Álgebra Linear
Sistemas de equações lineares
e
inversão de matrizes
4ª aula
A matriz inversa
A inversa de A é A-1
A-1 está definida se A A-1 = A-1 A = I
Para uma matriz quadrada A não é sempre que
existe a matriz inversa A-1
Se A-1 não existe então a matriz A é singular
Se A-1 existe então A é não singular
Uma matriz quadrada A tem uma inversa se e
somente se, A é não singular.
A matriz inversa
se A-1 existe então a solução de Ax=b é: x = A-1 b
Premultiplicando Ax = b por A-1
A-1Ax = A-1 b
Porém A-1A = I e então
Ix = A-1 b
x = A-1 b
Seja
B a inversa de A então
b1 b2  bn
Sendo
b1 b2  bn
As colunas de B
0
1 
 
Ab2   0 
 
 
 0 
0
1 
 
Ab2   0 
 
 
 0 
0 
0 
 
Ab3  1 
 
 
0 
…
0
0
 
Abn   0 
 
 
1 
A determinação da inversa
faz-se resolvendo n sistemas
de equações todos com
matriz A
Todos os sistemas são
possíveis e determinados.
Tem que ser posto(A) = n
Se A é nn e posto(A) = n
então
a forma reduzida por linhas de
A é In.
Podem-se resolver os n
sistemas simultaneamente



A




1
0
0
1
0
0
0

0

1

0
0
0





0

0
0


1 
Para determinar a inversa é preciso levar a
matriz A à forma escalonada reduzida por
linhas realizando a mesmas operações
elementares por linha simultaneamente na
matriz identidade.



A




1
0
0
1
0
0
0

0

1

0
0
0
1

0
0


0

0
1
0
0


0

1

0
0








0
0
0

1
0

0
0


1 



A 1 




1 1 0 


A  1  1  1
1 0  1
1 1 0 


A  1  1  1
1 0  1
1 1 0 1 0 0


1  1  1 0 1 0
1 0  1 0 0 1
1 1 0 


A  1  1  1
1 0  1
1 1 0 1 0 0


1  1  1 0 1 0
1 0  1 0 0 1
1
1 0 1 0 0


0  2  1  1 1 0 
 1
0  1 0 0 1
1 1 0 


A  1  1  1
1 0  1
1 1 0 1 0 0


1  1  1 0 1 0
1 0  1 0 0 1
1
1 0 1 0 0


0  2  1  1 1 0 
0  1  1  1 0 1
1
1 0 1 0 0


0  2  1  1 1 0 
 1
0  1 0 0 1
1 1 0 


A  1  1  1
1 0  1
1 1 0 1 0 0


1  1  1 0 1 0
1 0  1 0 0 1
1
1 0 1 0 0


0  2  1  1 1 0 
 1
0  1 0 0 1
1
1 0 1 0 0


0  2  1  1 1 0 
0  1  1  1 0 1
1
1 0 1 0 0


0
1
1
1
0
1





0  2  1  1 1 0
1
1 0 1 0 0


0  1  1  1 0 1
0  2  1  1 1 0
1
1 0 1 0 0


1 1 1 0  1
0
0  2  1  1 1 0
1
1 0 1 0 0


0  1  1  1 0 1
0  2  1  1 1 0
1 1 0 1 0
0


0 1 1 1 0  1
0 0 1 1 1  2
1
1 0 1 0 0


1 1 1 0  1
0
0  2  1  1 1 0
1
1 0 1 0 0


0  1  1  1 0 1
0  2  1  1 1 0
1 1 0 1 0
0


0 1 1 1 0  1
0 0 1 1 1  2
1
1 0 1 0 0


1 1 1 0  1
0
0  2  1  1 1 0
1 1 0 1 0
0


1
0 1 0 0  1
0 0 1 1 1  2
1
1 0 1 0 0


0  1  1  1 0 1
0  2  1  1 1 0
1 1 0 1 0
0


0 1 1 1 0  1
0 0 1 1 1  2
 1 0 0 1 1  1


1
0 1 0 0  1
0 0 1 1 1  2
1
1 0 1 0 0


1 1 1 0  1
0
0  2  1  1 1 0
1 1 0 1 0
0


1
0 1 0 0  1
0 0 1 1 1  2
1
1 0 1 0 0


0  1  1  1 0 1
0  2  1  1 1 0
1
1 0 1 0 0


1 1 1 0  1
0
0  2  1  1 1 0
1 1 0 1 0
0


0 1 1 1 0  1
0 0 1 1 1  2
1 1 0 1 0
0


1
0 1 0 0  1
0 0 1 1 1  2
 1 0 0 1 1  1


1
0 1 0 0  1
0 0 1 1 1  2
 1 1  1
1
A1   0  1
 1 1  2
1 2 3 1 0 0 


 4 5 6 0 1 0
7 8 9 0 0 1
1 2
3 1 0 0


0  3  6  4 1 0
7 8
9 0 0 1
1
0 0
2
3 1 0 0 1 2
3 1

 

0  3  6  4 1 0  0  3  6  4 1 0 
0  6  12  7 0 1 0 0
0 1  2 1
A matriz não é invertível
2
0

0

0
0
6
0
0
0
0
8
0
0

0
0

4
2
0

0

0
0
6
0
0
0
0
8
0
0

0
0

4
0
0 
1 / 2 0
 0 1/ 6 0

0


 0
0 1/ 8 0 


0
0 1 / 4
 0
1 2 4 
0 1 2 


0 0 1 
1 2 4 1 0 0 


0
1
2
0
1
0


0 0 1 0 0 1
1 2 0 1 0  4  1 0 0 1  2 0 

 



0
1
0
0
1
2
0
1
0
0
1
2

 

0 0 1 0 0 1  0 0 1 0 0
1 