ESCOLA SUPERIOR NÁUTICA INFANTE D. HENRIQUE
VIBRAÇÕES MECÂNICAS
TEXTOS DE APOIO
Prof. Victor Franco Correia
ENIDH, 2002-2010
Índice:
1. SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE
1.1 Vibrações livres não amortecidas
1.2 Vibrações livres amortecidas
1.3 Resposta a uma solicitação harmónica
de amplitude constante
1.4 Resposta a uma solicitação harmónica
devida a massas rotativas desequilibradas
1.5 Resposta a um movimento harmónico
da base de suporte
1.6 Transmissibilidade. Isolamento de vibrações
2. SISTEMAS COM N GRAUS DE LIBERDADE
2.1 Sistemas com 2 graus de liberdade. Vibrações livres
não amortecidas. Modos naturais
2.2 Modelo simplificado da suspensão de um veículo
Página 1
SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE
VIBRAÇÕES LIVRES NÃO AMORTECIDAS
Considere-se o modelo simplificado de um
sistema com um grau de liberdade. Este sistema
não dispõe de amortecimento, não havendo por
Massa
isso dissipação de energia (sistema conservativo).
Quando
não
existem
forças
perturbadoras
aplicadas ao sistema, mas a massa M é sujeita a
um deslocamento x
e velocidade x& iniciais,
K
Mola
sendo depois abandonado a si próprio, ocorrem
vibrações livres.
No caso de não haver amortecimento, a equação que rege o movimento é:
M &x&(t ) + K x(t ) = 0
(1)
trata-se de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear, cuja solução é da
forma:
x(t ) = C e st
(2)
substituindo em (1) obtém-se: M s 2 + K = 0 , donde
s=±i
K
= ± i ωn
M
com
K
= ωn
M
(3)
A resposta do sistema será então dada por
x(t ) = C1 e iω n t + C 2 e −iω n t
(4)
ou atendendo a que: e ± iω n t = cos ω n t ± i sen ω n t , vem
x(t ) = A1 cos ωn t + A2 sen ω n t
(5)
Página 2
Esta solução representa um movimento harmónico simples, cuja frequência angular, medida
em radianos, por unidade de tempo, é dada por
ωn =
K
M
(6)
A frequência ω n é designada por frequência natural do sistema.
O tempo necessário para completar uma oscilação completa é definido pelo período T , que
corresponde ao tempo que decorre entre dois instantes consecutivos para os quais o oscilador
harmónico atinge o mesmo estado (i.e. mesma posição e mesma velocidade), sendo dado por
T=
2π
ωn
É por vezes, usual representar a frequência natural em ciclos por segundo (Hz). Neste caso a
frequência natural é referenciada por f n e dado que um ciclo corresponde a 2π radianos,
temos
f n = ωn
1
1
= .
2π T
As constantes A1 e A2 de (5) são calculadas a partir das condições iniciais do problema.
Admitindo-se que, para o instante inicial, t = 0 :
A1 = x(0) e A2 =
x(t ) = x(0)
e
x& (t ) = x& (0) , obtém-se:
x& (0)
, e assim a equação (5) será dada por
ωn
x(t ) = x(0) . cos ω n t +
x& (0)
sen ω n t
ωn
(7)
Página 3
VIBRAÇÕES LIVRES AMORTECIDAS
Considere-se agora o modelo simplificado de um sistema com um grau de
liberdade com amortecimento do tipo
Massa
viscoso.
Quando o sistema mecânico vibra,
dissipa-se energia devido às forças de
Amortecedor
amortecimento e assim, quando a
K
vibração é livre, a sua amplitude vai
Mola
decrescendo com o tempo.
A equação do movimento é dada por
M &x&(t ) + C x& (t ) + K x(t ) = 0
(8)
que é uma equação diferencial linear ordinária de segunda ordem e coeficientes constantes,
cuja solução é da forma x(t ) = A e st e após substituição na equação anterior (8), vem
(
)
A e st M s 2 + C s + K = 0
e dado que o termo A e st , não pode ser nulo para todos os valores de t, vem
M s2 + C s + K = 0
(9)
que é conhecida por equação característica do sistema. As raízes desta equação são
s1,2 =
1 
2

− C ± C − 4 M K 
2M 

(10)
e assim 3 casos se podem dar:
Página 4
1. C 2 > 4 M K - Ambas as raízes são reais. A força de amortecimento é a principal força
que governa o sistema e este diz-se Super-amortecido.
2. C 2 < 4 M K
- As duas raízes são complexas conjugadas.
As forças de inércia
prevalecem neste caso e o sistema diz-se Sub-amortecido.
3. C 2 = 4 M K
- A raiz quadrada é nula e têm-se duas raízes reais iguais. Neste caso diz-
se que o amortecimento do sistema é crítico, por constituir o limite entre os dois casos
anteriores.
Verifica-se assim que para qualquer sistema vibratório, se pode definir um coeficiente de
amortecimento crítico dado por
Cc 2 = 4 M K ⇒
Cc = 2 M
K
M
⇒
Cc = 2 M ωn
(11)
em que ω n é a frequência natural do sistema não amortecido.
Pode ainda definir-se o chamado factor de amortecimento, como a relação entre o
amortecimento efectivo de um sistema e o seu amortecimento crítico
ζ=
C
C
=
Cc 2 M ωn
(12)
e assim, com base nesta definição, o amortecimento crítico corresponderá a ζ = 1 .
Introduzindo as condições para o instante inicial, t = 0 : x(t ) = x(0) e x& (t ) = x& (0) , as
soluções da equação (8) serão dadas por
1. Sistema com amortecimento crítico ζ = 1 :
x(t ) = e − ω n t [x(0) (1 + ω n t ) + x& (0) t ]
(13)
Página 5
2. Sistema super-amortecido ζ > 1 :

x(t ) = e

x& (0) + ζω n x(0)

2

2


x(0). cosh ω n ζ − 1 − t  +
sinh  ω n ζ − 1 − t 
2





ωn ζ − 1


− ζω n t 
(14)
3. Sistema sub-amortecido ζ < 1 :


x& (0) + ζω n x(0) 
x(t ) = e − ζω n t  x(0). cos ω n t 1 − ζ 2  +
sin  ω n t 1 − ζ 2 





ωn 1 − ζ 2


(15)
Para o caso do sistema super-amortecido, ζ > 1 , o sistema não tende a oscilar, uma vez que as
funções hiperbólicas de variável real não são periódicas.
Para o caso do sistema sub-amortecido, ζ < 1 , a resposta dada por (15) descreve um
movimento periódico de frequência
ωa = ωn 1 − ζ 2
afectado por um factor de atenuação, cujo valor é dado por: e − ζ ω n t . A frequência ω a é
designada por frequência natural amortecida e verifica-se que é menor que a frequência
natural do sistema não amortecido ω n .
Nas figuras seguintes apresentam-se exemplos de sistemas vibratórios, respectivamente,
super-amortecidos com ζ > 1 , com amortecimento crítico i.e. com ζ = 1 e sub-amortecidos
com 0 < ζ < 1 . Apresentam-se curvas que ilustram os efeitos da variação da velocidade
inicial, v0 = x& (0) , frequência natural ω n e factor de amortecimento ζ .
Página 6
Sistema super-amortecido - ζ > 1
Página 7
Sistema com amortecimento crítico - ζ = 1
Página 8
Sistema sub-amortecido - 0 < ζ < 1
Página 9
Dos casos anteriores, o único em que estamos interessados corresponde à situação em que
ζ < 1 . Neste caso o movimento é vibratório e a resposta do sistema, equação (15), pode ser
escrita sob a forma
1
2

 x& (0) + ζω x(0)   2




n
x(t ) = e − ζ ω n t  x(0) 2 + 
sin  ω n 1 − ζ 2 t + ϕ 

2  




 ωn 1 − ζ
 

(16)
em que ϕ representa o ângulo de fase inicial, sendo dado por
ϕ = tan −1
x ( 0) ω n 1 − ζ 2
x& (0) + ζ ω n x(0)
(17)
1
2

 x& (0) + ζω x (0)   2




n
A =  x ( 0) 2 + 

2
 ω 1− ζ
 

n

 

A.e −ζ ω n t
x(t)
Ta
t
xi
xi+1
O período da vibração amortecida Ta é dado por
Ta =
2π
2π
=
ωa ω 1 − ζ 2
n
(18)
A relação entre as amplitudes dos deslocamentos correspondentes a dois picos sucessivos
(separados no tempo por Ta segundos) é designada por taxa de amortecimento da vibração e é
dada por
Página 10
xi
xi +1
e −ζ ω n t i
=
e
− ζ ω n (t i + Ta )
= e ζ ω n Ta
(19)
e chama-se decremento logarítmico das vibrações à grandeza
δ = ln
xi
xi +1
= ζ ωn Ta = ζ ωn
2π
ζ
= 2π
ωa
1− ζ2
(20)
O decremento logarítmico pode ser obtido para dois picos separados por n periodos, e neste
caso teremos
δ = ln
xi
xi + n
= ζ ωn n Ta = ζ ωn
2π
ζ
n=2nπ
ωa
1− ζ2
(21)
O número de ciclos n necessário para reduzir a amplitude de um factor N é dado por
xi
xi + n
= N = en δ
ou
δ=
1
ln N
n
(22)
Para pequenos valores de ζ pode admitir-se que
δ≈2πζ
ou
δn ≈ 2 n π ζ .
(23)
Página 11
RESPOSTA A UMA SOLICITAÇÃO HARMÓNICA
DE AMPLITUDE CONSTANTE
f(t)
Consideremos o sistema com um grau de
liberdade, com amortecimento viscoso,
perturbado por uma solicitação harmónica
Massa
de intensidade F e de frequência ω , do
tipo
Amortecedor
K
f (t ) = F sen ω t
Mola
A equação diferencial do movimento será dada por
M &x&(t ) + C x& (t ) + K x(t ) = F sen ωt = f (t )
(24)
Substituindo f (t ) = F sen ωt por f = F e i ω t e considerando apenas o coeficiente da parte
imaginária, vem
M &x& + C x& + K x = F e iωt
(25)
A solução completa da equação (25) consiste na soma da solução da equação homogénea,
com a solução particular cuja forma será
x = X ei ω t
(26)
A solução completa da equação (24) é dada por
x(t ) = e − ζω n t ( A1 cos ωa t + A2 sen ωa t ) +
Termo transitório
(Solução da equação homogénea)
sen (ωt − α )
F
(K − Mω )
2 2
+ (Cω)
2
Termo estacionário ou permanente
(Solução particular)
Página 12
(27)
em que α é o ângulo de fase (desfasagem relativamente à força), dado por
α = tan −1
Cω
(28)
K − M ω2
Esta resposta completa, apenas se verifica durante os primeiros ciclos de aplicação da força
perturbadora.
Nesta primeira fase coexistem as vibrações livres (solução da equação
homogénea) e a resposta forçada (solução particular). Devido ao amortecimento, as vibrações
livres acabam por desaparecer e apenas se mantêm as vibrações forçadas, com a frequência da
força perturbadora.
Por isso se designa por regime transitório da vibração a resposta
completa, e por regime permanente ou estado estacionário a resposta que permanece após
o desaparecimento das vibrações naturais do sistema.
Vibração livre
Vibração forçada
Resposta total
Regime transitório
Regime permanente ou estacionário
Página 13
Na maior parte dos problemas práticos o regime transitório desaparece muito rapidamente, e
desta forma apenas se torna necessário estudar o termo relativo ao regime permanente. Assim
temos uma resposta forçada cuja amplitude é dada por
X =
F
(K − M ω )
2 2
+ (Cω)
.
(29)
2
Substituindo na equação anterior β =
X =
F
⋅
K
(1 − β )
ω
C
C
e ζ=
=
, com ω n = K / M , vem
ωn
Cc 2 M ωn
1
2 2
(30)
+ (2 ζ β )
2
A relação entre a amplitude X da resposta resultante e o deslocamento que o sistema sofreria
se a força
F
fosse aplicada estaticamente, X st = F / K ,
é designada por factor de
ampliação – Q
Q=
X
=
X st
(1 − β )
1
2 2
(31)
+ (2 ζ β )
2
Esta equação está representada graficamente na figura seguinte, para vários valores de ζ .
Este gráfico ilustra claramente o fenómeno da ressonância, quando a frequência da força
perturbadora iguala a frequência natural do sistema, a amplitude da vibração forçada é muito
grande para pequenos valores do amortecimento. Se o amortecimento não existisse a
amplitude tenderia para infinito.
Os valores máximos de Q ocorrem quando
β=
ω
= 1− 2ζ2
ωn
Página 14
Quanto maior for o valor do amortecimento, para menores valores de ω / ω n ocorre o máximo
do factor de ampliação Q que é dado por
Qmax =
1
2ζ 1 − ζ 2
.
Q
β=
ω
ωn
O ângulo de desfasagem α da resposta em relação à força pode escrever-se sob a forma
α = tan −1
2ζβ
(32)
1 − β2
e pode ser representado graficamente como mostra a figura seguinte.
Página 15
ζ=0
α
ζ=0
ζ=0
β=
ω
ωn
Para uma mais completa compreensão da natureza do fenómeno da ressonância de um
sistema sob a acção de uma força harmónica perturbadora, torna-se necessário considerar a
resposta dinâmica completa (equação (27)) que inclui o termo transitório e o termo
permanente. Quando a situação de ressonância se verifica temos β = 1 ou seja
x(t ) = e − ζω n t ( A1 cos ω a t + A2 sen ω a t ) −
X st
cos ωt
2ζ
(33)
Admitindo as condições iniciais x(0) = x& (0) = 0 e substuíndo os valores respectivos para as
constantes, temos



X st  − ζω n t 
ζ

x(t ) =
e
sen ω a t + cos ω a t  − cos ωt 


2
2ζ 

 1− ζ



Página 16
(34)
Se o amortecimento for pequeno, o termo em seno contribuirá muito pouco para a resposta, a
frequência natural amortecida estará muito próxima da frequência natural não amortecida e o
factor de ampliação será aproximadamente obtido pela expressão
Qres =
(
)
1 − ζ ωn t
e
− 1 ⋅ cos ω n t
2ζ
(35)
Quando o amortecimento é nulo, ζ = 0 , a expressão anterior torna-se indeterminada, mas
aplicando a regra de L’Hopital à indeterminação obtém-se
Qres =
1
( sen ωn t − ωn t ⋅ cos ωn t )
2
(36)
A partir das equações (35) e (36), respectivamente para o sistema amortecido e não
amortecido, verifica-se que a amplitude aumenta com o tempo. No caso do sistema
amortecido a resposta ressonante fica limitada, dependendo do factor de amortecimento. No
caso do sistema não amortecido, a resposta aumenta como representado na figura abaixo e
provocará o colapso do sistema, caso não se modifique o valor da frequência perturbadora.
Qres
t
Página 17
RESPOSTA A UMA SOLICITAÇÃO HARMÓNICA
DEVIDA A MASSAS ROTATIVAS DESEQUILIBRADAS
Anteriormente, admitiu-se que a amplitude da força harmónica perturbadora era independente
da frequência de excitação.
Quando a força perturbadora é devida à existência de um
componente rotativo desequilibrado, o valor da força ou excitação será proporcional ao
quadrado da frequência.
M2 / 2
M2 / 2
M1 M2
Considere-se o sistema esquemático representado acima, que representa um sistema com
massas rotativas desequilibradas, M2
que apresentam uma excentricidade do centro de
gravidade igual a l e uma velocidade angular ω (rad/s).
A força centrífuga assim produzida é igual a:
M 2 l ω 2 . Admitindo que o sistema tem
apenas um grau de liberdade e que a sua massa total é:
M = M 1 + M 2 , e definindo
µ = M 2 / M , a equação do movimento é dada por:
M &x& + C x& + K x = µ M l ω2 sen ωt
(37)
Esta equação é muito semelhante à equação (24), no entanto o facto de existir um termo em
ω2 no segundo membro da equação irá introduzir algumas modificações no comportamento
do sistema.
Página 18
A solução da equação (37) será do tipo
x(t ) = X sen(ωt − α )
(38)
em que
X =
µ M l ω2
(K − Mω )
2 2
+ (Cω)
e
α = tan −1
2
Cω
K − Mω 2
(39)
Note-se que não se considerou a parte transitória da resposta dinâmica, uma vez que como se
referiu anteriormente, desaparece rapidamente.
Tomando β = ω / ω n e ζ = C / C c e notando que ω 2n = K / M , podemos escrever
X
=
µl
β2
(1 − β )
α = tan −1
2 2
(40)
+ (2 ζ β )
2
2ζβ
(41)
1 − β2
A figura da página seguinte, mostra as curvas X / µ l em função do parâmetro β , para vários
valores de ζ . Para um dado sistema, os valores de µ , l, C e ω n são constantes e portanto
estas curvas são gráficos da amplitude da massa vibrante em função da velocidade de rotação
da massa desequilibrada ω , para vários valores do amortecimento ζ .
Para pequenas velocidade de rotação da massa M2 a massa total M, move-se muito pouco. A
velocidades próximas da frequência natural a amplitude cresce tomando valores muito
elevados quando o amortecimento é pequeno.
Note-se que todas as curvas se aproximam assimptoticamente de X / µ l = 1 , para altas
velocidades da massa rotativa.
Página 19
X /µl
β = ω / ωn
É interessante também notar que os valores máximos de X / µ l não se verificam para β = 1 ,
nos casos em que existe amortecimento. Os valores máximos de X / µ l ocorrem quando
β=
1
1− 2ζ2
.
Página 20
RESPOSTA A UM MOVIMENTO HARMÓNICO DA
BASE DE SUPORTE
Um outro tipo de problema ilustrativo
de
um
sistema
sujeito
a
uma
perturbação harmónica, é o caso em que
a base de suporte do sistema sofre um
movimento harmónico do tipo
y = Y ei ω t
A equação diferencial do movimento deste sistema é
M &x& + C (x& − y& ) + K ( x − y ) = 0
ou
M &x& + C x& + K x = C y& + K y
(42)
A resposta será da forma
x = X e i (ω t − φ )
(43)
substituindo em (42) vem
X =Y
1 + (2 ζ β )2
(1 − β )
φ = tan −1
2 2
+ (2 ζ β )
(44)
2
2ζβ
(45)
1 − β + (2 ζ β )2
2
Página 21
Tomando a relação X/Y obtém-se
X
=
Y
1 + (2 ζ β )2
(1 − β 2 )2 + (2 ζ β)2
(46)
Esta relação, X/Y é designada por Transmissibilidade.
As curvas correspondentes à equação (46) estão representadas abaixo.
X/Y
β = ω / ωn
Página 22
TRANSMISSIBILIDADE. ISOLAMENTO DE VIBRAÇÕES
Um dos problemas mais importantes relacionado com as vibrações forçadas é o da
transmissibilidade. Com efeito é normalmente desejável evitar que as forças de inércia
desenvolvidas numa máquina, sejam transmitidas às estruturas vizinhas.
Consideremos de novo o sistema com
um
grau
de
liberdade
e
f(t)
com
amortecimento viscoso representado
Massa
na figura ao lado.
As
forças
são
transmitidas
às
fundações através da mola de rigidez
K
Amortecedor
e através do amortecedor com
Mola
coeficiente de amortecimento C .
Designando por Fap a força aplicada e por Ftr a força transmitida, temos
Ftr = K x + C x&
(47)
e a transmissibilidade pode ser calculada pela expressão
F
TR = tr =
Fap
1 + (2 ζ β )2
(1 − β 2 )2 + (2 ζ β)2
(48)
Esta equação está representada graficamente na pagina seguinte. Note-se que a representação
gráfica é a mesma que tinha sido obtida com a equação (46).
Página 23
TRANSMISSIBILIDADE
TR
1
2
β = ω / ωn
Verifica-se que todas as curvas se cruzam no mesmo ponto, correspondente a β = 2 , ou
seja, a força transmitida só é menor que a força aplicada quando β > 2 , ou seja, a frequência
de excitação ω é maior que ωn 2 . Quando β = 2 , TR = 1 e portanto a força aplicada é
transmitida na totalidade às fundações.
No caso de uma máquina de velocidade constante, a amplitude da força excitadora Fap é
constante e assim a força transmitida à fundação Ftr é proporcional ao valor de TR. Portanto
é vantajoso operar uma máquina de velocidade constante sobre um sistema isolador tal que
ω > 2 ωn .
Para valores de β =
ω
> 2 , a força transmitida tende a decrescer com o aumento da
ωn
frequência de excitação ω , independentemente do valor do amortecimento ζ .
É interessante notar que o amortecimento não melhora a situação, i.e. não diminui TR, pelo
contrário quanto maior é o amortecimento maior é a força transmitida. Relembrando, no
entanto, que ao aumentar a frequência de excitação o sistema terá de passar por uma situação
de ressonância para o caso de amortecimento nulo, concluímos que um pequeno
amortecimento é desejável. Para além disso o caso de amortecimento nulo constitui sempre
uma idealização que na realidade nunca se verifica, de facto existe sempre algum
amortecimento estrutural (histerético).
Página 24
SISTEMAS COM N GRAUS DE LIBERDADE
INTRODUÇÃO
Quando um sistema de um grau de liberdade é sujeito a uma perturbação inicial, i.e. afastado
da sua posição de equilíbrio e posteriormente libertado, fica sujeito a um movimento que se
pode designar por estado natural de vibração, porque o sistema vibra a uma frequência igual à
sua frequência natural. Para um sistema com vários graus de liberdade o estado natural de
vibração corresponde a uma certa configuração de deslocamentos, ou modo de vibração do
sistema. Um sistema com vários graus de liberdade, não tem apenas um estado natural de
vibração, mas sim um número finito de modos de vibração conhecidos por modos naturais
de vibração. Dependendo da perturbação inicial, o sistema pode ficar a vibrar em qualquer
dos seus modos de vibração. A cada modo de vibração corresponde uma única frequência
denominada por frequência natural. O sistema possui tantas frequências naturais como
modos naturais de vibração.
A formulação matemática de um sistema com N graus de liberdade consiste em N equações
diferenciais ordinárias simultâneas.
Assim o movimento de uma massa depende do
movimento das outras. Pode demonstrar-se que para uma escolha adequada de coordenadas,
designadas por coordenadas naturais ou principais, as equações do sistema de equações
diferenciais tornam-se independentes umas das outras. As coordenadas naturais representam
combinações lineares dos deslocamentos reais das massas discretas e assim o movimento do
sistema pode ser visto como uma sobreposição de coordenadas naturais.
As equações
diferenciais para as coordenadas naturais possuem a mesma estrutura das equações atrás
apresentadas para os sistemas com um grau de liberdade.
Vamos inicialmente analisar sistemas com 2 graus de liberdade e ver como se obtém as
frequências naturais e os modos de vibração.
Página 25
SISTEMAS COM 2 GRAUS DE LIBERDADE.
VIBRAÇÕES LIVRES NÃO AMORTECIDAS. MODOS NATURAIS
x1(t)
K1
x2(t)
K3
K2
M1
M2
Considere-se o sistema não amortecido, com dois graus de liberdade, representado na figura.
As equações diferenciais do movimento deste sistema são dadas por
M 1 &x&1 + (K1 + K 2 ) x1 − K 2 x 2 = 0
M 2 &x&2 − K 2 x1 + (K 2 + K 3 ) x 2 = 0
(49)
que representam duas equações diferenciais de segunda ordem, homogéneas e simultâneas.
Fazendo K1 + K 2 = K11 , K 2 + K 3 = K 22 , − K 2 = K12 = K 21 , M 1 = M 11 , M 2 = M 22 e
M 12 = M 21 = 0 , temos
 M 11 &x&1 + K11 x1 + K12 x 2 = 0
M &x& + K x + K x = 0
 22 2
21 1
22 2
(50)
ou sob a forma matricial
0   &x&1   K11 K12   x1  0
 M 11
 0 M 22  &x&2  +  K 21 K 22   x 2  = 0 .
(51)
Dado que as equações (51) são homogéneas, se x1 (t ) e x2 (t ) representam uma solução,
então α ⋅ x1 (t ) e α ⋅ x 2 (t ) também representam uma solução, sendo α uma constante
arbitrária. Ou seja, a solução só pode ser obtida dentro de um multiplicador escalar constante.
Página 26
Tem interesse explorar a existência de uma solução com características especiais, em que as
coordenadas x1 (t ) e x2 (t ) executem o mesmo tipo de movimento em função do tempo. Um
movimento deste tipo designa-se por movimento síncrono.
Então podemos escrever
x1 (t ) = u1 ⋅ p(t )
e
x2 (t ) = u 2 ⋅ p(t )
(52)
em que u1 e u 2 são amplitudes constantes. Substituindo nas equações (50) pode-se encontrar
uma solução do tipo
p (t ) = A1 e − λ ⋅t + A2 e − λ ⋅t
Se λ for negativo, os expoentes
(53)
− λ ⋅ t são quantidades reais. Se t → ∞ o primeiro termo
de (53) tende para infinito e o segundo tende para zero, exponencialmente. Este fenómeno
não é consistente com o facto de o sistema em análise ser um sistema conservativo e portanto
terá de se concluir que λ não pode ser negativo. Assim λ deverá ser positivo. Se fizermos
λ = ω 2 (em que ω é real) obtém-se
p (t ) = A1 e iω t + A2 e −iω t
(54)
onde A1 e A2 são normalmente números complexos constantes. Desenvolvendo esta equação
vem
p (t ) = ( A1 + A2 ) cos ωt + i ( A1 − A2 ) sen ωt
(55)
ou
p (t ) = C cos (ωt − φ)
com
A1 + A2 = C ⋅ cos φ
e
i ( A1 − A2 ) = C ⋅ sen φ
(56)
em que C é uma constante arbitrária, ω é a frequência do movimento harmónico e φ é o
ângulo de fase, sendo estas três quantidades iguais para ambas as coordenadas x1 (t ) e x2 (t ) .
Página 27
Analisemos agora os valores possíveis de λ = ω 2 . Consideremos o sistema de equações que
se obtém por substituição de (52) em (50) com λ = ω 2
 ( K − ω 2 M ) u + K u = 0
11
11 1
12 2

2
 K12 u1 + ( K 22 − ω M 22 ) u 2 = 0
(57)
Este é um sistema de duas equações algébricas, homogéneas de variáveis independentes u1 e
u 2 . O sistema possui solução se o determinante dos coeficientes u1 e u 2 for zero, ou seja
K11 − ω 2 M 11
K12
K12
K 22 − ω 2 M 22
=0
(58)
este determinante conhecido como determinante característico é um polinómio do segundo
grau em ω2 , cuja solução é dada por
ω 21,2
1 M K + M 22 K11 1
= ⋅ 11 22
m ⋅
2
M 11M 22
2
2
 M 11 K 22 + M 22 K11 
K K − K12 2

 − 4 ⋅ 11 22
M 11M 22
M 11M 22


(59)
ou seja existem dois valores ω1 e ω2 para os quais é possível o movimento síncrono. ω1 e
ω2 são as frequências naturais do sistema.
Falta-nos ainda determinar os valores de u1 e u 2 que dependem de ω1 e ω2 . Vamos designar
u1(1) e u 2(1) os valores correspondentes a ω1 e u1( 2) e u 2( 2) os valores correspondentes a ω2 .
Como já se referiu atrás, dado que o sistema é homogéneo apenas poderemos calcular
(1)
(1)
( 2)
( 2)
relações u1 / u 2 e u1 / u 2 . Temos assim
u 2(1)
(60)
u 2( 2)
(61)
K11 − ω12 M 11
K12
r1 =
=−
=−
(1)
K12
K 22 − ω12 M 22
u1
r2 =
K − ω 2 2 M 11
K12
= − 11
=−
K12
K 22 − ω 2 2 M 22
u1( 2)
Página 28
Os pares de constantes u1(1) , u 2(1) e u1( 2) , u 2( 2) determinam a forma que o sistema assume
quando executa movimento harmónico síncrono às frequências naturais do sistema ω1 e ω2 ,
respectivamente e são designados por modos naturais de vibração. Podemos escrever sob a
forma matricial
{u (1) }= uu1(1)  = u1(1) r11 
(62)
{u (2) }= uu1(2)  = u1(2) r12 
(63)
(1)
 
 2 
( 2)
 
 2 
{ } e {u (2) } são designados por vectores modais.
A frequência natural ω1 e o vector modal {u (1) } definem o primeiro modo de vibração do
sistema e a frequência natural ω 2 e o vector modal {u ( 2) } definem o segundo primeiro
em que u (1)
modo de vibração do sistema. Os índices superiores (i ) identificam o modo de vibração.
Como se verifica, o número de modos de vibração distintos coincide com o número de graus
de liberdade do sistema.
O movimento ao longo do tempo, para cada modo de vibração, é dado por
{x
(1)
}
{
}
 x (1) (t )
(t ) =  1(1)  = u (1) (t ) ⋅ p1 (t ) = C1
 x 2 (t )
1
r  cos (ω1 t − φ1 )
 1
{x (2) (t )}= xx1(2) ((tt )) = {u (2) (t )}⋅ p2 (t ) = C2 r12  cos (ω2 t − φ2 )
(64)
( 2)
 2



(65)
Note-se que p1 (t ) e p 2 (t ) representam a solução (56) para o primeiro e segundo modos de
vibração, respectivamente.
Página 29
Aplicando o principio da sobreposição, a solução x(t ) do sistema será dada por
{
}
 x (t ) 
1
x(t ) =  1  = x (1) (t ) + x ( 2) (t ) = C1   cos (ω1t − φ1 ) + C 2
 x 2 (t )
r 1 
1 
  cos (ω 2 t − φ 2 )
r 2 
(66)
As constantes C1 e C 2 , assim como os ângulos de fase φ1 e φ 2 são calculados a partir das
condições iniciais do problema.
A equação (66) pode ainda ser escrita sob a forma matricial
 x1 (t )   1

=
 x2 (t ) r 1
1   C1 cos(ω1t − φ1 )   1

=
r2  C 2 cos(ω 2 t − φ 2 ) r 1
1   p1 (t ) 


r2   p 2 (t )
(67)
ou seja
{x(t )} = [u ] ⋅ {p(t )}
(68)
em que
[u ] = 
1
r 1
1
r2 
(69)
é a matriz modal.
Página 30
MODELO SIMPLIFICADO DA SUSPENSÃO DE UM VEÍCULO
A suspensão de um veículo automóvel é um sistema complexo, mas considere-se o modelo
muito simplificado representado na figura abaixo, em que apenas consideramos os seguintes
movimentos: translação vertical do corpo, rotação angular do corpo, translação vertical das
rodas. M será a massa do corpo, I c o seu momento de inércia em torno do centro de
gravidade C e K1 e K 2 são os valores da rigidez das molas dianteiras e traseiras da
suspensão. Note-se que não vamos considerar a existência de amortecedores.
O sistema será descrito através das coordenadas: x(t ) e θ(t ) .
Admitindo pequenas
oscilações, as equações do movimento podem ser facilmente obtidas
M &x& + ( K1 + K 2 ) x − ( K1 a − K 2 b) θ = 0
I c &θ& − ( K1 a − K 2 b) x + ( K1 a 2 + K 2 b 2 ) θ = 0
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(70)
ou na forma matricial
M
0

0
I c 
 &x&  K1 + K 2
&& + 
θ − ( K1a − K 2 b)
− ( K1a − K 2 b)  x  0
 = 
K1a 2 + K 2 b 2  θ 0
(71)
Na matriz de rigidez aparece um termo responsável pelo acoplamento: − ( K1 a − K 2 b) , e
assim o sistema diz-se elasticamente acoplado.
Obviamente, as equações anteriores serão desacopladas quando: K1 a = K 2 b .
A equação característica ou determinante característico será dado por
K1 + K 2 − ω 2 M
K 2 b − K1a
K 2 b − K1a
2
K1 a − K 2 b 2 − ω 2 I c
=0
(72)
e portanto
ω 21,2

2
 K1 + K 2 K1 a 2 + K 2 b 2 
4 K K ( a + b) 2
1  K1 + K 2 K1 a 2 + K 2 b 2


= 
+
m
+
− 1 2
 M

2
M
Ic
Ic
M Ic









(73)
em que ω1 e ω2 são as frequências naturais do sistema.
As relações de amplitudes para os dois modos naturais de vibração são dadas por
( K1 a − K 2 b ) / M
X
=
Θ ( K1 + K 2 ) / M − ω12,2
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Vamos agora considerar o ponto O, como indicado na figura seguinte (a), tal que se uma força
vertical for aplicada nesse ponto O o sistema sofra apenas uma translação, i.e. não se verifique
rotação. Consideremos que o ponto O se encontra à distância a1 da mola K1 e à distância a 2
da mola K 2 . Designando por x1 a translação vertical do ponto O, conclui-se que a partir da
condição de equilíbrio de momentos em torno de O , temos
K1 x1 a1 = K 2 x1 b1
ou
K1 a1 = K 2 b1
(74)
Posição de
equilíbrio
Posição de
equilíbrio
Usando as coordenadas x1 (t ) e θ(t ) , o diagrama de corpo livre é como indicado na figura (b)
e as equações do movimento são dadas por
M &x&1 + M e &θ& + ( K1 + K 2 ) x = 0
M e &x&1 + I O &θ& + ( K1 a12 + K 2 b12 ) θ = 0
(75)
Página 33
em que e representa a distância OC (figura anterior). O sistema de equações (75) sob a
forma matricial, será
M
M e

M e
I O 
&x&1   K1 + K 2
 &&  + 
0
θ 
0
  x1  0
2   =  
K1a1 + K 2 b1   θ  0
2
(76)
Assim, verificámos que usando como coordenadas, a translação x(t ) do centro de gravidade
do sistema C e a rotação θ(t ) em torno de C, as equações do movimento – equação (71), são
acopladas através dos termos da matriz de rigidez – acoplamento elástico. Por outro lado as
equações do movimento descritas pela equação (76) são acopladas através dos termos da
matriz de massas – acoplamento inercial.
Assim verifica-se que, a natureza do acoplamento depende apenas da escolha de coordenadas,
i.e. da forma como se descreve matematicamente o sistema, e não do sistema em si.
Tem-se desta forma a liberdade de descrever o movimento do sistema em termos de qualquer
conjunto de coordenadas que conduzam a uma maior simplificação. Em particular, o sistema
de coordenadas mais desejável é aquele para o qual as equações do movimento são
desacopladas, tanto nos termos da matriz de rigidez como nos termos da matriz de massas, i.e.
para o qual as matrizes de rigidez e de massas são ambas matrizes diagonais. Esse sistema de
coordenadas existe e é designado por sistema de coordenadas principais ou coordenadas
naturais.
O movimento geral de um sistema não amortecido, pode ser representado como
uma combinação linear dos modos naturais do sistema multiplicados por estas coordenadas
principais.
Página 34
BIBLIOGRAFIA
[1] Apontamentos de Vibrações Mecânicas, J. Montalvão e Silva – I.S.T.
[2] Elements of Vibration Analysis, Leonard Meirovitch, 2nd Edition, McGraw-Hill, 1986.
[3] Fundamentals of Vibrations, Leonard Meirovitch, 2nd Edition, Mc Graw-Hill, 2001
Página 35