Sinais e Sistemas
Unidade 5 – Representação em domínio da frequência para sinais contínuos:
Transformada de Laplace
Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng.
[email protected]
Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
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Conteúdo da unidade
• Introdução
• Definição da Transformada de Laplace
• Solução de equações diferenciais lineares
e invariante no tempo
Aulas 01 e 02
• Função de Transferência
• Conceito de pólos e zeros
• Estabilidade de sistemas
Aula 03
• Sistemas com atraso de transporte
• Análise da resposta transitória
• Análise da resposta em regime permanente
Aula 04
• Resposta em frequência e Diagrama de Bode
Aulas 05 e 06
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Aula 06
• Diagramas de Bode
– Procedimento geral para construção
– Exemplo
• Emprego do MATLAB
– Análise transitória de sistemas de primeira e segunda ordem
– Resposta em frequência
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Procedimento de construção
1) Reescrever a função de transferência na forma de Bode
2) Verificar se os termos de ordem superior (quadráticos) podem ser reescritos como termos de 1º ordem com raízes reais
3) Fazer s = jω
4) Separar cada um dos termos
5) Identificar as frequência de canto associadas a cada termo
–
Frequência de intersecção das assíntotas
6) Desenhar as curvas assintóticas
–
–
Módulo em db
Fase em graus
7) Somar graficamente as curvas assintóticas
8) Realizar correções para o traçado da curva real
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Procedimento de construção
• Exemplo
– Traçar o diagrama de bode da seguinte função de transferência
10  s  3 
G s 
s  s  2  s2  s  2
• Solução
1) Reescrever a função de transferência na forma de Bode
10  3  s


1

2 2  3 

G s 
2


s
s   1   s  s  1 
 2  2 2 
s
7 , 5    1 
3 
  s 2 s

s


s  1 
  1

 2   2  2 
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Procedimento de construção
2) Verificar se os termos de ordem superior (quadráticos) podem ser reescritos como termos de 1º ordem com raízes reais
 s1  0, 5  j1, 32
 s  s  2  
 s2  0, 5  j1, 32
2
Não podem. Logo, continuar tratando como um termo quadrático
3) Fazer s = jω
G  jω  
jω 

jω 

7, 5  
 1
 3

jω    jω  2 jω 
 1 

 1

2
  2 
2

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Procedimento de construção
4) Separar cada um dos termos
 jω 
7, 5 ; 
 1 ;
 3

(a)
(b)
 jω 
1
(c)
jω 

; 
 1
 2

1
  jω 

jω
; 

 1
2
 2

2
(d)
1
(e)
5) Identificar as frequência de canto associadas a cada termo
 jω 
7, 5 ; 
 1 ;
 3

ω  3 rad/s
 jω 
1
ω  0 rad/s
jω 

; 
 1
 2

1
ω  2 rad/s
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  jω 
jω 
; 
 1
 
2
 2 

2
1
ω  2 rad/s
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Procedimento de construção
6) Desenhar as curvas assintóticas
a)
7, 5
 Ga  jω   20 log  7 , 5   17 , 5 dB
db


0 o
G
jω
arctg

 a 
 0
 3

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Procedimento de construção
b)
 jω 
 1

 3

ω  3 rad/s
 Gb  jω   0 dB

db
ω3
o
 Gb  jω   0

ω
 Gb  jω  db  20 log  3  dB
ω3
 G  jω   90o
 b
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Procedimento de construção
c)
 jω  1
ω  0 rad/s
 Gc  jω   20 log  1  0 dB

db
ω 1 
o
G
jω


90


 c
 Gc  jω  20 log  10  20 dB

db
ω  1  10  
o
 Gc  jω  90
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Procedimento de construção
1
d)  jω  1 
 2

ω  2 rad/s
 Gb  jω   0 dB

db
ω2
o
 Gb  jω   0

ω


G
jω
20
log
  dB
 b   db
2
ω2
 G  jω   90o
 b
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Procedimento de construção
2

jω 
e)  jω 
     1
2
 2 

ω  2 rad/s
1
 Gb  jω  0 dB

db
ω 2 
o
G
jω

0


 b

 ω 
40
log
G
jω



 dB
 b   db
 2
ω 2 
 G  jω   180o
 b
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Procedimento de construção
• Módulo total  Soma da contribuição de cada fator
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Procedimento de construção
• Fase total  Soma da contribuição de cada fator
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Bibliografia
[1] OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 3ª ed. Rio de Janeiro: Prentice‐
Hall, 2000.
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