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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
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ESTATÍSTICA
1. INTRODUÇÃO
A Estatística trata dos métodos científicos para coleta, organização, resumo, apresentação e análise de dados,
visando também a tomada de decisões.
Ao coletar dados sobre as características de um conjunto de elementos, nem sempre é possível considerar
todos os elementos, ou seja, toda a população ou universo. Considera-se, então, apenas uma parte do todo,
chamada de amostra. No caso de pesquisa em uma eleição, por exemplo a população é formada por todos os
cidadãos que têm direito ao voto, e a amostra é formada pelos eleitores que serão entrevistados.
2. VARIÁVEIS
Suponhamos que um colégio esteja interessado em traçar um perfil de seus alunos do Ensino Médio. Para isso,
escolhe uma amostra de 20 alunos para deles colher as seguintes informações: sexo, idade, área da profissão que
pretende seguir e o número de irmãos. Os resultados obtidos estão apresentados na tabela a seguir. Cada um dos
itens pesquisados constitui uma variável. As variáveis sexo e área pretendida são denominados qualitativas,
enquanto que idade e número de irmãos são quantitativas.
ORDEM
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
SEXO
masculino
masculino
feminino
masculino
feminino
feminino
masculino
masculino
masculino
feminino
feminino
masculino
masculino
feminino
feminino
feminino
masculino
masculino
masculino
masculino
IDADE
16
17
15
14
14
15
15
15
19
15
17
17
16
15
16
18
15
18
19
14
ÁREA PRETENDIDA
Humanas
Biológicas
Humanas
Exatas
Exatas
Biológicas
Biológicas
Exatas
Humanas
Biológicas
Humanas
Humanas
Humanas
Humanas
Biológicas
Humanas
Exatas
Exatas
Biológicas
Biológicas
Nº DE IRMÃOS
2
3
2
1
1
0
0
1
3
1
4
0
1
2
2
2
1
3
4
1
3. FREQUÊNCIA
Para que melhor se possa interpretar os dados colhidos, o primeiro passo a ser dado consiste na contagem do
número de vezes que cada opção ocorre em cada variável. O número obtido para cada opção é denominado
frequência absoluta e indicado por ni.
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Como exemplo (1), consideremos na tabela anterior o número de alunos de acordo com área pretendida.
Teremos:
- Exatas: 5
- Biológicas: 7
- Humanas: 8
Ainda na tabela anterior, se considerarmos o número de alunos de acordo com a idade, teremos:
- 14 anos: 3
- 15 anos: 7
- 16 anos: 3
- 17 anos: 3
- 18 anos: 2
- 19 anos: 2
Para determinar a influência de cada uma dessas frequências na amostra, calculamos a frequência relativa e
representamos por fi. Ela é definida como sendo a razão entre a frequência absoluta e o número total de observação
(n), isto é:
fi 
ni
n
Para os exemplos tomados anteriormente, teríamos as seguintes tabelas de frequência relativa:
IDADE
ni
fi
%
ÁREA
ni
fi
%
14 anos
3
3/20 = 0,15
15%
Exatas
5
5/20 = 0,25
25%
15 anos
7
7/20 = 0,35
35%
Biológicas
7
7/20 = 0,35
35%
16 anos
3
3/20 = 0,15
15%
Humanas
8
8/20 = 0,4
40%
17 anos
3
3/20 = 0,15
15%
18 anos
2
2/20 = 0,1
10%
19 anos
2
2/20 = 0,1
10%
Exemplo:
Para a variável estado civil da tabela anteriormente apresentada, construímos a seguinte tabela de freqüência:
Frequência
absoluta (ni)
Frequência
relativa (fi)
Porcentagem
(%)
Separado
3
3
 0,15
20
15
Solteiro
7
7
 0,35
20
35
Casado
8
8
 0,40
20
40
Viúvo
2
2
 0,10
20
10
Total
20
1,0
100
Estado civil
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Exemplo:
Considerando a variável renda mensal familiar, é possível agrupar os dados brutos nas seguinte classes:
Frequência
absoluta
(ni)
Frequência
relativa (fi)
Porcentagem
(%)
˫8
2
2
 0,1
20
10
˫ 11
5
5
 0,25
20
25
˫ 14
7
7
 0,35
20
35
Renda familiar (em
salários mínimos
5
8
11
14
˫ 17
4
4
 0,2
20
20
17
˫ 20
2
2
 0,1
20
10
20
1,0
100
Total
4. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
4.1. Gráfico de Setores
É uma representação que consiste em dividir um círculo em tantos setores circulares quantas sejam as opções
da variável a ser representada. Os ângulos centrais dos setores deverão ser proporcionais às frequências relativas
de cada opção.
No exemplo (1) anterior, a variável área pretendida seria assim representada:
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4.2. Gráfico de Barras
No exemplo (1) anterior, a variável idade poderia ser representada por um gráfico de barras verticais, conforme
abaixo.
5. MEDIDAS DE CENTRALIDADE
Para analisar como se distribuem os valores de uma variável quantitativa, é necessário estabelecer um valor
médio ou central e outro valor que indique o grau de variabilidade dos dados.
5.1. Média Aritmética
Sejam x1, x2, x3, ... , xn os valores de n observações de determinada variável X. Definimos a média aritmética
(que é indicada por x ) como a razão entre a soma de todos os valores observados e o número total de observações:
x
x1  x 2  L  xn 1 n
  xi
n
n i1
No exemplo (1) anterior, a média das idades obtidas seria calculada assim:
x
16  17  15  14  14  15  15  15  19  15  17  17  16  15  16  18  15  18  19  14 320

 16
20
20
5.2. Mediana
Sejam
x1  x2  x3  ...  xn os n valores ordenados de uma variável X. A mediana (Me) desse conjunto de
valores será o seu valor central, se n for ímpar, e a média aritmética dos dois termos centrais, se n for par.
Ordenando-se as 20 idades obtidas no exemplo (1) anterior, temos:
14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 19, 19
Como n = 20 é par, a mediana será a média aritmética entre o 10º e o 11º termos, isto é:
Me 
15  16
 15,5
2
5.3. Moda
Denomina-se moda (Mo) ao valor mais frequente de uma sequência de dados de uma variável.
No exemplo (1) anterior, a moda das idades é Mo = 15, pois foi a mais frequente entre os valores pesquisados,
com ni = 7. Caso numa variável pesquisada, dois valores apresentem a maior frequência, dizemos que ela possui
distribuição bimodal.
6. MEDIDAS DE DISPERSÃO
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A média de uma variável não revela o grau de homogeneidade ou heterogeneidade dos seus dados. Por isso,
para melhor interpretá-los, é necessário que se defina uma medida que revele o grau de variabilidade desses
dados.
6.1. Variância
Sejam x1, x2, x3, ... , xn os valores assumidos por uma variável X e x a média aritmética desses valores. Chamase variância de X, e representa-se por Var(X), ao número real positivo obtido pela relação abaixo:
Var(X) 
(x1  x)2  (x 2  x)2  L  (xn  x)2 1 n
  (xi  x)2
n
n i1
Consideremos o seguinte exemplo (2): um grupo de 5 alunos apresentou ao fim do curso, em Matemática, as
seguintes médias: 5,0; 6,0; 5,0; 4,0; 5,0. Em Português, apresentaram as médias 1,0; 8,0; 5,0; 2,0; 9,0. Observe
que, nas duas disciplinas, a média dos alunos foi 5,0. Porém calculando as suas variâncias respectivas, temos que:
Var (M) 
(5  5)2  (6  5)2  (5  5)2  (4  5)2  (5  5)2
 0,4
5
Var (P) 
(1  5)2  (8  5)2  (5  5)2  (2  5)2  (9  5)2
 10,0
5
O primeiro valor, Var(M) = 0,4, mostra que as notas de Matemática apresentaram pequena dispersão. Isto
significa que o resultado nessa disciplina foi bastante homogêneo. Já o seguindo, Var(P) = 10,0, indica que em
Português houve alto índice de dispersão, portanto as notas foram bastante heterogêneas.
6.2. Desvio-Padrão
Observe que a variância é uma medida quadrada, portanto de unidade diferente da dos dados apresentados.
Isso impede que se possa compará-la com aqueles. Por isso, define o desvio-padrão (), expresso na mesma
unidade dos dados e calculado pela fórmula abaixo:
=
Var(X) 
1 n
(x1  x)2

n i1
No exemplo (2) anterior, o desvio-padrão das disciplinas Matemática e Português, ficariam assim,
respectivamente:
SM  0,4  0,63
SP  10  3,16
CÁLCULO DA VARIÂNCIA E DO DESVIO PADRÃO
O cálculo da variância e do desvio padrão de uma variável que apresenta seus valores distribuídos em intervalos
utiliza a mesma hipótese usada no cálculo da média: dentro de cada intervalo, os valores estão homogeneamente
distribuídos.
Consideremos a situação de distribuição de salários de uma empresa com 200 funcionários, representada na
tabela:
15
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Faixa salarial
(em salários mínimos)
Ponto médio
(xi)
Número de funcionários
(freqüência absoluta: ni)
˫6
4
45
˫ 10
8
63
˫ 14
12
36
2
6
10
14
˫ 18
16
31
18
˫ 22
20
17
22
˫ 26
24
8
Temos:
6

x
xn
i1
6
n
i1

i i

4  45  8  63  12  36  16  31  20  17  24  8 180  504  432  496  340  192 2 144


 10,72 SM
200
200
200
i
Para cada intervalo, avaliamos o desvio quadrático do ponto médio correspondente em relação à média
encontrada:
Intervalo
Ponto médio
Desvio quadrático
˫6
4
(4 – 10,72)2 = 45,16
˫ 10
8
(8 – 10,72)2 = 7,39
˫ 14
12
(12 – 10,72)2 = 1,64
2
6
10
14
˫ 18
16
(16 – 10,72)2 = 27,88
18
˫ 22
20
(20 – 10,72)2 = 86,11
22
˫ 26
24
(24 – 10,72)2 = 176,36
 Fazemos a média desses desvios, ponderando-os pelas freqüências absolutas correspondentes, isto é:
=
45  45,16  63  7,39  36 1,64  31  27,88 17 86,11 8 176,36
200
=
2 032,2  465,57  59,04  864,28 1 463,87 1 410,88
200
 = 6 295,84  31,48 SM2
200
Logo, o desvio padrão  =
31,84    5,64 SM.
Exemplo:
16
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Os 200 funcionários de uma empresa foram submetidos a exames clínicos para avaliação de saúde. Na tabela
seguinte, aparece o resultado do exame de dosagem de colesterol.
a) Qual é a taxa mediana de colesterol, em MG, por dL de sangue?
b) O teste sugere que, se a taxa média de colesterol exceder 235 mg/dL de sangue, deve-se iniciar uma campanha
de prevenção com os funcionários. Com base nesse exame, verifique se será necessário iniciar a campanha
preventiva.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Questão 01
Os dados ordenados abaixo referem-se ao tempo de espera (em minutos) de 10 pessoas que foram atendidas em
um posto de saúde durante uma manhã.
1 ; 5 ; 8 ; 9 ; x ; 16; 18; y ; 23 ; 26
Sabendo que o tempo médio de espera foi de 14 minutos e o tempo mediano foi de 15 minutos, podemos afirmar
que x e y valem, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
15 e 22
14 e 20
13 e 21
10 e 19
9 e 19
Questões 02 e 03: Num levantamento realizado em 100 jogos de futebol de um torneio, foram colhidos os seguintes
dados:
Número de gols por partida
Frequência de jogos
0
28
1
26
2
31
3
9
4
4
5
2
Questão 02
Podemos afirmar que a moda e a mediana do número de gols são, respectivamente:
a) 1 e 1,5
b) 1,5 e 1,5
c) 1,5 e 1
d) 2 e 1
e) 2 e 2
Questão 03
O desvio-padrão do número de gols marcados em cada partida é aproximadamente igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
1,21
1,03
1,67
0,64
2,39
Questão 04
Observe os seguintes conjuntos de valores:
17
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A: 12; 8; 7
B: 9 ; 4 ; x
Existem dois valores para x tais que as variâncias obtidas nos dois conjuntos são iguais. São eles:
a) 4,5 e 9
b) 4 e 8
c) 4 e 11
d) 5 e 8
e) 5 e 11
Questão 05
(PUC-MG) Em uma pesquisa eleitoral para verificar a posição de três candidatos a prefeito de uma cidade, 1500
pessoas foram consultadas. Se o resultado da pesquisa deve ser mostrado em um gráfico de setores, e certo
candidato recebeu 350 intenções de voto, qual o ângulo central correspondente a este candidato?
a) 42º
b) 168º
c) 90º
d) 242º
e) 84º
Questão 06
(UFBA) De acordo com o Boletim do Serviço de Meteorologia de 07 de junho de 2000, o quadro abaixo apresenta
a temperatura máxima, em graus Celsius, registrada em Fernando de Noronha e nas capitais da Região Nordeste
do Brasil.
Aracaju
Fernando
de
Noronha
Fortaleza
João
Pessoa
Maceió
Natal
Recife
Salvador
São Luis
Terezina
27 ºC
30 ºC
31 ºC
30 ºC
27 ºC
30 ºC
30 ºC
26 ºC
32 ºC
32 ºC
Com base nessas informações, pode-se afirmar:
(01) O gráfico abaixo representa a distribuição de frequência das temperaturas.
(02) A frequência relativa da temperatura de 31 ºC é igual a 10%.
(04) Representando-se a frequência relativa por meio de um gráfico de setores, a região correspondente à
temperatura de 27ºC tem ângulo de 36º.
(08) A média aritmética das temperaturas indicadas no quadro correspondente a 29,5ºC.
(16) A mediana das temperaturas registradas é igual à temperatura modal.
(32) A amplitude das temperaturas é de 32ºC.
Questão 07
O gráfico seguinte informa a distribuição do tempo de serviço (em anos) dos funcionários de uma pequena empresa.
18
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Qual é o tempo médio de trabalho dos funcionários dessa empresa?
Questão 08
Calcule a moda e a mediana de cada um dos seguintes conjuntos de valores:
a) 9  8  8  7  10  12  11  8  8  7  6  14  10
b) 0  0  0  1  1  1  1  2  2  2  2  2  3  3  3  3  3  3
c) 40  44  42  23  36  40
d) 0,6  0,7  0,7  0,5  0,8  0,6  0,4  0,9
Questão 09
Calcule o desvio padrão dos seguintes conjuntos de valores:
a) 2  3  4  5  6
b) 2  2  3  4  4
c) (– 2)  (–1)  ( –1)  0  1  3
d)
1 1 1 1
1
   
2 8 4 5 10
e) 70  65  60  60  65  68  72  60
Questão 10
19
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O gráfico seguinte mostra os números relativos aos turistas estrangeiros que estiveram no Brasil no período de
1998a 2002.
Qual é o desvio padrão dos dados apresentados?
Questão 11
A Secretaria de Saúde de uma cidade está interessada em saber com que freqüência semanal seus habitantes
praticam atividades físicas. Para isso, uma equipe entrevistou n pessoas e os resultados encontram-se no gráfico
seguinte:
a) Determine o valor de n.
b) Qual é a média das freqüências de atividades físicas?
c) Qual é a moda e a mediana dos dados obtidos?
d) Qual é o desvio padrão dos dados obtidos?
RESPOSTAS
20
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1. B
2. D
3. A
4. D
5. E
6. 27
7. 2,89
8. a) Mo = 8; Me = 8
b) Mo = 3; Me = 2
c) Mo = 40; Me = 40
d) Mo = 0,6 e 0,7; Me = 0,65
9. a)   1,414
b)   0,894
c)   1,633
d)   0,142
e)   4,45
10. 516 140 turistas, aproximadamente
11. a) 76
b) 2,5 vezes por semana
c) Mo = 2; Me = 2
d) 1,24
21