MAT208 - Exercı́cios LISTA 1 - 2011
1. Seja f (x, y) = ln(x + y − 1). (a) Calcule f (1, 1), f (e, 1) e f ( 32 +
(b) Determine o domı́nio de f . (c) Determine a imagem de f .
√
2, − 12 ).
2
2. Seja f (x, y) = ex −y . (a) Calcule f (2, 4). (b) Determine o domı́nio de f .
(c) Determine a imagem de f .
√
2
2
3. Seja f (x, y) = e 1−x −y . (a) Calcule f (1/2, 1/2). (b) Determine o domı́nio de f .
(c) Determine a imagem de f .
4. Determine o domı́nio de f e represente-o geometricamente:
√
(a) f (x, y) = x − y
(b) f (x, y) = arctan xy
(c) f (x, y) = √
(d) f (x, y) =
x−3y
x+3y
(g) f (x, y) =
3x+5y
4x2 +16y 2 −4
1
x2 +y 2 −1
(e) f (x, y) = tan (x − y)
(f) f (x, y) = ln(x4 − x2 y 2)
√
(h) h(r, t) = r − t ln(r + t)
5. Determine as curvas de nı́vel das funções e represente-as geometricamente:
(a) f (x, y) = xy
(b) f (x, y) =
x
y
(c)f (x, y) = y − x3
(d) f (x, y) =
x+y
x−y
(e) f (x, y) = y − cos x
(g) f (x, y) =
x2
x2 −y 2
(h) f (x, y) =
6. Seja f (x, y) =
(f) g(x, y) = √
1
25−x2 −y 2
y−y 2
x
1−y
.
x3
(a) Ache seu domı́nio, curvas de nı́vel, e imagem.
(b) Faça um mapa das curvas de nı́vel de f , indicando, entre elas, as curvas de nı́vel c = 0,
c = 1, c = −1, c = 2, e c = −2.
7. Para a função em 5.f, ache as curvas de nı́vel c = 51 , c = 41 , c = 13 , c = 1, c = 2, e c = 3.
8. Esboce o gráfico da cada função:
(a) f (x, y) = sen y
p
(d) h(x, y) = ln x2 + y 2
p
(g) f (x, y) = x2 + y 2 + 4
(j) g(x, y) = x2 + y 2 + 2y + 3
(b) f (x, y) = 3 − x2 − y 2
p
(e) f (x, y) = x2 + y 2
(h) f (x, y) = y − x3
9. Desenhe a quádrica de equação z 2 = x2 + y 2.
1
2
2
(c) f (x, y) = e−x −y
p
(f) f (x, y) = − x2 + y 2
(i) g(x, y) = x2 + 9y 2
10. Qual das seguintes funções tem como gráfico a figura abaixo?
p
2
2
(b) f (x, y) = x2 y 2 e−x −y
(a) f (x, y) = sen x2 + y 2
(c) f (x, y) =
1
x2 +4y 2
(d) f (x, y) = x3 − 3xy 2
(e) g(x, y) = sen xsen y
(f) z = sen2 x + 14 y 2
5
4
3
2
1
-4
-2
x
2
-4
-2y
00 0
2
4
11. Seja f (x, y, z) = √
1
.
x2 +y 2 +z 2 −1
4
(a) Calcule f (1, 3, 4). (b) Determine o domı́nio de f .
12. Determine e esboce o domı́nio da função:
g(x, y, z) = ln (16 − 4x2 − 4y 2 − z 2 )
13. Ache as superfı́cies de nı́vel das funções abaixo, e esboce as de nı́vel indicadas:
(a) f (x, y, z) = x2 + 4y 2 + 9z 2 , c = 0, c = 1 e c = 4
(b) g(x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 , c = 0, c = 1 e c = −1
Algumas respostas
(b) Df = {(x, y) ∈ R2 | x + y > 1}
c) Imf = R
1. (a) 0, 1 e 21 ln 2
2
2. (a) 1
(b) Df = R
(c) Imf = {z ∈ R| z > 0}
√1
3. (a) e 2
(b) Df = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1}
(c) Imf = {z ∈ R| 1 ≤ z ≤ e}
4. Domı́nios:
(a) Df = {(x, y) ∈ R2 |y ≤ x}
(b) Df = {(x, y) ∈ R2 |x 6= 0}
2 2
2
(c) Df = {(x, y) ∈ R |x + y > 1}
π, n ∈ Z}
(f) Df = {(x, y) ∈ R2 | − |x| < y < |x|}
(e) Df = {(x, y) ∈ R2 |y 6= x + 1+2n
2
5. Curvas de nı́vel:
(a) as hipérboles y = xc para c 6= 0; as retas x = 0 e y = 0 para c = 0
(b) as semi-retas y = 1c x, x 6= 0, para c 6= 0; x = 0, y 6= 0, para c = 0
(c) os gráficos y = x3 + c, para ∀c ∈ R (e) os gráficos y = cos x + c, para ∀c ∈ R
(f) os cı́rculos x2 + y 2 = 25 − c12 com c ≥ 51
q
(g) as semi-retas y = ± c−1
x, x 6= 0 para c < 0 ou c > 1; x = 0, y 6= 0 para c = 0; y = 0, x 6= 0
c
para c = 1
(h) os arcos de parábola x = 1c (y −y 2 ), x 6= 0 para c 6= 0; as semi-retas y = 0, x 6= 0, e y = 1, x 6= 0,
para c = 0
11. (a) 51 (b) {(x, y, z)|x2 + y 2 + z 2 > 1} = exterior da bola unitária
2
2
2
2
2
z2
12. {(x, y, z)| x4 + y4 + 16
< 1} = interior do elipsoide de equação x4 + y4 + z16 = 1
2