FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS
CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS
Centro de Ciências e Tecnologia
Curso de Graduação em Engenharia de Produção
Curso de Graduação em Engenharia Ambiental e Sanitária
Álgebra Linear I – Lista de Exercícios para a 1ª Prova
[Algumas questões foram retiradas do livro LAY, D.C., Álgebra Linear e suas Aplicações, 4ª ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2013.]
Além dos exercícios a seguir, estudem o Exercício 1 da 2ª lista, os Exercícios 1, 2, 3, 4,
5, 6, 8, 9, 10 da 3ª lista, os Exercícios 1, 3, 4 da 4ª lista e a 5ª lista toda.
1. Ao usar o método de frações parciais para resolver integrais, precisamos decompor
expressões racionais complicadas em somas de expressões mais simples que podem
ser integradas individualmente. Nos itens a seguir, são dadas as decomposições
necessárias. Escreva a soma à direita do sinal de igualdade como uma única fração e
iguale o numerador ao numerador dado à esquerda do sinal de igualdade. Lembre-se
de que dois polinômios são idênticos exatamente quando os coeficientes dos termos
de mesmo grau são iguais. Iguale os coeficientes dos numeradores à esquerda e à
direita do sinal de igualdade para obter um sistema linear e resolva o sistema para
encontrar os valores das constantes.
1
A
B
1
A B
C
a.
= +
.
c.
= +
+
.
x ( x + 1) x x + 1
x 2 ( x − 1) x x 2 x − 1
b.
3x − 1
A
B
=
+
.
( x − 1 )( x + 1) x − 1 x + 1
d.
1
x ( x + 1)
2
=
A Bx + C
+
.
x x2 + 1
2. Suponha que um conjunto de dados seja representado por um conjunto de pontos no
plano. Um polinômio interpolador para esse conjunto de dados é um polinômio cujo
gráfico contém cada ponto. Em trabalhos científicos, esse polinômio pode ser usado,
por exemplo, para obter estimativa de valores entre pontos conhecidos. Outra
aplicação é a criação de curvas para imagens gráficas na tela de um computador. Um
método para determinar um polinômio interpolador é resolver um sistema de
equações lineares. Se tivermos n pontos, procuramos um polinômio de grau n – 1.
(a) Escreva um sistema linear para determinar o polinômio interpolador para o
conjunto de dados (-1, -7), (0, -1), (1, 1), (2, 17).
(b) Escreva a matriz aumentada do sistema encontrado no item (a).
(c) Resolva o sistema encontrado no item (a) pelo método de Gauss-Jordan.
3. Onde a reta contendo os pontos (1, 3) e (-2, 6) cruza o eixo dos x?
4. Encontre a equação da parábola determinada pelos pontos (-1, -10), (1, -4) e (2, -7).
5. Suponha que as matrizes a seguir são matrizes aumentadas de sistemas lineares.
Para cada uma delas, diga se o sistema associado tem solução e, se tiver, se a solução
é única. Se o sistema tiver solução, encontre a solução geral do sistema.
 1 −1 0 0 3 
 1 0 3 2
1 0 0 5






0 0 1 0 −2
0 1 2 2
(b) 0 1 0 3  .


(a)
.
(d)
.
0 0 0 1 −1 
0 0 0 1 
0 0 1 4 






0 0 0 0 0 
0 0 0 0 
1 0 3 1 
(c) 
.
0 1 2 4 
1 0 0 1 


(e) 0 1 0 −1 .
0 0 1 2 


6. Uma rotação de Givens é uma transformação linear de ℝn em ℝn usada em programas
de computador para criar uma componente nula em um vetor (geralmente, uma coluna
de uma matriz). A matriz nas bases canônicas de uma rotação de Givens em ℝ2 tem a
forma
a −b 
2
2
b a  , a + b = 1 .


Encontre a e b de modo que (4, 3) seja transformado em (5, 0).
Uma rotação de Givens em ℝ2.
7. A equação a seguir descreve uma rotação de Givens em ℝ3. Determine a e b.
a 0 −b  2  2 5 
0 1 0  3  =  3  , a 2 + b 2 = 1 .


  
b 0 a   4   0 


8. Um grande edifício de apartamentos deverá ser construído usando técnicas
modulares de construção. A distribuição de apartamentos em cada andar deve ser
escolhida entre três plantas básicas para os andares. A planta A tem 18
apartamentos no andar, dos quais 3 são de três quartos, 7 de dois quartos e 8 de um
quarto. A planta B tem 4 apartamentos de três quartos, 4 de dois quartos e 8 de um
quarto. A planta C tem 5 apartamentos de três quartos, 3 de dois quartos e 9 de um
quarto. Suponha que o edifício tenha um total de x1 andares construídos de acordo
com a planta A, x2 andares de acordo com a planta B e x3 andares de acordo com a
planta C.
3 
(a) Que interpretação pode ser dada ao vetor x1 7  ?
 8 
(b) Escreva uma combinação linear de vetores que descreva o número total de
apartamentos com três quartos, com dois quartos e com um quarto no edifício.
(c) É possível planejar um edifício com exatamente 66 apartamentos de três quartos,
74 apartamentos de dois quartos e 136 apartamentos de um quarto? Se for
possível, existe mais de uma forma de fazer isso?
(d) É possível planejar um edifício com exatamente 43 apartamentos de três quartos,
41 apartamentos de dois quartos e 85 apartamentos de um quarto? Se for
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Álgebra Linear
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possível, existe mais de uma forma de fazer isso?
(e) Se o edifício tiver 10 andares, muda alguma coisa na sua resposta do item (d)?
9. Para cada uma das afirmações a seguir, diga se ela é verdadeira ou falsa. Justifique
sua resposta. (Se verdadeira, cite fatos ou teoremas apropriados. Se falsa, explique
por que ou dê um contraexemplo.)
(a) Toda matriz é equivalente por linhas a uma única matriz escalonada.
(b) Qualquer sistema de n equações lineares em n variáveis tem, no máximo, n
soluções.
(c) Se um sistema de equações lineares tiver duas soluções distintas, ele terá uma
infinidade de soluções.
(d) Se um sistema de equações lineares tiver uma variável livre, então terá uma
infinidade de soluções.
(e) Se um sistema de equações lineares tiver menos equações do que incógnitas,
então sempre terá uma infinidade de soluções.
(f) Se uma matriz aumentada [A | b] for transformada em [C | d] por uma série de
operações elementares, então o conjunto solução da equação Ax = b será idêntico
ao conjunto solução da equação Cx = d.
(g) Se a equação Ax = b tiver mais de uma solução, o mesmo será válido para a
equação Ax = 0.
(h) Se A for uma matriz m × n e a equação Ax = b for consistente para algum b,
então as colunas de A gerarão ℝm.
(i) Se uma matriz aumentada [A | b] puder ser transformada em uma forma
escalonada reduzida, então a equação Ax = b será consistente.
(j) Se as matrizes A e B forem equivalentes por linha (ou seja, se A puder ser
transformada em B por uma série de operações elementares), então A e B terão a
mesma forma escalonada reduzida.
(k) Se A for uma matriz m × n e a equação Ax = b for consistente para todo b∈ℝm,
então toda forma escalonada de A terá m colunas pivôs (ou seja, m colunas
contendo um elemento líder).
(l) Se A for uma matriz m × n e se A tiver uma posição de pivô em cada linha, então a
equação Ax = b terá uma única solução para cada b∈ℝm.
(m) Se nenhum dos vetores no conjunto S = {v1, v2, v3} em ℝ3 for múltiplo de escalar
de um dos outros vetores, então S será linearmente independente.
(n) Em alguns casos, é possível que quatro vetores gerem ℝ5.
(o) Se u, v ∈ℝn, então –u ∈ℒ({u, v}).
(p) Se u, v e w forem vetores não nulos em ℝ2, então w será uma combinação linear
de u e v.
(q) Se T: ℝn → ℝm for uma transformação linear, então a matriz de T em relação às
base canônicas será uma matriz n × m.
(r) Se T: ℝn → ℝm for uma transformação linear e se n < m, então T não poderá ser
sobrejetora.
(s) Se A for uma matriz m × n com m colunas pivôs, então a transformação linear T(v)
= Av será injetora.
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