Resolução das atividades complementares
Matemática
M8 — Função modular
p. 14
1 Determine:
c) | x 1 3 | para x > 26
a) | x | para x . 2
d) | 2 2 2x | para x > 0
b) | x | para x , 24
Resolução:
a)x . 2 → x . 0
Então: x5 x.
b)x , 24 → x , 0
Então: x5 2x.
c)Estudando a variação de sinal de x 1 3, temos:
a . 0 → função crescente
zero de f: x 1 3 5 0 → x 5 23
�
�6
�3
�
Para 26 < x , 23 → x 1 3 5 2x 2 3, e para x > 23 → x 1 3 5 x 1 3.
d)Estudando a variação de sinal de 2 2 2x, temos:
a , 0 → função decrescente
zero de f: 2 2 2x 5 0 → x 5 1
�
0
1
�
Para 0 < x , 1 → 2 2 2x 5 2 2 2x, e para x > 1 → 2 2 2x 5 22 1 2x.
3
2 Se x . 23, então | x 1 2 | é:
a) igual a x 1 2 para todo x real.
b) positivo somente se x . 22.
c) igual a 2x 2 2 para todo x real.
d) negativo se x , 22.
e) igual a x 1 2 ou 2x 2 2 dependendo do valor de x.
Resolução:
Estudando a variação de sinal de x 1 2, temos:
a 5 1 → função crescente
zero de f: x 1 2 5 0 → x 5 22
�
� �3
�2
Para 23 , x , 22 → x 1 2 5 2x 2 2, e para x > 22 → x 1 25 x 1 2.
3 Escreva a expressão | 1 2 3x | 1 5 sem usar módulo. 6 2 3x, se x < 1 e 3x 1 4, se x . 1
3
Resolução:
Estudando a função 1 2 3x, temos:
a 5 21 → função decrescente
zero de f :1 2 3x 5 0 → x 5 1
3
�
1
3
�
Para x < 1 → 1 2 3x 1 5 5 1 2 3x 1 5 5 6 2 3x, e
3
1
para x .
→ 1 2 3x 1 5 5 21 1 3x 1 5 5 4 1 3x.
3
Portanto, a expressão fica: para x < 1 → 6 2 3x, e para x . 1 → 4 1 3x.
3
3
3
4 Sendo y 5 | 5x 215 | 1 x, escreva y sem usar módulo. 24x 1 15, se x , 3 e 6x 2 15, se x  3
Resolução:
Estudando a função 5x 2 15, temos:
a 5 5 . 0 → função crescente
zero de f: 5x 2 15 5 0 → x 5 3
�
3
�
Para x , 3 → 5x 2 15 1 x 5 25x 1 15 1 x 5 24x 1 15 e,
para x > 3 → 5x 2 15 1 x 5 5x 2 15 1 x 5 6x 2 15.
24x 1 15, se x , 3
Portanto, y 5 
.
6x 2 15, se x > 3
5 Resolva as inequações:
a) 3 1 | x 1 2 | , 5 S 5 {x  V | 24 , x , 0}
5
3
b) 1 1 | 2x 1 1 | < 5 S x ; �| v x v
2
2
c) | 3x 2 2 | 1 7 , 1 S 5 
Resolução:
a)3 1 x 1 2 , 5 → x 1 2 , 2 → 22 , x 1 2 , 2 → 24 , x , 0
S 5 {x ∈ V24 , x , 0}
[
]
b)1 1 2x 1 1 < 5 → 2x 1 1 < 4 → 24 < 2x 1 1 < 4 → 25 < 2x < 3 → 2 5 < x < 3
2
2
S x ; �| 5 x 3
2
2
c)3x 2 2 1 7 , 1 → 3x 2 2 , 26 → o módulo de um número é sempre positivo; portanto,
S 5 .
[
]
6 Resolva:
a) | x 2 4 | 1 1 . 3 S 5 {x  V | x , 2 ou x . 6}
b) 1 2 | 2 2 x | , 3 S 5 V
c) 3 1 | 2x 1 1 |  6 S 5 {x  V | x < 22 ou x  1}
Resolução:
a)x 2 4 1 1 . 3 → x 2 4 . 2 → x 2 4 . 2 ou x 2 4 , 22 → x . 6 ou x , 2
S 5 {x ∈ Vx , 2 ou x . 6}
b)1 2 2 2 x, 3 → 22 2 x, 2 → 2 2 x . 22 → o módulo de um número é sempre positivo ou nulo, então: 2 2 x > 0 → S 5 V.
c)3 1 2x 1 1 > 6 → 2x 1 1 > 3 → 2x 1 1 > 3 ou 2x 1 1 < 23 → x > 1 ou x < 22
S 5 {x ∈ Vx < 22 ou x > 1}
p. 19
7 Esboce o gráfico da função f: V → V dada por f(x) 5 | 22x 1 4 |.
Resolução:
f(x) 5 22x 1 4
Seja g(x) 5 22x 1 4.
a 5 22 → função decrescente
zero de g: 22x 1 4 5 0 → x 5 2
Gráfico de g:
x
0
2
y
4
0
y
4
2
�6
�4
�2
0
2
4
6
x
0
2
4
6
x
f(x) 5 g(x), então:
y
4
2
�6
�4
�2
8 Esboce o gráfico da função f: V → V tal que f(x) 5 | x2 2 4x 1 3 |.
Resolução:
f(x) 5 x2 2 4x 1 3
Seja g(x) 5 x2 2 4x 1 3 → a função é quadrática
a 5 1 . 0 → a concavidade está voltada para cima
zeros de f:
x 2 2 4x 1 3 5 0 → (x 2 3)  (x 2 1) 5 0 → x 5 1 e x 5 3
 5 16 2 12 5 4
x v 5 2 b 5 2 e y v 5 2  5 21
2a
4a
Gráfico de g:
y
6
4
2
1
0
�14 �12 �10 �8
�6
�4
0
�2
2 3 4
6
8
10
12
14
x
2 3 4
6
8
10
12
14
x
�2
�4
�6
f(x) 5 g(x), então:
y
6
4
2
1
0
�14 �12 �10 �8
�6
�4
0
�2
�2
�4
�6
9 Qual é o conjunto imagem da função f: V → V tal que f(x) 5 | x 1 3 | 1 2x? V
Resolução:
f(x) 5 x 1 3 1 2x
Seja g(x) 5 x 1 3.
Estudando a função x 1 3, temos:
a 5 1 . 0 → função crescente
zero de f: x 1 3 5 0 → x 5 23
�
�3
�
Para x , 23 → x 1 3 1 2x 5 2x 2 3 1 2x 5 x 2 3 e,
para x > 23 → x 1 3 1 2x 5 x 1 3 1 2x 5 3x 1 3.
y
y � 3x � 3
2
y�x�3
0
�14 �12 �10 �8
�6
�4
�2
�3
0
2
4
6
8
10
12
14
x
�2
�4
�6
�8
 Im 5 V
10 Sendo f: V → V tal que f(x) 5 2x 1 | 2x 2 4 |, determine os intervalos nos quais ƒ é crescente. [2, 1[
Resolução:
f(x) 5 2x 1 2x 2 4
Estudando a função 2x 2 4, temos:
a 5 2 . 0 → função crescente
zero de f: 2x 2 4 5 0 → x 5 2
�
�
2
Para x , 2 → 2x 1 2x 2 4 5 2x 2 2x 1 4 5 23x 1 4 e,
para x > 2 → 2x 1 2x 2 4 5 2x 1 2x 2 4 5 x 2 4.
y
y�x�4
6
4
2
�14 �12 �10 �8
�6
�4
0
�2 0
1 2
4
6
8
10
12
14
x
�2
�4
�6
y � �3x � 4
A função é crescente para x > 2; logo, os intervalos são: [2, 1∞[
11 Esboce o gráfico da função ƒ: V → V tal que f(x) 5 2x 2 | 3 2 3x | 1 1.
Resolução:
f(x) 5 2x 2 3 2 3x 1 1
Estudando a função 3 2 3x, temos:
a 5 21 , 0 → função decrescente
zero de f: 3 2 3x 5 0 → x 5 1
�
1
�
Para x , 1 → 2x 2 3 2 3x 1 1 5 2x 2 (3 2 3x) 1 1 5 5x 2 2, e
para x > 1 → 2x 2 3 2 3x 1 1 5 2x 2 (23 1 3x) 1 1 5 2x 1 4.
y � �x � 4
y � 5x � 2
y
6
4
2
�14 �12 �10 �8
�6
�4
0
�2 0
1 2
4
6
8
10
12
14
x
�2
�4
�6
12 Considere a função ƒ tal que f(x) 5 | 2x 2 2 | 2 | x 2 3 | para todo x real. Esboce o gráfico de ƒ.
Resolução:
Estudando as funções f(x) 5 2x 2 2 e g(x) 5 x 2 3, temos:
f(x) 5 2x 2 2
a 5 2 . 0 → função crescente
zero de f: 2x 2 2 5 0 → x 5 1
�
1
�
g(x) 5 x 2 3
a 5 1 . 0 → função crescente
zero de g: → x 2 3 5 0 → x 5 3
�
3
�
Para x , 1 → 2x 2 2 2 x 2 3 5 22x 1 2 2 (2x 1 3) 5 2x 2 1;
para 1 < x , 3 →2x 2 2 2 x 2 3 5 2x 2 2 2 (2x 1 3) 5 3x 2 5 e,
para x > 3 → 2x 2 2 2 x 2 3 5 2x 2 2 2 (x 2 3) 5 x 1 1.
y � 3x � 5
y
y�x�1
6
4
2
�14 �12 �10 �8
�6
0
01 2 3 4
�4 �2
6
8
�2
�4
y�x�1
�6
10
12
14
x
p. 22
{ }
13 Resolva a equação | 2x 2 5 | 5 x 1 4. 1 , 9
3
Resolução:
2x 2 5 5 x 1 4
Pelos dados, devemos ter: x 1 4 > 0 → x > 24 (I)
2x 2 5 5 x 1 4 → x 5 9 (satisfaz (I))
ou
2x 2 5 5 2 x 2 4 → 3x 5 1 → x 5 1 (satisfaz (I))
3
1
S5
,9
3
{ }
14 Determine x de modo que x 1 2 5 x. {2}
2
Resolução:
x12
5x
2
Pelos dados, devemos ter: x > 0. (I)
x12
5 x → x 1 2 5 2x → x 5 2 (satisfaz (I))
2
ou
x12
5 2 x → x 1 2 5 22x → 3x 5 22 → x 5 2 2 (não satisfaz (I))
2
3
 S 5 {2}
15 Resolva as equações:
b) | 1 1 | x 1 1 || 5 x 
a) | 3 2 | x 2 1 | | 5 4 {26, 8}
Resolução:
a)3 2 x 2 1 5 4
Pelos dados, temos: 3 2 x 2 1 5 4 ou 3 2 x 2 1 5 24.
Se 3 2 x 2 1 5 4 → 2x 2 1 5 1 → x 2 1 5 21 (impossível)
x 21 5 7
 x 5 8 ou
Se 3 2 x 2 1 5 24 → 2 x 2 1 5 27 → x 2 1 5 7 
→ 
 x 2 1 5 27
 x 5 26
 S 5 {26, 8}
b)1 1 x 1 1 5 x
Pelos dados, temos: x > 0. (I)
1 1 x 1 1 5 x ou 1 1 x 1 1 5 2x
Se 1 1 x 1 1 5 x → x 1 1 5 x 2 1, então: x > 1. (II)
x 1 1 5 x 2 1 (não existe x)
ou
x 1 1 5 2x 1 1 → x 5 0 (não satisfaz (II))
Se 1 1 x 1 1 5 2x → x 1 1 5 2x 2 1 5 2(x 1 1) (impossível)
S5
16 Obtenha x de forma que | x2 1 1 | 2 x 5 1. {0, 1}
Resolução:
x2 1 1 2 x 5 1 → x2 1 1 5 x 1 1
Pelos dados, devemos ter: x 1 1 > 0 → x > 21 (I)
x2 1 1 5 x 1 1 ou x2 1 1 5 2x 2 1
Se x2 1 1 5 x 1 1 → x2 2 x 5 0 → x 5 0 (satisfaz (I))
ou
x 5 1 (satisfaz (I))
Se x2 1 1 5 2x 2 1 → x2 1 x 1 2 5 0 → ∆ 5 27 , 0 (não possui raízes reais)
 S 5 {0, 1}
17 Resolva a equação | x 2 2 | 2 2 5 3 2 | x 2 1|. {21, 4}
Resolução:
x 2 2 2 2 5 3 2 x 2 1 → x 2 2 1 x 2 1 5 5
Estudando as funções f(x) 5 x 2 2 e g(x) 5 x 2 1, temos:
f(x) 5 x 2 2
a 5 1 . 0 → função crescente
zero de f: x 2 2 5 0 → x 5 2
�
�
2
g(x) 5 x 2 1
a 5 1 . 0 → função crescente
zero de g: x 2 1 5 0 → x 5 1
�
�
1
Então, resolvendo x 2 2 1 x 2 1 5 5, temos:
para x , 1 → 2x 1 2 1 (2x 1 1) 5 5 → 22x 5 2 → x 5 21;
para 1 < x , 2 → 2x 1 2 1 x 2 1 5 5 (não existe x) e,
para x > 2 → x 2 2 1 x 2 1 5 5 → 2x 5 8 → x 5 4.
S 5 {21, 4}
{}
18 Resolva a equação | x | 2 | 2x 2 1 | 5 x. 1
2
Resolução:
x 2 2x 2 1 5 x
Estudando as funções f(x) 5 x e g(x) 5 2x 2 1, temos:
f(x) 5 x
a 5 1 . 0 → função crescente
zero de f: x 5 0
�
0
�
g(x) 5 2x 2 1
a 5 2 . 0 → função crescente
zero de g: 2x 2 1 5 0 → x 5 1
2
�
1
2
�
Então, resolvendo x 2 2x 2 1 5 x, temos:
para x , 0 → 2x 2 (22x 1 1) 5 x (não existe x);
para 0 < x , 1 → x 2 (22x 1 1) 5 x → x 5 1 e,
2
2
1
1
para x >
→ x 2 (2x 2 1) 5 x → x 5 .
2
2
1
S5
2
{}
10
[
]
19 Resolva | 2x 1 2 | 1 | 2x 1 1 | 5 x 1 3. x ; �| 1 v x v 2
2
Resolução:
2x 1 2 1 2x 1 1 5 x 1 3
Pelos dados, devemos ter: x 1 3 . 0 → x . 23.
Estudando as funções f(x) 5 2x 1 2 e g(x) 5 2x 1 1, temos:
f(x) 5 2x 1 2
a 5 21 , 0 → função decrescente
zero de f: 2x 1 2 5 0 → x 5 2
�
2
�
g(x) 5 2x 1 1
a 5 2 . 0 → função crescente
zero de g: 2x 1 1 5 0 → x 5 2 1
2
�
�
�
1
2
Então, resolvendo a equação 2x 1 2 1 2x 1 1 5 x 1 3:
para x 1 m x 2 ( 2x 1) x 3 m x 1 ;
2
2
1
para x 2 m x 2 2x 1 x 3 m x e,
2
para x 2 m x 2 2x 1 x 3 m x 2.
; S x ; �| 1 x 2
2
[
]
11