DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
UNIVERSIDADE DE COIMBRA
TOPOGRAFIA
Licenciatura em Eng. Civil
2004/2005
EXERCÍCIOS TEÓRICO-PRÁTICOS
1. Efectuar as seguintes conversões:
a) Converter o ângulo do sistema centesimal 125g,3475 para o sistema sexagesimal.
b) Converter o ângulo dado no sistema sexagesimal 265o 15´ 32´´ para o sistema
centesimal.
2. Num círculo de raio 276,260 m determine qual o comprimento dos arcos correspondentes aos
seguintes ângulos ao centro:
146o 25´ 40´´
146g 25` 40``
3. Calcule a altura de um poste vertical, sabendo que a sua sombra projectada num terreno horizontal
mede 2,94 m, quando a inclinação dos raios solares é de 40g,35.
4. No triângulo [ABC] conhecem-se:
Aˆ = 35 g ,8315
Bˆ = 53g ,0407
AB = c = 275,154 m
Calcular os restantes lados.
5. Resolva o triângulo [ABC] de que se conhecem:
BC = 31,77 m
Bˆ = 41g ,70
AB = 18,95 m
6. Os lados de um triângulo medem 1046,20 m, 1797,54 m e 1318,45 m.
a) Calcular os ângulos do triângulo ao segundo.
b) Calcular a área do referido triângulo.
1
7. No triângulo [ABC] conhecem-se os elementos:
CA = 27, 20 m
BC = 56,12 m
Bˆ = 32 g ,16
Determine os valores possíveis para a medida do lado AB .
8. No triângulo [ABC] sabe-se que a = 543,90 m; b = 597,60 m e c = 625,90 m.
a) Determinar a projecção de b sobre a.
b) Determinar a área do triângulo.
9. Determine a distância de um ponto E ao alinhamento definido pelos pontos A e B, sabendo que:
AB = 200, 41 m
AE = 111,30 m
Bˆ = 30 g , 443
Ter em atenção que AB é o maior lado do triângulo [ABE].
10. Para a execução de um determinado projecto mediu-se o comprimento do segmento AC tendo-se
obtido 1210,46 m. Foram depois estacionados dois teodolitos nos pontos B e D do terreno,
situados em lados opostos de AC , tendo-se observado os seguintes ângulos:
ˆ = 49 g ,6478
DBA
ˆ = 75 g , 2577
CBD
ˆ = 70 g ,3605
ADB
ˆ = 32 g ,9414
BDC
Calcular o comprimento BD , sabendo que os quatro pontos definem o quadrilátero [ABCD].
11. Sabendo que:
rumo ( AB) = 346 g , 421
ˆ = 42 g , 421
BAC
AB = 40,00 m
e
AC = 35,00 m
determine:
a) o rumo (BA).
b) o rumo (AC).
c) o rumo (CA).
d) o rumo (BC).
2
12. Determine as coordenadas do ponto B, sabendo que:
( AB ) = 247 g ,625
AB = 2041, 26 m
M A = 12604,13 m
PA = − 9063,75 m
13. Sabendo que:
M C = −2416,53 m
M D = 324327
, m
PC = 4082,27 m
PD = 162514
, m
determine (CD) e CD .
14. Calcule as distâncias AB e AC , sabendo que:
BC = 468,36 m
( BA) = 379 g ,01
( AC) = 139 g ,20
(CB) = 257 g ,46
15. No triângulo equilátero [ABC] sabem-se as coordenadas de A:
M A = 572,85 m
PA = −1085,27 m
e ainda:
( AB) = 257 ,25
g
AB = 72,50 m
Sabendo que (AC) é um rumo do 4º quadrante, determine as coordenadas de B e C.
16. Sabendo que:
M C = −3804,72 m
M D = −4607,16 m
PC = −4696,08 m
PD = −3942,54 m
CD A = 32 g ,125
AC = 574,08 m
e que [CD] é o maior lado do triângulo [ADC], determine as coordenadas de A.
17. No terreno encontram-se definidos os seguintes pontos: E1, A, E2 e B. Sabendo que:
( E1 A ) = 64 g ,27
E1 AB = 256 g ,82
E 2 BA = 76 g ,44
determine (E2B).
3
18. Calcular (BC), sabendo que:
( AA' ) = 200 g ,00
' g
A AB = 17 ,93
g
BAC = 99 ,18
g
ACB = 55 ,59
19. No triângulo [ABC] são conhecidos os seguintes elementos:
Vértices
A
C
M (m)
8420,50
7648,30
P (m)
-6538,70
-7642,10
( AB) = 130 g ,420
(CB) = 100 g ,000
Calcular as coordenadas do ponto B.
20. As coordenadas de dois pontos B e C relativamente a um referencial com origem no ponto A são
Vértices
B
C
M (m)
449,95
1336,28
P (m)
536,23
692,34
Calcular o raio da curva circular passando pelos três pontos.
21. Estacionou-se um teodolito num ponto E do terreno e fizeram-se as seguintes observações:
Vértices Visados
Leituras Azimutais
A
85 ,246
g
B
54 ,136
C
150g,001
g
D
320g,970
F
220g,750
, FED
, BEF
e DEB
.
a) Determine os ângulos AEB
b) Sabendo que (CE) = 124g,683, determine os rumos (EF) e (AE).
22. Resolva o triângulo [ABC] sabendo que BC = 3177
, m, AB = 18,95 m
fizeram as seguintes observações:
Estação
B
Vértices Visados
A
C
e que no vértice B se
Leituras Azimutais
163g,12
121g,42
23. No campo foi efectuado o seguinte registo de observações:
Estações
E1
E2
E1
--66g,505
Vértices Visados
E2
113g,950
---
E3
175g,177
13g,004
Sabendo que E1 E2 = 539,61m , determine E 2 E 3 e E 3 E1 .
4
24. A e B são dois pontos inacessíveis do terreno, cuja distância se pretende determinar. Para isso
mediu-se um troço PQ = 10832
, m e efectuou-se o seguinte registo de observações:
Vértices Visados (leituras azimutais)
A
B
P
Q
g
g
94 ,17
157 ,35
--198g,21
18g,91
86g,95
398g,48
---
Estações
P
Q
Efectue o cálculo da referida distância, sabendo que os quatro pontos definem o quadrilátero [ABQP].
25. Com um teodolito estacionado em E fizeram-se as seguintes observações:
Estação
E
Pontos Visados
A
B
C
São ainda conhecidos:
M A = −2850,60 m
PA = 5346, 20 m
Leituras azimutais
148g,64
226g,25
364g,83
AE = 640,30 m
EB = 860,62 m
( CE ) = 240 g , 23
a) Determine as coordenadas do ponto B.
b) Sabendo que (BC) = 60g,70, determine CE .
26. No campo fizeram-se as seguintes observações azimutais:
Estação
E
A
207g,96
Vértices Visados
B
C
g
329 ,75
96g,47
D
151g,71
Sabendo que (EC) = 284g,24, determine:
a) R0E.
b) (EA), (EB) e (ED).
27. Sabe-se que (BC) = 154g,26 e que EC = 3 EB . Sabendo que, com observações feitas no campo,
2
se obtiveram as seguintes leituras azimutais:
Estação
E
A
282g,18
Vértices Visados
B
C
346g,54
90g,32
D
154g,25
calcule R0E, (EA) e (ED).
28. Para orientar aproximadamente um levantamento de pormenor, num dos pontos estacionados
muniu-se o teodolito de uma declinatória e efectuou-se a seguinte leitura para o norte magnético:
204 g , 235 . Admitindo que o norte magnético faz um ângulo de 7o W com o norte cartográfico,
determine o R0E .
5
29. Duma estação E visaram-se os pontos A, B, C e D, obtendo-se o seguinte registo de observações
azimutais:
Estação
E
Pontos visados
B
C
64,969 302,283
A
32,287
D
11,462
Sabendo que as coordenadas de E e A são:
M
P
E
500,00m
500,00m
A
204,62m
922,70m
Determinar:
a)
( EB ) , ( EC ) e ( ED )
E
a partir de R0 .
b) A leitura azimutal a efectuar para definir a pontaria para o ponto X tal que ( EX ) = 240, g 287 .
30. A e B são dois pontos do terreno referenciados por estacas. Com dois teodolitos estacionados
nesses pontos, pretende implantar-se, por intersecção de visadas, um ponto C.
Sabendo que o teodolito estacionado em B visa A com uma leitura de 100g,000, que
R0 A = 232 g , 452 e que as coordenadas de A, B e C são:
A
B
C
M
-6480,20 m
-6836,80 m
-6524,40 m
P
8494,30 m
8842,50 m
8366,70 m
determine as leituras azimutais a fazer nos dois teodolitos.
31. A parte da frente de um terreno rectangular, virada a Norte, que se destina a ser dividido em 5
lotes quadrados iguais, é definida por duas estacas A e B que têm as seguintes coordenadas locais:
M A = 100,00 m
PA = 188, 21 m
M B = 241,00 m
PB = 100,00 m
a) Determinar as coordenadas de duas estacas C e D, que definem o alinhamento
posterior dos referidos lotes, alinhamento que é paralelo a AB .
b) Um teodolito estacionado no ponto médio de AB , visando B a zeros, que leituras
azimutais indicará quando visar A, C e D?
6
32. Por intersecção de visadas, vai colocar-se uma estaca no ponto médio do alinhamento BC , sendo
C um ponto inacessível. No campo estacionaram-se dois teodolitos em A e B e fez-se o seguinte
registo:
Estações
A
B
Vértices Visados
B
C
C
A
Leituras azimutais
300g,000
8g,542
46g,325
100g,000
Determine a leitura a fazer em cada um dos teodolitos, sabendo que: M A = 100,00 m ;
PA = −100,00 m ; M B = −300,00 m e PB = −100,00 m .
33. Para a demarcação das extremidades C e D e das marcas de grande penalidade X e Y de um campo
de futebol, estacionaram-se dois teodolitos em A e em B. Indique quais as leituras azimutais a
fazer em cada um dos instrumentos, admitindo que se visam mutuamente a zeros, para se
definirem por intersecção de visadas os citados pontos.
11,00
111
100,00
100100
70,00
34. A e C são dois pontos do terreno. Com um teodolito estacionado em A visando C com 100g,00 e
outro estacionado em C visando A com 0g,00, pretende definir-se, por intersecção de visadas, dois
outros pontos B e D, situados para lados opostos em relação ao alinhamento AC . Sabendo que:
ˆ = 100 g ,00 e que a distância de B a
AC = 50,00 m; AD = 20,00 m; AB = BC ; ADC
[ AC ]
é
16,50 m , determine quais as leituras azimutais a efectuar nos dois teodolitos quando visam B e D.
7
35. Monte, Castro e Rosa são três vértices de uma triangulação topográfica independente.
Observações de campo conduziram ao seguinte registo de leituras azimutais.
Vértices Visados (leituras azimutais)
Rosa
Castro
Monte
g
--368 ,725
72g,471
223g,254
--174g,026
g
g
352 ,950
0 ,000
---
Estações
Rosa
Castro
Monte
Sabendo que:
M
608,47 m
1000,00 m
Castro
Monte
P
1596,53 m
1000,00 m
Determine ( Monte, X ) , sendo X o ponto médio do lado Castro-Rosa.
36. Determine as coordenadas de B, atendendo ao seguinte registo:
Estações
R
B
V
Vértices Visados (leituras azimutais)
R
B
V
--230g,078
311g,567
93g,687
--24g,132
g
g
398 ,173
47 ,113
---
e sabendo que:
R
V
M
-24328,72 m
-23643,18 m
P
56490,29 m
56112,30 m
37. Para se determinarem as coordenadas do vértice MATO fez-se o seguinte registo:
Estações
S. SIMÃO
EIRAS
MATO
Vértices Visados (leituras azimutais)
S. SIMÃO
EIRAS
MATO
g
--49 ,3836
0g,0074
g
117 ,4172
--200g,0493
g
g
50 ,0662
382 ,0725
---
Calcule as coordenadas planimétricas do referido vértice, sabendo que:
EIRAS
S. SIMÃO
M
-24426,86 m
-26637,92 m
P
64292,51 m
63403,26 m
8
38. C e D são dois pontos do terreno que distam entre si 200,00 m. Observações de campo conduziram
ao seguinte registo:
Estações
A
B
C
V. Visados
B
C
C
A
A
B
D
L. azimutais
352g,950
0g,000
174g,026
223g,254
368g,725
72g,471
120g,932
Sabendo que:
A
B
M
1596,53 m
608,47 m
P
1000,00 m
1000,00 m
determinar as coordenadas de C e D.
39. A costa de uma baía é limitada por dois promontórios, onde se localizam dois sinais luminosos nos
pontos S1 e S2, de coordenadas:
S1
S2
M
-10605,30 m
-9546,80 m
P
20785,40 m
20408,80 m
Para construir um novo sinal luminoso num ponto S3 da costa da referida baía, que facilite a entrada
das embarcações, fizeram-se as seguintes observações:
Estações
S1
S2
S3
Vértices Visados (l. azimutais)
S1
S2
S3
--125g,231
190g,572
59g,626
--384g,308
g
g
205 ,762
265 ,124
---
a) Determine as coordenadas planimétricas ajustadas do ponto S3.
b) Sabendo que o ponto E, situado a uma distância de S1 igual a 1/3 da distância S1S 2 e
sobre o alinhamento definido pelos pontos S1 e S2, é o ponto mais favorável para a
entrada das embarcações na baía, determine (ES3).
c) Determine as coordenadas planimétricas de um ponto O (de orientação), situado sobre
o alinhamento definido pelos pontos S3 e E, a uma distância de E de 5000,00 m no
sentido de S3 → E .
9
40. Pretende determinar-se as coordenadas dum ponto X do terreno. Para isso, utilizando os vértices de
uma triangulação local, fizeram-se as seguintes observações:
Estações
Moinho
Pico
Vértices Visados
Pico
Leituras azimutais
47 g ,904
X
373g ,648
X
254 g ,317
Moinho
203g ,873
Sabendo que:
Moinho
Pico
M
−12604, 20m
−11547,80m
P
2 4783,30m
24406,60m
efectue a referida determinação.
41. Pretende colocar-se uma estaca no ponto médio do alinhamento BC , sendo C um ponto
inacessível. Estacionaram-se dois teodolitos em A e B , efectuando-se o seguinte registo de
observações:
Estações
Vértices Visados
A
B
Leituras azimutais
300 g ,000
C
8 g ,542
C
46 g ,325
A
100 g ,000
B
Determine a leitura a fazer em cada um dos teodolitos, sabendo que:
A
B
M
100,00m
−300,00m
P
−100,00m
−100,00m
42. Atendendo ao seguinte registo de observações:
Estações
A
Moinho
Vértices Visados
Moinho
Leituras azimutais
104 g ,626
Pico
29 g ,308
Pico
47 g ,904
A
373g ,648
e sabendo que:
Moinho
Pico
M
−12604, 20 m
−11547,80 m
P
2 4783,30 m
24406,60 m
determine as coordenadas de A.
10
43. Atendendo às seguintes observações azimutais:
Estações
Vértices visados
Rocha
Cova
Vala
230 g ,608
Cova
140 g ,874
Vala
Barco
312 g ,906
8 g ,112
e às coordenadas planimétricas:
Cova
−27504,16 m
66722,08 m
M
P
Barco
−25808,74 m
64918,52 m
Rocha
−28209,04 m
68404,92 m
determine as coordenas planimétricas de Vala.
44. Entre os pontos A e B de uma triangulação estabeleceu-se uma poligonal expedita. Conhecem-se as
coordenadas:
M
-18662,13 m
-18268,28 m
-18906,72 m
-18803,67 m
A
A’
B
B’
P
64132,46 m
63752,15 m
63986,75 m
63494,98 m
Determine as coordenadas planimétricas ajustadas dos vértices 1, 2 e 3, sabendo que observações de
campo conduziram ao seguinte registo:
Vértices
A
1
2
3
B
P. Visados
A’
1
A
2
1
3
2
B
3
B’
L. azimutais
247g,73
349g,88
146g,25
16g,60
369g,72
100g,12
15g,94
226g,62
386g,35
110g,79
Distâncias
90,24 m
90,18 m
52,40 m
52,46 m
64,84 m
64,80 m
100,08 m
99,96 m
11
45. E e S são os pontos de encontro com o terreno de uma conduta aérea a construir numa dada região.
Uma poligonal de precisão apoiada nos vértices A e B conduziu ao seguinte registo de observações:
Estações
A
E
S
B
V. Visados
B
E
A
S
E
B
S
A
L. azimutais
236g,3280
176g,8618
314g,1802
181g,3486
112g,9323
397g,2090
149g,2736
57g,2969
Distâncias
153,30 m
153,34 m
147,64 m
147,66 m
106,39 m
106,45 m
Atendendo a que:
A
B
M
7282,08 m
7188,68 m
P
-3642,32 m
-3875,39 m
Determinar as coordenadas ajustadas de E e de S.
46. Para o levantamento de um terreno estabeleceu-se a seguinte poligonal de média precisão:
Estações
A
1
2
3
4
V. Visados
B
1
4
A
2
1
3
2
4
3
A
Leituras Azimutais
338g,7782
120g,1915
188g,4578
257g,2511
11g,3964
150g,9257
109g,3350
167g,6393
18g,2596
25g,1979
330g,3162
Distâncias
98,58 m
108,90 m
98,62 m
81,04 m
81,06 m
92,60 m
92,56 m
106,79 m
106,81 m
108,92 m
Determinar as coordenadas planimétricas ajustadas dos vértices 1, 2, 3 e 4, sabendo que
M A = −10240,18 m; PA = 6408,93 m e que M B = −9816, 46 m; PB = 5792,07 m .
12
47. Na observação de uma poligonal de média precisão obteve-se o seguinte registo de campo:
Estações
A1
V. Visados
A5
A2
A1
A3
A2
A4
A3
A5
A2
A3
A4
A5
L. azimutais
168g,823
36g,289
124g,181
56g,376
279g,582
194g,033
226g,787
119g,382
Distância
117,18 m
150,04 m
109,26 m
34,32 m
g
22 ,584
215g,900
A4
A1
34,88 m
Sabendo que na estação A1 o instrumento apontou a zeros para o Norte Cartográfico, e que
M A1 = 600,00m e PA1 = 600,00m ,determine as coordenadas planimétricas ajustadas dos vértices A2, A3,
A4 e A5 .
48. Para se determinar a altura de uma igreja estacionou-se um teodolito a 46, 28m de uma empena
vertical e fizeram-se observações zenitais ao topo e à base dessa empena
Ponto visado
Empena
Leituras zenitais
Base
102,40
Topo
85,23
Efectue a referida determinação.
49. Num ponto A do terreno estacionou-se um teodolito à altura de i = 1, 42 m e fizeram-se as
seguintes observações zenitais para uma vara vertical, colocada em B, com 3,00 m de altura:
Estação
V. visados
A
B
Leituras zenitais
Topo
96g,85
Base
104g,62
Determine a diferença de nível entre A e B.
50. Para se determinarem as cotas dos pontos B e C, fizeram-se as seguintes observações:
Estação
E
P. Visados
A
B
C
L. zenitais
102g,43
96g,64
100g,58
Distâncias
122,42 m
104,71 m
94,29 m
Sabendo que a cota de A é NA = 220,00 m, efectue a referida determinação.
13
51. Para determinar a altura de um pára-raios situado no telhado de uma casa, estacionaram-se dois
teodolitos nos pontos E1 e E2 do terreno, alinhados com o objecto a medir e distanciados de
15,00 m. As estações E1 e E2 encontram-se ambas localizadas do mesmo lado da casa. Com os
teodolitos fizeram-se as seguintes observações zenitais:
Estações
E1
i = 1, 46 m
E2
i = 1,58 m
Pontos Visados
Topo
Base
Topo
Base
Leituras zenitais
87g,82
92g,15
90g,31
96g,24
a) Efectue o cálculo pedido.
b) Determine dN E1E2 .
52. A figura representa, em corte, um depósito cilíndrico suspenso e centrado no ponto E do terreno e
um teodolito estacionado num ponto P à altura 1,64m.
Observações zenitais para os pontos A e C
0,39
conduziram aos seguintes valores
z A = 87, g 74 ,
zC = 93, g 81 .
a) Determine a capacidade do depósito
(em litros).
b) Sabendo
determine
que
a
cota
N P = 208,70 m ,
da
base
do
depósito.
51,28 m
53. E e S são, respectivamente, o ponto de entrada e de saída de um túnel e encontram-se
referenciados no terreno por estacas.
De um ponto A, de onde são simultaneamente visíveis os pontos E e S, fizeram-se as seguintes
observações:
Estação
A
Pontos
Visados
E
S
Leituras
azimutais
zenitais
304g,16
94g,68
g
47 ,26
102g,25
Sabendo que AE = 40, 24 m e AS = 52,18 m , determine o comprimento real do túnel.
14
54. Pretende determinar-se a distância real entre os pontos A e B, situados em margens opostas de um
rio. Para tal, estacionou-se um teodolito num ponto E do terreno e, utilizando uma vara de 2,00 m
de altura, obteve-se o seguinte registo de observações:
Estação
E
Vértices
Visados
A
Topo da vara em A
B
Topo da vara em B
Leituras
azimutais
zenitais
368g,154
98g,276
368g,154
94g,104
86g,908
98g,430
g
86 ,908
96g,510
Efectue a referida determinação.
55. Em dois pontos A e B do terreno, distanciados de 80,00 m, encontram-se duas colunas verticais
onde assenta uma plataforma horizontal. Com um teodolito estacionado num ponto C fizeram-se
as seguintes observações:
Pontos visados
Coluna
Topo
em A
Fundo
Coluna
Topo
em B
Fundo
Leituras
azimutais
zenitais
--95g,44
g
346 ,28
107g,01
--97g,85
g
52 ,19
101g,49
Determinar a altura de cada coluna e a diferença de nível entre A e B.
56. A, B e C são três pontos de uma plataforma horizontal com AB = 30, 00m . Com um teodolito
estacionado num ponto E fez-se o seguinte registo de observações:
Estações
A
B
C
leituras azimutais (g)
0,000
15,832
18,850
Leituras zenitais (g)
98,364
98,240
98,852
Determine BC .
57. A, B e C são três pontos de um alinhamento recto definido no terreno. Com um teodolito
estacionado em C obteve-se o seguinte registo de observações
Estação
C
i=1,48
V. visados
A
B
Leituras zenitais (g)
98,53
95,28
Leituras azimutais (g)
100,00
300,00
Sabendo que:
M (m)
P (m)
A
528,72
647,15
B
872,04
725,32
Determine as coordenadas planimétricas e a cota de C.
Cotas (m)
36,18
44,32
15
58. A e B são dois pontos do terreno numa das margens de um curso de água; C e D são outros dois
pontos na margem oposta. Estacionaram-se dois teodolitos em C e D e obteve-se o seguinte registo
de observações:
Estações
Pontos visados
A
B
D
C
A
B
C
D
Leituras azimutais
36,427
68,369
142,758
326,140
2,394
41,652
Sabendo que
C
D
M (m)
500,00
426,37
P (m)
800,00
328,45
Determine AB .
59. Nos pontos A e B do terreno estão situadas duas colunas verticais de betão cujos topos se
encontram ao mesmo nível. Com um teodolito estacionado em E, fizeram-se as seguintes
observações:
Leituras
azimutais
Coluna
A
Coluna
B
Topo
Base
Topo
Base
346g,18
146g,18
zenitais
98g,04
103g,97
99g,05
100g,68
Sabendo que dNAB = 1,30 m, determine a distância entre A e B.
60. Para medir a altura da Torre da Universidade de Coimbra, desde o terreno até ao topo do pau da
bandeira, estacionaram-se dois teodolitos nos pontos A e B, distanciados exactamente de 10,00 m,
tendo-se obtido o seguinte registo de observações:
Estações
A
i = 1,55 m
B
i = 1, 42 m
Pontos Visados
Topo do pau
da bandeira
Estação B
Topo do pau da
bandeira
L. azimutais
L. zenitais
38g,051
61g,120
38g,051
---
---
54g,121
Efectue o referido cálculo, sabendo que o terreno é plano na referida zona.
16
61. A e B são dois pontos do eixo dum troço recto de uma estrada com declive constante. Pretende-se
prolongar a estrada até ao ponto C do terreno, alinhado com A e B, mas de forma a manter o
declive.
Com um teodolito estacionado em E, fez-se o seguinte registo de observações:
Estação
E
P. Visados
A
B
C
Leituras
azimutais
zenitais
305g,934
98g,372
20g,520
100g,402
51g,226
101g,260
Sabendo que EA = 92,74 m e EB = 98,85 m , determine:
a) o declive de A para B.
b) qual será a escavação, ou o aterro, a efectuar em C.
62. Numa zona plana passa uma linha de postes de alta tensão, todos com a mesma altura e
intervalados de 40,00 m. De um destes postes ( poste nº 17 ) pretende derivar-se uma nova linha ,
tendo já sido colocada no terreno uma estaca num ponto E, também a 40,00 m do referido poste.
Estacionando-se um teodolito em E, com i = 1,50 m , fizeram-se pontarias aos topos dos postes nº
16 e nº 18, obtendo-se as seguintes leituras zenitais: z16 = 91g ,39 e z18 = 89 g , 28 .
Determinar a altura dos postes.
63. Considere o seguinte registo extraído de uma caderneta taqueométrica:
Estação
Pontos
Visados
azimutais
Leituras
zenitais
1
78g,034
87g,499
2
96g,282
99g,273
3
109g,128
104g,268
E
i = 1, 48m
na mira
2,720
--1,900
3,920
---2,000
--1,991
1,100
Sabendo que NE = 33,28 m determine:
a) as cotas dos pontos 1, 2 e 3;
b) o declive entre 1 e 2 e o declive entre 2 e 3.
17
64. Para a construção de uma estrada fez-se o seguinte registo de observações:
Estação
Pontos
Visados
azimutais
Leituras
zenitais
P1
68g,60
103g,28
P2
206g,00
92g,64
E
na mira
1,222
--0,300
--2,136
1,400
Determinar o declive do troço [P1P2].
65. A e B são pontos do eixo duma conduta e C é um ponto do terreno onde se pretende construir um
depósito de distribuição de água que vai ser abastecido pela conduta, por gravidade. Para isso a
conduta deverá ser prolongada até ao depósito mantendo o mesmo declive.
No campo fizeram-se as seguintes observações:
Estação
E
Pontos Visados
Leit. azimutais
Leit. zenitais
A
298,706
96,500
B
369,962
97,489
C
52,326
102,698
mira
2,930
------2,400
1,886
------1,500
------1,162
0,800
Sabendo que a altura do depósito vai ser 7,75m, determine a altura da escavação a fazer em C.
66. Pretende estabelecer-se uma conduta aérea, cujo eixo em planta é a linha poligonal [ABCD],
assente em três pilares verticais a construir nos pontos A, B e C do terreno, que se destina a
transportar água para um reservatório situado em D. A conduta necessita de ter um declive
constante de -2% no sentido de A para D. Com um taqueómetro estacionado em C fizeram-se as
seguintes observações:
Estação
C
i = 1,56 m
P. Visados
L. azimutais
L. zenitais
A
160g,48
96g,32
B
132g,34
100g,15
D
---
104g,18
L. na mira
2,912
--2,000
--1,230
1,000
1,758
--1,000
a) Determine o comprimento da conduta, em planta.
b) Calcule a altura dos pilares a construir em A, B e C, sabendo que a conduta entra no
reservatório num ponto de cota 248,26 m e que o ponto A tem cota 248,40 m.
18
67. Uma linha de alta tensão e uma linha de telecomunicações cruzam-se a alturas diferentes. Na
vertical do ponto de cruzamento colocou-se uma mira vertical e com um taqueómetro estacionado
nas proximidades fizeram-se as seguintes observações:
P. Visados
L. azimutais
L. zenitais
mira
125g,12
102g,12
linha A.T.
linha C.T.T.
125g,12
125g,12
92g,23
97g,44
L: na mira
1,740
--1,200
a) Determine a distância entre as duas linhas.
b) Calcule a distância da linha de alta tensão ao terreno.
68. Para se efectuar o estudo de uma rede de saneamento fizeram-se as seguintes observações
taqueométricas:
Estação
P. Visados
L. azimutais
L. zenitais
1
325g,42
102g,43
2
153g,78
96g,64
3
202g,64
100g,58
L. na mira
1,426
--0,200
2,025
1,500
--1,943
--1,000
C
i = 1,56 m
a) Sabendo que N3 = 254,25 m determinar N1.
b) Determinar o comprimento real da linha poligonal que passa nos vértices 1, 2 e 3.
69. Num terreno com forma triangular foram definidos os vértices A, B e C. Um taqueómetro
estacionado em B, à altura de 1,54 m, originou o seguinte registo de observações:
Estação
Pontos
Visados
azimutais
Leituras
zenitais
A
163g,25
105g,26
C
286g,73
96g,84
B
na mira
1,842
--1,000
0,644
--0,200
a) Determinar a área do terreno.
b) Sabendo que NA = 204,53 m determinar as cotas de B e C.
19
70. Com dois níveis estadiados, um bloco e outro de horizontalização automática, visaram-se miras
situadas em vários pontos do terreno, obtendo-se o seguinte registo:
Nível bloco
Nível de
horizontalização
automática
Mira em A
1,694
1,493
1,292
1,923
1,626
1,329
Mira em B
2,293
2,092
1,891
2,372
2,199
2,026
Mira em C
1,455
1,184
0,913
Sabendo que N A = 246,548 m ; determine N C .
71. Com um nível de horizontalização automática obteve-se o seguinte registo de campo:
Estações do
nível
1
2
mira em A
mira em B
mira em C
mira em D
1,548 m
1,140 m
0,732 m
1,056 m
0,844 m
0,632 m
1,987 m
1,845 m
1,703 m
1,779 m
1,567 m
1,355 m
1,854 m
1,536 m
1,218 m
------
------
1,454 m
1,048 m
0,642 m
a) Mostre que este nível tem erro de inclinação.
b) Sabendo que a cota de D é 248,645 m, determine NC.
72. Os pontos A, B, C e D definem um rectângulo com AB = DC = 20,00 m e AD = BC = 48,00 m .
O ponto E pertence a AD e AE = 15,00 m . Estacionando um nível em E e apontando para uma
mira colocada em A e B, obtiveram-se as leituras 1,735 e 0,688, respectivamente. Em seguida,
passou-se o nível para o ponto D e registaram-se as leituras 2,307; 1,248 e 1,546 para A, B e C,
respectivamente.
Admitindo que a cota de A é 100,000 m, determine as cotas de B e de C.
20
73. A e B são duas marcas de nivelamento de precisão de cotas respectivamente N A = 145,336 m e
N B = 143,612 m .
Com um nível bloco estadiado fizeram-se as seguintes observações sobre uma mira vertical
colocada nos pontos A, B, e P:
Mira em
A
B
P
leituras
1,096
0,872
0,648
2,962
2,616
2,270
1,542
1,184
0,826
Determinar N P a partir de A e verificar o resultado obtido, a partir de B.
74. Para cotar três estacas X, Y e Z duma linha de nivelamento fez-se o seguinte nivelamento
geométrico apoiado nas marcas N1 e N 2 :
Posições
da mira
N1
X
Y
Z
N2
Niveladas (m)
Atrás
Adiante
1,457
--1,932
1,785
1,505
1,321
0,065
1,510
--2,878
Sabendo que a cota de N1 = 100,000 m e a cota de N 2 = 97, 470 m , determinar as cotas
ajustadas de X, Y e Z.
21