Instituto Politécnico de Leiria
Escola Superior de Tecnologia e Gestão
Análise Matemática
Ano letivo 2015/2016
EI (D+PL)
Ficha 3 - Primitivas e equações diferenciais
1. Determine as primitivas das seguintes funções:
x3
(a) x−5 +
4
√
4
x
1
(e) 3 +
x
x
5
3
+ x
2x e
(i)
(m)
(b) (1 + 2x)
5
(c) √
−3
3x − 3
4
1
(f ) √
− −4
3
2
x
x
(g) x e3x
3
(j)
cosec 2 x
√
3
x2
3 + x3
√
1
x3
(d) √ +
5
x
4x + x3 3x
3x
x
(l) 8 − sec2
3
2
(h)
(k) − x sen(x2 )
4
(n) √
1 − 4x2
(o) − √
1
(r) 2
x + 4x + 8
ex
(s) 2
x
6x2
4 − 16x6
(p) −
3
9 + x2
1
2x2
(q)
1 + x6
(t)
x
cos2 (x2 )
2. Com o recurso às seguintes igualdades trigonométricas
sen2 x + cos2 x = 1
sen2 x =
1
1 − cos(2x)
2
determine as seguintes primitivas:
Z
(a)
sen2 (2x) dx
Z
(d)
(g)
cos2 x =
Z
(b)
2
cotg
x
2
3
cos
Z
(h)
2
x
sen(2x) = 2 sen x cos x
2
(c)
Z
dx
tg (2x) dx
1
1 + cotg2 x = cosec2 x
Z
cos (3x) dx
(e)
dx
1
1 + cos(2x)
2
2
Z
3
cos x dx
Z
1 + tg2 x = sec2 x
(f )
Z
(i)
sen3 x dx
tg2 x dx
3
cotg
x
2
dx
3. Determine as primitivas das seguintes funções, utilizando o método da primitivação por partes:
√
x
(a) x sen (5x)
(b) 2(x + 1)ex
(c)
(e) ex cos x
(f) arctg x
(g) e−x (x2 + 3)
(h) x2 ln x
(i) arcsen (2x)
(j) x sec2 x
(k) (x3 + x) ln x
(l) x3 e−x
x − 2 ln(x − 2)
(d) ln
2
4. Calcule as primitivas das seguintes funções racionais:
(a)
x3 − 1
x2 + 1
(b)
1
(x − 3)(x − 2)
8x2 + x + 1
(d)
x3 − x
2x − 1
(c)
(x − 1)(x − 2)
(e)
x2 + 3x + 1
x2 − 2x − 3
(f )
(g)
1
2
x + 6x + 25
(h)
x3 − 2x
(i)
(x2 − 1)2
(j)
x2
1
− 6x + 18
x4 + 3x3
x2 − 3x + 2
1
x(x + 1)2
5. Determine as primitivas das seguintes funções, utilizando o método da substituição:
e3x
(a) 2x
e +1
√
(e)
4 − x2
x2
√
2x
(b) 2x
2 + 2x+1 + 2
(c) √
1
(f ) √
4 + x2
(g) √
2
x
2−x
8
x2
−9
x2 + 3
(d) √
9 − x2
(h) p
1
(2 − x2 )3
6. Calcule as primitivas das seguintes funções:
(a)
2
x ln x2
(b) 2 x ex
(c)
1
x x−1
x4 + 6
x2 + 2
√
x
arccos
2
(d) √
4 − x2
(e)
ln x
x ln2 x + 1
(f )
1−x
(g) √
4 − x2
(h)
e3x + 3e2x
e3x + ex
(i) x arctg x
1
√
(j)
x2 4 − x2
1
(k) arctg
x
2
2x
7. Mostre que F (x) = arctg(x )e
(l)
x2
x
cos ln (x2 + 2)
+2
é uma primitiva da função f (x) = e
2x
2x
2
+ 2 arctg(x ) .
1 + x4
8. Calcule a primitiva da função f (x) = x3 + 2x2 cujo gráfico passa pelo ponto (1, 2).
9. Será possı́vel existir uma função f tal que f 0 (x) = 2ex + x2 , f (0) = 3 e f (1) =
10. Determine a função f tal que f (0) = 1;
f 0 (0) = 2;
1
?
3
f 00 (x) = 6x2 + 3x + 1.
11. Será possı́vel existir uma função f tal que f 0 (x) = x + 1, f (0) = 1 e f (1) =
5
?
2
12. No instante em que um automóvel inicia a sua marcha com uma aceleração de 2 m/s2 , um
camião ultrapassa-o com uma velocidade escalar constante e igual a 10 m/s . Se a sua aceleração
se mantiver constante, que distância deve percorrer o automóvel para alcançar o camião e qual
será então a sua velocidade escalar?
3
13. Escreva cada uma das seguintes equações diferenciais na forma y 0 = f (x) e resolva-as.
(a) y 0 −
1
= 0.
x2 + 9
(b) y 0 − (x + 2)−1 = 0.
(c) cos2 (3x) dy − dx = 0.
14. Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
d2 x
= 3t + 1 ; x (0) = 2 ; x0 (0) = 3.
dt2
(b) x000 = 6 ; x (1) = x0 (1) = x00 (1) = 0.
(c)
d2 x
= tet ; x (0) = x0 (0) = 0.
dt2
15. Um ponto descreve um movimento retilı́neo cuja aceleração é definida por a (t) = 12t − 4.
Sabendo que a velocidade inicial é v (0) = 8 e a posição inicial é s (0) = 15, determine s (t) .
16. Resolva as seguintes equações diferenciais:
(a)
x
1
+ 2
y 0 = 0.
x+1 y +1
(c) (1 + cos x) y 0 = y sin x .
(e)
xy
dy
=√
.
dx
x2 − 4
(b) (ev + 1) cos u + ev (sin u + 1) v 0 = 0.
(d) cosec y + sec x y 0 = 0.
(f) xy + 2x + y + 2 + (x2 + 2x) y 0 = 0.
17. Em cada uma das alı́neas seguintes, determine a solução geral da equação diferencial e resolva
o problema de valor inicial com a condição y (x0 ) = y0 dada:
(a) y + 2 + y (x + 4) y 0 = 0 ; y (−3) = −1.
(b)
dy
= xy 2 ex ; y (0) = 2.
dx
4
Soluções
Nos exercı́cios de 1 a 6, C é uma constante real, ou seja, C ∈ R.
1.
(a)
(c)
(e)
1
x4
+
+C ;
4x4
16
10 √
3x − 3 − 3x + C ;
3
√
1
− 2 +44x+C ;
2x
(1 + 2x)4
+C ;
8
√
2√ 5
(d) 2 x +
x +C ;
25
√
x5
(f) 12 3 x −
+C ;
5
4 x
x4
3 +
(h)
+C ;
4
ln 43
ln 3 + x3 (j)
+C ;
3
−
(b)
2
(g)
e3x
+C ;
6
(i)
5
ln |x| − 3e−x + C ;
2
cos(x2 )
+C ;
2
√
3
(m) −
cotg x + C ;
3
arccos(2x3 )
arcsin(2x3 )
(o)
+ C ou −
+C ;
2
2
2 arctg(x3 )
2 arccotg(x3 )
(q)
+ C ou −
+C ;
3
3
(k)
8x − 3 tg
(n)
2 arcsen(2x) + C ou −2 arccos(2x) + C ;
(p)
(r)
1
x
(l)
tg(x2 )
+C .
2
−e x + C ;
(a)
x sen(4x)
−
+C ;
2
8
(b)
x sen(6x)
+
+C ;
2
12
(c)
cos3 (x)
− cos(x) + C ;
3
(d)
sen(x) −
(e)
2 sen
(f)
tg(x) − x + C ;
(g)
−x − 2cotg
(h)
tg(2x)
−x+C ;
2
2.
x
2
−
x
2
sen3
+C ;
3
2
x
2
+C ;
x x
(i) −2 ln sen
+ C.
− cosec2
2
2
5
+C ;
x
x
−arctg
+ C ou arccotg
+C ;
3
3
1
x+2
x+2
1
arctg
+ C ou − arccotg
+C ;
2
2
2
2
(s)
(t)
3
sen3 (x)
+C ;
3
3.
(a)
x
1
− cos (5x) +
sen(5x) + C ;
5
25
(b)
2x ex + C ;
(c)
3
2
(x − 2) 2 [3 ln(x − 2) − 2] + C ;
9
(d)
x
x ln
−1 +C ;
2
(e)
ex
(cos x + sen x) + C ;
2
(f)
x arctg x −
(g)
−(x2 + 2x + 5)e−x + C ;
(h)
√
(i) x arcsen (2x) +
(k)
x2
x4
+
4
2
1 − 4x2
+C ;
2
ln x −
x4
x2
−
+C ;
16
4
ln(1 + x2 )
+C ;
2
x3
1
ln x −
+C ;
3
3
(j) x tg x + ln |cos x| + C ;
(l) −e−x x3 + 3x2 + 6x + 6 + C.
4.
(a)
ln(x2 + 1)
x2
−
− arctg x + C ;
2
2
(b)
(c)
3 ln |x − 2| − ln |x − 1| + C ;
(d)
(e)
x+
(g)
1
19
ln |1 + x| +
ln |x − 3| + C ;
4
4
x+3
1
arctg
+C ;
4
4
(i)
1
1
1
+ ln |x2 − 1| −
+C ;
4(x − 1) 2
4(x + 1)
(a)
ex − arctg(ex ) + C ;
(f)
(h)
(j)
x − 3
+C ;
ln x − 2
5 ln |x − 1| + 4 ln |x + 1| − ln |x| + C ;
1
x−3
arctg
+C ;
3
3
x3
+ 3x2 + 16x + 40 ln |x − 2| − 4 ln |x − 1| + C ;
3
x 1
+C ;
+ ln x+1
x + 1
5.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
arctg(1 + 2x )
+C ;
ln 2 √ √ p
p
x
x
2 arcsen √
− x(2 − x) + C ou −2 arccos √
− x(2 − x) + C ;
2
2
x xp
x xp
15
15
arcsen
−
9 − x2 + C ou −
arccos
−
9 − x2 + C ;
2√
3
2
2
3
2
√
x
x
4 − x2
4 − x2
−
− arcsen
+ C ou −
+ arccos
+C ;
2
x
2
√ x
4 + x2
x ln + +C ;
2
2
√
x
x2 − 9 8 ln +
+C ;
3
3
x
√
+ C.
2 2 − x2
6
6.
(a)
ln ln x2 + C ;
(b)
√
x − 1 + C ou 2 arccos √1x + C ;
ln ln2 (x) + 1
(e)
+C ;
2
x p
√
+ 4 − x2 + C ou − arccos x2 + 4 − x2 + C ;
(g) arcsen
2
x2
x arctg(x)
(i)
arctg(x) − +
+C ;
2
2
2
(c)
2 arctg
7.
—
8.
F (x) =
9.
x4
2
13
+ x3 + .
4
3
12
Não é possı́vel.
10.
f (x) =
11.
Sim.
12.
100 m
x3
x2
x4
+
+
+ 2x + 1.
2
2
2
e
vA = 20 m/s.
13.
(a) y =
x
1
arctg
+ C.
3
3
(b) y = ln |x + 2| + C.
(c) y =
1
tg(3x) + C.
3
(a) x =
t3
t2
+ + 3t + 2.
2
2
14.
(b) x = t3 − 3t2 + 3t − 1.
(c) x = t et − 2 et + t + 2.
15. s (t) = 2t3 − 2t2 + 8t + 15.
7
2ex (x − 1) + C ;
x
1
+C ;
arccos2
2
2
√
x3
x
(f)
− 2x + 5 2 arctg √
+C ;
3
2
ln 1 + e2x
x
(h) 3 arctg (e ) +
+C ;
2
1
1
(j) x arctg
+ ln x2 + 1 + C .
x
2
(d) −
16.
(a) y = tg (C − x + ln |x + 1|).
(c) y =
C
.
1 + cos x
√
(e) y = C e
x2 −4
.
(b) v = ln(C/(sin u + 1) − 1).
(d) sin x − cos y = C.
√
(f) y = C x2 + 2x − 2.
17.
(a) x + 4 = e−y−1 (y + 2)2 ;
(b) y =
2ex
2
.
− 2xex − 1
8