TRIGONOMETRIA
LIVRO 3
Resoluções das atividades
Sumário
Capítulo 8 – Relações trigonométricas – Secante, cossecante e cotangente de um arco trigonométrico ...............................................................................................1
Capítulo 9 – Relações fundamentais e derivadas .......................................................................................................................................................................................3
Capítulo 10 – Redução ao 1o quadrante .....................................................................................................................................................................................................4
Capítulo 11 – Transformações trigonométricas – Adição e subtração de arcos ........................................................................................................................................6
4 o quadrante
3o quadrante
2o quadrante
1o quadrante
Resposta da atividade da página 5:
arco
xº
sen (x)
cos (x)
tg (x)
cotg (x)
sec (x)
cossec (x)
0
0º
0
1
0
não
existe
1
não existe
π
6
30º
1
2
3
2
3
3
3
2 3
3
2
π
4
45º
2
2
2
2
1
1
2
2
π
3
60º
3
2
1
2
3
3
3
2
2 3
3
π
2
90º
1
0
não
existe
0
não
existe
1
2π
3
120º
3
2
–2
2 3
3
3π
4
135º
2
2
−
5π
6
150º
1
2
−
π
180º
0
Capítulo 8
Relações trigonométricas – Secante, cossecante e
cotangente de um arco trigonométrico
Atividades para sala
7π
6
210º
5π
4
225º
4π
3
240º
3π
2
270º
5π
3
300º
−
7π
4
315º
−
11π
6
330º
2π
360º
−
1
2
− 3
2
2
–1
3
2
−
3
3
–1
− 2
−
3
3
0
− 3
−2 3
3
2
não
existe
–1
não existe
3
2
3
3
3
−2 3
3
–2
−
2
2
−
2
2
1
1
− 2
− 2
−
3
2
1
2
3
3
3
–2
−2 3
3
0
não
existe
0
não
existe
–1
3
2
1
2
− 3
2
−2 3
3
2
2
2
2
–1
2
− 2
1
2
3
2
−
0
1
Cotangente
–
+
+
+
–
+
–
+
–
–
+
–
−
3
3
0
−
3
3
–1
a) sec 300º = sec 60º =
b) sec
−
–1
Cossecante
Tem-se:
–1
−
Secante
2
1
2
−
01 Sabendo que:
− 3
2 3
3
–2
não
existe
1
não existe
1
1
= =2
cos 60 o 1
2
1
1
5π
=
=− 2
= sec 225º =
o
cos
45
2
4
2
c) cossec 330º = cossec 30º =
1
1
= = −2
o
sen 30
2
8π
= cossec 480º = cossec 120º =
3
1
1
2 3
=
=
=
sen 60 o
3
3
2
1
3
=
e) cotg 240º = cotg 60º =
tg 60 o
3
d) cossec
 7π 
f) cotg  −  = cotg (–210º) = cotg (–210) =
 6
– (cotg 210) = – cotg 30º = − 3
1a Série – Ensino Médio
1
TRIGONOMETRIA
02
y=
LIVRO 3
cos 360 o + 2tg 45o − sen 180 o
1+ 2 − 0
=
=3
cotg 90 o ⋅ cossec 90 o + sec 720 o
1
Secante
11π
03 a) sec
= sec 330 o = + (4o quadrante)
6
–
+
7π
–
+
= sec 315o = + (4o quadrante)
4
7π
c) sec
= sec 420 o = sec ( 420 o − 360 o ) = sec 60 o = +
3
(1 o quadrante)
b) sec
Resolvendo II , tem-se:
k
− 1≤ 0
2k − 1
1− k
≤0
2k − 1
h(x) = 1 – k
1–k=0
k=1
g(x) = 2k – 1
2k – 1 = 0
1
k=
2
3π
= sec 135o = − (2o quadrante)
d) sec
4
π

04  cossec + sen

3
π 
π
π
 ⋅  sen − sec  =
3
3
6
2 3
3  3 2 3
=
⋅
−
=
+
3 
2   2
 3
 4 3 +3 3   3 3 −4 3 
=
⋅
=
6
6

 

=
7 3 
3
21
7
⋅ −
=−
=−
6  6 
36
12
05 Pela condição dada, tem-se:
sec x =
k
2k − 1
⇒ cos x =
2k − 1
k
 − π 3π 
Se x ∈  ,
⇒ −1 ≤ cos x ≤ 1
 2 2 
−1 ≤
k
k
k
≤ 1⇒
≥ −1 I e
≤ 1 II
2k − 1
2k − 1
2k − 1
Resolvendo I , tem-se:
k
+ 1≥ 0
2k − 1
3k − 1
≥0
2k − 1
ƒ(x) = 3k – 1
3k – 1
1
k=
3
g(x) = 2k – 1
2k – 1 = 0
1
k=
2
Observação: k ≠
ƒ
g
I
ƒ/g
–––––––––––– ++++
++++ –––––– ++++
ou
h
II
1
k> 2
1
2
1
2
1
++++ +++++ + –––– –
g––––– ++++++++++
h/g
–––– – ++++ ++–––– –
k<
k≥1
ou
1
2
1
2
1
3
I
II
I ∩ II
1
k≤ 3
ou
k≥1
1


S = ∀ k ∈ R / k ≤ ou k ≥ 1
3


Atividades propostas
01 F, V, F, V, F, V
( F ) cossec 45º =
2
( V ) sec 60º = 2
π
( F ) sec = ∃
2
π 2 3
( V ) cossec =
3
3
π
( F ) cotg = 3
6
3
( V ) cotg 120º = −
3
4
2
7
= ⇒ 6k − 2 = 12 ⇒ k =
02
3k − 1 3
3
2π
= cossec 120 o =
3
5π
= cossec 300 o =
b) cossec
3
7π
c) cossec
= cossec 315o =
4
7π
d) cossec
= cossec 210 o =
6
03 a) cossec
1
1
3
2
– –––– + +++++ ++++
1
k≤ 3
2
1
2
Observação: k ≠
1a Série – Ensino Médio
+ (2o quadrante)
− (4o quadrante)
− (4o quadrante)
− (3o quadrante)
Cossecante
+
+
–
–
TRIGONOMETRIA
LIVRO 3
04
3 m2 − 3
= sec 60 o
4m
3m2 − 3
=2
4m
3m2 − 8m − 3 = 0
∆ = 64 + 36 = 100
8 ± 10
m=
6
Capítulo 9
Relações fundamentais e derivadas
Atividades para sala
01
x
92 = 72 + x2
x2 = 81 – 49
x=4 2
α ∈ 2o quadrante
α
1
m' = 3 ou m" = − .
3
9
7
cos α =
05 D
sec 10π = sec 1 800 = 1
x
γ
02
32 = 12 + x2
06 E
4π
5π
sen 2π − sec
− cossec
3
6
0 − ( −2) − (2) =
+2 − 2 = 0
o
o
07 sec 70 = cossec 20 =
x=2 2
γ ∈ 3o quadrante
1
2 2
2
; tg γ =
; cossec γ = −3;
sen γ = − ; cos γ = −
3
3
4
3 2
sec γ = −
; cot g γ = 2 2
4
A
3
03 B
2 3
1
=
cossec 2 220 = cossec 60 =
sen 60 o
7
1
= 2
sec 4 020 o = sec 60 o =
cos 60 o
o
x2 = 9 – 1
1
3
1
1
20
=
=
o
7
sen 20
7
20
o
o
08 cossec 2 220 + sec 4 020 =
−4 2
9
o
cos x = 0, 8 =
4
⇒
5
4
sen x =
x
3
5
tg x =
3
= 0, 6
5
3
= 0, 75
4
A
A
2 3
2 3+6
+2=
⇒
=
7
3
3
3
04 D
A = 2 ⋅ ( 3 + 3)
09
tg x =
 3

3
3
3
tg x ∈ 
< 3⇒
, 3 ⇒
< tg x < 3 ⇒
<
m
3
3
+
3
1


1
1
<
< 1⇒ 3 > m + 1> 1⇒ 2 > m > 0 ∴ 0 < m < 2
3 m+1
10 Pela condição dada, tem-se:
1
cotg x = − 5 ∴ tg x = −
5
x ∈[ − 4 π ; 4 π ]
sen x
sen x
⇒ 1=
cos x
cos x
⇒ sen x = cos x
como sen2 x + cos2 x = 1, tem-se:
(cos x)2 + (cos x )2 = 1
2 cos2 x = 1
cos2 x =
1
1
2
⇒ cos x =
=
2
2
2
Nesse caso, cos x = −
2
, já que no 3o quadrante, o cos2
seno é negativo.
Note que, no intervalo –4π a 4π, são dadas 4 voltas no ciclo.
Como, a cada volta, tem-se duas raízes, ao todo, há 8 raízes.
3y − 1 y 2
+
= 1⇒
9
9
2
y + 3y − 10 = 0 ⇒ y = −5 ou y = 2
2
2
05 sen x + cos x = 1 ⇒
1a Série – Ensino Médio
3
TRIGONOMETRIA
LIVRO 3
Atividades propostas
01 sen x = −
3
4
7
d)
2
2
 sen2 x − 1  − cos2 x 
2
 cos x  =  cos x  = cos x
x ∈ 3o quadrante
x
 sen2 x  ( sen2 x − 1)2
=
=
( sen2 x − 1)2 ⋅  1+
cos2 x
 cos2 x 
3
4
07 4 tg2 α + tg α − 3 = 0 ∴ tg α = −1 ou tg α =
7
4
3 7
tg x =
7
7
cotg x =
3
4
3
4 7
sec x = −
7
cos x = −
02
cossecx = −
α
sen α =
2
03 a) sen α =
1+ tg2 α = 2 cos2 α
1
− cos α
5
sec 2 α = 2 ⋅
1
sec 2 α

1
2
 − cos α + cos α = 1
5
(sec 2 α )2 = 2 ⇒ sec 2 α = 2
1 2 cos α
+ cos2 α + cos2 α = 1
−
25
5
50 cos2 α − 10 cos α − 24 = 0
1+ tg2 α = 2 ⇒ tg2 α = 2 − 1
Como 1+ tg2 α = sec 2 α, tem−se:
m2 m2 + 2m + 1
+
= 1⇒
25
25
2m2 + 2m − 24 = 0 ⇒ m2 + m − 12 = 0
m = 3 ou m = −4
Soma = 3 + ( −4 ) = −1
09 sen2 α + cos2 α = 1 ⇒
25 cos α − 5 cos α − 12 = 0
4
3
cos α = ou cos α = −
5
5
3
4
sen α = − ou sen α =
5
5
2
b) a  2o quadrante ou a  4o quadrante.
10 C
( senx + cos x )( sen2 x − sen x cos x + cos2 x )
= 1 − senx ⋅ cos x
senx + cos x
04 cos4 α – sen4 α = (cos2 α + sen2 α)(cos2 α – sen2 α) =
= cos2 α – 1 + cos2 α = 2cos2 α – 1 (c.q.d.)
1
05 sen α = − ⇒
3
cos α =
2 2
Capítulo 10 Redução ao 1o quadrante
α
1
2 2
2
e tg α = −
3
4
Atividades para sala
3
sen2 x
cos2 x
sen2 x
cos2 x
06 a)
=
⋅
= sen2 x
2
2
2
sen x cos x cos x + sen2 x
1+
cos2 x
1
2
01 a) ( − senx ) ⋅ ( − senx ) = sen x = sen x
( − tg x ) ⋅ ( − cos x )
sen x
2
b) ( + senx ) ⋅ ( − cot g x ) = − cos x = − cot g2 x
2
( − tg x ) ⋅ ( − senx )
sen x
2
1
cos x
+ sen2 x =
+ sen2 x = 1
sen2 x
cos2 x + sen2 x
1+
cos2 x
c)
c) sen x + 2senx cos x + cos x − sen x − 2senx cos x + cos x
cos2 x
cos2 x
1 + 2sen x cos x + 2senx cos x − 1 4senx cos x
=
= 4 tg x
cos2 x
cos2x
2
4
2
1
2
tg2 α = 2 cos2 α − 1
2
b)
2
2
e cos α = −
2
2
1
08 A
tg2 α = cos2 α − sen2 α
k−2 4
sen α + cos α = 1 ⇒ 2 + 2 = 1 ⇒
k
k
k 2 − k − 2 = 0 ⇒ k = 2 ou k = −1 (não convém)
2
3
(não convém)
4
2
2
 cos x 
1
⋅ −
 senx 
1
senx
=
=
− cos x senx
 − cos x 
1
⋅
sen2 x
senx  senx 
1
− cos x
d) ( − cos x ) + cos x + cotg x = cotg x
1a Série – Ensino Médio
 − sen2 x 
⋅
= − tg x
 cos x 
TRIGONOMETRIA
LIVRO 3
02
03
cos x ⋅ senx
= −1
senx ⋅ ( − cos x )
A +B =
06 D
cos 45° + 2 sen 90° − tg 315° =
( −sen x ) ⋅ ( − cos x )
sen x ⋅ ( − cos x )
+
( −senx ) − cos x
= −1 + 1 = 0
( − senx ) − cos x
04 A
2+6
2
07 Pela condição dada, tem-se:
1
sen x =
5

π
cos  − y = sen y

2

π

π
sen  − x ⋅ cos  − x = senx ⋅ cos x

2

2
05 A
3
3
senx ⋅ senx
sen2 x
=
⇒
=
⇒
( − tg x ) ⋅ ( − cos x )
2
2
senx
sen x =
2
+3=
2
2
+ 2 + 1=
2
x + y = 90°
y = 90° − x
sen y = sen ( 90° − x )
sen y = cos x
3
1
⇒ cos x =
2
2
sen2 x + cos2 x = 1
2
Atividades propostas
01 a)
 1
2
  + cos x = 1
5
( − cos x ) ⋅ (cos x )
= cot g2 x
senx ⋅ ( − senx )
1
+ cos2 x = 1
25
1 25 − 1 24
cos2 x = 1 −
=
=
25
25
25
24 2 6
=
cos x =
5
5
2 6
sen y =
5
Portanto:
b) ( − senx ) ⋅ cos x = −1
cos x ⋅ senx
02 C

π
sen x + cos  − x = sen x + sen x = 1

2
03 a) sen ( −330°) = −sen 330° = −( −sen 30°) = sen 30° =
b) sec ( −240°) = sec 240° =
1
2
1
1
1
=
=
= −2
cos 240° − cos 60° − 1
2
c) tg ( −960°) = − tg 960° = − tg 240° = − tg 60° = − 3
d) cot g ( − 1200°) = −cotg 1200° = − cotg 120° =
− ( − cotg 60°) ⇒ cotg 60° =
e) cos ( −45°) = cos 45° =
f)
1
3
3
1
=
⋅
=
tg 60°
3
3
3
2
2
2 6

π
cos  − y = sen y =

2
5
08 B
2 ( sen2 20 o + cos2 20 o ) ( sen2 20 o − cos2 20 o ) . cossec 4 20 o
=
3 (1 − cot g2 20 o ) (1 + cot g2 20 o )
=
2
2( sen2 20 o − cos2 20 o ) ⋅ cossec 4 20 o
=
o
2
2
o
3
 sen 20 − cos 20 
o
2
3
 ⋅ cossec 20
sen2 20 o

09 A
−1
−1
=
cossec ( −60°) = −cossec 60° =
⇒
sen 60°
3
2
−2
3
2 3
⇒
⋅
=−
3
3
3

π
Como cos  − α = sen α, tem-se:

2
π

sen α + tg α − cos  − α
2
 senα + tg α − senα
tg α
=
=
=
1
cot g α
cot g α
tg α
2
04 B
π
3

π

sen  x −  = −sen  − x = − cos x = −

2

2
5
05 A
sen (π + α) – sen (–α) = –sen α + sen α = 0
2
 3
3 1
 π
= tg α ⋅ tg α = tg2 α =  tg  = 
 =9=3
 6
 3 
10 E
cos 225o + tg (– 240o) = −
1a Série – Ensino Médio

2
2
− 3 = − 3 +

2
2


5
TRIGONOMETRIA
LIVRO 3
03 sen 20º = 0,34 → cos 20º = 0,94 → tg 20º = 0,36
Capítulo 11
cos 30º = 0,86 → sen 30º = 0,5 → tg 30º = 0,57
a) sen (20º + 20º) = 0,34 · 0,94 + 0,34 · 0,94 ≅ 0,63
Transformações trigonométricas – Adição e
subtração de arcos
b) cos (20º + 30º) = 0,94 · 0,86 – 0,34 · 0,5 ≅ 0,63 ou
cos 50o – sen 40o = 0,63
Atividades para sala
c) tg (20° + 30°) =
01 a) sen ( 45o + 30 o ) =
2
3 1 2
⋅
+ ⋅
=
2
2 2 2
6+ 2
4
0, 36 + 0, 57
≅ 1,17
1 − 0, 36 ⋅ 0, 57
3
2
2  1
6− 2
⋅
+
⋅ −  =
4
2
2
2  2
04 sen 165º = sen (120º + 45º) =
3 1
3
 1 3
b) cos (120 o + 30 o ) =  −  ⋅
−
⋅ =−
 2 2
2 2
2
2
3
2 − 2− 6
 1
cos 165º = cos (120º + 45º)=  −  ⋅
−
⋅
=
 2 2
2
2
4
3
3
3
c) tg (180 + 30 ) =
=
3
3
1− 0 ⋅
3
o
0+
o
cos 165º + sen 165º = −
2
3 1 2
6− 2
⋅
− ⋅
=
4
2
2 2 2
e) cos (30º + 45º) =
3 2 1 2
6− 2
⋅
− ⋅
=
4
2 2 2 2
7
4
05
d) sen (45º – 30º) =
2
2
a
b
5
3
3
4
cos (b – α) = cos b · cos α + sen b · sen α =

7  4 3 3 4 7 + 9
 − 4  ⋅  − 5  + 4 ⋅ 5 = 20 = 4 7 + 9


3
3 = 3− 3 ⋅ 3− 3 = 2− 3
f) tg (45º – 30º) =
3 3+ 3 3− 3
1+
3
1−
02
01 sen x =
1
b
a
1
3
1 1
3 2 2 2 6 +1
⋅ +
⋅
=
3 2 2
3
6
02 a)
2 2 1 1 3 2 2− 3
⋅ − ⋅
=
3 2 3 2
6
1+ 2 6 2 2 + 3 2 2 + 3 + 8 3 + 6 2
=
=
=
⋅
8−3
2 2− 3 2 2+ 3
6
8 2+9 3
5
cos (a − b) − cos (a + b)
=
sen (a + b) + sen (a − b)
=
1+ 2 6
1
+ 3
tg a + tg b
2 2
= 2 2
=
=
c) tg (a + b) =
1 − tg a ⋅ tg b
1
3 2 2− 3
1−
⋅
2 2 1
2 2
=
1 3
3 4 3+4 3
⋅ +
⋅ =
2 5 2 5
10
4
4
b) tg x = 5 =
3 3
5
b) cos (a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b =
=
4
3
⇒ cos x =
5
5
a) cos y = cos ( 60 o − x ) =
2
a) sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a =
=
Atividades propostas
=
cos a ⋅ cos b + sen a ⋅ sen b − cos a ⋅ cos b + sen a ⋅ sen b
sen a ⋅ cos b + sen b ⋅ cos a + sen a ⋅ cos b − sen b ⋅ cos a
2sen a ⋅ sen b
= tg b
2sen a ⋅ cos b
=
(c.q.d.)
b) sen (a + b) ⋅ sen (a − b) =
= ( sen a ⋅ cos b + sen b ⋅ cos a) ( sen a ⋅ cos b − sen b ⋅ cos a) =
= sen2 a ⋅ cos2 b − sen2 b ⋅ cos2 a =
= sen2 a (1 − sen2 b) − sen2 b (1 − sen2 a) =
= sen2 a − sen2 asen2 b − sen2 b + sen2asen2b =
= sen2 a − sen2 b
1a Série – Ensino Médio
(c.q.d)
TRIGONOMETRIA
LIVRO 3
03
tg γ + tg λ
tg ( γ + λ ) =
=
1 − tg γ ⋅ tg λ
1 1
−
5 3
1  1
1− ⋅ − 
5  3
04 33 =
3 + tg y
⇒ 3 + tg y = 33 − 99 tg y ⇒
1 − 3tg y
2 6
b
5
a ∈ 2o quadrante
1
3
2 2
b ∈ 3o quadrante

sen (a + b) = sen a ⋅ cos b + sen b ⋅ cos a =

cos (a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b =
y ∈ 3o quadrante

cos ( y − x ) = cos y ⋅ cos x + sen y ⋅ sen x
2 ( 30 + 1)
5  −2 − 2 30
 2 1  2 6  
=
=−
⋅ −
 −  ⋅ −  −
15
15
3 5 
5   3 

5  1  2  2 6  4 6 − 5
 − 3  ⋅ 5 +  − 3  ⋅  − 5  =
15




2 5
+2 6
5
⇒
2 5
⋅ ( −2 6 )
1+
5
2 5 + 10 6 2 5 + 10 6
5
5
⇒ tg ( y − x ) =
=
⇒
5 − 4 30
4 30
1−
5
5
tgy − tgx
tg ( y − x ) =
⇒ tg ( y − x ) =
1 + tgy ⋅ tgx
⇒
1  1 2 2  2 6  −1+ 8 3
8 3 −1
= ⋅ −  −
=
=−
⋅ −
5  3
3 
5 
15
15
2
3
sen ( y − x ) = sen y ⋅ cos x − sen x ⋅ cos y
−( 50 5 + 18 6 )
2 5 + 10 6
⇒ tg ( y − x ) =
91
5 − 4 30
10

π
cos  − x ⇒

3
2 2
x
 2 6   1 1 −2 2 +2 6 + 2 2 2 2 ⋅ (1 + 3 )
=−
⋅ −  − ⋅
=
=
15
5   3  5
3
15

3
π
+1
3 +5 5+ 3
4 = 5
=
⋅
=
06
π
− 3 5+ 3
3
5
1 − tg x ⋅ tg
1−
4
5
25 + 2 ⋅ 5 ⋅ 3 + 3 28 + 10 3 14 + 5 3
=
=
=
11
25 − 3
22
tg x + tg
07
2 6


1
a
y
x ∈ 4o quadrante
3
100 tg y = 30 ⇒ tg y =
10
05
x
5
3−5
15 =  − 2  ⋅ 15 = − 1
1  15
5  16
8
1+
15
5
1
09
1
3
1 2 2 1 3
⋅
+ ⋅
⇒
2 3
3 2
2 2+ 3
⇒
6
⇒
1
1
tg x − tg y
tg y
=− ⇒
=−
1 + tg x ⋅ tg y
3
1 + 2tg2 y
3
−3tg y = 1 + 2tg2 y ⇒ 2tg2 y + 3tg y + 1 = 0
1
tg y = −1 e tg x = −2 ou tg y = − e tg x = −1
2
π
π
6


08 sen  x −  + cos  x −  =


4
4
2
sen x ⋅
6
2
2
2
2
−
+
sen x =
cos x + cos x ⋅
2
2
2
2
2
π
6
3
2π
⇒ sen x =
⇒ x = ou x =
2
2
3
3
 π 2π 
S= ,

3 3 
2sen x =
1a Série – Ensino Médio
7
TRIGONOMETRIA
LIVRO 3
Resoluções de ENEM e vestibulares
01 D
Como: sen 15º = sen ( 45º − 30º )
= sen 45º ⋅ cos 30º − sen 30º ⋅ cos 45º
=
Então: sen 15º =
2 3 1 2
⋅
− ⋅
=
2 2 2 2
sen2 x + cos2 x = 1
6− 2
4
2
144
 12 
⇒
sen2 x +  −  = 1 ⇒ sen2 x = 1 −
 13 
169
h1
a ( 6 − 2)
⇒ h1 =
4
a
Além disso, sen 45º =
⇒ senx = ±
5
25
⇒ sen x = ±
169
13
h2
a 2
⇒ h2 =
a
2
Como o arco x tem extremidade no terceiro quadrante,
a ( 6 − 2) a 2
+
4
2
a ( 6 + 2)
=
4
Então: h1 + h2 =
tem-se: senx = −
= sen 45º ⋅ cos 30º + sen 30º ⋅ cos 45º
=
2 3 1 2
⋅
+ ⋅
=
2 2 2 2
5
.
13
Calculando a tangente de x:
Por outro lado, sen 75º = sen ( 45º + 30º )
Então: sen 75º =
03 D
No terceiro quadrante, senos e cossenos são negativos.
Utilizando a relação fundamental, tem-se:
6+ 2
4
h3
a ( 6 + 2)
⇔ h3 =
a
2
5
−
senx
5
13
tg x =
=
=
cos x − 12 12
13
04 B
tg α + tg β
1 − tg α ⋅ tg β
1 1
+
3
2 = 1 ⇒ log o α + β = π rad
tg ( α + β ) =
1 1
4
1− ⋅
3 2
tg ( α + β ) =
Portanto, h1 + h2 = h3.
02 D
2
,
2
segue que a = 45º + 90º = 135º. Por outro lado, sabendo
1
que Q é do terceiro quadrante e cos 60º = , vem:
2
b = 60º + 180º = 240º.
Como P pertence ao segundo quadrante e sen 45º =
C
45º
Portanto:
1
tg ( α + β) = tg (135º + 240º )
= tg (360º + 15º )
= tg 15º
= tg ( 45º − 30º )
tg 45º − tg 30º
=
1 + tg 45º ⋅ tg 30º
135º
A
a
1
M
b
1
45º
B
1
05 A
3
1−
3 − 3 (3 − 3 ) 9 − 6 3 + 3
3
=
⋅
=
=
3 3 + 3 (3 − 3 ) 32 − ( 3 )2
1 + 1⋅
3
6 (2 − 3 )
=
=2− 3
6
Como x e y são arcos complementares, sen x = cos y,
sen y = cos x e tg x =
sen ( y − x ) =
1a Série – Ensino Médio
1 .
tg y
1
3
1
TRIGONOMETRIA
LIVRO 3
1
3
1
cos x ⋅ cos x − senx ⋅cos x =
3
1
2
2
cos x − sen x =
3
1
2
2
cos x − (1 − cos x ) =
3
1
2 ⋅ cos2 x = + 1
3
2
cos2 x =
3
e sen2 x = 1 − cos2 x
1
Logo, sen2 x =
3
1
1
e tg2 x = 3 = .
2 2
3
L og o, tg2 y = 2
1 3
Portanto: tg2 y − tg2 x = 2 − =
2 2
11 C
seny ⋅ cos x − senx ⋅ cos y =
5
x
3

2
( −1) ⋅  −
⋅ 3
 2 
6
3 2
=
⋅ (− 3 ) = −
2
2
 1 
1⋅ 1⋅  −


3
13 D
cos (π + x) = – cos x
cos (–x) = cos x
cos (π – x) = – cos x
sen (–x) = – sen x
sen (π – x) = sen x
cos x = cos x
Então:
A=
− cos x + cos x − cos x
− senx + senx + cos x
cos x
cos x
A = −1
A=−
3
3
−
−
− 1− 0
2
2
 3
2 ⋅
 −1
 2 
14 D
1
=1
cos 0 o
−( 3 + 1)
07 A
sen4 a – cos4 a =
= (sen2 a)2 – (cos2 a)2 = (sen2 a + cos2 a) · (sen2 a – cos2 a) =
= 1 · (sen2 a – cos2 a) =
= (sen a + cos a) · (sen a – cos a) =
= n · m = mn
3
15
2 10
 −2 10 
2⋅

 3 
−4 10
 −4 10 
3
=
=
x=
2

40
 3 
 2 10 
1−
1− 
9

 3 
π
 = cos ( π − x ) = − cos x
2
09 E
sen 105º = sen (60º + 45º) =
= sen 60º · cos 45º + sen 45º · cos 60º=
θ
7
08 E
16
4
3 2
2 1
⋅
+
⋅ =
2 2
2 2
2  3 1
2 3 +1
2 ⋅ ( 3 + 1)
=
⋅
=
=
⋅
+
2  2 2 
2
2
4
10 D
sen 90 o + 2cotg 45o − cos180 o 1+ 2 + 1
=
=2
1 ⋅ 1+ 1
tg 45o ⋅ cossec 90 o + sec 360 o
 3 
−9  12 10
=
⋅
 31 
31


x
=
2
4
 2 
tg2 x = 
= = 0, 8
 5 
5
12 D
06 cos 150º + sen 300º − tg 225º − cos 90º
π
π

sen  x −  = cos  − x +
2


2
2
2
3
5
 5
 5 5
−
−
 5   3


 4 3
= 12 ⋅  12  = 12 ⋅  −
⋅ −
= 15
y = 12 ⋅ 

1
4
 12   1
 − 
 1 − 
3
3
1a Série – Ensino Médio