Instituto de Ciências Exatas - Universidade Federal de Itajubá
Agosto de 2006.
Relatório de Iniciação Científica
Introdução ao Estudo do
Problema de n-corpos.
Antonio Carlos Fernandes
(Bolsista do PIBIC CNPq)
Orientador: Luis Fernando de Osório Mello
Grupo: Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais
I – Resumo
No trabalho que segue serão apresentadas algumas soluções conhecidas para
problemas de n-corpos, bem como alguns dos resultados importantes obtidos ao longo de
quase trezentos anos de estudo deste problema nas notas históricas. Utilizando métodos
diferentes, mas no fundo equivalentes, para cada uma das soluções postas mostra-se os
casos com dois e três corpos com interação gravitacional, três com interação harmônica e
alguns tratamentos em problemas com mais corpos. Para isto seguem breve introdução e
preliminares.
2
Índice
I – Resumo
02
Índice
03
Lista de símbolos
04
Lista de figuras
05
II – Introdução
06
III – Um pouco de História
09
IV – Noções básicas
10
V – Um Problema de Dois Corpos
14
VI – Problema de três corpos
24
VII – Problema de n-corpos
37
Bibliografias
45
3
Lista de símbolos
a
b
A
r r
ri , xi
)
si
r r
r&i , x& i
&rr& , &xr&
i
i
f, F
r r
f, F
m
γ
d , rij
r
p
r
L
r r
R, X
Ec
V
E
τ
k , i, j , l , n
k ij , ε , p, C
Semi-eixo maior da elipse;
Semi-eixo menor da elipse;
Área;
Vetor posição com índice;
Vetor unitário com índice;
Vetor velocidade com índice;
Vetor aceleração;
Forças escalares;
Força;
Massa;
Constante da gravitação universal;
Distância entre corpos;
Momento linear;
Momento angular;
Vetor centro de massa;
Energia cinética;
Energia Potencial;
Energia;
Período;
Índices;
Constantes.
4
Lista de figuras:
•
Figura 3-1. Representação da trajetória epicicloidal
07
•
Figura 3-2. Representação do sistema solar segundo Copérnico
08
•
Figura 4-1. Representação das cônicas
13
•
Figura 5-1. Representação de dois corpos
15
•
Figura 5-2. Campo de vetores de uma força central
17
•
Figura 5-3. Mudança de coordenadas
18
•
Figura 5-4. Plano de movimento
18
•
Figura 5-5. Elipse em coordenadas polares
20
•
Figura 5-6. Equação (5.29) leva à lei das áreas
21
•
Figura 6-1. Representação das coordenadas relativas
25
•
Figura 6-2. Representação do movimento dos três corpos
28
•
Figura 6-3. Representação do movimento dos três corpos
28
•
Figura 6-4. Representação do movimento dos três corpos
29
•
Figura 6-5. Representação do movimento dos três corpos
31
•
Figura 6-6. Representação do movimento dos três corpos
31
•
Figura 6-7. Representação do movimento dos três corpos
32
•
Figura 6-8. Representação do sistema
33
•
Figura 6-9. Representação das coordenadas de Jacobi
33
•
Figura 7-1. Representação dos corpos
37
•
Figura 7-2. Representação da solução homográfica
44
5
II – Introdução
O problema de n-corpos apareceu primeiramente como um problema de mecânica
celeste, que seria achar as equações de movimento que descreveriam as trajetórias dos
planetas no sistema solar. Colocado por Isaac Newton (1643-1727) no seu “Philosophiae
naturalis principia mathematica”, em 1687, permanece sem solução até hoje. Newton
resolveu o caso com dois corpos, mostrando que a proposta de Johannes Kepler (15711630) sobre o movimento dos corpos celestes estava correta. Isto será mostrado na seção
V.
Como será mostrado, o problema geral de n-corpos não tem solução direta para
mais de dois corpos. Portanto, muitos dos esforços para resolvê-lo quantitativamente foram
em vão. Mas nessas tentativas vários ramos da matemática e da mecânica se
desenvolveram tendo surgido técnicas de análise numérica, teoria dos sistemas dinâmicos,
teoria de perturbações, métodos quantitativos e qualitativos das equações diferenciais,
topologia, probabilidades, combinações, geometrias diferencial e algébrica, entre outros
[FD].
Hoje em dia o estudo deste problema envolve praticamente todos os tópicos citados
acima, mas com uma abordagem diferente, pois se estudam casos restritos com a intenção
de generalizá-los tanto quanto possível. Há vários trabalhos que tratam destas restrições,
que podem ser nas massas dos corpos, nas configurações ao longo do tempo, nas forças
envolvidas e muitas mais. Também são estudados casos não gravitacionais, com interações
Coulombianas, Harmônicas, de Manev e Schwarzschild, de Lennard-Jones, entre outras.
Os resultados destes estudos têm sido aproveitados em diversas áreas além da
mecânica celeste como os grupamentos de Lennard-Jones na formação de cristais ou
mesmo o uso da interação Coulombiana na descrição do átomo de hidrogênio feita por
Niels Bohr (1885-1962) que conduziu à mecânica quântica.
6
III – Um pouco de história
O movimento dos corpos celestes há muito tempo encanta os homens. Como
funciona tal movimento foi uma das primeiras perguntas da dinâmica. Com o intuito de
responder a essa pergunta diversos modelos foram criados, dois destes seguem abaixo:
•
Os gregos teocêntricos diziam que a terra ocupava o centro geométrico do universo
e os corpos celestes moviam-se ao seu redor. Primeiro sugeriram que o movimento
se dava sobre círculos concêntricos, o que em seguida se tornou insatisfatório, pois
não explicava certas observações. Em 200 a.C. o astrônomo Ptolomeu de
Alexandria propõe o uso de epiciclos, vide figura 3-1, [AF], mesmo assim alguns
fenômenos ainda não se explicavam ou a sua descrição era muito complexa. Estas
idéias foram aceitas até o século dezesseis;
•
Na primeira parte do século XVI Nicolau Copérnico (1473-1543) publica um
trabalho intitulado “De Revolutionibus Orbium Coelestium”, no qual faz a hipótese
de que a terra e os demais planetas giravam ao redor do sol. Vide figura 3-2. Este
modelo já havia sido sugerido 2000 anos antes pelo astrônomo grego Aristarco.
Mas ambos não foram bem recebidos.
Figura 3-1. Representação da trajetória epicicloidal de um
planeta no modelo proposto por Ptolomeu.
7
As idéias de Aristarco e Copérnico aproximam melhor o movimento dos corpos
celestes, como é sabido hoje. Estes pensamentos serviram para os trabalhos de Galileu
Galilei (1564-1642) e de Kepler.
Figura 3-2. Representação do sistema solar segundo Copérnico do próprio De Revolutionibus.
Os trabalhos de Galileu e Kepler dão início a estudos qualitativos da mecânica. Em
seguida temos uma era quantitativa da mecânica que começa com Newton, quando ele
resolve o problema de dois corpos.
Neste período quantitativo um caso bastante estudado era a mecânica celeste, em
especial o problema de n-corpos com forças gravitacionais, sobre o qual escreveram
grandes nomes da ciência. Uma questão bastante abordada era a estabilidade do sistema
solar, que foi analisada por Laplace usando expansão em série. Laplace provou que o
sistema solar é estável, outros também o fizeram como Lagrange, Poisson, Dirichlet e
Haretu, entre outros.
Muitos resultados importantes foram obtidos neste período dentre eles as soluções
de Euler e de Lagrange para o problema de três corpos que serão mostradas a seguir.
Em 1889 Poincaré mostrou que as séries usadas por Laplace et al divergiam para
pequenas perturbações. Isto, aliado ao fato de que em 1887 Ernst Heinrich Bruns (18481919) prova que nenhum método quantitativo poderia resolver o problema de n-corpos
[BT], põe fim a era quantitativa da mecânica. Após estas conclusões, Poincaré desenvolveu
diversos métodos para fazer estudos qualitativos sobre as equações diferenciais, o que
8
torna possível obter informações sobre as soluções de problemas, que como o de n-corpos,
não tem solução explícita [AM].
9
IV – Noções Básicas
Para complementação do texto introduzimos aqui algumas noções preliminares que
facilitarão o entendimento.
Definição 1. Os resultados obtidos por Newton, e pelos outros nomes já citados, levavam
em conta os seguintes postulados de Newton:
i)
“Tempo (Absoluto) é uma noção exata e universal, e flui uniformemente
sem relação a qualquer coisa externa”;
ii)
“Espaço (Absoluto) é uma noção exata e universal, e se estende
uniformemente sem relação com qualquer coisa externa”;
iii)
“Referencial Inercial é uma coleção coerente de instrumentos de medida
(réguas e relógios) capaz de determinar diferenças de Tempo Absoluto e de
Espaço Absoluto”;
iv)
“Momentum Linear é uma grandeza vetorial para cada sistema físico que
determina sua capacidade potencial de mudar sua vizinhança”;
v)
“Força é uma grandeza vetorial que determina a forma como os corpos
sensíveis interagem mutuamente”; [RK]
vi)
Primeira lei de Newton: Um sistema físico tem momentum linear
constante se sobre ele não atuam forças;
vii)
Segunda lei de Newton: Seja x : R → R 3 a função que descreve a trajetória
de um corpo de massa m sob a ação de um campo vetorial
F : R 7 → R 3 , F = F ( x, x& , t ) ,
onde
x& =
dx
.
dt
Então
m&x& = F ( x, x& , t ) .
viii)
Terceira lei de Newton: Para cada força aplicada sobre um sistema físico
corresponde uma reação com mesmo módulo e sentido oposto ao da força;
Para as definições a seguir considere um sistema formado por n corpos de massas
r
r
m1 , m2 ,..., mn localizadas pelos vetores r1 ,..., rn .
10
Definição 2. Chamaremos de centro de massa do sistema o seguinte vetor
n
r
X =
r
∑m r
i =1
n
i i
∑m
i =1
.
i
Definição 3. O momento angular do sistema é dado por
r n r
r
L = ∑ ri × mi r&i .
i =1
r
Definição 4. Um campo de forças F : R 3n → R 3 é dito conservativo se existe uma função
r
r
r
escalar V : R 3n → R tal que ∇V = − F . Chamamos V = V (r1 ,..., rn ) de potencial do campo
r
de forças F .
Definição 5. A energia cinética do sistema é
Ec =
r r
1 n
mi (r&i • r&i ) .
∑
2 i =1
Definição 5. A energia total ou mecânica do sistema é dada por
E = Ec + V =
r r
1 n
mi (r&i • r&i ) + V .
∑
2 i =1
r
Teorema 4-1. Se F é um campo conservativo então a energia mecânica do sistema se
conserva.
Prova.
n
r r
r
dE
= ∑ mi (r&i • &r&i ) + ∇V • r&i .
dt
i =1
Pela segunda lei e pela definição de V , temos
n
r r
r r
dE
= ∑ mi (r&i • &r&i ) − mi &r&i • r&i = 0 .
dt
i =1
□
11
r
Definição 7. Um campo de forças Fi : R 3n → R 3 é dito central se
r
r
r r
Fi = φ (r1 ,..., rn )ri ,
r
r
onde φ (r1 ,..., rn ) é uma função escalar, i = 1,..., n .
Teorema 4-2. O momento angular de um corpo que esteja num campo de forças central se
conserva.
Prova.
r
dLi
r r
r r
= mi r&i × r&i + mi ri × &r&i .
dt
Pela segunda lei temos e pela definição de campo central, temos
r
dLi
r r
= mi ri × &r&i = 0 .
dt
□
Definição 8. São chamadas de cônicas as curvas obtidas pelas interseções de cones por
planos no espaço. Temos as seguintes curvas:
x2 y2
+
= 1;
a2 b2
•
Elipse que tem equação cartesiana no plano da forma
•
Parábola que tem equação cartesiana no plano da forma y 2 = 4 px ;
•
x2 y2
Hipérbole que tem equação cartesiana no plano da forma 2 − 2 = 1 .
a
b
Estas curvas também podem ser expressas em coordenadas polares, da seguinte forma
r=
p
.
1± ε cosθ
Nesta representação a cônica depende de ε que é chamado de excentricidade, sendo que
para 0 < ε < 1 temos uma elipse, para ε = 1 parábola, para ε > 1 hipérbole e para ε = 0
um caso particular de elipse chamado circunferência. Estes seguem representados na figura
abaixo
12
Figura 4-1. Representação das cônicas com suas respectivas excentricidades.
13
V - Um Problema de Dois Corpos
A motivação para este caso foi colocada por Kepler em 1609 no seu “Astronomia
Nova” [ON]. Apoiado nas idéias de Nicolau Copérnico (1473-1543) e analisando os
resultados de 14 anos de observações astronômicas do observatório de Tycho Brahe (15461601), Kepler postula três leis, hoje conhecidas como “leis de Kepler”, as quais seguem
[HW]:
•
Os planetas se movem em elipses com o sol num dos focos;
•
O segmento que vai do sol ao planeta varre áreas iguais em tempos iguais;
•
O período de revolução é proporcional à potência três meios do eixo maior da
elipse.
Em seguida, vem o problema de dizer se estes postulados podem ser ou não obtidos
a partir de noções fundamentais. Para isto iniciam-se discussões sobre a dinâmica do
movimento planetário e, por conseguinte, tentativas de descrição da lei de interação que
regia tal movimento. Com este propósito Newton formula em 1666 a lei da gravitação
universal, na qual a força entre dois corpos isolados no espaço pode ser representada por
F=
Gm1 m2
,
d2
(5.0)
onde m1 e m2 representam a massa dos dois corpos, d a distância entre eles e G uma
constante de proporcionalidade, que de acordo com medições recentes [LT] é dada por
G = (6,67259 ± 0.00085) ⋅ 10 −11 Nm 2 Kg −2 .
Esta lei de força também pode ser colocada numa representação vetorial mais geral
r r
r
Gm1 m2 ( x 2 − x1 )
F12 =
,
r r
|| x 2 − x1 ||3
(5.1)
r
r
r
onde x1 e x2 indicam respectivamente as posições de m1 e m2 . F12 indica que estamos
falando da força que m2 realiza em m1 . Esta interação segue representada na figura abaixo
r
r
(fig. 5-1). Se quiséssemos tratar de F21 o procedimento seria análogo, bastando trocar x1
r
por x2 .
14
Figura 5-1. Representação de dois corpos em um sistema de referência.
Em palavras podemos enunciar a lei da gravitação de Newton da seguinte forma: A
interação gravitacional entre dois corpos pode ser expressa por uma força central, atrativa,
proporcional ao produto das massas destes corpos e inversamente proporcional ao
quadrado da distância entre eles [AF].
Consideremos que seja válida a lei de força proposta acima. Então pela segunda lei
e por (5.1) teremos
r r
⎧ &r& Gm2 ( x 2 − x1 )
⎪ x1 = || xr − xr ||3
⎪
2
1
r r
⎨
⎪ &xr& = Gmr1 ( x1r− x 2 )
⎪⎩ 2
|| x1 − x 2 ||3
(5.2)
O sistema acima representa uma equação diferencial em R12 . Para cada corpo devemos
determinar uma 6-upla, na qual três coordenadas são da posição e as outras da velocidade.
Portanto, temos que resolver doze equações de primeira ordem, o que seria
demasiadamente difícil devido ao acoplamento das equações. Por outro lado, podemos
fazer uso das quantidades conservadas, ou integrais primeiras do sistema, para tentar
simplificar o problema.
O centro de massa deste sistema é dado por
15
r m1 xr1 + m2 xr2
X=
m1 + m2
(5.3)
e sendo o sistema isolado, pela primeira lei de Newton, deve obedecer a seguinte equação
&r& r
X =0.
(5.4)
Isto implica que
r r r
X = a + tb .
(5.5)
Em palavras podemos fazer os seguintes enunciados: O centro de massa move-se
como se fosse uma partícula de massa igual à massa total do sistema e sujeita à força
externa aplicada ao sistema. O centro de massa de um sistema isolado move-se com
velocidade constante, em qualquer referencial inercial [AF].
r
r
Com tal informação conseguimos escrever x1 como função de x2 e vice-versa.
Sendo assim, basta resolver o problema para um corpo, ou seja, na verdade (5.2) é uma
equação diferencial em R 6 ao invés de R12 . O passo seguinte a isto é tentar uma mudança
de coordenadas que facilite a solução. Para tal, definamos a seguinte translação no sistema
de coordenadas
r r r
r = x1 − X .
(5.6)
Substituindo a expressão (5.6) na primeira equação de (5.2), obtemos
&rr& =
ou ainda,
r
3
− Gm2
r
r
(m1 + m2 ) 2 || r ||3
r
r
&rr& = −r k rr = f (r ) rr ,
|| r ||
|| r ||2 || r ||
(5.7)
(5.8)
onde
3
− Gm2
k=
m1 + m2
é usado para simplificar a notação e
r
é o vetor unitário na direção de r .
r
r
r
|| r ||
Claro está que (5.8) é uma equação diferencial em R 6 . Mais importante que isto é
percebermos nesta expressão a representação de uma força central que varia com o inverso
do quadrado da distância. A representação do campo de vetores desta força pode ser
16
observada na figura 5-2, onde enfatizamos a dependência da força com a norma do vetor
r
r.
Consideremos a mudança de unidades que faça m1 =1. Com isto o vetor momento
angular fica da forma
r r r
L = r × r& .
(5.9)
Enunciemos a seguinte proposição: O momento angular de um sistema isolado, com torque
externo igual a zero, é constante em módulo, direção e sentido [AF].
Figura 5-2. Campo de vetores de uma força central.
Para o presente caso, podemos mostrar que o enunciado acima é válido, da seguinte
forma
r
r r
dL d (r × r& ) r& r& r &r& r
=
= r ×r +r ×r = 0,
dt
dt
(5.10)
r
r
o que claramente decorre da expressão (5.8), pois nesta vemos que r é paralelo a &r& .
De (5.10) concluímos que neste sistema de coordenadas o vetor posição e o vetor
velocidade estão num mesmo plano a cada instante. Se representarmos estes vetores em
coordenadas cilíndricas, com o vetor momento angular coincidindo com o eixo z (figura
5-3) podemos usar as simetrias para simplificar o problema.
Tendo em vista a conservação da direção do momento angular podemos dizer que
(5.8) é uma equação diferencial em R 4 , pois não é necessário obter solução na direção do
eixo z para a posição e nem para a velocidade.
17
Figura 5-3. Mudança de coordenadas.
Até este ponto tratamos na verdade um problema geral de dois corpos. Para provar
as três leis de Kepler, faremos uso de uma restrição, dizendo que m2 >> m1 , o que para o
caso Sol e Terra é bastante razoável, pois se estima que no sistema solar a soma das massas
de todos os planetas e asteróides seja 0,2% da massa do Sol [SS]. Com isto estaremos
impondo que o centro de massa do sistema coincida com o centro de massa do corpo de
massa m2 . Segue a representação do plano de movimento com esta consideração (figura 54).
Figura 5-4. Plano de movimento com centro de massa no centro de m2 .
Em coordenadas polares temos
r dr
dθ ˆ
θ,
r& = rˆ + r
dt
dt
(5.11)
portanto a norma do vetor momento angular fica dada da seguinte forma
r
|| L ||≡ L = r 2θ&
(5.12)
18
donde
θ& =
L
.
r2
(5.13)
Com este resultado, vemos que (5.8) é uma equação em R 3 , pois podemos escrever a
variação temporal da coordenada angular como função da coordenada radial.
Consideremos agora a energia cinética do sistema, que em coordenadas polares fica
dada por
r r
r& ⋅ r& 1 2 2 & 2
Ec =
= r& + r θ
2
2
(
)
(5.14)
ou
1 ⎛ 2 L2 ⎞
E c = ⎜⎜ r& + 2 ⎟⎟ .
2⎝
r ⎠
(5.15)
Como já mencionado o campo gerado por (5.8) é central, ou seja, a lei de força é dada por
f (r ) =
−k
.
r2
(5.16)
Podemos então encontrar seu correspondente potencial, ou energia potencial
V (r ) =
−k
.
r
(5.17)
Reunindo os resultados de (5.15) e (5.17) a energia mecânica total do sistema fica
da forma
E (r&, r ) =
r& 2
L2 k
+ 2 − .
2 2r
r
(5.18)
Levaremos em conta o seguinte enunciado: A energia própria de um sistema
isolado permanece constante [AF]. Podemos, então, escrever r& como função de r . Com
isto reduzimos o grau de liberdade de (5.8) para apenas dois
⎛
dr
k L2
= r& = 2⎜⎜ E + − 2
dt
r 2r
⎝
⎞
⎟⎟ .
⎠
(5.19)
Considerando ainda que
dθ dθ dt θ&
=
=
dr dt dr r&
(5.20)
19
e usando as expressões (5.13) e (5.19) temos
dθ
=
dr
L
.
(5.21)
⎡ L
⎤
−k
⎢
⎥
r
L
θ (r ) = cos ⎢
⎥
2
⎢ 2E + k 2 ⎥
L ⎦
⎣
(5.22)
r2
⎛
k L2
2⎜⎜ E + − 2
r 2r
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
Integrando (5.21) vem
(
−1
)
que também pode ser escrito como
⎞
⎛
⎟
⎜
L2 ⎜
1
⎟
r (θ ) =
⎟
⎜
2
k
⎜ 1 + cos θ 2 EL + 1 ⎟
⎟
⎜
k2
⎠
⎝
(5.23)
ou ainda
r=
p
1 + ε cos(θ )
(5.24)
com
2
p=L
k
e
ε=
2 EL2
+1.
k2
A expressão (5.24) representa a equação de uma elipse com foco na origem em
coordenadas polares (figura 5-5), se for respeitada a condição 0 < ε < 1 . Isto mostra a
validade do primeiro postulado de Kepler.
Figura 5-5. Elipse em coordenadas polares.
20
Passemos agora ao segundo postulado de Kepler e mostremos que este decorre
diretamente da conservação da norma do momento angular. Para a trajetória descrita e
mostrada acima teremos a seguinte equação para o cálculo da variação da área A varrida
pelo vetor posição (figura 5-6)
r 2 dθ r 2 dθ
≡
dt
dA =
2
2 dt
(5.25)
ou
dA =
L
dt .
2
(5.26)
Como já foi mostrado acima L é constante para este movimento, portanto a área A
só depende do tempo e isto implica que para tempos iguais teremos áreas iguais. Isto
demonstra a lei das áreas.
Figura 5-6. Equação (5.29) leva à lei das áreas, acima A1=A2.
Para mostrarmos o terceiro postulado de Kepler consideremos a equação (5.24) e
passemo-la para coordenadas cartesianas. Com tal procedimento teremos
2
2
(1 − ε 2 ) 2 ⎛ pε
⎞ (1 − ε ) 2
+
x
+
y = 1.
⎜
⎟
p2 ⎝1− ε 2
p2
⎠
(5.27)
Se observarmos ainda a forma padrão para a equação da elipse em coordenadas cartesianas
(aε + x) 2 y 2
+ 2 =1
a2
b
(5.28)
e se fizermos a correspondência de (5.28) com a elipse da figura 5-5, vemos que
a=
p
1− ε 2
e
b=
p
1− ε 2
.
(5.29)
21
Sabendo que a área da elipse é
A = πab
(5.30)
Lt
2
(5.31)
e considerando a equação (5.26)
A(t ) =
de tal forma que a área total será dada por
A=
Lτ
2
(5.32)
onde τ representa o período de revolução da órbita elíptica. Tomando os resultados de
(5.30) e (5.32) temos
2πab = Lτ .
(5.33)
Inserindo agora (5.29) em (5.33) vem
p
p
2π
2πp
=
τ=
2
L (1 − ε ) 1 − ε 2
L
Portanto, com uma constante
C = 2π
1
2
p
3
2
(1 − ε )
2
3
.
(5.34)
2
k
teremos
3
τ = Ca 2 ,
(5.35)
que é o terceiro postulado de Kepler.
Para chegarmos a expressão (5.24) fizemos uso de um método, que consistia em
buscar as integrais primeiras do problema e usá-las para reduzir os graus de liberdade da
equação (5.2). Assim um sistema inicialmente em R 12 , foi posto em R 6 usando as seis
quantidades conservadas do momento linear. Em seguida usando a conservação do
3
módulo, da direção e do sentido do momento angular levou-se o sistema para R . Por fim
usamos a conservação da energia total do sistema para obter um sistema em R 2 e resolver
para r em função de θ . Em verdade usou-se o fato de existirem 10 integrais primeiras no
problema para reduzir o número de graus de liberdade do sistema de doze para dois.
22
A lei da gravitação de Newton funcionou para solução deste problema e com outro
tipo de interação não seria possível obter este resultado, isto é mostrado no
Teorema. As únicas forças centrais que resultam em órbitas fechadas para as partículas são
as da lei do inverso do quadrado e lei de Hooke [MW].
23
VI - Problemas de Três Corpos
Na história da ciência este foi um problema muito atacado, talvez pela proximidade
com o problema solúvel de dois corpos. Muitos matemáticos famosos, como Euler,
Lagrange, Jacobi, Hill, Poincaré, Levi-Civita, Birkhoff entre outros, se dedicaram ao
problema de três corpos e obtiveram vários resultados importantes. Alguns deles
resolveram casos restritos do problema Newtoniano de três corpos, o qual segue.
1 - Problema Newtoniano de Três Corpos
Considere um sistema isolado formado por três massas m1 , m2 , m3 , localizadas no
r r r
referencial do centro de massa pelos vetores r1 , r2 , r3 , no qual a interação entre duas
partículas é dada pela lei da gravitação de Newton, isto é, usando a segunda lei teremos
r r
r r
⎧&r&
Gm2 (r1 − r2 ) Gm3 (r1 − r3 )
−
⎪r1 = −
(r12 ) 3
(r13 ) 3
⎪
r r
r r
⎪⎪ r
Gm1 (r2 − r1 ) Gm3 (r2 − r3 )
&
&
−
⎨r2 = −
(r21 ) 3
(r23 ) 3
⎪
r r
r r
⎪r
Gm1 (r3 − r1 ) Gm2 (r3 − r2 )
&
&
−
⎪r3 = −
⎪⎩
(r31 ) 3
(r32 ) 3
(6.1)
onde rij indica a distância entre mi e m j .
A equação (6.1) é uma equação diferencial em R 18 , isto é, para resolvê-la precisamos
determinar uma 6-upla de coordenadas para cada corpo. Poderíamos tentar solucionar (6.1)
encontrando integrais primeiras que reduzissem seu número de graus de liberdade, porém
as integrais usadas no problema anterior não seriam suficientes, pois sendo elas apenas 10
levariam a equação 18-dimensional em outra 8-dimensional que ainda não poderia ser
resolvida diretamente. Portanto, deve-se encontrar outro método ou outras integrais
primeiras. Trabalhando com isto Bruns [BT] obteve o seguinte resultado:
Teorema de Bruns (1887). No Problema Newtoniano de três corpos no espaço,
toda integral primeira que é algébrica com respeito a posições, momento linear e tempo é
uma função algébrica das integrais primeiras clássicas: A energia, as três componentes do
momento angular e as seis integrais que vem do movimento retilíneo e uniforme do centro
de massa.
24
O teorema acima diz que no problema Newtoniano de três corpos temos apenas 10
integrais primeiras, as mesmas do problema de dois corpos. Assim para resolvê-lo
devemos encontrar, se for possível, outro método.
Existe também um caminho alternativo, que é fazer restrições sobre o movimento
dos corpos, por exemplo, dizendo que movimento dos corpos é planar. Isto leva (6.1) num
sistema 12-dimensional que ainda não pode ser resolvido diretamente.
Consideremos então que seja planar o movimento dos corpos e a seguinte mudança
de coordenadas, vide figura 6-1,
r r r
⎧s1 = r3 − r2
⎪sr = rr − rr
⎪ 2 1 3
r r
⎨r
⎪s 3 = r2 − r 1
⎪⎩sr1 + sr2 + sr3 = 0
(6.2)
r
GMs1
r
⎧&r&
⎪s1 = − s 3 + Gm1 sT
1
⎪
r
⎪&r&
GMs 2
r
⎪s 2 = − 3 + Gm 2 sT
s2
⎪
r
⎨
⎪&sr& = − GMs 3 + Gm sr
3 T
⎪ 3
s 33
⎪
r
r
r
⎪sr = s1 + s 2 + s 3 = 0
⎪ T s3 s3 s3
1
2
3
⎩
(6.3)
que leva (6.1) em
onde M é a massa total do sistema.
Figura 6-1. Representação das coordenadas relativas.
25
Lembrando que estamos no referencial do centro de massa temos
r
r
r
m1 r1 + m2 r2 + m3 r3 = 0 .
(6.4)
Combinando (6.2) e (6.4) vemos que
r
r
⎧ r m 2 s 3 − m3 s 2
⎪r1 =
M
⎪
r
r
⎪ r m3 s1 − m1 s 3
.
⎨r2 =
M
⎪
r
r
⎪ r m1 s 2 − m2 s1
⎪r 3 =
M
⎩
(6.5)
Soluções de Euler. Em 1767, Leonard Euler (1707-1783) estudou o caso em que os três
corpos permanecem sobre uma mesma reta a cada instante, ou seja, procurou soluções da
forma
r
r
⎧s 2 = λ (t ) s1
r
⎨r
⎩s 3 = −(1 + λ (t )) s1
(6.6)
onde λ (t ) é uma função contínua positiva.
Usando as duas primeiras equações de (6.3), diferenciando duas vezes a primeira equação
de (6.6) e agrupando temos
⎡
⎛
r
r
M
1
1
λ&&s1 + 2λ&s&1 = G ⎢ Mλ − 2 + (m2 − m1λ )⎜⎜1 + 2 −
λ
(1 + λ ) 2
⎝ λ
⎣
r
⎞⎤ s1
⎟⎟⎥ 3 .
⎠⎦ s1
(6.7)
isto ocorre se
r
r
s&1 = c(t ) s1
(6.8)
λ& = 0 .
(6.9)
ou
Se (6.8) é a única que se verifica temos
c ( u ) du r
r
s1 = e ∫
s1 (0) ,
(6.10)
26
o que leva a uma solução onde os corpos estão se afastando mutuamente.
Se apenas (6.9) se verifica, significa que λ deve ser uma constante positiva. Para
isto o lado direito de (6.7) deve se anular, ou seja, o polinômio
(m2 + m3 )λ5 + (3m2 + 2m3 )λ4 + (3m2 + m3 )λ3 − (3m1 + m3 )λ2 − (3m1 + 2m3 )λ − (m1 + m3 )
deve ter uma raiz positiva. De fato, pela regra dos sinais de Decartes [MW], vemos que
este polinômio tem uma raiz positiva. Assim, com este λ podemos voltar à equação (6.3) e
subtrair da primeira equação multiplicada por m3 a terceira multiplicada por m1 , donde
obtemos
r
⎫ s1
m1 + m3 (1 + λ ) 2
&sr& = −GM ⎧⎨
⎬ 3.
1
2
(
1
λ
)
[
m
m
(
1
λ
)
]
+
+
+
3
1
⎭ s1
⎩
(6.11)
Se observarmos (6.11) perceberemos que tem a mesma forma da equação (5.8)
acima. Assim usando métodos análogos podemos resolver (6.11) e obter, em coordenadas
polares um resultado da forma
s1 =
q
,
1 + δ cos θ
(6.12)
onde
q=
L12
[
]
⎧ GM m1 + m3 (1 + λ ) 2 ⎫
⎨
⎬
2
⎩ (1 + λ ) [m3 + m1 (1 + λ )]⎭
e
δ=
[
2 E1L12
]
⎧ GM m1 + m3 (1 + λ ) 2 ⎫
⎨
⎬
2
⎩ (1 + λ ) [m3 + m1 (1 + λ )]⎭
2
+1
sendo L1 e E1 , respectivamente, a norma do momento angular e a energia de s1 .
Donde obtemos
q
⎧r
⎪s1 = 1 + δ cos θ sˆ1
⎪
qλ
⎪r
sˆ1
⎨s 2 =
1 + δ cos θ
⎪
− q (1 + λ )
⎪r
⎪s 3 = 1 + δ cos θ sˆ1
⎩
(6.13)
Usando (6.5) teremos
27
⎧ r − q[m2 + λ (m2 + m3 )]
sˆ1
⎪r1 =
M (1 + δ cos θ )
⎪
⎪ r q[m3 + m1 (1 + λ )]
sˆ1
⎨r2 =
+
δ
θ
M
(
1
cos
)
⎪
⎪r
q(m1λ − m2 )
sˆ1
⎪r3 =
M (1 + δ cos θ )
⎩
(6.14)
A expressão (6.14) é chamada solução gráfica, pois dela temos informação apenas sobre as
configurações dos corpos no espaço.
Se nas condições iniciais temos δ = 0 , teremos uma solução onde os corpos
mantêm as distâncias mútuas fixas e permanecem sobre uma reta a cada instante, vide
figura (6-2). Essa solução é chamada de equilíbrio relativo.
Figura 6-2. Representação do movimento dos três corpos. Aqui m1 : m2 : m3 = 1 : 2 : 3 .
Com outras condições iniciais podemos ter elipses, parábolas ou hipérboles
dependendo dos valores de E e das massas, vide figuras (6-3) e (6-4).
Figura 6-3. Representação do movimento dos três corpos. Aqui m1 : m2 : m3 = 1 : 2 : 3 .
28
Figura 6-4. Representação do movimento dos três corpos com duas massas iguais e condições apropriadas.
Para as soluções não periódicas com os corpos sobre hipérboles ou parábolas, devemos ter
E ≥ 0 [VC].
Soluções de Lagrange. Em 1772, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) encontrou soluções
de (6.3) que satisfizessem.
r
sT = 0 .
(6.15)
Isto acontece quando s1 = s 2 = s 3 , o que leva a uma solução com os corpos sobre os
vértices de triângulos eqüiláteros ou corpos sobre uma mesma reta, que é a solução de
Euler com um valor fixo para λ . Assim, desacoplamos imediatamente as equações em
(6.3), donde então recebemos
r
⎧&r&
GMs1
⎪s1 = − 3
s1
⎪
r
⎪⎪ r
GMs 2
&
&
⎨s 2 = − 3
s2
⎪
r
⎪r
GMs 3
&
&
⎪s 3 = − 3
⎪⎩
s3
(6.16)
As equações (6.16) estão na mesma forma de (5.8). Estão usando métodos similares aos
usados acima podemos encontrar suas soluções. Donde obtemos
⎧r
b
⎪s1 = 1 + ξ cos θ sˆ1
⎪
⎪r
b
sˆ 2
⎨s 2 =
1 + ξ cos θ
⎪
⎪r
b
sˆ3
⎪s 3 =
1 + ξ cos θ
⎩
(6.17)
29
onde
b=
L12
GM
e
2 E1L12
+1 .
M
ξ=
Lembrando ainda que para a solução eqüilátera temos
⎡ −1
⎢
2
⎢ 3
sˆ 2 = ⎢−
2
⎢ 0
⎢
⎣
⎡− 1
⎢
2
⎢ 3
sˆ3 = ⎢
2
⎢ 0
⎢
⎣
3
2
−1
2
0
− 3
−1
0
2
2
0⎤⎥
⎥
0⎥ sˆ1
0⎥
⎥
⎦
(6.18)
0⎤⎥
⎥
0⎥ sˆ1 .
0⎥
⎥
⎦
(6.19)
Por fim encontramos
⎡ (m3 − m 2 )
⎢
2
⎢ 3 (m − m )
r
b
3
2
r1 =
⎢
2
M (1 + ξ cos θ ) ⎢
0
⎢
⎢⎣
⎡(2m3 + m1 )
⎢
2
⎢
r
b
3m1
r2 =
⎢
2
M (1 + ξ cos θ ) ⎢
0
⎢
⎣⎢
⎡− (m1 + 2m2 )
⎢
2
⎢ − 3m
r
b
1
r3 =
⎢
2
M (1 + ξ cos θ ) ⎢
0
⎢
⎣⎢
−
3 (m3 + m 2 )
(m3 − m 2 )
0
2
0
2
3m1
2
− (m1 + 2m2 )
0
⎤
0⎥
⎥
0⎥ sˆ1
0⎥⎥
⎥⎦
⎤
0⎥
⎥
0⎥ sˆ1
0⎥
⎥
⎥⎦
3m1
2
(2m3 + m1 )
2
2
⎤
0⎥
⎥
0⎥ sˆ1
0⎥
⎥
⎥⎦
(6.20)
(6.21)
(6.22)
30
Se nas condições iniciais tivermos ξ = 0 , teremos novamente uma solução em que
a distância entre os corpos é preservada, vide figura (6-5). Esta solução também é chamada
de equilíbrio relativo.
Figura 6-5. Representação do movimento dos três corpos. Massas iguais.
Para soluções com ξ ≠ 0 , teremos elipses, hipérboles ou parábolas dependendo dos valores
de E , vide figuras (6-6) e (6-7).
Figura 6-6. Representação do movimento dos três corpos. Massas iguais.
Para as soluções não periódicas com os corpos sobre hipérboles ou parábolas, devemos ter
E ≥ 0 [VC].
31
Figura 6-7. Representação do movimento dos três corpos. m1 < m 2 < m3 .
Animações em Java das soluções de Euler e Lagrange podem ser encontradas em [VC] e
[BE].
2 - Um Problema de três Corpos Analiticamente Solúvel.
Considere um sistema isolado formado por três corpos, localizados num referencial
r r r
inercial pelos vetores r1 , r2 e r3 de massas m1 , m2 e m3 , respectivamente (vide fig. 6-8).
Suponha que as forças de interação são proporcionais à coordenada relativa entre os pares
de corpos, ou seja,
r
r r
r r
⎧m1&r&1 = −k12 (r1 − r2 ) − k13 (r1 − r3 )
⎪⎪ r
r r
r r
⎨m2 &r&2 = −k 21 (r2 − r1 ) − k 23 (r2 − r3 )
r r
r r
⎪ &r&
⎪⎩m3 r3 = − k 31 (r3 − r1 ) − k 32 (r3 − r2 )
(6.23)
onde os k ij > 0 são constantes e são tais que k ij = k ji , para obedecer a terceira lei Newton
na forma fraca, ou seja, as forças entre dois corpos precisam ser iguais e opostas.
Vemos que (6.23) é uma equação diferencial em R18 , que não pode ser resolvida
diretamente. Devemos observar as simetrias do problema e tentar simplificá-lo.
Comecemos mudando as coordenadas da equação para coordenadas de Jacobi [FC].
32
r m1rr1 + m2 rr2 + m3 rr3
R=
m1 + m2 + m3
r r r
ρ = r1 − r2
r r m1rr1 + m2 rr2
λ = r3 −
m1 + m2
(6.24)
(6.25)
(6.26)
r
r
onde R representa a coordenada do centro de massa do sistema, ρ é a coordenada do
r
corpo 1 relativa ao corpo 2 e λ a coordenada do corpo 3 relativa ao centro de massa dos
outros dois corpos,vide figura (6-9).
r
r
Figura 6-8. Representação do sistema. Na figura f ij = k ij (ri − r j )
é parte da força explicitada em (6.1) do corpo j em relação ao corpo i.
Figura 6-9. Os vetores das coordenadas de Jacobi.
33
Nessas coordenadas escrevemos os vetores posição como sendo
r r m r m r
r1 = R − 3 λ + 2 ρ
M
M 12
(6.27)
r r m r m r
r2 = R − 3 λ − 1 ρ
M
M 12
(6.28)
r r M r
r3 = R + 12 λ
M
(6.29)
onde M = m1 + m2 + m3 e M 12 = m1 + m2 .
Como no caso de dois corpos quando transladamos o sistema de referência para o
centro de massa, sabendo da conservação do momento linear, reduzimos 6 graus de
liberdade, de modo análogo, isto também ocorre aqui. Portanto, se substituímos as
expressões (6.27)-(6.29) em (6.23) teremos
&r& r
R=0
(6.30)
r
r
Γ r
λ
M1
(6.31)
&r&
r
Γ r
ρ
M2
(6.32)
ρ&& + ω12 ρ =
λ + ω 22 λ =
onde para facilitar a notação usamos
m1m2
,
m1 + m2
(6.33)
m3 (m1 + m2 )
,
m1 + m2 + m3
(6.34)
k m2 + k m2 ⎞
1 ⎛
⎜⎜ k12 + 13 2 2 23 1 ⎟⎟ ,
M1 ⎝
M 12
⎠
(6.35)
ω 22 =
1
(k13 + k 23 ) ,
M2
(6.36)
Γ=
m2 k13 − m1k 23
,
M 12
(6.37)
M1 =
M2 =
ω12 =
34
Vale mencionar que a mudança de coordenadas reduz o número de graus de
liberdade do problema de 18 para 12 nas equações (6.30)-(6.32), ou seja, nestas
coordenadas a solução de (6.30) é direta, portanto, basta resolver as demais expressões.
Notemos ainda que as expressões (6.31) e (6.32), são equações de movimento de dois
osciladores harmônicos acoplados por Γ e esta constante só se anula quando
k13 m2 = k 23 m1 .
Para desacoplar as duas expressões acima, usaremos outra mudança de
coordenadas, que na verdade é uma transformação de coordenadas, pois é uma mistura de
rotação e mudança de escala [FC]. Esta transformação pode ser entendida como um
automorfismo, que é mostrado abaixo:
T : R3 × R3 → R3 × R3
⎛⎛ M ⎞
r r
( x , y ) a ⎜ ⎜⎜ E ⎟⎟
⎜ ⎝ M1 ⎠
⎝
1/ 2
1/ 2
r ⎛M ⎞
cos(ϕ ) x + ⎜⎜ E ⎟⎟
⎝ M1 ⎠
1/ 2
r ⎛M ⎞
sin(ϕ ) y,−⎜⎜ E ⎟⎟
⎝ M2 ⎠
1/ 2
r ⎛M ⎞
sin(ϕ ) x + ⎜⎜ E ⎟⎟
⎝ M2 ⎠
r⎞
cos(ϕ ) y ⎟
⎟
⎠
onde M E com dimensão de massa e ϕ adimensional são parâmetros arbitrários. Usando a
r
r
inversa do automorfismo T −1 nas variáveis ρ e λ , temos
r
⎛M
ρ = ⎜⎜ E
⎝ M1
⎞
⎟⎟
⎠
⎛M
λ = ⎜⎜ E
⎝ M2
⎞
⎟⎟
⎠
r
1/ 2
1/ 2
r ⎛M
cos(ϕ ) x − ⎜⎜ E
⎝ M1
⎞
⎟⎟
⎠
r ⎛M
sin(ϕ ) x + ⎜⎜ E
⎝ M2
⎞
⎟⎟
⎠
1/ 2
1/ 2
r
sin(ϕ ) y ,
(6.38)
r
cos(ϕ ) y ,
(6.39)
Substituindo (6.38) e (6.39) em (6.31) e (6.32), teremos novas equações diferenciais, ainda
acopladas
&xr& + α 2 xr = γyr ,
(6.40)
&yr& + β 2 yr = γxr ,
(6.41)
onde novamente para simplificar as notações usamos
35
α 2 = ω12 cos 2 (ϕ ) + ω 22 sin 2 (ϕ ) −
Γ
sin( 2ϕ ) ,
( M 1 M 2 )1 / 2
(6.42)
β 2 = ω12 sin 2 (ϕ ) + ω 22 cos 2 (ϕ ) +
Γ
sin( 2ϕ ) ,
( M 1 M 2 )1 / 2
(6.43)
1
2
γ = (ω12 − ω 22 ) sin(2ϕ ) +
Γ
cos(2ϕ ) .
( M 1 M 2 )1 / 2
(6.44)
Agora podemos usar o fato de ϕ ser arbitrário e escolher um valor que anule a constante
de acoplamento γ , este é o motivo da escolha do automorfismo acima para fazer a
mudança de coordenadas. Quando
⎛
⎞
2Γ
⎟
2ϕ = arc cot g ⎜⎜ − 2
2
1/ 2 ⎟
⎝ (ω1 − ω 2 )( M 1 M 2 ) ⎠
(6.45)
a constante γ se anula, portanto quando substituímos (6.23) em (6.18) e (6.19), teremos
&xr& + Ω 2 xr = 0 ,
1
(6.46)
&yr& + Ω 2 yr = 0 ,
2
(6.47)
onde
1
1⎡
Ω = ω12 + ω 22 + ⎢ ω12 − ω 22
2
2⎣
1
1⎡
Ω = ω12 + ω 22 + ⎢ ω12 − ω 22
2
2⎣
2
1
2
1
(
(
)
)
(
(
)
4Γ 2 ⎤
+
⎥
M 1M 2 ⎦
1/ 2
)
4Γ 2 ⎤
+
⎥
M 1M 2 ⎦
1/ 2
2
2
,
(6.48)
,
(6.49)
r
r
As soluções de (6.46) e (6.47) são conhecidas. Tendo resolvido para x e y aplicamos a
r
r
r
transformação linear acima e obteremos as soluções para ρ e λ . Como a solução para R
também é conhecida temos uma solução analítica para o problema de três corpos, claro que
com a restrição de forças harmônicas como as colocadas em (6.23). Vale notar que o
método de transformação de coordenadas usado acima funciona para vários tipos de
equações diferenciais acopladas.
36
VII – Problema de n-corpos
Considere um sistema isolado formado por n massas m1 , m2 ,..., mn localizadas
r r
r
pelos vetores r1 , r2 ,..., rn , respectivamente, vide figura (7-1). Suponha que a interação sobre
a i-ézima partícula seja dada por
r r
n
r
k ik (ri − rk )
,
Fi = −∑
p
rij
k =1
(7.1)
k ≠i
onde k ij = k ji são constantes, k ii = 0 e p ∈ R é um parâmetro arbitrário. Vale notar que a
arbitrariedade de k ij e p torna (7.1) uma representação bastante geral de força, pois se
k ij = Gmi m j e p = 3 teremos representada a força gravitacional de Newton; no caso de
p = 0 teremos uma força harmônica.
Figura 7-1 Representação dos n corpos.
Pela segunda lei temos
r r
n
k1k (r1 − rk )
⎧ &r&
⎪m1 r1 = −∑
p
r1k
k =1
⎪
k ≠1
⎪
r r
n
⎪m &rr& = − k 2 k (r2 − rk )
∑
p
⎪ 2 2
r2 k
k =1
⎨
k ≠2
⎪
⎪M
r r
n
⎪ r
k nk (rn − rk )
&
&
⎪mn rn = −∑
p
rnk
⎪
k =1
k ≠n
⎩
(7.2)
37
Definição. [AM] Chamamos de conjunto colisão o seguinte
∆=
U∆
ij
,
(7.3)
1≤i ≤ n
onde
{
}
r
r r
r
r r
∆ ij = R = (r1 , r2 ,..., rn ) ∈ R 3n / ri = r j .
(7.4)
Quando tomamos condições iniciais
r
R0 ∈ R 3 n − ∆
r
V0 ∈ R 3 n ,
{
}
(7.5)
(7.6)
o teorema de Picard-Lindelöf [SH] garante a existência e unicidade de uma solução para
(7.2). A restrição sobre a condição inicial das posições é feita para assegurar que as
funções que representam as forças em (7.2) sejam pelo menos continuamente
diferenciáveis.
Assim o Problema de n-corpos é encontrar
r
S : U ⊂ R → R 6n
r
r
r
r
r
r
r
t a S (t ) = (r1 (t ), r2 (t ),..., rn (t ), r&1 (t ), r&2 (t ),..., r&n (t ))
(7.7)
tal que
r
r r
S ( 0) = ( R 0 , V 0 ) .
(7.8)
A expressão (7.2) é uma equação diferencial em R 6 n e pelo Teorema de Bruns
acima, se n ≥ 3 não conhecemos métodos para sua solução direta. O que se faz é estudar
soluções particulares fazendo restrições nos valores das massas e das constantes k ij ou
ainda restrições nas próprias configurações ao longo do tempo. Certas soluções para dois e
três corpos, já conhecidas, podem ser estendidas para mais corpos. Alguns desses métodos
são mostrados abaixo.
38
1 - Centralização
Reescrevendo a expressão (7.1), dispensando o uso de setas para indicação dos
vetores, temos
n
(ri − r j )
.
(7.9)
Fi = −∑ k ij
rijp
j =1
j ≠i
Para tentar simplificar (7.9) façamos uma mudança de coordenadas que coloca a origem do
sistema de referência no centro de massa do sistema, a qual seja
ri = xi + X ,
(7.10)
em que xi indica a posição do i-ésimo corpo, em relação centro de massa X , de tal forma
que possamos escrever
n
n
xj
x
Fi = −∑ k ij ip + ∑ k ij p ,
(7.11)
xij j =1 xij
j =1
j ≠i
j ≠i
ou ainda
n
xj k
xi
+
k ij p + ilp xl
∑
p
xij j =1 xij xil
n
Fi = −∑ k ij
j =1
j ≠i
(l ≠ i ) .
(7.12)
j ≠i
j ≠l
Afirmação.
n
∑m x
k =1
k
k
= 0.
(7.13)
De fato de (7.10) temos
xi = ri − X ,
portanto
n
n
k =1
k =1
∑ mk x k =∑ mk (rk − X ) ,
que também pode ser escrito como
n
∑m
k =1
k
n
n
k =1
k =1
x k =∑ mk rk − ∑ mk X .
Da definição do centro de massa temos
n
n
∑m r = ∑m
k =1
k k
k =1
k
X,
o que mostra que a expressão (4.11) é verdadeira.
39
Então usando (7.13) escrevemos
xl = −
1
ml
n
∑m x
k =1
k ≠l
k
k
.
(7.14)
Inserindo (7.14) em (7.12), temos
⎛
n
x j k il ⎜ 1
xi
Fi = −∑ k ij p + ∑ k ij p + p ⎜ −
xij j =1 xij xil ⎜ ml
j =1
j ≠i
j ≠i
⎝
j ≠l
n
⎞
⎟
mk x k ⎟ .
∑
k =1
⎟
k ≠l
⎠
n
(7.15)
Podemos ainda retirar o i-ésimo termo da ultima soma e agrupá-la com a segunda de tal
forma que
n ⎛ k
n ⎛ k
k m ⎞
k m j ⎞⎟
ij
ij
Fi = −∑ ⎜ p + ilp i ⎟xi + ∑ ⎜ p − ilp
xj
⎜
⎜
xil ml ⎟⎠
xil ml ⎟⎠
j =1 ⎝ xij
j =1 ⎝ xij
j ≠i
j ≠i
(7.16)
j ≠l
Agora suponhamos que a condição a seguir seja satisfeita
k ij
mi m j x
p
ij
=
k il
mi ml xilp
( j ≠ i , l ≠ i) .
(7.17)
Então podemos escrever
k ij
xijp
= λmi m j ,
(7.18)
k il
.
mi ml xilp
(7.19)
onde
λ=
Substituindo (7.18) em (7.16) temos
Fi = −λmi Mxi ,
(7.20)
onde
n
M = ∑ mk ,
(7.21)
k =1
ou de maneira semelhante
40
Fi = −
k ilef xi
xilp
(7.22)
k ilef =
k il M
.
ml
(7.23)
onde
De (7.22) vemos que se a condição (7.17) é verificada podemos colocar (7.2) numa
forma centralizada, onde todas as forças estão na direção do centro de massa do sistema.
Isto pode ajudar, às vezes, na solução dos problemas, pois cada uma das equações de (7.2)
continua a ser acoplada, mas com a vantagem de que em (7.22) o acoplamento se dá com
os pares de corpos e não mais com os n − 1 .
Definição. [AM] Dizemos que n massas m1 , m2 ,..., mn localizadas no referencial do centro
r r
r r r
r
de massa pelos vetores x1 , x 2 ,..., x n /( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ {R 3n − ∆} , respectivamente, formam
r
uma configuração central se a força sobre a i-ézima massa for proporcional a mi xi , isto é,
r
r
Fi = Ψmi xi ,
(7.24)
r r
r
onde Ψ : R 3n → R é uma função de x1 , x 2 ,..., x n . Em outras palavras, podemos dizer a
força resultante sobre a i-ézima massa aponta na direção do centro de massa.
Observando (7.22) vemos que aquela expressão de força cumpre com a condição (7.24).
Proposição. Considere n massas m1 , m2 ,..., mn localizadas no referencial do centro de
r r
r
massa pelos vetores x1 , x 2 ,..., x n , respectivamente e suponha que força de interação sobre
mi seja dada por
r r
n k (x − x )
r
ij
i
j
.
Fi = −∑
p
xij
j =1
(7.25)
j ≠i
Então as duas afirmações abaixo são equivalentes:
i)
As massas formam uma configuração central;
ii)
As forças respeitam a condição (7.17).
Prova. i) => ii)
De (7.24) e (7.25) temos
41
n
−∑
r r
k ij ( xi − x j )
xij
j =1
j ≠i
p
r
= Ψ mi x i ,
(7.26)
ou ainda
n
−∑
j =1
j ≠i
r
k ik xi
xij
p
n
+∑
j =1
j ≠i
j ≠l
r
k ij x j
xij
p
r
xl
r
+ k il
= Ψ mi x i .
p
( xil )
Usando (7.14) podemos escrever
r
r
n
n k x
k ik xi
k il
ij j
−∑ p +∑ p −
ml ( xil ) p
j =1 xij
j =1 x ij
j ≠i
j ≠i
j ≠l
n
r
∑m x
s =1
s ≠l
s
(7.27)
r
= Ψ mi x i ,
(7.28)
⎞r
⎟x = Ψm xr .
i i
⎟ j
⎠
(7.29)
s
donde
n
−∑
j =1
j ≠i
r
k ik xi
xij
p
r
n ⎛ k
k m
k il mi xi
⎜ ij − il j
−
+
∑
p
p
p
⎜
ml ( xil )
ml xij
j =1 x ij
⎝
j ≠i
j ≠l
Para que se verifique (7.29) devemos ter
⎛ k ij
k il m j
⎜
−
∑
p
p
⎜
ml xij
j =1 xij
⎝
j ≠i
n
⎞r
⎟x = 0 .
⎟ j
⎠
(7.30)
j ≠l
Temos duas possibilidades:
r
a) Existe x k = 0 , para algum k ;
r
b) Não temos x k = 0 , para todo k .
Se vale (a) temos, por (i), que
n
−∑
j =1
j≠k
r
r
k kj ( x k − x j )
x kj
p
r
= Ψm k x k .
(7.31)
Então também devemos ter
n
∑
r
k kj x j
= 0.
(7.32)
k kj = 0, ∀ j .
(7.33)
j =1
j ≠k
x kj
p
Daí
42
De (7.30) vemos que as componentes da soma com índice diferente de k , devem satisfazer
a relação
k ij
x
p
ij
−
k il m j
ml xilp
=0
i, j ≠ k
(7.34)
donde
k ij
mi m j x
p
ij
=
k il
.
mi ml xilp
Se vale (b) temos, por (i), que
k ij
xijp
−
k il m j
ml xilp
k ij
mi m j x
p
ij
=
=0
∀ i, j
(7.35)
k il
.
mi ml xilp
isto prova a implicação.
ii) => i) Está feito no processo de centralização acima (7.17)-(7.23).
□
Existem vários exemplos conhecidos de configurações centrais. Dentre eles o
problema de dois corpos e as próprias soluções de Euler e de Lagrange mostradas acima
formam a cada instante uma configuração central. Há também trabalhos que mostram
configurações centrais para mais que três corpos, com quatro corpos nos vértices de um
tetraedro regular temos uma configuração central; para corpos numa reta temos o
Teorema. [AM] Para qualquer escolha das massas no problema planar de
n-corpos
existem exatamente n! configurações centrais colineares.
2
Polígonos regulares formam configurações centrais no problema planar de n-corpos
quando as massas são iguais.
O sexto problema da Lista de Problema para o Próximo Século de Smale é dizer se
dadas n massas m1 , m2 ,..., mn é finito ou não o número de configurações centrais [SM].
43
Definição. [VA] Uma dada solução do problema de n-corpos é dita homográfica se no
referencial do centro de massa as configurações formadas pelos corpos permanecem autosimilares, isto é, variam no tempo apenas por rotações e homotetias.
O estudo das configurações centrais e de soluções homográficas é de grande
importância, pois as únicas soluções conhecidas para problemas com mais que três corpos
têm como condições iniciais configurações centrais, claro que em todas elas temos
restrições como nas soluções acima. As soluções de Euler e Lagrange apresentadas acima
são homográficas. No movimento planar de n-corpos há várias soluções homográficas
conhecidas e estas formam configurações centrais a cada instante, vide figura (7-2).
Figura 7-2. Solução homográfica para seis corpos.
Uma restrição bastante estudada é tentar fazer restrições nas massas, por exemplo
supor que a massa de um dos corpos é muito maior que a dos outros e que a distância entre
os corpos de menor massa é muito grande assim podemos olhar o movimento imaginando
vários problemas de dois corpos. Isto pode ser uma aproximação para o caso do sistema
solar.
44
Bibliografias
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45
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46