MATEMÁTICA
M ATEMÁTICA
1a Edição - 2008
SOMESB
S OCIEDADE M ANTENEDORA DE E DUCAÇÃO S UPERIOR DA B AHIA S/C LTDA .
W ILLIAM O LIVEIRA
P RESIDENTE
S AMUEL S OARES
S UPERINTENDENTE A DMINISTRATIVO E F INANCEIRO
G ERMANO TABACOF
S UPERINTENDENTE DE E NSINO, P ESQUISA E E XTENSÃO
P EDRO DALTRO G USMÃO DA S ILVA
S UPERINTENDENTE DE D ESENVOLVIMENTO E P LANEJAMENTO ACADÊMICO
FTC EAD
FACULDADE DE T ECNOLOGIA E C IÊNCIAS – E NSINO A D ISTÂNCIA
R EINALDO DE O LIVEIRA B ORBA
D IRETOR G ERAL
M ARCELO N ERY
D IRETOR ACADÊMICO
R OBERTO F REDERICO M ERHY
D IRETOR
DE
D ESENVOLVIMENTO
E I NOVAÇÕES
M ÁRIO F RAGA
D IRETOR C OMERCIAL
J EAN C ARLO N ERONE
D IRETOR DE T ECNOLOGIA
A NDRÉ P ORTNOI
D IRETOR A DMINISTRATIVO E F INANCEIRO
R ONALDO C OSTA
G ERENTE DE D ESENVOLVIMENTO E I NOVAÇÕES
J ANE F REIRE
G ERENTE DE E NSINO
L UÍS C ARLOS N OGUEIRA A BBEHUSEN
G ERENTE DE S UPORTE T ECNOLÓGICO
O SMANE C HAVES
C OORD. DE T ELECOMUNICAÇÕES E H ARDWARE
J OÃO J ACOMEL
C OORD. DE P RODUÇÃO DE M ATERIAL D IDÁTICO
M ATERIAL D IDÁTICO
P RODUÇÃO ACADÊMICA
J ANE F REIRE
G ERENTE DE E NSINO
A NA PAULA A MORIM
S UPERVISÃO
F ERNANDA L ORDÊLO
A NA PAULA A NDRADE M ATOS M OREIRA
M ARIA VALESCA S ILVA
C OORDENADORES
G ECIARA
DA
DE
C URSO
S ILVA C ARVALHO
AUTOR ( A )
P RODUÇÃO T ÉCNICA
J OÃO J ACOMEL
C OORDENAÇÃO
M ÁRCIO M AGNO R IBEIRO DE M ELO
R EVISÃO DE T EXTO
PAULO H ENRIQUE R IBEIRO
R EVISÃO DE C ONTEÚDO
DO
N ASCIMENTO
A DRIANO P EDREIRA C ATTAI
PAULO H ENRIQUE R IBEIRO DO N ASCIMENTO
E DIÇÃO
EM
LATEX 2ε
E QUIPE
A NDRÉ P IMENTA , A NTONIO F RANÇA F ILHO, A MANDA RODRIGUES , B RUNO B ENN DE LEMOS, C EFAS G OMES, C LÁUDER
F REDERICO F ILHO, F RANCISCO F RANÇA J ÚNIOR , H ERMÍNIO F ILHO, I SRAEL DANTAS, J OHN C ASAIS, MÁRCIO S ERAFIM ,
MARIUCHA S ILVEIRA P ONTE E
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Sumário
Bloco 1: A Matemática e Sua Aplicabilidade no Mundo da Economia e
dos Negócios
7
Tema 1: Saberes Matemáticos Básicos
7
Revisão de Conjuntos, Conjuntos Numéricos e suas Operações
8
1.1
Operações de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.1
União de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.2
Intersecção de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.3
Diferença de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.1.4
Conjunto Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Conjuntos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2
1.2.1
Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2.2
Arredondamento (aproximação) de número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2.3
Regras de Aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2.4
Regras Importantes Utilizadas nas Operações com Números Reais . . . . . . . . . . . .
14
Um Pouco Sobre Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.3
1.3.1
◦
Equação do 1 grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Razões, Proporções e Porcentagens
17
18
1.4
Algumas Propriedades Importantes das Proporções
1.5
O que é porcentagem? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.6
A Taxa Percentual ou Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funções. Funções do 1◦ e 2◦ Graus
1.7
23
O Conceito de Função no Cotidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
◦
1.8
Funções do 1 Grau
19
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.8.1
Gráfico de uma Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.8.2
Zeros ou Raízes de uma Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
◦
1.9
Funções do 2 Grau (ou Quadráticas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.9.1
Zeros da Função do 2◦ Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.9.2
Gráfico de uma Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Atividade Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.10
Tema 2: Estudo de Funções Econômicas
36
Funções Custo, Receita e Lucro
36
2.1
Função Custo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.2
Função Receita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Funções Oferta e Demanda
2.3
42
Função Oferta e Função Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Outras Funções Importantes
42
44
2.4
Funções de Depreciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.5
Composição de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.6
Funções Definidas por mais de uma Sentença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.7
Funções de Duas Variáveis
47
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matemática
3
2.8
Atividade Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bloco 2: O Cálculo e sua Interface na Economia
50
Tema 3: O Estudo de Outras Funções Matemáticas e suas Aplicações
50
Funções Exponenciais
3.1
Funções Exponenciais e suas Aplicações
3.2
Funções Exponenciais . . . . . . . . . . .
3.2.1 Crescimento Exponencial . . . . . . .
3.2.2 Decrescimento Exponencial . . . . . .
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50
50
52
54
55
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55
55
56
56
57
58
Funções Trigonométricas
3.5
Características de Algumas Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6
Atividade Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
60
61
Tema 4: O Cálculo Diferencial e suas Aplicações
63
Noções Básicas de Limites
4.1
Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
65
Derivadas e suas Aplicações
4.2
Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Pontos de Máximos e Mínimos . . . . . . . . . . . .
4.4
Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia)
4.4.1 Notação de Derivadas . . . . . . . . . . . . . .
4.5
Derivadas de Algumas Funções Elementares . . .
4.6
Taxas de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Funções Logarítmicas
3.3
Funções Logarítmicas e suas Aplicações . . . . .
3.3.1 Um Pouco de História . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Propriedades Fundamentais dos Logaritmos
3.4
Funções Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Aplicações dos Logaritmos . . . . . . . . . .
4.7
4.8
4.9
4.10
Taxa de Variação Percentual . . . . .
Aproximação por Diferenciais . . . .
Aproximação da Variação Percentual
Atividade Complementar . . . . . . .
Referências Bibliográficas
4
48
FTC EAD |
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72
74
A PRESENTAÇÃO
DA
D ISCIPLINA
Prezado,
Seja bem vindo! Neste impresso, dialogaremos sobre a disciplina Matemática. Ele foi concebido e
escrito com o objetivo de tratar, da melhor maneira possível, alguns aspectos da Matemática, seus
objetivos, utilidades e aplicabilidades necessárias aos estudantes dos cursos de Bacharelado em
Administração, Bacharelado em Ciências Contábeis, dentre outros. Certamente, sua organização e
abordagem possibilitam que o assunto seja interessante e facilitador da aprendizagem.
Com ênfase em aplicações e na solução de problemas do cotidiano, utilizaremos, principalmente,
os conteúdos do Cálculo Diferencial e Integral. No entanto, ressaltamos que alguns cuidados devem
ser tomados para se obter SUCESSO nessa disciplina:
1. Não transfira para o professor a responsabilidade de fazer com que você aprenda todos os
conteúdos programáticos. A Matemática se aprende lendo, refletindo e exercitando MUITO.
2. Refaça os exercícios resolvidos entendendo cada raciocínio utilizado no desenvolvimento para
encontrar a solução.
3. Resolva todos os exercícios complementares e propostos.
4. Aplique o conteúdo à sua vida diária e teste os conhecimentos em exercícios que o estimulam
a escrever a respeito da Matemática usando não apenas símbolos, mas também palavras.
5. Revise os conceitos básicos de vários assuntos vistos nas séries finais do ensino fundamental
e do ensino médio, como, por exemplo, o de números reais, equações e funções.
6. Utilize uma calculadora científica, quando julgar necessário.
Portanto, longe de tornar este material uma coletânea de conteúdos organizados de uma maneira
que somente os técnicos possam interpretá-los, buscamos uma linguagem simples e objetiva que
possa levá-lo à compreensão dessa maravilhosa ferramenta que é a Matemática.
Esteja sempre atento, pois acreditamos que devemos buscar entender todo o conteúdo e os
mecanismos que facilitam a compreensão de uma determinada teoria ou problema. Desta forma,
você aprenderá e sentirá cada vez mais prazer em estudar.
Prof.
Geciara da Silva Carvalho
BLOCO 01
A Matemática e Sua Aplicabilidade no
Mundo da Economia e dos Negócios
A formulação matemática de um problema proveniente de uma situação prática freqüentemente origina
expressões que envolvem a combinação de Funções, integrada com outros conceitos básicos.
Considere os seguintes questionamentos:
• O preço do combustível é indicado por R $2, 899 (número com 3 casas decimais) em uma das fotos e
o volume de abastecimento é registrado como 38, 4L (número com 2 casas decimais). Isso implica em
vantagem ou desvantagem para o consumidor?
• Como a alteração na demanda de certo produto afeta o preço do mesmo?
• Que efeitos têm os impostos sobre o preço e a quantidade para certo produto? Quem paga a conta? O
produtor ou o consumidor?
• Será que é possível determinar a depreciação de um determinado bem?
• Como o Lucro de uma empresa está relacionado com seu nível de produção?
O uso dos conceitos e das propriedades matemáticas básicas nos permite responder tais perguntas, pois
estes representam ferramentas para o desenvolvimento e compreensão de modelos matemáticos de fenômenos do mundo real. Além disso, o estudo de funções constitui o objeto fundamental do Cálculo Diferencial
e suas aplicações, objeto de estudo do Bloco 2. Nesta perspectiva, faremos uma abordagem prática de tais
conteúdos de modo que você possa compreender e apreender sobre os modelos econômicos e financeiros.
No Tema 1 deste bloco, trabalharemos os Saberes Matemáticos Básicos e, no Tema 2, o Estudo de Funções
Econômicas. Tais conceitos, sempre que possível, serão trabalhados de forma contextualizada. Buscaremos
tornar a aprendizagem de matemática prazerosa e desafiadora.
Objetivos deste bloco:
• Revisar os conhecimentos matemáticos básicos.
• Possibilitar ao estudante a compreensão de funções e suas aplicações no cotidiano das empresas.
• Tomar decisões a partir da análise de gráficos de funções.
• Desenvolver habilidades matemáticas que possibilitarão a resolução de problemas.
TEMA 01
Saberes Matemáticos Básicos
Os métodos de Cálculo fazem uso de várias técnicas da Álgebra elementar. Neste tema, faremos uma
Matemática
7
revisão desses tópicos a partir da teoria dos conjuntos numéricos.
Revisão de Conjuntos, Conjuntos Numéricos e suas
Operações
Você sabia que muitos dos problemas diários de um administrador ou gestor envolvem os conceitos básicos de matemática? No caso específico da teoria dos conjuntos, eles são importantes para a resolução de
problemas e para o desenvolvimento do raciocínio lógico.
Quando se fala de conjunto, lembramos, naturalmente, de coleção, classe, família. Ele é constituído de
elementos ou pode ser um conjunto vazio. Na verdade, conjunto é uma idéia primitiva, que não se define. Mas,
sabemos reconhecê-lo e caracterizá-lo. Por exemplo:
• os produtos produzidos pela Honda;
• os funcionários de uma empresa;
• os alunos da sua turma.
Em geral, os conjuntos são representados por letras maiúsculas: A, B , . . . , Z , enquanto que, os seus
elementos são representados por letras minúsculas: a, b , . . . , z .
Perceba que todo conjunto é bem caracterizado quando podemos estabelecer, com certeza, se um elemento
pertence ou não a ele. Daí surge uma relação muito importante: Relação de Pertinência entre o elemento e o
conjunto.
Por exemplo, você pertence ao conjunto de alunos dos cursos de bacharelado da FTC EAD e não pertence
ao conjunto de alunos que não gosta de Matemática. Não é?
Portanto, a ∈ A significa que a é um elemento, ou membro, do conjunto A e b 6∈ A significa que o objeto b
não é um elemento do conjunto A. Temos, aí, estabelecido a relação de pertinência. Por exemplo, se V é o
conjunto das vogais, então a ∈ V , mas b 6∈ V , pois b não é uma vogal. Se A = {x ; x 2 − 1 = 0}, observe que
−1 ∈ A e 1 ∈ A, pois (−1)2 − 1 = 1 − 1 = 0 e (1)2 − 1 = 0. Já 0 6∈ A, pois (0)2 − 1 = −1 6= 0.
Você sabia que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto? A esse
tipo de relação chamamos de Relação de inclusão.
Para A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4}, observe que todo elemento de A é
também um elemento de B . Quando isso acontece, dizemos que A é um
subconjunto de B .
B
A
1.1 Definição. Dados dois conjuntos A e B , diz-se que A está contido em B ou que A é subconjunto de B se, e
somente se, todo elemento do conjunto A também é elemento de B . Representamos esta relação da seguinte
forma: A ⊂ B .
Observe que, se A está contido em B (A ⊂ B ) é por que B contém A (A ⊃ B ). Por exemplo, o conjunto de
funcionários de um empresa de vendas contém o conjunto de vendedores.
A relação negativa também é utilizada da mesma forma que na relação de pertinência. Por exemplo, o
conjunto de funcionários de uma casa de tortas não contém o conjunto de entregadores, pois os mesmos são
terceirizados.
8
FTC EAD |
Nota 1.
Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja, A ⊂ A;
O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, ∅ ⊂ A, ∀ A.
Se um conjunto A possuir n elementos, então existem 2n subconjuntos em A.
Desta forma, para A = {2, 4, 6}, B = {1, 4, 5, 6} e C = {4, 6}, as seguintes afirmações (dentre outras) são
verdadeiras:
• 6∈A
• A 6⊂ B
• ∅⊂B
• {4, 6} ⊂ C
• {4} ⊂ A
• C ⊂B
• C ⊆A
• C ⊂A
1.1
1.1.1
Operações de Conjuntos
União de Conjuntos
Imagine que uma distribuidora de produtos aplicou uma pesquisa interna, em um setor comercial de uma
empresa, a fim de avaliar a preferência dos seus funcionários quanto aos produtos A e B , negociados pela
empresa. Observe o resultado da entrevista:
• Funcionários que usam o produto A: {Ana, Sandro, Fábio}.
• Funcionários que usam o produto B : {Paula, Sandro, Maria, Vitor}.
Então, o conjunto de funcionários que usam A ou B é:
{Ana, Sandro, Fábio, Vitor, Paula, Maria}.
Observe que a conjunção ‘ou’ gerou uma idéia de união dos conjuntos. Em geral, A
B
1.2 Definição. Dados os conjuntos A e B , define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto, representado por A∪B , formado por todos os elementos
pertencentes a A ou a B , ou seja: A ∪ B = {x ; x ∈ A ou x ∈ B }.
1.1.2
Intersecção de Conjuntos
Observe, no exemplo anterior, que o conjunto de funcionários que usam A e B é {Sandro}.
Perceba, neste caso, que a conjunção ‘e’ gerou uma restrição. Sandro usa os dois produtos e, portanto,
pertence a ambos. Em geral,
A
B
1.3 Definição. Dados os conjuntos A e B , define-se como intersecção dos
conjuntos A e B ao conjunto representado por A ∩ B , formado por todos os
elementos pertencentes a A ou B , ou seja: A ∩ B = {x ; x ∈ A e x ∈ B }.
Matemática
9
1.1.3
Diferença de Conjuntos
Então, o conjunto de funcionários que usam A e não usam B é:
A − B = {Ana, Fábio}
e o conjunto de funcionários que usam B e não usam A é:
{Paula, Maria, Vitor}.
Observe que, em ambos os casos, Sandro não pertence às diferenças A − B e B − A, pois Sandro é elemento
de A e de B . Em geral,
1.4 Definição. Dados os conjuntos A e B , define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto
representado por A − B formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B , ou
seja,
A − B = {x ; x ∈ A e x 6∈ B }.
1.1.4
Conjunto Universo
1.5 Definição. É o conjunto que contém todos os elementos de interesse para um determinado problema. Por
exemplo: o conjunto de pessoas que nasceram em cada estado brasileiro que vivem no Brasil.
Para Refletir
Na Matemática, precisamos considerar o que Francis Bacon disse:
“Quando o homem começa com certeza, termina com dúvidas; mas se ele se contenta em começar
com dúvidas, terminará com a certeza”.
Vamos aprender um pouco mais?
ER 1. Numa turma de 60 alunos 40 lêem do jornal A, 30 lêem o jornal B e 20 lêem os dois jornais. Determine:
(a) Quantos alunos só lêem o jornal A?
(b) Quantos alunos só lêem o jornal B ?
(c) Quantos alunos lêem o jornal A ou B ?
(d) Quantos alunos não lêem esses jornais?
Solução: Observe que:
• Os alunos que lêem apenas o jornal A pertencem à região A − B e
A
B
são 20 alunos.
40-20
• Os alunos que lêem apenas o jornal B pertencem à região B − A e
são 10 alunos.
10
FTC EAD |
20
30-20
• Os alunos que lêem o jornal A ou B pertencem à união dos conjuntos. Assim, a quantidade de elementos desta união é igual à soma 20 + 20 + 10 = 50 alunos.
• Os alunos que não lêem esses jornais são os que faltam à união dos dois conjuntos (50) para completar
a turma toda (60), ou seja, 10 alunos.
1.2
Conjuntos Numéricos
Os conjuntos de números usados em álgebra são, em geral, subconjuntos do conjunto dos números reais
R. A saber:
• Os Naturais N: São os números empregados em processos de contagem, ou seja,
N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
• Os Inteiros Z: Os números para contagem, acrescidos de seus opostos, ou seja,
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Quando trabalhamos com números negativos é sempre bom lembrar as propriedades:
Regras
Exemplos
−(−a) = a
−(−1)
(−a) · (−b ) = a · b
(−1) · (−2) = 2
(−1) · a = −a
(−1) · 4 = −4
−a · b = (−a) · b = a · (−b ) = −(−a)(−b )
−3 · 2 = −6
• Os Racionais Q: O conjunto de todos os números que podem ser escritos como um quociente
1 1
sendo p e q dois inteiros. Por exemplo, {2, , , 0, 2̄} ⊂ Q.
2 3
Nota 2.
Uma vez que 0 não admite inverso multiplicativo,
p
, q 6= 0,
q
p
não é definido.
0
Números decimais exatos são racionais. Por exemplo: 0, 2; 4, 3.
Dízimas periódicas são racionais. Por exemplo: 0, 22222 . . . =
52
2
e 0, 5252 . . . =
.
9
99
• Os Irracionais Q′ : São aqueles que não podem ser expressos na forma de fração, ou seja, não números
√
cuja representação decimal não é exata e nem periódica. Por exemplo: 3 = 1, 73205 e π = 3, 141592654.
• Os Reais R: É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.
Resumindo:
R
Q
I
Z
N
Assim, o número −2 é elemento dos conjuntos Z, Q e R; O
12, 5 é um elemento dos conjuntos Q e R. Já o 5π pertence aos
conjuntos Q′ e R.
Atenção! Lembre-se das operações entre duas frações. Elas serão de fundamental importância para fazer
cálculos que envolvam os números reais.
Matemática
11
Adição ou subtração de frações.
c
a·d ±b·c
a
± =
b d
b·d
Assim,
1
+
2
1 3
1·4−2·3
4−6
−2
−2 ÷ 2
− =
=
=
=
=
2 4
2·4
8
8
8÷2
Multiplicação de frações.
Assim,
4
3
1
4
=
1·3+2·4
3+8
11
=
=
2·3
6
6
a·c
a c
· =
b d
b·d
1 4
1·4
4÷2
2
· =
=
=
2 3
2·3
6÷2
3
Divisão de frações.
a
c
a d
÷ = · .
b d
b c
Assim,
1 3
3
1 4
÷ = · = .
2 3
2 4
8
1.2.1
Intervalos
1.6 Definição. É um subconjunto dos números reais que pode ser representado por um segmento de reta
graduada.
Um intervalo é definido através de desigualdades. Sendo a e b dois números reais, com a < b , temos os
seguintes intervalos:
• Intervalo fechado nos extremos a e b : [a, b ] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b }.
• Intervalo fechado em a e aberto em b : [a, b [= {x ∈ R; a ≤ x < b }.
• Intervalo aberto em a e fechado em b : ]a, b ] = {x ∈ R; a < x ≤ b }.
• Intervalo aberto nos extremos a e b : ]a, b [= {x ∈ R; a < x < b }. Temos, também:
• [a, +∞[= {x ∈ R; x ≥ a}
• ] − ∞, b ] = {x ∈ R; x ≤ b }
1.2.2
Arredondamento (aproximação) de número
Leia atentamente e analise a situação problema abaixo:
Artimanhas do Comércio!
Pela figura da bomba de combustível perceba que:
12
FTC EAD |
1. O preço dos combustíveis é dado com três casas decimais. Por outro lado, nosso
sistema monetário trabalha com duas casas decimais. Assim, como podemos justificar esse fato, aparentemente incongruente com o que se aprende na escola?
2. O preço do combustível é R $2, 299 em uma das fotos e o volume de abastecimento
registrado é 38, 4L. Então, o preço a ser pago é indicado com quantas casas decimais? E para você, o valor final cobrado pelo combustível é dado com quantas
casas decimais? Prevaleceu algum arredondamento? Isso implica vantagem ou
desvantagem para o consumidor?
Observe que para responder estas questões você precisará fazer uso dos conhecimentos da aproximação
de números. Para tanto, veja aqui as regras de arredondamento de um número:
1.2.3
Regras de Aproximação
1. Quando o algarismo a ser analisado for 0, 1, 2, 3 ou 4, abandone-o (arredondamento por falta) e o algarismo anterior a ele permanece inalterado.
Assim,
• 552, 4 ≈ 552, quando fazemos um arredondamento para a unidade;
• 62, 8246 ≈ 62, 82, quando fazemos um arredondamento para o centésimo;
• 73, 8243 ≈ 73, 824, quando o arredondamento é feito para o milésimo.
2. Quando o algarismo a ser analisado for 6, 7, 8 ou 9, o algarismo anterior a um destes deverá ser adicionado de uma unidade (arredondamento por excesso).
Assim,
• 32, 8 ≈ 33, quando fazemos um arredondamento para a unidade;
• 32, 8276 ≈ 32, 83, quando fazemos um arredondamento para o centésimo;
• 32, 8146 ≈ 32, 815, quando fazemos um arredondamento para o milésimo.
3. Quando o algarismo a ser analisado for o 5, adotaremos o seguinte critério: se a unidade a ser conservada
for par, permanecerá par, não se arredondando, se for ímpar sofrerá arredondamento para cima.
Portanto,
• 32, 5 ≈ 32, quando fazemos um arredondamento para a unidade;
• 52, 465 ≈ 52, 46, quando fazemos um arredondamento para o centésimo;
• 583, 1575 ≈ 583, 158, quando fazemos um arredondamento para o milésimo.
Na prática, somente os algarismos significativos devem ser considerados, de forma que, ao realizarmos as
operações com medidas, alguns critérios devem ser levados em conta.
Para a Adição e Subtração de Medidas
A parcela com menor número de casas decimais é considerada a de maior importância. As demais são
reduzidas ao mesmo número de casas decimais que a deste número, obedecendo aos critérios de arredondamento tratados anteriormente.
ER 2. Calcule 5, 14m + 12, 122m + 3, 378m − 0, 025m.
Matemática
13
Solução: O número com a menor quantidade de casas decimais é 5, 14. Portanto, todos o demais
deverão ser arredondados para duas casas decimais. Sendo assim, temos:
5, 14m + 12, 12m + 3, 38m + 0, 02m = 20, 62m.
Para a Multiplicação e a Divisão
Opera-se normalmente com os valores dados, mas o resultado deve possuir a mesma quantidade de casas
decimais que o número que possui a menor quantidade de casas decimais dentre os valores trabalhados
inicialmente.
ER 3. Encontre o valor do quociente entre 6, 8769m e 0, 023.
Solução: Como a quantidade de casas decimais do número 0, 023 é a menor dentre os números envolvidos na operação, o quociente deverá estar reduzido a três casas decimais. Assim,
6, 8769m : 0, 023 = 298, 99565m ≈ 298, 996.
Esses são os procedimentos utilizados por instituições como o Inmetro, que tem como uma de suas finalidades a fiscalização das medidas. A importância de sua presença não é percebida pelo cidadão, que,
desatento, não confere se os produtos são aferidos nos valores indicados.
Agora utilize os conhecimentos adquiridos para responder, adequadamente, às perguntas do problema
Artimanhas do Comércio!
Teste seu raciocínio lógico:
EP 1.1 (ICMS-SP/1997). Em uma avenida reta, a padaria fica entre o posto de gasolina e a banca de jornal,
e o posto de gasolina fica entre a banca de jornal e a sapataria. Logo,
(a) A sapataria fica entre a banca de jornal e a padaria.
(b) A banca de jornal fica entre o posto de gasolina e a banca de jornal.
(c) O posto de gasolina fica entre a padaria e a banca de jornal.
(d) A padaria fica entre a sapataria e o posto de gasolina.
(e) O posto de gasolina fica entre a sapataria e a padaria.
1.2.4
Regras Importantes Utilizadas nas Operações com Números Reais
Potência com Expoente Natural
1.7 Definição. Sendo a um número real e n um número natural positivo, temos: an = a| · a ·{z. . . · a}, em que
a0 = 1 e a1 = a, se a 6= 0.
14
FTC EAD |
n
Por exemplo:
• 21 = 2
• −22 = −(2 · 2) = −4
• 23 = 2 · 2 · 2 = 8
Para as potências com expoente inteiro e base não-nula, são válidas as seguintes propriedades:
1. am · an = am+n . Por exemplo, 24 · 23 = 24+3 = 27 .
2. am ÷ an = am−n . Por exemplo, 24 ÷ 23 = 24−3 = 2.
3. (an )m = an·m . Por exemplo, (24 )3 = 24·3 = 212 = 4.096.
4. (a · b )n = an · b n Por exemplo, 23 · 53 = (2 · 5)3 = 103 = 1.000.
5.
a n
b
=
 ‹n
6. a−n =
3
216
63
an
Por exemplo,
= 3 =
n
b
27
3
−2
1
a
 ‹2
=
1
3
 ‹3
6
3
= 23 = 8.
1
, com a 6= 0. Generalizando,
an
1
1
= 2 = .
3
9
=
a −n
b
=
bn
, com a 6= 0 e b 6= 0. Por exemplo,
an
Vale ressaltar que:
• Toda potência de expoente par é positiva.
(−2)2 = (−2) · (−2) = 4 e 22 = 2 · 2 = 4
Atenção: (−2)2 6= 2 · 2, pois −22 = −(2 · 2) = −4.
• Toda potência de base negativa e de expoente ímpar é negativa.
(−2)3 = (−2) · (−2) · (−2) = −8 e − 23 = 2 · 2 · 2 = −8
Radiciação
√
Chamamos de radical a expressão n a, em que n é um número natural maior que 2 (esta definição pode ser
estendida a um número racional não nulo) e é chamado índice do radical e o número a é chamado radicando.
Lê-se, também, o radical, como a “raiz n-ésima de um número a”.
A raiz de índice n de um número a é um número b que elevado a n resulta em a, ou seja, b n = a. Assim,
√
√
4 = 2, pois 22 = 4 e 4 81 = 3, pois 34 = 81.
Nota 3. Quando
• n = 2, a raiz n-ésima é chamada raiz quadrada;
• n = 3, a raiz n-ésima é chamada raiz cúbica;
• n = 4, a raiz n-ésima é chamada raiz quarta, e assim sucessivamente.
Já que você relembrou a definição de radical, vou lhe fazer uma pergunta. Ok?
√
√
Uma vez que (−2)2 = 4, você sabe por que 4 não pode ser igual a −2? E uma vez que (−3)4 = 81, 4 81
pode ser igual a (−3)?
Você pode então concluir que os radicais de índices pares, por definição, resultam em números positivos.
Já os radicais de índices ímpares resultam tanto em números positivos quanto negativos, ou seja,
Matemática
15
• para n um número natural par maior ou igual que 2,
√
n
a = b ⇒ b n = a, se a ≥ 0 e b ≥ 0.
• para n um número natural ímpar maior ou igual que 2,
Observe que
√
n
a = b ⇒ b n = a, se a e b são reais arbitrários.
√
√
√
√
4
16 = 2 e 3 27 = 3, que 4 −16 não existe em R e que 3 −27 = −3.
Propriedades da Radiciação
1.
2.
3.
4.
5.
6.
√
√
n ÷p
n
am =
am÷p , em que p 6= 0. (Dividindo o índice n do radical e o expoente m do radicando por um
√
√
√
8÷4
8
94÷4 = 9 = 3.
mesmo número p diferente de 0, o valor do radical não se altera. Por exemplo: 94 =
√
√
n
am = n·p am·p , em que p 6= 0. (Multiplicando o índice n do radical e o expoente m do radicando por um
√
√
9
mesmo número p diferente de 0, o valor do radical não se altera. Por exemplo: 3 4 = 43 .
√
√
√
n
a · n b = na · b (O produto de radicais de mesmo índice é igual ao radical de mesmo índice do produto
√
√ √
dos radicandos). Por exemplo: 9 · 16 = 9 16 = 3 · 4 = 12.
√
√
É
É
√
É
n
√
√
2 48
a
a
4
4
8 √
4
n
= 4 = 4 4 = 22 = 2.
= √
= √ = √
, com b 6= 0. Por exemplo:
n
4
b
9
3
2
9
2
b
√
√
√
√
√
√
√
√
4
4
4
4
( n a)m = n am . Por exemplo: ( 6)5 = ( 6)4 · 6 = 64 · 4 6 = 6 4 6.
È
√
√
√
3 4
12
6· 45=
64 · 5 = 64 · 5.
√
√
1
= nm. Por exemplo: 4 2 = 4 = 2.
È√
m
n
m
7. a n
a=
√
m · n. Por exemplo:
È
3
Estas propriedades são de fundamental importância para a resolução de expressões numéricas e algébricas.
Ao efetuar operações, tenha bastante atenção com a seguinte ordem:
• 1◦ efetue as operações de potenciação ou de radiciação;
• 2◦ efetue as operações de multiplicação ou de divisão;
• 3◦ efetue as operações de adição ou subtração.
Algumas vezes, podem ser empregados parênteses, colchetes ou chaves para indicar a prioridade de se
efetuar determinada operação. Nesses casos, deve-se adotar a seguinte ordem:
• 1◦ efetue as operações entre os parênteses;
• 2◦ efetue as operações entre os colchetes;
• 3◦ efetue as operações entre as chaves.
ER 4. Simplifique a expressão numérica.
Solução:
{−3 + 5 · 3 ÷ [(−2)3 − (−3)]} · 2 = {−3 + 5 · 3 ÷ [−8 − (−3)]} · 2 = {−3 + 5 · 3 ÷ [−8 + 3]} · 2 =
{−3 + 5 · 3 ÷ [−5]} · 2 = {−3 + 15 ÷ [−5]} · 2 = {−3 + (−3)} · 2 = {−3 − 3} · 2 = {−6} · 2 = −12
16
FTC EAD |
1.3
Um Pouco Sobre Equações
Equação é qualquer igualdade que só é satisfeita para alguns valores dos seus domínios. Elas são representadas por expressões que se igualam, objetivando obter um valor desconhecido.
ER 5. Suponha que você reservou um quinto do seu salário para o aluguel, um terço para alimentação, um
quarto para transportes e educação e ainda lhe restam R $130, 00. Qual o valor do seu salário?
Solução: Considere o valor desconhecido do salário: x .
A expressão que representa seus gastos é:
x
x
x
12x + 20x + 15x
47x
+ + =
=
.
5
4
3
60
60
A expressão que representa a sobra de salário é:
x−
13x
47x
=
60
60
A equação obtida ao igualar esta expressão ao seu valor equivalente em reais é:
13x
= 130
60
O valor que satisfaz esta equação é x =
Nota 4.
130 · 60
= 600 reais.
13
1. A expressão situada à esquerda do sinal de igualdade é chamada de primeiro membro. A
expressão à direita é denominada de segundo membro;
2. Ambos os membros podem ser acrescidos ou subtraídos de uma constante sem que a igualdade
seja alterada;
3. Ambos os membros podem ser multiplicados ou divididos por uma constante não nula a sem que a
igualdade seja alterada.
1.3.1
Equação do 1◦ grau
Chamamos equação do 1◦ grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma ax + b = 0,
em que a 6= 0 e b são números reais.
ER 6. Encontre o conjunto solução da equação 2x − 6 = 0.
Solução: O conjunto solução de uma equação do 1◦ grau é um conjunto unitário com o valor de x que a
satisfaz.
ER 7. Determine a solução das equações: (a) 2x − 6 = 10 e (b) 3 − 6 · (1 − 2x ) = 5 − (x + 15).
Solução: (a) 2x − 6 = 10 ⇔ 2x = 10 + 6 ⇔ x =
16
= 8.
2
Matemática
17
(b) 3 − 6 · (1 − 2x ) = 5 − (x + 15) ⇔ 3 − 6 + 12x = 5 − x − 15 ⇔ −3 + 12x = −10 − x ⇔ 12x + x = −10 + 3 ⇔
13
13x = −7 ⇔ x = − .
7
Razões, Proporções e Porcentagens
Suponha que você e outro estudante da sua turma resolvessem constituir uma empresa. Você entrou com
um capital de R $7.800, 00 e seu colega com R $15.200, 00, respectivamente. Após alguns anos de atividade,
lucraram R $46.000, 00. Quanto coube do lucro a você?
Você imagina quais serão os passos necessários para resolução deste problema?
Você sabia que, numa sociedade simples, os lucros obtidos são proporcionais aos capitais de ingresso?
Este é um método muito utilizado, chamado de “regra de sociedade”, no qual as divisões dos lucros ou
prejuízos entre os sócios de um empreendimento são partilhadas proporcionalmente.
Fazendo uso deste conceito, perceba que o investimento inicial total é: 7.800, 00 + 15.200, 00 = 23.000, 00.
Daí, temos que
7.800, 00
78
15.200, 00
152
=
e que
=
.
23.000, 00
230
23.000, 00
230
Você sabe o que estas frações indicam?
Se o lucro fosse de 230 cotas, você teria 78 e seu sócio 152 cotas. Sendo assim, neste problema, uma cota
corresponde a 46.000 ÷ 230 = 200. Então, como você tem 78 cotas, sua parte do lucro nesta sociedade é:
78 · 200 = 15.600.
Você poderia resolver este problema utilizando “proporção”, não é? Neste caso, como você resolveria?
Mas, para isso, relembre o seu conceito, bem como suas propriedades. Vamos lá!
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
Mas você sabe o significado matemático de uma “razão”?
No problema acima, você e seu colega investiram, juntos, R $23.000, dos quais R $7.800, 00 corresponde a
7.800
é a “razão” entre o valor por você investido e o total
sua parte empregada. Daí, dizemos que a fração
23.000
do investimento”.
Portanto, podemos concluir que a comparação entre dois números racionais, através de uma divisão,
chama-se razão. De modo geral,
Razão entre dois números racionais a e b , com b 6= 0 é o quociente entre esses números e é indicado por
a
ou a ÷ b .
b
7.800, 00
78
A igualdade
=
de razões se constitui num exemplo de proporção e é lida da seguinte forma:
23.000, 00
230
“sete mil e oito centos está para vinte e três mil, assim como setenta e oito está para duzentos e trinta.
Em geral, dados os números racionais a, b , c e d , diferentes de zero, dizemos que eles formam, nessa
ordem, uma proporção quando a razão de a para b for igual à razão de c para d .
Simbolicamente, temos:
a
c
= ⇒ a : b = c : d,
b
d
em que a e d são os extremos; b e c são os meios.
18
FTC EAD |
1.4
Algumas Propriedades Importantes das Proporções
1a propriedade: Numa proporção, a soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o segundo (primeiro)
termo, assim como a soma dos dois últimos está para o quarto (terceiro) termo.
a
x
a−b
x −y
= ⇒
=
.
b
y
a
x
a
x
a+b
x +y
= ⇒
=
.
b
y
a
x
8
3
x
<
=
4
y
ER 8. Determine o valor de x e de y em
: x − y = 36
Solução: Pela primeira propriedade, temos
x
3−4
x −y
−1
36
3
= ⇒
=
⇒
=
⇒ −y = 3 · 36 ⇒ y = −108
4
y
3
y
3
y
Como x − y = 36, segue que x − 108 = 36 e que x = 144.
2a propriedade: Numa proporção, a soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos
conseqüentes, assim como cada antecedente está para o seu conseqüente.
a
x
a−x
a
= ⇒
= .
b
y
b−y
b
a
x
a+x
a
= ⇒
= .
b
y
b+y
b
8
y
x
<
=
3
4
ER 9. Determine o valor de x e de y em
: x + y = 32
Solução: Pela segunda propriedade, temos que
y
x +y
x
32
x
x
= ⇒
= ⇒
= ⇒ 7x = 3 · 42 ⇒ y = 18
3
4
3+4
3
7
3
Como x + y = 32, segue que x − 18 = 32 e que x = 14.
O processo de resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais é feito com o auxílio do uso
de proporções, denominado “regra de três”. Na regra de três simples, o que se quer é determinar um valor
desconhecido (x ) a partir de três conhecidos (a, b e c ), utilizando-se a proporção que existe entre eles.
a
c
= .
b
x
A resolução desse tipo de problema consiste em estabelecer esta proporção e resolver uma equação. Veja
alguns exemplos:
ER 10. Um operário constrói 20m de um muro em 2h. Mantendo o mesmo ritmo, em quanto tempo ele
construirá 30m?
Solução: Montemos a tabela:
Comprimento do muro
Tempo
20
2
30
x
Note que, se aumentarmos o comprimento do muro, o tempo gasto pelo operário também aumentará.
Matemática
19
Quando esse comportamento entre duas grandezas existe, dizemos que estas grandezas são diretamente
proporcionais. Logo, a proporção fica estabelecida como:
2
20
=
30
x
Segue que
20 · x = 30 · 2 ⇒ x =
60
= 3.
20
Portanto, o operário construirá 30m em 3h.
Deste exercício você deve concluir que: Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão
entre os valores da primeira é igual à razão entre os valores da segunda.
As grandezas “comprimento do muro” e “tempo de construção” são diretamente proporcionais.
ER 11. Se quatro operários realizam certa obra em 8 dias de trabalho, em quanto tempo dois operários com
mesma capacidade realizariam este serviço?
Solução: Observe que
Número de operários
Dias
4
8
2
x
Note que, se diminuirmos o número de operários, o tempo do serviço aumentará. Quando esse comportamento entre duas grandezas existe, dizemos que estas grandezas são inversamente proporcionais.
Observe que, se 4 operários constroem uma determinada obra em 8 dias, 2 operários demorarão mais
tempo para construí-la, ou seja, quanto menor o número de operários, maior será o tempo para a construção.
Logo, devemos inverter uma das razões para estabelecer a proporção:
x
4
=
2
8
Segue que, 2 · x = 4 · 8 ⇒ x =
32
= 16. Portanto, 2 trabalhadores realizarão este serviço em 16 dias.
2
Deste exercício você deve concluir que: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão
entre os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores da segunda.
Assim, concluímos que as grandezas “número de operários” e “tempo da obra” são inversamente proporcionais.
Perceba que a resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais é bastante simples. Faz-se,
primeiro, a observação se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Se a grandeza for
diretamente proporcional, mantemos as razões; se a grandeza for inversamente proporcional, invertemos uma
das razões. Feito isso, estabelecemos a proporção e resolvemos a equação.
Bem, você acompanhou uma revisão da “regra de três”. Agora, veja a resolução do problema inicialmente
apresentado, onde utilizou-se o que foi revisado.
20
FTC EAD |
Temos que
Capital Investido
Lucro
7.800
x
15.200
y
Como as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais e x + y = 46.000, temos que:
78
152
x +y
=
=
x
y
46.000
Utilizando uma das propriedades das proporções, temos que:
78 + 152
x +y
=
78
x
Segue que
46.000
78 · 46.000
230
=
⇒ 230 · x = 78 · 46.000 ⇒ x =
= 15.600.
78
x
230
Nota 5. Poderíamos ter resolvido o problema
8 78
x
<
=
152
y
: x + y = 46.000
utilizando um método de resolução de sistemas lineares. Por exemplo, se fizermos x = 46.000 − y e
x
78
= teremos,
substituirmos em
152
y
46.000 − y
6.992.000
78
=
⇒ 78y = 6.992.000 − 152y ⇒ 78y + 152y = 6.992.000 ⇒ y =
= 30.400
152
y
230
Substituindo o valor encontrado em x = 46.000 − y , temos que x = 46.000 − 30.400 = 15.600.
1.5
O que é porcentagem?
Frases como esta aparecem freqüentemente. Mas o que a frase “descontos de até
20%” significa?
Significa que a cada R $100, 00 de compra
é dado um desconto de R $20, 00.
Acompanhe o seguinte problema:
Sr. Miguel, comerciante do ramo de bolsas de couro, comprou bolsas de certo modelo no atacado por
R $200, 00. Tomando como base uma margem de lucro de 50%, acresceu este padrão de ganho sobre a mercadoria adquirida para venda. Certo dia, um comprador assíduo da loja pediu um desconto e ele deu um
desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. Sr Miguel teve lucro ou
prejuízo? Qual foi esse valor?
O comerciante comprou a mercadoria por R $200, 00 e acresceu 50% sobre esse valor. Como 50% do valor
50
da mercadoria é
· 200 = 100, a mercadoria passou a custar R $300, 00 (200 + 100).
100
Matemática
21
40
O desconto dado foi de 40% sobre o preço de venda, ou seja,
· 300 = 120. Assim, descontados 120
100
reais do valor de venda da mercadoria, esta foi vendida por R $180, 00 (300-120). Portanto, como o comerciante
comprou a mercadoria por R $200, 00 e a vendeu por R $180, 00. Obteve um prejuízo de R $20, 00.
Para reflexão:
Você acha que se o comerciante Miguel fizesse uso de conhecimentos matemáticos básicos, isso ajudaria
nos seus negócios?
Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente. Para isto, também faremos uso do conceito da “regra
de três”, como você pode verificar na definição abaixo:
1.6
A Taxa Percentual ou Porcentagem
A taxa percentual ou porcentagem de um número a sobre um número b , b 6= 0, à razão tal que
Indica-se
a
x
= .
100
b
x
por x %.
100
Você entendeu? Em outras palavras, dizemos que porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma
razão centesimal a um determinado valor, ou seja, como o nome já diz, é por 100 (sobre 100). Mas, você sabe
o que significa uma razão centesimal?
Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100. Por exemplo:
10
= 0, 1 (lê-se 10 por cento)
100
0, 5
• 0, 5% =
= 0, 005 (lê-se 0,5 por cento)
100
• 10% =
Veja como encontrar a taxa percentual a partir de uma relação entre partes. Por exemplo, qual a taxa
percentual de 3 sobre 8?
x
3
= ⇒ 8x = 300 ⇒ x = 37, 5
100
8
Logo, a taxa percentual é de 37, 5%.
Veja algumas aplicações importantes.
ER 12. Uma loja de sapatos lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma sandália VIP
custa R $120, 00, quanto se pagará considerando o desconto da promoção?
Solução: O desconto é de 10% sobre o valor R $120, 00. Logo,
120 ·
10
1200
=
= 12.
100
100
Retiramos, portanto, R $12, 00 de R $120, 00 e, com a promoção, o preço pago é R $108, 00.
ER 13. A compra de uma televisão foi efetuada no valor de R $1.500, 00. Considerando um desconto de 20%,
qual será o valor pago?
Solução: Um desconto de 20% sobre o valor de 1.500 de desconto será:
1.500 ·
22
FTC EAD |
20
= 300.
100
Portanto, pagou-se 1.500 − 300 = 1.200.
Pense um pouco. Você pode simplificar os cálculos! Para tanto, considere que o valor total da compra é
100%. Daí, se o desconto aplicado é de 20%, isso quer dizer que o valor pago é 80% do valor total (100% −
20% = 80%). Logo,
1.500 ·
80
= 1.200.
100
ER 14. Um carro que custava R $12.000, 00 sofreu uma valorização (acréscimo) de 10% sobre o seu preço.
Quanto ele passou a custar?
Solução: O acréscimo é 12.000 ·
10
= 1.200. Portanto, passará a custar 12.000 + 1.200 = 13.200 reais.
100
Outra maneira para resolver esta questão.
Considere que o valor inicial do carro é 100%. Se ele sofreu uma valorização de 10%, ele passará a custar
110% (100 + 10 = 110) do seu valor inicial. Logo,
12.000 ·
110
= 13.200 reais.
100
ER 15. Um profissional da área de vendas constatou que na venda de um determinado produto que custava
R $2.000, 00 o lucro obtido era R $100, 00. De quanto por cento foi o lucro sobre o preço de venda?
Solução: A proporção é
x
100
=
⇒ 2.000x = 10.000 ⇒ x = 5%
100
2.000
Outra maneira de resolver esta questão.
Basta calcular
100
· 100 = 0, 005 · 100 = 5%. Portanto, o lucro sobre o preço de venda é 5%.
2.000
Funções. Funções do 1◦ e 2◦ Graus
1.7
O Conceito de Função no Cotidiano
As funções surgem quando uma variável depende da outra, como, por exemplo, o custo C de se enviar uma
carta pelo correio depende do seu peso P . Embora não haja uma fórmula simples conectando o custo de envio
e o peso da carta, o correio a possui essa fórmula específica que permite calcular C quando é dado P . Assim:
1.8 Definição. Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números. Diz-se que y é função
de x e escreve-se y = f (x ) se entre as duas variáveis existe uma correspondência unívoca, no sentido x → y .
A x chama-se variável independente e a y variável dependente.
Existem quatro maneiras de representar uma função:
• verbalmente: descrevendo-a com palavras
• numericamente: por meios de tabelas
Matemática
23
• graficamente: visualização através de gráficos
• algebricamente: utilizando-se uma fórmula explícita
Segundo Duvall, o estudante só consegue efetivamente dominar o conceito de função quando este é capaz
de compreendê-lo ao menos em duas formas de representação e é capaz de passar de uma representação a
outra com desenvoltura.
Nos conteúdos a seguir buscamos exemplos que contemplassem esta abordagem, primeiro porque o conteúdo matemático não deve ser comprometido e a precisão matemática garantida; segundo, fazer uso destes
conteúdos no cotidiano do aluno é uma condição necessária para a aprendizagem dos mesmos; e, por fim,
desenvolver significativamente uma metodologia que possibilite a compreensão conceitual, ou seja, a visualização, experimentação numérica e gráfica e aplicada do objeto apreendido. No entanto, cabe ao estudante
considerar a abordagem a ser estuda como ponto de partida para outros estudos que lhes permitam desenvolver a capacidade de “tomar partes de descobertas”.
“Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas há uma semente de
descoberta na solução de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se ele
desafiar sua curiosidade e fizer funcionar sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho,
então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta".
George Polya
Portanto, aqui trataremos especificamente de aplicações das funções econômicas de 1◦ e 2◦ graus, a saber:
Função Custo, Receita e Lucro, Função de Demanda e Oferta; Função Depreciação, dentre outras aplicações.
No entanto, de forma sucinta, destacaremos as propriedades de cada função a ser trabalhada, tendo como
foco a contextualização do conhecimento matemático a ser apreendido, favorecendo conexões entre diversos
conceitos matemáticos com a área dos negócios, da Economia e das Ciências Humanas.
A qualquer conexão entre os elementos de dois conjuntos A e B damos o nome de “relação” de A em B .
Embora o estudo das relações entre conjuntos seja importante, vamos nos ater ao estudo de um tipo especial,
em que cada elemento de A tem como correspondente somente um elemento de B , o qual é denominado
função.
Uma evidência prática deste conceito pode ser compreendida através da situação a seguir.
Suponha que você necessite utilizar um táxi para deslocar-se até a sua unidade pedagógica. O preço a
pagar pela corrida de táxi depende da distância percorrida. A tarifa y a ser paga é composta de duas partes:
uma parte fixa denominada de bandeirada e uma variável, que depende do número x de quilômetros rodados.
Supondo que a bandeirada custe R $3, 00 e o quilômetro rodado R $0, 60. A tarifa de táxi é obtida através da
fórmula:
y = 0, 60 · x + 3.
Esta expressão matemática se constitui em um exemplo de função, particularmente uma função do 1◦ grau.
Para seu melhor entendimento sobre funções, vamos relembrar alguns aspectos importantes.
1. Uma função f de A em B é uma relação em A × B que associa a cada variável x em A, um único y em B .
2. Uma das notações mais usadas para uma função f de A em B é:
f :A→B
3. O conjunto A é chamado de domínio da função.
24
FTC EAD |
4. O elemento y é chamado imagem de x por f e denota-se y = f (x ).
5. O conjunto B é o contradomínio da função.
1.8
Funções do 1◦ Grau
1.9 Definição. Uma função real do 1◦ grau ou afim é qualquer função que pode ser escrita sob a forma
f (x ) = ax + b , com a um número real não nulo e b um real. Simbolicamente,
f : R → R; f (x ) = ax + b em que a, b ∈ Rea 6= 0 é função real afim.
Os exemplos a seguir facilitarão a compreensão dos conceitos que envolvem uma função de 1◦ grau.
Exemplo 1.1. Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a função f : A → B definida por
f (x ) = 2x + 1. Observe que
x
f (x )
y ou f (x )
0
f (0) = 2 · 0 + 1 = 1
1
1
f (1) = 2 · 1 + 1 = 3
3
2
f (2) = 2 · 2 + 1 = 5
5
Numa função f : A → B ,
• Seu domínio é o conjunto A e é indicado por Dom(f ). No exemplo, note que Dom(f ) = {0, 1, 2}.
• A imagem de uma função f é um subconjunto de B que é indicado por ℑ(f ). No exemplo anterior,
ℑ(f ) = {1, 3, 5}.
• Seu contradomínio é o conjunto B . Nele, temos que ℑ(f ) ⊂ B .
No exemplo, verifica-se que:
• f (0) = 1, isto é, 1 é a imagem de 0 pela função f ;
• f (1) = 3, isto é, 3 é a imagem de 1 pela função f ;
• f (2) = 5, isto é, 5 é a imagem de 2 pela função f .
ER 16. Seja f : R → R uma função definida por f (x ) = 3x − 5. Determine o valor real de x para que se tenha
f (x ) = 10, ou seja, sua imagem seja igual a 10, a partir desta função.
Solução: Veja como é fácil!
Observe que quando igualamos a imagem da função a 10, essa expressão se constitui numa equação de
1◦ grau. Para saber mais sobre isso consulte um livro qualquer das séries finais do ensino fundamental (8a
série). De fato, f (x ) = 3x − 5 e f (x ) = 10 ⇒ 3x − 5 = 10 ⇒ 3x = 15 ⇒ x =
15
= 5.
3
Logo, para a imagem por f ser 10, o valor atribuído a x deve ser 5.
Matemática
25
1.8.1
Gráfico de uma Função Afim
O gráfico de uma função de 1◦ grau (f (x ) = ax + b ) é uma reta.
A fim de compreender o esboço do gráfico desta função, recordaremos que:
Um fato bastante conhecido da geometria plana (axioma de Euclides) é que dois pontos são suficientes
para determinar uma reta. Portanto, para construir o gráfico de uma função afim f é suficiente termos as
coordenadas de dois de seus pontos. Estes pontos são pares ordenados da forma (x , f (x )).
Logo, para esboçarmos o gráfico de uma função afim f (x ) = 2x + 3, basta determinar as coordenadas de
dois pontos distintos e, em seguida, traçarmos a reta que passa por estes pontos. Para isso, escolheremos
dois valores quaisquer para x sem critério algum. Por exemplo, x = 1 e x = 2.
Em seguida, encontraremos a imagem para estes pontos. Sendo assim,
f (1) = 2 · 1 + 3 = 5
f (2) = 2 · 2 + 3 = 7
Desta forma, os pontos A(1, 5) e B (2, 7) pertencem ao gráfico da função f . Para esboçar o gráfico de f ,
devemos marcá-los no plano cartesiano e, em seguida, traçar a reta que passa por eles, conforme as figuras a
seguir.
y
y
8
8
B
B
b
6
b
6
A
b
-2
A
b
4
4
2
2
2
x
-2
2
x
Observe que no ponto em que a reta corta o eixo-x , a imagem é zero! Este ponto será importante para
traçarmos o gráfico desta função.
1.8.2
Zeros ou Raízes de uma Função Afim
Denomina-se zero ou raiz de uma função real f todo valor x ∈ Dom(f ) tal que f (x ) = 0.
Nota 6.
• A abscissa do ponto de interseção do gráfico de uma função real f com o eixo-x é um zero de f .
• O valor f (0) é a ordenada do ponto de interseção do gráfico da função f com o eixo-y .
b
Portanto, se f (x ) = ax + b , com a 6= 0, então f (x ) = 0 ⇒ ax + b = 0. Segue que o zero de f é x = − .
a
Temos, ainda, que f (0) = a · (0) + b = b . Assim, o gráfico de uma função afim intercepta o eixo-y no ponto
(0, b ).
26
FTC EAD |
Nota 7. Na função f (x ) = ax + b , a é chamado de coeficiente angular, pois está relacionado com a
inclinação da reta, e b é chamado de coeficiente linear pois determina, no plano cartesiano, a ordenada
do ponto onde o gráfico da função afim corta o eixo-y .
A fim de esboçar o gráfico, de maneira prática, marque, no plano cartesiano,

‹
b
1. o ponto de interseção com o eixo-x (zero da função) − , 0 ;
a
2. o ponto de interseção com o eixo-y (coeficiente linear) (0, b ).
ER 17. Construir o gráfico da função f (x ) = 2x + 3 utilizando os pontos de interseção do gráfico com os eixos
coordenados.
Solução: Calculemos, inicialmente, o zero da função
f.

‹
3
Logo, A − , 0 é
f (x ) = 0 ⇒ 2x + 3 = 0 ⇒ x =
2
o ponto em que o gráfico de f intercepta o eixo-x .
− 23 .
Graf(f )
4
B
b
2
Agora, encontremos o valor f (0).
f (0) = 2 · 0 + 3 = 3. Logo, B (0, 3) é o ponto em que o
gráfico de f intercepta o eixo-y .
b
-4
-2 A
Finalmente, marcando estes pontos, obtemos o gráfico
2
-2
de f conforme a figura ao lado.
ER 18. Construir o gráfico da função afim f (x ) = −3x + 6.
Solução: Para encontrar o zero da função f , devemos resolver a equação f (x ) = 0. Segue que
−3x + 6 = 0 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2.
Desta forma, o gráfico da função f intercepta o eixo-x no ponto A(2, 0).
y
Determinemos, agora, o valor de f (x ) quando x = 0. Então,
6
b
B
f (0) = −3 · 0 + 6 = 6.
Portanto, o gráfico da função f intercepta o eixo-y no ponto
4
Graf(f )
B (0, 6).
Marcando estes dois pontos no plano cartesiano e traçando
2
uma reta que passa pelos pontos (0, 6) e (2, 0), obtemos o gráfico
b
de f conforme a figura ao lado.
2
A
x
Note, respectivamente, que nas funções f (x ) = 2x + 6 e f (x ) = −3x + 9, temos:
1. a = 2 (a é positivo) e o gráfico da função é CRESCENTE;
Matemática
27
2. a = −3 (a é negativo) e o gráfico da função é DECRESCENTE.
Em resumo, dada uma função afim f (x ) = ax + b , temos que:
Nota 8.
1. Se a > 0, então a função f é crescente e o seu gráfico é o de uma reta com inclinação
positiva e passa pelos pontos

b
− ,0
a
‹
e (0, b ).
2. Se a < 0, então a função f é decrescente e o seu gráfico é o de uma reta com inclinação negativa
e passa pelos pontos

b
− ,0
a
‹
e (0, b ).
Portanto, veja que:
1. a função f (x ) = 2x + 6 é crescente (a = 2 > 0) e é um exemplo em que a reta possui inclinação positiva.
2. a função f (x ) = −3x + 9 é decrescente (a = −3 < 0) e é um exemplo em que a reta possui inclinação
negativa.
1.9
Funções do 2◦ Grau (ou Quadráticas)
1.10 Definição. Uma função real f , da forma f (x ) = ax 2 + bx + c , em que os coeficientes a, b e c são números
reais, com a 6= 0, é uma função quadrática ou do 2◦ grau.
São exemplos de quadráticas as funções:
• f (x ) = x 2 − 5x + 6
• f (x ) = x 2 − 4x
• f (x ) = x 2 − 9
1.9.1
Zeros da Função do 2◦ Grau
Ao igualarmos uma função f a 0 estamos interessados em descobrir, caso existam, os valores pertencentes
ao domínio de f os quais se associam ao valor 0. Estes valores são chamados de zeros ou raízes da função.
O processo algébrico a seguir, atribuído a Bhaskara, determina, caso existam, quem são os zeros de uma
função quadrática. Neste, devemos calcular, primeiramente, o valor do discriminante
∆ = b 2 − 4ac
e, caso ∆ ≥ 0, os zeros da função quadrática são calculados através das fórmulas:
√
√
−b − ∆
−b + ∆
e x2 =
x1 =
2a
2a
É importante que você faça uma revisão sobre a teoria que envolve equações do 2◦ grau, ok? Isso facilitará
a compreensão de certos aspectos que envolvem este tipo de função.
28
FTC EAD |
1.9.2
Gráfico de uma Função Quadrática
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola e, para construí-la, deve-se seguir os passos:
1. Verificar a sua concavidade:
• se a > 0, a concavidade da parábola é positiva ou voltada para cima;
• se a < 0, a concavidade da parábola é negativa ou voltada para baixo.
2. Determinar o ponto de interseção com o eixo-y , ou seja, (0, f (0)).
Para encontrar este ponto devemos calcular quem é a imagem para x = 0. Sendo assim, f (0) = a · 02 +
b · 0 + c = c . Logo, o ponto de interseção com o eixo-y tem coordenadas (0, c ).
3. Calcular o discriminante ∆ e, se
• ∆ > 0, a função quadrática, então, possui dois zeros reais e distintos e o seu gráfico interceptará o
eixo-x em dois pontos.
• ∆ = 0, a função quadrática, então, possui dois zeros reais e iguais e interceptará o eixo-x em apenas
um ponto.
• ∆ < 0, a função quadrática, então, não possui zeros e o seu gráfico, portanto, não interceptará ponto
algum sobre o eixo-x .
Você é capaz de dizer o porquê destas três últimas afirmações?
Observe que o que vimos até aqui nos dá o seguinte resumo:
a>0e∆>0
a>0e∆=0
a>0e∆<0
a<0e∆>0
a<0e∆=0
a<0e∆<0
4. Calcular as raízes da função.
5. Encontrar as coordenadas do vértice da parábola.

Elas são determinadas por
V
−b −∆
,
2a 4a
‹
6. Marcar os pontos obtidos nos passos anteriores no plano cartesiano e atentar para a concavidade da
parábola.
ER 19. Construir o gráfico da função f (x ) = x 2 − 5x + 6.
Solução: Seguiremos os passos descritos anteriormente.
1. Verificação da concavidade
Matemática
29
Como a = 1, temos que a concavidade da parábola é voltada para cima.
2. Determinar o ponto (0, c ) de interseção com o eixo das ordenadas.
f (0) = 02 − 5 · 0 + 6 = 6. Logo, (0, 6) é este ponto.
3. Calcular o discriminante ∆ e, caso existam, os zeros da função.
Para isso, basta resolver a equação f (x ) = 0, ou seja,
x 2 − 5x + 6 = 0
Como a = 1, b = −5 e c = 6, temos que
∆ = (−5)2 − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
Isto significa que a função quadrática f possui dois zeros reais e distintos.
Para determiná-los, utilizemos a fórmula de Bhaskara.
√
√
√
√
−b + ∆
−(−5) + 1
5+1
−b − ∆
−(−5) − 1
5−1
x1 =
=
=
= 3 e x2 =
=
=
= 2.
2a
2·1
2
2a
2·1
2
4. Encontrar as coordenadas do vértice da parábola.

Como V
‹
−b −∆
, temos
,
2a 4a
xV =

Portanto, V
‹
−b
−(−5)
5
−∆
−1
1
=
= e yV =
=
=−
2a
2·1
2
4a
4·1
4
5 1
,− .
2 4
O gráfico da função é, portanto:
6
f
3
b
1
2 V 3
4
ER 20. Construir o gráfico da função f (x ) = −x 2 + 5x − 6.
Solução:
Vamos acompanhar os passos descritos para a construção do gráfico de uma função
quadrática.
1. Verificação da concavidade
30
FTC EAD |
Como a = −1, temos que a concavidade da parábola é voltada para baixo.
2. Determinar o ponto (0, c ) de interseção com o eixo das ordenadas.
f (0) = −02 + 5 · 0 − 6 = −6. Logo, (0, −6) é este ponto.
3. Calcular o discriminante ∆ e, caso existam, os zeros da função.
Para isso, basta resolver a equação f (x ) = 0, ou seja,
−x 2 + 5x − 6 = 0
Como a = −1, b = 5 e c = −6, temos que
∆ = 52 − 4 · (−1) · (−6) = 25 − 24 = 1
Isto significa que a função quadrática f possui dois zeros reais e distintos.
Para determiná-los, utilizemos a fórmula de Bhaskara.
√
√
√
√
−b + ∆
−5 + 1
−5 + 1
−b − ∆
−5 − 1
−5 − 1
x1 =
=
=
= 2 e x2 =
=
=
= 3.
2a
2 · (−1)
−2
2a
2 · (−1)
−2
4. Encontrar as coordenadas do vértice da parábola.

Como V
‹
−b −∆
, temos
,
2a 4a
xV =

Portanto, V
−b
−5
5
−∆
−1
1
=
= e yV =
=
=
2a
2 · (−1)
2
4a
4 · (−1)
4
‹
5 1
,
.
2 4
O gráfico da função é, portanto:
V
b
-1 -1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1
2
3
4
f
Veremos, no exemplo a seguir, que se ∆ = 0, então a função quadrática tem dois zeros reais e iguais, isto
é, a função corta o eixo-x em apenas um ponto.
Exemplo 1.2. Construir o gráfico da função f (x ) = x 2 − 2x + 1.
1. Verificação da concavidade.
Como a = 1, a concavidade da parábola é voltada para cima.
Matemática
31
2. Determinar o ponto de interseção do gráfico da parábola com o eixo-y .
f (0) = 1 · 02 − 2 · 0 + 1 = 1.
Logo, o ponto procurado é (0, 1).
3. Calcular os zeros da função.
Para isso, resolvemos a equação quadrática x 2 − 2x + 1 = 0:
Como a = 1, b = −2 e c = 1, temos que
∆ = b 2 − 4ac = (−2)2 − 4 · 1 · 1 = 4 − 4 = 0.
Observe que, aqui, a função quadrática tem dois zeros reais e iguais.
Os zeros da função:
√
√
√
√
−b + ∆
−(−2) + 0
2
−b − ∆
−(−2) − 0
2
x1 =
=
= = 1 e x2 =
=
= =1
2a
2·1
2
2a
2·1
2
4. As coordenadas do vértice da parábola:
xV =
−b
−(−2)
2
−∆
−0
=
= = 1 e yV =
=
=0
2a
2·1
2
4a
4·1
Portanto, V (1, 0).
O esboço do gráfico da função é:
4
3
2
1
V
b
-1
1
2
3
ER 21. Construir o gráfico da função f (x ) = −x 2 + 2x − 1.
Solução: Temos que ∆ = b 2 − 4ac = 22 − 4 · (−1) · (−1) = 4 − 4 = 0, ou seja, a função quadrática tem
dois zeros reais e iguais. Analogamente à função anterior, obtemos que os zeros da função são x1 = x2 = 1
e o vértice V (1, 0).
O esboço do gráfico da função f é:
1
V
b
-1
1
-1
-2
-3
-4
32
FTC EAD |
2
3
ER 22. Construir o gráfico da função f (x ) = 2x 2 + x + 3.
Solução:
1. Verificação da concavidade.
Como a = 2, a concavidade da parábola é voltada para cima.
2. Determinar o ponto de interseção do gráfico da parábola com o eixo-y .
f (0) = 2 · 02 + 1 · 0 + 3 = 3.
Logo, o ponto procurado é (0, 3).
3. Calcular os zeros da função.
Para isso, resolvemos a equação quadrática 2x 2 + x + 3 = 0:
Como a = 2, b = 1 e c = 3, temos que
∆ = b 2 − 4ac = 12 − 4 · 2 · 3 = 1 − 24 = −23.
Observe, aqui, que a função quadrática não possui zeros reais.
4. As coordenadas do vértice da parábola:
xV =

Portanto, V
‹
−1
−1
−∆
−(−23)
23
−b
=
=
e yV =
=
=
2a
2·2
4
4a
4·2
8
−1 23
,
.
4 8
O esboço do gráfico da função f é:
b
V
23
8
− 41
Observe que o gráfico da função não corta o eixo-x .
ER 23. Construir o gráfico da função f (x ) = −2x 2 − x − 3.
Solução: Analogamente ao exemplo anterior, temos que ∆ = −23 e, portanto, a função não possui zeros
reais. Como f (0) = −3, o ponto (0, −3) é o de interseção como o eixo das ordenadas. Como a = −2, temos

que a parábola tem concavidade voltada para baixo. As coordenadas do vértice são V
‹
−1 −23
.
,
4
8
O esboço do gráfico da função f é:
Matemática
33
− 41
b
− 23
8
V
Observe que o gráfico da função não intercepta o eixo-x .
1.10
Atividade Complementar
EP 1.2. [ENNN-2006] A equação 5x + 4 = 3x pode ser usada para resolver o seguinte problema:
(a) A quinta parte de um número real mais 4 unidades é igual ao seu terço. Qual é este número?
(b) O quíntuplo de um número real acrescido de 4 unidades é igual à sua terça parte. Qual é este número?
(c) Um número real mais cinco unidades é igual a 4 vezes sua terça parte. Qual é este número?
(d) A um número real foram acrescidas 4 unidades e, em seguida, este resultado foi multiplicado por cinco e
o que se obteve foi o triplo do mesmo número. Qual é este número?
(e) O quíntuplo de um número real mais 4 unidades é igual ao seu triplo. Qual é este número?
EP 1.3. A função que representa o valor a ser pago, após um desconto de 3% sobre o valor x de uma
mercadoria, é:
(a) f (x ) = x − 3
(b) f (x ) = 0, 97 · x
(c) f (x ) = 1, 3 · x
(d) f (x ) = −3x
(e) f (x ) = 3 − x
EP 1.4. Suponha-se que o número f (x ) de funcionários para distribuir, em dia, conta de luz entre x por cento
300x
. Se o número de funcionários
de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função f (x ) =
150 − x
necessários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, qual a porcentagem de moradores que as
receberam?
(a) 15
(b) 30
(c) 25
(d) 20
(e) 10
EP 1.5. O custo diário de produção de um artigo é C (x ) = 200 + 10x . Sabendo que em determinado mês
o custo diário oscilou entre um máximo de R $4.000, 00 e um mínimo de R $2.000, em que intervalo variou a
produção diária nesse mês?
(a) Entre 180 e 380
(b) Entre 400 e 600
(c) Entre 180 e 400
(d) Entre 160 e 400
(e) Entre 600 e 800
EP 1.6. No gráfico abaixo estão representadas as funções f e g , definidas por y = 3 − x e y = mx + n,
respectivamente. Os valores de m e de n são, respectivamente:
34
FTC EAD |
(a) 2 e 1
y
g
(b) −2 e 1
3
1
(c) − e 0
2
(d)
1
e0
2
(e) 2 e −1
2
x
3
f
Gabarito
1.2. (e) 1.3. (b) 1.4. (b) 1.5. (a) 1.6. (d)
Matemática
35
TEMA 02
Estudo de Funções Econômicas
No tema anterior revisamos, de forma sucinta, alguns conteúdos das funções com o objetivo de tratar
certas aplicações, ao passo que, também, avançamos no estudo de algumas funções econômicas. Portanto,
deixamos aqui os seguintes lembretes:
• O faturamento bruto de uma empresa, ou receita bruta, é a soma de suas vendas e recebimentos. De
modo geral, podemos dizer que é o dinheiro que entra no caixa;
• Não confunda jamais a receita com o lucro;
• Considere custo o que sai do caixa.
Vamos lá!
Funções Custo, Receita e Lucro
2.1
Função Custo
2.1 Definição. Uma função C que associa a produção de uma quantidade q de algum bem ao custo total é
chamada de função custo.
Para refletir
Que tipo de função você espera que seja C (q )?
Nota 9. Quanto maior for a quantidade de bens produzidos, maior será o custo. Sendo assim, C (q ) é
uma função definida para valores não negativos de q , não somente para inteiros.
Suponha que você seja dono de uma grande companhia que fabrica cadernos escolares. A fábrica e o
maquinário necessários para começar a produção são custos fixos, pois tais custos existem, ainda que nenhum
caderno seja produzido. Os custos de trabalho e matéria-prima são variáveis, pois tais quantias dependem da
quantidade de cadernos feitos.
Custo total para a companhia
= Custo fixo + Custo variável
= 36.000 + 3, 0 · q ,
C (q )
milhares
Imagine que em um determinado momento os custos fixos de
sua fábrica sejam de R $36.000, 00 e os custos variáveis de R $3, 00
por caderno. Então,
em que q representa o número de cadernos produzidos. Assim,
36.000
C (q ) = 36.000 + 3, 0 · q .
Esta é uma função afim e seu gráfico é o de uma reta com
inclinação 3, 0 e intercepto vertical 36.000.
36
FTC EAD |
(quantidade) q
Em resumo, os custos de produção podem ser divididos em duas partes:
1. Custos fixos CF , que existem, ainda que nada seja produzido. São representados pelo intercepto vertical.
2. Custos variáveis CV (q ), que variam dependendo de quantas unidades são produzidas.
3. Custos totais CT (q ), que é a soma dos custos fixos e dos custos variáveis, isto é, CT (q ) = CF + CV (q ).
2.2
Função Receita
2.2 Definição. Uma função R que associa a venda de uma quantidade q de algum bem ao valor total monetário
recebido por uma firma é chamada de função receita.
Suponha que a fábrica de cadernos venda cada um por R $12, 00. A receita por 100 cadernos é 12 · 100 =
1.200.
Representando o preço por p e a quantidade vendida por q , temos
R
Receita = Preço · Quantidade ⇒ R (q ) = p · q .
Portanto, R (q ) = 12q .
Nota 10. Utilizaremos as letras q ou x para indicar a quantidade de um
q
determinado produto.
Se o preço não depender da quantidade vendida, o gráfico da receita em função da quantidade de um
determinado produto é uma reta que passa pela origem.
Considerando a função receita anterior, que o custo de produção de cada caderno é de R $3, 00 e que o
custo fixo é de 36.000, para que valores de q a fábrica ganha dinheiro, ou seja, tem lucro?
A fábrica ganha dinheiro sempre que a receita é maior que os custos (R (q ) ≥ C (q )), de modo que queremos
achar os valores de q para os quais o gráfico de R (q ) está acima do gráfico de C (q ).
Observe que o gráfico R (q ) está acima do gráfico de C (q ), quando q ≥ QN .
Verifique que o gráfico de R (q ) está acima do gráfico
de C (q ) para todos os valores de q maiores que qN , nos
quais os gráficos de R (q ) e C (q ) se cruzam. Em outras
palavras, as imagens da função R (q ) são maiores que
as imagens da função C (q ) quando os valores de q são
maiores que qN .
No ponto N (qN , R (qN )) ou N (qN , C (qN )), chamado ponto de nivelamento,
a receita é igual ao custo. Assim, para obtermos qN (quantidade de nivelamento), ou seja, a quantidade de produto em que a receita é igual ao custo,
basta:
Recei ta
C usto
q
qN
R$
Receita
Custo
48.000
36.000
R (q ) = C (q ) ⇒ 12q = 36.000 + 3q ⇒ 9q = 36.000 ⇒ q = 4.000.
Portanto, qN = 4.000 cadernos. Assim, a fábrica terá lucro se produzir e
vender mais que 4.000 cadernos. Perderá dinheiro se produzir e vender menos
que 4.000 cadernos.
4.000
q
Matemática
37
Contextualizando o Saber
Problema 1. O dono de um restaurante vende, em média, 300 refeições por dia a R $5, 00 a refeição, que tem
um preço de custo de R $3, 00. Ele observou que, a cada R $0, 20 que ele oferece de desconto no preço da
refeição, sua venda aumenta em 40 refeições. A que preço ele deve oferecer a refeição para que seu lucro seja
máximo?
Solução: Podemos extrair deste problema que
p = 5 → x = 300 ⇒ (5; 300)
p = 4, 8 → x = 340 ⇒ (4, 8; 340)
Considerando p (x ) = ax + b , temos que:
8
< 5 = 300a + b
: 4, 8 = 340a + b
Resolvendo este sistema linear, encontramos a = −0, 005 e b = 6, 5.
A função que representa o valor do preço em decorrência da quantidade de refeição vendida é:
p (x ) = −0, 005x + 6, 5.
Sabendo que R (x ) = p (x ) · x , temos que:
R (x ) = (−0, 005x + 6, 5) · x = −0, 005x 2 + 6, 5x .
Considerando que o custo total, nesse problema, está diretamente relacionado com o custo variável,
encontramos a função custo fazendo:
C (x ) = Cu · x = 3x .
Logo, a função lucro é obtida como segue abaixo:
L(x ) = R (x ) − C (x ) = −0, 005x 2 + 6, 5x − 3x = −0, 005x 2 + 3, 5x
Voltemos à pergunta: A que preço ele deve oferecer a refeição para que seu lucro seja máximo?
Perguntamos ainda: que “ferramenta matemática” podemos utilizar para, enfim, respondermos esta
questão?
O vértice da parábola é a ferramenta procurada, pois através dele determinarmos os pontos de máximo
ou de mínimo. Neste caso, como a < 0 na função lucro acima, temos que esta admite ponto de máximo.
Logo,
x=
−3, 5
−b
=
= 350
2a
2 · (−0, 005)
Portanto, a quantidade que maximiza o lucro é x = 350 e, para obtermos o preço que maximiza o lucro,
38
FTC EAD |
basta substituir x por 350 na função preço:
p = −0, 005 · 350 + 6, 5 = 4, 75.
Exemplo 2.1. O custo fixo mensal de uma empresa é R $5.000, 00, o custo variável por unidade produzida é
R $30, 00 e o preço de venda é R $40, 00.
(a) Qual a quantidade que deve ser vendida por mês para dar um lucro líquido de R $2.000, 00 mensal,
sabendo-se que o imposto de renda é igual a 35% do lucro?
(b) Qual a quantidade produzida que apresenta nem lucro e nem prejuízo?
Solução:
(a) Temos que o custo total é encontrado por
C (x ) = CF + Cu · x ,
em que CF é o custo fixo e Cu é o custo unitário. Assim,
C (x ) = 5.000 + 30x .
A receita é encontrada por
R (x ) = p · x ,
Em que p é o preço de venda e x é a quantidade. Assim,
R (x ) = 40 · x .
O lucro total é dado por
LT (x ) = R (x ) − C (x ) = 40x − (5.000 + 30x ) = 10x − 5.000.
O lucro líquido é obtido por
LL (x ) = LT (x ) − I (x ).
Em que I (x ) = 0, 35 · LT (x ). Daí, segue que
LL (x ) = LT (x ) − 0, 35LT (x ) = 0, 65LT = 0, 65(10x − 5.000) = 6, 5x − 3.250.
Como LL (x ) = 2.000, temos 6, 5x − 3.250 = 2.000. Resolvendo esta equação, em x , temos:
6, 5x = 2.000 + 3.250 ⇒ x =
5.250
⇒ x ≈ 807, 7.
6, 5
(b) Neste caso, temos R (x ) = C (x ) ⇒ LL (x ) = 0 ⇒ 6, 5x − 3.250 = 0 ⇒ x = 500.
Matemática
39
Exemplo 2.2. Sejam RT (q ) = −q 2 + 10q e CT (q ) = q + 8, com 0 ≤ q ≤ 10, as funções receita total e custo
total, respectivamente.
(a) Determine os pontos de nivelamento.
(b) Construa, no mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções RT e CT destacando os pontos de nivelamento.
(c) Determinando a função lucro e construindo seu gráfico, para quais valores de q temos: lucro máximo,
lucro, prejuízo e nenhum lucro?
(d) Qual a quantidade produzida que produz a maior receita?
Solução:
(a) Para determinar o ponto de nivelamento devemos fazer RT (q ) = CT (q ), logo
−q 2 + 10q = q + 8 ⇒ q 2 − 9q + 8 = 0.
Resolvendo esta equação de 2o grau, obtemos qN1 = 1 e qN2 = 8.
(b) Vamos analisar, primeiramente, a função receita RT (q ) = −q 2 + 10q , que é quadrática.
Sendo a = −1, então a concavidade é voltada para baixo;
Seu discriminante é ∆ = (−10)2 − 4 · 1 · 0 = 100;
Suas raízes são assim determinadas:
√
−10 ± 100
q=
⇒ q = 0 ou q = 10.
2 · (−1)
O vértice V tem coordenadas xV = −
100
−10
= 5 e yV = −
= 25. Assim V (5, 25).
2 · (−1)
4 · (−1)
Como c = 0, a parábola corta o eixo vertical em P (0, 0).
R
25
V
b
5
10
q
Para a função custo CT (q ) = q + 8, vamos determinar dois pontos do seu gráfico por se tratar de uma
reta. Para tanto, temos:
O zero é obtido fazendo CT (q ) = 0, ou seja, q + 8 = 0, implicando em q = −8. Logo, o ponto é
(−8, 0);
40
FTC EAD |
Como o coeficiente linear é 8, isto é, seu gráfico corta o eixo vertical em P (0, 8).
C
18
b
b
b
10 q
Como não existe quantidade negativa, iremos considerar a parte positiva do eixo das abscissas. Além
disso, temos 0 ≤ q ≤ 10.
Abaixo, o esboço gráfico das funções num mesmo plano cartesiano, em que, 0 ≤ q ≤ 10.
R$
25
b
18
16
9
b
b
b
1
5
8
10
q
Observe que CT (0) = 0 + 8 = 8 e CT (10) = 10 + 8 = 18.
(c) Sabemos que LT (q ) = RT (q ) − CT (q ) = −q 2 + 10q − (q + 8) = −q 2 + 9q − 8. Portanto, a função lucro
(Lt (q )) é quadrática e seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo, pois a = −1.
R$
• O discriminante é ∆ = (9)2 − 4 · (−1) · (−8) = 49 e suas
raízes são q = 1 e q = 8.

‹
9 25
.
• O seu vértice tem coordenadas V
,
2 2
• Como c = −8, a parábola corta o eixo vertical em
P (0, −8).
1
9
2
8
q
• O esboço do gráfico da função lucro total está ao lado.
Os zeros da função lucro são os pontos de nivelamento. De fato, LT (x ) = 0 implica RT (x ) = CT (x ).
Conforme a figura acima, podemos perceber que a função lucro é positiva, ou seja, teremos lucro
no intervalo (1, 8); prejuízo (LT (x ) < 0): 0 < q < 1 ou 8 < q < 10. Não se tem lucro e nem prejuízo
quando q = 1 ou q = 8.
O lucro máximo é determinado pela ordenada do vértice da parábola, ou seja, Lmax = yV =
25
2
Matemática
41
(d) A quantidade produzida que determina a maior receita é o xV da função receita, ou seja, q = 5.
Confirme este resultado no item (b).
Funções Oferta e Demanda
A quantidade q de um produto ou bem que é manufaturado e vendido depende de seu preço p . Usualmente,
se assume que quando o preço sobe, os produtores têm disposição para fornecer mais do produto e a demanda
(procura) do consumidor cai. Como os produtores e consumidores têm reações diferentes à variação do preço,
há duas funções ligando p e q . Estas funções podem ser representadas por qualquer curva. Criteriosamente,
trabalharemos com funções do primeiro e do segundo grau.
2.3
Função Oferta e Função Demanda
A função oferta relaciona o preço e quantidade do ponto de vista do produtor, ou seja, quanto mais interessante (alto) o valor da mercadoria maior
será a sua disponibilidade por parte dos produtores no mercado. Enquanto
que a função demanda relaciona o preço e a quantidade do ponto de vista do
consumidor, ou seja, quanto mais interessante (baixo) o valor da mercadoria
maior será a sua procura pelos consumidores no mercado. Assim, as funções
de oferta e demanda são, respectivamente, crescentes e decrescentes, como
mostra a figura ao lado.
p (q )
Oferta
Demanda
q
Para pensar
A figura ao lado mostra as curvas de oferta e demanda para um dado produto.
(a) Qual é o preço de equilíbrio para esse produto? A p (q )
este preço, que quantidade será produzida?
50
(b) Escolha um preço acima do preço de equilíbrio,
40
por exemplo, p = 12. A este preço, quantos itens
os fornecedores estarão dispostos a produzir?
30
Quantos itens os consumidores irão querer com20
prar? Use suas respostas a estas perguntas para
explicar por que, se os preços estiverem acima do
10
preço de equilíbrio, o mercado tende a empurrar
os preços para baixo (em direção ao equilíbrio).
Oferta
b
Demanda
3000
6000
q
(c) Agora escolha um preço abaixo do preço de equilíbrio, por exemplo, p = 8. A este preço, quantos itens
os fornecedores estarão dispostos a fornecer? Quantos itens os consumidores irão querer comprar?
Use suas respostas a estas perguntas para explicar por que, se os preços estiverem abaixo do preço de
equilíbrio, o mercado tende a empurrar os preços para cima (em direção ao equilíbrio).
Nota 11. No Ambiente Virtual de Aprendizagem existe uma espaço para discussão coletiva, chamado
Fórum da Disciplina. Acesse e poste a resolução desta questão.
42
FTC EAD |
Situação Problema
Suponha que as curvas de demanda e oferta para um produto são, respectivamente, p = 100 − 0, 5x e
p = 10 + 0, 5x .
(a) Qual o ponto de equilíbrio de mercado?
(b) Se o governo cobrar junto ao produtor um imposto de R $3, 00, que efeitos têm os impostos sobre o preço
e a quantidade para este produto? Quem paga a conta? O produtor ou o consumidor?
A oferta de um bem, num certo intervalo de tempo, é a quantidade do bem que os vendedores desejam
oferecer no mercado, e a demanda de um bem, num certo intervalo de tempo, é a quantidade do bem que os
consumidores pretendem adquirir no mercado.
O preço do bem define a oferta ou escassez de um produto no mercado, pois, se o preço, na análise do
produtor, é baixo, o mesmo não disponibiliza no mercado, para que a sua procura (ausência no mercado) gere
aumento no preço. Claro que, quanto mais alto o preço estiver, mais dispostos os produtores estarão a colocar
sua mercadoria para circular no mercado. No entanto, o consumidor não compra. Para equilibrar este impasse,
o governo estabelece um ponto de equilíbrio, a fim de se garantir o produto no mercado a um preço que o
consumidor possa adquiri-lo.
Portanto, é preciso saber que o preço está diretamente ligado à escassez ou à oferta de um bem no mercado.
Como encontraremos o ponto de equilíbrio?
A resposta é simples. Basta igualar a função oferta à função demanda.
Sendo assim, 100 − 0, 5x = 10 + 0, 5x ⇒ x = 90.
Fazendo a substituição de x por 90 em uma das equações (isso se deve ao fato das equações serem
equivalentes para x = 90). Daí,
p = 10 + 0, 5 · 90 = 55.
Logo, o ponto de equilíbrio é (90, 55), ou seja, o preço de mercado para o produto é 55 reais e a quantidade
que se está disposto a consumir é de 90 unidades do produto.
Se o governo cobrar junto ao produtor um imposto de R $3, 00, que efeitos têm os impostos sobre o preço e
a quantidade para este produto? Quem paga a conta? O produtor ou o consumidor?
Como o imposto é acrescido na função oferta, devemos acrescer 3, ou seja, p = 10 + 0, 5x + 3 = 13 + 0, 5x .
Em virtude da cobrança do imposto, precisamos estabelecer um novo ponto de equilíbrio, a saber: x = 87, que
é a solução da equação 100 − 0, 5x = 13 + 0, 5x .
Atenção: Para encontrar este novo ponto de equilíbrio igualamos a nova oferta à função demanda.
Para o novo ponto de equilíbrio, x = 87 representa a quantidade de equilíbrio e o novo preço de equilíbrio é:
p = 13 + 0, 5 · 87 = 56, 5.
Matemática
43
Como podemos perceber, a cobrança de imposto sobre o produto resultou em um aumento no seu preço
de R $1, 5. Sendo assim, O imposto que deveria ser pago pelo produtor é repassado para o consumidor. Pode?
Outras Funções Importantes
Um Vínculo Orçamentário
Um embate constante envolve a alocação de recursos entre segurança e programas sociais. Em geral,
quanto mais é gasto com a segurança, menos dinheiro fica disponível para programas sociais e vice-versa.
Por exemplo, gastos com armas e manteiga. Assumido que o orçamento é constante, mostraremos que a
relação entre a quantidade de armas e a de manteiga é afim. Suponha que existem R $12.000, 00 para serem
gastos e que devem ser divididos entre armas, que custa R $400, 00 cada, e manteiga, que custa R $2.000, 00
a tonelada. Suponha, também, que o número de armas compradas é g e que o número de toneladas de
manteiga é b . Então, o gasto com armas é 400 · g e com manteiga é 2.000 · b .
Supondo que todo o dinheiro é gasto,
quantia gasta com armas + quantia gasta com manteiga = 12.000,
ou
400g + 2.000b = 12.000.
Dividindo por 400, obtemos
g + 5b = 30
A equação é o vínculo orçamentário. Seu gráfico é uma reta, pois é afim. Observe:
b
6
30
g
Como o número de armas compradas determina a quantidade de manteiga comprada (porque todo o dinheiro não gasto com armas vai para manteiga), b é função de g . Logo,
g = 30 − 5b ,
que é uma fórmula explícita para g em termos de b . Do mesmo modo,
g + 5b = 30 ⇒ 5b = 30 − g ⇒ b =
30 − g
ou b = 6 − 0, 2g ,
5
que explicita b como função de g .
Como tais funções são afins, o gráfico do vínculo orçamentário é uma reta, como já foi visto.
2.4
Funções de Depreciação
A função de depreciação D (t ) fornece o valor de um produto ou bem que deprecia, linearmente, em função
do tempo t , desde que o produto foi comprado.
44
FTC EAD |
Será representada por
D (t ) = vi + m · t ,
em que
vi é o valor do bem quando novo;
vf é o valor do bem após t anos.
m é a inclinação dada pela fórmula m =
vf − vi
.
tf − ti
Exemplo 2.3. Suponha que a fábrica de cadernos tem uma máquina que custa R $18.000, 00. Os gerentes
da empresa planejam conservar a máquina por dez anos e, então, vendê-la por R $2.500, 00. Dizemos, neste
caso, que o valor da máquina se deprecia de R $18.000, 00 hoje a um valor de revenda de R $2.500, 00 reais em
dez anos.
Solução: O valor da máquina nova é R $18.000, 00 e t = 0, pois a máquina nunca foi usada. Neste caso,
vI = 18.000 e D (0) = 18.000 + ·0 = 18.000.
Quando t = 10 e vf = 2.500. Logo,
m=
−15.500
2.500 − 18.000
=
= −1.550.
10 − 0
10
A inclinação nos diz que o valor da máquina é decrescente a uma taxa de R $1.550 por ano.
R$
18.000
2.500
12
q
10
2.5
Composição de Funções
Observe a situação.
Uma loja de eletrodomésticos recebe, através de um banco, as prestações dos produtos vendidos em
crediário. No mês de outubro, a loja fará a seguinte promoção: o cliente que pagar a prestação na primeira
quinzena do mês terá um desconto sobre o valor x da prestação. O cliente pagará apenas o valor f (x ), dado
pela função: f (x ) = 0, 8x .
Banco
O banco que faz a intermediação desse dinheiro cobra da loja uma taxa de serviços. Para cada quantia
de t reais recebidos, o banco transfere para conta da
loja a quantia g (t ) = 0, 95t . Entenda bem o esquema
observando a figura ao lado:
f (x ) = t
f
g
Cliente
Loja
x
g (t )
Matemática
45
A prestação do mês de outubro de um cliente é de 150 reais. Se esse cliente pagá-la na primeira quinzena
do mês, quanto pagará?
A resposta para essa questão é dada pela função f (x ) = 0, 8x . O cliente vai pagar f (150) = 0, 8 · 150 = 120
reais.
Que parcela desse dinheiro será transferida pelo banco para a conta da loja?
A resposta é dada pela função g (t ) = 0, 95 · t . Como o banco terá recebido t = 120 reais do cliente, a loja
receberá do banco:
g (120) = 0, 95 · 120 = 114reais
A prestação de um cliente para o mês de outubro é
de x reais. Se esse cliente pagá-la na primeira quinzena
de outubro, terá o desconto oferecido pela loja. Qual
a função que dá o valor recebido pela loja em função
de x , sabendo que esse cliente pagará a prestação na
primeira quinzena?
Banco
f
0, 8 · x
g
Cliente
Loja
x
0, 9 · 0, 8 · x
h
A função h é que expressa o valor recebido pela loja em função de x , ou seja,
h(x ) = 0, 95 · 0, 8x = 0, 76x .
A função h é chamada de função composta de g com f .
Sejam A, B e C conjuntos e sejam as funções f : A → B e g : B → C . A função h : A → C tal que
h(x ) = g (f (x )) é chamada de função composta de g com f . Indicaremos essa composição por g ◦ f , lê-se g
composta com f .
Em diagramas, temos:
B
Sejam A, B e C conjuntos e sejam as funções f :
A → B e g : B → C . A função h : A → C tal que
h(x ) = g (f (x )) é chamada de função composta de g
com f . Indicaremos essa composição por g ◦ f , lê-se g
composta com f . Observe o diagrama ao lado:
f (x )
g
f
C
A
x
h =g ◦f
g (f (x ))
Para Fichar
Pesquisadores ambientalistas estimam que em certa cidade a concentração de monóxido de carbono no
ar será dada pela função C (n) = 0, 37n + 3, 9 partes por milhão (p .p .m) de monóxido de carbono, quando sua
população for de n mil habitantes. Um estudo demográfico indica que a população da cidade é dada pela
função n(t ) = 0, 67t 2 + 12, 9 mil habitantes, onde t é dado em anos.
(a) Determine a função que nos dá a concentração de monóxido de carbono no ar em função do tempo t .
(b) Daqui a quanto tempo teremos uma concentração de 13,87 p.p.m de monóxido de carbono no ar dessa
cidade?
(a) Temos que
C (n(t )) = 0, 37(0, 67t 2 + 12, 9) + 3, 9 = 0, 2479t 2 + 8, 6730p.p.m.
46
FTC EAD |
(b) Nesse caso,
C (n(t )) = 13, 87 ⇒ 0, 2479t 2 + 8, 6730 = 13, 87 ⇒ t 2 =
5, 197
⇒ t 2 ≈ 20, 96 ⇒ t ≈ 4, 58 anos,
0, 2479
ou seja, daqui a aproximadamente 4 anos e 7 meses.
2.6
Funções Definidas por mais de uma Sentença
Consideremos a seguinte situação:
Um elevador é construído mediante as seguintes especificações:
• Para carga de massa menor ou igual a 1.000kg , são usados cabos de aço de 20mm de diâmetro.
• Para carga de massa xkg , em que x > 100, são usados cabos de aço de
x
mm de diâmetro.
50
A função seguinte mostra o diâmetro f (x ) de cada cabo, em função da massa x , f (x ) em mm e x em kg :
(
f (x ) =
20 ,
x
,
50
se 0 ≤ x ≤ 1.000
se x > 1.000
Esta função é um exemplo de função definida por sentenças. Neste caso, duas sentenças. São elas:
1. f (x ) = 20, se 0 ≤ x ≤ 1.000;
2. f (x ) =
y
x
, se x > 1.000.
50
50
Constrói-se o gráfico de uma função com várias sentenças a
partir de cada sentença, respeitando as condições de existência,
num mesmo sistema de coordenadas.
20
Seu gráfico está exibido ao lado.
1000
2.7
x
Funções de Duas Variáveis
Uma loja vende dois produtos, o primeiro a $600, 00 a unidade e o segundo a $800, 00 a unidade. Considere
x e y as quantidades vendidas do primeiro e do segundo, respectivamente.
(a) Determine a função receita:
(b) Qual o valor da receita se forem vendidas 7 unidades do primeiro produto e 13 do segundo?
(c) Quais as quantidades do primeiro produto e quais as quantidades do segundo produto que a loja precisa
vender para ter uma receita de $12.000, 00?
Solução: (a) A função receita é dada por R (x , y ) = 600x + 800 · y .
(b) R (7, 13) = 600 · 7 + 800 · 13 = 14.600, 00 unidades monetárias.
Matemática
47
3
(c) R (x , y ) = 12.000 ⇒ 600x + 800y = 12.000 ⇒ 800y = −600x + 12.000 ⇒ y = − x + 20
4
y
20
80
3
2.8
x
Atividade Complementar
EP 2.1. Uma fábrica de equipamento eletrônico estima que o custo variável por unidade de produção de x
calculadoras por dia é dado por:
• Matéria-prima: R $8, 00 por unidade.
• Mão-de-obra: R $7, 00 por unidade.
Sabendo que cada calculadora é vendida por R $30, 00 e o custo fixo mensal é de R $3.000, 00, podemos
afirmar que a quantidade de calculadoras que deve ser vendida por mês para dar um lucro líquido de, no
mínimo, R $4.000, 00 por mês, sabendo-se que o imposto de renda é igual a 20% do lucro, é?
(a) 50
(b) 51
(c) 52
(d) 54
EP 2.2. Uma loja vende dois produtos, o primeiro a R $500, 00 a unidade e o segundo a R $600, 00 a unidade.
Considere x e y as quantidades vendidas do primeiro e do segundo respectivamente. Qual das alternativas
abaixo responde as seguintes perguntas:
(I) Qual o valor da receita se forem vendidas 10 unidades do primeiro produto e 15 do segundo.
(II) Qual expressão representa a quantidade do primeiro e do segundo produto que a loja precisa vender para
ter uma receita de R $300.000, 00.
5x
6
5x
(b) R $15.000; y = 500 +
6
5x
(c) R $14.000; y = 500 +
6
5x
(d) R $15.000; y = 500 −
6
(a) R $14.000; y = 500 −
EP 2.3. Uma caixa aberta em cima tem um volume de 10m3 . O comprimento da base é o dobro da largura.
O material da base custa R $10, 00 por metro quadrado, ao passo que o material das laterais custa R $6, 00 por
metro quadrado. A expressão que representa o custo total em função da largura da caixa é:
(a) C (l ) = 20l 2 +
48
FTC EAD |
180
,l >0
l
(b) C (l ) = 20l 2 + 36l , l > 0
(c) C (l ) = 20l +
180
,l >0
l
(d) C (l ) = 20l 2 +
180
,l >0
l2
EP 2.4. Para produzir um determinado produto uma firma gasta R $1, 20 por unidade. Além disso, há uma
despesa fixa de R $4.000, 00, independente da quantidade produzida. O preço de venda é de R $2, 00 por
unidade. Qual é o mínimo de unidades a partir do qual a firma começa a ter lucro?
(a) R $1.800, 00
(b) R $2.500, 00
(c) R $3.600, 00
(d) R $5.000, 00
EP 2.5. Admita que o Sr. Cardoso seja um empresário que se dedica exclusivamente à produção de leite e
que
Preço da caixa de leite
Quantidade de caixas de leite oferecidas
10
1
40
5
70
9
100
13
130
17
160
21
Admita, também, que a caixa de leite comprada pelo Sr. Cardoso possui a função demanda p = 102, 5−2, 5x .
Marque a alternativa que determina o ponto de equilíbrio.
(a) (77, 5; 10)
(b) (10; 77, 5)
(c) (10; 25)
(d) (25; 10)
Gabarito
2.1. (d) 2.2. (a) 2.3. (a) 2.4. (d) 2.5. (b)
Matemática
49
O Cálculo e sua Interface na
BLOCO 02
Economia
O Cálculo é a Matemática das variações e o principal instrumento para estudá-lo é a Derivada e as suas propriedades. Os métodos do Cálculo são usados para resolver, dentre outras finalidades, problemas de otimização, como por exemplo determinar o maior lucro. O que distingue o Cálculo da Álgebra é a noção de limite de
uma função, que será aqui tratado numa abordagem mais intuitiva do que formal. Como o conhecimento de
funções é importante para o Cálculo, ampliaremos a discussão feita no Tema I introduzindo outras funções, cujas propriedades servirão de bases estruturais para alguns procedimentos de derivação e às contextualizações
dos mesmos.
Inicialmente, no Bloco I, foram trabalhados conteúdos matemáticos básicos e algumas funções econômicas
que importam aos profissionais de Administração e Contábeis, dentre outros. Neste bloco, trabalharemos, de
forma sucinta, os conceitos de limites e suas principais propriedades, para, enfim, adentrarmos no conteúdo
de Derivadas.
Objetivos deste bloco:
• Identificar aplicações que envolvem as funções exponenciais, as logarítmicas e as trigonométricas.
• Reconhecer o conteúdo de logaritmo como ferramenta importante para a resolução de cálculos financeiros.
• Conhecer o conceito de limites e derivadas e as aplicações na área.
O Estudo de Outras Funções
TEMA 03
Matemáticas e suas Aplicações
Neste tema, o objeto de estudo será a aplicação de funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas
na área de Ciências Sociais Aplicadas.
Funções Exponenciais
3.1
Funções Exponenciais e suas Aplicações
Você já parou para pensar como tem sido crescente o aumento da internet nestes últimos anos?
Observamos que não se espera uma interrupção de crescimento entre,
aproximadamente, 15 a 20 anos, ou melhor, não se conhecem, neste momento, barreiras científicas ou tecnológicas que impossibilitem a continuação
do processo de evolução tecnológica exponencial da área de informática ou
de telecomunicações... Desta forma, não está descartada a possibilidade de
uma nova melhora da ordem de 1.000 vezes, nos próximos 15 a 20 anos, na
capacidade de processamento de computadores.
..., não estão descartadas velocidades de 25 T bps (25 trilhões de bits por segundo) num futuro não muito
distante. Estes ganhos, se concretizados, mais uma vez mudarão completamente o perfil global da área em
50
FTC EAD |
direções que são absolutamente imprevisíveis neste momento. Como será o mundo em que cada mesa terá
um computador que hoje valeria US $2.000.000, 00, comunicando-se com velocidades um milhão de vezes
maiores do que as atuais? Que “software” rodará em tal ambiente?
Texto retirado de
http://www.ime.usp.br/∼is/abc/abc/node17.html
com acesso efetuado em 23 de maio de 2008.
Ao resolver problemas de juros compostos, usando logaritmos e funções exponenciais, você percebe que
tais conteúdos têm sentido em sua vida presente e futura. Vejamos:
“O juro composto é a maior invenção da humanidade, porque permite uma confiável e sistemática
acumulação de riqueza".
Albert Einstein
Suponha que seja investido um capital C , a uma taxa de juros i . O montante M será:
M = C + C · i ⇒ M = C (1 + i ).
Você sabia que se os pais guardam e investem R $10, 00 por dia desde o nascimento de seu filho, quando
este completar 18 anos, terá R $150.000, 00 acumulados a juros compostos, supondo que a taxa de retorno
anual seja de 12%. Em 33 anos, se mantido o mesmo plano com a mesma razão de investimento, ele já terá
R $1 milhão e, em 65 anos, R $2, 35 milhões.
ER 24. Foram investidos R $1.000, 00 a uma taxa de juros de 2% ao mês. Qual o montante após o primeiro
mês?
Solução: M = C · (1 + i ) = 1.000 · (1 + 0, 02) = 1.000 · 1, 02 = 1.020.
ER 25. Qual o montante deste capital se o período do investimento for de dois meses, supondo o regime de
capitalização composto, isto é, os juros incidem tanto sobre o capital como sobre os juros acumulados?
Solução: Observe o seguinte comportamento:
1◦ mês
◦
M1
= C · (1 + i )
= C · (1 + i )(1 + i ) = C · (1 + i )2
2 mês
M2
3◦ mês
..
.
M3
= C · (1 + i )(1 + i )(1 + i ) = C · (1 + i )3
..
.
n◦ mês
Mn
= C · (1 + i )(1 + i ) · . . . · (1 + i ) = C · (1 + i )n
|
{z
n
}
Sendo assim, se investirmos um capital C por um período n a uma taxa de juros i , teremos um montante
M = C · (1 + i )n ao fim do período.
Portanto, para o segundo mês, teremos:
M = 1.000 · (1 + 0, 02)2 = 1.000 · (1, 02)2 = 1.000 · 1, 0404 = 1.040, 40,
ou seja, um montante de 1.040, 40 reais.
Matemática
51
Podemos notar que o montante é uma função exponencial crescente que depende do período n, pois, neste
caso, C é uma constante, (i + 1) = a > 1 e n é a variável independente que está fazendo o papel da variável
x . É por esta razão que dizemos que o montante na capitalização composta cresce exponencialmente. Temos,
então, que o montante é uma função exponencial M (n) = C · (1 + i )n , em que (1 + i ) > 0 e C é uma constante.
Antes de continuarmos a abordagem do conteúdo, faremos uma revisão das características principais das
funções exponenciais.
3.2
Funções Exponenciais
Uma função f : R → R, tal que f (x ) = ax , em que a ∈ R, com a > 0 e a 6= 1 é dita uma função exponencial.
ER 26. Construir o gráfico da função f (x ) = 2x .
y
Solução:
(x , y ) ∈ Graf(f )

‹
1
−2,
4‹

1
−1,
2
(0, 1)
5
x =0
y = f (x ) = 2x
 ‹2
1
1
f (−2) = 2−2 =
=
 2 ‹1 4
1
1
−1
f (−1) = 2 =
=
2
2
f (0) = 20 = 1
x =1
f (1) = 21 = 2
(1, 2)
2
x =2
f (2) = 22 = 4
(2, 4)
x
x = −2
x = −1
4
f (x ) = 2x
3
1
Marcando estes pontos no plano cartesiano, podemos
esboçar o gráfico da função crescente f (x ) = 2x , como
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
na figura ao lado.
 ‹x
ER 27. Construir o gráfico da função f (x ) =
1
2
.
Solução:
 ‹x
x
x = −2
y = f (x ) =
 ‹−2
f (−2) =
1
2
1
2
= 22 = 4
‹−1
f (x ) =
2
(x , y ) ∈ Graf(f )
5
(−2, 4)
4
x =0
1
=2
f (−1) =
2
f (0) = 20 = 1
x =1
f (1) = 21 = 2
(1, 2)
x =2
f (2) = 22 = 4
(2, 4)
x = −1
€ 1 Šx y
(−1, 2)
3
(0, 1)
2
1
Marcando estes pontos no plano cartesiano, podemos
esboçar o gráfico da função decrescente f (x ) = 2x ,
-3
como na figura ao lado.
De modo geral, dada uma função exponencial f (x ) = ax , temos:
52
FTC EAD |
-2
-1
1
2
3
4x
• Se 0 < a < 1, então a função será decrescente;
• Se a > 1, então a função será crescente.
• Se x = 0, então f (0) = a0 = 1. Logo, (0, 1) ∈ Graf(f ), isto é, uma função exponencial, f (x ) = ax , passará
sempre pelo ponto (0, 1).
y
Veremos, oportunamente, a definição do número irracional e , que será bastante utilizado nesta seção.
Obtido por Euler e, por isso, denotado pela letra e . Seu
valor é, aproximadamente, 2, 7182818284.
Como e > 1, temos que o gráfico da função f (x ) = e x é
crescente.
f (x ) = e x
1
x
ER 28. Suponha que uma empresa contrate um financiamento de um capital de giro de R $18.750, 00 por 30
meses, à taxa de 4, 75% ao mês. Qual o montante a ser pago pela empresa ao fim do período, supondo que a
capitalização é composta? Esboce o gráfico desta função.
M (n)
Solução:
30
(1, 0475)
M = 18.750 · (1 + 0, 0475)30 = 18.750 ·
80000
= 75.443, 57 reais.
O gráfico da função montante M = 18.750 · (1, 0475)30,
60000
em que 0 ≤ n ≤ 30. Observe que o crescimento do
40000
montante é exponencial.
20000
n
10
20
30
ER 29. Uma pessoa aplicou R $1.575, 78 em fundos de renda fixa. Após 76 dias, seu saldo era de R $2.476, 98.
Qual foi a taxa de juros mensal desta aplicação?
Solução: Como 76 dias equivalem a
76
meses e M = C · (1 + i )n , temos:
30
76
2.476, 98 = 1.575, 78 · (1 + i ) 30

‹ 30
”
— 30
2.476, 98 76
76 76
= (1 + i ) 30
 1.575, 78 ‹ 3076
2.476, 98
⇒
= 1+i
1.575, 78

‹ 3076
2.476, 98
⇒ i=
−1
1.575, 78
⇒ i ≈ 0, 1955 = 19, 55%
⇒
De modo geral, temos que:
1
M
⇒ [(1 + i )n ] n =
M = C · (1 + i ) ⇒ (1 + i ) =
C
n
n

M
C
‹ n1
 ‹ n1
⇒1+i =
M
C
 ‹ n1
⇒i =
M
C
−1
Matemática
53
3.2.1
Crescimento Exponencial
Na Matemática, o crescimento exponencial ocorre quando a taxa de crescimento de uma função é proporcional a ela.
Uma grandeza da forma Q (t ) = Q0 · e kt , em que Q0 e k são constantes positivas, tem um crescimento
exponencial. Por exemplo, os juros compostos têm um crescimento exponencial.
ER 30. O produto nacional bruto (PNB) do Brasil era de U $100 bilhões em 1975 e de U $180 bilhões em 1980.
Admitindo que o PNB do Brasil cresça exponencialmente, estime de quanto foi o PNB em 1985.
Solução: P (t ) = P0 · e kt , em que
P (t ) é o PNB no tempo t ;
P0 é o PNB inicial
K é uma constante positiva
Calculemos o PNB inicial:
P (0) = P0 · e k 0 = P0 · 1 = P0 = 100,
ou seja, o PNB inicial P0 é de U $100 bilhões e escrevemos P0 = 100.
Para t = 5, temos:
P (5) = P0 · e k
cdot 5
= P0 · e 5k = 180,
isto é, 5 anos após 1975 o PNB era U $180 bilhões.
Desta forma, 100 · e 5k = 180 e e 5k =
180
= 1, 8.
100
Estimaremos o PNB do Brasil em 1985, isto é, 10 anos depois de 1975:
P (10) = 100 · e k ·10 = 100 · (e 5k )2 = 100 · (1, 8)2 = 324.
O PNB do Brasil em 1985 foi de U $324 bilhões.
ER 31. A receita de uma determinada empresa cresce exponencialmente. Em 1990 era de R $52 mil e em 1998
de R $63 mil. Estime sua receita em 2003.
Solução: Como o crescimento da receita é exponencial, temos: R (t ) = R0 · e k ·t , em que R (t ) é a receita
no tempo t , R0 é a receita inicial e k é uma constante positiva.
O valor de R0 é R $52 mil. De fato, para o ano de 1990 temos t = 0. Assim,
R (0) = R0 · e k ·0 ⇒ 52 = R0 .
Para t = 8 (8 anos após 1990), temos R (8) = R0 · e 8k , ou seja, e 8k =
54
FTC EAD |
63
.
52
Estimaremos, agora, a receita desta empresa em 2003, isto é, 13 anos depois de 1990:
R (13) = 52 · e
k ·13
= 52 · (e
13k
8
8
8k
) = 52 · (e )
13
8

= 52 ·
63
52
‹ 138
= 71, 03
A receita da empresa, em 2003, foi de R $71, 03 mil.
3.2.2
Decrescimento Exponencial
Uma grandeza da forma Q (t ) = Q0 · e −kt , em que Q0 e k são constantes positivas, tem um decrescimento
exponencial.
ER 32. O FMI - Fundo Monetário Internacional, emprestou U $13 bilhões a um determinado país no ano de
1960 e determinou que a dívida do país referente a este empréstimo deveria decrescer exponencialmente. Se
em 1971 o país devia U $7 bilhões, estime qual deveria ser a dívida do país em 1977.
D (t ) = D0 · e −k ·t ,
em que D (t ) é o valor da dívida no tempo t , D0 é a dívida inicial e k é uma constante positiva.
A dívida inicial é a dívida em t = 0. Portanto,
D (0) = D0 · e −k ·0 = D0 · 1 = D0 = 13.
Assim, D0 = 13 é a dívida inicial.
Como em 1971 o país devia U $7 bilhões, ou seja, 11 anos após, temos que D (11) = 7. Assim,
D (11) = D0 · e −k ·11 ⇒ 7 = 13 · e −11k ⇒ e −11k =
Estimaremos a dívida do país em 1977, isto é, 17 anos após 1960:
11
17
D (17) = 13 · e −k ·17 = 52 · (e −17k ) 11 = 52 · (e −11k ) 11 = 52 ·

7
13
7
13
‹ 1711
= 4, 99
Logo, a dívida do país em 1977 era de U $4, 99 bilhões.
ER 33. Um determinado modelo de carro tem o seu preço depreciado após t anos segundo a função P (t ) =
1
P0 · e − 4 ·t . Após 7 anos o valor desse carro era de R $7.000, 00. Por quanto esse carro foi comprado?
Solução: Para t = 7, temos P (7) = 7.000, isto é, 7 anos após a compra o valor do carro era de
R $7.000, 00. Queremos encontrar P0 , que é o valor em que o carro foi comprado. Como P (t ) = P0 · e −f r ac 14·7 ,
temos P0 =
7.000
e −f r ac 14·t
≈ 40.282, 22, ou seja, o carro foi comprado por R $40.282, 22.
Funções Logarítmicas
3.3
Funções Logarítmicas e suas Aplicações
Para facilitar a compreensão da função logarítmica, trataremos, inicialmente, dos conceitos e propriedades
básicas do logaritmo.
Matemática
55
3.1 Definição. Sejam a e b números reais positivos, em que b 6= 1. O logaritmo de b na base a, o expoente x
tal que ax = b . Em símbolos,
loga b = x ⇒ ax = b .
ER 34. Calcule:
(b) log 31 81
(a) log2 8
Solução: (a) log2 8 = x ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 3.
 ‹x
(b) log 13 81 = x ⇒
1
3
= 81 ⇒ (3−1 )x = 34 ⇒ 3−x = 34 ⇒ x = −4.
Para que servem os Logaritmos?
O logaritmo foi desenvolvido para agilizar as contas de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Ele
é fundamental, também, em outras disciplinas, como, por exemplo, na Química, para o cálculo do PH (potencial
de hidrogênio). Na Física, utilizamos logaritmos em acústica para determinarmos a intensidade (decibel) de
um som, e muito mais. Observe como as ciências são intimamente ligadas.
3.3.1
Um Pouco de História
Os logaritmos foram descobertos no início do século XVII pelo esforço conjunto de grandes matemáticos, a
exemplo de John Napier (escocês, 1550-1617), Jobst Bürgi (suíço, 1552-1632) e Henry Briggs (inglês, 15561631). A idéia original, entretanto, coube a John Napier.
3.3.2
Propriedades Fundamentais dos Logaritmos
1. loga (b · c ) = loga b + loga c
2. loga
€bŠ
c
= loga b − loga c
3. loga (b c ) = c · loga b
4. b logb a = a
5. loga b =
logc b
logc a
Nota 12. Lembre-se que:
1. log(x ) = log10 (x ).
2. loge (x ) = ln(x )
ER 35. Admitindo que log(2) = 0, 30 e log(3) = 0, 48, temos:
(a) log(16) = log(24 ) = 4 · log(2) = 4 · 0, 30 = 1, 20
(b) log(36) = log(22 ) · 32 = log(22 ) + log(32 ) = 2 log(2) + 2 log(3) = 2 · 0, 30 + 2 · 0, 48 = 1, 56
56
FTC EAD |
 ‹
(c) log
1
3
(d) log3 2 =
= log(1) − log(3) = 0 − 0, 48 = −0, 48
0, 30
log(2)
=
= 0, 625
log(3)
0, 48
(e) Quanto deverá ser o valor de x para satisfazer a equação exponencial 2x = 3?
Solução: Podemos fazer de duas formas, que são equivalentes. Vejamos.
i. Pela definição de logaritmos, temos que 2x = 3 ⇔ x = log2 3, ou seja,
x=
0, 48
log 3
=
= 1, 6
log 2
0, 30
ii. A partir da igualdade 2x = 3, podemos escrever: log 2x = log 3 e, então, prosseguimos:
log(2x ) = log(3) ⇒ x · log(2) = log(3) ⇒ x =
3.4
0, 48
log(3)
=
≈ 1, 6.
log(2)
0, 30
Funções Logarítmicas
3.2 Definição. Uma função f : R∗+ → R, tal que f (x ) = loga (x ), em que 0 < a 6= 1, é dita uma função
logarítmica na base a.
Para compreender o comportamento da função logarítmica utilizaremos sua representação gráfica. Observe
nos exemplos a seguir como esboçar o gráfico desta função.
ER 36. Construir o gráfico da função f (x ) = log2 (x ).
Solução: Marquemos alguns pontos do gráfico da função f (x ) = log2 (x ) e observemos como ela se
comporta. Para tanto, tomaremos alguns valores para x , como segue:
• Se x =
1
, então f
4
 ‹
1
4
 ‹
1
4
que y = −2, ou seja, f
1
• Se x = , então f
2
 ‹
= log2
que y = −1, ou seja, f
= y . Assim, pela definição de logaritmo 2y =

= −2. Logo, o ponto
 ‹
1
2
1
4
‹
1
, −2 ∈ Graf(f ).
4
 ‹
= log2
 ‹
1
2
1
2
= y . Assim, pela definição de logaritmo 2y =
= −1. Logo, o ponto

1
. Obtemos, então,
4
‹
1
. Obtemos, então,
2
1
, −1 ∈ Graf(f ).
2
• Se x = 1, então f (1) = log2 (1) = y . Assim, pela definição de logaritmo 2y = 1. Obtemos, então, que
y = 0, ou seja, f (1) = 0. Logo, o ponto (1, 0) ∈ Graf(f ).
• Se x = 2, então f (2) = log2 (2) = y . Assim, pela definição de logaritmo 2y = 2. Obtemos, então, que
y = 1, ou seja, f (2) = 1. Logo, o ponto (2, 1) ∈ Graf(f ).
• Se x = 4, então f (4) = log2 (4) = y . Assim, pela definição de logaritmo 2y = 4. Obtemos, então, que
Matemática
57
y = 2, ou seja, f (4) = 2. Logo, o ponto (4, 2) ∈ Graf(f ).
y
Marcando estes pontos no plano cartesiano, podemos
2
ver o comportamento do gráfico da função
1
f (x ) = log2 (x ),
-1
-1
como figura ao lado.
-2
Note que a função f (x ) = log2 (x ) é crescente.
-3
1
2
3
4
5
6
x
ER 37. Construir o gráfico da função f (x ) = log 21 (x ).
Solução: Vamos marcar alguns pontos do gráfico da função f (x ) = log 21 (x ), para observarmos como se
comporta seu gráfico. Observe a seguinte tabela.
1
x=
4
1
x=
2
x =1
y = f (x )
 ‹
1
1
f
= log 21
=2
4‹
4‹
1
1
f
= log 21
=1
2
2
f (1) = log 12 (1) = 0
(x , y ) ∈ Graf(f )
 ‹
1
,2
4 ‹
1
,1
2
(1, 0)
x =2
f (2) = log 12 (2) = −1
(2, −1)
x =4
f (1) = log 12 (4) = −2
(4, −2)
x
 ‹
y
Marcando estes pontos no plano cartesiano, podemos
2
ver o comportamento do gráfico da função
1
f (x ) = log 12 (x ),
-1
-1
como figura ao lado.
-2
Note que a função f (x ) = log 21 (x ) é decrescente.
-3
3.4.1
1
2
3
4
5
6
x
Aplicações dos Logaritmos
ER 38. Uma pessoa investiu R $3.000, 00 na poupança e deseja retirar sua aplicação quando o saldo for de
R $5.000, 00. Supondo que a taxa de juros da poupança seja fixa de 0, 67% ao mês, determine o tempo que o
investidor deve deixar seu dinheiro investido.
Solução: Como M = C · (1 + i )n . Logo,
5.000 = 3.000 · (1 + 0, 0067)n ⇒ (1, 0067)n =
58
FTC EAD |
5.000
.
3.000
Aplicando a função logarítmica na base e , temos:
 ‹
5
ln(1, 0067)n = ln
3
 ‹
5
⇒ n · ln(1, 0067) = ln
3
 ‹
5
3
≈ 76, 50
⇒n=
ln(1, 0067)
ln
O tempo será de 76, 5 meses ou 6 anos, 4 meses e 12 dias.
Funções Trigonométricas
As funções trigonométricas são importantes no estudo de fenômenos que apresentam comportamento periódico, como, por exemplo, os movimentos harmônicos (molas, pêndulos de abertura pequena, projeções de
movimentos circulares são exemplos comuns que utilizam funções trigonométricas para seu estudo), ou ainda,
para tentar modelar fenômenos que se repitam de ciclos em ciclos (ondas sonoras, ou ainda, ciclos geológicos
/ astronômicos / climáticos / turísticos que se repitam de tempos em tempos).
Fique Sabendo
A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gono (ângulo) e metron (medida);
significando, assim, “medida dos triângulos”. Inicialmente considerada como uma extensão da geometria, a
trigonometria já era estudada pelos babilônios, que a utilizavam para resolver problemas práticos de astronomia, de navegação e de agrimensura. Aliás, foram os astrônomos como o grego Hiparco (190 a.C. - 125 a.C.),
considerado o pai da astronomia e da trigonometria, que estabeleceram as primeiras relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. No século V I I I , com o apoio de trabalhos hindus, matemáticos
árabes contribuíram notavelmente para o avanço da trigonometria. Este avanço continuou após a construção
da primeira tábua trigonométrica por um matemático alemão, nascido em Baviera, chamado Purback. Porém, o
primeiro trabalho matemático sobre trigonometria foi o “tratado dos triângulos”, escrito pelo matemático alemão
Johann Müller, também chamado Regiomontanus. Sabe-se que Regiomaontanus foi discípulo de Purback. Atualmente, a trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação se estende a outros campos
da Matemática, como a Análise, e a outros campos da atividade humana, como a Eletricidade, a Mecânica, a
Acústica, a Música, a Topologia, a Engenharia Civil, etc.
Apresentamos aqui uma situação do nosso dia-a-dia, em que podemos encontrar tais relações funcionais.
Alguns produtos agrícolas têm seu preço de venda com variação periódica. Esses produtos apresentam
épocas de safra e épocas de entressafra. Suponha que o preço médio de venda da saca de soja do produtor
ao atacadista, numa determinada região, possa ser representado pela função
p (x ) = 30 + 10 · sen x ·
π
,
6
sendo p o preço médio da saca (60kg ) de soja, em reais, e x o mês do ano. Pergunta-se:
(a) Qual o valor máximo obtido na venda de uma saca de soja?
(b) Em qual mês foi obtido esse valor?
(c) Qual foi o pior valor de venda dessa saca?
(d) Qual foi a variação do valor da saca de soja?
(e) Qual foi o período de variação do preço da saca?
Matemática
59
Vamos lá!
Solução: (a) Valor máximo: sen x ·
π
= 1. Então:
6
p (x ) = 30 + 10 · sen x ·
π
⇔ p (x ) = 30 + 10 · 1 = 40.
6
O valor máximo obtido foi R $40, 00.
π
π
π
= 1 ⇔ x · = ⇔ x = 3. Portanto, no mês de março.
6
6π 2
(c) Valor mínimo: sen x ·
= −1. Então:
6
(b) sen x ·
p (x ) = 30 + 10 · sen x ·
π
⇔ p (x ) = 30 + 10 · (−1) = 20.
6
O valor mínimo obtido foi R $20, 00.
(d) O conjunto imagem (variação do preço da saca de 60kg de soja) será:
ℑ(p ) = [20, 40].
(e) Para o arco inicial, temos x = 0; θ0 = 0 ·
π
⇔ θ0 = 0. Para completar o período, acrescenta-se 2πrad
6
ao arco inicial:
θ0 + 2π = x ·
3.5
π
⇔ x = 12 meses.
6
Características de Algumas Funções Trigonométricas
• Função Seno f (x ) = sen(x ).
(a) Domínio: o conjunto R dos números reais.
(b) Interceptos: se x = 0, temos f (0) = sen(0) = 0 e, portanto, a interseção com o eixo-y é o ponto
(0, 0). A intersecção como eixo-x é feita fazendo f (x ) = sen(x ) = 0 e, portanto, x = k · π, k ∈ Z.
(c) O gráfico da função f (x ) = sen(x ).
y
1
−1
0
2π
π π π
6 4 3
π
2
π
3π
2
x
(d) Como o maior valor de seno é 1 e o menor é −1 e tendo em conta o gráfico dessa função, concluímos
que o conjunto imagem é o intervalo [−1, 1].
• Função cosseno f (x ) = cos(x ).
(a) Domínio: o conjunto R dos números reais.
60
FTC EAD |
(b) Interceptos: se x = 0, f (0) = cos(0) = 1 e, portanto, a intersecção com o eixo-y é o ponto (0, 1). A
π
intersecção com o eixo-x é feita fazendo f (x ) = cos(x ) = 0 e, portanto, x = + k π, k ∈ Z.
2
(c) O gráfico da função f (x ) = cos(x )
y
1
2π
0
π π π
6 4 3
π
π
2
x
3π
2
−1
(d) Como o maior valor do cosseno de um ângulo é 1 e o menor −1 e tendo em conta o gráfico dessa
função, concluímos que o conjunto imagem [−1, 1].
Função Tangente f (x ) = tg(x )
(a) Domínio: o conjunto R dos números reais, excluindo os valores de x para os quais cos(x ) = 0, ou
π
seja, os valores da forma x = + k π, k ∈ Z.
2
(b) Interceptos: se x = 0, temos f (0) = tg(0) e, portanto, a interseção com o eixo-y é o ponto (0, 0). A
intersecção com o eixo-x é feita fazendo f (x ) = tg(x ) = 0 e, portanto, x = k π, k ∈ Z.
(c) O gráfico da função f (x ) = tg(x )
y
1
2π
0
π π π
6 4 3
π
π
2
x
3π
2
(d) O conjunto imagem é R dos números reais, pois, para todo y real, existe x tal que tg(x ) = y .
3.6
Atividade Complementar
EP 3.1. Daqui a t anos o valor de um automóvel será V = 2.000 · (0, 75)t dólares. A partir de hoje, daqui a
quantos anos ele valerá a metade do que vale hoje? Adote: log(2) = 0, 3 e log(3) = 0, 48.
(a) 3 anos
(b) 2, 5 anos
(c) 2 anos
(d) 4, 5 anos
EP 3.2. Uma população de mosquitos desenvolve-se segundo o modelo dado pela função: P (t ) = P0 · e 0,01·t ,
em que a variável t indica o tempo dado em dias. Qual é a população inicial, sabendo que após 40 dias a
população é de, aproximadamente, 400.000 indivíduos?
(a) 268.000
(b) 368.000
(c) −268.000
(d) −368.000
EP 3.3. O preço de um carro é R $11.261, 62, podendo este valor ser pago até o prazo máximo de 6 meses.
Quem optar pelo pagamento à vista beneficia-se de um desconto de 11, 2%. Qual a taxa de juros cobrada nesta
operação?
Matemática
61
(a) 1%
(b) 0, 02%
(c) 0, 2%
(d) 2%
EP 3.4. Foi feito um empréstimo pessoal de R $1.500, 00, e a taxa de juros cobrada foi de 4, 32% a.m. Determine quanto tempo se passou quando o devedor saldou a dívida em R $3.078, 50.
(a) 4 anos
(b) 3 anos
(c) 5 anos
(d) 2 anos
EP 3.5. O valor das ações da Petrobras na Bolsa de Valores variou, durante determinado mês, segundo a
π π equação V (t ) = 3 + 1, 2 · sen
+ · t , em que V (t ) é o valor de venda de um lote de 1.000 ações, em reais,
2
2
e t é o tempo em dias. Assinale a alternativa que representa o período de oscilação do valor das ações na
Bolsa.
(a) 10
(b) 15
Gabarito
3.1. (b) 3.2. (a) 3.3. (d) 3.4. (a) 3.5. (a)
62
FTC EAD |
(c) 20
(d) 24
O Cálculo Diferencial e suas
TEMA 04
Aplicações
Inicialmente, no Bloco I, foram trabalhadas as características principais de funções e suas aplicações, estas
voltadas para a economia, negócios e outros temas que importam aos profissionais de Administração e Contábeis, dentre outros. Neste tema trabalharemos, de forma sucinta, os conceitos de limite de uma função e suas
principais propriedades para, enfim, adentrarmos no conteúdo de Derivadas e Integrais, no mesmo contexto.
Noções Básicas de Limites
O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemática envolvida
com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo: Estudo das
funções, limites, derivadas e integrais. O conceito de limite tem grande utilidade na determinação do comportamento de funções nas vizinhanças de um ponto que não seja necessariamente do domínio, no comportamento
delas quando x aumenta muito (tende ao infinito) ou diminui muito (tende para menos infinito).
Para entender os conceitos mais importantes daquela lista acima, que são os últimos, a Teoria de Limites é
fundamental. Antes de compreender aspectos básicos de limites, vejamos a seguinte situação:
Uma empresa fabrica uma linha de cadeiras para executivos. Estima-se que o custo total da fabricação de
x mesas de certo modelo é C (x ) = 100x + 200.000 em reais por ano, de modo que o custo médio da fabricação
de x cadeiras, em reais por cadeira, é dado por:
CM (x ) =
C (x )
100x + 200.000
200.000
=
= 100 +
.
x
x
x
Nota 13. O custo médio, em Economia, é definido como o custo total de produção (C (x )), dividido pela
quantidade produzida x .
Observe, abaixo, o comportamento do valor do custo quando se aumenta a produção de cadeiras:
Quantidade de cadeiras produzidas
1
1.000
10.000
1.000.000
10.000.000
..
.
x → +∞
Custo médio quando × cadeiras são produzidas
C (1) = 100 +
200.000
1
= 100 + 200.000 = 200.100
C (1.000) = 100 + 200.000
1.000 = 100 + 200 = 300
C (10.000) = 100 + 200.000
10.000 = 100 + 20 = 120
200.000
C (1) = 100 + 1.000.000 = 100 + 0, 2 = 100, 2
200.000
= 100 + 0, 02 = 100, 02
C (10.000.000) = 100 + 10.000.000
..
.
100 +
200.000
x
→ 100, pois
200.000
x
→0
Visualize graficamente.
Matemática
63
y
A partir da análise do gráfico, conclui-se que o resultado que
obtivemos é certamente o esperado se considerarmos suas implicações econômicas. Intuitivamente, observa-se que à medida
que o nível de produção cresce o custo fixo aumenta por cadeira
produzida e o custo médio diminui sensivelmente. O custo médio
se aproxima de um valor constante por unidade produzida, R $100,
neste caso. Logo, algebricamente, temos que:

lim C (x ) = lim
x →∞
100 +
x →∞
200.000
x
‹
= lim 100+ lim
|
x →∞
x →∞
x
10000
-10000
200.000
= 100,
{z x }
tende a 0
em que lim C (x ) representa o limite da função custo médio quando x cresce indefinidamente, ou seja, à mex →∞
dida que quantidade de cadeiras produzidas cresce, o custo médio diminui, se aproximando de 100 reais por
mês. Observe, ainda, que, quando a produção é pequena, o custo é muito alto. Para compreender isto,
calcularemos o custo médio quando uma unidade é produzida:
C (1) = 100 +
200.000
= 200.100 (muito alto).
1
Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto.
Para fixar a compreensão intuitiva de limites, consideremos a função f : R − {1} → R, definida por f (x ) =
x2 − 1
:
x −1
Para x 6= 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma equivalente:
f (x ) =
(x − 1)(x + 1)
x2 − 1
=
= x + 1 ⇒ f (x ) = x + 1.
x −1
x −1
Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x = 1, ponto este que não pertence ao
domínio de f , constatamos que esta função se aproxima do valor y = 2, quando os valores de x se aproximam
de x = 1, tanto por valores de x < 1 (à esquerda de 1) como por valores x > 1 (à direita de 1).
Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da função f para valores x à
esquerda e à direita de x = 1.
• Pela esquerda de x = 1:
x
0
0, 5
0, 9
0, 99
0, 999
0, 9999
f (x )
1
1, 5
1, 9
1, 99
1, 999
1, 9999
y
• Pela direita de x = 1:
x
2
1, 5
1, 1
1, 01
1, 001
1, 0001
f (x )
3
2, 5
2, 1
2, 01
2, 001
2, 0001
2
Neste caso, dizemos y = 2 é o limite da função f quando x se
aproxima de 1, o que denotaremos por:
1
lim f (x ) = 2.
x →1
Este resultado pode ser visto através do esboço gráfico de f ,
ao lado:
64
FTC EAD |
x
4.1
Propriedades dos Limites
Apresentaremos as propriedades que podem ser usadas para obtenção das regras e propriedades da
derivação.
1. Se f (x ) = C , em que C é constante, então:
lim f (x ) = lim C = C .
x →a
x →a
2. Se k e b são constantes e f (x ) = kx + b , então:
lim f (x ) = lim (kx + b ) = ka + b .
x →a
x →a
3. Se f e g são duas funções, k uma constante, A e B números reais e, além disso, lim f (x ) = A e
x →a
lim g (x ) = B , então:
x →a
4. (a) lim (f ± g )(x ) = lim f (x ) ± lim g (x ) = A ± B
x →a
x →a
x →a
5. (b) lim (f · g )(x ) = lim f (x ) · lim g (x ) = A · B
x →a
x →a
x →a
6. (c) lim (k · f )(x ) = k · lim f (x ) = k · A
x →a
x →a
n
7. (d) lim (f ) (x ) = ( lim f (x ))n = An
x →a
x →a
 ‹
8. (e) lim
x →a
f
g
lim f (x )
(x ) =
x →a
lim g (x )
x →a
h
=
A
, se B 6= 0.
B
i
9. (f) lim exp[f (x )] = exp lim f (x ) = exp(A)
x →a
x →a
10. Se acontecer uma das situações abaixo:
11. i. lim f (x ) = 0
x →a
12. ii. lim f (x ) > 0 e n é um número natural
x →a
13. iii. lim f (x ) < 0 e n é um número natural ímpar, então lim
x →a
x →a
È
n
f (x ) =
q
n
lim f (x ).
x →a
Derivadas e suas Aplicações
y
Neste conteúdo introduziremos a taxa de variação instantânea
de uma função num ponto. A taxa de variação num dado instante f (x )
nos leva ao conceito de derivada. Esta pode ser interpretada geometricamente como a inclinação de uma curva e fisicamente como
taxa de variação. Veremos que a noção de limites, vista no conteúdo anterior, nos permite definir a noção de derivada e também
discutirmos algumas aplicações que provam a utilidade de sua in- f (x0 )
terpretação.
Graf(f )
b
b
x0
x
x
f (x ) − f (x0 )
, que está definido se x 6= x0 .
x − x0
Logo, temos uma função q : I − {x0 } → R, cujo valor q (x ) nos dá a inclinação da reta secante ao gráfico de f
nos pontos (x0 , f (x0 )) e (x , f (x )).
Dada uma função f : I → R e x0 ∈ I , considere o quociente q (x ) =
Matemática
65
Se imaginarmos x sendo o tempo e f (x ) a posição de um carro em uma estrada, teremos que q (x ) é a
velocidade média deste carro no intervalo de tempo de x0 a x .
vm =
∆S
f (x ) − f (x0 )
S − S0
=
= q (x ).
=
∆t
t − t0
x − x0
Temos que q (x ) é a relação entre a variação de (x ) e de x a partir do ponto x0 . Vamos fazer x se aproximar
cada vez mais de x0 , ou seja, x → x0 (x tender a x0 ). Isto é, considere o seguinte limite:
lim
x →x0
f (x ) − f (x0 )
.
x − x0
y
Notamos que se este limite existir obteremos a inclinação da
f (x )
reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0 , f (x0 )), que é a velocidade instantânea do carro no instante x = x0 . Em outras palavras,
a “taxa de variação instantânea” da função f no ponto.
Definimos a derivada de f no ponto x0 , sendo o limite:
lim
x →x0
f (x ) − f (x0 )
x − x0
Graf(f )
b
f (x0 )
b
x0
x
x
Fazendo ∆x = x − x0 , se x → x0 , temos que ∆x → x0 e que x = x0 + ∆x . Logo,
lim
x →x0
f (x ) − f (x0 )
f (x + ∆x ) − f (x0 )
= lim
= f ′ (x0 ).
∆x
→0
x − x0
∆x
Se este limite existe, dizemos que é derivável no ponto x0 . Se existe f ′ (x ), ∀ x ∈ I , dizemos que f é
derivável em I .
4.2
Regras de Derivação
1. (f ± g )′ = f ′ ± g ′ .
2. (f · g )′ = f ′ · g + f · g ′ .
3. Se f (x ) = c , então f ′ (x ) = 0.
 ‹
f
f ′ · g − f · g′
=
.
g
g2
Como conseqüência destas propriedades, obtêm-se as seguintes regras de derivação:
4. Se g 6= 0, então
5. [k · g (x )]′ = k · g ′ (x ), em que k é uma constante.
6. [k · x n ]′ = kn · x n−1 , ∀ n ∈ R
•
7.
1
g (x )
˜′
=−
g ′ (x )
[g (x )]2
ER 39. Derive as seguintes funções.
(a) f (x ) = 7x 6 + 3xx4 + 8
66
FTC EAD |
(b) f (x ) = (x 2 + 3) · (x 5 − 6)
(c) f (x ) =
x 4 + 3x
x −1
Solução: (a) f (x ) = 7x 6 + 3x 4 − x + 8 ⇒ f ′ (x ) = (7x 6 )′ + (3x 4 )′ − (x )′ + (8)′ = 42x 5 + 12x 3 − 1
(b) f (x ) = (x 2 + 3) · (x 5 − 6) ⇒ f ′ (x ) = (x 2 + 3)′ · (x 5 − 6) + (x 2 + 3) · (x 5 − 6)′ = 2x · (x 5 − 6) + 5x 4 · (x 2 + 3) =
2x 6 − 12x + 5x 6 + 15x 4 = 7x 6 + 15x 4 − 12
(c) f (x ) =
3x 4 − 4x 3 − 3
(x − 1)2
4.3
4x 4 − 4x 3 + 3x − 3 − x 4 − 3x
(4x 3 + 3) · (x − 1) − (x 4 + 3x ) · 1
x 4 + 3x
=
=
⇒ f ′ (x ) =
x −1
(x − 1)2
(x − 1)2
Pontos de Máximos e Mínimos
Dada uma função f (x ), os valores de x tais que f ′ (x ) = 0 são ditos pontos críticos de f . Se a segunda
derivada de f (f ′′ (x )) calculada nestes pontos críticos for positiva (f ′′ (x ) > 0) dizemos que estes pontos críticos
são pontos de mínimo; se os valores nesses pontos críticos forem negativos (f ′′ (x ) < 0) dizemos que estes
pontos críticos são pontos de máximo.
ER 40. Considere a função quadrática f (x ) = x 2 − 4x + 3.
Temos que seus zeros são x = 1 ou x = 3 e as coordenadas do
seu vértice são V (2, −1). O esboço do seu gráfico está ao lado.
Notamos que x = 2 é um ponto de mínimo da função, que é
justamente xV .
Se derivarmos a função f (x ), teremos f ′ (x ) = 2x − 4. Igualando
f ′ (x ) a zero, encontramos o ponto crítico da função.
y
6
3
f ′ (x ) = 0 ⇒ 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2.
x
2
4
Para sabermos se este ponto crítico é de máximo ou de mínimo, calculamos a segunda derivada da função
f neste ponto crítico.
f ′′ (x ) = 2 ⇒ f ′′ (2) = 2 > 0.
Logo, x = 2 é um ponto de mínimo da função f .
Note que f ′ (x ) < 0, se x < 2, e que f ′ (x ) > 0, se x > 2. Observe pelo gráfico que a função f (x )
é decrescente, para x < 2, e é crescente, para x > 2, justamente onde a derivada é negativa e positiva,
respectivamente.
ER 41. Considere a função quadrática f (x ) = −x 2 + 4x − 3.
Temos que seus zeros são x = 1 ou x = 3 e as coordenadas do
seu vértice são V (2, 1). O esboço do seu gráfico está ao lado.
Notamos que x = 2 é um ponto de máximo da função, que é
justamente xV .
Se derivarmos a função f (x ), teremos f ′ (x ) = −2x + 4. Igualando f ′ (x ) a zero, encontramos o ponto crítico da função.
y
2
4
x
-3
-6
f ′ (x ) = 0 ⇒ −2x + 4 = 0 ⇒ x = 2.
Para sabermos se este ponto crítico é de máximo ou de mínimo, calculamos a segunda derivada da função
f neste ponto crítico.
f ′′ (x ) = −2 ⇒ f ′′ (2) = −2 < 0.
Matemática
67
Logo, x = 2 é um ponto de mínimo da função f .
Note que f ′ (x ) > 0, se x < 2, e que f ′ (x ) < 0, se x > 2. Observe pelo gráfico, que a função f (x ) é crescente,
para x < 2, e é decrescente, para x > 2, justamente onde a derivada é positiva e negativa, respectivamente.
Com esta observação e com a anterior, vamos enunciar o seguinte resultado:
Dada uma função f (x ), temos que se f ′ (x ) > 0, para x pertencente a um determinado intervalo, então a
função f será crescente neste mesmo intervalo. Se f ′ (x ) < 0, para x pertencente a um determinado intervalo,
então f será decrescente neste mesmo intervalo.
ER 42. Dada a função f (x ) =
x3
13x 2
−
+ 30x + 10, em que 0 < x < 13. Determine os pontos de máximo e
3
2
mínimo de f .
Solução: Derivando a função f , obtemos f ′ (x ) = x 2 − 13x + 30. Igualando f ′ (x ) a zero, obtemos os
pontos críticos x = 3 ou x = 10.
Derivando, agora, a função f ′ (x ), obtemos f ′′ (x ) =
2x − 13. Logo, f ′′ (3) = −7 < 0 e f ′′ (10) = 7 > 0. Con-
y
50
cluímos que x = 3 é um ponto de máximo e x = 10 é um
ponto de mínimo. Através do estudo do sinal da função
f ′ (x ) obtemos os intervalos nos quais a função f é cres-
40
30
cente ou decrescente, isto é, f ′ (x ) < 0, se 3 < x < 10 e
f ′ (x ) > 0, se 0 < x < 3 ou 10 < x < 13. Logo, f é de-
20
crescente se 3 < x < 10 e f será crescente se 0 < x < 3
ou 10 < x < 13. Temos, também, que f (3) = 50, 5 e
10
f (10) = −6, 67. O esboço do gráfico da função f (x ) está
5
ao lado.
x
10
ER 43. O lucro obtido por um determinado fabricante com a venda de determinado produto é dado pela função
L(p ) = 400 · (15 − p ) · (p − 2), em que p é o preço de venda do seu produto. Calcule o preço que maximiza o
lucro.
Solução: Primeiro derivamos a função lucro e igualamos esta derivada a zero para obtermos os pontos
críticos.
L′ (p ) = 400 · [(−1) · (p − 2) + (15 − p ) · 1] = 400 · (−p + 2 + 15 − p ) = 400 · (−2p + 17)
Igualando-se esta derivada a zero, encontramos p = 8, 5, que é a abscissa do ponto crítico da função lucro.
A segunda derivada da função lucro é L′′ (p ) = −800 e, para
p = 8, 5, temos L′′ (8, 5) = −800 < 0. Logo, p = 8, 5 é um ponto de
10000
máximo, isto é, o preço de 8, 5 maximiza o lucro.
Note que a função lucro é quadrática L(p ) = −400p 2 + 6.800p −
12.000. O seu gráfico está logo ao lado.
8.5
17.0
p
-10000
ER 44. A receita de uma empresa é dado em função do preço (p ) do seu produto pela função R (p ) =
p3
13p 2
−
+ 30p + 10, em que 0 < p < 13. Determine o preço p que maximiza a receita R .
3
2
68
FTC EAD |
Solução: R ′ (p ) = p 2 − 13p + 30 = 0 → p = 10 ou p = 3.
R
Como R (p ) = 2p − 13, então R (3) = −7 < 0 e R (10) =
′′
′′
′′
7 > 0. Portanto, temos que p = 3 é a abscissa de um ponto de
máximo e que p = 10 é a abscissa de um ponto de mínimo, isto
é, p = 3 maximiza a receita e p = 10 minimiza a receita.
6.5
Analogamente ao que foi feito para a função f (x ) do exemplo
p
anterior, temos o esboço do gráfico da função R ′ .
p3
−
3
15p 2 + 200p − 300, em que 0 < p < 23. Determine o preço que maximiza o lucro. Esboce o gráfico da função L.
ER 45. O lucro de uma empresa é dada em função do preço do seu produto pela expressão L(p ) =
Solução: L′ (p ) = p 2 − 30p + 200 = 0 ⇒ p = 10 ou p = 20. Temos que L′′ (p ) = 2p − 30, temos que
L′′ (10) = −10 < 0 e L′′ (20) = 10 > 0. Logo, p = 10 é ponto de máximo da função L(p ) e p = 20 é ponto de
mínimo de função L(p ), isto é p = 10 maximiza o lucro e p = 20 minimiza o lucro.
Temos que L′ (p ) < 0, se 10 < p < 20. Logo, L(p ) é decrescente, se 10 < p < 20 e temos que L′ (p ) > 0, se 0 < p < 10
ou 20 < p < 23. Logo, L(p ) é crescente, se 0 < p < 10 ou
20 < p < 23. Temos que L(10) = 533, 3 e L(23) = 420, 67. O
esboço do gráfico de L está logo ao lado.
4.4
10
20
p
Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia)
Sejam f (x ) e g (x ) funções e h(x ) = f og (x ) e l (x ) = g of (x ) as compostas de f e g , isto é h(x ) = f (g (x )) e
l (x ) = g (f (x )). Temos que as derivadas de h(x ) e l (x ) são:
h′ (x ) = f ′ (g (x )) · g ′ (x ) e l ′ (x ) = g ′ (f (x )) · f ′ (x ).
A derivada da função composta é conhecida por regra da cadeia.
ER 46. Sejam f (x ) = x 2 + 2x e g (x ) = x + 1. Determine a expressão de h(x ) = f og (x ) e l (x ) = g of (x ) e de
suas derivadas.
Solução: Temos que h(x ) = f og (x ) = x 2 +4x +3 e l (x ) = g of (x ) = x 2 +2x +1. Logo, suas derivadas são
h′ (x ) = 2x +4 e l ′ (x ) = 2x +2. Pela regra da cadeia obtemos que h′ (x ) = f ′ (g (x ))·g ′ (x ) e l ′ (x ) = g ′ (f (x ))·f ′ (x ),
como a derivada de f ′ (x ) = 2x + 2 e g ′ (x ) = 1, temos que h′ (x ) = f ′ (g (x )) · g ′ (x ) = (2(g (x )) + 2) · 1 =
2(x + 1) + 2 = 2x + 4 e l ′ (x ) = g ′ (f (x )) · f ′ (x ) = 1 · (2x + 2) = 2x + 2.
ER 47. Sejam f (x ) = x 5 e g (x ) = 2x 2 + 3x + 5. Determine a expressão de h(x ) = f og (x ) e l (x ) = g of (x ) e
de suas derivadas.
Solução: Temos que h(x ) = f og (x ) = (2x 2 + 3x + 5)5 e i (x ) = g of (x ) = 2x 1 0 + 3x 5 + 5.
Matemática
69
Pela regra da cadeia temos que h′ (x ) = f ′ (g (x )) · g ′ (x ) e l ′ (x ) = g ′ (f (x )) · f ′ (x ), como a derivada de f é
f ′ (x ) = 5x 4 e g ′ (x ) = 4x + 3, temos que h′ (x ) = f ′ (g (x )) · g ′ (x ) = 5(g (x ))4 · (4x + 3) = 5(2x 2 + 3x + 5)4 · (4x + 3)
e i ′ (x ) = g ′ (f (x )) · f ′ (x ) = (4f (x ) + 3) · f ′ (x ) = (4x 5 + 3) · 5x 4 .
ER 48. Derive a função f (x ) =
√
3
x 2 + 3x + 1.
1
Solução: f (x ) = (x 2 + 3x + 1) 3 ⇒ f ′ (x ) =
1 2
2x + 3
1
√
.
(x + 3x + 1) 3 −1 · (2x + 3) =
3
3 · 3(x 2 + 3x + 1)2
2
ER 49. Calcule a derivada da função f (x ) = − √
, em x = 1.
5x 3 + 7
1
3
Solução: f (x ) = −2 · (5x 3 + 7)− 2 ⇒ f ′ (x ) = (5x 3 + 7)− 2 · 15x 2 ⇒ f ′ (x ) =
4.4.1
È
15x 2
(5x 3
+
7)3
15
.
⇒ f (1) = √
123
Notação de Derivadas
Podemos denotar a derivada de uma função das seguintes maneiras:
df (x )
, como podemos considerar f (x ) = y (x )
dx
df (t )
dy (t )
dy (x )
. Se temos a função f (t ) = y (t ), temos f ′ (t ) = y ′ (t ) =
=
.
temos que f ′ (x ) = y ′ (x ) =
dx
dt
dt
A derivada da função f (x ) pode ser denotada por f ′ (x ) =
4.5
Derivadas de Algumas Funções Elementares
Dada a função exponencial f (x ) = ax , temos que f ′ (x ) = ax · ln(a), em que 0 < a 6= 1. Como exemplo,
vamos derivar a função f (x ) = e x ⇒ f ′ (x ) = e x · ln(e ) ⇒ f ′ (x ) = e x . Como outro exemplo, ao derivar a função
f (x ) = 5x , temos f ′ (x ) = 5x · ln(5).
1
Dada a função f (x ) = loga (x ), temos que f ′ (x ) = · loga (e ), em que 0 < a 6= 1 e x > 0. Como exemplo,
x
1
1
· ln(e ) = . Como outro exemplo, ao derivar a função
ao derivar a função f (x ) = ln(x ), temos f ′ (x ) =
x
x
1
f (x ) = log5 (x ), temos f ′ (x ) = · log5 (e ).
x
f (x + ∆x ) − f (x )
. A taxa
∆x
f (x + ∆x ) − f (x )
de variação instantânea de f é dada pelo limite da variação média de f , isto é, lim
.
∆x →0
∆x
Dada uma função f (x ), temos que a taxa de variação média de f é o quociente
ER 50. A população de uma cidade é estimada a partir de agora pela função P (t ) = t 2 + 10t + 16.000, em
que t é o tempo dado em meses.
(a) A que taxa a população estará variando daqui a 2 meses?
(b) Qual a variação real da população durante o 3o mês?
Solução: (a) Temos que a taxa de variação da população é dada pela derivada da função P (t ), isto
é, P ′ (t ) = 2t + 10. Como queremos a taxa de variação da população daqui a 2 meses, calculamos, então,
70
FTC EAD |
P ′ (2) = 14 pessoas por mês.
(b) A variação real da população durante o terceiro mês é dada pela diferença da população no terceiro
mês pela população do segundo mês, isto é, P (3) − P (2) = 15 pessoas. Podemos notar que o valor da taxa
de variação no segundo mês é bem próximo do valor real da variação da população durante o terceiro mês.
Logo, podemos estimar a variação real da população pela taxa de variação da população.
4.6
Taxas de Variação
Temos que a taxa de variação real é dada por
f (x + ∆x ) − f (x ) e a taxa de variação média pelo quof (x + ∆x ) − f (x )
, se tivermos ∆x = 1, tereciente
∆x
mos que a variação real será igual à variação média e
temos que a taxa de variação instantânea é dada pelo
limite da variação média quando ∆x tende a zero, isto
f (x + ∆x ) − f (x )
é, lim
. Logo, podemos ver grafica∆x →0
∆x
mente que a taxa de variação instantânea é uma boa
aproximação da variação real da função.
4.7
y
Graf(f )
f (x + ∆x )
f (x )
b
b
x
x + ∆x
x
Taxa de Variação Percentual
Para transformarmos a variação da função em porcentagem montamos uma regra de três simples, da
seguinte forma:
f (x )
100%
f (x + ∆x ) − f (x )
∆%
Logo,
∆f % =
f (x + ∆x ) − f (x )
· 100%,
f (x )
pois, f (x + ∆x ) − f (x ) ≈ f ′ (x ), como já visto acima.
ER 51. Considere o exemplo anterior. Qual a taxa percentual de variação da população no segundo mês?
Solução: ∆P % =
4.8
P ′ (2)
14
· 100% =
= 0, 087%.
P (2)
16.024
Aproximação por Diferenciais
Seja f (x ) uma função. Temos que se ∆x for pequeno, então f ′ (x ) ≈
f (x ) ≈ f ′ (x ) · ∆x , isto é, ∆f ≈ f ′ (x ) · ∆x .
f (x + ∆x ) − f (x )
. Logo, f (x + ∆x ) −
∆x
Análise marginal é a técnica de aproximação utilizada em Economia para estimar a variação de uma função
quando pequenas variações são feitas na variável independente.
Matemática
71
4.9
Aproximação da Variação Percentual
Partindo de uma regra de três simples, mostramos facilmente que ∆f % ≈
f ′ (x ) · ∆x
· 100%.
f (x )
Em Economia, o uso da derivada para aproximar a variação de uma função, quando temos uma variação
de uma unidade na variável independente, é denominado de análise marginal.
Seja C (q ) e R (q ) as funções custo e receita total. Temos, então, que o custo marginal é a aproximação da
seguinte variação: ∆C = C (q + 1) − C (q ) ≈ C ′ (q ) · ∆q = C ′ (q ) · 1 = C ′ (q ). Analogamente, temos que a receita
marginal é a aproximação da variação da receita pela derivada quando ∆q = 1, isto é, ∆R ≈ R ′ (q ). Notamos
que C ′ (q ) e R ′ (q ) são, respectivamente, a aproximação do custo para produzir a (q + 1)-ésima unidade e a
receita referente à venda da (q + 1)-ésima unidade.
ER 52. Uma indústria tem custo total dado por C (q ) = 3q 2 + 5q + 10.000 reais, para produzir q unidades. O
preço de venda do seu produto é dado por P (q ) = −2q + 30 reais quando q unidades são vendidas.
(a) Determine as funções custo e receita marginal.
(b) Use o custo e a receita marginal para estimar o custo de produção e a receita da venda da 5a unidade.
Solução: (a) C ′ (q ) = 6q + 5 e R ′ (q ) = −4q + 30.
(b) C ′ (4) = 29 reais por unidade e R ′ (4) = 14 reais por unidade. A variação real do custo e da receita da
produção e venda da 5a unidade são, respectivamente, ∆C = C (5)− C (4) = 32 reais e ∆R = R (5)− R (4) = 12
reais.
4.10
Atividade Complementar
EP 4.1. O custo total, em reais, de uma fábrica para produzir q unidades é dado pela função C (q ) =
5q 2 + 10q + 20. O nível atual de produção é de 55 unidades. Uma estimativa para a variação do custo, se a
produção for de 55, 4 unidades e a variação real do custo, em reais, são, respectivamente:
(a) 224 e 224, 6
(b) 224, 8 e 224, 6
(c) 224 e 224, 8
(d) 224, 8 e 224, 8
EP 4.2. Um estudo ambiental feito em Camaçari indicou que t anos a partir de agora o nível médio de
monóxido de carbono no ar será de C (t ) = 0, 04t 3 + 0, 3t 2 + 0, 2t + 2, 1ppm. Uma estimativa para a variação do
monóxido de carbono nos próximos 3 meses é:
(a) 0, 04ppm
(b) 0, 05ppm
(c) 0, 055ppm
(d) 0, 5ppm
EP 4.3. Nos exercícios propostos 4.1 e 4.2, as estimativas para as variações percentuais são, respectivamente:
(a) 1, 48% e 2, 30%
72
FTC EAD |
(b) 1, 40% e 2, 30%
(c) 1, 40% e 2, 38%
(d) 1, 43% e 2, 38%
EP 4.4. A produção de uma indústria é dada pela expressão P (C ) = 2.500 ·
√
3
C 2 unidades, em que C é o
capital investido. A estimativa para a variação percentual da produção, se aumentarmos o capital investido em
3%, é:
(a) 1%
(b) 2%
(c) 3%
(d) 4%
EP 4.5. Um pequena loja vende cada gravata por U $3, 5. A função custo diário é estimada em C (x ) dólares,
em que x é o número de gravatas vendidas em um dia típico e C (x ) = 0, 006x 3 − 0, 03x 2 + 2x + 20. O valor de
x que irá maximizar o lucro diário é:
(a) 9
(b) 10
(c) 11
(d) 12
75
− 25, 0 ≤ x ≤ 10.000,
x
em que p denota o preço unitário por atacado em dólares e x denota a quantidade demandada. A receita real
EP 4.6. A demanda semanal por modelo de televisor Pulsar é igual a p = 3x −
obtida pela venda da 101o unidade, assumindo que 100 unidades deste produto são vendidas, e uma estimativa
para a receita produzida pelo 101o televisor, utilizando análise marginal, são, respectivamente:
(a) 538 e 575
(b) 581 e 538
(c) 538 e 581
(d) 531 e 588
√
EP 4.7. O custo para se manufaturar x caixas de cereal é de C dólares, em que C = 3x + 4 x + 2. A
produção semanal em t semanas, contadas a partir do presente, é estimada em x = 6.200 + 100t . O custo
dC
dC
marginal
, a taxa de variação do custo
e a velocidade com que os custos estão crescendo quando t = 2
dx
dt
são, respectivamente:
4
dC
=3+ √ ,
dx
x
dC
20
(c)
=3+ √ ,
dx
x
(a)
20
dC
= 300 + √
e 300, 5
dt
62 + t
20
dC
= 300 + √
e 302, 5
dt
64 + t
dC
=3+
dx
dC
=3+
(d)
dx
(b)
4
√ ,
x
2
√ ,
x
200
dC
= 300 + √
e 300, 5
dt
62 + t
20
dC
= 300 + √
e 302, 5
dt
62 + t
q3
− 4q 2 + 15q + 2.000, em que 0 ≤ q ≤ 6. A
3
quantidade q que minimiza o custo e o custo mínimo aproximado são, respectivamente:
EP 4.8. O custo de uma indústria é dado pela função C (q ) =
(a) 3 e 216, 67
(b) 4 e 217
(c) 5 e 216, 67
(d) 5 e 650
EP 4.9. Um produtor observou que quando o preço unitário de seu produto era R $5, 00, a demanda mensal
era de 3.000 unidades e, quando o preço era R $6, 00, a demanda mensal era 2.800 unidades. Admitindo-se que
a demanda é uma função do 1o grau, o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita mensal é:
(a) R $5, 50
(b) R $7, 00
(c) R $10, 00
(d) R $12, 00
Gabarito
4.1. (c) 4.2. (b) 4.3. (d) 4.4. (b) 4.5. (c) 4.6. (a) 4.7. (d) 4.8. (c) 4.9. (c)
Matemática
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Referências Bibliográficas
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[2] MEDEIROS, Sebastião; et. al.; Matemática para economia, administração e ciências contábeis. São
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150th Anniversary Issue.
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Faculdade de Tecnologia e Ciências – Educação a Distância
Democratizando a educação.
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