Aula 12: Dinâmica de Sistemas Mecânicos: Trabalho e Energia Potencial: Elementos
Ideais de Duas Forças. Energia Potencial de um Elemento de Duas Forças.
Energia Potencial de um Sistema. Exemplo.
Elementos Ideais de Duas Forças
Um elemento de duas forças, como mostrado na Fig. 19, é um elemento que tem interações
(forças de contato) com o ambiente em apenas dois pontos, A e B. Um elemento ideal de
duas forças é considerado como não tendo massa. Molas e amortecedores simples são
muitas vezes tratados como elementos ideais de duas forças. Esses elementos, por não
terem massa, estão sujeitos a acelerações infinitas se forem submetidos a um desequilíbrio
de forças ou torques. Assim, para manter finitas as acelerações, é necessário que as forças
externas, agindo sobre um elemento ideal de duas forças, estejam equilibradas a todo
instante. Isso implica que fA e fB na Fig. 19 devem ser iguais e opostas e devem atuar ao
longo da linha que une A e B, como indicado na Fig. 19b, se o elemento é o ideal. Observe
que as forças mostradas na Fig. 19 representam as forças do ambiente agindo sobre o
elemento. Geralmente, este é o ponto mais conveniente quando se discute molas e
amortecedores. Devemos, no entanto, ter a oportunidade de mudar nosso ponto de vista
quando se considera a força exercida por tal elemento numa massa anexada.
(a)
(b)
Fig. 19 – Ambiente agindo sobre um Elemento de Duas Forças em A e B. (a) Caso geral.
(b) Caso ideal onde as forças que atuam sobre o elemento devem ser iguais e opostas.
Seja L o comprimento de referência do elemento na Fig. 19b, e seja a sua elongação
denotada por e. Para determinados tipos de elementos de força as magnitudes da força f na
Fig. 19b pode ser completamente determinada pelo próprio elemento, por exemplo, pela
elongação e pela taxa de elongação ė. Nesses casos, a equação relacionando f às variáveis
de que depende é chamada a relação constitutiva para o elemento. Dois exemplos simples
são ilustrados na Fig. 20. Para uma mola ideal a força fs atuando sobre a mola depende
apenas da elongação es. Em muitos casos, a relação constitutiva é linear, pelo menos para
pequenas elongações. A relação constitutiva linear é
fs = kes,
(133)
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onde k é chamada de constante da mola. Para um amortecedor ideal a força fd agindo sobre
o amortecedor, depende apenas da taxa de elongação vd = ėd. Para pequenas taxas a relação
constitutiva pode ter a forma linear
fd = bvd,
(134)
onde b é chamada de constante do amortecedor.
Fig. 20 – Relações constitutivas para mola e amortecedor.
Voltemos ao elemento ideal de duas forças da Fig. 19b para avaliar o trabalho líquido
realizado sobre o elemento pelo ambiente durante uma mudança de configuração. Uma vez
que o par de forças externas de magnitude f sempre atua na direção AB, o trabalho líquido
realizado pelo par durante uma mudança de configuração infinitesimal, que resulta uma
elongação de é simplesmente f de. O trabalho total realizado sobre o elemento para levá-lo
de uma configuração de referência com e = 0 para uma configuração com elongação e é
dada pelo integral
∫
e
0
fde .
(135)
Em geral, o trabalho (135) depende do caminho seguido para levar o elemento da
configuração de referência para a configuração final. No caso especial onde a integral (135)
é independente do caminho e depende apenas de seu limite máximo, o trabalho líquido
realizado sobre o elemento se anula durante um ciclo fechado, que retorna o elemento para
a sua configuração inicial. Neste caso, o elemento é dito ser conservativo. Um elemento
ideal de duas forças é conservativo, se o módulo da força f é função da elongação e apenas,
ou seja, se a relação constitutiva para o elemento é aquela de uma mola ideal (Fig. 20). Essa
exigência é mais simples que a correspondente para um campo tridimensional conservativo,
que inclui a exigência de que o rotacional se anule (120), isso é devido ao fato de um
elemento ideal de duas forças ser essencialmente unidimensional.
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Energia Potencial de um Elemento de Duas Forças
Para um elemento ideal de duas forças conservativo a integral do trabalho (135) é uma
função do estado atual (ou seja, a elongação atual e do elemento) e é chamada de energia
potencial V(e) do elemento,
V (e ) = ∫ fde
e
0
(136)
No caso especial de uma mola linear com a relação constitutiva (133), a energia potencial é
V = ½ke2.
(137)
− δV = − f δe,
(138)
O negativo da variação de (136),
é o negativo do trabalho realizado sobre o elemento e, portanto, representa o incremento do
trabalho realizado pelo elemento sobre o ambiente.
É instrutivo comparar (136) com a definição correspondente (122) para a energia potencial
de um campo de força. Em um campo de força conservativo a energia potencial é o
negativo do trabalho realizado pelo campo sobre um agente externo, a partícula de prova,
ao passo que para um elemento de força conservativo a energia potencial é o trabalho
realizado sobre o elemento por um agente externo. As duas definições são consistentes. O
aparecimento de um sinal negativo em (122) e ausência de um em (136) é devido à inversão
do significado das forças envolvidas. Ao lidar com campos de força, optamos por enfatizar
o papel da força do campo agindo sobre a partícula de prova (provavelmente porque a
nossa experiência de viver no campo gravitacional faz com que seja fácil para nós nos
identificarmos com a partícula de prova). Ao lidar com elementos de força, optamos por
enfatizar o papel das forças exercidas por agentes externos sobre o elemento
(provavelmente porque a nossa experiência em lidar com molas e amortecedores torna fácil
para nós nos identificarmos com o agente externo). Em ambos os casos, o incremento de
trabalho realizado pelo campo ou pelo elemento é dado por um decréscimo da energia
potencial.
Energia Potencial de um Sistema
Considere um sistema dinâmico complexo contendo um número de partículas de massa
interligadas por elementos de força conservativos imersos em um ou mais campos de força
conservativos. Sejam as energias potenciais individuais dos elementos separados e das
partículas de massas separadas nos campos serem denotados por Vi, i = 1,..., n, e defina a
energia potencial do sistema V como a soma das energias individuais,
n
V = ∑ Vi .
i =1
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(139)
Devido à (124) e (138), o trabalho total realizado por todos os elementos e campos
conservativos em uma variação de configuração é
− δV1 – δV2 − ··· − δVn = − δV.
(140)
Assim, o trabalho total realizado por todas as forças conservativas é levado em conta pelo
decréscimo de energia potencial do sistema.
Forças de Vínculos
Na modelagem de sistemas dinâmicos complexos, é conveniente idealizar o
comportamento de muitas partes subsidiárias que servem para guiar ou restringir o
movimento das massas significativas. Idealizações comuns nesta categoria incluem: elos
rígidos de massa desprezível; cordas de massa desprezível e inextensíveis, mas
perfeitamente flexíveis; pivôs sem atrito; alavancas de massa desprezível; superfícies de
guia sem atrito e canais de guia, polias massa desprezível e sem atrito, etc. Estes
dispositivos ideais podem transmitir ou aplicar forças e podem transmitir ou restringir o
movimento, mas como um resultado da idealização, eles não executam qualquer trabalho
líquido sob uma variação da configuração do sistema.
Por exemplo, a superfície sem atrito S na fig. 21 orienta o movimento da partícula de massa
m. A superfície pode exercer uma força de reação normal N sobre m, mas essa força não
realiza trabalho sob um deslocamento da massa ao longo da superfície.
Fig. 21 – Superfície S sem atrito exerce uma força normal sobre m, a qual não realiza
trabalho.
Outro exemplo é o da alavanca rígida de massa desprezível, pivotada sem atrito, da Fig. 22.
Pode-se mostrar que a hipótese de uma alavanca de massa desprezível implica que o
conjunto de forças que atuam sobre a alavanca deve estar em equilíbrio sempre que a
alavanca está em repouso ou em movimento com aceleração finita. Isso é demonstrado
mostrando que o desequilíbrio demanda acelerações infinitas. Com a alavanca em
equilíbrio, o trabalho líquido realizado por todas as forças agindo sobre ela, durante uma
variação de configuração δθ, deve ser zero de acordo com o princípio do trabalho virtual
(22). Se não há torque de atrito no pivô, isso significa que o trabalho realizado sobre a
alavanca por f1 deve ser igual ao trabalho realizado pela alavanca contra f2. Uma alavanca
de massa desprezível então serve para transmitir incrementos de trabalho de uma parte de
um sistema para outra, sem perdas. Outro exemplo de dispositivo que transmite trabalho é o
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pantógrafo da Fig. 4. Considerando elos de massa desprezível, no caso dinâmico as forças
sobre ele estariam em equilíbrio e o trabalho realizado sobre ele por f seria justamente igual
ao trabalho realizado pelo pantógrafo contra W.
Fig. 22 – Alavanca rígida de massa desprezível pivotada sem atrito.
Exemplo. Para ilustrar o assunto desenvolvido reconsidere o regulador centrífugo mostrado
na Fig. 23. Vamos obter o incremento de trabalho líquido realizado sobre as massas numa
variação infinitesimal do ângulo θ. Considere que: os elos são rígidos e de massa
desprezível; não há atrito nas articulações; a mola descarregada tem um comprimento 2a e
uma relação constitutiva linear descrita pela constante k; um campo gravitacional uniforme
atua para baixo.
(a )
(b )
Fig. 23 – (a) Regulador centrífugo. (b) A mola é comprimida numa distância e.
Uma variação geometricamente admissível de configuração representada por δθ, resulta
numa variação na elevação δz das massas no campo gravitacional e numa variação na
compressão da mola δe. Devemos obter o incremento de trabalho realizado por todas as
forças que atuam sobre as massas sob tal variação. O cálculo é bastante simplificado
observando que os elos de massa desprezível não realizam trabalho e que o trabalho
realizado pela mola sobre os elos é transmitido integralmente para as massas. Assim, o
incremento de trabalho realizado sobre as massas por todas as forças é justamente a soma
dos incrementos de trabalho realizados pela mola e pelo campo gravitacional. Estes últimos
são convenientemente obtidos como decrementos da energia potencial. A energia potencial
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de cada massa no campo gravitacional é mgz, de acordo com (131), e a energia potencial da
mola é ½ke2, de acordo com (137). Sabendo que e = 2(a − z), como indicado na fig. 23b,
obtemos a energia potencial total do sistema,
V = 2mgz + ½k[2(a − z)]2.
(141)
(141) é função da elevação z. Substituindo z = a sin θ em (141) tem-se
V = 2mga sin θ + 2ka2(1 – sin θ)2.
(142)
Se o ângulo θ sofre uma variação δθ, o incremento de trabalho total realizado pela mola e
pelo campo gravitacional é o correspondente decréscimo na energia potencial,
− δV = − 2mga cos θ δθ + 4ka2(1 – sin θ) cos θ δθ.
(143)
Este incremento de trabalho é igual, como vimos, ao trabalho total realizado por todas as
forças que atuam em ambas as massas.
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