo uma equação na outra fica
(1,50 − 1)
f
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