caderno
de questões
Euler de Freitas Silva Junior
MATEMÁTICA
E SUAS TECNOLOGIAS
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Matemática
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v.1
Silva Junior, Euler de Freitas
Curso preparatório para o novo ENEM : caderno de questões : matemática e
suas tecnologias : livro 1 / Euler de Freitas Silva Junior. - Curitiba, PR : IESDE
Brasil, 2009.
il
64 p.
ISBN 978-85-387-0473-7
1. Exame Nacional de Ensino Médio. 2. Ensino médio - Estudo e ensino.
3. Matemática (Ensino médio) - Problemas, questões, exercícios. I. Inteligência
Educacional e Sistemas de Ensino. II Título. III. Matemática e suas tecnologias,
livro 1.
09-3782
CDD: 510
CDU: 51
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M
Matemática
Matemática
Euler de Freitas Silva Junior
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Sumário
Aula 1..........................................................................................5
Gabarito......................................................................................... 10
Aula 2 .......................................................................................13
Gabarito......................................................................................... 17
Aula 3........................................................................................21
Gabarito......................................................................................... 25
Aula 4........................................................................................29
Gabarito......................................................................................... 33
Aula 5........................................................................................ 37
Gabarito......................................................................................... 41
Aula 6........................................................................................45
Gabarito......................................................................................... 51
Aula 7........................................................................................55
Gabarito......................................................................................... 60
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 Aula 3
QUESTÃO 1
Fisicamente, para se obter o valor da velocidade média, é necessário se dividir o
deslocamento descrito por um corpo e o
intervalo de tempo necessário para descrevê-lo. Assim, se a velocidade média de um
carro é de 70km/h, então, a cada hora, em
média ele percorre 70km.
O deslocamento ao longo de uma estrada,
para viajar entre duas cidades A e B, é de
120km. Na ida, um motorista completa com
seu carro esse trajeto em 1,5 horas. Na
volta, ele reduz o tempo de viagem em 20%.
Para isso, em relação à velocidade média
de ida, a velocidade média desenvolvida por
seu veículo na volta precisa:
a) diminuir 20%.
b) diminuir 25%.
c) aumentar 15%.
d) aumentar 20%.
e) aumentar 25%.
QUESTÃO 2
“Em outubro de 2002 é divulgada a lista
vermelha das espécies ameaçadas, que
classifica 11 167 animais e plantas como
ameaçados de extinção, um acréscimo de
121 espécies desde a última edição, de
2000. Estão incluídos na lista o saiga (antílope da Ásia Central), o camelo bactriano
(que habita a China e a Mongólia) e o lince
ibérico, que corre o risco de ser o primeiro
felino selvagem a sumir do mapa em mais de
2 mil anos. Mas o relatório também traz boas
notícias. O bicho-pau da ilha Lorde Howe, na
Austrália, considerado extinto em 2000, foi
reencontrado a 23 quilômetros da ilha.”
(Almanaque Abril, 2005.)
Preocupado com essa situação, um cientista
fez um alerta: a cada 2 anos o número de
animais na lista das espécies ameaçadas
de extinção tende a crescer cerca de 1,1%.
Assinale a alternativa correta, levando-se
em consideração a reportagem e essa afirmação do cientista:
a) a afirmação dele está correta, pois os
resultados numéricos de sua análise
são muito próximos dos dados reais.
b) a afirmação dele está correta, apesar
de o acréscimo no número de espécies
ameaçadas de extinção ser mais próximo de 1,0% do que de 1,1% a cada 2
anos.
c) a afirmação dele pode estar correta,
mas os dados apresentados na reportagem não permitem que o cientista tire
conclusões tão precisas.
d) a afirmação deles está errada, pois os
resultados numéricos de sua análise
são muito distantes dos dados reais.
e) a afirmação dele está errada, pois algumas espécies animais não estão mais em
extinção, como é o caso do bicho-pau.
QUESTÃO 3
Um laboratório farmacêutico que comercializa um remédio em frascos de 40ml foi
notificado pelo Procon. Segundo esse órgão,
o tratamento completo usando esse medicamento necessitaria um pouco mais dessa
substância e isso forçaria os consumidores
a comprarem dois frascos do remédio, sendo que o segundo teria um pequeno volume
utilizado. Assim, o Procon determinou que o
laboratório realizasse um estudo para que o
remédio passasse a ser comercializado em
frascos capazes de conter todo o volume de
medicamento necessário para a realização
do tratamento completo.
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Um engenheiro contratado para resolver o
problema do laboratório levou em consideração os seguintes fatos:
1)o tratamento completo com esse remédio
dura 15 dias;
2)uma dose do medicamento deveria ser
tomada a cada 6 horas;
3)uma dose do medicamento é composta
de 25 gotas;
Após alguns cálculos aproximados, o engenheiro apresentou um laudo constatando
que:
a) a notificação do Procon era improcedente, pois com apenas um frasco o tratamento já poderia ser realizado de forma
integral.
b) a notificação do Procon era parcialmente
procedente, pois, apesar de o paciente
ter que comprar dois frascos do remédio, o segundo teria seu volume quase
que integralmente utilizado.
22
c) a notificação do Procon era procedente
e o laboratório deveria comercializar o
remédio em frascos de 200ml.
d) a notificação do Procon era procedente
e o laboratório deveria comercializar o
remédio em frascos de 150ml.
e) a notificação do Procon era procedente
e o laboratório deveria comercializar o
remédio em frascos de 50ml.
Uma moça de 1,60m e seu namorado de
1,80m desejam passear num parque próximo à casa deles. Determine quanto o rapaz
precisa reduzir sua velocidade para que eles
possam caminhar lado a lado.
a) 0,17m/s
b) 0,20m/s
c) 0,34m/s
d) 0,41m/s
e) 0,68m/s
QUESTÃO 5
Suponha que, nas Ilhas Pitcairn, o preço de
terrenos seja diretamente proporcional à
área total deles e inversamente proporcional à distância que se localizam da capital
Adamstown, onde já não existem mais terrenos disponíveis para venda. Um terreno
de 600m2 localizado a 5km da capital custa
cerca de US$90 mil.
QUESTÃO 4
O gráfico a seguir, representado por um arco
de parábola, relaciona o valor da velocidade
de caminhada de pessoas em função de
suas alturas.
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(Almanaque Abril, 2005)
4)o conta-gotas desse remédio libera gotas
de formato aproximadamente esférico de
raio 2mm.
A tabela a seguir mostra a área de alguns
terrenos e a distância que eles se encontram de Adamstown:
Terreno
A
B
C
D
Área
200m2
600m2
300m2 800m2 1 200m2
Distância
2,5km
7,5km
4,5km
8km
E
9km
Uma pessoa que possuía US$50 mil aplicou
essa quantia em um banco a uma taxa de
20% ao ano por 4 anos. Ao final desse período, qual o terreno mais caro que ela poderia
comprar entre os cinco apresentados?
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
QUESTÃO 6
Numa indústria, existem basicamente dois
tipos de despesas:
A) Os chamados custos fixos – são aqueles
que não variam com o volume de produção e, geralmente, são representados
por aluguel, água, luz, telefone etc.
B)Os chamados custos variáveis – são
aqueles que variam proporcionalmente
de acordo com o número de unidades
produzidas.
Suponha que uma indústria tenha um custo fixo mensal de R$50.000,00, um custo
de R$20,00 para fabricar cada unidade do
produto que comercializa e cujo preço de
venda unitário é de R$70,00.
Depois de vários meses tendo prejuízo, o
dono dessa indústria contratou um consultor que, após certo tempo, disse que a
empresa:
a) teria prejuízo mensal de R$20.000,00,
se produzisse e vendesse 400 unidades
do produto que fabrica.
b) teria prejuízo mensal de R$30.000,00,
se produzisse e vendesse 200 unidades
do produto que fabrica.
c) teria lucro mensal de R$10.000,00, se
produzisse e vendesse 800 unidades do
produto que fabrica.
d) teria lucro mensal de R$20.000,00, se
produzisse e vendesse 1 000 unidades
do produto que fabrica.
e) teria lucro mensal de R$30.000,00, se
produzisse e vendesse 1 600 unidades
do produto que fabrica.
QUESTÃO 7
No livro “O Homem que Calculava” de Malba
Tahan – pseudônimo de Júlio César de Melo
e Souza – uma passagem curiosa conta que
o pai de três filhos deixou seus camelos
como herança para eles. Por ocasião da
morte do patriarca, os herdeiros abriram seu
testamento e se depararam com a seguinte
divisão dos bens: metade dos camelos para
o filho mais velho, um terço dos camelos
para o filho do meio e um nono dos camelos
para o filho mais novo.
No momento da partilha, uma surpresa: o
pai havia deixado 35 camelos para serem
repartidos (número que não é divisível por
2 nem por 3 nem por 9). Um viajante que
passava pelo local e ficou sabendo dessa
situação ofereceu aos herdeiros o próprio
camelo para ajudar. Agora, com 36 camelos,
cada um recebeu algo a mais do que havia
sido deixado pelo pai e assim ficaram muito
satisfeitos. Por sua vez, o viajante:
a) ficou sem camelo algum, mas saiu satisfeito por ter resolvido o problema dos
herdeiros, afinal, matematicamente, a
divisão proposta pelo patriarca era perfeita.
b) pegou apenas seu camelo de volta e seguiu viagem, o que demonstra que sua
intervenção foi matematicamente desnecessária.
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c) pegou apenas seu camelo de volta e
seguiu viagem, o que demonstra que
sua intervenção foi matematicamente
necessária para resolver o problema da
partilha da herança entre os irmãos.
d) pegou dois camelos e seguiu viagem satisfeito por ter resolvido o problema dos
herdeiros e por ainda ter ganhado um
camelo. O aparente absurdo é explicado
pelo fato de os percentuais propostos
pelo patriarca para a divisão da herança
não totalizarem 100%.
e) pegou três camelos e seguiu viagem
tendo consciência de que havia logrado
os herdeiros, entregando a eles menos
do que o patriarca havia deixado em testamento.
QUESTÃO 8
Uma prova cuja nota pode variar entre 0
e 100 pontos possui 80 questões. A nota
final de cada aluno leva em consideração
as seguintes regras:
24
•• cada questão marcada com resposta
errada anula uma questão marcada com
resposta certa;
•• questões que não tenham nenhuma resposta assinalada são consideradas como
questões com resposta errada.
Sendo x o número de questões assinaladas
com resposta correta, qual das funções a
seguir calcula adequadamente a nota (N) de
qualquer aluno:
a) N = 2,5x – 100 (para x > 40) ou N = 0
(para x ≤ 40)
b) N = 1,25x – 80 (para x > 40) ou N = 0
(para x ≤ 40)
c) N = 5x – 200 (para x > 40) ou N = 0
(para x ≤ 40)
d) N = 2x – 80 (para x > 40) ou N = 0 (para
x ≤ 40)
e) N = 5x – 160 (para x > 40) ou N = 0
(para x ≤ 40)
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Gabarito
via sido realizada em 2000. Dependendo
do mês em que essa avaliação foi feita,
pode-se ter mais ou menos que 2 anos
entre as edições).
QUESTÃO 1
Alternativa E.
Resolução:
QUESTÃO 3
Ida)
VM =
120
= 80km/h
1,5
Alternativa E.
Resolução:
Volta)
Volume aproximado de uma gota, supondo
que ela tenha formato esférico e raio de
cerca de 2mm ou 2 . 10-3 m.
Tempo: 1,5 . 80% = 1,2h
VM =
120
= 100km/h
1,2
Aumento de velocidade média
= 1,25 (25% maior).
100
=
80
V =
4 R3
3
V =
4 . 3,14 . (2 . 10-3)3
3
V ≅ 33,5 . 10-9 m3 = 33,5 . 10-6 dm3 =
QUESTÃO 2
= 33,5. 10-6 l = 33,5 . 10-3 ml
Alternativa C.
Resolução:
Dividindo-se 121 por (11167 – 121), tem121
-se:
= 1,09%
11167 – 121
Apesar de o crescimento no número de espécies ameaçadas de extinção ter sofrido
um acréscimo de praticamente 1,1%, dois
detalhes estão incorretos na afirmação do
cientista:
Em um dia de tratamento, o paciente precisa
tomar 4 doses de 25 gotas, ou seja, 100 gotas. Isso dá um volume de 33,5 . 10-3 . 100 =
= 3,35ml por dia.
Em 15 dias, o paciente precisaria ingerir
3,35 . 15, ou seja, aproximadamente 50ml.
QUESTÃO 4
Alternativa C.
1)Esse aumento de 1,1% vale para espécies vegetais e animais juntas (pode
ser que o aumento de espécies animais
seja isoladamente maior ou menor que
essa taxa, mas isso não fica explícito
no texto).
Resolução:
2)O prazo de 2 anos para ocorrer o aumento de 1,1% no número de espécies
ameaçadas de extinção é uma suposição
do cientista (uma avaliação foi feita em
outubro de 2002, enquanto a anterior ha-
Se h = 1m, então v = 0,5m/s
(V = k . h2
0,5 = k . 12
k = 0,5).
Como o gráfico representa uma parábola, é
possível escrever que V = k . h2.
Determinação de k pelos dados retirados do
arco de parábola do gráfico:
Se h = 1,41m, então v = 1m/s (V = k . h2
1 = k . 1,412 k = 0,5, confirmando o valor
encontrado no item anterior).
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25
Para a moça e o rapaz respectivamente:
R = 70 . N
V = k . h2 → v = 0,5 . 1,62 → v = 1,28m/s
L = R – D → L = 70N – (50.000 + 20N) →
L = 50N – 50.000
V = k . h2 → v = 0,5 . 1,82 → v = 1,62m/s
Redução de velocidade do rapaz:
1,62 – 1,28 = 0,34 m/s.
b) N = 200 → L = 50 . 200 – 50.000 =
= – 40.000 (prejuízo).
QUESTÃO 5
Alternativa E.
Resolução:
Pelos dados da questão, é possível estabelecer a seguinte equação para cálculo
do preço de um terreno nas Ilhas Pitcairn.
Para isso, basta pensar que quanto maior
a área do terreno, proporcionalmente maior
será seu preço e quanto maior a distância
do terreno à capital, proporcionalmente
menor será seu preço. Partindo do terreno
que tem área de 600m2 de área, dista 5km
de Adamstown e custa US$90 mil, pode-se
escrever que:
5
Área
Preço = 90.000 .
.
Distância
600
26
Testando as alternativas:
a) N = 400 → L = 50 . 400 – 50.000 =
= – 30.000 (prejuízo).
Terreno A) Preço = US$60 mil
Terreno B) Preço = US$60 mil
Terreno C) Preço = US$50 mil
Terreno D) Preço = US$75 mil
Terreno E) Preço = US$100 mil
Montante acumulado no banco =
= 50.000 . 1,24 = US$103.680 (com essa
quantia é possível comprar o terreno E).
QUESTÃO 6
Alternativa E.
Resolução:
Seja N o número de unidades produzidas, D
as despesas, R a receita com vendas e L o
lucro ou prejuízo da empresa. Assim:
D = 50.000 + 20 . N
c) N = 800 → L = 50 . 800 – 50.000 =
= – 10.000 (prejuízo).
d) N = 1 000 → L = 50 . 1 000 – 50.000 =
= 0 (ponto de equilíbrio).
e) N = 1 600 → L = 50 . 1 600 – 50.000 =
= 30.000 (lucro).
QUESTÃO 7
Alternativa D.
Resolução:
Com 35 camelos:
Filho mais velho → 17,5 camelos
Filho do meio → 11,6 camelos
Filho mais novo → 3,9 camelos
Com 36 camelos:
Filho mais velho → 18 camelos (0,5 camelo
a mais do que lhe cabia).
Filho do meio → 12 camelos (0,4 camelo a
mais do que lhe cabia).
Filho mais novo → 4 camelos (0,1 camelo
a mais do que lhe cabia).
Somando-se o total de camelos distribuídos,
tem-se 18 + 12 + 4 = 34 camelos. Dessa
forma, sobram 2 camelos, que ficam para
o viajante.
O aparente absurdo surge do fato de metade (50%) + um terço (33,33%) + um nono
(11,11%) darem soma 94,44%, ou seja, menos que 100%. Isso significa que o patriarca,
ao sugerir sua partilha entre os filhos, não
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dividiu realmente todos os camelos de que
dispunha.
QUESTÃO 8
Alternativa A.
Resolução:
100
= 1,25 pontos
80
Assim, a nota de um aluno é 100 subtraído de
2,5 a cada questão errada, pois desconta-se
1,25 da própria questão incorreta e também
1,25 de uma questão certa que a errada
anula. Assim: N = 100 – 2,5 . (80 – x) =
= 2,5x – 100
Cada questão vale
Se x (número de respostas corretas) vale 40
ou menos, obviamente, o aluno errou pelo
menos metade das questões e portanto terá
todas suas questões anuladas. Por isso, se
x ≤ 40, N = 0.
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