Matemática
Produto de Matrizes
Eduardo
Matemática | Matrizes
Matrizes
Multiplicação de Matrizes
Condição para Multiplicação
A3x 2 xB2x5 = C3x5
!
A1x3 xB2x1
Não Existe
A4 x 3 xB3x 2 != C 4 x 2
!
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Matrizes
Multiplicação de Matrizes
Sejam A e B duas matrizes. Assinale verdadeiro ou falso.
( F ) Se existe o produto de A por B, então, existe o
produto de B por A.
( V ) Existe o produto da matriz A pela sua transposta.
( F ) Se A e B são matrizes quadradas, então, existo o
produto AB.
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Multiplicação de Matrizes
⎛2 6 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛8⎞
⎟ .⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
Exemplo: Resolva a equação matricial ⎜⎜
⎟ ⎜y ⎟ ⎜2⎟
1
4
⎝
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Resolução:
2x + 6y = 8
x + 4y = 2. (- 2)
2x + 6(- 2) = 8
⎛ 2x + 6y⎞ ⎛ 8 ⎞
⎜
⎟
⎜ x + 4y ⎟ =
⎝
⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
2x = 20
2x + 6y = 8
+
- 2x - 8y = - 4
x = 10
____________
- 2y = 4
y=-2
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S = {(10, -2)}
Matrizes
Multiplicação de Matrizes
Exemplo: Efetue as Multiplicações:
⎡ 2 1 ⎤⎡ 1 3 ⎤
⎢
⎥⎢
⎥
3 4 ⎦⎣ 2 0 ⎦
!⎣
⎡ 3 2 ⎤
⎡ 1 0 2 ⎤⎢
⎥
⎢
⎥⎢ 1 0 ⎥
⎣ 4 2 3 ⎦ ⎢ 2 −1 ⎥
⎣
⎦
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Matrizes
Matriz Inversa
A$.$A !1 = I
A !1 =
A
A
Se A for singular então det A = 0 e por consequência A
não possui inversa.
A terá inversa se for regular (det A ≠ 0).
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Matrizes
Matriz Inversa
⎛
Exemplo: Encontre a matriz inversa de A = ⎜ -2
⎜⎝ -1
!1
A$.$A $=$I$
Resolução :
⎛ !2 5 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 1
⎜
⎟ .⎜
⎟=⎜
⎜ !1 3 ⎟ ⎜ c d ⎟ ⎜ 0
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
0⎞
⎟
1 ⎟⎠
⎛
⎞
⎛
- 2a + 5c - 2b + 5d
⎜
⎟= ⎜ 1
⎜- 1a + 3c - 1b + 3d⎟
⎜⎝ 0
⎝
⎠
- 2a + 5c = 1
- 1a + 3c = 0
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⎞
0 ⎟
1 ⎟⎠
- 2b + 5d = 0
- 1b + 3d = 1
⎞
5 ⎟ .
3 ⎟⎠
Matrizes
Matriz Inversa
+
- 2a + 5c = 1
- 1a + 3c = 0 . (-2)
- 2b + 5d = 0
- 1b + 3d = 1 . (-2)
- 2a + 5c = 1
2a
- 6c = 0
__________
- 2b + 5d = 0
2b - 6d = - 2
____________
-c=1
c=-1
- 2a + 5(-1) = 1
- 2a = 6
a=-3
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+
-d=-2
d=2
- 2b + 5(2) = 0
- 2b = - 10
b=5
A
!1
A
!1
a
⎛
=⎜
⎝c
!3
⎛
=⎜
⎝ !1
b⎞
d⎟
⎠
5⎞
2⎟
⎠
Matrizes
Matriz Inversa
⎛ !2 5 ⎞
⎟.
Exemplo: Encontre a matriz inversa de A = ⎜
⎜ !1 3 ⎟
⎝
⎠
Resolução:
Inversa
Diagonal Principal - Posição
Diagonal Secundária -
Sinal
Divide todos pelo Determinante
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(UDESC 2014)
Se AT e A-1 representam, respectivamente, a transposta e a
⎡2 3 ⎤
inversa da matriz A = ⎢
, então o determinante da
⎥
⎣4 8 ⎦
matriz B = AT - 2A-1 é igual a:
Transposta
Inversa
Troca Linha por Coluna
Diagonal Principal - Posição
Diagonal Secundária - Sinal
Divide todos pelo Determinante
B) -83/2
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Matrizes
Matriz Inversa
Matrizes Inversas Entre Si
Quando uma é a inversa da outra.
Exemplo:
⎛ "2
⎜
⎜ "3
⎜1
⎝
"3 ⎞ ⎛ 1
⎟ ⎜
"3 ⎟ e ⎜ 0
1 ⎟⎠ ⎜ "1
⎝
9
3
0
"6 ⎞
⎟
1⎟
⎟
7⎠
"3
1
3
3
Resolução:
Se uma é a inversa da outra, vale que A . A-1 = I
⎛ "2
⎜
⎜ "3
⎜1
⎝
9
3
0
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"3 ⎞ ⎛ 1
⎟ ⎜
"3 ⎟ . ⎜ 0
1 ⎟⎠ ⎜ "1
⎝
"3
1
3
3
"6 ⎞
⎟
1 ⎟=
⎟
7⎠
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
⎝
0
1
0
0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠
Matrizes
Propriedades
Associativa
(A . B) . C = A . (B . C)
(A . B) . C ≠ A . (C . B)
Distributiva
A . (B + C) = A . B + A . C
A . (B + C) ≠ A . B + C . A
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Propriedades
Potência
A2 = A . A (A deve ser uma matriz quadrada)
A3 = A . A . A
A0 = I
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Matrizes
Propriedades
Comutativa
A.B≠B.A
Exemplo: Classifique como Verdadeiro ou Falso.
( F ) A . B = B . C è A = C
Contra-exemplo: se B for a matriz nula, A pode ser
diferente de C.
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Anulamento
Exemplo: Classifique como Verdadeiro ou Falso.
( F ) A . B = O è A = O ou B = O.
⎛2
Contra-exemplo: A = ⎜
⎜0
⎝
0⎞
⎟ e B=
0 ⎟⎠
( F ) An = O è A = O.
⎛0
Contra-exemplo: A = ⎜
⎜0
⎝
( V ) A . O = O.
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1⎞
⎟
0 ⎟⎠
⎛0
⎜
⎜0
⎝
0⎞
⎟
1 ⎟⎠
Matrizes
Elemento Neutro
A . I =A
Desigualdade de Produtos Notáveis
(A + B)² ≠ A² + 2 . A . B + B²
(a + b)² = a² + 2 . a . b + b²
(A + B)² = (A + B) . (A + B) = A² + A.B + B.A + B²
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Matrizes
Propriedades
Elemento Neutro
A + O = O + A = A (Válido na soma)
A – O = A (Não vale na diferença)
O–A=–A
Associativa
(A + B) + C = A + (B + C) (Válido na soma)
(A – B) – C ≠ A – (B – C)
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(Não vale na diferença)
Matrizes
Propriedades
Comutativa
A + B = B + A (Válido na soma)
A–B≠B–A
(Não vale na diferença)
A.B≠B.A
(Não vale no produto)
Elemento Oposto
A + (- A) = (- A) + A = O
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Matrizes
Propriedades
Transposta
(At)t = A
(nº de transposta for par è A)
(At)t)t = At (nº de transposta for ímpar è At)
(A + B)t = At + Bt
(A . B)t = Bt . At
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