Universidade Federal do Vale do São Francisco
Câmpus Juazeiro-BA
Colegiado de Engenharia Elétrica
Prof. Pedro Macário de Moura
Cálculo Diferencial e Integral 1
Lista – 7: Taxa de Variação
01. Um reservatório retangular com 8m de comprimento, 2m de largura e 4m de profundidade é
alimentado por uma válvula que permite uma vazão de 2m3 /min. A que taxa a velocidade da água está
subindo quando a profundidade desta é de 1m? Resposta: 0, 125m/min.
02. Um balão está a 60m acima do solo e se eleva verticalmente à razão de 5m/s. Um automóvel passa
por baixo do balão viajando à 12m/s. Com que velocidade varia, um segundo depois, a distância entre
o balão e o automóvel? Resposta: 𝑑𝑧/𝑑𝑡 = 0,601m/s
03. Um balão está subindo verticalmente sobre um ponto A no chão a uma taxa de 15m/min. Um ponto
B no chão no mesmo nível que A está a 30m deste. A que taxa a distância entre o balão e o ponto B
está variando quando o balão está a 40m de A? Resposta: 12m/min.
04. Um peso 𝑊 está preso a uma corda de 50m de comprimento, que passa por um a polia situada em
𝑃, 20m acima do solo. A outra extremidade da corda está presa a um caminhão, situado em A, 2m
acima do solo, sabendo que o caminhão se afasta na razão de 9m/seg, qual a taxa de variação da altura
do peso 𝑊 quando ele estiver a 6m acima do solo? Resposta: 𝑑𝑥/𝑑𝑡 = 4,5√3𝑚/𝑚𝑖𝑛
05. Um trem, que partiu às 11 horas, viaja para o leste a 45km/h enquanto um outro trem, que partiu ao
meio dia do mesmo ponto, viaja para o sul a 60km/h. A que taxa eles estão se afastando às 15 horas?
Resposta: 105/√2 km/h
06. Um grande balão esférico de borracha está sendo cheio de gás a uma taxa constante de 8m 3/min.
Calcule com que velocidade o raio 𝑟 do balão cresce quando 𝑟 = 2𝑚. Resposta: 0,16m/min.
07. Um ponto move-se ao longo do gráfico de 𝑦 = 𝑥 2 + 1 de modo que a sua abscissa 𝑥 varia a uma
velocidade constante de 3cm/s. Qual é, a velocidade da ordenada 𝑦? Quando 𝑥 = 4𝑐𝑚, Res: 24 cm/s
08. Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma de círculo. O raio do círculo aumenta à
razão de 1 m/min. Determine a taxa à qual a área incendiada está aumentando no instante em que o
raio atingir 20m. Resposta 40𝜋𝑚2 /𝑚𝑖𝑚
09. Um automóvel que viaja à razão de 30m/s, aproxima-se de um cruzamento. Quando o automóvel
está a 120m do cruzamento, um caminhão que viaja à razão de 40m/s atravessa o cruzamento. O
automóvel e o caminhão estão em rodovias que formam um ângulo reto uma com a outra. Com que
velocidade se afastam o automóvel e o caminhão 2s depois do caminhão passar pelo cruzamento?
Resposta:50m/s
10. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de raio da base 𝑟 = 5𝑚 e altura ℎ = 10𝑚. No
tempo 𝑡 = 0, o tanque começa a ser enchido com água, que entra no tanque com uma vazão de 25m3/h..
Com qual velocidade o nível da água sobe? Depois de quanto tempo o tanque estará cheio?
Resposta: 𝑑ℎ/𝑑𝑡 = 1/𝜋 m/h. Depois de 10 horas.
No meio da dificuldade encontra-se a oportunidade. Albert Einstein
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11. Um balão sobe verticalmente com velocidade 𝑣 e um observador a certa distância 𝑑 do ponto onde
partiu o balão, vê o balão sob um ângulo de elevação  . Achar uma expressão para a taxa 𝑑𝜃/𝑑𝑡 de
𝑑𝜃
variação  em função de 𝑣,  e 𝑑. A que velocidade sobe o balão se 𝑑 = 500 m e 𝑑𝑡 = 0,02𝑟𝑑/𝑠,
quando 𝜃 = 𝜋/4 𝑟𝑎𝑑? 𝑅 = 𝑑𝜃/𝑑𝑡 = 𝑣 cos2 𝜃 /𝑑 e 𝑣 = 20𝑚/ 𝑠.
12. Uma lâmpada brilha no alto de um poste de 8,5 m. qual é o comprimento da sobra de um homem
de 1,9 m que se afasta da lâmpada, quando ele está a 13 m da base do poste? Se ele se afasta a uma
velocidade de 1,8 m por segundo, com que velocidade sua sombra está crescendo neste ponto?
Resposta: 𝑆 = 3,742𝑚 e 𝑑𝑠/𝑑𝑡 = 0,518 𝑚/𝑠
13. Uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que o seu volume aumenta à razão de 8
𝑐𝑚3 /𝑚𝑖𝑛. Como está variando o raio no instante em que a bola tem 40cm de diâmetro?
14. Uma lâmpada de um poste de iluminação pública está situada a uma altura de 6 m. Se uma pessoa
de 1,80 m de altura, posicionada embaixo da lâmpada, caminhar afastando-se da lâmpada a uma
velocidade de 5 m/s, com qual velocidade se desloca a extremidade de sua sombra projetada na rua?
Resposta 𝑣 = 7,14 𝑚/𝑠.
15. Uma escada de 10m de altura está apoiada numa parede vertical, se a base da escada é arrastada
horizontalmente da parede a 6 m/s, a que velocidade desliza a parte superior da escada ao longo da
parede quando a base encontra-se a 3m da parede? Resposta: −18m/s
16. Uma válvula jorra água em um reservatório cilíndrico vertical a uma taxa de 8 m3/min. O
reservatório tem um raio de 6 m. a que taxa o nível da água está subindo? Resposta: 2/9𝜋 m/min.
17. Dois automóveis movem – se, um dirigindo-se para o leste à razão de 72 km/h e o outro para o sul
à razão de 54 km/h. A que razão os carros aproximam-se um do outro no instante em que o primeiro
estiver a 400 m e o segundo a 300 m de interseção. Resposta: 25𝑚/𝑠.
18. Dois resistores R1 e R2 são ligados em paralelo. Se R1 e R2 estão aumentando às taxas de 0,01
ohm/s e 0,02 ohm/s, respectivamente, a que taxa varia R (a resistência equivalente) quando R1 = 30
ohm e R2 = 90 ohm.
19. Dois trens saem de uma estação com três horas de diferença, o primeiro desloca-se para o norte à
velocidade de 100 km/h o segundo desloca-se para leste à velocidade de 60 km/h. O segundo partiu
três horas depois do primeiro. Qual a taxa de variação da distância entre os trens duas horas depois do
segundo haver partido? Resposta: 𝑑𝑧/𝑑𝑡 = 111,241 𝑘𝑚/ℎ
20. Despeja-se areia sobre um monte em forma de cone a taxa constante de 1,4 m3/min. As forcas de
atrito na área são tais que a altura do monte e sempre igual ao raio de sua base. Com que velocidade à
altura do monte aumenta quando ele tem 1,5 m de altura? Resposta: 0,6/ 𝜋 m/min.
21. A un espejo cóncavo de distância focal 𝑓 = 50 𝑐𝑚., se acerca un objeto con una velocidad de 3,5
cm.seg. com qué velocidad se aleja la imagen cuando la distancia 𝑝, del objeto al espejo es de 70 cm.?
Resposta: 𝑑𝑝′ /𝑑𝑡 = 21,9𝑐𝑚/𝑠.
22. Enche-se de água um tanque no formato de um hemisférico de raio igual a 10m, com o lado chato
para cima, a taxa de 4m3/min. seja h a profundidade da água, r o raio da superfície da água e v o
volume de água no tanque. Considere 𝑑𝑣/𝑑𝑡 = 𝜋𝑟 2 𝑑ℎ/𝑑𝑡, Achar a velocidade com que o nível da
água sobe quando ℎ = 5𝑚 Resposta: 𝑑ℎ/𝑑𝑡 = 4/75𝜋 𝑚/𝑚𝑖𝑛.
No meio da dificuldade encontra-se a oportunidade. Albert Einstein
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𝜋
23. Num determinado instante 𝜃 = 3 e está variando, neste instante, a uma
taxa de 0,01 radianos por segundo. A que taxa estará variando o ângulo 𝛼 neste
instante? Reposta 𝑑𝛼/𝑑𝑡 = −1/95 rad/s
24. Avalia-se que daqui a 𝑡 anos, a circulação de um jornal local será dada pela
função 𝐶(𝑡) = 100𝑡 2 + 400𝑡 + 5.000 exemplares.
a) Deduza a expressão da taxa de variação da circulação do jornal daqui a, 𝑡 anos.
b) Qual será a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos? Ela aumentará ou diminuirá?
25. Certo estudo ambiental em uma comunidade urbana indicou que, daqui a 𝑡 anos, o nível médio de
monóxido de carbono no ar será de 𝑄(𝑡) = 0,05𝑡 2 + 0,1𝑡 + 3,4 partes por milhão. a) Daqui a um
ano, qual será a taxa de variação, em relação ao tempo, do monóxido de carbono? E o percentual de
variação? b) Qual será a taxa de variação do monóxido de carbono este ano?
26. A água está escorregando para fora de um funil cônico a uma razão de 2m3/seg. O funil possui um
raio de 1 metro e altura de 5 m. Com que velocidade abaixará o nível da água que se escoa quando ela
estiver a 3 m de altura? Reposta: −50/9𝜋𝑚/𝑠
27. O ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦) está fixo á roda de raio 1m, que rola, sem
escorregamento, sobre o eixo 𝑥. O ângulo 𝜃 está variando a um a taxa
constante de 1 rad/s. expresse as velocidades da abscissa e da ordenada
de 𝑃 em função de 𝜃. Resposta: 𝑑𝑥/𝑑𝑡 = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 e 𝑑𝑦/𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑛𝜃
28. A las 13:00 horas el barco A se encuentra a 25 millas al sur del barco B. Suponiendo que A navega
hacia el oeste a razón de 16 mi/h, y que B navega hacia el sur a 20 mi/h, evaluar la rapidez que cambio
o variación de las distancia sntre los dos barcos a las 13:30 Resposta: 𝑑𝑥/𝑑𝑡 = −10,12𝑚𝑖/ℎ
29. Se o raio de um círculo cresce à taxa de 30 cm/ Seg, a que taxa cresce a área em relação ao tempo,
em função do raio? Resposta: 𝑑𝑠/𝑑𝑡 = 60𝜋𝑟𝑐𝑚2 /𝑠𝑒𝑔.
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30. A equação do movimento de uma partícula é 𝑠(𝑡) = √𝑡 + 2 s em metros e t em segundos.
Determine: a) o instante em que a velocidade é de 1/12 m/s; b) a distância percorrida até este instante.
c) a aceleração da partícula quando t = 2 seg.
31. Se o raio de um círculo cresce à taxa de 30 cm/ S, a que taxa cresce a área em relação ao tempo, em
função do raio? Resposta: 𝑑𝑠/𝑑𝑡 = 60𝜋𝑟 𝑐𝑚2 /𝑠
32. Debito Cardíaco No final da década de 1860, Adolf Fick, professor de fisiologia da faculdade de
medicina de w𝑢̈ rtzberg, Alemanha, desenvolveu um método usado até hoje para determinar a
quantidade de sangue que o coração humano bombeia por minuto. Enquanto você lê esta frase, é
possível que seu débito cardíaco seja de 7 𝑙/𝑚𝑖𝑛. Em repouso, geralmente é um pouco menos que 6
𝑙/𝑚𝑖𝑛.Se você for um atleta, seu débito cardíaco poderá atingir 30 l/m 𝑙/𝑚𝑖𝑛. Quando estiver
𝑄
participando de uma maratona. O débito cardíaco pode ser calculado pela fórmula 𝑦 = 𝐷. Onde 𝑄 é o
volume de sangre em ml de 𝑐𝑜2 exalado por minuto e 𝐷 a diferença entre as concentrações de 𝑐𝑜2 (ml
de 𝑐𝑜2 /litro de sangre) bombeado para e retorno dos pulmões. Com 𝑄 = 233 ml/min. e 𝐷 = 97 −
233
56 ml/l, 𝑦 = 41 ≈ 5,68 𝑙/𝑚𝑖𝑛. Bem próximo de 6 𝑙/𝑚𝑖𝑛, valor que a maioria das pessoas apresenta
na condição basal (repouso). (Dados cedidos por J. Kenneth Herd, M.D., escola de medicina de
Quillan, universidade do leste do estado do Tennessee). Suponha que, para 𝑄 = 233 e 𝐷 = 41,
𝐷 diminua a uma velocidade de 2 unidades por minuto, mas 𝑄 permaneça constante. O que acontece
com o débito cardíaco? Resposta: 𝑣𝑎𝑖 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑚 0,277𝑙/𝑚𝑖𝑛
Bom estudo!
No meio da dificuldade encontra-se a oportunidade. Albert Einstein
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