IntegrantesPromopetro: Coordenador:
Professor Sérgio Lucena
Edição de Apostilas
Aklécio N. Silva
Paloma Boa Vista Felix
Sérgio Lucena
Valnísia Nogueira
Capa
Cléber Souza
APLICAÇÃO DA ENGENHARIA FÍSICA À Objetivos:
Apresentar os conceitos da física, e discutir exemplos de fixação baseados em
casos típicos da engenharia. Através de casos do dia a dia, mostramos uma
ligação entre tais conceitos e sua utilização em situações práticas.
Projeto Promopetro:
O projeto tem como metodologia a elaboração de material didático impresso
e multimídia sobre as disciplinas de ensino médio, e fará uso da simulação
computacional, de aulas expositivas e práticas possibilitando visualização de
unidades de processo através de maquetes virtuais. As apostilas fazem
ligações entre as informações e conhecimentos sobre assuntos abordados na
Engenharia e assuntos que podem ser estudados no ensino médio.
A metodologia procura utilizar conceitos ligados à engenharia para
estabelecer uma forte conexão entre as atividades de ensino das ciências
exatas, como matemática, física, químicae informática, e as áreas de
processos petroquímicos e de biocombustíveis. Isto permitirá envolver os alunos
de ensino médio com os problemas tecnológicos e a escolha do seu futuro
profissional.
Estas disciplinas ligadas à engenharia, mesmo abordadas dentro de uma
perspectiva de ensino médio trazem informação e conteúdo para uma
formação adequada do aluno, e fazem uso de uma forte base das ciências
exatas. A concepção do processo químico, o dimensionamento dos
equipamentos, o desenho dos equipamentos de processo e o simulador
computacional de processos serão aprendidos e executados passo a passo
pelos alunos envolvidos. Isso permitirá uma interação entre atividades de
ensino superior e as atividades de ensino das ciências exatas no ensino médio.
Sumário CAPÍTULO 1: ELETRODINÂMICA ................................................................................... 1 1.1 Corrente elétrica ........................................................................................................... 3 1.4. Resistência ...................................................................................................................... 6 1.4.1 A lei de Ohm ........................................................................................................... 7 1.5 Potência Elétrica ........................................................................................................... 8 1.5.1 Consumo de energia elétrica .......................................................................... 10 1.6 Associação de Resistores .......................................................................................... 10 1.6.1 Associação de Resistores em série ................................................................. 10 1.6.2 Associação de resistores em paralelo ........................................................... 11 1.7 Geradores e receptores ............................................................................................ 16 1.7.1 Geradores .............................................................................................................. 16 1.7.2 Receptores ............................................................................................................. 18 1.8 Medidas elétricas ........................................................................................................ 20 1.8.1 Método da energia ............................................................................................. 20 1.8.2 Método do potencial ......................................................................................... 21 1.9 O Capacitor e suas associações ............................................................................ 23 1.9.1 Capacitor de placas paralelas ....................................................................... 23 1.9.2 Capacitores em série e em paralelo ............................................................. 25 EXERCÍCIOS PROPOSTOS............................................................................................ 31 CAPÍTULO 2: ELETROMAGNETISMO ............................................................................ 36 2.1 Introdução ao Eletromagnetismo .......................................................................... 37 2.2 Campo Magnético gerado por uma corrente elétrica e a Lei de Biot
Savart..................................................................................................................................... 38 2.2.1 Força sobre condutores percorridos por corrente elétrica ..................... 39 2.2.2 Condutores paralelos: interação eletromagnética .................................. 41 2.2.3 A lei de Biot Savart ............................................................................................... 42 2.3 Campos em Solenóides e a Lei Circuital de Ampère ...................................... 43 2.4 Força de Lorentz e suas Aplicações ...................................................................... 47 2.5 Indução Eletromagnética, as Leis de Faraday e Friedrich Lenz .................... 47 2.5.1 Fluxo do campo magnético ............................................................................. 47 2.5.2 Lei de Faraday ...................................................................................................... 48 2.5.3 Lei de Lenz ............................................................................................................. 50 EXERCÍCIOS PROPOSTOS............................................................................................ 52 CAPÍTULO 3: ONDAS ................................................................................................... 55 3.1 Movimento Harmônico Simples .............................................................................. 57 3.2 Conceitos Gerais de Onda e a Equação da Onda Harmônica .................. 60 3.3 Propagação de Pulsos – Reflexão e Refração – Equação de Brook Taylor
................................................................................................................................................. 62 3.3.1 Formas de propagação .................................................................................... 62 3.3.2 Reflexão .................................................................................................................. 63 3.3.3 Equação de Brook Taylor .................................................................................. 64 3.4 Elementos de uma onda – Princípios de Huygens-Fresnel – Reflexão e
refração de ondas planas – Lei de Snell-Descartes. ............................................... 65 3.4.1 Princípios de Huygens-Fresnel .......................................................................... 66 3.4.2 Reflexão .................................................................................................................. 67 3.4.3 Refração ................................................................................................................. 68 3.5 Difração e Polarização de Ondas ......................................................................... 69 3.6 Superposição de Ondas – Ondas Estacionárias ................................................ 71 3.7 Energia Associada à Onda – Efeito Doppler ...................................................... 72 3.8 Acústica – Propriedades das Ondas Sonoras – Qualidades Fisiológicas do
Som – Tubos Sonoros ......................................................................................................... 73 3.8.1 Propriedade das ondas sonoras...................................................................... 73 3.8.2 Velocidade de propagação ........................................................................... 74 3.8.3 Tubos sonoros ........................................................................................................ 75 EXERCÍCIOS PROPOSTOS............................................................................................ 78 CAPÍTULO 4: ÓPTICA GEOMÉTRICA ........................................................................... 81 4.1 Reflexão da Luz em Espelhos Planos ..................................................................... 82 4.1.1 Imagem e Movimento ........................................................................................ 84 4.2 Espelhos Esféricos – Equação de Gauss para os Pontos Conjugados ........ 86 4.2.1 Equação de Gauss .............................................................................................. 87 4.3 Refração da Luz .......................................................................................................... 90 4.4 Dioptros Planos e Dioptros Curvos – Lâminas e Prismas ................................... 92 4.4.1 Formação de imagens em dioptros ............................................................... 92 4.4.2 Equação de Gauss para dioptros planos ..................................................... 93 4.4.3 Lâminas e Prismas ................................................................................................ 93 4.4 Lentes esféricas Delgadas ........................................................................................ 96 4.4.1 Tipos de lentes ....................................................................................................... 96 4.4.2 Comportamento óptico .................................................................................... 98 4.4.3 Equação de conjugação das lentes esféricas delgadas ....................... 99 4.5 Instrumentos Ópticos ................................................................................................ 100 EXERCÍCIOS PROPOSTOS.......................................................................................... 103 CAPÍTULO 5: FÍSICA MODERNA ................................................................................ 107 5.1 Introdução à Relatividade Restrita ...................................................................... 109 5.2 Introdução à Mecânica Quântica – Radiação Térmica – Corpo Negro –
Hipóteses de Planck – Efeito Fotoelétrico e Efeito Compton ............................. 110 5.2.1 Radiaçãotérmica .............................................................................................. 111 5.2.2 Hipóteses de Planck .......................................................................................... 112 5.2.3 Efeito Fotoelétrico .............................................................................................. 112 5.2.4 Efeito Compton .................................................................................................. 115 5.3 Modelos Atômicos – O Átomo de Rutherford-Bohr – A experiência de
Franck Hertz ....................................................................................................................... 116 5.3.1Modelos Atômicos .............................................................................................. 116 5.4.2 A experiência de Franck Hertz ....................................................................... 120 5.5 Natureza Ondulatória da Matéria – Dualidade Onda-Partícula – Princípios
da Exclusão de Pauli – Princípio da Incerteza. ....................................................... 121 5.5.1 Princípios da Exclusão de Pauli ...................................................................... 122 5.5.2 Princípio da Incerteza ....................................................................................... 123 EXERCÍCIOS PROPOSTOS.......................................................................................... 127 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................ 129 CA
APÍTU
ULO1: ELET
TROD
DINÂM
MICA
Qu
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mporrtância
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eletriccidade
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no banheiiro e
t
tomarmos
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gem da co
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c
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quecendo assim a água.
á
E
Este
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e
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também
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Numa indústria, se existe
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da resistência
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mento
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industrial. Tal como
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pamentos aquecem
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passsagem em
m seu interior, com 10
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S
constittuídos por uma
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c
flange
e rosquead
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a saída de fluidos. O
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A fin
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a dissipação
d
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alor entre o
aque
ecedor e o meio extterno além
m de
diminuir o risc
co de ac
cidentes pelo
p
Fig.1.2: Aquece
edor elétric
co de
ano. A fig..1.3 ilustra um passa
conttato huma
agem
Fig.1.1: Chuveiro
elétrrico comum
m
Cap.0
01 - Eletrodin
nâmica 1
esqu
uema mais detalhad
do do eq
quipamento. A transsferência d
de energia
a na
form
ma de ca
alor, que é respon
nsável pelo aquecimento do fluido, está
repre
esentada pela letra Q, como pode
p
ser visto no dettalhe.
Fig.1.3: Esquem
ma de um aquecedo
or elétrico de
Emb
bora esse tipo
t
aque
ecedor ten
nha um bo
om rendim
mento, o rresponsáve
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presa pela compra do
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que ele irá gerar.
g
Nessse caso se
e deve effetuar o cálculo
c
do
o consumo
o de
enerrgia diário ou mensa
al do equiipamento, de forma
a a verifica
ar se é possível
utilizá
á-lo gastando uma quantidad
q
de mínima de dinheiro.
Cap.0
01 - Eletrodin
nâmica 2
1.1 Corrente elétrica
O estudo da eletrodinâmica é baseado na movimentação de cargas elétricas
numa direção e sentido, ou seja, ela aborda o caso em que as partículas
elétricas deixam o estado de repouso e se movem devido a uma influência
externa.
Há diferentes materiais capazes de transportar corrente, nos quais existem
partículas móveis carregadas responsáveis pela corrente (os portadores de
carga), quepodem ser positivas ou negativas. Nos metais, por exemplo, essas
partículas (elétrons) têm sempre sinal negativo, já em soluções iônicas, estão
presentes cargas positivas (íons positivos) e cargas negativas (íons negativos).
Neste texto daremos enfoque ao estudo das correntes constantes de elétrons
de condução que se movem em materiais condutores, como cobre ou
alumínio.
Corrente elétrica: é qualquer movimento de cargas que passa de uma região
para outra, desde que haja um fluxo líquido de carga numa direção.
Embora em materiais condutores de eletricidade existam elétrons livres que
estão em movimento, isso não quer dizer que exista uma corrente elétrica.
Nesse caso os elétrons se movimentam de forma aleatória em todas as
direções e não há um fluxo resultante de elétrons. A fig.1.4ilustra uma espira na
qual existe a disponibilidade de elétrons, e o efeito obtido ao se inserir uma
bateria na espira condutora. A presença da bateria no sistema ocasiona uma
diferença de potencial, e um campo elétrico (E) passa a atuar no interior do
material exercendo uma força (F = qE) sobre os elétrons de condução e
estabelecendo assim a corrente.
Fig.1.4 – (a) Espira condutora no estado inicial, sem a presença de corrente elétrica. (b)
Geração de corrente na espira condutora após inserção de uma bateria.
Cap.01 - Eletrodinâmica 3
É importante ressaltar também que embora o fluxo de elétrons (da espira na
fig.1.4) esteja ocorrendo da esquerda para a direita, por convenção, a
direção da corrente tem a direção oposta, ou seja, da direita para esquerda,
que é a direção do campo elétrico estabelecido, ou a mesma direção que se
moveriam os portadores de carga positivos, como pode ser observado na
fig.1.5.
Fig. 1.5 – Direção convencional da corrente elétrica.
Considere agora que queremos calcular à corrente através de uma seção
qualquer do condutor, no qual foi estabelecida uma corrente, como mostrado
na fig.1.6.
Fig.1.6 – A corrente que atravessa os planos aa’, bb’ e cc’
possui o mesmo valor.
Considerando que o valor da corrente não é dependente do tempo,
podemos usar a seguinte expressão para o cálculo da corrente através de
uma área (como o plano hipotético bb’ da fig.1.6):
i=
q
Δt
(1.1)
Observe que utilizamos a equação (1.1) para efetuar o cálculo da corrente
para qualquer uma das três seções mostradas nafig.1.6 (aa’; bb’ ou cc’),
demonstrando a independência do valor obtido ao se utilizar diferentes
seções ou áreas nesta análise, isso se deve ao fato de que a carga é
conservada ao atravessar o condutor. Como tanto a carga como o tempo
são escalares, a corrente dada pela equação (1.1) é também um escalar, por
isso as setas das correntes não são vetores, elas mostram somente o sentido do
fluxo de cargas. A unidade de corrente no SI é chamada ampère (A), que é
definida como um Coulomb por segundo (1A = 1C/s).
Quando se fala em conservação de carga pode-se imaginar uma parte do
condutor na qual entra uma determinada quantidade de elétrons em uma
extremidade enquanto essa mesma quantidade está saindo pela outra
extremidade. A fig.1.7 exemplifica este raciocínio.
Cap.01 - Eletrodinâmica 4
Se inicialmente a corrente que entra no condutor é ( io ), essa mesma
quantidade de corrente deverá sair do condutor independente de quantas
extremidades ele tenha (duas no caso, ( i1 ) e ( i 2 ), respectivamente).
Fig.1.7 – Exemplo conservação de corrente, a qual independe da orientação dos fios.
Por isso, para ambos os casos da fig.1.7, tem-se que:
io = i1 + i2
Exercício
(1.2)
Resolvido
1.1A
corrente
elétricaem
um
condutor
metálico,
responsável pelo acionamento de uma bomba em uma fábrica de tintas, se
deve ao movimento de:
a) íons do metal, no mesmo sentido convencional de corrente.
b) prótons, no sentido oposto ao sentido convencional da corrente.
c) elétrons, no sentido oposto ao sentido convencional da corrente.
d) elétrons, no mesmo sentido convencional da corrente.
e) prótons, no mesmo sentido convencional da corrente.
Solução:
Letra c) é a alternativa correta. A direção convencional da corrente elétrica é
a mesma direção em que se moveriam os portadores de carga positivos. Os
elétrons por sua vez se movem na direção oposta, ou seja, no sentido oposto
ao sentido convencional da corrente.
Cap.01 - Eletrodinâmica 5
Exercício Resolvido 1.2–Nas operações em que se faça necessária a mistura
de líquidos, a dispersão ou a suspensão de sólidos, os agitadores ou
condicionadores são equipamentos usualmente utilizados. Suponha que o
funcionamento de um agitador seja dependente de uma corrente elétricade
10 A mantida por um condutor metálico. Calcule a carga elétrica que
atravessa uma seção do condutor durante o intervalo de tempo de 2 min. e
escolha a alternativa correta:
a) 120 C
b) 1 200 C
c) 200 C
d) 20 C
e) 600 C
Solução:
O valor da carga pode ser encontrado com o auxílio da eq.(1.1):
i=
q
Δt
Como o valor da corrente e do intervalo de tempo foram fornecidos no
problema, basta substituir os valores na expressão anterior, tomando apenas o
cuidado de converter o tempo (2 min.) para segundos, logo:
q = i.Δt = 10 A × 120 s = 1200C
Então a alternativa correta é a letra b).
1.4. Resistência
Quando se aplica uma diferença de potencial em uma barra, a corrente
estabelecida se comportará de modos diferentes dependendo do material
que eles são constítuidos. Umabarra de cobre, por exemplo, irá conduzir a
corrente mais facilmente que uma barra de madeira, devido a presença de
elétrons livres. Podemos fazer uma classificação os materiais analisando uma
propriedade elétricacaracterística do material chamada resistividade (ρ ) . Os
Cap.01 - Eletrodinâmica 6
materiais com baixos valores de resistividade são classificados como
condutores; os materiais com valores de resistividade intermediários são
classificados como semicondutores, e aqueles com resistividade elevada
como isolantes. A tabela a seguir mostra a resistividade de alguns materiais.
Material
Resistividade
ρ (Ω ⋅ m )
Material
Resistividade
Metais
Prata
1,62.10
Cobre
1,69.10 −8
Silício tipo n
9,68.10 −8
Ouro
2,35.10 −8
Silício tipo p
9,68.10 −8
Tungstênio
5,25.10 −8
Ferro
9,68.10 −8
−8
Semicondutores
Silício
ρ (Ω ⋅ m )
9,68.10
−8
Material
Resistividade
Isolantes
Vidro
1010 − 1014
ρ (Ω ⋅ m )
Quartzo
fundido
~ 10
16
Tabela 1.1 – Resistividade de alguns materiais à temperatura ambiente (20oC).
1.4.1 A lei de Ohm
O físico alemão Georg Simon Ohm (1787-1854), a partir de seus trabalhos,
descobriu uma importante relação entre voltagem e corrente elétrica em
temperatura constante. Ohm descobriu que a corrente em um circuito é
diretamente proporcional à voltagem, e inversamente proporcional à
resistência estabelecida no circuito.
A resistência (R ) em um condutor, que obedece essa proporcionalidade
(condutor ôhmico), é dada pela expressão:
R=
V
i
(1.10)
Sendo (V ) a diferença de potencial e (i ) a intensidade de corrente. A
unidade no SI para resistência é o ohm (Ω ) . A lei de Ohm pode ser escrita
como:
Lei de Ohm: a relação entre diferença de potencial (V ) e corrente (i ) é
diretamente proporcional, ou seja, R é constante.
Um condutor de resistividade elevada, usulmente utilizado em circuitos, com
finalidade de introduzir uma resistência é chamado de resistor, e é
representado pelo símbolo (
).A resistência também pode ser calculada
Cap.01 - Eletrodinâmica 7
seo valor da resistividade for conhecido. Considere um fio de cobre no qual o
campo elétrico e a densidade de corrente são iguais em todos os pontos, com
comprimento (L ) , área da seção reta ( A) e com diferença de potencial (V )
entre as extremidades do fio, como mostra a fig.1.8. A resistência pode ser
calculada com a seguinte expressão:
Fig.1.8 – Uma corrente (i) é estabelecida ao se aplicar uma
diferença de potencial (V) num fio de comprimento (L) e seção
de área transversal (A).
R=ρ
L
A
(1.12)
A equação (1.12) é válida para condutores isotrópicos homogêneos de seção
reta uniforme como o da figura 1.9.
Condutor isotrópico: condutor que possui as mesmas propriedades em todos
os pontos do material.
1.5Potência Elétrica
Considere o circuito da fig.1.9, que contém uma bateria A e um dispositivo B
qualquer (resistência, bateria recarregável, motor, etc.). Como o circuito
encontra-se fechado e há uma diferença de potencial constante entre os
extremos da bateria, haverá uma corrente constante atravessando o circuito
e o dispositivo B, do terminal “a” em direção ao terminal “b”. Ao completar
seu percurso no circuito, a carga tem seu potencial reduzido, ou seja, sua
energia potencial é reduzida por um dado valor.
Fig.1.9 – Circuito fechado com uma bateria e um
dispositivo qualquer.
Cap.01 - Eletrodinâmica 8
De acordo com a lei da conservação da energia a redução de energia
potencial é acompanhada pela conversão da energia para outra forma,
como energia química ou energia térmica. Essa taxa de tranferência de
energia é chamada potência (P ) , e é dada pela seguinte equação:
P = iV
(1.13)
Além disso, (P ) é a taxa com que a energia é transferida para o dispositivo B.
Se o dispositivo B for um resistor, haverá tranferência de energia potencial
elétrica para energia térmica. Como esse processo não é reversível, é dito que
⎛
⎝
há uma dissipação de energia. Sabendo que ⎜ R =
V⎞
⎟ , a potêcia dissipada
i ⎠
pode ser encontrada usando as seguintes expressões:
V2
P=
R
(1.14)
P = i2R
(1.15)
Exercício Resolvido 1.3– Suponha que a resistência total de um aquecedor
elétrico de uma petroquímica esteja submetida a uma diferença de potencial
de 220 V, essa resistência é igual a 20 ohms. Sabendo disso determine:
(a) a intensidade da corrente que atravessa o resistor
(b) a potência dissipada pelo resistor
(c) se o valor da corrente fosse alterado para 30A, qual seria o novo valor para
a resistência, e qual seria a potencia dissipada?
Solução:
a)Podemos aplicar a expressão V=Ri, pois os valores da resistência e do
potencial já foram fornecidos.
V = 220V
R = 20Ω
Logo:
i=
V 220
=
= 11 A
R 20
Cap.01 - Eletrodinâmica 9
b) Sabemos que a potência dissipada por um resistor pode ser calculada com
a eq.(1.15):
P = i2R
De acordo com a letra (a), a corrente vale 11A, então:
P = (11) 20 = 2420W
2
c) Da definição de resistência:
R=
V 220
=
= 7,33Ω
i
30
1.5.1 Consumo de energia elétrica
Os equipamentos que utilizam eletricidade para funcionar consomem uma
quantidade de energia elétrica. Para se calcular este consumo é necessário
saber apenas a potência do dispositivo e o tempo que ele permanece ligado.
A expressão para o cálculo do consumo de energia é dada por:
E = Pt
Sendo
(1.16)
(E )
a energia consumida, sua unidade no SI é Joule
potência em Watts (W ) , e (t ) o tempo em segundos (s ) .
( J ) , (P )
a
1.6Associação de Resistores
1.6.1Associação de Resistores em série
A fig.1.10(a) mostra um circuito formado por três resistência em série e uma
bateria. O termo em série refere-se a situação em que uma diferença de
potencial (V ) é mantida pela fonte entre dois pontos num circuito(a e b), as
cargas que atravessam as resistências tem apenas um caminho possível; as
diferenças de pontecial entre os terminais de cada resistência produzem a
mesma corrente em cada resistência, porém a diferença de potencial nos
terminais dos resistores são diferentes (V1 ;V2 ;V3 ) .
Cap.01 - Eletrodinâmica 10
Resistências em série podem ser substituídas por uma resistência equivalente,
que corresponde a soma de cada resistência individual, como mostra a
fig.1.10(b). A resistência equivalente é percorrida pela mesma corrente ( i ) , e
com diferença de potencial total (V ) que equivale a soma dos potenciais das
resistências individuais.
Fig. 1.10 – (a) Circuito simples com três resistores. (b) Circuito com resistência equivalente.
Para (n) resistores em série num circuito, a seguinte expressão pode ser usada
para calcular a resistência equivalente:
n
Req = ∑ R j
(1.17)
j =1
1.6.2Associação de resistores em paralelo
Quando os resistores num circuito estão em paralelo, a corrente elétrica pode
percorrer mais de um caminho, mas a diferença de potencial para esses
resistores é a mesma. A fig.1.11(a) mostra um circuito no qual estão presentes
três resistências em paralelo e a fig.1.11(b) mostra o mesmo circuiito com a
substitução das três resistêcias por uma resistência equivalente. A distribuição
da corrente no circuito obedece a regra dos nós.
Regra dos nós: A soma das correntes que entram em um nó é igual a soma
das correntes que saem desse nó.
Obedecendo a regra dos nós vemos que a corrente (i ) que passa por pelo
ponto (b) na fig.1.11(a), e em seguida pelo primeiro nó é dada por:
Cap.01 - Eletrodinâmica 11
i = i1 + i2 + i3
A corrente em cada resistência pode ser calculada com a eq. (1.10):
i1 =
V
,
R1
i2 =
V
,
R2
i3 =
V
R3
Fig.1.11 – (a) Resistores em paralelo. (b) Substituição dos resistores em paralelo pelo resistor
equivalente.
Então:
i=
⎛ 1
V
V
V
1
1 ⎞
⎛ 1
+
+
=V⎜ +
+
⎟ = V ⎜⎜
R1 R 2 R3
⎝ R1 R 2 R3 ⎠
⎝ Req
⎞
⎟
⎟
⎠
(1.18)
Logo:
1
1
1
1
=
+
+
Req R1 R2 R3
(1.19)
Generalizando, no caso de (n) resistências em paralelo:
n
1
1
=∑
Req j =1 R j
(1.20)
No caso de duas resistências em paralelo pode-se utilizar a seguinte equação
prática:
Req =
R1 ⋅ R 2
R1 + R 2
Cap.01 - Eletrodinâmica (1.21)
12
Exercício Resolvido 1.4– Uma associação de resistores é utilizada em um
equipamento industrial utilizado parao aquecimento de um fluido de
passagem. Deseja-se saber qual o custoassociado ao consumo de energia
elétricadesse equipamento durante8 horas de funcionamento se a corrente
que atravessa os condutores tem intensidade de 15A, e sabendo que o valor
do kWh custa 0,34 centavos.
Solução:
Inicialmente calculamos o valor da resistência equivalente do sistema.Como a
associação de resistores está em série, temos que:
n
Req = ∑ R j
j =1
Req = 20 + 30 + 40 = 90Ω
Utiliza-se então este valor da resistência equivalente para calcular a potência
dissipada:
P = i 2 R = 152 ⋅ 90 = 20250W = 20,250kW
O consumo de enegia do equipamento durante 8 horas é então:
E = Pt = 20,250 ⋅ 8 = 162kWh
Conhecendo o valor do consumo de energia, podemos agora calcular o
custo usando a regra de três simples:
1kWh − R$0,34
162kWh − x
Cap.01 - Eletrodinâmica x = R$55,08
13
Exercício Resolvido 1.5– Dois resistores, um de 20 ohm e outro de 5 ohm, são
associados em paralelo ligados em 6 volts. A energia, em joules, dissipada
pela associação, em 20 segundos, vale:
a) 180 J
b) 120 J
c) 30 J
d) 28,8 J
e) 9 J
Solução:
Como temos apenas 2 resistores em paralelo, podemos utilizar a eq.(1.21),
para calcular a resistência equivalente:
Req =
R1 ⋅ R 2
20 ⋅ 5
=
= 4Ω
R1 + R 2 20 + 5
Calcula-se então a potência dissipada pela resistência equivalente com a
eq.(1.14):
V 2 (6V )
=
= 9W
Req
4Ω
2
P=
A energia dissipada é dada pela eq.(1.16), o tempo foi fornecido pela
questão, então:
E = Pt = 9W ⋅ 20s = 180J
Então a alternativa correta é a letra a).
Exercício Resolvido 1.6–Na figura abaixo a tensão entre os terminais A e B é de
6,0 V e a corrente que atravessa os resistores é de 1,5 A. Sendo R1 = 1,2 ohm , o
valor de R2 é de:
Cap.01 - Eletrodinâmica 14
a) 0,8
b)1,5
c) 1,8
d) 2,8
e) 5,0
Solução:
Como os valores da corrente e da resistência 1 são conhecidos, podemos
calcular a diferença de potencial entre os terminais deste resistor com a
relação:
i=
V1
R
V1 = Ri = 1,2Ω ⋅1,5 A = 1,8V
Como a diferença de potencial entre os pontos A e B é conhecida, e para
uma associação de resistores em série o potencial total é a soma dos
potenciais individuais, temos:
V = V1 + V2
6 = 1,8 + V2 V2 = 4,2V
A resistência do resistor 2 é então:
i=
V2
R
R=
V2 4,2V
=
= 2,8Ω
1,5 A
i
Então a alternativa correta é a letra (d).
Cap.01 - Eletrodinâmica 15
1.7Geradores e receptores
1.7.1 Geradores
Para produzir uma corrente estável em um circuito é necessário que haja uma
diferença de potencial no sistema, que será responsável pela movimentação
dos portadores de carga, isso pode ser feito introduzindo no circuito uma
bateria por exemplo, como visto anteriomente. Um dispositivo desse tipo é
chamado fonte de tensão, dizemos que uma fonte de tensão produz uma
“fem” ou força eletromotriz ( ε ), ou seja, há uma submissão dos portadores de
carga a uma força gerada por uma diferença de potencial.
Força eletromotriz: é a energia por unidade de carga transferida da fonte para
as cargas móveis no circuito.
Alguns exemplos de fontes podem ser citados: bateria, geradores, termopilhas,
células de combustível, células solares, etc.
No interior da fonte os portadores de carga positivos se movem do terminal
negativo para o positivo, observe a fig.1.12, de modo que o potencial elétrico
desses portadores de carga aumenta. Esse movimento tem o sentido contrário
àquele no qual os portadores se moveriam sob influência de um campo
elétrico, e é parte da corrente que se estabelece no mesmo sentido em todo
o circuito; isso é possível pois há uma energia no interior da fonte realizando
trabalho sobre as cargas e forçando-as a se moverem dessa forma, pode-se
dizer então que a fonte realiza trabalho.A origem dessa energia pode ser
mecânica como nos geradores, química, como nas células de combustível e
baterias, ou térmica, como as células solares.
Fig.1.12 – Circuito simples com uma fonte real e uma resistência,
a qual é atravessada por uma corrente constante mantida pela
fonte que realiza trabalho sobre as cargas.
Então a carga que percorre o circuito entra na fonte no terminal de baixo
potencial e sai pelo terminal de alto potencial, e o trabalho realizado sobre as
cargas para que o movimento ocorra é dado pela expressão:
Cap.01 - Eletrodinâmica 16
ε=
ΔW
Δq
(1.22)
Sendo (W ) o trabalho, com unidade em joules ( J ) , e (q) a carga, em coulomb
(C ) . Logo a
(1 J C = 1V ) .
força eletromotriz (ε ) é dada em joule por coulomb, ou volt.
Numa situação real, o movimento dos portadores de carga através do circuito
sofre a influência de uma resistência à passagem de corrente, que está
presente na maioria dos corpos. Na bateria essa resistência é denominada
resistência interna (r ) . Podemos relacionar a diferença de potencial elétrico
nos terminais do gerador (V ) com sua força eletromotriz (ε ) e com a
diferença de potencial devido a resistência interna (V r ) , e obter a expressão
matemática a seguir. A fig.1.13 mostra uma representação simbólica do
gerador.
V = ε − Vr
(1.23)
Lembrando que a força eletromotriz também é diferença de potencial, as
grandezas (ε ) e (V r ) podem ser somadas. Observe que o valor de (V r ) é
negativo devido ao consumo de energia dos portadores de carga, como esse
valor é igual ao produto da resistência pela corrente (Vr = ri ) , temos então
que:
V = ε − ri
(1.24)
Fig.1.13 – Representação de um gerador, com a resitência
interna e os potenciais destacados.
Fonte de tensão ideal: é por definição aquela que não apresenta nenhuma
resistência ao movimento de cargas entre o terminal de baixo potencial e o
terminal de alto potencial. Nesse caso a diferença de potencial do circuito é
igual a força eletromotriz da fonte ( ε = V ).
Cap.01 - Eletrodinâmica 17
1.7.1.1 Potência e rendimento de um gerador
O rendimento é um parâmetro que nos dá a idéia das perdas de um processo.
Em um gerador o rendimento é dado em termos de potenciais, relacionandoa
potência útil com sua potência total.
Para calcular essas perdas em um gerador, multiplicamos ambos os termos da
eq.(1.24) pela corrente ( i ), logo:
Vi = εi − ri 2
(1.25)
O primeiro termo dessa equaçãorepresenta a potência útil do gerador, pois
(V ) representa a diferença de potencial entre os terminais do gerador. O
segundo termo representa a potência total do gerador, pois (ε ) representa o
trabalho realizado pelo gerador sobre os portadores de carga, e o último
termo representa a potência dissipada no gerador, pois está relacionado a
perda de energia devido a resistência interna. Portanto:
Pu = Vi
Pt = εi
(1.26)
Pd = ri 2
Sendo (Pu ) a potência útil , (Pt ) a potência total, e (Pd ) a potência dissipada.
O rendimento do gerador é expresso da seguinte forma:
η=
Pu V
=
Pt ε
(1.27)
1.7.2 Receptores
Receptores são dispositivos com a capacidade de transformar energia elétrica
em outras formas de energia que não seja a térmica. Por exemplo:
campainhas, motores, computadores, aparelhos de som, etc. Diferentemente
dos geradores, os responsáveis pela realização de trabalho nos receptores são
os portadores de carga, costuma-se definir então por oposição aos geradores,
a força contra-eletromotriz (ε ′ ) , que expressa a razão entre o trabalho e a
quantidade de carga.
ε′ =
ΔW
Δq
(1.28)
A fig.1.14 mostra a representação simbólica de um receptor.
Cap.01 - Eletrodinâmica 18
Fig.1.14 – Representação esquemática de um receptor,
com resistência e potenciais destacados.
Podemos relacionar a diferença de potencial elétrico (V ) entre os terminais A
e B do receptor com sua força contra-eletromotriz (ε ′ ) e com a queda de
potencial devido a resistência interna ( Vr′ = r ′i ), obtendo a expressão:
− V = ε ′ − Vr′
(1.29)
ou
− V = −ε ′ − r ′i
(1.30)
As diferenças de potenciais ( V e ε ′ ) possuem sinal negativo devido a perda
de energia por causa do trabalho realizado no receptor e da sua resistência
interna.
1.7.2.1 Potência e rendimento de um receptor
De forma semelhante aos geradores, podemos também calcular o rendimento
de um receptor. No entanto, calculamos a potência útil com base no valor de
(ε ′ ) que é a queda de potencial correspondente ao trabalho útil realizado
pelos portadores de carga sobre o receptor:
Pu = ε ′i
(1.31)
O consumo total de energia do receptor corresponde a queda de potencial
(V ) , então a potência total é:
Pt = Vi
(1.32)
E a potência dissipada devido a resistência interna do receptor é:
Pd = r ′i 2
(1.33)
O rendimento do receptor é expresso da seguinte forma:
η=
Pu ε ′
=
Pt V
Cap.01 - Eletrodinâmica (1.34)
19
1.8Medidas elétricas
Existem duas formas que são usualmente utilizadas para calcular a intensidade
de corrente em um circuito simples de uma malha, o método da energia e o
método do potencial.
1.8.1Método da energia
A fig.1.15 mostra um circuito simples, que será utilizado como auxílio no
desenvolvimento das equações e cálculo da corrente no circuito.
Fig.1.15 – Circuito simples com uma fonte e uma
resistência.
É possível observar na figura que a fonte usada é ideal (sem resistêcia interna);
a única resistência do circuito é a resistência proveniente do resistor (R),
considerando que a resistência ofererecida pelos fios também é nula. A
energia térmica dissipada no resistor num intervalo de tempo ( Δt ) é dada pela
multiplicação da eq.(1.15) por esse intervalo de tempo, ( i 2 RΔt ). Mas nesse
mesmo intervalo de tempo a carga que atravessa a fonte é ( Δq = iΔt ), e o
trabalho realizado pela fonte sobre a carga é:
Δ W = εΔ q = ε iΔ t
(1.35)
Para uma fonte ideal o trabalho realizado pela fonte é igual a energia térmica
dissipada no resistor:
εi Δt = i 2 R Δ t
(1.36)
Então:
ε = iR
(1.37)
ou
Cap.01 - Eletrodinâmica 20
i=
ε
(1.38)
R
1.8.2Método do potencial
Uma forma muito útil de calcular a corrente em um circuito fechado, é feita a
partir da análise dos seus componentesindividuais seguindo a regra das
malhas.Partindo de um ponto específico que possui um potencial,deve-se
percorrer o circuito em um sentido arbritário contabilizando as diferenças de
potencial no caminho, efinalmente retornando ao ponto original que possui
potencial igual ao inicial.
Regra das Malhas: A soma algébricas das variações de potencial encontradas
ao longo de um circuito fechado é zero.
A regra das malhas é também conhecida como lei das malhas de Kirchoof.
Fig.1.16 – Circuito com uma única malha, na qual uma
resistência R está ligada aos terminais de uma bateria ideal.
Para a malha da fig.1.16, partindo do ponto “A”cujo potencial é ( Va ),em
sentido horário, o primeiro componente do circuito é uma fonte, que é
atravessada do terminal negativo para o positivo, com variação de potencial
( + ε ). O segundo componente é um resistor, com variação de potencial dada
pela eq.(1.10), esse potencial deve diminuir pois passamos do lado de
potencial mais alto do resistor para o de potencial mais baixo, assim a
variação é ( − iR ). Então retornamos ao ponto (A) com potencial ( Va ). Como
os potenciais no mesmo ponto devem ser iguais então escrevemos:
Va + ε − iR = Va
(1.39)
A equação pode ser reescrita como:
Cap.01 - Eletrodinâmica 21
ε = iR
(1.40)
Que é equivalente a equação encontrada através do método da energia.
Exercício Resolvido 1.7– O circuito simples representado na figura a seguir é
percorrido por uma corrente contínua após a inserção de uma bateria de
10V.Determine:
(a) a intensidade da corrente que percorre este circuito
(b) a diferença de potencial entre os pontos A e B.
Solução:
(a) Podemos observar na figura que há uma bateria e um receptor no circuito.
O sentido da corrente estabelecida é horário, pois o potencial da bateria é
maior que o do receptor.
Podemos utilizar a lei de Kirchhoof para resolver este problema. Devemos partir
de um ponto específico, escolher um sentido para análise, e somar as
variações de potencial encontradas no caminho, e retornar ao mesmo ponto
no final, logo o resultado desta soma devem ser nulo. Então vamos iniciar do
ponto A, obtemos então:
V A + ε − ri − R1i − R2 i − ε ′ − r ′i = V A
ou
ε − ri − R1i − R2 i − ε ′ − r ′i = 0
Cap.01 - Eletrodinâmica 22
O único valor desconhecido desta expressão é o da corrente, então
substituindo os valores dados na figura, temos:
10 − 3.i − 6.i − 12.i + 2 − 5.i = 0
12 − 26.i = 0
i=
12
= 0,46 A
26
(b)Para encontrar a diferença de potencial entre dois pontos usamos a
mesma metodologia da letra (a), ou seja, iremos contabilizar as variações de
potencial presentes no percurso entre A e B, a diferença no entanto é que não
podemos igualar a expressão a zero pois o ponto final não é igual ao inicial.
Partindo de A no sentido horário, temos:
V A + ε − ri − R1i − R2 i = VB
Então a diferença de potencial entre B e A é:
VB − V A = ε − ri − R1i − R2 i
VB − V A = 10 − 3.0,46 − 6.0,46 − 12.0,46 VB − V A = 0,34V
1.9O Capacitor e suas associações
O capacitor é um dispositivo largamente empregado em equipamentos
eletrônicos, com o objetivo de armazenar energia elétrica.
1.9.1 Capacitor de placas paralelas
O capacitor é basicamente constítuido por dois condutores isolados entre si,
que recebem o nome de placas, independente de sua forma. Ele é
representado pelo símbolo (
), que é usado para representar qualquer tipo
de capacitor. A fig.1.17 mostra um capacitor de placas paralelas, formados
por duas placas condutoras equipotenciais de área (A).
Cap.01 - Eletrodinâmica 23
7 – Capacitorr de placas p
paralelas.
Fig.1.17
O te
ermo equip
potenciais é usado para
p
dizer que
q
todos os pontos de uma placa
p
estão sob o mesmo
m
po
otencial. Quando
Q
o capacito
or está de
escarregad
do a
diferrença de potencia
al entre as
a placas é nulo. No
N entanto, quand
do o
capacitor é in
nserido em
m um circuito como o da fig.1.18, haverá
á um acúmulo
de carga
c
nega
ativa na placa
p
(b) do
d capacittor, e uma deficiênciia na placa (a)
do capacitor,
c
devido a movimenta
m
ação das cargas pela fonte.
Fig.1.18
8 - Circuito
o simples para carreg
gamento de
e um
capac
citor.
A medida
m
qu
ue as plac
cas adquirem carg
gas, entre elas irá a
aparecer uma
diferrença de potencial,
p
que aume
enta até se igualar a diferença
a de pote
encial
entre
e os termin
nais do gerador, o movimento
m
das carga
as então p
pára, e dize
emos
que o capacittor está ca
arregado.
A quantidade
q
e de carrga arma
azenada em
e
cada placa é diretam
mente
prop
porcional a diferença
a de potencial entre
e as placas, normalm
mente, qua
ando
estamos nos referrindo a carga
nos referimos a carga de um capacitor,
c
c
oluta (q ) de
d uma das placas.Lo
ogo podem
mos escrev
ver:
abso
q=C
CV
(1.41)
Send
do (q) a carga,
c
ça de po
otencial entre as pllacas, e (C ) a
(V ) a diferenç
⎛C
⎞
= F ⎟.
⎝V
⎠
capacidade do
d capacittor dado em
e Farad (F ) , ou Co
oulomb po
or Volt ⎜
mo o Fara
ad é uma unidade muito grande, seu
us submúlttiplos, com
mo o
Com
(
)
(
micrroFarad μF = 10 F ou picoFarad pF = 10
−6
−12
)
F , sã
ão mais utilizados.
A partir da eq.(1.41)
e
uma expre
essão espe
ecífica pode ser ob
btida para
a um
m placas paralelass, relacion
nando a área
á
capacitor com
( A) dda placa e a
ância (d ) entre
e
elas:
distâ
C=
ε0 A
d
Cap.0
01 - Eletrodin
nâmica (1.42)
2
24
O
parâmetro
ε0 é
conhecido
como
permissividade
no
vácuo
pF ⎞
⎛
−12 F
= 8,85
⎜ ε 0 = 8,85.10
⎟
m
m ⎠.
⎝
1.9.2 Capacitores em série e em paralelo
Assim como os resistores, os capacitores também podem estar associados em
série ou em paralelo, e às vezes podem ser substituídos por um capacitor
equivalente.
1.9.2.1 Capacitores em paralelo
A fig.1.19(a) mostra uma associação de três capacitores em paralelo,todos os
capacitores estão sob a mesma diferença de potencial (V ) e a carga total (q)
armazenada nos capacitores é igualà soma das cargas armazenadas
individualmente nos capacitores. Os capacitores em paralelo podem ser
substituídos por um capacitor equivalente com a mesma diferença de
potencial (V ) e carga total (q) , como mostra a fig.1.19(b).
Fig.1.19 – (a) Três capacitores ligados em paralelo a uma bateria, a bateria mantém a mesma
diferença de potencial “V” entre os terminais dos capacitores. (b) Mesmo circuito após a
substituição dos três capacitores por um capacitor equivalente.
A carga dos capacitores individuais é calculada com a eq.(1.41):
q1 = C1V
q 2 = C 2V
q3 = C3V
Então a carga total dos capacitores é:
Cap.01 - Eletrodinâmica 25
q = q1 + q2 + q3 = (C1 + C2 + C3 )V
(1.43)
A capacitância equivalente com a mesma diferença de potencial (V ) e
carga total (q ) é:
Ceq =
q
= C1 + C 2 + C3
V
(1.44)
Ou para um número arbitrário (n), de capacitores em paralelo:
n
Ceq = ∑ C j
(1.45)
j =1
1.9.2.2 Capacitores em série
A fig.1.20(a) mostra uma associação de três capacitores em série, ou seja, os
capacitores são ligados em sequência, e cada um é submetido a uma
diferença de potencial ( V1 , V2 , V3 ),porém todos os capacitores armazenem a
mesma carga (q ) . Assim como os capacitores em paralelo, os capacitores em
série também podem ser substituídos por um capacitor equivalente, fig.1.20(b).
Fig.1.20 – (a) Três capacitores ligados em série no mesmo circuito. (b) Circuito com o capacitor
equivalente.
( )
Para obter o valor de Ceq , temos que determinar as diferenças de potencial
entre as placas dos capacitores, utilizando a eq.(1.41):
V1 =
q
C1
V2 =
q
C2
V3 =
q
C3
A diferença de potencial total produzida pela bateria pela bateria é a soma
dos potenciais individuais:
Cap.01 - Eletrodinâmica 26
⎛
⎞
1
⎟⎟
V = V1 + V2 + V3 = q⎜⎜
+
+
C
C
C
2
3 ⎠
⎝ 1
(1.46)
Então, a capacitância equivalente é:
Ceq =
q
1
=
V C1 + C2 + C3
(1.47)
Ou para um número arbitrário (n), de capacitores em série:
n
1
1
=∑
Ceq j =1 C j
(1.48)
Exercício Resolvido 1.8– Certos trabalhos numa indústria requerem a utilização
de uma grande quantidade de ar, e para manipular o ar geralmente se
utilizam equipamentos chamados de compressores. Seu acionamento, assim
como em outros dispositivos, ocorre de maneira instantânea devido a
utilização de capacitores, que tem a função de fornecer carga de utilização
rápida,aumentando o torque de partida do compressor. Suponha que um
capacitor de placas paralelas de um compressor tem os seguintes valores
nominais 60pF e 20V. Sabendo disso, determine:
a) a quantidade máxima de carga que esse capacitor pode armazenar;
b) a energia potencial elétrica máxima armazenada pelo capacitor.
Solução:
Os valores de utilização recomendados pelo fabricante do capacitor são
chamados de valores nominais, que são os valores limite que se podem ser
aplicados aos terminais do capacitor.
a) Como a diferença de potencial máxima do capacitor (∆V=10V) e sua
capacidade (C=60pF) são conhecidos, podemos calcular a quantidade
máxima de carga com a expressão:
C=
q
V
Cap.01 - Eletrodinâmica 27
Ou seja:
q = CV = 60 ⋅10 −12 F ⋅ 20V = 1,2 ⋅10 −9 C
b) O cálculo da energia potencial elétrica do capacitor é feito por
substituição direta dos valores na equação:
E=
QV 1,2 ⋅10 −9 C ⋅ 20V
=
= 1,2 ⋅10 −8 J
2
2
Exercício Resolvido 1.9– Sabendo que C1=5pF, C2=4pF e C3=2pF, calcule o
valor da capacitância equivalente no circuitos:
a)capacitores em série
b) capacitores em paralelo
Solução:
a) Como os capacitores tem diferentes capacidades, a diferença de
potencial entre cada capacitor será diferente, no entanto a carga é a mesma
em todos os capacitores. O somatório das diferenças de potencial entre os
capacitores individuais é igual a diferença de potencial fornecida pela fonte:
VE = V1 + V2 + V3
A diferença de potencial entre os terminais de um capacitor é dada pela
expressão:
Cap.01 - Eletrodinâmica 28
C=
q
q
⇒V =
V
C
Logo, temos que:
q
q
q
q
=
+
+
C E C1 C 2 C3
A expressão anterior pode ser simplificada dividindo todos os termos por “q”.
Ficamos então com:
1
1
1
1
=
+
+
C E C1 C 2 C3
Substituindo os valores dados no enunciado da questão, a capacitância
equivalente pode ser calculada:
1 1 1 1
= + + = 0,95
CE 5 4 2
C E = 1,05 pF
b) Quando os capacitores são associados em paralelo, todos estarão
submetidos a mesma diferença de potencial, porém cada um irá possuir uma
carga diferente:
q E = q1 + q2 + q3
Sabemos que:
C=
q
⇒ q = CV
V
Então:
C EV = C1V + C 2V + C3V
Dividindo os termos da expressão anterior por “V”, ficamos com:
C E = C1 + C2 + C3
A capacitância equivalente nesse caso vale:
C E = 5 + 4 + 2 = 11 pF
Cap.01 - Eletrodinâmica 29
CURIOSIDA
ADES: Como
C
a energiia elétriica que
e alimen
nta
nosssa cassa é gerrada?
O te
ermo eletricidade fo
oi inicialme
ente emprregado pe
elo inglês William Gilbert
quando desco
obriu que substânciias se elettrizavam por
p atrito c
com o âm
mbar.
Com
mo o âmba
ar, em gre
ego, é ele
ektron, ele chamou
tais substância
s
as de elétric
cas.A energia elétric
ca é uma
das formas de
e energia mais
m
utilizad
da nos dia
a de hoje
pela
a humanid
dade. Ela
a está pre
esente em
m vários
mom
mentos da
a nossa viida, ela é empregada em
laress, indústrrias, faze
endas, hospitais, etc. A
eletrricidade esstá presen
nte até me
esmo no se
eu corpo,
diversas
estim
mulando
suas
cé
élulas.Ela
possui
aplic
cações na
a sociedade moderna, por exemplo, no
defornece
lar aeletricida
a
e luz e pro
oduz calor para o
func
cionamento
o de refrig
geradores, aspiradore
es de pó, Fig.1.21 – Local da
rádio
os, televiso
ores, etc. Em
E edifício
os comerciiais ela é primeira u
usina de
usad
da no fun
ncionamen
nto de ele
evadores, escadas energia hidrelétrica do
rolan
ntes. A energia elétrica ajuda a mover
mundo em
m Wisconsin.
ntos das in
praticamente todos os equipame
e
ndústrias,
com
mo grand
des torno
os mecân
nicos e imensas
forna
alhas. Existtem diversa
as formas de produzzir esse tipo
o de energ
gia. Uma delas
d
é usar a força das água
as, esse é um
u métod
do bastante antigo, u
usado dessde o
sécu
ulo I A.C, e começo
ou com a utilização
o das cham
madas rod
das d’água ou
“noras”, que atra
avés da ação
a
direta de
d uma q
queda d’á
água
produzia
a energia mecânic
ca. A
partir do
d século XVIII, co
om o
surgime
ento
d
de
novas
n
tecnolo
ogias com
mo a turrbina
hidráulic
ca, o moto
or, o dínam
mo, a
lâmpad
da, foi posssível conv
verter
em
a
ene
ergia
mecânica
eletricid
dade.A primeira usina de
energia
a hidrelétriica foi ab
berta
em Ap
ppleton, W
Wisconsin, em
1882, no
o Rio Fox. O proprie
etário
de um moinho d
de papel local
ligou uma
u
turbin
na movid
da a
água a um gerad
dor. A prim
meira
usina
12,5
produziu
apenas
Fig.1.2
22 - Turbina de
d água da Represa
R
Gran
nd Coulee.
quilowa
atts de e
eletricidade
e, o
suficientte para aliimentar a casa
do proprietári
p
o e dois moinhos de
d papel.A
A primeira
a unidade produtora
a de
enerrgia no Brrasil foi a usina
u
term
melétrica in
nstalada em
e Campo
os, no ano
o de
1883
3, com a potência de
e 52 kW. Atualmente
A
e, cerca de
e 20% da e
energia elé
étrica
gera
ada no mundo
m
é provenient
p
e de hidrrelétricas. A maior h
hidrelétrica
a do
mun
ndo em te
ermos de barragem
m se localiiza na Ch
hina, ela sse chama Três
Garg
gantas, co
om capac
cidade de geração total de 22.500
2
MW.A eletricid
dade
por si
s só não é uma fontte de enerrgia. As usinas hidrelé
étricas posssuem eno
ormes
Cap.0
01 - Eletrodin
nâmica 3
30
turbinas que rodam impulsionadas pela pressão da água, ao girar, essas
turbinas acionam geradores que irão produzir energia. Logo, para que a usina
funcione é primordial ter um bom nível de água nos reservatórios e
consequentemente um bom poder de queda d’água. Se por acaso este nível
estiver muito baixo devido à ausência de chuvas por um longo tempo, a
produção de energia é prejudicada. Como no Brasil as hidrelétricas são
responsáveis pela produção de aproximadamente 95% da energia elétrica no
país, a falta de chuva é um grande problema, a solução para este problema
pode ser o racionamento, como aconteceu tempos atrás no chamado
“apagão”.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1.1- Em um circuito elétrico existem três resistores As intensidades das correntes
elétricas que passam por eles correspondem aos valores: i1=7,5A, i2=2,5ª e
i3=10ª. Calcule o valor da tensão total aplicada ao circuito e a resistência do
segundo resistor (R2) se as resistências no primeiro e terceiro resistor são
conhecidas: R1=20 ohm, e R3=45 ohm.
1.2 – Uma pessoa resolveu estudar o consumo de energia elétrica decorrente
do uso de uma determinada lâmpada, com especificação nominal 220V –
100W. Calcule o consumo de energia da lâmpada nos seguintes casos:
1) Se a lâmpada, com as condições nominais do enunciado, permanecer
ligada durante 30 min;
2) Considere agora que a lâmpada é ligada em uma tomada de 110V,
novamente durante 30 min.
Escolha
a
alternativa,
que
contem
a
respostas
dos
itens
1
e
2,
respectivamente:
a) 1,10 . 10-2, 2,20 . 10-2
b) 2,20 . 10-2, 1,10 . 10-2
c) 2,0 . 10-2, 1,0 . 10-2
d) 1,25 . 10-2, 5,0 . 10-2
e) 5,0 . 10-2, 1,25 . 10-2
Cap.01 - Eletrodinâmica 31
1.3 –A diferença de potencial entre os pontos A e B da associação de
resistores, ilustrado na figura abaixo, vale 50V. Sabendo que a potêcia
dissiopada por efeito Joule é igual a 250 W. O valor da resistência R, é de:
a) 8 ohm
b) 7 ohm
c) 6 ohm
d) 5ohm
e) 4 ohm
1.4 – Quando as resistências R1 e R2 são colocadas em série, elas possuem uma
resistência equivalente de 6 ohm, Quando R1 e R2 são colocadas em paralelo,
a resistência equivalente cai para 4/3 ohm. Calcule os valores das resistências
1 e 2, respectivamente, e escolha a alternativa correta.
a) 5 ohm e 1 ohm
b) 3ohm e 3ohm
c) 4ohm e 2ohm
d) 6ohm e 0ohm
e) 0ohm e 6 ohm
1.5 - Três capacitores cujas capacitâncias são C1= 4,0 . 10-9F, C2= 3,0 . 10-9F e
C3= 6,0 . 10-9F, são associados como representa o esquema abaixo.Sabendo
que a carga elétrica armazenada no capacitor C3 vale 3,0 . 10-7 C, é correto
afirmar que a carga no capacitor C1, em coulombs, vale:
a) 3 . 10-7
b) 4 . 10-7
c) 6 . 10-7
d) 1,2 . 10-6
e)1,6 . 10-6
Cap.01 - Eletrodinâmica 32
CA
APÍTU
ULO2: ELET
TROM
MAGN
NETIS
SMO O q
que é um dínamo
o? Os experimen
e
tos realiza
ados por Hans
H
Christtian Oerste
ed (1820) comprova
aram
que uma corre
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ampo mag
gnético.
Mich
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q
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dade.
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nergia elé
étrica
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dores
mecâ
ânicos cujjo princíp
pio é o fenômeno
o da
indução eletrom
magnética
a.
Apare
elhos como
o este posssuem um dínamo, que
q
é
um dispositivo constituído
c
por um ím
mã fixo em
m eixo
Fig.2
2.1 – Gerad
dor de
móve
el, ao redor deste eixxo existe um conjuntto de
corre
ente contíínua
espira
as (bobina). Quando
o o ímã gira, um ca
ampo
magn
nético variiável gera
a uma corrrente eléttrica.
Para
a efetuar a rotação dos imãs pode-se
p
en
ncontrar o gerador a
acoplado com
outro
o equipam
mento como uma turbina, como
c
mosttra a fig.2.2
2.
Fig.2
2.2 – Turbin
na (aparelho
à essquerda) a
acoplada a
um gerador (a
aparelho à
dire
eita).
Cap.0
02 - Eletroma
agnetismo 3
36 2.1Introdução ao Eletromagnetismo
Os materiais magnéticos podem ser classificados em: ferromagnéticos,
paramagnéticos, diamagnéticos, antiferromagnéticos e ferrimagnéticos.
Material ferromagnético: corpos desses materiais são sempre atraídos por imãs.
Por exemplo, ferro, níquel, cobalto, ou ligas metálicas que contêm esses
elementos.
Material paramagnético: sofre fraca atração por imãs. São exemplos de
materiais paramagnéticos o paládio, a platina, o potássio, o sódio e algumas
ligas.
Material diamagnético: é repelido por imãs. É um efeito fraco apresentado por
materiais como prata e bismuto.
Materiais
antiferromagnéticos
e
ferrimagnéticos:
são
propriedades
semelhantes que permite dar ao material diferentes formas de magnetização.
São exemplos destes materiais o cromo, o manganês e a ferrita.
Os imãs são corpos de materiais ferromagnéticos com propriedade de atrair
outros materiais ferromagnéticos e de atrair ou repelir imãs.
Independente da forma que os imãs tenham, eles têm dois pólos distintos: o
pólo norte e o pólo sul. Como regra geral, pólos opostos se atraem e pólos de
mesmo nome se repelem. Os pólos dos ímãs sempre se opõem entre si em
relação a uma superfície de simetria, como mostra a fig.2.3.
Fig.2.3 – Algumas formas que os imãs podem ser encontrados.
Cap.02 - Eletromagnetismo 37 2.2Campo Magnético gerado por uma corrente elétrica e a
Lei de Biot Savart
Os campos magnéticos podem ser produzidos de duas formas. Na primeira
forma, um campo magnético pode ser produzido por um imã. Na segunda,
um campo é gerado por partículas em movimento, como uma corrente
elétrica em um fio.
Se uma partícula (corpo de prova) de carga elétrica ( q ), é positiva e tem
velocidade ( v ) em um ponto P, sob ação de uma força perpendicular
( F ),
associamos ao ponto P, por definição, o vetor campo magnético ( B ), de
módulo:
B=
F
qv ⋅ senθ
(2.1)
A unidade do módulo do vetor campo magnético no SI é o
N
ou Tesla (T).
A⋅ m
A região do campo magnético gerado pode ser representada
através de linhas de campo magnético, como mostra a
fig.2.4.A tangente a essas linhas de campo magnético, em
cada ponto indica a direção do vetor campo magnético ( B ).
E o sentido dessas linhas pode ser determinado por uma regra
prática que utiliza a mão direita.
Fig.2.4 – Campo magnético ao redor de um fio.
Regra da mão direita: Coloca-se a mão quase fechada com o polegar para
fora, junto ao condutor no sentido da corrente, a curvatura dos dedos indica o
sentido das linhas do campo magnético, observe a fig.2.5.
Fig.2.5 – Como usar a regra da mão direita.
Cap.02 - Eletromagnetismo 38 2.2.1 Força sobre condutores percorridos por corrente elétrica
Um fio condutor retilíneo de comprimento ( l ) percorrido por uma corrente
contínua de intensidade ( i ), imerso em um campo magnético, observe a
fig.2.6, cujo vetor ( B ) forma um ângulo ( θ )com a direção do condutor, sofre a
ação de uma força ( F ), chamada de força magnética, de módulo:
F = ilB ⋅ senθ
(2.2)
Fig.2.6 – Força magnética sobre um condutor percorrido por corrente elétrica.
Quando condutor está disposto de forma perpendicular às linhas de campo
magnético, ou seja, θ = 90° , podemos escrever:
F = ilB
(2.3)
Já se o fio for disposto na mesma direção das linhas do campo magnético, ou
seja, θ = 0° ou θ = 180° , a força será nula.
O sentido dos vetores é dado pela regra da mão direita espalmada. Observe
a fig. 2.7.
Regra da mão direita espalmada: O polegar indica o sentido da corrente
()
elétrica ( i ), a palma da mão indica a direção da força F gerada, e os dedos
estendidos indicam o vetor campo magnético ( B ).
Fig.2.7 - Regra da mão direita espalmada.
Cap.02 - Eletromagnetismo 39 Exercício Resolvido 2.1-Um fio condutor elétrico retilíneo de comprimento 25,00
cm e massa 20,00 g está disposto paralelamente ao solo (horizontal) e
perpendicularmente às linhas de indução de um campo magnético uniforme,
conforme a figura abaixo. O vetor indução magnética tem direção horizontal
e intensidade B=8,00. 10-2T. Quando o amperímetro ideal indica a intensidade
de corrente de 10,0 A, o fio condutor fica sujeito à ação de uma força
resultante de intensidade:
a) Nula
b) 1,0 . 10-1 N
c) 2,0 . 10-1 N
d) 4,0. 10-1 N
e) 8,0. 10-1 N
Solução:
Como a disposição do condutor é perpendicular às linhas de campo
magnético, podemos utilizar a seguinte expressão para calcular a força
magnética:
F = ilB
Substituindo os dados fornecidos na questão na equação anterior, temos que:
F = 10 ⋅ 0,25 ⋅ 8 ⋅10 −2 = 0,2 N
Como a massa do fio é de 20 g ou 0,02 kg e assumindo que a aceleração da
gravidade é 10 m/s2, podemos calcular a força peso exercida pelo fio com a
expressão:
P = mg = 0,02 ⋅ 10 = 0,2 N
Como a força magnética e o peso possuem mesma direção e sentido, a força
resultante é dada por:
Cap.02 - Eletromagnetismo 40 FR = F + P = 0,2 + 0,2 = 0,4 N
FR = 4 ⋅10 −1 N
Logo a alternativa correta é a letra (d).
2.2.2 Condutores paralelos: interação eletromagnética
Vimos que um condutor sofre ação de uma força quando está inserido em um
campo magnético, também vimos um condutor gera um campo magnético
quando é percorrido por uma corrente elétrica. Então, quando dois
condutores percorridos por corrente são colocados próximos um do outro,
podemos dizer que haverá uma interação entre eles, pois ambos geram e são
afetados por campos magnéticos.
Quando esses condutores são dispostos de maneira paralela, observa-se o
seguinte comportamento:
•
Condutores percorridos por correntes elétricas de mesmo sentido se
atraem.
( )
Quando a regra da mão direita é aplicada ao fio 1, verifica-se que o vetor B1
, gerado por (i1 ) no fio 2, é perpendicular e orientado para dentro da figura,
isto é representado pelo símbolo
corrente
(i2 )
( )
, enquanto que o vetor B2 gerado pela
é perpendicular e orientado para fora da figura,sendo é
representado pelo símbolo
. Aplicando agora a regra da mão direita
espalmada no fio 2 (para descobrir o sentido da
força magnética sobre um um fio imerso num
campo magnético), descobrimos que o fio 2 sofre a
(
)
ação de uma força − F12 , devido ao campo
magnético do fio 1. Observe a fig.2.8.
Fig.2.8 – Condutores paralelos percorridos por correntes de
mesmo sentido se atraem.
• Condutores
percorridos
por
elétricas em sentido oposto se repelem.
Cap.02 - Eletromagnetismo correntes
41 Essa conclusão é obtida a partir de uma análise análoga a situação
anterior. Observe a fig.2.9.
Fig.2.9 – Condutores paralelos percorridos
correntes de sentido oposto se repelem.
por
Para ambos os casos, a seguinte expressão
pode ser utilizada para calcular o módulo
das forças resultantes entre os condutores:
F=
μ 0 i1i2 l
2πd
(2.4)
Sendo (l ) o comprimento dos condutores paralelos iguais e muito extensos, (d )
a distância entre os condutores, (i1 ) e (i2 ) as intensidades de corrente nos fios 1
e 2, respectivamente, e
(μ0 ) a permeabilidade magnética do meio.
2.2.3 A lei de Biot Savart
Podemos estar interessados em calcular o campo magnético produzido por
uma corrente num pontopróximo a um fio. A equação utilizada para o cálculo
é obtida a partir da lei de Biot Savart, mostrada a seguir:
∧
μ i Δs × r
ΔB = 0
4π r 2
(2.5)
Sendo ( μ 0 ) uma constante conhecida como permeabilidade do meio, ( i ) a
corrente, ( Δs )o vetor comprimento na direção da corrente, ( B ) o campo
∧
magnético, ( r ) o vetor que liga ( Δs ) ao ponto em análise, ( r ) é a distância
perpendicular entre o ponto e o fio.
Cap.02 - Eletromagnetismo 42 2.3Campos em Solenóides e a Lei Circuital de Ampère
A lei de Ampère é utilizada para calcular o campo magnético total associado
a uma distribuição de correntes, quando essa distribuição apresentar simetria
(planar, esférica ou cilíndrica) os cálculos tornam-se relativamente simples
usando a lei de ampère. Ela permite determinar o módulo do campo
magnético em um ponto, gerado por uma corrente contínua.
No caso de uma corrente que percorreum fio retilíneo longo, o cálculo do
campo magnético num ponto exterior aum fio retilíneo longo, é dado pela
expressão:
B=
μ 0i
2πr
(2.6)
E para um ponto no interior do fio:
⎛ μi ⎞
B = ⎜ 0 2 ⎟r
⎝ 2πR ⎠
(2.7)
Sendo (r) a distância do ponto ao centro do fio, e ( R ) o raio do fio.
Exercício Resolvido 2.2– Suponha que um fio condutor retilíneo infinito, que
está posicionado perpendicularmente ao plano do papel como mostra a
figura, seja percorrido por uma corrente de intensidade 6A no sentido saindo
do papel. E os pontos A, B e C estão contidos neste mesmo plano, com uma
distância ao fio de r1 = 0,3m , r2 = 0,4m e r3 = 0,6m respectivamente. Determine:
(a) O módulo dos vetores campo magnético em cada ponto se a
permeabilidade magnética do ar é μ o = 4π .10 −7 T .m / A .
(b) Utilize a regra da mão direita para representar graficamente os vetores
campo magnético.
Solução:
(a)Sabemos que para calcular o módulo do campo magnético em um fio
retilíneo longo podemos usar a eq.(2.6):
Cap.02 - Eletromagnetismo 43 Então para o ponto A temos:
B1 =
μ o i 4π .10 −7 i 2.10 −7.6
=
=
= 4.10 −6 T
2πr
2πr1
0,3
Para o ponto B;
B2 =
μ o i 4π .10 −7 i 2.10 −7.6
=
=
= 3.10 −6 T
2πr
2πr2
0,4
Para o ponto C:
μ o i 4π .10 −7 i 2.10 −7.6
B3 =
=
=
= 2.10 −6 T
2πr
2πr3
0,6
(b)De acordo com a regra da mão direita, a direção e o sentido dos vetores
B1 , B2 , B3 , são determinados, e podemos construir um esquema como o
seguinte:
Nesse caso as linhas de campo magnético são circulares e os vetores obtidos
são tangentes a essas linhas.
Já vimos anteriormente como determinar o campo magnético em um fio
retilíneo longo, as linhas de campo magnético tinham trajetória circular em
torno do fio. Considere agora que essa configuração fosse modificada para
um condutor em forma de espira circular. Nesse caso as linhas de campo
magnético seriam distorcidas e teríamos uma nova distribuição de linhas,
observe a fig.2.10. Note que a linha que passaria no interior da espira seria
representada por uma linha reta.
Cap.02 - Eletromagnetismo 44 Fig.2.10- Campo magnético em uma espira circular.
O sentido das linhas do campo magnético em uma espira percorrida por
corrente elétrica, pode ser encontrado usando a regra da mão direita de uma
forma diferente: os dedos acompanham o percurso da corrente elétrica na
()
espira e o polegar indica o sentido do vetor campo magnético B .
A expressão utilizada no cálculo do módulo do campo magnético no centro
de uma espira de raio (r ) , percorrida por uma corrente contínua de
intensidade (i ) , é:
B=
μ0i
(2.8)
2r
Um caso útil no qual a lei de ampère é utilizada é na determinação do campo
magnético em um solenóide. De forma simplificada um solenóide é um
conjunto de espiras enroladas lado a lado. A fig.2.11 mostra um solenóide
percorrido por uma corrente.A direção das linhas de campo está ilustrada
pelas setas ao centro.
Fig.2.11 – Solenóide comum.
Solenóide: Bobina helicoidal formada por espiras circulares muito próximas. Um
solenóide constitui uma forma prática de criar um campo magnético uniforme
de valor conhecido.
Cap.02 - Eletromagnetismo 45 A configuração das linhas de campo pode ser obtida da reunião das
configurações individuais, quanto maior o número de espiras, e menor a
distância entre elas mais definida fica a configuração.
Se o comprimento do solenóide (L ) for muito grande, o campo magnético no
( )
seu interior é praticamente uniforme, ou seja, vetor campo magnético Bs é
constante em todos os pontos, com direção e sentido dados pela regra da
mão direita, seu módulo é dado pela expressão:
Bs = μ0
N
i
L
(2.9)
⎛N⎞
⎟ por (n ) , que é o número de espiras por
⎝L⎠
Se representarmos a fração ⎜
unidade de comprimento, então:
Bs = μ 0 ni
Sendo
(N ) o
(2.10)
número de espiras, (L) o comprimento do solenóide,
intensidade de corrente e (μ 0 ) a permeabilidade do meio.
(i )
a
Exercício Resolvido 2.3- Uma empresa de equipamentos industriais recebeu um
pedido de uma concessionária para fabricação de um gerador mecânico
parafornecer energia em uma de suas unidades. Neste pedido havia sido
especificada a necessidade de geração de uma corrente de 12A. O
responsável pelo projeto do gerador deseja saber a quantidade de espiras
que serão necessárias para o solenóide na montagem do dínamo desse
gerador se o valor do comprimento e do campo magnéticos descritos nas
normas da empresa são de 30 cm e 4,02.10-3T, respectivamente. Dado:
μ o = 4π .10 −7 T .m / A .
Solução:
Sabemos que o campo magnético de um solenóide pode ser calculado com
a eq.(2.9).
Como os valores da corrente, do comprimento e do campo magnético, foram
especificados, precisamos apenas substituir seus valores na equação:
B=
μ 0 Ni
L
Cap.02 - Eletromagnetismo 46 Ou para N:
N=
LB 0,3.4,02.10 −3
=
= 80 espiras
μ0i
4π .10 −7.12
2.4Força de Lorentz e suas Aplicações
Um portador de carga elétrica com carga (q ) que se move com velocidade
(v) em uma região sob influência simultânea de um campo magnético (B )e
um campo elétrico (E ) ,está sujeito a dois tipos de força, a elétrica e a
magnética.
A força de Lorentz representa a forçaeletromagnética total que atua no
portador de carga, ela é calculada com a seguinte expressão:
F = q.E + q.v × B
( )
(2.11)
(
)
O produto q.E representa a contribuição da força elétrica e o termo q.v × B
representa a contribuição da força magnética, que atuam simultaneamente
sobre a partícula durante seu movimento. A componente elétrica da força de
Lorentzé independente do movimento da partícula, existindo com esta em
movimento ou em repouso, enquanto a parcela associada à força magnética
é dependente da velocidade da partícula, sendo nula caso a partícula se
encontre em repouso no referencial em questão.
A adição das parcelas deve obedecer às regras associadas à soma vetorial. A
componente elétrica da força encontra-se sempre paralela ao campo
elétrico, e a componente magnética da força encontra-se perpendicular à
()
velocidade v da partícula e ao campo magnético em virtude do produto
vetorial entre estas duas grandezas.
A força de Lorentz encontra aplicação no estudo da dinâmica de partículas
em tubos de raios catódicos e em cíclotrons.
2.5Indução Eletromagnética, as Leis de Faraday e Friedrich
Lenz
2.5.1 Fluxo do campo magnético
Cap.02 - Eletromagnetismo 47 Para entender o fenômeno da indução eletromagnética é necessário
introduzir o conceito de fluxo do campo magnético.O conceito de fluxo está
relacionado ao número de linhas de campo que atravessam uma superfície
de área (S ) , esse conceito se torna simples quando o vetor campo magnético
for constante e a superfície for plana, ou quando o ângulo (θ ) , formado entre
()
o segmento normal a superfície e o vetor B for constante. Nessa situação o
fluxo do campo magnético (φ B ) através da superfície é por definição:
φ B = BS . cosθ
(2.12)
Sendo (B ) o módulo do vetor campo magnético. A unidade no SI do fluxo é o
tesla por metro quadrado ou Weber, ( T .m 2 = Wb ).
2.5.2Lei de Faraday
Após descobrir que uma corrente elétrica é capaz de criar um campo
magnético, os físicos começaram a se questionar se um campo magnético
poderia gerar corrente. Em 1831 Faraday descobriu a veracidade do
fenômeno com a realização de alguns experimentos. A fig. 2.12 ilustra um
desses experimentos, uma corrente na bobina à esquerda produz um campo
magnético no anel de ferro. A bobina a direita é ligada a um galvanômetro,
que é usado para indicar a presença de corrente induzida no circuito. O
campo magnético gerado no anel é estacionário, exceto no instante em que
o interruptor (S ) é fechado ou aberto, nesse instante uma corrente induzida é
detectada pelo galvanômetro. Quando o interruptor é fechado, a corrente
induzida tem um sentido, e no momento em que o interruptor é fechado a
corrente tem o sentido oposto. Então se pode concluir deste experimento que
para um campo magnético estacionário não há corrente induzida.
Fig.2.12 – Sistema com duas bobinas enroladas
em torno de um anel de ferro, uma chave S e
um galvanômetro G. Quando a chave é
fechada ou aberta o galvanômetro sofre uma
deflexão momentânea.
A fig.2.13 ilustra outro experimento no qual a influência da variação do campo
magnético é necessária para geração de corrente induzida. O campo
magnético gerado pelo imã quando este está em repouso não gera corrente
na bobina. Quando o imã é aproximado da espira ocorre variação do campo
magnético e consequentemente geração de corrente ( i0 ) em um sentido.
Quando o imã é afastado da bobina, uma corrente induzida ( i0 ) é detectada
na espira, porém em sentido oposto.
Cap.02 - Eletromagnetismo 48 Fig.2.13 – (a) Uma corrente é induzida na espira quando o imã se aproxima dela. (b) Quando o
imã se afasta da espira, a corrente induzida gerada tem sentido oposto.
A corrente produzida nos circuitos é chamada de corrente induzida, eo
trabalho executado por unidade de carga para produzir essa corrente é
chamado de força eletromotriz induzida.Logo quando há variação do campo
magnético o circuito terá uma corrente induzida e uma força eletromotriz
induzida associada, esse processo é chamado de indução.
A análise quantitativa entre o campo magnético variável e a força
eletromotriz induzida é realizada em termos do fluxo magnético.
Lei de Faraday: A força eletromotriz ( ε ) induzida numa espira é diretamente
proporcional à variação de fluxo magnético ( Δφ B ) que a atravessa e
inversamente proporcional ao intervalo de tempo ( Δt ) em que essa variação
ocorre.
A lei é expressa matematicamente na forma:
ε =−
Δφ B
Δt
(2.13)
No caso de ( N ) espiras formando uma bobina plana, o fluxo total é obtido
multiplicando o fluxo magnético ( Δφ B ) pela quantidade de espiras
( N ), a
equação é então expressa da seguinte forma:
ε = −N ⋅
Δφ B
Δt
(2.14)
O sinal negativo das expressões indica o sentido em que a força eletromotriz
atua, determinando o sentido da corrente elétrica.
Exercício Resolvido 2.4-Um ímã, preso a um carrinho, desloca-se com
velocidade constante ao longo de um trilho horizontal. Envolvendo o trilho há
Cap.02 - Eletromagnetismo 49 uma espira metálica, como mostra a figura adiante. Pode-se afirmar que, na
espira, a corrente elétrica:
a)ésempre nula.
b) existe somente quando o ímã se aproxima da espira.
c) existe somente quando o ímã está dentro da espira.
d) existe somente quando o ímã se afasta da espira.
e) existe quando o ímã se aproxima ou se afasta da espira.
Solução:
A alternativa correta é a letra (e). Vimos de acordo com a lei de Faraday que
uma corrente induzida é gerada na espira devido à variação do fluxo
magnético gerado pelo imã em movimento.
2.5.3 Lei de Lenz
Pouco depois de propor a lei de indução, Heinrich Friedrich Lenz inventou uma
regra para determinar o sentido da corrente em uma espira:
Lei de Lenz: A corrente induzida em uma espira gera um campo magnético
que se opõe à variação do fluxo magnético que induz essa corrente.
A fig.2.14 fornece uma melhor compreensão sobre a lei de Lenz. A corrente
induzida e a força eletromotriz, produzem um campo magnético na espira
cujo sentido, se opõe ao movimento do imã e é dado pela regra da mão
direita (os dedos curvados da mão indicam a corrente e o polegar indica a
direção do fluxo do campo magnético induzido gerado pela espira).
Cap.02 - Eletromagnetismo 50 Fig.2.14 – O camp
po magnético
o do imã se opõe
o
ao cam
mpo magnéttico induzido da espira qu
uando
(b) o imã se afassta da espira
a (força atra
ativa) (b) o imã se mov
ve em direçã
ão à espira (força
repulssiva)
ADES: Por
P que os trens magle
ev levitam?
CURIOSIDA
O magnetismo
m
o é conhecido dessde a anttiguidade, existem rregistros qu
ue a
civilizzação chinesa já utilizava a bússola
b
dessde o sécu
ulo III A.C, eles já sab
biam
também com
mo magne
etizar o aç
ço através de imãss naturais,, embora não
houv
vesse uma
a explica
ação para
a o fenômeno. Na
a idade média, Petrus
P
Pere
egrinus pro
oduziu uma
a obra intittulada “Ep
pístola de Magnete””, ignorada
a até
fins do
d século XVI, a qua
al relatava experiênc
cias com o magnetismo, talvezz este
seja o primeirro trabalho
o, de que
e temos notícias,
n
que buscava explica
ar os
fenô
ômenos elétricos e magnétic
cos. Porém
m não ha
avia distin
nção entre os
diferrentes tipos de atraç
ção: a mag
gnética e a elétrica.
Em 1820
1
um no
ovo fenôm
meno foi observado por acaso
o pelo físico
o dinamarrquês
Hanss Christian Oersted. Durante
D
um
ma de sua
as aulas so
obre o efeiito térmico
o das
corre
entes nos fios condu
utores, perrcebeu que ao passar uma co
orrente elé
étrica
por um fio, uma
u
agulha magné
ética loca
alizada prróxima a este fio sofria
s
influê
ência. Percebeu-se então que
e ao se pa
assar uma corrente e
elétrica po
or um
fio um campo magnétic
co é gerado ao seu re
edor.
A
camposs
geração
o
de
mag
gnéticos no
n mundo hoje tem
m
dive
ersas apliicações. O trem
m
mag
glev, por exemplo, tem seu
u
func
cionamento
o
basea
ado
noss
conh
hecimento
os
do
o
eletrromagnetissmo.
Esse trem é ca
apaz de le
evitar e se
e
deslo
ocar porr meio da força
a
mag
gnética de
e campos atrativos e
repu
ulsivos. As tecnologia
t
as que são
o
Fig.2.15 – Trem Ma
aglev
Cap.0
02 - Eletroma
agnetismo 5
51 aplicadas podem
permanentes.
envolver:
ímãs
supercondutores,
eletroímãs
e
imãs
No caso dos supercondutores, a força magnética é produzida pela interação
entre o campo magnético gerado por bobinas externas localizadas ao longo
da plataforma, e as correntes persistentes que circulam nas bobinas
supercondutoras existentes no interior do trem, feitas com fios supercondutores
que geram campos muito intensos graças a não dissipação de energia, sendo
esta uma característica desse material. Ocasionando assim uma levitação
entre 1 e 10 cm sobre o trilho.
A mudança na polaridade das bobinas é responsável pelo movimento do
trem, de modo que a parte frontal do trem puxa o veículo para frente,
enquanto o campo magnético atrás do trem intensifica esse movimento de
modo a empurrar o veículo para frente. Como o trem não entra em contato
com o trilho, ele consegue atingir altas velocidades, em torno de 500 km/h.
Atualmente a Alemanha e o Japão são os países com maiores pesquisas no
campo.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 2.1 – O disco rígido de um computador é um meio magnético utilizado para
armazenar informação em forma digital. Sua superfície é dividida em trechos
retangulares, muito pequenos, que funcionam como ímãs microscópicos e
podem ser orientados em dois sentidos opostos:
e
,
respectivamente. Um modelo simplificado do processo de leitura da
informação gravada no disco rígido envolve um conjunto de bússolas I, II e III,
como mostra a figura. Se o pólo norte da bússola aponta para cima ( ), sua
orientação é representada pelo dígito 1, e se aponta para baixo ( ), é
representada pelo dígito 0.
Escolha a alternativa que representa a orientação das bússolas na situação da
figura:
a)1
0
1
b)0
1
0
c)1
0
0
Cap.02 - Eletromagnetismo 52 d)0
1
1
e)0
0
1
2.2- É possível acender um LED, movimentando-se uma barra com as mãos?
Para verificar essa possibilidade, um jovem utiliza um condutor elétrico em
forma de U, sobre o qual pode ser movimentada uma barra M, também
condutora, entre as posições X1e X2. Essa disposição delimita uma espira
condutora, na qual é inserido o LED, cujas características são indicadas na
tabela ao lado. Todo o conjunto é colocado em um campo magnético B
(perpendicular ao plano dessa folha e entrando nela), com intensidade de 1,1
T. O jovem, segurando em um puxador isolante, deve fazer a barra deslizar
entre X1e X2.
Para verificar em que condições o
acenderia durante o movimento, estime:
LED
a) A tensão V, em volts, que deve ser
produzida nos terminais do LED, para que ele
acenda de acordo com suas especificações.
b)
A
variação
Δφ do
fluxo
do
campo
magnético através da espira, no movimento
entre X1e X2.
c) O intervalo de tempo Δt em s, durante o
qual a barra deve ser deslocada entre as duas
posições, com velocidade constante, para que o LED acenda.
2.3 - A figura mostra parte de um circuito elétrico que está imerso numa região
de campo magnético uniforme, perpendicular ao plano da figura. O fioABtem
densidade linear igual a1,8 g/cm, podendo deslizar sem atrito sobre os dois fios
metálicos verticais. A corrente elétrica no circuito é igual a0,10 A. Qual deve
ser a intensidade do campo magnético, para manter o fioABem equilíbrio, sob
a ação das forças gravitacional e magnética?
a) 41 T
b) 32 T
c) 18 T
d) 12 T
e) 10 T
Cap.02 - Eletromagnetismo 53 CAPÍTULO 3:ONDAS
Como encontrar petróleo? Diversos produtos que a sociedade utiliza no dia-a-dia são provenientes do
petróleo. Além de servir como matéria-prima na produção de combustíveis, o
petróleo também é empregado na produção de fertilizantes, plásticos, tintas,
borrachas, etc.Nas refinarias, o petróleo recebe um tratamento especial, o
óleo bruto passa por uma série de processos até a obtenção dos produtos
derivados, como gasolina, diesel, lubrificantes, nafta e querosene de aviação.
Outros produtos obtidos a partir do petróleo são os petroquímicos, que
substituem uma grande quantidade de matérias-primas, como madeira, vidro,
algodão, metais, celulose, lã, couro e marfim. Por isso o petróleo tem bastante
influência na economia nacional e internacional.
Ele é um óleo de origem fóssil, que começou a ser formado há milhões de
anos atrás e é geralmente encontrado em rochas de origem sedimentar.
Atualmente esse óleo é a principal fonte de energia do mundo moderno
embora seja uma fonte de energia não renovável. No Brasil a maior parte das
reservas é encontrada em campos marítimos, em lâminas d’água com alta
profundidade. A dificuldade é saber a localização das reservas de petróleo.
A parte inicial da busca pelo petróleo é realizada pelos geólogos e geofísicos
que vão observar e explorar todas as pistas da possível presença de
hidrocarbonetos abaixo do solo, isso é geralmente feito examinando amostras
de rochas, em seguida registrando a camada de origem da amostra, para
finalmente tentar reconstituir o cenário de bilhões de anos atrás. A análise é
auxiliada pelo uso de fotografias aéreas e imagens de satélite, com o objetivo
de formular a hipótese da existência de petróleo em determinada área.
A segunda parte do estudo é conduzida por geofísicos, que irão fortalecer as
hipóteses dos geólogos a partir da análise de uma coleta de dados, usando a
gravimetria e a magnetometria, que fornecem uma ideia da constituição do
terreno e a possibilidade da existência de óleo.
O estudo da presença de petróleo pode ser conduzido em terra firme (onshore) ou no mar (off-shore). No primeiro caso, um caminhão vibrador gera um
choque na superfície e uma onda sonora se propaga no solo, sofre refração e
é refletida no subsolo. O modo como essas ondas se propagam varia
conforme elas passam através das diferentes camadas. Por meio de um
microfone altamente sensível, conhecido como geofone, o geofísico escuta e
registra o eco dessas ondas.
Cap.03 - Ondas 55
Fig.3.1 – Busca pe
elo petróleo on-shore.
o
(1) Caminhão vibrador
v
(2) Geofones
G
(3) La
aboratório mó
óvel.
No segundo
s
c
caso
uma embarcaç
ção sísmica gera as ondas, ass ondas so
ofrem
refra
ação e são
o refletidas e captadas por hifro
ofones.
Fig.3.2 – Busca pe
elo petróleo off-shore.
o
(1) Embarcação
o sísmica (2) Hidrofones
Os registros sísmicos do geo
ofísico são processsados p
por poderosos
com
mputadoress. O terren
no é mape
eado por meio de pontos
p
liga
ados em liinhas
isócrronas no solo
s
no qu
ual as ond
das levam
m exatame
ente o me
esmo lapso
o de
temp
po para serem reffletidas de
e volta à superfície
e. Esse m
método prroduz
imag
gens bi e tridimensio
t
onais das camadas
c
do
d subsolo, permitind
do a obten
nção
de mapas
m
sísm
micos que
e contribue
em para inferir se alguma
a
ca
amada po
oderá
contter hidroca
arbonetos.
Fig.3.3 – Resultado
os obtidos. (1
1) Isócronas (2)
( Mapas tridimensionaiss.
A utilização de
e ondas é uma ferra
amenta muito útil co
omo acab
bamos de citar,
não somente na indússtria do petróleo
p
mais
m
tamb
bém em d
diversos outros
o
segm
mentos.O movimento realizad
do pelas ondas
o
é um
m movime
ento oscila
atório
bem
m definido, nesse movimento
m
o há o tra
ansporte apenasde
e energia sem
transsporte de matéria. O movime
ento oscila
atório por sua
s
vez é um fenôm
meno
maiss amplo, que envolve
e o movim
mentoondu
ulatório, o movimento
m
o harmônic
co, o
mov
vimento harmônico
h
o simples,, movime
ento ana
armônico, etc.Há uma
dive
ersidade en
norme de aplicações proven
nientes dessses conhe
ecimentos. Daí
impo
ortância de estudar esse fenôm
meno indisspensável para socie
edade noss dias
de hoje.
h
Cap.0
03 - Ondas 5
56
3.1Movimento Harmônico Simples
Movimentos oscilatórios estão presentes em vários momentos da nossa vida,
como o movimento de vaivém do pêndulo de um relógio, ou o movimento
executado por uma mola comprimida e relaxada em sequência. Todo
movimento que se repete em intervalos de tempo regulares é chamado de
movimento harmônico. Um desses movimentos é o movimento harmônico
simples (MHS).
Nesse tipo de movimento o deslocamento ( x ) de uma partícula em relação a
um eixo de origem, é dado por uma função da forma:
x(t ) = xm cos(ωt + φ )
Sendo
( xm )
(3.1)
uma grandeza denominada amplitude, que representa o
movimento máximo da partícula em um dos sentidos do movimento
oscilatório; (φ ) é chamada de constante de fase, é um valor dependente do
deslocamento e da velocidade da partícula no instante inicial, ela é expressa
geralmente em radianos; (ω ) é a frequência angular do movimento, e pode
ser calculada com a seguinte expressão:
ω=
2π
= 2πf
T
(3.2)
A unidade para frequência angular no SI é o radiano por segundo (rad s ) .
Uma propriedade importante de movimentos oscilatórios é chamada
frequência ( f ) , medida no SI em hertz (Hz ) , que mede o tempo de uma
(
)
−1
oscilação por segundo, 1Hz = 1s . Outra propriedade importante que é
relacionada à frequência é o período, que é o tempo necessário para efetuar
uma oscilação completa, e é calculada usando a relação:
T=
1
f
(3.3)
A velocidade de uma partícula no MHS é expressa matematicamente com a
equação:
v(t ) = −ω.xm sen(ωt + φ )
(3.4)
Enquanto que a aceleração da partícula é dada por:
a (t ) = −ω 2 x m cos(ωt + φ )
Cap.03 - Ondas (3.5)
57
ou
a(t ) = −ω 2 x(t )
(3.6)
Conhecendo como a aceleração da partícula varia com o tempo e
conhecendo segunda lei de Newton podemos descobrir a força que está
agindo sobre a partícula quando ela adquire essa aceleração:
F = ma
F = −(mω 2 ) x
(3.7)
Esta última equação é semelhante a lei de Hooke:
F = −kx
Onde (k) é a constante elástica. Comparando-se a duas últimas expressões
temos que:
k = mω 2
(3.8)
Um caso bastante simples em que verificamos um movimento harmônico é o
sistema massa mola, que está ilustrado na fig.3.4. A relação entre a frequência
angular do movimento do bloco com a constante de elasticidade e a massa
do bloco é dada por:
ω=
k
m
(3.9)
O sistema massa mola constitui um oscilador harmônico simples linear, para o
qual a força é proporcional ao deslocamento.
Fig.3.4 - Oscilador harmônico simples linear. O bloco se realiza um movimento harmônico
quando é empurrado ou puxado da posição de origem (x=0).
O período do oscilador é dado pela combinação das equações:
Cap.03 - Ondas 58
T = 2π .
m
k
(3.10)
A energia de um oscilador linear é transformada repetidamente em energia
cinética e potencial e vice-versa. A energia potencial está inteiramente
associada à mola, ou seja, seu alongamento ou compressão, e é dada pela
seguinte expressão:
1
1
2
U (t ) = kx 2 = k .xm cos 2 (ωt + φ )
2
2
(3.11)
Enquanto a energia cinética está associada ao movimento do bloco, seu valor
depende da rapidez com a qual o bloco se move. A energia cinética nesse
caso é dada pela expressão:
K (t ) =
1 2 1
2
mv = mω 2 xm sen 2 (ωt + φ )
2
2
2
Mas como ( ω =
k
), a expressão anterior fica:
m
1
1
2
K (t ) = mv 2 = kxm sen 2 (ωt + φ )
2
2
(3.12)
A energia mecânica do sistema é a soma da energia potencial e cinética,
logo:
E =U + K
1
1
2
2
E = k .xm cos 2 (ωt + φ ) + kxm sen 2 (ωt + φ )
2
2
1
2
E = kxm (cos 2 (ωt + φ ) + sen 2 (ωt + φ ))
2
Mas sabemos que para qualquer ângulo α :
cos 2 α + sen 2α = 1
Então, a energia mecânica do sistema é expressa por:
E=
1
2
kxm
2
(3.13)
De acordo com esta última expressão, verificamos que a energia mecânica
de um oscilador harmônico linear é constantee independente do tempo.
Cap.03 - Ondas 59
3.2Conceitos Gerais de Onda e a Equação da Onda
Harmônica
As ondas estão presentes em todos os lugares do mundo e fazem parte do
nosso dia-a-dia, podemos citar, por exemplo, a luz solar que permite a
existência da vida no planeta, as ondas sonoras que nos permitem a
comunicação e escutar músicas na internet.
Tipos de ondas:
Ondas mecânicas: são ondas governadas pelas leis de Newton que
necessitam de um meio para se propagar. Exemplos: ondas sonoras, ondas do
mar, ondas sísmicas.
Ondas eletromagnéticas:estas ondas não precisam de um meio material para
se propagar. Exemplos: ondas de rádio, luz visível, luz ultravioleta.
Ondas de matéria: ondas associadas a partículas elementares (elétrons e
prótons), átomos e moléculas.
Daremos ênfase nesse texto às ondas mecânicas.
Efetuando uma análise de uma onda em uma corda, sabemos que será
realizado um movimento que pode ser representado por funções como seno
ou cosseno. Para uma onda senoidal se propagando na direção do eixo (x), a
seguinte expressão fornece o deslocamento (y)do elemento na posição (x),
em certo instante (t):
y( x, t ) = ym sen(kx ± ωt )
(3.14)
O termo entre parênteses é chamado de fase da onda, o sinal do parâmetro
(t) na equação indica o sentido de propagação da onda. Se a onda se
propaga no sentido positivo do eixo (x), (t) é positivo e a equação fica:
y( x, t ) = ym sen(kx − ωt )
Se a onda se propaga no sentido oposto:
y( x, t ) = ym sen(kx + ωt )
Sendo
( ym )
a amplitude da onda, esse termo se refere ao módulo do
deslocamento máximo dos elementos, por isso sempre é um valor positivo, (k )
o número de onda, (t ) o tempo, ( x ) a posição e (ω ) a frequência angular.
Cap.03 - Ondas 60
Em uma onda a distância entre repetições de forma de onda recebe o nome
de comprimento de onda
(λ )
. Como o deslocamento de onda é
representado por uma função senoidal o deslocamento será o mesmo,
sempre que o ângulo aumentar de ( 2π rad ), a função é repetida. Podemos
representar isso utilizando o número de onda (k ) , dado pela expressão:
2π
k=
λ
(3.15)
A unidade do número de onda no SI é o radiano por metro ou ( m −1 ).
A frequência angular pode ser calculada com a equação:
2π
T
ω=
(3.16)
A frequência da onda é relacionada à frequência angular com a seguinte
expressão:
f =
1 ω
=
T 2π
(3.17)
Sendo a frequência o número de oscilações por unidade de tempo, medida
em Hertz (Hz ) no SI.
A velocidade da onda é expressa por:
v=
ω
k
=
λ
T
= λf
(3.18)
Tendo conhecimento que a função cosseno e seno podem ser utilizadas para
representar ondas, podemos relacionar os conceitos apresentados
anteriormente do movimento harmônico simples linear e as equações que
definem o movimento ondulatório aqui apresentado para definir a equação
de onda harmônica.
Genericamente o movimento harmônico de uma partícula pode ser
representado pela seguinte expressão de deslocamento:
y = xm cos(ωt + φ )
(3.19)
Para um intervalo de tempo ( Δt ) a partícula se deslocará com velocidade( v )
um percurso x .
Temos então que a velocidade pode ser expressa por:
Cap.03 - Ondas 61
v=
x
Δt
(3.20)
Sendo Δt = t − t 0
(3.21)
Podemos expressar o instante inicial por:
t 0 = t − Δt
(3.22)
Substituindo as equações (3.22) e (3.16) na equação (3.19) obtemos:
⎤
⎡ 2π
y = xm cos⎢ (t − Δt ) + φ ⎥
⎦
⎣T
A eq.(3.20) pode ser reescrita como ( Δt =
(3.23)
x
). Substituindo esta expressão na
v
eq.(3.23), ficamos com:
⎡ 2π ⎛ x ⎞ ⎤
y = xm cos⎢ ⎜ t − ⎟ + φ ⎥
⎣ T ⎝ v⎠ ⎦
ou
⎡ ⎛t
x ⎞ ⎤
y = x m cos ⎢2π ⎜ −
⎟ +φ⎥
⎣ ⎝ T vT ⎠ ⎦
(3.24)
Da eq.(3.18) sabemos que ( λ = vT ), ou seja, podemos reescrever a eq.(3.24)
como:
⎡ ⎛ t x⎞ ⎤
y = x m cos ⎢2π ⎜ − ⎟ + φ ⎥
⎣ ⎝T λ ⎠ ⎦
(3.25)
A eq.(3.25) é conhecida como equação de onda harmônica.
3.3Propagação de Pulsos – Reflexão e Refração – Equação de
Brook Taylor
3.3.1 Formas de propagação
Podemos classificar as ondas também com relação à forma que as ondas
adquirem, elas podem ser transversais ou longitudinais.
Cap.03 - Ondas 62
Onda transversal: é aquela que tem sua propagação perpendicular ao
movimento. Exemplo: onda gerada por uma pessoa ao balançar uma corda
em um movimento harmônico simples.
Onda longitudinal: é a onda que se propaga na mesma direção do
movimento. Exemplo: a vibração de uma mola que ocorre na mesma direção
do seu movimento.
Quanto à direção das ondas, elas podem ainda ser classificadas em
unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais.
Ondas unidimensionais: mola, ondas em cordas tracionadas.
Ondas bidimensionais: ondas em um lago
Ondas tridimensionais: ondas sonoras
Alguns fenômenos como reflexão e refração são usualmente estudados
devido à necessidade de análise mais ampla sobre a propagação de ondas.
As ondas bidimensionais, assim como as ondas unidimensionais, se refletem ao
atingir um obstáculo ou sofrem refração quando há mudança do meio de
propagação. Vamos analisar a propagação de uma onda unidimensional em
uma corda quando tais fenômenos ocorrem.
3.3.2 Reflexão
Existem duas situações comuns nas quais ocorre a reflexão, elas serão
demonstradas a seguir.
3.3.2.1Extremidade fixa
Quando um pulso é gerado uma tensão faz com que cada ponto da corda
suba e depois desça a posição original, ao atingir a extremidade o pulso
exerce uma força sobre a parede, e de acordo com a terceira lei de Newton
(ação e reação) a parede exerce uma força oposta e de mesmo módulo
sobre a corda. Nesse caso o pulso refletido sofre inversão de fase, como
mostra a fig.3.5.
Cap.03 - Ondas 63
Fig.3.5 – Propagação de uma onda em uma corda
com uma extremidade fixa.
3.3.2.2 Extremidade livre
Neste segundo caso, a extremidade da corda é presa por um anel a uma
barra ideal, na qual o atrito entre o anel e a barra é desconsiderado. Quando
o pulso atinge a extremidade o anel se
desloca para cima e ao se mover o
anel puxa a corda esticando-a e
produzindo um pulso refletido com
mesma amplitude que o pulso
incidente. Neste caso não há inversão
de fase. Observe a fig.3.6.
Fig.3.6 – Propagação de uma onda em uma
corda com uma extremidade móvel.
3.3.3 Equação de Brook Taylor
A velocidade de uma onda está relacionada com o comprimento e a
frequência da onda, masé determinada pelas propriedades (massa e
elasticidade) do meio em que ela se propaga. A velocidade de propagação
de uma onda em uma corda esticada (com duas forças aplicadas em suas
Cap.03 - Ondas 64
extremidades) pode ser calculada com a equação de Brook Taylor, que
demonstra que a velocidade de propagação depende apenas da tensão e
da densidade linear da corda.
v=
τ
μ
(3.26)
Sendo ( τ ) a tensão a qual a corda está submetida, e ( μ ) a densidade linear
da corda, que é dada pela expressão:
μ=
Δm
Δl
(3.27)
A massa da corda é representada por ( Δm ) e o comprimento por ( Δl ).
3.4Elementos de uma onda – Princípios de Huygens-Fresnel –
Reflexão e refração de ondas planas – Lei de Snell-Descartes.
A representação de ondas no espaço pode ser entendida de uma maneira
mais fácil, introduzindo-se o conceito de frente de onda.
Frente de onda: conjunto de pontos do meio que são alcançados no mesmo
instante pela mesma fase de uma onda.
As figs. 3.7, 3.8e 3.9 ilustram as frentes de ondas em uma duas ou três
dimensões.
Fig.3.7 - Em ondas unidimensionais as frentes
de onda são representadas por pontos, como
ponto P, por exemplo.
Cap.03 - Ondas 65
Fig.3.8 - Ondas bidimensionais possuem frentes
de onda curvas. As frentes de ondas são
descritas pelos eixos x e y.
Fig.3.9 - Frentes de onda tridimensionais são
representadas por superfícies, como a superfície
E, e são descritas pelos eixos x, y e z.
3.4.1 Princípios de Huygens-Fresnel
Um instrumento de análise que auxilia a compreensão das propriedades
e características ondulatórias de ondas bidimensionais e tridimensionais é o
princípio de Huygens, com este princípio podemos ter uma ideia geral da
propagação das ondas num determinado meio.
Princípio de Huygens: Cada ponto de uma frente de onda pode ser
considerado uma nova fonte de ondas secundárias que se propagam em
todas as direções, a superfície que envolve a fronteira dessas ondas
secundárias é a nova frente de onda.A fig.3.10 demonstra esse princípio.
Cap.03 - Ondas 66
Fig. 3.10- Frentes de ondas circulares em t1 dão origem a
frentes de ondas circulares em t2.
Para um considerado instante, cada ponto da frente de onda comporta-se
como fonte das ondas elementares de Huygens.
É possível concluir que, em um meio homogêneo e com as mesmas
características físicas em toda sua extensão, a frente de onda se desloca de
forma a manter sua forma (desconsiderando a presença de obstáculos).
3.4.2 Reflexão
Na reflexão, a onda incide sobre um obstáculo e retorna ao meio de
propagação mantendo as características originais. A fig.3.11 demonstra a
reflexão que uma onda sofre ao atingir um anteparo plano.
Fig.3.11 – Reflexão sobre superfície plana, o raio
incidente atinge a superfície pelo lado
esquerdo, enquanto o raio refletido deixa a
superfície pelo lado direito.
As frentes de onda planas ( a ) são separadas pelo comprimento de onda ( λ ),
que ao atingir o anteparo sofrem reflexão formando um ângulo de incidência
( θ ) entre o anteparo e a normal (N), dando origem a novas frentes de onda (
a′ ) com mesmo ( λ ) e ângulo de reflexão ( θ ′ ) igual ao ângulo de incidência.
θ =θ′
Cap.03 - Ondas (3.28)
67
3.4.3 Refração
A refração ocorre sempre que uma onda atravessa a superfície de separação
de meios nos quais a velocidade de propagação da onda é diferente. Uma
característica típica da refração é a mudança na direção da propagação,
esse desvio só ocorre quando a incidência da onda é oblíqua à superfície,
observe a fig.3.12.
Fig.3.12 – Refração de uma onda ao atravessar o
plano de separação entre os meios 1 e 2.
Pode-se determinar esse desvio com o auxílio da Lei de Snell-Descartes:
senθ1 v1
=
senθ 2 v2
(3.29)
Substituindo a eq.(3.18) na expressão anterior, obtemos:
senθ1 λ1
=
senθ 2 λ2
(3.30)
Exercício Resolvido 3.1 – Uma onda bidimensional plana se propaga do meio 1
para o meio 2, conforme a figura abaixo. Sabendo que a frequência da fonte
é 50 Hz, e os comprimentos de onda na região1 e 2 são λ1 = 0,08m e
λ 2 = 0,12m , respectivamente. Determine:
Cap.03 - Ondas 68
a) A velocidade de propagação da onda em cada meio.
b) O valor do ângulo de incidência (θ1 ) se o ângulo de refração é conhecido
(θ 2 = 64°) (Dado: sen64° = 0,898)
Solução:
a) Podemos descobrir a velocidade da onda nos meios 1 e 2 com a expressão:
f =
v1
λ1
No meio 1, como λ1 = 0,08m e f = 50 Hz :
v1 = λ1 f = 0,08.50 = 4 m s
No meio 2, como λ 2 = 0,12m e f = 50 Hz :
v 2 = 0,12.50 = 6 m s
b) A relação entre os ângulos de incidência e refração com as velocidades de
onda nos meios é dada pela lei da refração:
senθ1 v1
=
senθ 2 v2
As velocidades de onda nos dois meios foi obtida na letra (a), e o valor do
ângulo de refração foi fornecido na questão (θ 2 = 64°) , substituindo os valores
na equação, temos que:
senθ1 4
=
sen64° 6
senθ1 = 0,6
θ1 = 36,8°
3.5Difração e Polarização de Ondas
Pode-se dizer que a difração é a tendência das ondas em contornar
obstáculos, devido a um encurvamento sofrido pelos raios. Por exemplo, uma
onda sonora que se propaga pelo ar e encontra uma fenda numa parede.
Podemos explicar este fenômeno ondulatório partindo do princípio de
Huygens. Observe a fig. 3.13.
Cap.03 - Ondas 69
Fig.3.13 – Uma onda plana
atravessar a fenda na parede.
diverge
ao
Na tentativa de atravessar a fenda, os raios sofrem desvios devido ao contato
com as bordas da parede, esses desviossão proporcionaos ao tamanho da
fenda. Quanto menor o comprimento da fenda maior a tendência dos raios
em adquirir um formato circular. Nesse caso seria válido considerar a existência
de fontes secundárias junto às paredes na abertura do anteparo. Essas novas
fontes explicam a capacidade das ondas contornarem obstáculos.
Já a polarização é um fenômeno de seleção de planos vibracionais associado
com ondas transversais que vibram em várias direções, logo a polarização
consiste na seleção de um plano de vibração específico utilizando-se um
dispositivo chamado polarizador.
A luz, por exemplo, é um tipo de onda eletromagnética transversal que possui
mais de um plano vibracional, ou seja, ela possui campos elétricos e
magnéticos perpendiculares, de modo a emitir em várias direções. A fig.3.14
mostra um esquema onde um feixe de luz é polarizado.
Fig.3.14 – Polarização de um
feixe de luz.
Após atravessar o primeiro polarizador (com fendas verticais), a onda passa a
vibrar em um único plano, assim dizemos que a luz está polarizada. Se um
segundo polarizador fosse colocado em sequência, a luz não o atravessaria,
pois a direção de vibração da luz não está coincidindo com a posição das
fendas do polarizador.
Cap.03 - Ondas 70
3.6Superposição de Ondas – Ondas Estacionárias
Existem diversos exemplos nos quais ocorre a superposição de ondas, quando
vamos a um show, em que os integrantes da banda usam diferentes
instrumentos musicais, está havendo a superposição das ondas sonoras. Outro
exemplo de superposição seria num porto, com diversas embarcações que
agitam a água simultaneamente, etc. Esse fenômeno ocorre quando duas ou
mais ondas passam pela mesma região. Um caso simples de ilustrar esse
comportamento, ocorre em uma corda, observe a fig.3.15.
Fig.3.15 – Superposição de pulsos individuais em
uma corda.
Na mesma corda são produzidos dois pulsos em extremidades opostas.
Quando os pulsos se encontram eles se superpõem produzindo um pulso
resultante de modo que nesse instante a ordenada de cada ponto é soma
algébrica das ordenadas dos pulsos individuais, essa afirmação é chamada
Princípio da Superposição. Após o cruzamento, no entanto, cada pulso
continua seu percurso com suas próprias características. Podemos dizer que
ondas superpostas não se afetam mutuamente. Por isso quando ouvimos o
som de uma banda, sabemos que as ondas sonoras produzidas por cada
instrumento, que se propagam no mesmo meio e região do espaço, não serão
modificadas, garantindo a distinção dos sons dos instrumentos.O mesmo
raciocínio aplicado para os pulsos pode ser usado para ondas. O fenômeno
de combinação de ondas recebe o nome de interferência, a onda resultante
é dada pela soma algébrica das ordenadas em cada ponto. Quando a onda
resultante tem a amplitude aumentada ocorre uma interferência construtiva,
quando ela é reduzida dizemos que a interferência é destrutiva.
Analisemos agora um segundo caso. Imagine agora que na mesma corda
considerada anteriormente fossem geradas duas ondas senoidais em
extremidades opostas, com mesma amplitude e mesmo comprimento de
onda. As ondas são somadas de acordo com o princípio da superposição, e
Cap.03 - Ondas 71
em alguns pontos a corda permanece imóvel, estes pontos são chamados de
nós, e em outros a amplitude da onda resultante é máxima, esses pontos são
chamados de ventres, observe a fig.3.16.
Fig.3.16 - Onda estacionária
Essas ondas são chamadas de ondas estacionárias, pois, a forma de onda não
irá se mover nem para direita nem para esquerda, e as posições de máximo e
mínimo não variam com o tempo.
3.7Energia Associada à Onda – Efeito Doppler
O efeito Doppler é a alteração da frequência sonora percebida por um
observador em virtude do movimento relativo de aproximação ou
afastamento de uma fonte sonora. Esse fenômeno é muito comum com
cotidiano. Um exemplo frequentemente usado para explicar o efeito Doppler
é o caso de uma ambulância com a sirene ligada, quando ela se aproxima ou
se afasta de um observador. Quando ela se aproxima do observador o som é
mais agudo e quando ele se afasta o som é mais grave. Esse é um fenômeno
característico de qualquer propagação ondulatória, ele é observado nas
ondas sonoras e em ondas eletromagnéticas como em ondas de rádio e a luz
visível.
Se o detector ou a fonte está se movendo, ou ambos estão se movendo, a
relação entre a frequência emitida e a frequência detectada é dada pela
relação:
f′= f
v ± vD
v ± vS
(3.31)
Onde ( f ′ ) é a frequência detectada, ( f ) é a frequência emitida, ( v ) é a
velocidade do som no ar, ( v D ) é a velocidade do som em relação ao ar, e (
vS ) é a velocidade da fonte em relação ao ar.
Cap.03 - Ondas 72
O ar onde as ondas se propagam é utilizado como referencial na medição
das velocidades, porém considera-se que o ar está em repouso em relação
ao solo de modo que as velocidades podem também ser medidas usando o
solo como referencial.
3.8 Acústica – Propriedades das Ondas Sonoras – Qualidades
Fisiológicas do Som – Tubos Sonoros
3.8.1 Propriedade das ondas sonoras
As ondas sonoras não são visíveis e possuem todas as características de
qualquer propagação ondulatória. A reflexão é uma das propriedades mais
interessantes, com ela podemos explicar o eco, que é caracterizado pela
percepção de um mesmo som emitido e refletido num intervalo de 0,1
segundos, que é o tempo que o ouvido humano consegue distinguir dois sons.
A refração de ondas sonoras pode ser percebida na praia, por exemplo, o sol
aquece a areia da praia de modo que a camada de ar de acima da areia é
modificada, o ar se expande e sua densidade diminui, ocasionando a
refração do som, que terá sua velocidade trajetória modificada, por isso que
duas pessoas tem dificuldade em se comunicar se elas estiverem a certa
distância. A interferência sonora também é um fenômeno típico, em shows ao
ar livre é comum existirem locais onde se ouve muito pouco, enquanto em
outros locais o som é muito intenso.
Existem três qualidades diferentes que o ouvido humano é capaz de perceber,
elas são chamadas de qualidades fisiológicas do som e são descritas a seguir:
Altura ou tom – a qualidade que faz com que o ouvido possa distinguir um som
baixo (grave) de um som alto (agudo). Por exemplo, o som da voz masculina
(grave), e o som da voz feminina (agudo).
Intensidade auditiva ou sonoridade – a qualidade que faz com que o ouvido
possa distinguir um som forte (boate) de um som fraco (tique-taque de um
relógio). A intensidade ( I ) de uma onda sonora em uma superfície é a taxa
média por unidade de área na qual a energia contida na onda atravessa ou
é absorvida pela superfície, matematicamente temos:
I=
P
A
(3.32)
Onde ( P ) é a taxa de variação com o tempo da transferência de energia da
onda sonora e ( A ) a área da superfície que intercepta o som.
Cap.03 - Ondas 73
Timbre - qualidade que faz com que o som seja distinguido na mesma
intensidade e na mesma altura, mesmo sendo emitidos por fontes diferentes,
por exemplo, se um violino ou um piano emitir a mesma nota musical com
intensidades iguais a pessoa poderá distinguir os dois sons, devido à diferença
de timbre.
3.8.2 Velocidade de propagação
De forma semelhante à propagação de ondas em cordas, a velocidade de
propagação do som depende das propriedades do meio. A expressão
matemática da velocidade de propagação do som é obtida a partir
daeq.(3.26), ou seja, é uma generalização da velocidade ondas em cordas:
v=
B
(3.33)
ρ
Sendo (B ) o módulo de elasticidade volumétrico, parâmetro associado à
variação de volume de um elemento do meio; e (ρ ) a massa específica.
Exercício Resolvido 3.2– Uma equipe de uma companhia de petróleo está em
busca de uma jazida no mar. Para construir um mapa e avaliar os tipos de
rochas presentes na região, eles contam com o auxílio do sonar de sua
embarcação sísmica, que gera ondas com frequência de 30Hz. As ondas
sonoras se propagam irão se propagar tanto na água do mar quanto nas
camadas de sólido. Considerando que a primeira camada sólida seja de
granito e sabendo que o módulo de elasticidade volumétrico na água e no
sólido são B = 2316 ,5 MPa e B = 93,6GPa respectivamente. Determine:
(a)A velocidade de propagação da onda na água e no sólido.
(b)O comprimento de onda na camada de granito e na água.
Solução:
(a) A velocidade de propagação da onda na água e na camada sólida
podem ser encontradas com o auxílio da eq.(3.33):
v1 =
B
ρ
=
2316,5.10 6
= 1522 m s
1000
Na camada de granito temos então:
Cap.03 - Ondas 74
B
v2 =
ρ
=
93,6.10 9
= 6000 m s
2600
(b) A partir da eq.(3.18) temos que:
v = λf
Então o comprimento de onda no meio 1 é:
λ1 =
v1 1522
=
50,7 m
f
30
E no meio 2:
λ =
v 2 6000
=
= 200 m
f
30
3.8.3Tubos sonoros
O ar contido dentro de um tubo é capaz de vibrar com frequências sonoras
assim como uma corda ou uma mola. Alguns instrumentos musicais como a
flauta, o clarinete, a corneta, etc. são baseados nessa capacidade. Os tubos
são classificados como abertos, que possuem as duas extremidades abertas,
ou fechados, que tem uma extremidade fechada e uma aberta. Quando as
ondas se propagam no interior de um tubo, elas são refletidas nas
extremidades, a reflexão ocorre mesmo que a extremidade do tubo esteja
aberta, mas nesse caso a reflexão não é completa. Para certos comprimentos
haverá a superposição entre as ondas que se propagam no tubo em sentidos
opostos de modo a formar ondas estacionárias. Esses comprimentos
correspondem às frequências de ressonância do tubo.
A onda estacionária mais simples em um tubo aberto é chamada de modo
fundamental ou primeiro harmônico, ela possui um nó no ponto médio do tubo
e dois ventres nas extremidades, como mostra a fig.3.17.
Fig.3.17 – Modo fundamental de uma onda estacionária.
Cap.03 - Ondas 75
Para produzi-lo as ondas sonoras devem ter um comprimento de onda tal que
( λ = 2L ), sendo ( L ) o comprimento do tubo. Para o segundo e terceiro
harmônico, fig.3.18, o comprimento de onda deve ser ( λ = L ) e( λ =
2L
).
3
Fig.3.18–Segundo e terceiro harmônicos,
respectivamente.
Assim a equação geral para uma quantidade qualquer de harmônicos é:
λ=
2L
n
para n = 1,2,3.....
(3.34)
Onde ( n ) é o número de harmônicos.As frequências de ressonância para um
tubo aberto são dadas pela expressão:
f =
v
λ
=
nv
2L
para n = 1,2,3.....
(3.35)
Sendo ( v ) a velocidade do som.Para um tubo fechado o caso mais simples
apresenta um nó na extremidade fechada e um antinó na extremidade
aberta, nesse caso o comprimento de onda será ( λ = 4L ). A fig. 3.19 ilustra
alguns harmônicos produzidos num tubo fechado.
Fig.3.19–Primeiro, segundo e terceiro harmônicos
produzidos em um tubo fechado.
Cap.03 - Ondas 76
Para
a “n” harmônicos, o comprimen
c
nto de ond
da é expre
esso por:
λ=
4L
n
p
para
n = 1,3,5....
(3
3.36)
As frrequênciass de resson
nância parra um tubo
o fechado
o podem se
er encontradas
com
m a expresssão:
f =
v
λ
=
nv
para n = 1,3,5....
p
4L
3.37)
(3
CURIOSIDA
ADES: Como
C
funcion
na o Bluetoot
B
th do seu
cellular?
Na era
e da infformação,, as ondass eletroma
agnéticas constituem
m um bem
m de
inesttimável va
alor para a sociedad
de, que se tornou tão
o fundame
ental quan
nto a
terra
a para a ag
gricultura, ou o sol pa
ara as plan
ntas.
Tod
dos os equipamento
os sem fio, dos celu
ulares
ao
os controle
es remoto
os de TV, mandam
m ou
rec
cebem sin
nais em determina
d
das faixass de
frequência lo
ocalizadass dentro do
o espectro
o das
ondas eletro
omagnéticas. Esse e
espectro nã
ão é
infiinito, mas possui uma
a grande d
diversidade de
ap
plicações. O avanço
o de sua utilização vem
pro
ogredindo desde o início do sséculo XX, num
ritm
mo que de
eve aumentar ao lo
ongo do sé
éculo
XXI, ainda mais
m
agora
a com a ampliação
o do
uso
o de nov
vos produ
utos e te
ecnologiass de
co
onexão se
em fio como
c
o “wi-fi” e o
“Bluetooth”.A
A rede Blu
uetooth tra
ansmite dados
via
a ondas de
e rádio de
e baixa po
otência. Ela se
que está entre
co
munica
em
m
uma
fre
equência
e
Fig.3
3.20 – Celular com
2,4
402 GHz e 2,480 GHz. Essa banda
a de
blue
etooth.
de ISM, foi reservada
frequência, chamada
c
a por
acordo intern
nacional para
p
o uso de dispossitivos
industriais, cien
ntíficos e médicos.
m
a das van
ntagens que
q
os disspositivos com Blue
etooth disp
põe é a não
Uma
interrferência em
e outros sistemas,
s
d
devido
a ba
aixa potên
ncia utilizad
da, cerca de 1
miliw
watt, ou se
eja um sinal bem fra
aco, perm
mitindo que
e várias pe
essoas possam
troca
ar informa
ações simu
ultaneamente. A desvantagem
m é o curtto alcance do
dispo
ositivo, cerrca de 10 metros.
m
Cap.0
03 - Ondas 7
77
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 3.1 -Um bloco, preso a uma mola ideal, encontra-se inicialmente em repouso,
em um ponto O, sobre um plano horizontal. O bloco é afastado da posição
inicial e, em seguida, abandonado, passando a oscilar, sem atrito, sobre o
plano. Enquanto oscila, é correto afirmar que, no ponto O, o bloco tem em
módulo:
a) velocidade, aceleração e energia potencial máximas.
b) velocidade mínima, aceleração e energia potencial máximas.
c) velocidade e aceleração mínimas e energia potencial máxima.
d) velocidade máxima, aceleração e energia potencial mínimas.
e) velocidade, aceleração e energia potencial mínimas.
3.2- Um jovem estudante resolve construir um relógio usando uma mola de
constante elástica k = 72 N/m. Para que cada oscilação corresponda a um
segundo, o estudante deve prender à mola uma massa de:
a) 1 kg
b) 2 kg
c) 3 kg
d) 4 kg
e) 5 kg
3.3- A mesma nota musical, quando emitida por uma flauta, é diferente
quando emitida por um piano. O fato de o aluno do Curso de Música
distinguir, perfeitamente, a nota emitida por um dos dois instrumentos é
devido:
a) a freqüências diferentes.
b) a alturas diferentes.
c) a timbres diferentes.
d) a intensidades diferentes.
3.4- Um trem se aproxima, apitando, a uma velocidade de 10 m/s em relação
à plataforma de uma estação. A freqüência sonora do apito do trem é 1,0
Cap.03 - Ondas 78
kHz, como medida pelo maquinista. Considerando a velocidade do som no ar
como 330 m/s, podemos afirmar que um passageiro parado na plataforma
ouviria o som com um comprimento de onda de:
a) 0,32 m
b) 0,33 m
c) 0,34m
d) 33m
e) 340 m
3.5- Uma estação de rádio transmite em 1 200 kHz. Sendo 3 . 105 km/s a
velocidade das ondas de rádio, qual o comprimento de onda das ondas
dessa estação?
a) 25 m
b) 0,25 m
c) 250 m
d) 3600 m
e) n.d.r
3.6– A superfície da água de uma piscina é perturbada por pingos de água
que caem de uma torneira, numa frequência regular de dois pingos por
segundo. As cristas de onda que se formam distam 0,1 m uma da outra. A
velocidade de propagação dessas ondas é:
a) 0,2 m/s
b) 0,4 m/s
c) 0,8 m/s
d) 1,2 m/s
e) 2,0 m/s
Cap.03 - Ondas 79
CA
APÍTU
ULO 4
4:ÓPT
TICA G
GEOM
MÉTRIICA O q
que é um esspectrrofotô
ômetrro? O esspectrofotô
ômetro é um
u aparelho utilizado em indú
ústrias e lab
boratórios para
analisar amostras e ide
entificar a presença de deterrminados c
compostoss.Sua
funç
ção é med
dir e comp
parar a qua
antidade de luz abssorvida ou transmitidapor
estes elementtos, de forrma a gerrar um sin
nal específfico que irrá confirm
mar a
presença destte composto na soluç
ção.
Uma das pa
artes ma
ais imporrtantes desse
d
equipa
que
amento
é
o
monocro
omador,
geralm
mente utilizza um prism
ma ou red
de de difra
ação.
O prisma como
o veremos neste cap
pítulo, tem
m sua
utilidade baseada no fenômeno da
a refração
o. Um
feixe de luz que nele incide é separado
o em
diverso
os outros com co
omprimentos de onda
o
diferen
ntes. O dispositiv
vo terá apenas que
selec
cionar o comprimen
c
nto de on
nda adequ
uado
Fig.4
4.1: Especttrofotômettro.
para
a a análise
e.
g
esse equipame
ento possu
ui uma fontte de enerrgia radian
nte estável, um
Em geral
mon
nocromado
or, que se
eleciona a faixa esp
pectral de interesse, um recipiente
feito
o de um
m materia
al
espe
ecífico
(quartzo
o,
vidro
o,etc.),
onde
a
amo
ostra é inse
erida, e um
m
dete
ector de radiação
o
que
conv
verte
a
radia
ação recebida em
m
um sinal elétrico, que
e
gera
a uma in
nformação
o
apre
esentável em um
m
dispo
ositivo ele
etrônico. A
fig.4.2
mosstra
um
m
esqu
uema simp
ples de um
m
espe
ectrofotôm
metro.
Fig.4.2
2: Esquema
a básico de
e um espe
ectrofotôm
metro
Cap.0
04 – Óptica geométrica
g
8
81
4.1Reflexão da Luz em Espelhos Planos
A reflexão da luz, como visto anteriormente no caso geral das ondas, é um
fenômeno físico no qual ocorre a mudança na direção da propagação da luz
após os feixes incidentes entrarem em contato com uma superfície refletora
(desde que o ângulo de incidência não seja 90°).A característica mais
importante da reflexão é tornar iluminado qualquer corpo. Essa reflexão pode
ser difusa ou regular dependo das condições da superfície, observe a fig.4.3,
uma superfície polida produz a reflexão regular enquanto uma superfície
irregular produz a reflexão difusa.
Fig.4.3 – (a) Reflexão regular numa superfície polida (b) Reflexão difusa numa superfície irregular.
Como a luz se propaga em todas as direções, tridimensionalmente, são
enunciadas duas leis no estudo de sua reflexão.
Leis da Reflexão:
•
•
O raio incidente ( i ), a normal a superfície refletora ( N ) e o raio refletido
( r ) estão no mesmo plano.
O ângulo de incidência ( θ ) é igual ao ângulo de reflexão ( θ ′ ).
A superfície ilustrada na fig.4.3(a) é chamada de espelho plano. A imagem de
um objeto num espelho plano é formada por cada um de seus pontos. Para
um ponto P (ponto objeto) existe sempre seu correspondente P ′ (ponto
imagem) como mostra a fig.4.4. É importante salientar que a distância entre o
ponto objeto e o ponto imagem ao espelho é igual.
Cap.04 – Óptica geométrica 82
Fig.4.4 – Os pontos objeto e imagem
são equidistantes em relação ao
espelho.
Se do ponto( P ) saem dois raios de luz incidentes ( i1 e i2 ), o ponto ( P ′ ) é
determinado observando o ponto de convergência dos raios refletidos( r1 e r2 ),
ou seja, o prolongamento desses raios.
Como a imagem formada do objeto se localiza atrás do espelho, ela é
chamada de imagem virtual. Então ( P ′ ) é um ponto virtual. Considere agora
o objeto mostrado na fig. 4.5. A imagem do segmento (AB) é o segmento
(A’B’).
Fig.4.5 – Os pontos constituintes do objeto estão
igualmente espaçados com relação ao espelho.
A imagem (A’B’) nesse caso é:
•
•
•
virtual, formada pelos prolongamentos dos raios refletidos .
direita, a imagem está no mesmo sentido do objeto.
igual, possui mesma altura do objeto.
Nenhuma imagem formada por um espelho plano pode se sobrepor, ou seja,
se uma for uma imagem for colocada em cima de outra elas não irão ser
coincidentes, fenômeno chamado de enantiomorfismo.Observe a fig.4.6.
Cap.04 – Óptica geométrica 83
Fig.4.6 – A imagem reproduzida pelo espelho
plano não se sobrepõe à do objeto.
A imagem da letra (F) é invertida em relação à letra, mas o tipo de inversão
depende da posição entre a figura e o espelho.
4.1.1 Imagem e Movimento
Se um espelho plano se movimentar, as imagens também irão se
movimentar. Para um movimento de translação, a imagem do ponto ( P ) irá
se deslocar da posição inicial ( P ′ ) para uma nova posição ( P ′′ ) devido ao
afastamento do espelho da posição ( X 1 ) para ( X 2 ), como está mostrado na
fig.4.7.Se o espelho é afastado por uma distância ( l ), então a imagem será
deslocada uma distância ( d ) que é o dobro de ( l ), ou seja:
d = 2l
(4.1)
Fig.4.7 – Deslocamento da imagem após a movimentação de um espelho de forma retilínea.
Cap.04 – Óptica geométrica 84
E se o invés de se deslocar retilineamente o espelho girasse? Neste caso,
a posição da imagem também giraria. Se o espelho gira um ângulo ( α ), o raio
refletido gira um ângulo ( β ), observe a fig.4.8:
Fig.4.8 -Alteração da disposição da imagem após rotacionar
o espelho.
De forma que:
β = 2α
(4.2)
Os espelhos planos podem ser associados. Por exemplo, dois espelhos
podem ser colocados lado a lado formando um ângulo ou dispostos
paralelamente entre si. Essas associações podem deslocar a imagem ou
multiplicar o número de imagens de um objeto.
Quando associados em ângulo, os espelhos multiplicam as imagens
formadas, pois a imagem de um espelho funciona como objeto para o outro
espelho. Observe a fig.4.9.
Fig.4.9 – Efeito da associação de espelhos planos.
O número ( n ) de imagens obtidas para dois espelhos que formam um ângulo (
α ) é dado pela relação:
n=
360 o
α
−1
Cap.04 – Óptica geométrica (4.3)
85
4.2 Espelhos Esféricos – Equação de Gauss para os Pontos
Conjugados
Uma calota ou superfície esférica espelhada é chamada de espelho
esférico. Se a parte externa da calota for espelhada, dizemos que o espelho é
convexo, e se a superfície interna for espelhada, o espelho é côncavo.
Os principais elementos usados no estudo de espelhos esféricos estão
representados na fig.4.10 e estão resumidos a seguir:
Fig.4.10 – Representação bidimensional de um espelho côncavo e seus elementos.
C – centro de curvatura: centro da esfera da a qual a calota pertence
V – vértice: centro geométrico da calota
R – raio de curvatura: raio da calota esférica é igual à distância entre (C) e (V).
s – eixo principal: reta que passa por (C) e (V).
s’ – eixo secundário: qualquer reta que passa por (C), mas não por (V).
α - ângulo formado pelos segmentos de reta com origem em (C) e
extremidades nas bordas da calota.
Condições de Gauss:
•
•
O ângulo ( α ) deve ser menor que 10°.
Os raios incidentes devem ter pequenas inclinações em relação ao eixo
principal.
Essas condições garantem que o espelho esférico é estigmático, ou seja,
cada ponto do objeto fornece um ponto de imagem correspondente.
O estudo dos espelhos esféricos pode ser feito considerando uma
análise de suas propriedades num plano bidimensional.
Cap.04 – Óptica geométrica 86
F – foco (foco principal): a localização do foco( F ) de um espelho, que
obedece às condições de Gauss, é encontrada ao se incidir um feixe de raios
de luz paralelos ao eixo principal, o feixe de raios refletidos converge pra um
ponto, esse ponto é chamado de foco ou foco principal, veja a fig.4.11. Para
um espelho côncavo o foco é real, enquanto para um espelho convexo o
foco é virtual.
Fig.4.11 –(a) Foco de um espelho côncavo. (b) Foco de um espelho convexo.
Para um espelho esférico de raio de curvatura (R), o foco principal está
à distância ( f ) do vértice do espelho, essa distância é chamada de distância
focal e é dada pela expressão:
f =
R
2
(4.4)
4.2.1 Equação de Gauss
A relação entre a posição do objeto, a posição da imageme a
distância focal do espelho é chamada de equação de conjugação de
espelhos esféricos ou equação de Gauss. Essa equação é expressa
matematicamente por:
1 1 1
+ =
p p' f
(4.5)
Sendo (p) a distância do objeto ao vértice do espelho, e (p’) a distância
da imagem ao vértice do espelho.
A fig.4.12 ilustra um caso onde uma imagem é formada em um espelho
côncavo, e como os parâmetros da equação de Gauss são medidos.A
imagem formada é real, invertida e maior que o objeto.
Cap.04 – Óptica geométrica 87
Fig.4.12 – Imagem de um objeto
gerada por um espelho côncavo.
A tabela a seguir ilustra os tipos de imagens que podem ser
normalmenteobtidas em função da posição que ocupam em relação ao
espelho:
Espelho
Posição do objeto
Entre C e Sobre F
F
Real,
Real,
Real,
Imprópria
invertida e invertida
invertida
menor
e igual
e maior
Virtual, direita e menor
Antes de C
Côncavo
Convexo
Sobre C
Entre F e V
Virtual, direita e
maior
Tabela 4.1 – A primeira coluna mostra o tipo de espelho, enquanto as colunas seguintes mostram
o tipo de imagem obtido de acordo com a posição do objeto.
Exercício Resolvido 4.1– Um objeto real, direito, de altura y=5 cm, é colocado
sobre o eixo principal de um espelho esférico côncavo com raio de curvatura
de 30 cm. Determine a altura, a posição e as características da imagem
quando o objeto estiver a uma distância de:
(a) 40 cm do vértice do espelho
(b) 20 cm do vértice do espelho
Cap.04 – Óptica geométrica 88
Solução:
1 1 1
podemos determinar a altura das imagens
+ =
p p' f
R 30
= 15cm
formadas. Tanto na letra(a) quanto na letra (b) o foco é f = =
2 2
Utilizando a expressão
(a) Como a distância p ao vértice do espelho 40 cm, então:
1
1
1
+ =
40 p ' 15
Como o mínimo múltiplo comum (mmc) desta expressão é 120p’, podemos
escrever:
3 p ′ + 120 = 8 p ′
p ′ = 24cm
Podemos relacionar a altura do objeto e da imagem com suas respectivas
distâncias com a relação:
y′
p′
=−
y
p
Sendo y’ a altura da imagem desejada, logo:
y′ = −
p ′y
24.5
=−
= −3cm
p
40
A imagem formada é menor (|y’|<y), invertida (y’<0) e real (p’>0).
(b) Calculamos a altura da imagem de forma semelhante à letra (a),
trocando, no entanto o valor da distância do objeto:
1
1
1
+ =
20 p ' 15
Cap.04 – Óptica geométrica 89
O mmc desta expressão é 60p’, escrevemos então:
3 p ′ + 60 = 4 p ′
p ′ = 60cm
E a altura da imagem:
y′ = −
p ′y
60.5
=−
= −15cm
p
20
A imagem formada é então maior (|y’|>y), invertida (y’<0) e real (p’>0).
4.3Refração da Luz
A refração como dita anteriormente ocorre quando uma onda sofre uma
mudança em sua direção quando ela atravessa uma fronteira entre dois
meios a diferentes velocidades, as leis da refração e reflexão da luz continuam
as mesmas do movimento ondulatório, porém essas leis podem ser
complementadas. Na reflexão podemos dizer que o raio refratado estará no
mesmo plano definido pela normal e o raio incidente, e na refração o
conceito de índice de refração, que é utilizado para a luz e as demais
radiações eletromagnéticas, é introduzido.
Leis da refração para a luz
1. O raio de luz incidente, a normal a superfície de separação entre os dois
meios, e o raio refratado estão no mesmo plano, veja a fig.4.13.
Fig.4.13 – Refração da luz, todos os raios estão no mesmo
plano.
2. A razão entre o seno do ângulo de incidência e o ângulo de reflexão é um
valor constante chamado de índice de refração. Ou seja:
Cap.04 – Óptica geométrica 90
senθ1
= n21
senθ 2
(4.6)
Sendo ( n21 ) o índice de refração do meio 2 em relação ao meio 1. Termo
conhecido como índice de refração relativo.
Quando esta expressão é comparada com a equação
senθ1 v1
=
senθ 2 v2
(4.7)
Verificamos que:
n21 =
v1
v2
(4.8)
3. O raio incidente e os raios refratado e refletido estão sempre em semiplanos
opostos, ( α ) e( β ) na fig.4.14.
Fig.4.14 – Os raios refletido e refratado estão no mesmo
plano.
Quando a luz passa do vácuo para determinado meio, o índice de refração
desse meio em relação ao vácuo é definido como índice de refração
absoluto desse meio. A velocidade da luz no vácuo é representada por ( c ). Se
a luz atravessa a superfície de separação entre o vácuo, que tem velocidade
( c ), e o meio 1, onde a velocidade é ( v1 ), o índice de refração do meio 1 é
calculado com a expressão:
n1 =
c
v1
(4.9)
Das expressões anteriores podemos afirmar que o índice de refração é um
valor adimensional; o valor numérico do índice de refração absoluto será
sempre maior que 1, pois ( c ) é o maior valor possível para a velocidade da luz.
Cap.04 – Óptica geométrica 91
Valores para índices de refração absolutos podem ser encontrados em
tabelas, as quais se referem aos valores como índice de refração, deixando a
palavra “absoluto”, subtendida.
A segunda lei da refração é usualmente expressa em função desses índices:
n1 senθ1 = n2 senθ 2
(4.10)
Sendo ( n1 )e ( n 2 ) os índices de refração dos meios 1 e 2 respectivamente. Estes
índices são relacionados da seguinte forma:
n21 =
n2
n1
(4.11)
4.4Dioptros Planos e Dioptros Curvos – Lâminas e Prismas
Um dioptro plano é definido como um sistema composto por dois meios
homogêneos e transparentes, separados por uma superfície, que pode ser
curva ou plana, veja a fig.4.15.
Fig.4.15 – Dioptros plano e curvo, respectivamente.
4.4.1 Formação de imagens em dioptros
Considere o exemplo de um homem olhando para um peixe dentro
uma piscina, como na fig.4.16. O observadorverá a imagem virtual desse
objeto, que está em uma posição acima da posição verdadeira desse objeto.
Isso ocorre devido à refração dos raios de luz emitidos pelo peixe quando eles
atravessam a superfície que separa os dois meios.
Cap.04 – Óptica geométrica 92
Fig.4.16 – Dioptro plano formado por
dois meios homogêneos, ar e água.
A imagem do peixe é definida como virtual por ser formada pela interseção
dos prolongamentos dos raios refratados, e é formada em uma linha
perpendicular ao plano.
4.4.2 Equação de Gauss para dioptros planos
Observando a figura verificamos que a imagem é formada a uma distância ( h
) da superfície da água, essa é a profundidade aparente objeto, e a uma
distância ( x ) do objeto. A profundidade real do objeto é representada por ( H
). Através da equação de Gauss temos que:
n1 n2
=
H
h
(4.12)
Onde ( n1 ) e( n2 ) são os índices de refração absolutos dos meios 1 e 2
respectivamente.
4.4.3Lâminas e Prismas
Se dois dioptros planos delimitam o mesmo meio eles irão constituir uma lâmina
de faces paralelas. Por exemplo, uma placa de vidro imersa em um meio
como o ar, como ilustrado na fig.4.17.
Fig.4.17 – Dioptro plano de faces paralelas.
Cap.04 – Óptica geométrica 93
Como era de se esperar o raio de luz ao atravessar a placa de vidro sofre
refração duas vezes, na entrada e na saída, note que a direção do raio
incidente antes de atingir o objeto permanece a mesma após a deixar o
mesmo. O caso mais geral é aquele em que as lâminas paralelas estão imersas
no mesmo meio. O efeito resultante desse sistema é o deslocamento ( d ) do
raio de luz entre as direções do raio de luz incidente e o raio emergente. Para
a lâmina da fig.4.17, que possui uma espessura ( e ), incide um raio de luz com
ângulo de incidência ( θ i ), e ângulo de refração ( θ r ), que se relacionam pela
segunda lei da refração pela expressão:
n1senθ i = n2 senθ r
Sendo (n1 ) o índice de refração do meio 1 e (n2 ) o índice de refração do
meio 2 . O deslocamento sofrido pelo raio de luz é dado pela expressão:
d = e.
sen(θ i − θ r )
cosθ r
(4.13)
Outro caso similar ao de lâminas paralelas é obtido quando se utilizam prismas,
porém nos prismas o raio de luz ao invés de apenas sofrer um deslocamento,
ele é desviado. Para um prisma triangular um raio de luz monocromática sofre
um desvio ( δ ) em sua trajetória como mostra a fig.4.18.
Fig.4.18 – Desvio sofrido por um raio de luz
monocromática ao atravessar um prisma
triangular.
Sendo( Â ) o ângulo de refringência, ( θ1 ) e ( θ 2 ) os ângulos de incidência e
emergência, respectivamente, do raio de luz. ( θ1′ ) e ( θ 2′ ) são os ângulos
formados com as faces internas dos prismas.
O desvio sofrido pelo raio de luz pode ser calculado com a expressão:
δ = θ1 + θ 2 − Â
(4.14)
Sendo ( Â ) calculado da seguinte maneira:
 = θ1′ + θ 2′
Cap.04 – Óptica geométrica (4.15)
94
Exercício Resolvido 4.2– O prisma é um objeto bastante conhecido devido a
sua capacidade de refratar a luz. A refração da luz tem bastante utilidade,
por exemplo, na caracterização amostras realizadas por químicos ou
engenheiros, isso pode ser feito utilizando alguns equipamentos quando é
necessário descobrir a presença e a quantidade de determinado composto,
um desses equipamentos é chamado de espectrofotômetro. No
espectrofotômetro uma fonte emite uma radiação eletromagnética, esta
radiação incidente é absorvida pela amostra e o restante dessa radiação
inicial incide sobre um prisma que refrata esse feixe para selecionar um
comprimento de onda adequado à análise. Supondo que um raio de luz
monocromático deixa a amostra e incida sobre um prisma triangular (veja a
figura), deseja-se saber qual é o desvio sofrido por esse raio de luz, sabendo
que esse prisma tem ângulo de refringência Â=60° e o ângulo de incidência
sobre o prisma é θ 1= 53° . Dados: ( n p = 1,6 , nar = 1 )
Solução:
Para determinar o desvio, é necessário determinar os valores de θ 2 , θ1′ e
θ 2′ . Então inicialmente aplicamos a expressão n1 senθ1 = n2 senθ 2 na primeira
face atingida pela luz, ou seja, do ar para o prisma, então:
nar .senθ1 = n p .senθ1′
Substituindo os valores dados na questão, temos que:
1.sen53° = 1,6.senθ1′
senθ1′ = 0,5 ∴θ1′ = 30°
Sabendo que Â=60°, podemos obter θ 2 com a expressão:
 = θ1′ + θ 2′
θ 2′ = 60° − 30° = 30°
O valor de θ 2 é obtido aplicando novamente a expressão n1 senθ1 = n2 senθ 2 ,
considerando agora a face de saída do raio de luz, neste caso, do prisma
para o ar:
Cap.04 – Óptica geométrica 95
n p .sen θ 2′ = n ar .senθ 2
senθ 2 =
1,6.0,5
= 0,8
1
θ 2 = 53°
Aplicando os valores encontrados na expressão δ = θ1 + θ 2 − Â podemos
finalmente obter o desvio:
δ = 53° + 53° − 60° = 46°
4.4 Lentes esféricas Delgadas
Uma associação de dois dioptros é denominada lente esférica, na qual uma
de suas fronteiras é necessariamente esférica, e a outra, é plana ou esférica.
Quando a espessura da lente for desprezível em comparação aos raios de
curvatura dos dioptros, ela é chamada de lente delgada.
4.4.1 Tipos de lentes
Existem seis principais tipos de lentes esféricas no estudo de óptica (biconvexa,
plano-convexa, côncavo-convexa, bicôncava, plano-côncava e convexocôncava), todas elas possuem elementos em comuns, os quais são descritos a
seguir:
C1 e C2 - centros de curvatura das faces esféricas
V1 e V2 - vértices da lente
R1 e R 2 - raios de curvatura das faces
Espessura da lente – distância entre ( V1 ) e ( V2 ).
n1 e n 2 - índice de refração do meio que circunda a lente e índice de refração
da lente, respectivamente.
S’ – eixo principal
As lentes também podem receber um outro tipo de classificação
referente ao tipo de borda que apresentam, elas podem ser lentes de borda
fina ou lentes de borda grossa (espessa).
Cap.04 – Óptica geométrica 96
As figuras a seguir ilustram esses tipos de lentes.
Fig.4.19 - Lente biconvexa. Ela possui a periferia
mais fina que a região central.
Fig.4.20 - Lente plano-convexa. É convexa em
uma das faces e plana na outra, possui periferia
mais fina que a região central.
Fig.4.21 - Lente côncavo-convexa, ela possui
duas faces côncavas e outra convexa. Tem a
periferia mais fina que a região central.
Cap.04 – Óptica geométrica 97
Fig.4.22 - Lente bicôncava, ela é côncava em
ambas as faces e tem a periferia mais espessa
que a região central.
Fig.4.23 - Lente plano-côncava, é plana em
uma das faces e côncava em outra, tem a
periferia mais espessa que a região central.
Fig.4.24 – Lente convexo-côncava. Tem a periferia
mais espessa que a região central.
4.4.2 Comportamento óptico
O comportamento de um feixe de luz ao ser incidido sobre uma lente pode ser
classificado como divergente ou convergente, dependendo dos índices de
refração da lente e do meio.
A fig.4.25 (a) e (b) mostra como as lentes são representadas, sendo (C) o
centro óptico das lentes.
Cap.04 – Óptica geométrica 98
Fig.4.25 – (a) Lente esférica
convergente. (b) Lente esférica
divergente
Em uma lente esférica com comportamento convergente, os raios de luz
paralelos entre si que incidem sobre a lente são refratados e convergem a um
único ponto. Tanto lentes de bordas finas quanto as lentes de bordas grossas
podem ser convergentes, dependendo do seu índice de refração em relação
ao do meio externo.
Em uma lente esférica com comportamento divergente, os raios de luz
paralelos entre si que incidem sobre a lente são refratados, tomando direções
que divergem a partir de um único ponto. Como no caso das lentes
convergentes, tanto lentes de bordas finas quanto as de bordas grossas
podem ser divergentes, dependendo do seu índice de refração em relação
ao do meio externo.
4.4.3 Equação de conjugação das lentes esféricas delgadas
De maneira semelhante ao que foi visto para espelhos esféricos, a equação
de conjugação relaciona a posição do objeto (p) e sua imagem (p’) com a
distância focal da lente com a expressão:
1 1
1
+
=
p p′ f
No entanto o foco é determinado pela “equação dos fabricantes de lentes”:
⎛1
1
1 ⎞
= (n − 1)⎜⎜ + ⎟⎟
f
⎝ R1 R2 ⎠
(4.16)
E a relação entre a altura e a imagem do objeto é dada por:
Cap.04 – Óptica geométrica 99
y′
p′
=−
y
p
(4
4.17)
4.5 Instrume
entos Óp
pticos
Lupa
a
Fig.4.2
26 – Lupa
A lupa
a é um dos instrrumentos ópticos mais simp
ples, tam
mbém
deno
ominada de lente de aume
ento, é utilizada pa
ara observ
var com mais
deta
alhe pequ
uenos ob
bjetos ou superfície
es, ela consiste
c
d
de uma lente
conv
vergente de peque
ena distância foca
al, e consseqüentem
mente, gra
ande
conv
vergência. O objeto examinad
do deve estar entre o foco objjeto e o ce
entro
óptic
co da lente para se obter uma
a ampliaçã
ão da imag
gem.
Câm
mera fotogrráfica
g.4.27 – Câmera fotográfica
Fig
A câmera fotográfica é um
u
equip
pamento capaz
c
de projetar uma
imag
gem em um
u antepa
aro, atravé
és de uma
a lente co
onvergente
e, e armazzenar
essa imagem.
Em máq
quinas anttigas, um filme fotossensível era
e coloca
ado dentro
o da
câm
mera servindo como anteparo, a incidên
ncia da luzz propiciav
va uma rea
ação
quím
mica entre os sais do filme.
Cap.0
04 – Óptica geométrica
g
100
Em câm
meras digittais, o ante
eparo con
nsiste em um
u dispositivo eletrônico,
conh
hecido como
c
Ch
harge-Coup
pled Dev
vice (CCD), que converte
e as
inten
nsidades de
d luz que incidem so
obre ele em valores digitais arm
mazenáve
eis na
form
ma de Bits e Bytes.
Micrroscópio Composto
C
o Composto
Fig. 4.28 - Microscópio
Um mic
croscópio composto é um instrumento óptico forrmado po
or um
tubo
o, que é delimita
ado nas suas exttremidades por le
entes esfé
éricas
conv
vergentes,, formando
o uma asso
ociação de
e lentes se
eparadas.
A lente
e mais próxima do
o objeto observado
o
o é cham
mada obje
etiva,
enqu
uanto a lente próxxima ao observador
o
r é chama
ada de le
ente ocula
ar. A
prim
meira possu
ui uma distância fo
ocal na ordem
o
de milímetross, enquan
nto a
segu
unda é um
ma lente co
om distânc
cia focal na
a ordem de centíme
etros.
A lente objetiva fornece uma
u
imagem real, invertida e maior que o
obje
eto. Esta im
magem fun
nciona com
mo objeto para a lente ocularr, que func
ciona
com
mo uma lup
pa, fornece
endo uma
a imagem final virtua
al, direta e maior.Ou seja,
o ob
bjeto é aum
mentado duas
d
vezess, fazendo com que objetos pe
equenos se
ejam
melh
hores obse
ervados.
Cap.0
04 – Óptica geométrica
g
101
Lune
eta
L
Fig. 4.29 – Luneta
etas são in
nstrumentos utilizadoss para obsservar obje
eto a gran
ndes distân
ncias,
Lune
por exemplo, para ob
bservação de astro
os (luneta astronôm
mica) ou para
obse
ervação da
d superfíc
cie terrestre
e (luneta terrestre). A luneta astronômica é
com
mposta po
or dois sisttemas convergente
es de lenttes, como
o no caso
o do
temos a le
micrroscópio composto
c
ente objettiva e a le
ente ocular. A objetiiva é
conssiderada um
u sistema
a converge
ente de disstância foc
cal na ord
dem de me
etros,
enqu
uanto a ocular
o
é considerad
c
da um sistema con
nvergente que func
ciona
com
mo uma lup
pa.
CURIOSIDA
ADES: Como
C
o nosso cérebrro interp
preta uma
ima
agem?
Certtamente em
e algum momento
o da sua vida você
ê deve ter se visto uma
imag
gem ou fo
oto de ilussão de ótiica. O termo ilusão de ótica é usado para
desc
crever as ilusões que engana
am o nosso sistema visual, essas ilusõess nos
fazem interpre
etar as ima
agens erron
neamente, pois em determina
d
adas condiições
nosso cérebro
o tem dificuldade em com
mparar ân
ngulos, co
omprimento
os e
distâ
ância, fazendo com
m que te
enhamos uma interrpretação diferente
e da
realidade.
Fig.4
4.30 - Ilusão
o que dá a sensação
o
de movimento
m
o.
Cap.0
04 – Óptica geométrica
g
O circ
cuito de neurônios e
envolvido com
nosso sistema visual pa
assa por um
processso evolutiv
vo, que no
os permite criar
modelos
de
e
imag
gem
muito
m
rapida
amente, em
mbora de maneira muito
m
simplifiicada, de
e modo q
que pode
emos
fazer interpretaç
ções muito
o eficiente
es de
image
ens usuais em três dimensões (3D),
no enttanto ao se observar uma ima
agem
fora do
o comum,, como um
ma imagem
m de
diferen
ntes diâmetros, sofremos o efeito
e
da ilussão de ótic
ca.
102
Os estímulos
e
visuais não são consttantes, eless estão em
m constantte variação, os
com
mprimentoss de onda da luz re
efletida po
or um obje
eto, por exxemplo, so
ofrem
varia
ação se ass condiçõe
es de ilumin
nação mudarem. No
o entanto p
para variações
em pequena escala o cérebro
c
lhes atribui uma cor constante,
c
sem perc
ceber
varia
ação algum
ma.
EXERCÍC
CIOS PRO
OPOSTOS
S 4.1–N
Na figura abaixo, A e B representam do
ois observa
adores, resspectivam
mente
na água
á
(n = 4/3)
4
e no ar
a (n = 1). É correto affirmar que:
a)B vê
v A 10 m abaixo da
a superfície
e S.
b)B vê
v A 16 m abaixo da
a superfície
e S.
c) A vê B na mesma
m
distâ
ância com
m que B vê A.
d)A vê B 12 m acima da superfície S.
a superfície
e S.
e) A vê B 16 m acima da
4.2- Quando uma
u
pesso
oa se aproxima de um
u espelho
o plano co
om velocid
dade
de 10 km/h:
a) su
ua imagem
m se aproxiima do esp
pelho com
m uma velo
ocidade de
e 20 km/h.
b) su
ua imagem
m se afasta
a do espelh
ho com ve
elocidade de 20 km/h.
c) a pessoa se aproxim
ma de sua imagem com velocidade de
e 20 km/h, em
mód
dulo.
d) a pessoa se
e aproxima
a de sua im
magem com
m velocida
ade de 10 km/h.
e) a distância entre a pe
essoa e sua
a imagem permanec
ce constan
nte.
Cap.0
04 – Óptica geométrica
g
103
4.3–Um mergulhador que se acha a 2 m de profundidade da água, cujo
índice de refração é 4/3, olha um pássaro que esta voando a 12 m de altura.
Para esse mergulhador a altura aparente do pássaro é:
a) 16 m
b) 9 m
c) 12 m
d) 6 m
e) 8 m
4.4–Uma menina observa um objeto através de uma lente divergente. A
imagem que ela vê é:
a) virtual, direita, menor que o objeto.
b) virtual, direita, maior que o objeto.
c) virtual, direita, maior que o objeto.
d) real,invertida, menor que o objeto.
e) real, direita, maior que o objeto.
4.5 - Um objeto real está situado a 10 cm de uma lente convergente. A
imagem desse elemento também é real e situa-se a 40 cm da lente. A
distância focal dessa lente é, portanto:
a) 8 cm
b) 10 cm
c) 30 cm
d) 40 cm
e) 400 cm
Cap.04 – Óptica geométrica 104
CA
APÍTU
ULO 5
5:FÍSICA MODER
RNA
Co
omo fu
uncion
na um
m reato
or nucclear?? Ao longo do século XIX
X
e início do séc
culo XX vá
ários cientistas esta
avam
cond
duzindo pe
esquisas investigativa
as para de
escobrir a estrutura
e
d
do átomo. Esses
estudos possib
bilitaram a descoberta das partículass subatôm
micas (eléttrons,
próto
ons e nêutrons) qu
ue nos pe
ermitiram ter um maior
m
conhecimento
o da
natu
ureza em que
q
vivemo
os.
A aplicação desses co
onhecimen
ntos fornec
ceu a soc
ciedade m
meios para
a seu
dese
envolvimen
nto, com a criação
o de nova
as tecnolo
ogias. A d
descoberta
a do
nêuttron e suass proprieda
ades em 1932,possib
1
bilitou a rea
alização d
do processso de
fissão
o nuclear. Esse proc
cesso passo
ou a fazerr parte doss meios de
e produção de
enerrgia conhe
ecidos pela
as nações..
Essa nova fo
onte de energia
e
fo
oi algo in
novador para
p
mundo, devid
do à
posssibilidade de
d gerar uma
u
quantidade exorbitante de
d energia
a usando uma
quantida
ade muito
o pequena
a de
matéria
prima.
O
único
ú
problema
tais
de
fissionar
elementos
a
era
que
quantida
ade de en
nergia libe
erada
era muito elevada
a e ocorria num
d tempo muito curtto.
espaço de
Fig.5.1 – Angra I,, usina nu
uclear
localizada
a em Angra d
dos Reis (RJ).
Os reatores nucleares foram criados
c
co
om o pro
opósito de
e controla
ar a
quantidade de
d energia
a liberada
a do proc
cesso de fissão
f
nuclear de fo
orma
segu
e palpáve
ura, fornec
cendo asssim somen
nte uma quantidad
q
el de ene
ergia,
nece
essária pa
ara um de
eterminado
o fim. Num
ma usina nuclear e
essa energ
gia é
usad
da para tra
ansformar água
á
líquid
da em vap
por, esse va
apor em se
eguida irá girar
uma
a turbina e assim ge
erar energiia elétrica. Após deixar a turb
bina o vap
por é
resfriiado em um
u trocado
or de calo
or (sendo resfriado
r
pela água do mar, ou
o de
um rio),
r
e retorrna a fase líquida no circuito principal.
Cap.0
05 – Física Moderna
107
Fig.5.2- Esquema de reator nuclear.
O problema da
d utilizaçã
ão de usin
nas nuclea
ares é a produção
p
d
de lixo nuc
clear
(resíd
duos obtid
dos após a fissão), que
q
é altamente perigoso a sa
aúde hum
mana,
pois emitem ra
adiação e precisa se
er isolado do
d meio am
mbiente.
Cap.0
05 – Física Moderna
108
5.1 Introdução à Relatividade Restrita
Em 1905 Einstein publicou sua teoria num artigo intitulado “Sobre a
eletrodinâmica dos corpos em movimento”, ele formulou os dois postulados
básicos da Teoria da Relatividade Restrita.
O primeiro postulado, ou Princípio da Relatividade diz:
“As leis da física são as mesmas para todos os observadores em quaisquer
sistemas de referência inerciais.”
Ou seja, observadores em diferentes sistemas de referência inerciais devem
observar o mesmo fenômeno físico. Esse primeiro princípio é uma
generalização das conclusões de Galileu e Newton. Além de confirmar a
impossibilidade de distinguir repouso e movimento em referenciais inerciais,
esse princípio nega a existência de um referencial absoluto no universo.
O segundo postulado, ou Princípio da Constância da Velocidade da Luz,
estabelece que:
“A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor para todos os
observadores, qualquer que seja o seu movimento, ou movimento da fonte”.
Toda velocidade, seja de partículas, seja de ondas,depende do referencial.
Contudo de acordo com esse princípio, a luz é uma exceção. Para a luz, assim
como para qualquer radiação eletromagnética, isso não ocorre.
Uma das consequências desses postulados é a impossibilidade de sabermos se
dois eventos são simultâneos, ou seja, se dois eventos ocorreram ao mesmo
tempo.
Quando dizemos que dois eventos são simultâneos, geralmente não levamos
em consideração a diferença de tempo em que eles ocorrem, se essa
diferença de tempo for muito pequena. Por exemplo, quando várias pessoas
assistem a um jogo de futebol, algumas no estádio e outras em casa. Para um
torcedor que está nas arquibancadas, a luz demora cerca de 0,0000001s para
trazer a imagem de um lance até seus olhos; e para um torcedor que está em
casa assistindo o jogo pela televisão a 3000 km do estádio, a radiação
eletromagnética traz a imagem do lance para a televisão após 0,01s. Como a
variação de tempo é muito pequena geralmente não a levamos em
consideração, porém na escala do universo essa diferença de tempo pode
ser enorme.
Cap.05 – Física Moderna
109
Exercício Resolvido 5.1– Assinale a alternativa que se refere a um dos
postulados da teoria da relatividade restrita de Albert Einstein.
a) As leis da física tem a mesma forma em qualquer sistema de referência
inercial.
b) A radiação eletromagnética é constituída de pacotes de energia.
c) Cargas aceleradas emitem radiação eletromagnética.
d) Grandes massas podem influenciar a trajetória de raios de luz.
e) A entropia total do Universo tende sempre a aumentar.
Solução:
A letra (a) é a alternativa correta, pois o primeiro postulado do princípio da
relatividade diz que:
“As leis da física são as mesmas para todos os observadores em quaisquer
sistemas de referência inerciais.”
5.2 Introdução à Mecânica Quântica – Radiação Térmica –
Corpo Negro – Hipóteses de Planck – Efeito Fotoelétrico e
Efeito Compton
A teoria da relatividade restrita mostrou algumas das leis que foram
descobertas no século XX, como:
•
•
•
•
A simultaneidade não existe.
A massa dos corpos tende a infinito quando a velocidade tende a
velocidade da luz.
O comprimento se reduz na direção do comprimento.
O tempo não transcorre da mesma maneira em referenciais inerciais a
diferentes velocidades.
Nessa mesma época, outras leis da natureza estavam sendo descobertas.
Foram descobertas novas radiações e partículas, o conceito de radiação
térmica, por exemplo, passou a ser melhor entendido.
Cap.05 – Física Moderna
110
5.2.1 Radiaçãotérmica
Até meados século XIX, acreditava-se que o calor seria um fluido denominado
calórico, que atravessava os corpos devido a diferença de temperatura entre
eles. Nos sólidos o calórico se moveria entre os poros do material através da
condução, esses poros existiriam entre as moléculas das substâncias. Nos
líquidos e gases o calórico seria transportado por convecção pelas moléculas.
Tanto no processo de condução quanto no processo de convecção, o meio
era indispensável para a transferência de calor. A radiação, da maneira que é
conhecida hoje, ou seja, um modo de transferência de calor que não
necessita de um meio intermediário, só foi admitida posteriormente.
A radiação pode ser transmitida e absorvida por objetos. Todos os corpos que
possuam temperatura diferente do zero absoluto 0 K(kelvin) irão emitir
radiação. Os estudo das relações entre o calor absorvido e o calor emitido,
permitiram ao físico alemão Robert Kirchhoof postular duas leis fundamentais
para o estudo da radiação térmica:
•
•
Como a cor da radiação de um corpo depende da frequência da
radiação emitida, e esta depende da temperatura, a cor de um corpo
aquecido depende apenas de sua temperatura.
Um corpo com características ideais em relação à absorção e a
emissão da radiação é chamado de corpo negro (não
necessariamente da cor preto), esse corpo tem a capacidade de
absorver toda radiação que nele incide e ao mesmo tempo emitir toda
radiação que nele é gerada.
Um corpo negro conhecido nos dias de hoje é chamado de buraco negro.
Modelos de corpo negro podem ser criados, por exemplo, uma caixa ou sala
fechada, com apenas um orifício por onde a radiação poderá entrar, observe
a fig.5.3; essa radiação dificilmente sairá da caixa, pois praticamente todo
fóton que atravessa essa cavidade é absorvido durante as reflexões internas.
Fig.5.3 – A caixa com orifício é um modelo de corpo negro.
Cap.05 – Física Moderna
111
5.2.2 Hipóteses de Planck
O corpo negro se tornou um objeto de trabalho fundamental para a física,
devido a maior quantidade de informações e reprodutibilidade de
experimentos. O espectro do corpo negro foi muito importante nos estudos
realizados. Um desses experimentos tinha o objetivo de explicitar a relação
entre a potência emitida pelo corpo negro e sua frequência e foi feito da
seguinte maneira: a radiação emitida por um corpo negro era dispersa por um
prisma não absorvente e em seguida direcionada para um detector, com
função de medir a intensidade de cada frequência de radiação. Tendo
conhecimento dos valores de intensidade e frequência, um gráfico pode ser
traçado, porém este gráfico demonstrava uma relação que não podia ser
explicada a partir dos conceitos da física clássica. Então o físico alemão Max
Planck resolveu realizar esta análise de forma invertida, iniciando pelos gráficos
de forma a obter uma função.
A função que Planck obteve estava experimentalmente correta, porém sem
significado físico. A justificativa teórica foi obtida posteriormente a partir dos
conceitos de entropia e a probabilidade de Boltzmann da termodinâmica, os
termos dessa função passaram a ter significado físico, dentre esses valores a
constante de Planck ( h ) foi estabelecida.
h = 6,63.10−34 J .s
Este resultado tem um significado inaceitável para a física clássica, ele nos diz
que a energia só existe na natureza em valores discretos, em quanta de ação.
5.2.3 Efeito Fotoelétrico
No final do século XIX Hertz e Hallwachs observaram que uma superfície
metálica emite elétrons quando é atingida por um feixe de luz com
determinada frequência, observe a fig.5.4. Esse processo de emissão de
elétrons causado pela radiação luminosa é chamado de efeito fotoelétrico.
Suas principais características são:
•
•
Para cada substância existe uma quantidade mínima de radiação com
determinada frequência, necessária para fotoemissão.
A emissão de elétrons é aumentada quando a intensidade da radiação
incidente sobre o metal é maior
Cap.05 – Física Moderna
112
Fig.5.4 – Efeito fotoelétrico numa superfície metálica.
Esse fenômeno ocorre nos metais devido à disponibilidade de elétrons livres
em sua rede cristalina. Esses elétrons não escapam do metal a temperatura
ambiente porque a quantidade de energia que eles recebem não é suficiente
para expelir os elétrons.
Seja ( φ ) a energia mínima necessária para que um elétron escape do metal.
Se o elétron absorve uma energia (E), a diferença (E- φ ) será a energia cinética
(Ek), do elétron emitido, então:
Ek = E − φ
(5.1)
Albert Einstein explicou as características do efeito fotoelétrico, supondo que
cada elétron absorvia um “quanta” de radiação ou “fóton”. A energia do
fóton é obtida multiplicando-se a frequência( f ) da radiação eletromagnética
pela constante de Planck (h) logo:
E = hf
(5.2)
Sendo ( f ) igual a:
f =
c
λ
O parâmetro (c ) representa a velocidade da luz no vácuo, e
comprimento de onda da radiação eletromagnética.
(5.3)
(λ )
o
Se a energia do fóton E for menor que( φ ) a energia mínima dearranque, não
há emissão fotoelétrica. Em caso contrário, o elétron sai do metal com uma
energia cinética (Ek) igual a ( E − φ ).
Exercício Resolvido 5.2 –Selecione a alternativa que apresenta as palavras que
completam corretamente as lacunas, pela ordem, no seguinte texto
relacionado com o efeito fotoelétrico. O efeito fotoelétrico, isto é, a emissão
de ….. por metais sob a ação da luz, é um experimento dentro de um
contexto físico extremamente rico, incluindo a oportunidade de pensar sobre
o funcionamento do equipamento que leva à evidência experimental
relacionada com a emissão e a energia dessas partículas, bem como a
oportunidade de entender a inadequacidade da visão clássica do fenômeno.
Cap.05 – Física Moderna
113
Em 1905, ao analisar esse efeito, Einstein fez a suposição revolucionária de que
a luz, até então considerada como um fenômeno ondulatório, poderia
também ser concebida como constituída por conteúdos energéticos que
obedecem a uma distribuição ….. , os quanta de luz, mais tarde denominados
….. .).
a) fótons – contínua – fótons
b) fótons – contínua – elétrons
c) elétrons – contínua – fótons
d) elétrons – discreta – elétrons
e) elétrons – discreta – fótons
Solução:
A letra (e) é a alternativa correta, pois como vimos anteriormente a incidência
da luz sobre uma superfície metálica permitirá a emissão de elétrons, desde a
superfície metálica receba uma quantidade mínima de radiação com
determinada frequência, essa quantidade de energia discreta absorvida foi
denominada posteriormente de fóton. Exercício Resolvido 5.3– A descoberta das partículas subatômicas permitiu que
os cientistas obtivessem um conhecimento mais refinado do mundo numa
visão atômica. Existem diversos exemplos em que a utilidade desses
conhecimentos pode ser observada. Sabe-se hoje em dia que o processo de
fissão nuclear é usado para geração de energia, e envolve diretamente
partículas atômicas e átomos instáveis. Explique como ocorre o processo de
fissão nuclear e diga qual é a partícula atômica indispensável nesse processo.
Solução:
A fissão nuclear é uma reação que ocorre no núcleo de um átomo, Uma
partícula subatômica, o nêutron é acelerado em direção ao núcleo de um
átomo, geralmente o urânio com massa molecular 235u( 235U ), que após o
choque sua instabilidade aumenta, havendo um decaimento, ou seja, há uma
imensa liberação de energia, e a formação de núcleos menores, havendo
também a liberação de radiação gama e mais nêutrons, que podem iniciar
uma reação em cadeia. Por isso em usinas nucleares são utilizados reatores
nucleares equipados com barras de controle, com o objetivo de controlar esta
reação em cadeia.
Exercício Resolvido 5.4 – Sabe-se que a energia de um fóton é proporcional à
sua frequência. Também é conhecido experimentalmente que o comprimento
de onda da luz vermelha é maior que o comprimento de onda da luz violeta
Cap.05 – Física Moderna
114
que, por sua vez, é maior que ocomprimento de onda dos raios X. Adotando a
constância davelocidade da luz, pode-se afirmar que:
a) a energia do fóton de luz vermelha é maior que a energiado fóton de luz
violeta.
b) a energia do fóton de raio X é menor que a energia dofóton de luz violeta.
c) as energias são iguais, uma vez que as velocidades sãoiguais.
d) as energias dos fótons de luz vermelha e violeta sãoiguais, pois são parte do
espectro visível, e são menoresque a energia do fóton de raio X.
e) a energia do fóton de raio X é maior que a do fóton deluz violeta, que é
maior que a energia do fóton de luzvermelha
Solução:
A letra e) é a alternativa correta. A relação entre a energia e a frequência de
uma onda é uma grandeza diretamente proporcional, no entanto as
grandezas energia e o comprimento de onda são inversamente proporcionais
de acordo com as expressões:
E = hf
e
f =
c
λ
Ou seja:
E=h
c
λ
Isso quer dizer que se o comprimento de onda da luz vermelha é maior que o
da luz violeta que, por sua vez, é maior que ocomprimento de onda dos raios
X. A energia do fóton de raio X é maior que a do fóton deluz violeta, que é
maior que a energia do fóton de luzvermelha.
5.2.4 Efeito Compton
Da mesma forma como o elétron pode ganhar energia ao absorver um fóton,
como ocorre no efeito fotoelétrico, ele pode também perder energia emitindo
fótons. Considere que a situação em que um elétron é acelerado por um
campo elétrico, ao colidir com matéria, será produzido um ou vários fótons. Os
fótons produzidos terão mesma ordem de grandeza da diferença de potencial
aceleradora. Por razões históricas, este tipo de radiação eletromagnética é
denominada raio X.
Cap.05 – Física Moderna
115
Compton realizou experimentos nos quais raios X de energia inicial conhecida,
eram espalhados por um alvo de grafite. O comprimento de onda dos raios
espalhados, dado por ângulo( θ ) medido em relação à direção incidente, era
determinado utilizando-se a difração de Bragg.
Fig.5.5 - Esquema do experimento de
Compton.
Os resultados dos experimentos indicaram que, para qualquer direção de
observação que não seja a direção do feixe incidente o espectro de raios X
espalhados exibe duas linhas, uma de comprimento de onda igual ao dos
raios incidentes e a outra de comprimento de onda maior. A diferença de
comprimento de onda entre as duas linhas aumentava com o ângulo de
espalhamento. Estas características eram incompatíveis com a visão
meramente ondulatória da radiação eletromagnética, isso conferiu uma
afirmação qualitativa da natureza particular da radiação.
5.3 Modelos Atômicos – O Átomo de Rutherford-Bohr – A
experiência de Franck Hertz
5.3.1Modelos Atômicos
No século XIX em meio a diversas questões e hipóteses sendo estudadas, a
consolidação da ideia do átomo estava sendo firmada. Devido à
impossibilidade de visualizar a forma de uma partícula, vários modelos foram
propostos com o intuito de descrever o átomo.
Cap.05 – Física Moderna
116
•
Modelo atômico de Dalton
O químico inglês John Dalton afirmava que a menor parte constituinte da
matéria era o átomo, essa seria a menor partícula que constituía a matéria. Em
1808, Dalton apresentou seu modelo atômico: o átomo como uma minúscula
esfera maciça, indivisível, impenetrável e indestrutível, também conhecido
como “modelo da bola de bilhar”. Para ele, todos os átomos que possuíam a
mesma massa eram iguais. Hoje, que temos conhecimento da existência dos
isótopos, átomos de um mesmo elemento químico que
possuem entre si massas diferentes, sabemos que o
modelo proposto por Dalton estava equivocado.
Fig.5.6 – Modelo Atômico de Dalton (bola de bilhar)
•
Modelo Atômico de Thomson
Outro modelo foi proposto pelo físico inglês J. J. Thomson, que estudando raios
catódicos demonstrou que os mesmos podiam ser interpretados como sendo
um feixe de partículas carregadas de energia elétrica negativa, as quais foram
chamadas de elétrons. Com o auxílio de campos magnéticos e elétricos,
Thomson conseguiu determinar a relação entre a carga e a massa do elétron.
Ele conclui que os elétrons deveriam ser constituinte de todo tipo de matéria,
pois observou que a relação carga-massa do elétron era a mesma para
qualquer gás que fosse inserido na Ampola de Crookes, tubo de vidro com gás
rarefeito o qual sofria descargas elétricas em meio campos elétricos e
magnéticos. Com base em suas conclusões, Thomson confirmou que o modelo
do átomo indivisível não estava exato, e apresentou seu
modelo, conhecido também como o "modelo de pudim
com passas".
Fig.5.7 – Modelo de Thomson (pudim de passas)
Cap.05 – Física Moderna
117
•
Modelo Atômico de Rutherford
Alguns anos mais tarde Ernest Rutherford propôs um novo modelo. Ele conduziu
experimentos utilizando uma lâmina delgada (muito fina) de ouro, a qual foi
bombardeada com partículas alfa (que eram positivas).
Rutherford verificou que, para aproximadamente cada 10.000 partículas alfa
que incidiam na lâmina de ouro, apenas uma era desviada ou refletida. Com
isso foi possível concluir que o raio do átomo era 10.000 vezes maior que o raio
do núcleo, e como as partículas eram desviadas ou refletidas, o átomo
deveria possuir alguma região central com carga de mesmo sinal que as
partículas ( α ), essa zona central foi chamada de núcleo.Podemos imaginar
essa situação, se o núcleo de um átomo tivesse o tamanho de uma azeitona,
o átomo teria o tamanho do estádio de futebol. Em 1911, o modelo do átomo
nucleado foi lançado, conhecido como o modelo planetário do átomo:
•
•
•
O átomo é constituído por um núcleo central positivo, muito pequeno e
denso.
Os elétrons, com pequena massa e carga negativa, localizam-seao
redor do núcleo (compondo a "enorme" eletrosfera).
Esses elétrons neutralizam a carga positiva do núcleo.
Fig.5.8 - Modelo atômico de Rutherford (modelo planetário do
átomo).
•
Modelo Atômico de Bohr
O físico dinamarquês Niels Bohr propôs um modelo atômico baseado no
sistema solar, na verdade ele complementou o modelo proposto por
Rutherford, que apresentava principalmente dois equívocos:
Os elétrons (carga negativa) em órbita deveriam se chocar com o núcleo
(carga positiva) devido às forças atrativas.
Uma carga negativa em movimento irradia (perde) energia constantemente,
emitindo radiação. Porém, sabe-se que o átomo em seu estado normal não
emite radiação.
Cap.05 – Física Moderna
118
Inicialmente o modelo de Bohr foi feito para o átomo de hidrogênio e depois
foi estendido para outros elementos.
Nesse modelo os elétrons giram em torno do núcleo e estão localizados em
diferentes níveis de energia bem definidos. No estado fundamental os elétrons
do átomo encontram-se no nível energético mais baixo possível. A teoria de
Bohr é fundamentada nos seguintes postulados:
•
•
Os elétrons descrevem órbitas circulares estacionárias ao redor do
núcleo, sem emitirem nem absorverem energia.
Fornecendo energia (elétrica, térmica, etc.) a um átomo, um ou mais
elétrons absorvem essa energia e saltam para níveis mais afastados do
núcleo, essa quantidade de energia é quantizada, ou seja, ela possui
um valor específico. Ao voltarem as suas órbitas originais, eles emitem a
mesma energia recebida em forma de luz.
Fig.5.9 - Modelo atômico de Bohr
As órbitas interiores são as de menor energia, enquanto as exteriores
apresentam uma energia mais alta.
Exercício Resolvido 5.5–Escolha, entre os modelos atômicos citados nas
opções, aquele (aqueles) que, na sua descrição, incluiu (incluíram) o conceito
de fóton:
a) Modelo atômico de Thomson.
b) Modelo atômico de Rutherford.
c) Modelo atômico de Bohr.
d) Modelos atômicos de Rutherford e de Bohr.
e) Modelos atômicos de Thomson e de Rutherford.
Solução:
Cap.05 – Física Moderna
119
A alternativa (c) é a correta.
c
No modelo
o atômico de Bohr vimos que foi
conssiderado que
q
as transições ele
etrônicas ocorrem
o
d forma q
de
quantizada
a. Os
outro
os modelo
os proposto
os ainda nã
ão aborda
avam o conceito de fótons.
5.4.2
2 A experriência de
e Franck Hertz
H
Em 1914 Jam
mes Franc
ck e Gusstav Hertz realizam um exp
perimento que
com
mprovava as ideia
as de Bo
ohr, eles procurara
am expe
erimentalm
mente
dem
monstrar a existência
a dos níve
eis de ene
ergia do átomo
á
e m
mostrar qu
ue as
transsferências de energ
gia poderriam de fato
f
apen
nas absorv
ver (ou se
erem
excittadas) porr quantida
ades espec
cíficas de energia, chamada
c
de quantu
um.O
expe
erimento original
o
envolveu um
m tubo contendo va
apor de m
mercúrio (H
Hg) à
baixxa pressão equipado
o com um
m dois elettrodos e uma
u
grade
e acelerad
dora,
com
mo pode se
er visto na fig.5.10.
f
Fig.5.10 – Experim
mento de Fran
nck Hertz
O ân
nodo foi mantido
m
so
ob um pote
encial eléttrico negattivo em relação à grade
g
de modo
m
que
e os elétron
ns obtivesssem energ
gia cinética
a suficiente ao longo do
seu percurso. Foram utilizados insstrumentoss para me
edir a corrrente entrre os
eletrrodos e pa
ara ajustarr a diferen
nça de po
otencial en
ntre o cato
odo e a grade
g
aceleradora. O experim
mento foi realizado
r
se observa
ando a re
elação enttre a
corre
ente e a voltagem obtida, podendo-s
p
se constru
uir um grá
áfico Corre
entex
Volta
agem, veja
a a fig.5.11
1.
Cap.0
05 – Física Moderna
120
Fig.5.11- Gráfico tensão x corrente
no ânodo
Pode-se observar que a corrente no tubo aumenta de forma contínua com o
aumento do potencial, e sofre uma queda em torno de 4,9 V, em seguida
cresce de forma contínua novamente com o aumento da voltagem, e sofre
outra queda em torno de 9,8 V, e assim sucessivamente, esse comportamento
foi observado aumentando-se a tensão até 100 V.
A menor energia para excitar um átomo de mercúrio 4,9 elétron-volt (eV).
Quando a tensão aceleradora chega a 4,9 V, cada elétron livre possui
exatamente 4,9 eV de energia cinética quando atinge a grade.
Consequentemente, uma colisão entre um átomo de mercúrio e um elétron
livre naquele momento poderia ser inelástica, ou seja, a energia cinética um
elétron livre poderia ser convertida em energia potencial, aumentando o nível
de energia de um elétron ligado a um átomo de mercúrio. Com a perda
completa da sua energia cinética adquirida, o elétron livre não pode mais
vencer o potencial ligeiramente negativo no eletrodo negativo, e a corrente
medida cai drasticamente. Esses experimento foi realizado devido à previsão
da mecânica quântica de que um átomo não pode absorver nenhuma
energia até que a energia de colisão exceda o mínimo necessário para levar
um elétron para um estado de energia mais alto.
5.5 Natureza Ondulatória da Matéria – Dualidade OndaPartícula – Princípios da Exclusão de Pauli – Princípio da
Incerteza.
O estudo do efeito fotoelétrico levou os físicos a alguns questionamentos, pois
a relação entre a frequência e a energia da onda eletromagnética não podia
ser explicada pela teoria ondulatória. A teoria ondulatória estabelece apenas
a relação entre a frequência de uma onda e sua amplitude, ou seja, ou a
teoria ondulatória estava errada ou a propagação magnética não poderia
ser um fenômeno ondulatório.
Cap.05 – Física Moderna
121
Em 1905 Albert Einstein trouxe a solução para esse impasse, sugerindo que a
propagação magnética não era um fenômeno ondulatório. De acordo com
Einstein a energia da luz não era distribuída uniformemente pelo espaço, ela
era na verdade propagada através de pacotes de energia “quanta de
energia”. Ele propôs que a luz seria formada por corpúsculos de luz, ou quanta
de luz, posteriormente chamado de fóton.
A energia do fóton apresenta relação proporcional à frequência de radiação.
Matematicamente:
E = hf
Sendo ( h ) a constante de Planck, ( E ) a energia e ( f ) a frequência de
radiação.
Embora a natureza particular da luz seja incontestável, não se pode descartar
a abordagem ondulatória, pois alguns fenômenos só são explicados
adequadamente com a teoria ondulatória. Logo a luz tem caráter dual, os
fenômenos de reflexão, refração, interferência, difração e polarização da luz
podem ser explicados pela teoria ondulatória e os de emissão e absorção
podem ser explicados pela teoria corpuscular.
5.5.1 Princípios da Exclusão de Pauli
O alemão Arnold Sommerfeld aprimorou a teoria dos átomos de Bohr no início
da década de 1920. Uma de suas contribuições foi à ideia da quantização
espacial. De acordo com Sommerfeld se pode associar um vetor (L) a cada
órbita eletrônica, esse vetor tem orientação semelhante a do vetor campo
magnético em uma espira percorrida por uma corrente elétrica com mesmo
sentido da velocidade do elétron.
O modelo de Sommerfeld se caracterizava por valores numéricos conhecidos
como números quânticos:
n – número quântico principal: se refere ao nível de energia em que os
elétrons estão localizados, seu valor pode variar de 1 a 7, dependendo da
camada em que se encontra. Essas camadas estão localizadas na eletrosfera
atômica e são representadas por letras (K,L,M,N,O,P,Q)
l - número quântico secundário: referente aos subníveis presentes nas
camadas, e a quantidade de elétrons que os ocupam.
m - número quântico magnético - especifica a orientação permitida para uma
nuvem eletrônica no espaço, relacionado com a forma da nuvem no espaço.
Cap.05 – Física Moderna
122
Tendo conhecimento de alguns fenômenos como o efeito Zeeman, os físicos
puderamconcluir que para cada órbita existem dois vetores (L)
correspondentes devido a uma espécie de magnetismo do elétron, essa
propriedade recebeu o nome de spin.
s - spin: é o movimento de rotação do elétron em torno do seu eixo.
Em 1925 o austríaco Wolfgang Pauli analisando espectros de diferentes
elementos, percebeu que o spin dos átomos lhes conferia identidade própria.
Ou seja, além de serem permitidos apenas determinados estados quânticos,
estes estados são exclusivos de cada elétron em cada átomo.
O princípio da exclusão de Pauli é enunciado como:
•
Num mesmo átomo, não podem existir dois elétrons com o mesmo
conjunto de números quânticos.
O conjunto dos três primeiros números quânticos ( n , l , m ) é conhecido como
orbital. Cada orbital suportando no máximo dois elétrons, correspondentes aos
spins permitidos.
5.5.2 Princípio da Incerteza
Toda medida estatística tem uma incerteza, ela é relacionada com o
tamanho da amostra utilizada e o com o processo de medida. Então é
impossível realizar uma medida totalmente correta, a física diz que a incerteza
é inevitável, independente do quão perfeito possa ser o instrumento.
A formulação do princípio da incerteza é devido a Werner Heisenberg. A
principal característica desse princípio é a quantificação numérica da
incerteza, a partir de uma expressão matemática, que estabelece a uma
espécie de compensação entre duas grandezas. Por exemplo, uma partícula
na posição (x) que se move ao longo do eixo x, com uma quantidade de
movimento (p) num instante inicial e num instante final, as medidas das
variações da posição ( Δx ) e da quantidade de movimento ( Δp ) terão uma
incerteza que pode, de acordo com Heisenberg, ser calculada com a
relação:
Δx.Δp ≥
h
4π
(5.4)
Sendo ( h ) a constante de Planck. A relação de Heisenberg é valida para
grandezas complementares como: posição e quantidade de movimento;
energia e tempo; etc.
Cap.05 – Física Moderna
123
A interpretação dessas expressões é algo muito curioso, pois à medida que se
realiza uma medida com maior precisão, a medida da outra se torna menos
precisa, é impossível melhorar a precisão de ambas.
CURIOSIDADES: O que acontece quando uma bomba
atômica explode?
A radioatividade é definida como a capacidade que alguns elementos
fisicamente instáveis possuem de emitir energia sob a forma radiação
eletromagnética ou de partículas, ou seja, radiação é emitida quando
ocorrem desintegrações sucessivas de núcleos atômicos de átomos instáveis.
Como um núcleo particulariza cada elemento, após a emissão dessas
partículas, novos elementos químicos são formados, pois novos núcleos são
formados. Esse processo de decaimento radioativo ocorre devido a
necessidade natural de estabilidade de cada átomo. Nesse processo de
decaimento radioativo, há uma liberação de uma grande quantidade de
energia, e essa energia pode ser utilizada de diversas formas.Quando
submetida a um campo elétrico ou magnético descobriu-se que a radiação
podia ser separada, essas partículas foram classificadas em três tipos e
nomeadas com algumas letras do alfabeto grego, como mostra a tabela a
seguir:
Radiação Símbolo Constituição
Carga Massa Velocidade
(u)
Alfa
4
+2
Beta
0
−1
Gama
0
0
α
2 prótons e
+2
4
β
2 elétrons
elétron
-1
0
γ
Onda
0
eletromagnética
com
elevada
energia
0
Poder
de
penetração
1/10
da Baixo
velocidade
da luz
9/10
da Médio
velocidade
da luz
Velocidade Elevado
da luz
Tabela 5.1 – Tipos de radiação e suas características.
Esses tipos de radiação têm diferentes poderes de penetração, como mostra a
fig.5.12.Uma bomba atômica é uma arma explosiva cuja energia deriva de
uma reação nuclear e tem um poder destrutivo imenso, a potência uma única
bomba é capaz de destruir uma cidade inteira. Elas são geralmente
classificadas em bombas de fissão ou bombas de fusão nuclear, que liberam
essencialmente radiação gama, que possui elevado poder de penetração e
podem atravessar vários objetos em seu percurso.
Cap.05 – Física Moderna
124
Fig.5.12 – Poder de penetração das radiações
α ,β e γ
.
O funcionamento dos modelos de bombas utilizadas na 2ª Guerra mundial era
baseado na colisão de porções subcríticas de urânio, separadas no
compartimento interno da bomba, que eram acionadas por um detonador,
de modo que uma explosão química fazia as duas porções colidirem
formando assim a massa crítica, isto é, o material necessário para iniciar a
reação em cadeia.
Fig.5.13 – (a) “Little boy”, bomba atômica lançada em Hiroshima (b) Esquema de bomba
atômica.
A bomba detonada em Hiroshima tinha 7 quilogramas de urânio, com 20
quiloton, ou seja, um poder destrutivo equiparável a 20 mil toneladas de TNT,
que matou cerca de 100 mil pessoas instantaneamente.O processo de fissão
nuclear foi estudado pelos cientistas italianos Enrico Fermi e Emílio Segrè, que
bombardearam átomos de urânio com nêutrons encontrando quatro espécies
radioativas como produtos, entre elas o neptúnio. Os químicos alemães Otto
Hahn e Fritz Strassman, repetiram o experimento, e concluíram que o urânio
estava sendo dividido (fissionado), e esse fenômeno recebeu o nome de fissão
nuclear.
Cap.05 – Física Moderna
125
Um caso de fissão
f
nuclear acontece a pa
artir do bo
ombardea
amento de
e um
átom
mo do isóttopo 235 do
d urânio presente em
e uma determinad
d
da quantid
dade
(masssa crítica)) do eleme
ento, isso ocasiona
o
a formação de nova
as espécies e a
liberração de novos
n
nêu
utrons que irão fission
nar outros átomos de urânio numa
n
reaç
ção em cadeia, essse processso ocorre de mane
eira muito rápida e com
elevada quantidade de energia se
endo dissip
pada.
Fig.5.14 - Os nêuttrons produzidos na fissã
ão de um áto
omo de
outros átomos de
235
U podem
pro
ovocar a fissã
ão de
235
U.
A fig
g.5.15 resu
ume os eventos
e
qu
ue ocorrem na exp
plosão de
e uma bo
omba
atôm
mica.
Fig.5.15 – Sequênc
cia de eventtos de uma bomba
b
atômiica.
Cap.0
05 – Física Moderna
126
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 5.1- No início do século XX, novas teorias provocaram uma surpreendente
revolução conceitual na Física. Um exemplo interessante dessas novas idéias
está associado às teorias sobre a estrutura da matéria, mais especificamente
àquelas que descrevem a estrutura dos átomos. Dois modelos atômicos
propostos nos primeiros anos do século XX foram o de Thomson e o de
Rutherford. Sobre esses modelos, assinale a alternativa correta.
a) No modelo de Thomson, os elétrons estão localizados em uma pequena
região central do átomo, denominada núcleo, e estão cercados por uma
carga positiva, de igual intensidade, que está distribuída em torno do núcleo.
b) No modelo de Rutherford, os elétrons são localizados em uma pequena
região central do átomo e estão cercados por uma carga positiva, de igual
intensidade, que está distribuída em torno do núcleo.
c) No modelo de Thomson, a carga positiva do átomo encontra-se
uniformemente distribuída em um volume esférico, ao passo que os elétrons
estão localizados na superfície da esfera de carga positiva.
d) No modelo de Rutherford, os elétrons movem-se em torno da carga
positiva, que está localizada em uma pequena região central do átomo,
denominada núcleo.
e) O modelo de Thomson e o modelo de Rutherford consideram a
quantização da energia.
5.2- Quanto ao número de fótons existentes em 1 joule de luz verde, 1 joule de
luz vermelha e 1 joulede luz azul, podemos afirmar, corretamente, que:
a) existem mais fótons em 1 joule de luz verde que em 1 joule de luz vermelha
e existem maisfótons em 1 joule de luz verde que em 1 joule de luz azul.
b) existem mais fótons em 1 joule de luz vermelha que em 1 joule de luz verde
e existem maisfótons em 1 joule de luz verde que em 1 joule de luz azul.
c) existem mais fótons em 1joule de luz azul que em 1 joule de verde e existem
mais fótons em1 joule de luz vermelha que em 1 joule de luz azul.
d) existem mais fótons em 1 joule de luz verde que em 1 joule de luz azul e
existem mais fótonsem 1 joule de luz verde que em 1 joule de luz vermelha.
e) existem mais fótons em 1 joule de luz vermelha que em 1 joule de luz azul e
existem maisfótons em 1 joule de luz azul que em 1 joule de luz verde.
Cap.05 – Física Moderna
127
5.3 - Nos diodos emissores de luz, conhecidos como LEDs, a emissão de luz
ocorrequando elétrons passam de um nível de maior energia para outro de
menorenergia.Dois tipos comuns de LEDs são o que emite luz vermelha e o que
emite luz verde.Sabe-se que a freqüência da luz vermelha é menor que a da
luz verde.Sejam λverdeo comprimento de onda da luz emitida pelo LED verde e
Everdeadiferença de energia entre os níveis desse mesmo LED.Para o LED
vermelho, essas grandezas são, respectivamente, λvermelhoe Evermelho.
Considerando-se essas informações, é correto afirmar que:
a) Everde>Evermelho e λverde>λvermelho
b) Everde>Evermelho eλverde<λvermelho
c) Everde<Evermelho eλverde>λvermelho
d) Everde<Evermelho eλverde<λvermelho
Cap.05 – Física Moderna
128
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