ME414:ESTATISTICA PARA EXPERIMENTALISTAS
Prof.: Vı́ctor Hugo Lachos Dávila - I-2013
a
2 Lista de Exercı́cios - Probabilidade e v.a’s discretas
Entrega: 18/04/2013
1. Seja A e B dois eventos de Ω, tal que P (B) > 0. Mostre que:
(a) Se P (A|B) = P (A) entao P (A ∩ B) = P (A) P (B).
(b) P (A ∩ B) = P (A) P (B) então A e B sao independentes.
2.Uma colecção de 100 programas de computador foi examinada para detectar erros de sintaxe, input/output
e de outro tipo diferente dos anteriores. Desses 100 programas, 20 tinham erros de sintaxe, 10 tinham erros
de input/output e 5 tinham erros de outro tipo, 6 tinham erros de sintaxe e de input/output, 3 tinham erros
de sintaxe e de outro tipo, 3 tinham erros de input/output e de outro tipo e 2 tinham os três tipos de erros
considerados. Um programa é seleccionado ao acaso desta colecção. Determine a probabilidade de que o
programa seleccionado tenha:
(a) Exclusivamente erros de sintaxe.
(b) Pelo menos um dos três tipos de erros.
3. Sejam A e B acotencimentos tais que P (A) + P (B) = x e P (A ∩ B) = y. Determine em função de x e
y a probabilidade de:
(a) Não se realizar nenhum dos dois acontecimentos.
(b) Que se realize um e um só dos dois acontecimentos.
(c) Que se realize pelo menos um dos dois acontecimentos.
(d) Que se realize quanto muito um único acontecimento.
4. Suponha que uma cidade tem n + 1 habitantes e que um deles conta um boato a outro, que por sua vez
o repete a um terceiro, e assim sucessivamente. Em cada passo, a pessoa que ouve o boato é escolhida ao
acaso de entre as n restantes. Determine a probabilidade de que um boato seja contado r vezes:
(a) Sem antes voltar a ser contado à pessoa que lhe deu inı́cio.
(b) Sem que ninguém o ouça mais do que uma vez.
5. Acreditase que numa certa população, 20% de seus habitantes sofrem de algum tipo de alergia e são
classificados como alérgicos para fins de saúde pública. Sendo alérgico, a probabilidade de ter reação a um
certo antibiótico é de 0.5. Para os não alérgicos essa probabilidade é de apenas 0.05. Uma pessoa dessa
população teve reação ao ingerir o antibiótico, qual a probabilidade de ser do grupo não alérgico?
6. Numa turma, 20% dos alunos falam Inglês, 40% falam Francês e 15% dominam as duas lı́nguas.
(a) Averigúe se falar Francês e falar Inglês são acontecimentos independentes.
(b) Calcule a probabilidade de: (b.1) Um aluno escolhido ao acaso falar pelo menos uma das lı́nguas; (b.2)
Um aluno não falar nenhuma das lı́nguas; (b.3) Um aluno falar uma e uma só das duas lı́nguas.
(c) Sabendo que um aluno não fala Inglês, qual a probabilidade do mesmo falar Francês?
7. Três fábricas fornecem equipamentos de precisão para o laboratório de quı́mica de uma universidade.
Apesar de serem aparelhos de precisão, existe uma pequena chance de subestimação ou superestimação das
medidas efetuadas. A tabela a seguir apresenta o comportamento do equipamento produzido em casa fábrica.
As fábricas I,II e III fornecem, respectivamente, 20%, 30% e 50% dos aparelhos utilizados. Escolhemos, ao
acaso, um desses aparelhos e perguntamos a probabilidade de:
(a) Haver superestimação de medidas?
(b) Não haver subestimação das nedidas efetuadas?
1
Fabrica I
Probabilid
Subestima
0.01
Exata
0.98
Superestima
0.01
Fabrica II
Probabilid
Subestima
0.005
Exata
0.980
Superestima
0.015
Fabrica III
Probabilid
Subestima
0.00
Exata
0.99
Superestima
0.01
(c) Dando medidas exatas, ter sido fabricado em III?
(d) Ter sido produzido em I, dado que nao subestima as medidas?
8. Uma companhia que fura poços artesianos trabalha numa região escolhendo, aleatóriamente, o ponto
de furo. Não encontrando água nessa tentativa, sorteia outro local e, caso também não tenha sucesso, faz
uma terceira e última tentativa. Admita probabilidade 0.7 de encontrar água em qualquer ponto dessa
região. Calcule a probabilidade de:
(a) Encontrar água na segunda tentativa.
(b) Encontrar água em até duas tentativas.
(c) Encontrar água
(d) Se a companhia encontrou água, qual probabilidade de ter acontecido na terceira tentativa?
9. Suponha três urnas com as seguintes configurações: a urna 1 contém 6 bolas pretas, 3 branca e 4
vermelhas; a urna 2 contém 3 bolas pretas, 5 brancas e 2 vermelhas; a urna 3 contém 4 bolas pretas, 2
brancas e 2 vermelhas. Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso, verificou-se que
a bola é vermelha. Qual a probabilidade da bola ter vindo da urna 2? E da 1?
10. Um teste é constituı́do por uma pergunta com n alternativas. O indivı́duo que o faz ou conhece a
resposta ou responde ao acaso. Seja p a probabilidade de um indivı́duo conhecer a resposta. Admitindo que
a probabilidade de um indivı́duo responder correctamente à questão dado que conhece a resposta é 1 e que
a probabilidade de responder correctamente dado que responde ao acaso é 1/n:
(a) Verifique que a probabilidade de um indivı́duo não ter respondido ao acaso dado que respondeu correcnp
tamente é 1+(n−1)p
(b) Calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso não responder correctamente à questão,
supondo n = 5 e p = 0.20
11. Quinze pessoas portadoras de determinada doença são selecionadas para se submeter a um tratamento.
Sabe-se que este tratamento é eficaz na cura da doença em 80% dos casos. Suponha que os indivı́duos
submetidos ao tratamento curam-se (ou não) independentemente uns dos outros e considere X o número de
curados dentre os 15 pacientes submetidos ao tratamento.
(a) Qual a distribuição de X?
(b) Qual a probabilidade de que os 15 pacientes sejam curados?
(c) Qual a probabilidade de que pelo menos dois não sejam curados?
12. Em uma pizzaria com entrega em domicı́lio, 30% dos pedidos por telefone são de mais de uma pizza.
Certo dia, o dono decide mandar um brinde ao cliente que fizer o primeiro pedido com mais de uma pizza.
Seja X o número de pedidos recebidos até o ganhador do brinde.
(a) Qual a distribuição de X?
(b) Determine o menor número de pedidos necessários para garantir que o brinde saia com probabilidade
maior que 0,9
13. Duas bolas são escolhidas aleatoriamente de uma urna contendo 4 bolas azuis, 3 vermelhas e 2 laranjas.
Suponha que ganhamos 10 reais para cada bola azul selecionada, ganhamos 1 real para cada bola laranja,
porém perdemos 8 reais para cada bola vermelha. Seja X o lucro.
(a) Determine a função de probabilidade de X?
(b) Obtenha o valor esperado e a variância de X.
14. O número X de acidentes de trabalho que ocorrem em uma fábrica por semana segue uma distribuição
de Poisson. Sabendo que porcentagem de semanas em que ocorre um acidente é um terço da porcentagem
de semanas em que não acontece nenhum, calcule:
(a) o parâmetro da distribuição.
(b) a probabilidade de que ocorra um acidente em uma semana e também um na semana seguinte.
A partir de uma data, a direção da fábrica vai registrar o número Y de semanas decorridas até uma
semana com ao menos um acidente.
(c) Qual a distribuição de Y ?
(d) Obtenha a probabilidade de que a semana com acidente seja a quarta na contagem.
15. Uma urna contém cinco bolas numeradas de 1 a 5. Duas bolas são retiradas simultaneamente. Obtenha
a função de probabilidade e faça o gráfico da função de distribuição das seguintes variáveis aleatórias:
(a) o maior número sorteado.
(b) a soma dos números retirados.
16. Existe uma variável aleatória X com E(X) = 3 e E(X 2 ) = 8? Se sim, qual? Se não, por quê?
17. Suponha que n pessoas, incluindo você e um amigo, alinham-se aleatoriamente para tirar uma foto. Seja
X o número de pessoas que ficam entre você e o seu amigo. Determine o valor esperado de X.
n−2
∑
n(n − 1)(n − 2)
Sugestão: Use que
x(n − 1 − x) =
.
6
x=1