CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
CAMPUS VII - UNIDADE TIMÓTEO
1ª Lista de Exercícios – Disciplina: Cálculo 1
Curso: Engenharia da Computação - Prof.: Júlio César de Jesus Onofre
1 –Dado o gráfico de uma função f :
a) Obtenha o valor de
b) Estime o valor de
c)
f (−1) ;
f (2)
f (x )=2 para quais valores de
x ?
d) Obtenha o domínio e a imagem de
f .
e) Em qual intervalo a função é crescente?
2 – Se f ( x )=3 x 2− x+2 , encontre:
2
f (2) , f (−2), f (a ), f (−a) , f (a+1) , 2 f ( a), f (2 a) , f (a 2 ) , [ f (a) ] e f (a +h) .
3 - Calcule o quociente das diferenças para a função dada. Simplifique sua resposta:
a)
f ( x )=4 +3 x−x
b)
f (x )=
1
,
x
2
,
f (3+ h)− f (3)
h
f ( x)− f ( a)
x−a
4 – Encontre o domínio da função:
a)
f (x )=
x
3 x−1
b)
1
√ x −5 x
c) h( x)= 4
3
f (t)= √t + √ t
2
5 – Encontre o domínio e esboce o gráfico da função:
a)
f (x )=5
d) G( x)=
3 x +∣x∣
x
b)
f (t)=t 2 −6 t
e)
f (x )= x +2 se x <0
1−x se x≥0
{
c)
f)
g ( x)= √ x −5
{
se x≤1
f (x )= x +2
2
x se x>−1
6 – Encontre uma expressão para a função cujo gráfico é a curva:
a) O segmento de reta unindo os pontos (1,−3) e (5,7) ;
b) A metade inferior da parábola
x +( y−1)2 =0
7 – Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio:
a) Um retângulo tem um perímetro de 20 metros. Expresse a área do retângulo como uma
função do comprimento de um dos seus lados.
b) Expresse a área de um triângulo equilátero como uma função do comprimento de um lado.
c) Uma caixa retangular aberta com volume de 2 m3 tem uma base quadrada. Expresse a
área da superfície da caixa como função do comprimento de um lado da base.
8 – Determine se a função dada é par, ímpar ou nenhum dos dois:
a)
f (x )=
x
x +1
2
b)
f (x )=
x
x+ 1
c)
9 – O que todos os membros da família de funções lineares
Esboce o gráfico de vários membros da família.
10 Encontre uma expressão
f (−1)= f (0)= f (2)=0 .
para
uma
função
f (x )=1+3 x 2− x 4
f ( x )=c− x têm em comum?
cúbica
f se
f (1)=6 e
11 – Se a dose recomendada para um adulto de uma medicação é D (em mg), então, para
a anos de idade, os
determinar a dosagem apropriada c para uma criança com
farmacêuticos usam a equação c=0,0417 D(a+1) . Suponha que a dosagem para um adulto
seja de 200 mg.
a) Encontre a inclinação do gráfico de c . O que ela representa?
b) Qual a dosagem para um recém-nascido?
12 – Biólogos notaram que a taxa de cricridos de uma certa espécie de grilos está relacionada
com a temperatura de uma maneira que aparenta ser linear. Um grilo cricrila 112 vezes por
minuto a 20 ºC e 180 vezes por minuto a 29 ºC.
a) Encontre uma equação linear que modele a temperatura
de cricridos por minuto N ;
b) Qual é a inclinação do gráfico? O que ele representa?
T como uma função do número
c) Se os grilos estiverem cricrilando 150 vezes por minuto, estime a temperatura.
13 – Na superfície do oceano, a pressão da água é igual à do ar acima da água, 1,05 Kg /cm2
. Abaixo da superfície, a pressão da água cresce 0,10 Kg /cm2 para cada metro abaixo da
superfície.
a) Expresse a pressão da água como uma função da profundidade abaixo da superfície do
oceano.
b) A que profundidade a pressão é de 7 Kg /cm2 ?
14 – Faça o gráfico de cada função abaixo, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico
de uma função conhecida e então aplicando as transformações:
a)
y=−x 3
b)
y=( x +1)2
e)
y=√ x +3
f)
y=
15 a) Como o gráfico de
1 2
( x +8 x )
2
( 2x )
c)
y=1+2 cos x
d)
y=sen
g)
y=
2
x +1
h)
y=∣sen x∣
y= f (∣x∣) está relacionado com o gráfico de
f ?
b) Esboce o gráfico de y=√∣x∣ .
16 – Encontre as funções (a) f ∘ g , (b)
a)
f (x )=x 2−1 e
g ( x)=2 x+ 1
b)
f (x )=1−3 x e
g ( x)=cos x
c)
f (x )=x +
1
x
17 – Encontre
e
g ( x)=
g ∘ f , (c)
x+1
x +2
f ∘ g ∘h :
a) f (x )=x +1,
g (x )=2 x ,
b) f (x )=√ x−3 ,
g ( x)=x 2,
18 – Expresse a função na forma
10
h ( x )=x−1
h( x)= x 3+2
f ∘g :
a) F ( x)=( x +10 )
b)
19 – Expresse a função na forma
f ∘ g ∘h :
2
f ∘ f e (d) g ∘ g e seus domínios:
F ( x)=
√3 x
1+ √3 x
c) u (t)= √ cos t
a)
H (x )=1 – 3 x
2
b)
H (x )=sec 4 ( √ x )
20 – A queda de uma pedra num lago gera ondas circulares que se espalham a uma velocidade
de de 60 cm/s.
a) Expresse o raio desse círculo como uma função do tempo
t (em segundos);
b) Se A é a área do círculo como uma função do raio, encontre
interprete-a.
A∘ r em função de
t e
21 – Um navio se move a uma velocidade de 30 km/h paralelo a uma costa retilínea. O navio
está a 6 km da costa e passa por um farol ao meio-dia.
a) Expresse a distância s entre o farol e o navio como uma função de d , a distância que o
navio percorreu desde o meio-dia; ou seja, encontre f tal que s= f (d ) ;
b) Expresse d como uma função de t , o tempo decorrido deste o meio-dia; ou seja,
encontre g tal que d =g (t) .
c) Encontre f ∘ g . O que esta função representa?
22 - Sejam f , g funções lineares com equações f ( x )=m1 x+ n1 e g ( x)=m2 x+ n2 . A
função f ∘ g também é uma função linear? Em caso afirmativo qual a inclinação de seu
gráfico?
23 (a) Se g ( x)=2 x+ 1 e h( x)=4 x 2 + 4 x +7 , encontre uma função f tal que f ∘ g =h .
Sugestão: Pense em quais operações você teria que efetuar na fórmula de g para chegar na
fórmula de h ;
(b) Se
f ( x )=3 x +5 e h( x)=3 x 2+ 3 x+ 2 , encontre uma função
24 (a) Suponha que
f + g e fg ?
(b) E se
g tal que f ∘ g =h .
f , g sejam funções pares. O que você pode dizer sobre as funções
f , g forem ambas ímpares?
25 – Suponha que
função par?
g seja uma função par e seja h= f ∘ g . A função
h é sempre uma
26 – Faça um esboço do gráfico de cada uma função. Não use calculadora. Utilize somente os
gráficos das funções exponenciais e as transformações:
a)
y=4 x −3
b)
27 – Começando com o gráfico de
gráficos que resultam ao:
y=−2−x
c)
1
y=1− e−x
2
y=e x , escreva as equações correspondentes aos
a) deslocar 2 unidades para baixo;
b) deslocar 2 unidades para a direita;
c) refletir em torno do eixo x;
d) refletir em torno do eixo y;
e) refletir em torno do eixo x e, depois, em torno do eixo y.
28 – Encontre o domínio de cada função abaixo:
a)
f (x)=
29 – Se
1
x
1+e
b)
f (x)=
1
x
1−e
( )
f (x+ h)− f ( x) x 5 h−1
f (x)=5 , mostre que
=5
h
h
x
2
.
x
f (x)= x e g ( x)=2 foram traçados sobre uma
30 – Suponha que os gráficos de
malha coordenada com 1 cm. Mostre que, a uma distância de 1 m à direita da origem, a altura
25
do gráfico de f é de 100 m, enquanto a altura do gráfico de g é cerca de 10 km .
31 – Sob condições ideais sabe-se que uma certa população de bactérias dobra a cada 3 horas.
Supondo que inicialmente existam 100 bactérias:
a) Qual o tamanho da população após 15 horas?
b) Qual o tamanho da população após t horas?
c) Qual o tamanho da população após 20 horas?
d) Usando um recurso gráfico (calculadora gráfica ou pc) trace o gráfico da função população e
estime o tempo para a população atingir 100000 bactérias.
32 – Uma função f é dada por uma tabela de valores, um gráfico, uma fórmula ou por meio
de uma descrição verbal. Determine se f é injetora:
a)
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
1,5
2,0
3,6
5,3
2,8
2,0
b)
c)
d)
1
f (x)= ( x+5)
2
f)
f (t) é a altura de uma bola t segundos após ser chutada.
e)
g ( x)=∣x∣
33 – Se
f for uma função injetora tal que f (2)=9 , quanto é
34 – Se
g ( x)=3+ x+e x , ache g −1 (4) .
f −1 (9) ?
35 – Encontre uma fórmula para a função inversa:
a) f (x)= √ 10−3 x
b) f (x)=e
3
x
c) y=ln (x+3)
36 – Encontre o valor exato de cada expressão:
1
27
a) log 5 125
b) log 3
c) log 2 6−log 2 15+log 2 20
d) log 3 100−log 3 18−log3 50
37 – Expresse a quantidade dada como um único logaritmo:
a) ln 5+5 ln 3
b) ln ( 1+ x )+
2
1
ln x−ln sen x
2
38 – Faça o esboço do gráfico de cada função abaixo, usando transformações:
a) y=log ( x+5)
b) y=−ln x
39 – Resolva cada equação em x :
−x
a) 2 ln x=1
40 – Considere
domínio.
b) e =5
c) 2
x−5
d) ln x+ln (x−1)=1
=3
f (x)= √ 3−e 2 x . Determine (a) o domínio de f e (b)
f −1 e seu
41 - Encontre o valor exato de cada expressão:
−1
a) sen
( √ 3/ 2 )
−1
b) cos (−1)
−1
d) sen (1/ √ 2)
42 – Demonstre que
c) arctg 1
−1
e) tg (arctg 10)
f ) sen (sen(7 π/ 3))
cos ( sen−1 x )=√ 1−x 2 .
43 – Simplifique a expressão
sen (tg −1 x ) .
44 – Determine o domínio e a imagem da função g (x)=sen
−1
(3 x+1 )
.