Analise Matematica I
2o Semestre de 2005/06
10a Aula Pratica - Semana 8-5 a 12-5
Soluco~es e algumas resoluco~es abreviadas
1. a) sen (2a) = sen (a + a) = cos a sen a + sen a cos a = 2 sen a cos a;
b) De cos(2a) = 2 cos2 a 1, para qualquer a 2 R, temos
cos(a) = 2 cos2
a
1 , cos2
2
a
2
=
1 + cos a
:
2
2. a) sen ( ) = sen 2 2 = 2 sen 2 cos 2 = 0.
p
1 cos 1
= 2 . Como sen x > 0, para
2
b) sen 2 4 =
=
,
sen
2
2
4
2
p
x 2]0; [, tem-se sen 4 = 22 .
c) Usar sen (a + b), com b = 2 .
d) Usar sen (a + b), com b = 2 .
3. De Ex.1.c):
sen a
sen b = 2 sen
a b
2
cos
a+b
2
:
Se a; b 2 [0;2 ], com a > b, ent~ao 0 < a 2 b 4 , e 0 < a+2 b 2 ,
logo cos a+2 b > 0 e sen a 2 b > 0 (de cos x > 0 para x 2] 2 ; 2 [ e de
sen (a + 2 ) = cos a tem-se sen x > 0, para ]0; [). Logo, sen a sen b >
0 , sen a > sen b, e sen e estritamente crescente.
4. a) Escreva sen (3x) = sen (2x + x) e use as express~oes para sen (2x),
cos(2x) e a formula fundamental da trigonometria.
b) De cos 3x = 4 cos3 x 3 cos x, temos
cos
2
= 4 cos3
6
3 cos
6
,
,
,
cos (4 cos2
6
6
cos
6
= 0 _ cos2
p
3
cos =
6
2
3) = 0
6
=
3
4
uma vez que cos x > 0 para x 2] 2 ; 2 [.
Usando a formula fundamental da trigonometria, temos sen 6 = 21 .
5. a) 1 + tg 2 x = 1 +
x
x =
sen 2
cos2
cos2
x
+ sen 2
cos2
x
x =
1
cos2
2
x = sec x;
(x y )
e use as express~oes para sen (x
b) Escreva tg (x y ) = sen
cos(x y )
cos(x y ) em funca~o de sen x, cos x, sen y , cos y .
6. a) ch 2 x
x
sh 2 x = (e +4e
x
d) 2 sh x ch x = 2 (e e
x )2
ex e
(
4
x )(ex +e x )
4
x )2
2x
= (e +2+e
2x
= e 2e
2x
f) De e) e a), temos ch 2x = 1 + 2 sh 2 x
sh 2 x2 = ch x2 1
2x ) (e2x 2+e 2x )
4
y) e
= 1;
= sh 2x;
,
sh 2 x =
x
ch 2
2
1
. Logo,
x
7. b) Temos ch x > e2 , logo, como ex n~ao e majorada, ch x tambem n~ao
e.
c) ex e crescente, logo e x e decrescente, logo e x e crescente. Assim, sh x, sendo a soma de duas funco~es crescentes, sera tambem
crescente.
b
8. a) eb log a = elog a = ab ;
b) Uma vez que y = ax sse x = loga (y ), para vermos que loga y =
log y
e suciente mostrar que a log a = y . Ent~ao, de a),
log
log
y
a,
a log a = e log a log a = elog y = y:
log y
log y
9. f : D ! R funca~o injectiva e g : f (D) ! D a sua inversa.
a) Seja f crescente. Como f e injectiva, f e estritamente crescente.
Logo, para x; x0 2 D, x > x0 , f (x) > f (x0 ). Ent~ao, para y; y 0 2
f (D), y = f (x), com y0 = f (x0 ) (ou seja, g(y) = x, g(y0 ) = x0 )
temos
y > y0 , f (x) > f (x0 ) , x > x0 , g(y) > g(y0 ):
Logo g e (estritamente) crescente.
b) Para y 2 f (D), seja x 2 D, com y = f (x), ou seja, tal que g (y ) = x.
Ent~ao y = f (x) = f ( x), porque f e impar, logo g ( y ) = x,
e assim g ( y ) = x = g (y ), e g e impar.
c) Directamente de a) e b) e das propriedades de sen x, cos x, tg x.
10. De Ex.2.a) e b) e de Ex.4.b), e de, por denica~o, arcsen [ 1; 1] = 1
1 = 0, arcos
=
[ 2 ; 2 ], arcos [ 1; 1] = [0; ], tem-se arcos 0 = 2 , arcos
2
p
p
p
3
2
1
, arcsen
= 6 , arcsen 23 = 3 , arcos
= 56 , arcsen 22 =
3
2
2
, arctg 1 = , arctg (
4
4
p
3).
12. sen x = a , x = arcsen a + 2k , k
k 2 Z.
2 Z,
tg x = a , x = arctg a + k ,
13. a) Directamente da denica~o de arcos .
b) Directamente da denica~o de arcsen
c) Se = arcsen x, ent~ao sen = x e 2 2 ; 2 .pQueremos calcular
2
cos . De cos
+ sen 2 = 1, temos cos = 1 sen 2 . Como
2 2 ; 2 , cos 0, logo
cos( arcsen x) = cos =
p
sen 2 =
1
p
x2 :
1
d) Como c).
e) Se = arcsen x, x 6= 1, ent~ao sen = x e 2 2 ; 2 . Queremos
1
calcular tg . De 1 + tg 2 = cos12 = 1 sen
2 temos
tg 2 =
sen 2 1
1
=
sen 2 1 sen 2 1
Logo,
r
, tg = Se 2
pj sen j :
1 sen pjxj :
1 x
; 0, ent~
ao sen 0 , jxj = x. Como tg 0, temos
x
tg ( arcsen x) = p
:
tg ( arcsen x) =
sen 2 =
1 sen 2 2
2
Se 2 0;
2
x2
1
, sen 0 , jxj = x. Como tg 0, temos
tg ( arcsen x) =
p x
1
x
2
=
p x
1
x2
:
f) Como e).
14. a) Como ex e crescente, com contradominio ]0; +1[, o contradominio de
f e ]e 2 ; +1[. Para x > 0 e y 2]e 2 ; +1[, temos
p
f (x) = y , ex 2 = y , x2 2 = log y , x = log y + 2:
Logo, a inversa de f e
p
f 1 : ]e 2 ; +1[! R+ ; f 1 (y) = log y + 2:
2
2
b) O contradominio de sen x restrito a ] 2 ; 2 [ e sen ] 2 ; 2 [=] 1; 1[,
logo o contradominio de f e ] 2; 2[. Para x 2] 2 ; 2 [, y 2] 2; 2[,
temos
y
f (x) = y , 2 sen x = y , x = arcsen
2
y
(note-se que 2 2] 1; 1[, que e o dominio de arcsen x). Logo a inversa
de f e
y
f 1 : ] 2; 2[!]
; [; f 1 (y) = arcsen :
2 2
2
y.
c) f 1 : ] 1; 1[!]0; 2 [; f 1 (y ) = arcos
2
d) f 1 : R !]1 2 ; 1 + 2 [; f 1 (y ) = 1 + arctg y .
15. Temos sh : R ! R estritamente crescente, logo a sua inversa argsh :
R ! R e dada por, para x; y 2 R,
argsh x = y
,
,
,
,
ey e y
x=
2
ey e y 2 x = 0
e2y 1 2p
xey = 0
2 x 4 x2 + 4
ey =
:
2
Como ey > 0, temos
2x +
ey =
p
p
p
4 x2 + 4
= x + x2 + 1 , y = log(x + x2 + 1):
2
Para argch , e semelhante, sendo que temos de restringir ch y a y 0.