26/05/2012
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Prova da segunda fase - Nível 3
Caro Aluno,
Parabéns pela sua participação na nona edição da Olimpíada de Matemática de São José do Rio Preto!
Lembre-se de que uma Olimpíada é diferente de uma prova escolar. Muitas vezes, as questões que você vai
‘enfrentar’ não serão compreendidas na primeira leitura. Leia-as novamente para entender perfeitamente o que se
pede. Depois, pense..... Bem-vindo ao mundo dos desafios !!! Não importa a quantidade de questões que vai acertar
ou errar ao final da prova. Cada exercício que você conseguir resolver representa uma vitória. Dos erros você
poderá tirar várias lições e, com certeza, passará a entender um pouco mais dessa apaixonante ciência que é a
Matemática. Desejamos a todos uma boa prova. Atenciosamente,
Comissão Organizadora
Instruções:
• O tempo de duração da prova é de três horas.
• Esta é uma prova de múltipla escolha. Cada questão é seguida por cinco alternativas (a, b, c, d, e).
Somente uma delas é correta.
• Marque as opções no quadro de respostas da folha em anexo, utilizando caneta azul ou preta.
Por exemplo, para marcar a opção B na questão 10:
10)
A B
C
D
E
Realização:
Departamento de Matemática do Ibilce - Unesp, São José do Rio Preto.
SOMA - Sociedade dos Matemáticos.
Apoio:
CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico.
AOBM - Associação Olimpíada Brasileira de Matemática.
Diretoria Regional de Ensino de São José do Rio Preto.
Secretaria Municipal de Educação de São José do Rio Preto.
O gabarito estará disponível no site da Olimpíada, a partir das 20 horas
de 03/06/2012 (segunda-feira).
www.mat.ibilce.unesp.br/olimpiada
Olimpíada de Matemática 2012
26/05/2012
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Prova da segunda fase - Nível 3
RASCUNHO
Olimpíada de Matemática 2012
26/05/2012
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Prova da segunda fase - Nível 3
x 2012 é igual a:
y 2012
2012
d) 2
e) x
y
01. Se x + y = 0 e x ≠ 0 , então
a) –1
b) 0
c) 1
02. Zé da Álgebra agrupou seis dos seguintes números –9 ; 0 ; –5 ; 5 ; –4 ; –1 ; –3 em grupos de dois de modo que a soma dos
números de cada grupo seja a mesma. Neste processo houve um número que ficou de fora. Qual foi esse número?
a) 5
b) 0
c) –3
d) –4
e) –5
03. Qual é o menor número possível de filhos em uma família, se cada um dos filhos tiver, pelo menos, um irmão e uma irmã?
a) 4 b) 2
c) 3
d) 5
e) 6
04. O sólido representado tem 6 faces triangulares, com um número em cada vértice. A soma dos
números dos vértices em cada face é igual para todas as faces. Os números 1 e 5, conforme
figura, são dois dos cinco números dos vértices. Qual é a soma desses cinco números?
a) 9
b) 12 c) 17
d) 18
e) 24
05. O número 332 – 1 tem exatamente dois divisores que são maiores do que 75 e menores do que 85. Qual é o produto desses dois
divisores?
a) 5852
b) 6560
c) 6804
d) 6888 e) 6972
06. Quantos números primos p existem de modo a que p4 +1 também seja um número primo?
a) Nenhum b) 1 c) 2 d) 3 e) Uma infinidade deles
07. A figura mostra-nos uma circunferência de diâmetro AB. O ponto D de coordenadas (0,d) pertence à circunferência.
Qual o valor de d?
a) 3
b) 2 √ 3
c) 4
d) 5
e) 6
08. Numa Competição Matemática são propostos cinco problemas. Uma vez que os problemas têm diferentes níveis de dificuldade, não existem dois problemas com a mesma pontuação (a pontuação é sempre atribuída em números inteiros não negativos). Zé da Álgebra resolveu corretamente os cinco problemas e obteve um total de 10 pontos pelos dois problemas de menor
pontuação e obteve 18 pontos pelos dois problemas de maior pontuação. Qual foi a pontuação total de Zé da Álgebra ?
a) 30 b) 32 c) 34
d) 35 e) 40
Olimpíada de Matemática 2012
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Prova da segunda fase - Nível 3
09. Participaram de uma corrida 2013 pessoas. O número de pessoas que Chico das Contas venceu é o triplo do número de pessoas
que venceram Chico das Contas. Em que lugar Chico das Contas foi classificado na corrida?
a) 503o
b) 504o c) 505o d) 1503o e) 1504o
10. DEFG é um quadrado no exterior do pentágono regular ABCDE. Quanto mede o ângulo EÂF?
a) 9o
b) 12o
c) 15o
d) 18o
e) 21o
11. Um certo número N de dois algarismos é o quadrado de um número natural. Invertendo-se a ordem dos algarismos desse
número, obtém-se um número ímpar. A diferença entre os dois números é o cubo de um número natural. Podemos afirmar que
a soma dos algarismos de N é:
a) 7
b) 10
c) 13
d) 9
e) 11
12. A pontuação de cada prova pode ser 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. Em 4 provas, a média de Ana Lítica é 4. Uma das afirmações a seguir não
pode ser verdadeira. Qual é essa afirmação?
a) Ana Lítica tirou 4 em todas as provas.
b) Ana Lítica tirou 3 exatamente duas vezes.
c) Ana Lítica tirou 3 exatamente três vezes.
d) Ana Lítica tirou 1 exatamente uma vez.
e) Ana Lítica tirou 4 exatamente duas vezes.
13. Os dois hexágonos regulares na figura são geometricamente iguais e têm um lado em comum. Qual é a fração da área do
paralelogramo que está sombreada?
a) 1/2
b) 1/3
c) 2/3
d) 2/5
e) 5/12
14. Uma caixa contém sete cartas. As cartas estão numeradas de 1 a 7. Ana Lítica tira, ao acaso, três cartas da caixa e depois Chico
das Contas tira, ao acaso, duas cartas. Ficam duas cartas na caixa. Depois Ana Lítica diz ao Chico das Contas com toda a
certeza: “Eu sei que a soma dos números das suas cartas é um número par. ” . Então, a soma dos números das cartas de Ana
Lítica é igual a:
a) 10
b) 12
c) 6
d) 9
e) 15
^
^
^
^ = 2x e EBC
15. No interior do triângulo ABC toma se um ponto E tal que AE = BE e AB = EC. Se ABE = ECA = x; EAC
= 5x,
determine o valor de x.
a) 12o
b) 10o
c) 20o
d) 18o
e) 15o
16. O módulo da diferença entre √n e 10 é menor do que 1. Quantos inteiros n existem nessas condições?
a) 19
b) 20
c) 39
d) 40
e) 41
17. Suponhamos que x2 . y . z3 = 73 e que x . y2 = 79 . Se x.y.z = 7n , então n é igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 9
e) 12
Olimpíada de Matemática 2012
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Prova da segunda fase - Nível 3
18. Na figura abaixo existem quatro quadrados superpostos de lados 11, 9, 7 e 5 cm.
Qual a diferença que existe entre a soma das áreas cinzas e a soma das áreas pretas?
a) 64
b) 60
c) 55
d) 50
e) 45
19. Considere o quadrado ABCD da figura com medida de lado 1. O ponto M é o ponto médio do segmento AB.
A área da região sombreada é igual a:
a) 1/24 b) 1/16 c) 1/8 d) 1/12
e) 2/13
20. O tabuleiro abaixo 7x7 é completado com números de acordo com a seguinte regra: a soma dos números escritos em três casas
consecutivas (na mesma fila ou mesma coluna) sempre é igual a 20.
6
4
5
x
Determine o valor de x.
a) 11
b) 5
c) 6
d) 4
e) 9
21. O primeiro elemento de uma sucessão é a1 = 0. Para n ≥ 1, temos an + 1 = an + (–1)n . n. Se ak = 2012, então o valor de k é:
a) 1004 b) 1005 c) 4024 d) 4025 e) Outro valor
Olimpíada de Matemática 2012
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Prova da segunda fase - Nível 3
22. Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo, Dernaldo e Ernaldo estão sentados em um banco do parque. Arnaldo não está sentado no extremo
direito e Bernaldo não está sentado no extremo esquerdo. Cernaldo não está sentado em nenhum extremo. Ernaldo não está
sentado junto a Cernaldo e Cernaldo não está sentado junto de Bernaldo. Dernaldo está sentado à direita de Bernado, porém
não necessariamente junto dele. Quem está sentado no extremo direito?
a) Arnaldo
b) Ernaldo c) Cernaldo
d) Bernaldo e) Dernaldo
23. Em um jogo de duas pessoas, os jogadores tiram, alternadamente, 1, 2, 3, 4 ou 5 palitos de uma pilha que inicialmente tem 2012
palitos. Ganha o jogador que tirar o último palito da pilha. Quantos palitos o jogador que começa deve tirar na sua jogada inicial
de modo a assegurar sua vitória?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
24. Uma fração a , com a e b inteiros positivos, é denominada irredutivel se o máximo divisor comum de a e b é igual a 1. Quantas
b
das 71 frações 1 , 2 , 3 ,....., 71 são irredutíveis?
72 72 72
72
a) 12
b) 18
c) 20
d) 24
e) 36
25. Um triângulo retângulo ABC com lados 5, 4 e 3 determina um hexágono cujos vértices são os vértices externos dos quadrados
construídos sobre os lados AB, BC e CA. Determine a área deste hexágono.
a) 82
b) 80
c) 78
d) 76
e) 74
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26/05/2012
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Prova da segunda fase - Nível 3
GABARITO - Nível 3
01) C
02) E
03) A
06) B
07) C
08) D
09) B 10) A
11) D
12) C
13) A
14) B
15) E
16) C
17) A
18) A
19) D
20) E
21) D
22) E
24) D
25) E
23) B
04) C
05) B
Observação: a questão 17 foi anulada para efeito de correção por não ter a
alternativa correta. Mas, nesse arquivo
ela já está corrigida
.
Olimpíada de Matemática 2012