Geometria Descritiva
Prof. Sérgio Viana
Estas notas de aulas são destinadas a todos aqueles que desejam ter
um conhecimento básico de Geometria Descritiva,
Descritiva para um posterior
estudo mais profundo.
Geometria Descritiva - Prof. Sérgio Viana
GEOMETRIA DESCRITIVA
Ciência que estuda os métodos de representação gráfica das figuras
espaciais sobre um plano, resolvendo os problemas em que são consideradas até
as três
t ê dimensões,
di
õ
capazes d
de ser utilizadas
tili d nas iindústrias
dú t i e nas artes.
t
Projeção : Figura geométrica obtida pela incidência sobre um plano de
perpendiculares tiradas dos extremos da linha ou objeto que se quer representar.
Classificação das Projeções
Projeção Ortogonal – cilíndrica fig 2 A e 3 A;
j ç Obliqua
q – cilíndrica fig.
g 2B e 3 B ou cônica fig.
g 1.
Projeção
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Projeção Cilíndrica
Fig.. 1 - A figura, sendo paralela ao plano, se projeta em sua real grandeza, ou seja, projeção igual a figura.
Fig.. 2 - Quando a figura é oblíqua ao plano, haverá uma acentuada modificação em sua imagem projetada.
Fig..
g 3 - A figura
g
ép
perpendicular
p
ao p
plano. Sua p
projeção
j ç se reduz a um segmento.
g
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Projeção Cônica
A projeção cônica transforma um par de pontos em outro par, dando origem a triângulos semelhantes que tem
um vértice
é i comum ( P )).
Projeção Cônica Direta
Dependendo da origem dos elementos, pólo, figura e plano, a projeção será semelhante à figura objetiva ( ampliada
ou reduzida ), ou mesmo reduzida a um ponto, portanto nula.
Fig.. 4 - Pólo, figura, plano - projeção ampliada.
Fig.. 5 - Pólo, plano, figura - projeção reduzida.
Fig.. 6 - Figura, pólo ( coincidentes com o plano ) - projeção inversa
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Projeção Cônica - Inversa
Fig 7 - Pólo eqüidistantes da fig
Fig..
figura
ra e plano - projeção ig
igual
al à fig
figura.
ra
Fig.. 8 - Pólo mais próximo da figura - projeção ampliada.
Fig.. 9 - Pólo mais próximo do plano - projeção reduzida.
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Projetividade
j
Na figura abaixo temos a perspectiva de um objeto no espaço e suas
projeções ortogonais sobre dois planos de
projeção
(π’)
e
(π).
O
símbolo
que
representa o plano vertical de projeção é
(π’)) e o símbolo que representa o plano
(π
horizontal de projeção é (π). Na interseção
dos dois planos temos a linha de terra, que
é representada por LT.
Todo
ponto
a
ser
projetado
é
representado por uma letra maiúscula entre
parênteses. Exemplo (A)
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A projeção de um ponto (A) no plano (π’) é representada por A’ e a sua
projeção no plano (π) será A.
D iedros
O s planos de projeção (π’) e (π)
dividem o espaço em quatro diedros e a
linha de terra divide cada plano de
projeção em dois sem iplanos.
S pH A – S em iplano horizontal anterior;
S pH P – S em iplano horizontal posterior;
S pV S – S em iplano vertical superior;
S pV I – Sem iplano vertical inferior.
A região do espaço lim itada pelos S pH A e S pV S denom ina-se prim eiro
diedro, a lim itada pelas S pVS e SpH P segundo diedro, a lim itada pelos S pH P e
diedro
S pV I terceiro diedro e a lim itada pelas S pVI e S pH A quarto diedro.
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Épura
O francês Gaspard
p
Monge
g foi o criador da Geometria Descritiva e idealizou
um modo de mostrar as projeções denominada Épura.
figura 1
figura 2
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Não se pode medir com régua e compasso as distâncias A’(A) e A(A)
porque são desenhos que representam figuras no espaço e só podemos medir
di tâ i sobre
distâncias
b o plano.
l
A
Ao girarmos
i
um plano
l
sobre
b o outro,
t
em ttorno d
da lilinha
h
de terra, temos o semiplano horizontal posterior (SpHP) coincidindo com o
semiplano vertical superior (SpVS). Teremos também a
coincidência
do
semiplano
horizontal
anterior
(SpHA)
coincidindo com o semiplano vertical inferior (SpVI) conforme
figura 3 abaixo
abaixo.
figura 3
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As projeções verticais e horizontais de um ponto qualquer determ inam um a
linha perpendicular à linha de terra que cham am os de linha de cham ada conform e
g
abaixo.
a figura
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Estudo do ponto
Na figura abaixo temos as três coordenadas de um ponto (A).
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P o s iç ã o d o p o n to
A fa s ta m e n to
C o ta
1 º D ie d ro
p o s itiv o
p o s itiv a
2 º D ie d ro
n e g a tiv o
p o s itiv a
3 º D ie d ro
n e g a tiv o
n e g a tiv a
4 º D ie d ro
p o s itiv o
n e g a tiv a
SpHA
p o s itiv o
n u la
SpVS
n u lo
p o s itiv a
SpHP
n e g a tiv o
n u la
SpVI
n u lo
n e g a tiv a
L T
n u lo
n u lo
A s c o o rd e n a d a s d e u m p o n to sã o se m p re d a d o s n a o rd e m (x ;y ;z), o n d e x é a a b scissa; y o
a fa sta m e n to e z a c o ta .
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Exemplo:
1. O ponto (A) no espaço onde (A) = (1;3;2) ou (A) = (x;y;z)
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R e b a tim e n to
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1. E m épura, a abscissa x de um ponto é m arcado sobre a linha de terra, a
partir da origem pré fixada. A épura do ponto (A) é representada na
épura da seguinte form a, conform e a figura abaixo.
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P la n o B is s e to r
O p la n o q u e d iv id e u m d ie d ro e m d u a s p a rte s ig u a is c h a m a -s e p la n o
b is s e to r.
r O s ím b o lo (β i) o u (β 1 3 ) s ig n ific a p la n o b is s e to r ím p a r e (β p ) o u (β 2 4 )
s ig n ific a p la n o b is s e to r p a r.
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Estudo da Reta
Dois p
pontos distintos determinam uma reta. A reta é representada
p
por uma letra minúscula entre parênteses (r). E r’ representa a projeção de
uma reta (r) no plano (π’) e r representa a projeção de uma reta (r) no plano
( )
(π).
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Tipos de Retas
Reta Horizontal é toda reta paralela ao plano horizontal. Quando a reta é
paralela ao plano horizontal sua projeção vertical é paralela à linha de terra.
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Reta Frontal é toda reta paralela ao plano vertical. Quando a reta é
paralela ao plano vertical sua projeção horizontal é paralela á linha de terra.
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Reta Paralela à linha de terra é toda reta paralela à linha de terra e
paralela ao plano vertical e ao plano horizontal. Quando a reta é paralela ao plano
plano horizontal suas p
projeções
j ç
são p
paralelas à linha de terra.
vertical e ao p
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Reta Vertical é toda reta perpendicular ao plano horizontal. A sua projeção
horizontal é um ponto e sua projeção vertical é uma reta vertical r’.
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Reta de Topo é toda reta perpendicular ao plano vertical. A sua projeção
horizontal é uma reta vertical e sua projeção vertical é um ponto.
O rebatimento de uma Reta de perfil será estudado mais adiante.
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T
Traços
de
d uma Reta
R t
Traços de uma reta são os pontos onde a reta fura os planos de projeção.
(v) – Traço Vertical
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Para encontrar o traço vertical de uma reta, se prolonga sua projeção r até
a linha de terra. Na interseção da linha de terra com a projeção r levanta
levanta-se
se uma
linha de chamada até encontrar a projeção r’. Na interseção da linha de chamada
com a projeção r’ temos o traço (v).
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(H ) – T r a ç o H o r iz o n ta l
P a ra e n c o n tra r o tra ç o H o riz o n ta l d e u m a re ta , s e p ro lo n g a s u a p ro je ç ã o r ’
a té a lin h a d e te rra . N a in te rs e ç ã o d a lin h a d e te rra c o m a p ro je ç ã o r’ le v a n ta -s e
u m a lin h a d e c h a m a d a a té e n c o n tra r a p ro je ç ã o r . N a in te rs e ç ã o d a lin h a d e
c h a m a d a c o m a p ro jje ç ã o r te m o s o tra ç o ((H )).
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Rebatimento de uma Reta de Perfil
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R eta s C o p la n a re s e R e tas N ã o C o p la na re s
D u a s re tta s n o e spaço sã
ã o cop lana
l
re s o u n ã o co p la
l n a re s. S e d ua s re ttas
e stã o contid a s n o m e sm o p lan o d ize m os que são cop lan a re s. R eta s C oplana re s
p o de m se r co n co rren tes, pa rale las o u coin cid en te s. A s retas n ão co p la n a re s são
tam b ém cha m a das retas re versa s.
A s re ta s co p lan a re s p o dem se r:
C o n c o rre n te s
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P a r a le la s
-
-
d is tin ta s
c o in c id e n te s
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Reversas
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Planos
A interseção do plano (α) com o plano ( π ) determ ina a reta α ππ’ que se
denom ina traço vertical do plano. A interseção do plano (α) com o plano ( π )
determ ina um a outra reta, α π, que se determ ina traço horizontal. Na épura
qualquer plano pode ser representado por seus traços.
traços Os planos devem ser
representados por um a letra grega m inúscula.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
MACHADO, Adervan. Geometria Descritiva. Editora McGraw-Hill do Brasil
LTDA 1974
LTDA,
PRÍNCIPE JR. Geometria Descritiva. V.1 e 2.
STAMATO, José. Cadernos do MEC, Introdução ao Desenho Técnico, 1972
http://www.mat.uel.br/marie ( acessado em 7/01/2008)