Cálculo Avançado A - Números Complexos
LISTA DE EXERCÍCIOS DE NÚMEROS COMPLEXOS
1) Efetue as operações:
12 + 8 j 52 + 13 j
+
2 − 3j
13 j
a) (1 + j)(2 − j)(1 − j)
b)
j Re (z )
d)
Im ( jz )


34

e) 
 (1 − 4 j)(5 + 3 j ) 
c)
2
1+ j
(1 − j)2
f) (1 − j )16
2) Calcule as seguintes expressões:
a)
(1 + j)(
(3 + 4 j)(
)(
6 + j 2− j 3
)
3 + 7j
4 + 6j
b)
c)
)
(6 + 7 j)(4 − 2 j)
4 + 2j
−1
7 + 6j
3) Calcule as seguintes expressões usando a forma polar:
(
)(
)
a) 2 3 + 2 j 3 − 3 3 j
b)
8+8 3j
2 3 + 2j
 4 + 4 3j 

d) 

2
+
2
j



π
 π 
c) 2 cos + j sin   (3 + 3 j)
12
 12  

3
3
 1 1

f)  − + j
3 − −
3 j
2
 2
 6 6

e) j(− j )
g)
2
−1
− 12 + j 23
4) Calcule:
(
a) 4 + 4 j 3
(
)5
 5 + 5j 

c) 

 10 3 + 10 j 
b) 2 3 + 2 j
6
)6
 6 3 + 6j

d) 

6
+
6
j


−3
5) Calcule as seguintes expressões:
b) z = 3 − j
a) z = 3 − 8
6) Encontre todas as raízes de 3z 6 + 192 = 0 .
7) Encontre todos os valores reais de x de forma que ω seja um número imaginário puro, onde
ω = (x − j)(( x + 3) − 4 j).
8) Se a ≠ 0 , b e c são números complexos, mostre, por substituição direta, que a equação
quadrática az 2 + bz + c = 0 é verificada por: z =
1
− b + b 2 − 4ac
.
2a
Cálculo Avançado A - Números Complexos
9) Usando a fórmula acima, resolva a equação:
a) z 2 + 2zj + 3 = 0 ,
b) jz 2 − 3z + 10 j = 0 ,
c) z 8 − 17 z 4 + 16 = 0 ,
d) jz 2 − 2z + 3 = 0 .
10) Encontre o valor de z tal que z =
5 j(2 + 2 j)
.
(1 − j)(2 − j) (3 − j)
11) Sendo 22 + j 22 uma das raízes quartas de um número, determine as outras três.
12) Encontre todas as soluções complexas possíveis para as equações abaixo:
b) z 5 − (1 − j )z 3 − jz = 0
a) 5e jz + j = 0
c) sen h ( jz + 3) = 0
d) z 7 − 7 z 4 − 8z = 0
e) senh (2z ) + 3 cosh (2z ) = 0
f) z 3 + 64 j = 0
g) e 3z + je −z = 0
h) z 6 + 7 z 3 − 8 = 0
i) cosh z + 2 senh z = 0
j) e z − 2 z 6 + 64 = 0
k) e z −3 − 1 = 0
l) z 7 + 729z = 0
(
n) e 5z + j e −z = 0
m) z 4 − 3z 2 + 2 = 0
(
)
)(
)
o) z 2 + (2 − j)z − j z 3 − 8 = 0
p) z 4 + 81 = 0
q) cosh( z ) + 2e z = 0
r) 3e 2 z −1 − 1 = 0
2
13) Determine o módulo e o argumento de e 4z − jz .
(
)
14) Encontre Re senh z .
2
15) Encontre Im  e z .


16) Encontre Re(cosh z).
( )
17) Encontre Im e1/ z . :
18) Seja x um número real e w um número complexo. Encontre os valores reais de x e os valores
correspondentes de w de forma que w = (x − j)[(x + 3) − 4 j] seja um número real.
Respostas:
Exercício 1: a) 4 − 2 j ; b) 1; c) −
Exercício 2: a) 35; b)
1 1
+ j;
2 2
d) j e) 2 j ; f) 256 .
2 ; c) 1.
2
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(
)
Exercício 3: a) 12 3 − 12 j ; b) 2 3 + 2 j ; c) 3 2 1 + j 3 ; d) 4 3 + 4 j ; e) 1; f) 1; g)
Exercício 4: a) 16384 − 16384 j 3 ; b) –4096; c)
1 1
+ j 3.
2 2
1
1 1
j ; d) + j .
512
4 4
3 j
3 j
− , z2 =
− .
2
2
2 2
Exercício 6: z 0 = 3 + j, z1 = 2 j, z 2 = − 3 + j, z3 = − 3 − j, z 4 = −2 j, z5 = 3 − j .
Exercício 7: x = 1 ou x = −4.
Exercício 9: a) A solução é: z = j e z = −3 j ; b) A solução é: z = 2 j e z = −5 j ; c) A solução
Exercício 5: a) z 0 = 1 + j 3, z1 = −2, z 2 = 1 − j 3; b) z 0 = j , z1 = −


2  6
− 2  6
+ 
− 1 j, z =
− 
+ 1 j .
2  2
2

 2

é: z = ±2, z = ±2 j, z = ±1, z = ± j ; d) z =
Exercício 10: z = −1 − j .
2
2
2
2
2
+j
, z= −
−j
, z=
−j
2
2
2
2
2
 2
3π
Exercício 12: a) z =
+ 2kπ + j ln 5 ; b) z = 0, z = ±
 2 −j
2

Exercício 11: z = −
1
3
1
 π kπ 
±j
; e) z = − ln 2 + j +
;
2
2
4
4 2 
1
3
 3π kπ 
z = ± 2 3 − 2 j ; g) z = j +
, z = −2, z = 1 ± j 3 ;
 ; h) z = 1, z = − ± j
2 
2
2
 8
d) z = 0, z = 2, z = −1 ± 3 j, z = −1,
f) z = 4 j,
2
.
2
2
 , z = ±1 ; c) z = kπ + 3 j ;
2 
z=
1
i) z = − l n 3 + kπ j ; j) z = 3 ± j, z = − 3 ± j, z = ±2 j ; k) z = 3 + j 2kπ ;
2
3
3
 π kπ 
l) z = 0, z =
3 ± j , z = − 3 ± j , z = ±3 j ; m) z = ± 2 , z = ±1 ; n) z = j +
;
2
2
4 3 
j
3
3 2
o) z = 2, z = −1 ± 3 j, z = −1 + ±
; p) z =
(± 1 ± j) ; q) z = − ln 5 + j 2k + 1 π ;
2 2
2
 2 
1 − ln 3
r) z =
+ jk π .
2
2
2
2
2
Exercício 13: e 4z − jz = e 4x − 4y + y ; arg  e 4z − jz  = 8xy − x .


Exercício 14: senh x cos y .
(
)
(
)
2 2
Exercício 15: e x − y sen (2 xy ) .
Exercício 16: cosh x cos y .
x
 −y
sen 
 x 2 + y2

3
136
Exercício 18: x = − , ω = −
.
5
25
Exercício 17: e x
2
+y
2

.


3