Unidade II – Matemática – Série 4 – Tangente de um arco trigonométrico e outras relações
trigonométricas
01
a) tg 135°
tg 135° = −tg 45° = –1
b) tg 210°
tg 210° = tg 30° =
3
3
c) tg 300°
tg 300° = − tg 60° = − 3
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Resposta:
a) –1
b)
3
3
c) − 3
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trigonométricas
02
sen
x
3x
+ 2 tg
2
4 , com x = π temos:
3
3 cos x
π
π 1
+ 2 ⋅ tg
+ 2 ⋅1
6
4 =2
=
π
1
3 ⋅ cos
3⋅
3
2
sen
Resposta: B
5
2 =5⋅2=5
3 2 3 3
2
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03
2
, pela relação fundamental temos:
3
4 5
cos2 x = 1 − sen2 x ∴ cos2 x = 1 − =
9 9
Como sen x =
Logo, tg2 x =
sen2 x
.
cos2 x
4
4 9 4
tg2 x = 9 = ⋅ = = 0,8
5 9 5 5
9
Resposta: C
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04
2
3
16
4
 3
sen x = − ∴ cos2 x = 1 −  −  =
=±
5
25
5
 5
Como x pertence ao 4º quadrante: cos x =
3
−
sen x
3
Logo: tg x =
∴ tg x = 5 = −
4
cos x
4
5
Resposta: A
4
5
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05
0 ≤ x ≤ 2π
a) tg x + 3 = 0 ∴ tg x = − 3
 2π 5 π 
S= ,

3 3 
b) 3 tg x − 3 = 0 ∴ tg x =
 π 7π 
S= ,

6 6 
Resposta:
 2π 5 π 
a) S =  ,

3 3 
 π 7π 
b) S =  ,

6 6 
3
3
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06
tg x =
1
∴ tg2 x = 1∴ tg x = ± 1
tg x
 π 3π 
Como 0 ≤ x ≤ π, então S =  ,

4 4 
 π 3π 
Resposta: S =  ,

4 4 
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07
( tg x
(
)
+ 1) tg x − 3 = 0
tg x = −1 ou tg x = 3
3π
7π
π
5π
ou x =
ou x = ou x =
4
4
3
3
7π
Logo, a maior raiz é 4 .
x=
Resposta: D
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08
tg2 x − 2tg x + 1 = 0
∆ = (−2)2 − 4 · 1 · 1
∆=0
π
5π
−( −2) ± 0
tg x =
= 1∴ x = ou x =
4
4
2 ⋅1
Resposta: E
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09
θ = 89°
Pelo ciclo trigonométrico, temos que sen 89° > cos 89°e tg 89° tende para
um valor infinito.
Logo, cos 89° < sen 89° < tg 89°.
Resposta: B
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10
tg x = cos x ∴
sen x
= cos x
cos x
 π 3π 
C.E: cos x ≠ 0 ∴ x ≠  , 
2 2 
2
sen x = cos x ∴ sen x = 1 − sen2 x
sen2 x + sen x − 1 = 0
∆= 1 + 4 = 5
−1 ± 5
π
, como 0 < x < , então sen x > 0
2
2
−1 + 5
∴ sen x =
2
sen x =
Resposta: C
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11
sen x = cos x
Dividindo-se os dois membros da equação por cos x, temos:
sen x cos x
π
5π
=
∴ tg x = 1 ∴ x = ou x =
cos x cos x
4
4
Resposta: E
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12
2sen θ = 3tg2θ
2 sen θ = 3 ⋅
sen2 θ
π
.(Como 0 < θ < , sen θ ≠ 0)
2
cos θ
2
2 sen θ = 3 ⋅
sen θ ⋅ sen θ
cos2 θ
2 cos2 θ = 3 sen θ∴ 2(1− sen2 θ) = 3sen θ
−2 sen2 θ − 3 sen θ + 2 = 0
∆ = 9 + 16 = 25
3±5
sen θ =
−4
sen θ = −2, (Não convém) ou sen θ =
cos θ = cos
π
3
=
6
2
Resposta: B
1
π
∴θ =
2
6
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13
tg ( π − α ) =
sen ( π − α )
cos ( π − α )
Pela simetria do ciclo trigonométrico observamos que
sen (π − α) = sen α = a
cos (π − α) = −cos α.
cos2 α = 1 − a2 ∴ cos α = 1 − a2
tg ( π − α ) = −
Resposta: A
a
1 − a2
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14
sen x
⋅ cos x
tg x ⋅ cos x cos x
sen x
=
=
y=
2
2
cos x − 1 −(1− cos x) −sen2 x
y=−
1
1
5
=− =−
2
sen x
2
5
Resposta: D
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15
1
, cos a = ?
2
sen a 1
= ∴ 2sen a = cos a
cos a 2
tg a =
(2sen a)2 = (cos a)2
4sen2 a = cos2 a
4 (1 − cos2 a) = cos2 a
5 cos2 a = 4
Logo: cos a = ±
2 5
5
2 5
 π
Como a ∈  0,  , então cos α =
5
 2
Resposta: D
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16
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17
cos2 x sen2 x + cos2 x
1
2
2
2
1 + cotg x
sen x =
sen x
=
= sen x =
2
3
3
3 ⋅ sec x 3 ⋅ 1
2
2
cos x
cos x
cos2 x
2
=
1+
1
cos2 x cotg2 x
⋅
=
sen2 x
3
3
Resposta: D
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18
sen x =
2
3
π

 com 0 < x < 
2

sen x + cos x
1
1
+
sec x + cosec x cos x sen x
cos x ⋅ sen x
=
=
=
sen
x
1 + tg x
+
cos
x
sen
x
1+
cos x
cos x
1
1 3
=
=
= = 1,5
2 2
sen x
3
Resposta: A
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19
sen x =
y=
1
2
π

 com 0 < x < 
2

cos x
tg x + sec x
⇒ y=
cos x
sen x
1
+
cos x cos x
⇒ y=
cos x
⇒
sen x + 1
cos x
cos2 x
⇒ y=
sen x + 1
Mas se sen x =
1 
π
3
com 0 < x <  , então cos x =
. Assim :

2 
2
2
2
 3


2 

y=
=
1
+1
2
Resposta: D
3
4
3
2
⇒ y=
1
2
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20
3 − cos2 x
3 − cos2 x
cos2 x
2
−
2
⋅
cotg
x
=
−
2
⋅
=
sen2 x
sen2 x
sen2 x
=
3 − cos2 x − 2cos2 x 3 − 3cos2 x 3 ⋅ (1 − cos2 x)
=
=
=
sen2 x
sen2 x
sen2 x
=
3 ⋅ sen2 x
=3
sen2 x
Resposta: A
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21
sen
sen a ⋅ tg a ⋅ cosec a
cos
=
cos a ⋅ cotg a ⋅ sec a
cos
cos a ⋅
sen
sen a ⋅
sen a
2
 sen a 
= cos a = 
= tg2 a
cos a  cos a 
sen a
Resposta: E
a
1
⋅
a sen a
=
a
1
⋅
a cos a
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22
cos x
sen x ⋅ cos2 x − cos x
cos x − cotg x
sen x =
sen x
=
=
2
2
senx
cos
x
sen
x
senx
⋅
−
sen x − tg x
2
sen x −
cos x
cos x
2
cos2 x −
cos x ⋅ ( sen x ⋅ cos x − 1 )
cos x
2
 cos x 
2
sen
x
sen
x
=
=
=
 = cotg x
sen
x
sen
x
sen x ⋅ ( sen x ⋅ cos x − 1 )


cos
x
cos x
Resposta: E
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23
1
sen2 x
1 − sen2 x
−
sec x − tg x cos2 x cos2 x
cos2 x
=
=
=
2
2
2
1 + cotg x
cos x
sen x + cos2 x
1+
sen2 x
sen2 x
2
2
cos2 x
2
1
= cos x =
= sen2 x
1
1
sen2 x
sen2 x
Resposta: C
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24
sec² x = tg x + 1 (para 0 < x < 2π)
1
sen x
=
+ 1 ⇒ 1 = sen x . cos x + cos² x
cos² x
cos x
Como sen² x + cos² x = 1, podemos escrever :
sen² x + cos² x = sen x ⋅ cos x + cos² x
( ÷ cos x)
sen² x = senx . cosx
sen x ⋅ ( sen x − cos x ) = 0
Daí:
i sen x = 0 ∴ x = π
ou
i sen x − cos x = 0 ⇒ sen x = cos x ∴ x =
Soma das raízes = π +
Resposta: A
π 5π 10π 5π
+
=
=
4 4
4
2
π
5π
ou x =
4
4
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25
4 ⋅ (1 − sen2 x) ⋅ (sec 2 x − 1) = 3
π

 para 0 ≤ x ≤ 
2

 1

4 ⋅ (cos2 x) ⋅ 
− 1 = 3
2
 cos x 
 1 − cos2 x 
4 ⋅ ( cos2 x ) ⋅ 
=3
 cos2 x 


4 ⋅ (1 − cos2 x) = 3 ⇒ 4 ⋅ sen2 x = 3 ⇒ sen2 x =
Daí:
i sen x =
3
2
∴ x=
π
3
ou
i sen x = −
3
(não convém)
2
Resposta: B
3
4
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26
sen4 α − cos4 α =
( sen
2

 π
 com α ∈ 0,  
 2

1
4
)(
)
α + cos2 α ⋅ sen2 α − cos2 α =
1
4
⇒ sen2 α − cos2 α =
1
(
)
⇒ sen2 α − 1 − sen2 α =
⇒ 2sen2 α − 1 =
1
4
1
4
⇒ sen2 α − 1 + sen2 α =
⇒ 2sen2 α =
5
4
⇒ sen2 α =
1
4
5
8
Ainda :
sen2 α + cos2 α = 1 ⇒
5
3
+ cos2 α = 1 ⇒ cos2 α =
8
8
Daí :
sen α
= tg2 α ⇒
2
cos α
2
⇒ tg2 α =
5
8 = tg2 α ⇒
3
8
5
5
∴ tg α =
3
3
Resposta: B
(α ∈ primeiro quadrante)
⇒
1
4
⇒
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27
y=
1
1
+
2
1 + tg x cosec 2 x
⇒ y=
⇒ y=
1
1
+
2
1
sen x
1+
2
sen2 x
cos x
⇒
1
1
+ sen2 x ⇒ y =
+ sen2 x ⇒
2
1
cos x + sen x
cos2 x
cos2 x
2
⇒ y = cos2 x + sen2 x ⇒ y = 1
A função é constante (reta paralela ao eixo x) e passa pelo ponto (0, 1).
Resposta: A