5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque
Aula 10
Oscilações acopladas e modos normais
Os sistemas naturais não são isolados, mas interagem entre si. Em
particular, se dois ou mais sistemas capazes de oscilar tiverem
algum tipo de interação, ou acoplamento, entre si, uma grande
variedade de fenômenos interessantes pode ocorrer.
Observem que falamos acima de sistemas naturais acoplados e não
somente de sistemas físicos. Isto porque há muitos casos em
química, biologia, sociologia, etc em que o acoplamento entre
sistemas que oscilam possui consequências observáveis importantes.
Muitos desses fenômenos que não envolvem sistemas físicos são
atualmente estudados utilizando-se técnicas da física e da
matemática. Uma leitura recomendada para os interessados em saber
mais sobre efeitos do acoplamento entre osciladores nas mais
diversas áreas do conhecimento (mesmo na física) é o livro de
Steven Strogatz: Sync – The Emerging Science of Spontaneous
Order, New York: Hyperion Books, 2003. ISBN: 0-7868-6844-9.
Nesta aula, vamos fazer apenas um estudo introdutório de alguns
sistemas físicos simples acoplados. O objetivo é apresentar alguns
conceitos importantes, desenvolver algumas ferramentas teóricas
novas e mostrar alguns fenômenos interessantes.
1
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Vamos começar considerando o caso mais simples em que pode
acontecer acoplamento entre osciladores, a saber, o de apenas dois
osciladores acoplados.
Vamos começar considerando o caso de dois pêndulos idênticos, A e
B, unidos por uma mola cujo comprimento d no repouso é
exatamente igual à distância de equilíbrio entre os corpos de massa
m nos dois pêndulos. A figura abaixo ilustra a situação.
Os dois pêndulos, se estivessem livres, teriam a mesma frequência
angular de oscilação, dada por (lembre-se da aula 3):
ω0 =
g
l .
(1)
Vamos chamar de xA e xB os deslocamentos dos dois corpos de
massa m em relação às suas respectivas posições de equilíbrio (veja
a figura acima).
2
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Vamos supor que esses deslocamentos são suficientemente
pequenos para que possamos fazer as aproximações
x A ≈ lθ A e
x B ≈ lθ B ,
(2)
onde θA e θB são os ângulos de desvio (veja a figura abaixo).
Em um instante arbitrário, em que a posição do corpo A é xA e a
posição do corpo B é xB, o comprimento da mola é d + (xA − xB).
Portanto, a deformação da mola é dada por (xA − xB).
Em um caso em que (xA − xB) > 0, como na figura, a mola está
esticada e produz uma força −k(xA − xB) (para a esquerda) sobre o
corpo A e uma força de mesmo módulo e sentido contrário, k(xA −
xB) (para a direita), sobre o corpo B. Em um caso em que (xA − xB) <
0, a mola está comprimida e produz uma força −k(xA − xB) > 0 (para
a direita) sobre o corpo A e uma força de mesmo módulo e sentido
contrário, k(xA − xB) < 0 (para a esquerda), sobre o corpo B.
3
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Note que nos dois casos a força feita pela mola sobre o corpo A é
escrita como
FMA = − k ( x A − xB )
(3)
e a força feita pela mola sobre o corpo B é escrita como
FMB = k ( x A − xB ) .
(4)
Além dessas forças, os dois corpos estão sujeitos às tensões
exercidas pelos fios e à força gravitacional. As componentes radiais
das forças gravitacionais se cancelam com as tensões, mas as
componentes tangenciais das forças gravitacionais constituem forças
restauradoras sobre os corpos (que sempre tendem a levá-los de
volta à posição de equilíbrio). Elas são dadas por (veja a aula 3):
A:
FGA = − mgsenθ A
B:
FGB = −mgsenθ B .
No caso de pequenas oscilações, sen θ ≈ θ . Portanto:
A:
FGA ≈ − mgθ A
B:
FGB ≈ − mgθ B .
Usando as aproximações da equação (2):
A:
FGA ≈ − mg x A l
B:
FGB ≈ − mg xb l .
4
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Usando agora (1) podemos escrever essas forças como:
A:
FGA ≈ −mω02 x A
(5)
B:
FGB ≈ −mω02 xB .
(6)
Combinando tudo o que foi visto até agora, podemos escrever as
equações de movimento (sem amortecimento) para os dois corpos
como:
m&x&A = −mω02 x A − k (x A − xB )
(7)
m&x&B = −mω02 xB + k ( x A − xB ) .
(8)
Dividindo por m e definindo
ωc2 ≡
k
m,
(9)
temos
(
) = −(ω
)
)x
&x&A = −ω02 x A − ωc2 (x A − xB ) = − ω02 + ωc2 x A + ωc2 xB
&x&B = −ω02 xB + ωc2 ( x A − xB
2
0
+ ωc2
B
+ ωc2 x A .
Passando todos os termos para o lado esquerdo obtemos, finalmente:
(
+ (ω
)
)x
&x&A + ω02 + ωc2 x A − ωc2 xB = 0
&x&B
2
0
+ ωc2
B
− ωc2 x A = 0 .
(10)
(11)
5
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O sistema de equações diferenciais dado por (10) e (11) constitui um
sistema de duas equações diferenciais lineares de 2a ordem
acopladas. A primeira equação, que descreve a aceleração de A,
depende de xB; e a segunda equação, que descreve a aceleração de B,
depende de xA.
Matematicamente, isto quer dizer que as duas equações não podem
ser resolvidas independentemente.
Fisicamente, isto quer dizer que o movimento de A afeta o
movimento de B e vice-versa.
Como as equações são de 2a ordem, a solução geral de cada uma
depende de 2 constantes arbitrárias, determinadas pelas condições
iniciais. Essas 4 constantes serão ajustadas conhecendo-se as
posições e velocidades iniciais dos dois corpos:
x A (0), xB (0), x& A (0) e x& B (0) .
Uma estratégia muito usada para resolver sistemas de equações
diferenciais acopladas é tentar encontrar um novo sistema de
coordenadas (vamos chamá-las de q1, q2, q3, etc) tal que, nesse
sistema
de
coordenadas,
as
equações
diferenciais
sejam
desacopladas.
6
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No caso do sistema dado pelas equações (10) e (11) isto pode ser
feito. A maneira é a seguinte:
Somando (10) e (11) temos,
&x&A + &x&B + ω02 ( x A + xB ) = 0 ,
ou (fica mais fácil aqui usar a notação d/dt para derivadas),
d2
(x A + xB ) + ω02 (xA + xB ) = 0 .
2
dt
(12)
Subtraindo (11) de (10) temos (usando novamente a notação d/dt),
d2
2
2
(
)
x
−
x
+
ω
+
2
ω
0
A
B
c ( x A − xB ) = 0 .
dt 2
(
)
(13)
Se definirmos duas novas variáveis,
q1 = x A + xB
q2 = x A − x B ,
(14)
podemos escrever (12) e (13) em termos de q1 e q2 como:
d 2 q1
+ ω02 q1 = 0
2
dt
(15)
e
7
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d 2 q2
2
2
+
ω
+
2
ω
0
c q2 = 0 .
2
dt
(
)
(16)
Definindo
ω '2 = ω02 + 2ωc2 ,
(17)
d 2 q2
2
+
ω
'
q2 = 0 .
2
dt
(18)
a equação (16) fica
As equações (15) e (18) são duas equações desacopladas de
oscilações harmônicas simples. Na primeira, a frequência angular é
ω0 e, na segunda, a frequência angular é ω’.
As soluções gerais dessas duas equações (veja a aula 1) são:
q1 (t ) = C cos(ω0t + ϕ1 )
(19)
q2 (t ) = D cos(ω ' t + ϕ 2 )
(20)
e as soluções gerais das duas equações originais para xA e xB são:
x A (t ) =
1
(q1 (t ) + q2 (t ) ) = 1 [C cos(ω0t + ϕ1 ) + D cos(ω ' t + ϕ2 )] (21)
2
2
xB (t ) =
1
(q1 (t ) − q2 (t ) ) = 1 [C cos(ω0t + ϕ1 ) − D cos(ω ' t + ϕ 2 )] . (22)
2
2
e
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As soluções gerais para os dois pêndulos acoplados, equações (21) e
(22), indicam que os pêndulos não executam mais movimentos
harmônicos simples. Os seus movimentos são mais complicados,
dados por superposições de oscilações com frequências diferentes.
As coordenadas q1 e q2, no entanto, oscilam como movimentos
harmônicos simples independentes. Coordenadas que satisfazem
esta propriedade são chamadas de coordenadas normais do sistema.
Cada coordenada normal oscila em MHS com uma freqüência
própria distinta, chamada de frequência normal. A coordenada
normal q1 oscila com a frequência normal ω0 e a coordenada normal
q2 oscila com a frequência normal ω’.
Notem que há dois casos particulares das soluções gerais (21) e (22)
em que as coordenadas xA e xB oscilam ambas com a mesma
frequência, igual a uma das frequências normais.
a) Se D = 0 em (21) e (22) as coordenadas xA e xB oscilam com a
mesma frequência, igual a ω0.
b) Se C = 0 em (21) e (22) as coordenadas xA e xB oscilam com a
mesma frequência, igual a ω’.
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Um regime de oscilações de um sistema formado por N partículas
em que todas as N partículas oscilem com a mesma frequência e
estejam sempre em fase ou em oposição de fase é chamado de modo
normal de oscilação do sistema (também chamado de modo normal
de vibração do sistema).
Um sistema com N graus de liberdade possui, no máximo, N modos
normais de vibração.
No caso do exemplo dos dois pêndulos acoplados, o número de
graus de liberdade é dois (correspondentes às coordenadas dos dois
corpos, xA e xB). Portanto, ele possui apenas dois modos normais de
vibração, que são justamente os casos a) e b) acima.
A técnica de solução de um problema de oscilações acopladas em
termos de coordenadas normais q1, q2, q3, ... qN é importante não
somente porque ela transforma o sistema de equações diferenciais
em um sistema desacoplado, mas também porque ela nos dá as
frequências dos N modos normais de vibração do sistema. Elas são
justamente as freqüências normais com as quais as coordenadas
normais q1, q2, q3, ... qN oscilam.
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Em resumo, o sistema de dois pêndulos idênticos acoplados do
exemplo possui dois modos normais de vibração:
a) Os dois corpos oscilam com a mesma frequência ω0;
b) Os dois corpos oscilam com a mesma frequência ω’.
Vamos tentar interpretar fisicamente estes dois modos.
Pelas equações (21) e (22), a condição para que os dois corpos
oscilem com freqüência ω0 é que D = 0. Neste caso, as equações de
movimento para os dois corpos são iguais:
x A (t ) = xB (t ) =
C
cos(ω0t + ϕ1 ) .
2
(23)
Esta equação implica que os dois corpos não apenas oscilam com a
mesma freqüência e a mesma fase, mas também possuem a mesma
amplitude.
A que situação física corresponde esta situação? Tente responder por
conta própria antes de olhar adiante. Dica: tente basear seu
raciocínio em termos de algum tipo de simetria no movimento dos
corpos.
A situação física em que os dois pêndulos oscilam com amplitudes e
frequências iguais é mostrada na figura abaixo. Os deslocamentos
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dos dois corpos são iguais a qualquer instante de tempo (inclusive
para o instante inicial t = 0) e a deformação da mola é nula. É como
se a mola não existisse e os dois pêndulos oscilassem livremente. É
por isso que a frequência de oscilação dos dois é ω0 = (g/l)1/2, pois
esta é a frequência de oscilação do pêndulo livre.
Devido ao fato de que neste modo normal os deslocamentos dos dois
pêndulos são iguais, ele é chamado de modo normal simétrico.
A maneira de gerar este modo normal é puxar os dois corpos, A e B,
para um lado por quantidades iguais e depois soltá-los. A partir daí
eles oscilarão como se estivessem soltos.
Por outro lado, a condição para que os dois pêndulos oscilem com
frequência ω’ é que a constante C seja nula nas equações (21) e (22).
Fazendo isso naquelas equações obtemos:
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x A (t ) =
D
D
cos(ω ' t + ϕ 2 ) e x B (t ) = − cos(ω ' t + ϕ 2 ) .
2
2
Neste caso, os dois corpos oscilam com a mesma freqüência e a
mesma amplitude, mas estão defasados por 180o (estão em oposição
de fase), ou seja,
x A (t ) = − xB (t ) .
(24)
A qual situação física corresponde este caso? Tente novamente
responder sem olhar adiante. Tente mais uma vez explorar a simetria
do sistema.
Neste caso os deslocamentos dos dois corpos são iguais e contrários.
Este caso pode ser produzido, por exemplo, puxando os corpos A e B
para os lados por quantidades iguais, mas em sentidos opostos e
soltando-os em seguida (a figura abaixo ilustra este caso).
No instante inicial a mola estará esticada e puxará os dois corpos
para o centro; algum tempo depois, a mola estará comprimida e
empurrará os dois corpos para os lados. Cada pêndulo executa um
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MHS, mas eles estão sempre defasados por 180o. Por causa disso,
este modo normal é chamado de modo normal anti-simétrico.
Neste caso, os movimentos dos dois corpos são sempre forçados
pela mola. Como a deformação dela é sempre igual a 2xA, a equação
de movimento para um dos corpos, por exemplo o corpo A, é
m&x&A + mω02 x A + 2kx A = 0 ⇒
(
)
⇒ &x&A + ω02 + 2ωc2 x A = 0 ⇒
⇒ &x&A + ω '2 x A = 0 .
(25)
Esta equação também poderia ter sido obtida fazendo xB = −xA na
equação (10). Ela implica (como já sabemos) que os dois pêndulos
oscilam com a mesma frequência ω’.
Note que ω’ > ω0, ou seja, o modo normal simétrico oscila com
frequência menor que o modo normal assimétrico.
Em geral, para sistemas físicos compostos por N partículas que
possuam algum tipo de simetria espacial em relação a um ou mais
eixos, é possível determinar muitos dos modos normais de vibração
fazendo-se apenas análises de simetria.
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Obviamente, a análise de simetria não permite determinar o valor
das freqüências normais de vibração, mas a determinação de um
modo normal (o tipo de movimento das partículas) já é suficiente
para sugerir uma possível forma funcional para ele (que servirá
como “chute” para resolver o sistema de equações diferenciais para
o problema).
Os dois casos vistos acima, para C = 0 e D = 0, nos deram os dois
modos normais de oscilação do sistema de dois pêndulos acoplados
por uma mola. Sabemos que só existem esses dois modos normais,
mas eles não são as únicas maneiras em que o sistema pode oscilar.
Há muitas outras.
As equações (21) e (22) nos mostram, porém, que qualquer outro
tipo de movimento vibratório que o sistema possa ter pode ser
descrito matematicamente por uma superposição de oscilações
harmônicas com as frequências normais do sistema.
Vejamos, a seguir, um desses vários tipos de movimentos
oscilatórios que o sistema de dois pêndulos acoplados pode ter. Ele
é o caso em que as condições iniciais são as seguintes: as
velocidades iniciais dos dois corpos são nulas, a posição inicial de
um deles é nula, mas a posição inicial do outro é diferente de zero.
15
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Consideremos que o corpo cuja posição inicial é não nula é o A. A
situação inicial está mostrada na figura abaixo.
Vamos considerar que
x A (0) = A0 , xB (0) = 0, x& A (0) = 0 e x& B (0) = 0 .
Pelas equações (14), que definem q1(t) e q2(t) em termos de xA(t) e
xB(t), as condições iniciais acima implicam que:
q1 (0) = A0 , q2 (0) = A0 , q&1 (0) = 0 e q&2 (0) = 0 .
Com estas condições iniciais para q1(t) e q2(t), as soluções (19) e
(20) nos dão:
q1 (0) = C cos(ϕ1 ) = A0
q2 (0) = D cos(ϕ 2 ) = A0
q&1 (0) = −ω0Csen (ϕ1 ) = 0
q&2 (0) = −ω ' Dsen (ϕ 2 ) = 0
16
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Estas equações implicam que:
ϕ1 = ϕ2 = 0; C = D = A0 .
Substituindo estes resultados nas equações (21) e (22):
x A (t ) =
A0
[cos(ω0t ) + cos(ω ' t )]
2
(26)
x B (t ) =
A0
[cos(ω0t ) − cos(ω ' t )] .
2
(27)
e
Cada uma dessas soluções é uma superposição de dois movimentos
harmônicos simples com mesma amplitude. Notem que as equações
(26) e (27) são idênticas à equação (15) da aula 6, em que estudamos
superposições de movimentos harmônicos simples. Portanto,
podemos estudá-las usando os mesmos métodos desenvolvidos
naquela aula.
Em particular, definindo (lembre-se que ω’ > ω0)
ω =
1
(ω 0 + ω ')
2
∆ ω = ω '− ω 0 =
pode-se
escrever
(depois
de
2
0
2
c
ω + 2ω − ω 0
manipulações
,
(28)
trigonométricas
inteiramente similares às que levaram da equação (16) à equação
(17) na aula 6),
17
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 ∆ω
x A ( t ) = A 0 cos 
 2

t  cos ω t

(29)
e
 ∆ω 
x B ( t ) = A 0 sen 
t  sen ω t .
2


(30)
No caso em que o acoplamento é fraco, ωc << ω0 e ∆ω << ω , temos
um caso de batimento conforme discutido na aula 6. Os dois
pêndulos oscilam harmonicamente com frequência ω
e suas
amplitudes são moduladas, também de forma harmônica, mas com
frequência bem menor dada por ∆ω. As amplitudes dos dois
pêndulos variam no tempo como
 ∆ω
a A ( t ) = A 0 cos 
 2

t

(31)
e
 ∆ω 
a B ( t ) = A 0 sen 
t ,
2


(32)
ou seja, quando a amplitude de um é máxima a amplitude do outro é
nula (dizemos que os pêndulos estão em quadratura; veja a figura
abaixo).
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No instante inicial, o pêndulo A está na posição de máximo
deslocamento e o pêndulo B está em repouso. A partir daí, a
amplitude de oscilação do pêndulo A vai diminuindo enquanto a
amplitude de oscilação do pêndulo B vai aumentando. No instante
em que o pêndulo A para o pêndulo B está com o deslocamento
máximo. Depois, as oscilações do pêndulo A começam a crescer em
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amplitude enquanto que as oscilações do pêndulo B diminuem de
amplitude. O processo continua assim, com os dois pêndulos
alternando oscilações de amplitudes crescentes e decrescentes,
indefinidamente.
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