Propriedades do determinante e da inversa de uma
matriz
Sejam A; B 2 Rn
n
, então:
det A:B = det A: det B
i.
A é invertível se e somente se det A 6= 0
ii.
1
iii.
det A
= (det A)
iv.
det AT = det A
1
=
1
det A
Se T = [aij ] é triangular então det T = a11 :a22 :::ann =
v.
n
Q
aii
i=1
vi.
Se A possuí uma linha ou coluna nula ou repetida, então det A = 0
vii.
Se B é o resultado de uma linha (coluna) de A é multiplicada por
então det B = det A
viii.
Se B é o resultado da permutação de duas linhas
det B = det A
2
3
2
a11
:::
a1n
a11 :::
det 4 ak1 + bk1 ::: akn + bkn 5 = det 4 ak1 :::
an1
:::
ann
an1 :::
xi.
1
A
x.
xi. A
é única
1
xii.
(AB)
xiii.
AT
1
2R
(colunas) de A então
3
2
a1n
a11
akn 5+det 4 bk1
an1
ann
=A
1
1
1
=B
= A
A
1
1 T
Exercícios
1. Seja
6= 0, mostre que se det A 6= 0, então ( A)
2. Veri…que que (AB)
1
=B
1
A
n
1
é invertível, mostre que
(a) det XAX
(b) XAX 1
1
= det A
I = X (A
=
1
A
1
1
3. Se A é invertivel, mostre que det A
4. Se X 2 Rn
1
I) X
1
1
=
1
det A .
Conclua que det A 6= 0.
:::
:::
:::
3
a1n
bkn 5
ann