Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica
MB-210 Probabilidade e Estatística
Profa. Denise Beatriz Ferrari
www.mec.ita.br/∼denise
[email protected]
2o. semestre/2013
Probabilidade Condicional e Independência
Roteiro
Definição de Probabilidade Condicional
Independência de Eventos
Teoremas Fundamentais
Probabilidade Condicional
Permite analisar o resultado de um experimento aleatório (cálculo de
probabilidades), quando existe intervenção no espaço amostral (e.g.,
quando temos informação incompleta).
Exemplos
I
Num experimento em que um dado é lançado duas vezes, sabe-se
que a soma dos dois resultados vale 9. Qual a probabilidade de que
o primeiro resultado tenha sido 6?
I
Um objeto é detectado por um radar. Qual a probabilidade de que
seja um avião?
I
Qual a probabilidade de que o paciente esteja doente, dado que o
teste deu negativo?
Probabilidade Condicional
Exemplo
Suponha que em uma sala de aula com 15 meninos e 10 meninas, um
aluno é escolhido ao acaso para realizar uma tarefa na aula de 4a. feira.
Um outro aluno é escolhido aleatoriamente para realizar a mesma tarefa
na aula de 6a. feira.
Dado o resultado da escolha de 4a. feira, qual a probabilidade de que na
6a. feira o aluno escolhido seja do sexo masculino?
Probabilidade Condicional
Exemplo (Cont.)
Duas respostas são possíveis, dependendo do resultado de 4a. feira:
1. Um menino foi escolhido na 4a. feira
⇒ P[ outro menino ser escolhido na 6a. feira ] = 14/24
2. Uma menina foi escolhida na 4a. feira
⇒ P[ um menino ser escolhido na 6a. feira ] = 15/24
Estas são probabilidades condicionais!
Nota:
Se não tivéssemos nenhuma informação sobre o resultado de 4a. feira, a
resposta seria 15/25
Probabilidade Condicional
Exemplo (Cont.)
I
Se sabemos que um determinado evento B ocorreu, então o espaço
amostral para outro evento subsequente é reduzido para os
resultados possíveis à luz desta informação, ou seja, os resultados
pertencentes a B.
I
Para determinar a probabilidade da ocorrência de um outro evento
A, devemos considerar o conjunto de resultados em B que também
resultam na ocorrência de A ⇒ este é o evento AB.
Probabilidade Condicional
Definição
Sejam A e B dois eventos associados a um experimento aleatório E e
definidos em um espaço amostral Ω.

∆ P[AB]

 P[A|B] = P[B] , P[B] > 0


∆ P[AB]
P[A] ,
P[B|A] =
P[A] > 0
A expressão P[A|B] representa a probabilidade de ocorrência do evento
A, dado que o evento B ocorreu.
Regra do Produto
=⇒ P[AB] = P[A|B]P[B] = P[B|A]P[A]
Probabilidade Condicional
Propriedades
Probabilidade condicional é função probabilidade
(satisfaz os três axiomas):
1. P[A|B] ≥ 0
2. P[Ω|B] = 1
3. A1 , A2 , . . . tais queP
Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j
=⇒ P[∪i Ai |B] = i P[Ai |B]
(Demonstrar em casa)
Probabilidade Condicional
Propriedades
... e, portanto, também satisfaz as propriedades decorrentes dos axiomas:
I
I
P[Ac |B] = 1 − P[A|B]
No entanto, geralmente, P[A|B c ] 6= 1 − P[A|B]
P[A ∪ B|C ] = P[A|C ] + P[B|C ] − P[AB|C ], P[C ] > 0
I
AB = ∅ ⇒ P[A|B] = 0
I
B ⊂ A ⇒ P[A|B] = 1
I
Podemos ter:
P[A|B] < P[A] ou P[A|B] > P[A] ou P[A|B] = P[A]
Não existe relação entre as probabilidades condicionais e as
probabilidades marginais correspondentes.
I
...
Independência de Eventos
Dois eventos aleatórios A e B são independentes se, e somente se:
P[A|B] = P[A];
P[B|A] = P[B]
(condição necessária e suficiente)
=⇒ P[AB]=P[A|B]P[B] = P[B|A]P[A]
=P[A]P[B]
Quando dois eventos são independentes, a ocorrência de um não exerce
nenhuma influência na probabilidade de ocorrência do outro.
Nota: Independência é hipótese (não é de natureza estatística)
Independência de Eventos
Exemplo (Cont.)
Sejam os eventos:
A
Ac
B
:
:
:
M selecionado na 4a. feira
F selecionado na 4a. feira
M selecionado na 6a. feira
Pergunta-se: A e B são independentes?
E se for irrelevante o aluno selecionado na 4a. feira?
Independência de Eventos
Propriedades
∀A ⊂ Ω:
I
A e ∅ são independentes
I
A e Ω são independentes
∀A, B ⊂ Ω, com A e B independentes:
I
Ac e B c
I
A e Bc
I
Ac e B
... também são independentes.
(Demonstrar em casa)
Independência de Eventos
Propriedades
I
A1 , A2 , . . . An são independentes aos pares se
P[Ai Aj ] = P[Ai ]P[Aj ],
I
∀i 6= j
A1 , A2 , . . . An são globalmente independentes se
∀k ≤ n, quaisquer que sejam os eventos Ai(1) , Ai(2) , . . . , Ai(k) , temos:
P[Ai(1) Ai(2) . . . Ai(k) ] = P[Ai(1) ] · · · P[Ai(k)k ],
onde i(j) 6= i(m) se i 6= j.
Isto significa que podemos tomar eventos 2-a-2, 3-a-3, ..., n-a-n e a
probabilidade de interseção é o produto das probabilidades marginais.
Número
de condições
paranverificar:
Pn
Pn
n
n
n
n
=
k=2 k
k=0 k − 0 − 1 = 2 − n − 1 (T.Bin. de Newton)
Independência de Eventos
Propriedades
I
Independência Condicional:
Dois eventos A e B são ditos condicionalmente independentes com
relação a um evento C se
P[AB|C ] = P[A|C ]P[B|C ]
Não confundir:
Eventos Independentes × Eventos Disjuntos
Teoremas Fundamentais
I
Teorema da Probabilidade Total
I
Teorema de Bayes
Permitem a resolução de problemas complexos através de uma partição
adequada do espaço amostral.
Probabilidade:
Independência + TPT + TB
Teoremas Fundamentais
Ilustração
Júlia diz a Pedro que comprou uma blusa
nova e pede que ele adivinhe a cor.
Pedro acredita que Júlia tenha escolhido
uma blusa vermelha ou verde, mas está na
dúvida a respeito da cor selecionada.
Ele conta com as seguintes pistas para ajudá-lo:
Teoremas Fundamentais
Ilustração
Pedro sabe que:
I
Há apenas 4 lojas que vendem blusas do jeito que Júlia gosta:
B1 , B2 , B3 e B4
I
Como já está acostumado a levá-la a essas lojas, sabe que há a
disponibilidade de blusas vermelhas e verdes nas lojas nas seguintes
porcentagens:
vermelhas: 25, 50, 30 e 50
verdes: 40, 30, 45 e 30
I
Júlia compra 40% de suas roupas em B1 , 25% em B2 , 20% em B3 e
15% em B4 .
Como Pedro pode utilizar estas informações para adivinhar:
1. qual a cor da blusa comprada por Júlia?
2. onde Júlia comprou a blusa?
Teorema da Probabilidade Total
B = (A1 B) ∪ (A2 B) ∪ . . . ∪ (Ak B)
Se P[Aj ] > 0,
=⇒
j = 1, . . . , k:
P[B] =
k
X
j=1
P[B|Aj ]P[Aj ]
P[B] =
Pk
j=1
P[Aj B]
Teorema de Bayes
P[B] > 0;
P[Aj ] > 0,
j = 1, . . . ,k
Temos para i = 1, . . . , k:
P[B|Ai ]P[Ai ]
P[Ai |B] = Pk
j=1 P[B|Aj ]P[Aj ]
Nota:
O teorema de Bayes é comumente utilizado para realizar inferência:
Existe um certo número de “causas” que podem resultar em um
determinado “efeito”. Observamos o efeito e desejamos inferir a causa.
Exemplo
Problema da Comunicação Ruidosa
Um sistema de comunicação transmite 0 ou 1.
Existe ruído no sistema, de forma que o sinal transmitido às vezes pode
ser recebido incorretamente.
Sabemos que 60% dos sinais transmitidos correspondem a 0 e que a
transmissão se dá corretamente em 70% das vezes para o valor 0 e 80%
das vezes, para o valor 1.
I
O valor 1 chegou ao receptor.
Qual a probabilidade de ter havido erro de transmissão?
I
Qual a probabilidade de erro de transmissão do sistema?
Exemplo
Problema dos Fofoqueiros
A diz que B lhe contou que C mentiu. As três pessoas dizem a verdade
com probabilidade p ∈ (0,1), independentemente umas das outras.
Qual a probabilidade de que C tenha realmente mentido?
Desafio
Problema de Monty-Hall
I
Apenas uma das portas é premiada
I
O participante escolhe uma porta
I
O apresentador abre uma das portas não selecionadas
O participante deve mudar de opção?
Desafio
Problema de Monty-Hall
Solução
Desafio
Problema de Monty-Hall (Solução)
A resposta pode causar uma certa confusão por dois motivos:
A. Não sabemos o critério de escolha do apresentador
B. As pessoas em geral ignoram a informação adicional implícita no
fato de que o apresentador abre uma das portas
Desafio
Problema de Monty-Hall (Solução)
Critério de escolha do apresentador:
1. Abre uma das portas aleatoriamente
2. Sempre abre uma porta que sabe estar vazia
3. Só abre a porta quando sabe que o participante escolheu a porta premiada
Em cada um desses casos:
1. A probabilidade de o prêmio encontrar-se atrás das outras portas se
redistribui igualmente entre elas;
2. A probabilidade de o prêmio estar atrás da porta escolhida não muda;
3. A probabilidade de o participante ter escolhido a porta premidada vai a
100%.
Vamos analisar a alteração do espaço amostral...