Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 01 Sinais, Frações e Decimais Conteúdo 2. Introdução – Parte 2 ............................................................................................................. 2 2.1. Sinais ............................................................................................................................... 2 2.1.1. Inversos Aditivos ou Opostos .................................................................................. 3 2.1.2. Números Positivos ....................................................................................................... 3 2.1.3. Números Negativos ..................................................................................................... 4 2.1.4. Valor Absoluto ou Módulo ......................................................................................... 5 2.1.5. Soma de Números com Sinais Iguais .................................................................. 6 2.1.6. Soma de Números com Sinais Diferentes .......................................................... 7 2.1.7. Subtração com Sinais ................................................................................................. 7 2.1.8. Multiplicação e Divisão com Sinais........................................................................ 9 2.1.9. O caso do Zero ............................................................................................................ 11 2.1.10. Os casos do Um e do menos Um ...................................................................... 11 2.1.11. Propriedade Comutativa ....................................................................................... 11 2.1.12. Propriedade Associativa ........................................................................................ 12 2.2. Frações .......................................................................................................................... 13 2.2.1. Frações Próprias ......................................................................................................... 13 2.2.2. Frações Impróprias ................................................................................................... 14 2.2.3. Números Mistos .......................................................................................................... 14 2.2.4. Menores Termos ......................................................................................................... 15 2.2.5. Frações Equivalentes ................................................................................................ 16 2.2.6. Soma e Subtração de Frações .............................................................................. 16 2.2.7. Multiplicação e Divisão de Frações...................................................................... 20 2.3. Decimais ....................................................................................................................... 21 2.4. Critérios de Divisibilidade ........................................................................................... 25 2.5. Memorize para a prova ................................................................................................ 28 2.6. Exercícios de Fixação.................................................................................................... 33 2.7. Gabarito ............................................................................................................................. 40 2.8. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos ............................................... 41 Bibliografia ..................................................................................................................................... 66 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 1 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 2. Introdução – Parte 2 E aí? Preparado(a) para continuar a jornada pela Matemática? Então vamos lá! Na aula de hoje veremos os sinais, as frações, os decimais e os critérios de divisibilidade. Você pode achar estas primeiras aulas um pouco chatas, mas elas serão a base de todo o nosso estudo. São os conceitos introdutórios para que possamos entender a matemática e não errar mais questões, em virtude de conceitos esquecidos. 2.1. Sinais Você, com certeza, já ouviu muitas vezes em sua vida as palavras positivo(a) e negativo(a) em diversos sentidos. Por exemplo, vou contar como eu estudava, na época em que era concurseiro como você, e estava me preparando para o concurso da Receita Federal. Você está interessado(a)? Se a minha experiência for útil a você, ela terá uma influência positiva em sua vida (espero, de coração, que seja útil). Vou chamar, então, de dicas de estudo positivas: 1. Procure estudar todos os dias, mesmo que sejam poucas horas por dia. No meu caso, eu tentava estudar, no mínimo, 4 horas por dia, mesmo trabalhando. Se você não conseguir estudar 4 horas, tente 3 horas, 2 horas, 1 hora, enfim, estude todos os dias um pouco. Você pode estar se perguntando: Mas, por que estudar todos os dias? Bom, voltemos ao esporte (adoro natação, e nado, até hoje, cinco vezes por semana). Como um atleta adquire preparo físico? Treinando, certo? Portanto, se você não estudar todos os dias, como seu corpo e seu cérebro se acostumarão com isso? Logo, não esqueça: ESTUDE TODOS OS DIAS. 2. Nos dias em que não trabalhar (sábados, domingos, feriados, férias), aumente o ritmo de estudo. Tente estudar de 6 a 8 horas por dia. Serão os dias das “maratonas” de estudo. 3. Estude mais de uma matéria por dia, para não cansar a mente. Eu estudava as matérias em ciclos de 2 horas. A cada 2 horas, mudava de matéria. Faça isso e você verá que seu estudo renderá mais. 4. Faça muitos, muitos e muitos exercícios de provas anteriores. Desse modo, você estará, efetivamente, treinando para a prova, como um atleta se prepara para uma competição. 5. Separe algumas horas na semana para o lazer e a família. Minha esposa, meu filho e meu pai sempre foram meu grande estímulo para continuar estudando. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 2 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 6. Economize o máximo de tempo que puder para poder estudar. Nunca gostei de cursos presenciais. Preferia estudar, em casa, com o material do Ponto dos Concursos e livros voltados para concursos. Com isso, economizava tempo com deslocamento, estava mais perto da minha família, não me estressava no trânsito. Enfim, só vejo vantagens no ensino a distância. 7. Não faça resumos de toda a matéria, mas somente das partes em que tem dúvidas. Você economizará tempo para estudar mais. Eu lia o material do Ponto dos Concursos e os livros voltados para concursos, com bastante atenção, e, então, tentava resolver exercícios de provas anteriores. Para aqueles exercícios que eu errasse, ou tivesse alguma dúvida, aí sim, copiava em meu único caderno, com todas as matérias, na forma de itens (meu caderno de Direito Tributário, por exemplo, chegou a ter 576 itens!). 8. Tente estudar as matérias em ciclos. Eu estudava todas as matérias do concurso para Auditor-Fiscal da Receita Federal em ciclos de 4 meses. Quando acabava de estudar tudo, lia o meu “caderno de itens, com as minhas dúvidas de todas as matérias”. Desse modo, ia fixando os conceitos e sempre fazendo mais exercícios. Bom, era assim que eu estudava. Espero que minhas dicas sejam POSITIVAS para você. A palavra NEGATIVA pode aparecer quando, por exemplo, temos uma decepção amorosa: “Aquele relacionamento só me trouxe experiências negativas e muito sofrimento!”. Parece novela do Manoel Carlos, não? Risos. Agora, você deve estar pensando: O professor pirou de vez! Quero saber de sinais positivos e negativos em números! Tudo bem, então vamos aprender como somar, subtrair, multiplicar e dividir com números positivos e negativos. Para isso, estudemos os conceitos iniciais sobre sinais. 2.1.1. Inversos Aditivos ou Opostos Dois números são inversos aditivos ou opostos se o resultado da soma desses dois números for zero. Exemplos: X + (-X) = 0 5 + (-5) = 0 ⇒ X e –X são inversos aditivos ou opostos. ⇒ 5 e –5 são inversos aditivos ou opostos. 2.1.2. Números Positivos São números maiores que zero e são representados com o sinal de mais (+) a frente do número ou sem nenhum sinal. Exemplos de números positivos: +98; 60; +5; 10;... 0 Profs. Alexandre Lima +1 aes +2 r +3 w +4 ntod ... urso r 3 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Repare que, para um número positivo, quanto mais longe do zero (0), maior é o número. Por outro lado, para um número positivo, quanto mais perto do zero (0), menor é o número. Exemplos: 100 > 10 > 9 > 8 > 7 > 6 > 5 > 4 > 3 > 2 > 1 > 0. 100 está bem mais longe do zero que o 10, e, portanto, é maior que 10, que é maior que 9, que é maior que 8, e assim por diante. 2.1.3. Números Negativos São números menores que zero e são representados com o sinal de menos (-) a frente do número Exemplos de números negativos: -98; -60; -5;... ... -4 -3 -2 -1 0 Repare que, com os números negativos, é o inverso do que ocorre com os números positivos. Portanto, para um número negativo, quanto mais longe do zero (0), menor é o número, e, quanto mais perto do zero (0), maior é o número. Exemplos: -100 < -10 < -9 < -8 < -7 < -6 < -5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0. (-100) está bem mais longe do zero que o (-10), e, portanto, é menor que (-10), que é menor que (-9), que é menor que (-8), e assim por diante. Memorize para a prova: Para um número positivo, quanto mais longe do zero (0), maior é o número. Para um número positivo, quanto mais perto do zero (0), menor é o número. Para um número negativo, quanto mais longe do zero (0), menor é o número. Para um número negativo, quanto mais perto do zero (0), maior é o número. Até agora tudo bem, pois comparamos números positivos com números positivos e números negativos com números negativos, mas, como comparar números positivos com números negativos? Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 4 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Vamos ver alguns exemplos: 10 > 5 ⇒ como 10 (número positivo) é maior que 5 (número positivo), então 10 está mais longe do zero do que o 5. 5 > 0 zero. ⇒ como 5 é maior que 0, então 5 é um número positivo maior que -5 > -10 ⇒ como -5 (número negativo) é maior que -10, então -5 está mais perto do zero do que o -10. -5 < 0 zero. ⇒ como -5 é menor que 0, então -5 é um número negativo menor que 10 > -10 negativos. ⇒ Todos os números positivos são maiores que os números Memorize para a prova: Todo número negativo é menor que zero. Todo número positivo é maior que zero. Números positivos são sempre maiores que números negativos. O objetivo deste curso é, plagiando meus cursos online de Contabilidade e meu livro de Contabilidade Geral – Editora Campus, que está na segunda edição (Momento propaganda, se me permite), ensinar Raciocínio Lógico, do básico ao avançado, passando pelo intermediário, é claro. Risos. Agora, a pergunta que não quer calar. Pode fazer! Não se acanhe! E o zero? É um número positivo ou negativo? O zero não é nem positivo e nem negativo. Memorize para a prova: Zero: não é um número positivo e não é um número negativo. Outro ponto importante é o conceito de valor absoluto ou módulo. Vamos estudá-lo. 2.1.4. Valor Absoluto ou Módulo Representa a distância do número até o zero, ou seja, pouco importa se o número é positivo ou negativo. O que importa, efetivamente, é a distância do número ao zero. A representação do valor absoluto ou módulo de um número é feita por duas barras verticais (| |). Pela definição acima, podemos perceber que o valor absoluto ou módulo de um número não negativo (números não negativos são os números Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 5 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior positivos e o zero) é o próprio número e o valor absoluto de um número negativo é o seu inverso aditivo. Veja: |x| = x, se x ≥ 0. Se fôssemos escrever esta representação em “português”, teríamos: O valor absoluto de x (|x|) é igual a x, se x for maior ou igual a zero (se x for um número não negativo). |x| = -x, se x < 0. Se fôssemos escrever esta representação em “português”, teríamos: O valor absoluto de x (|x|) é igual ao inverso aditivo de x (-x), se x for menor a zero. Exemplos numéricos são sempre mais fáceis de entender, certo? Então, vamos lá: Exemplos: |5| = 5. Como 5 é positivo, o valor absoluto de 5 é igual a ele mesmo (5), ou seja, a distância de 5 até o zero é 5. |-5| = 5. Como -5 é negativo, o valor absoluto de -5 é igual ao seu inverso aditivo (5), ou seja, a distância de -5 até o zero é 5. |0| = 0. Como 0 é um número não negativo, o valor absoluto de 0 é igual a ele mesmo, ou seja, a distância de 0 até o zero é 0. Memorize para a prova: Valor absoluto ou Módulo (| |): - de um número não negativo é o próprio número. Exemplos: |5| = 5 e |0| = 0. - de um número negativo é o seu inverso aditivo. Exemplo: |-5| = 5. Beleza até aqui? Tudo entendido? Então, levante um pouco, beba uma água, pense em números positivos e negativos e volte para que possamos continuar a aula. 2.1.5. Soma de Números com Sinais Iguais Se os números possuem sinais iguais, some os números e repita o sinal no resultado da soma. Exemplos: + 2 + 3 = + 5 (soma os números 2 + 3 e repete o sinal +) + 5 + 14 + 23 = + 42 (soma os números 5 + 14 + 23 e repete o sinal +) (– 2) + (– 3) = – 5 (soma os números 2 + 3 e repete o sinal –) (–5) + (–14) + (–23) = –42 (soma os números 5+14+23 e repete o sinal –) (+X) + (+Y) + (+ Z) = + (X + Y + Z) (- X) + (- Y) + (- Z) = - (X + Y + Z) Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 6 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 2.1.6. Soma de Números com Sinais Diferentes Se os números possuem sinais diferentes, calcule a diferença entre os valores absolutos dos números. O sinal do número que for mais distante do zero (maior valor absoluto) determinará o sinal da resposta. Confuso? Então vamos ver exemplos numéricos. Exemplos: A) + 2 + (– 3) Determinação dos valores absolutos: |+2| = 2 |-3| = 3 Maior valor absoluto = 3 Sinal do número com maior valor absoluto = – (menos) Diferença de valores absolutos = 3 – 2 = 1 Resultado = + 2 – 3 = – 1 B) + 34 + (– 23) |+34| = 34 |-23| = 23 Maior valor absoluto = 34 Sinal do número com maior valor absoluto = + (mais) Diferença de valores absolutos = 34 – 23 = 11 Resultado = + 34 – 23 = 11 C) + 5 + 14 + (– 23) Primeiramente, vamos calcular + 5 + 14 (soma com sinais iguais) = + 19 + 5 + 14 + (– 23) = + 19 + (– 23) |+19| = 19 |-23| = 23 Maior valor absoluto = 23 Sinal do número com maior valor absoluto = – (menos) Diferença de valores absolutos = 23 – 19 = 4 Resultado = + 19 – 23 = – 4 D) (+X) + (–Y) = + (|X| – |Y|), se o número positivo X está mais distante do zero (maior valor absoluto) que o número negativo Y. E) (+X) + (–Y) = – (|Y| – |X|), se o número negativo Y está mais distante do zero (maior valor absoluto) que o número positivo X. 2.1.7. Subtração com Sinais Aqui, não há o que inventar. Basta você utilizar as mesmas regras da adição. De que forma? Transformando a subtração em adição. Veja os exemplos. Exemplos: A) + 2 – 3 = + 2 + (– 3) (pronto, virou adição!). A partir daí, segue as mesmas regras da adição. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 7 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Determinação dos valores absolutos: |+2| = 2 |-3| = 3 Maior valor absoluto = 3 Sinal do número com maior valor absoluto = – (menos) Diferença de valores absolutos = 3 – 2 = 1 Resultado = + 2 – 3 = – 1 B) + 34 – 23 = + 34 + (– 23) |+34| = 34 |-23| = 23 Maior valor absoluto = 34 Sinal do número com maior valor absoluto = + (mais) Diferença de valores absolutos = 34 – 23 = 11 Resultado = + 34 – 23 = 11 C) + 5 + 14 – 23 Primeiramente, vamos calcular + 5 + 14 (soma com sinais iguais) = + 19 + 5 + 14 – 23 = + 19 + (– 23) |+19| = 19 |-23| = 23 Maior valor absoluto = 23 Sinal do número com maior valor absoluto = – (menos) Diferença de valores absolutos = 23 – 19 = 4 Resultado = + 19 – 23 = – 4 D) (+X) – Y = (+X) + (–Y) = + (|X| – |Y|), se o número positivo X está mais distante do zero (maior valor absoluto) que o número negativo Y. E) (+X) – Y = (+X) + (–Y) = – (|Y| – |X|), se o número negativo Y está mais distante do zero (maior valor absoluto) que o número positivo X. Ou seja, a regra para transformar a subtração em uma adição é: substitua o sinal menos (-) pelo sinal (+) e substitua o número pelo seu inverso aditivo. Exemplos: (+X) – (+Y) = (+X) + (–Y) (+X) – (–Y) = (+X) + (+Y) (–X) – (+Y) = (–X) + (–Y) (–X) – (–Y) = (–X) + (+Y) Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 8 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Memorize para a prova: Adição e subtração: Exemplos: + 7 + 5 = + 12 ⇒ sinais iguais ⇒ soma e conserva o sinal. + 3 – (– 5) = + 3 + 5 = + 8 ⇒ sinais iguais ⇒ soma e conserva o sinal. – 1 + 5 = + 4 ⇒ sinais diferentes ⇒ subtrai e conserva o sinal do valor de maior módulo. – 7 + 5 = – 2 ⇒ sinais diferentes ⇒ subtrai e conserva o sinal do valor de maior módulo. – 1 + (– 5) = – 6 ⇒ sinais iguais ⇒ soma e conserva o sinal. Bom, agora vou utilizar meu viés naval (afinal, são 17 anos de Marinha do Brasil) para fazer um exemplo. Exemplo: A Marinha do Brasil estava realizando um treinamento de simulação de guerra com a Marinha Argentina. Eram, ao todo, 20 navios em combate, entre porta-aviões, fragatas, contratorpedeiros e submarinos. Um dos submarinos brasileiros estava a 50 pés de profundidade, pronto para torpedear a fragata de “los hermanos”, quando o Comandante Frederico determinou: “Atenção tribulação, submergir mais 70 pés!”. Como a marinheiro responsável pela submersão deveria efetuar esta conta, com a utilização de números negativos? Bom, vamos considerar que o nível do mar é o ponto zero (0) e que as profundidades abaixo do nível do mar são números negativos. Portanto, inicialmente, o submarino brasileiro estava a 50 pés de profundidade e deve submergir (afundar) mais 70 pés. Representação: Profundidade Inicial = –50 Submersão = –70 Profundidade Final = X Portanto, o marinheiro fará a seguinte conta: – 50 – 70 = X Transformando a subtração em adição, teríamos: ⇒ (– 50) + (– 70) = X ⇒ X = – 120 (sinais iguais ⇒ soma e conserva o sinal) 2.1.8. Multiplicação e Divisão com Sinais Nessas situações, as regras são bem simples: Se os sinais são iguais, o resultado é positivo (+); e Se os sinais são diferentes, o resultado é negativo (–). Resumindo, teríamos: (–) x (–) = (+) (–) x (+) = (–) (+) x (–) = (–) (–) : (–) = (+) (+) : (+) = (+) (+) : (–) = (–) Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior (+) x (+) = (+) (–) : (+) = (–) www.pontodosconcursos.com.br 9 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Relembrando: : ou / ⇒ divisão . ou x ⇒ multiplicação Exemplos: (–5) x (–4) = +20 (–5) x (+4) = –20 (+5) x (+4) = +20 (+5) x (–4) = –20 Memorize para a prova: Multiplicação e divisão: Exemplos: 7 x 5 = + 35 ⇒ sinais iguais ⇒ positivo 3 x (– 5) = – 15 ⇒ sinais diferentes ⇒ negativo (– 4) x (– 5) = 20 ⇒ sinais iguais ⇒ positivo (– 10) / 5 = – 2 ⇒ sinais diferentes ⇒ negativo (– 8) / (– 2) = 4 ⇒ sinais iguais ⇒ positivo 18 / 3 = 6 ⇒ sinais iguais ⇒ positivo Agora, você deve estar se perguntando: Como faremos uma multiplicação ou divisão com mais de dois números? Simples! Nesses casos utilizaremos a regra do par ou ímpar para descobrir o sinal do resultado. Que é isso, professor! Ficou maluco! Vamos tirar par ou ímpar para descobrir o resultado? Não, vamos apenas verificar a quantidade de números negativos. Se a quantidade for ímpar, o resultado é negativo. Se a quantidade for par, o resultado é positivo. Vamos aos exemplos. (+5) x (–10) x (+2) = –100 ⇒ 1 sinal negativo ⇒ resultado negativo (+5) x (–6) x (+2) x (–3) = +180 ⇒ 2 sinais negativos ⇒ resultado positivo (+5) x (–6) x (+2) x (–3) x (–2) = –360 ⇒ 3 sinais negativos ⇒ resultado negativo ( +2 ) × (−6) = −4 ⇒ 1 sinal negativo ⇒ resultado negativo (+3) ( +2 ) × (−6) = +4 ⇒ 2 sinais negativos ⇒ resultado positivo (−3) Memorize para a prova: Multiplicação e divisão: Se a quantidade de números negativos for ímpar, o resultado é negativo. Se a quantidade de números negativos for par, o resultado é positivo. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 10 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 2.1.9. O caso do Zero E o zero? Como fica nas operações de adição, subtração, multiplicação e divisão? Vamos ver? Adição: o zero é um elemento neutro, pois não altera o valor do número ao qual está sendo adicionado. 0 + X = X. Subtração: o zero é um elemento neutro, pois não altera o valor do número ao qual está sendo subtraído. 0 – X = 0 + (–X) = –X. Multiplicação: se você multiplicar qualquer número, positivo ou negativo, por zero, o resultado será sempre zero. 0 . X = 0. Divisão: na divisão deve-se tomar cuidado. É possível dividir 0 por quaisquer números positivos ou negativos e o resultado será sempre zero. 0 : X = 0. Por outro lado, você não deve utilizar o zero como divisor, pois não podemos dividir algo em zero partes. 2.1.10. Os casos do Um e do menos Um Os “casos do um e do menos um” são bem mais fáceis. Na verdade, só veremos para multiplicação e divisão. Multiplicação: Se você multiplicar qualquer número, positivo ou negativo, por um (1), o resultado será sempre o próprio número. X . 1 = X. Se você multiplicar qualquer número, positivo ou negativo, por menos um (-1), o resultado será sempre o oposto do número. X . (-1) = (-X). Divisão: Se você dividir qualquer número, positivo ou negativo, por um (1), o resultado será sempre o próprio número. X : 1 = X. Se você dividir qualquer número, positivo ou negativo, por menos um (-1), o resultado será sempre o oposto do número. X : (-1) = (-X). Beleza até aqui! Então, para fechar este item, vamos falar um pouco das propriedades comutativa e associativa. 2.1.11. Propriedade Comutativa De acordo com a propriedade comutativa, a mudança da ordem dos números em uma operação não altera o resultado. Veja alguns exemplos: X + Y = Y + X ⇒ a adição é comutativa Exemplo: 3 + 4 = 4 + 3 = 7 X . Y = Y . X ⇒ a multiplicação é comutativa Exemplo: 3 x 4 = 4 x 3 = 12 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 11 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior X–Y Y – X ⇒ a subtração não é comutativa, exceto se X = Y. Exemplos: A) 3 – 4 4–3 3 – 4 = –1 4–3=1 ≠ ≠ ≠ B) 2 – 6 6–2 2 – 6 = –4 6–2=4 C) 2 – 2 = 2 – 2 2–2=0 2–2=0 ≠ X:Y Y : X ⇒ a divisão não é comutativa, exceto se X = Y ou X = –Y. Exemplos: A) 8 : 4 4:8 8:4=2 ≠ 4:8= 1 2 ≠ B) 2 : 6 2:6= 6:2 1 3 6:2=3 C) 2 : 2 = 2 : 2 2:2=1 2:2=1 D) 2 : –2 = –2 : 2 2 : –2 = –1 –2 : 2 = –1 Memorize para a prova: A propriedade comutativa é verdadeira para as operações de adição e multiplicação. 2.1.12. Propriedade Associativa De acordo com a propriedade associativa, a mudança da ordem das operações não altera o resultado. Veja alguns exemplos: X + (Y + Z) = (X + Y) + Z ⇒ a adição é associativa Exemplo: 3 + (4 + 5) = (3 + 4) + 5 = 12 3 + (4 + 5) = 3 + 9 = 12 (3 + 4) + 5 = 7 + 5 = 12 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 12 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior X . Y = Y . X ⇒ a multiplicação é associativa Exemplo: 3 x (4 x 5) = (3 x 4) x 5 = 60 3 x (4 x 5) = 3 x 20 = 60 (3 x 4) x 5 = 12 x 5 = 60 ≠ X – (Y – Z) (X – Y) – Z ⇒ a subtração não é associativa, exceto em alguns casos. Exemplos: A) 3 – (4 – 5) (3 – 4) – 5 3 – (4 – 5) = 3 – (–1) = 3 + 1 = 4 (3 – 4) – 5 = –1 – 5 = –6 ≠ B) 3 – (4 – 0) = (3 – 4) – 0 3 – (4 – 0) = 3 – 4 = –1 (3 – 4) – 0 = –1 – 0 = –1 ≠ X:Y Y : X ⇒ a divisão não é associativa, exceto em alguns casos. Exemplos: A) 8 : (4 : 2) (8 : 4) : 2 8 : (4 : 2) = 8 : 2 = 4 (8 : 4) : 2 = 2 : 2 = 1 ≠ ≠ B) 8 : (4 : 1) (8 : 4) : 1 8 : (4 : 1) = 8 : 4 = 2 (8 : 4) : 1 = 2 : 1 = 2 Memorize para a prova: A propriedade associativa é verdadeira para as operações de adição e multiplicação. 2.2. Frações As frações são representadas da seguinte forma: Fração = numerador deno min ador Denominador: indica em quantas partes o numerador será dividido. 2.2.1. Frações Próprias Nas frações próprias, o numerador é sempre menor que o denominador. Consequentemente, o resultado da divisão do numerador pelo denominador é sempre menor que um. Exemplos: 2 1 4 1 ; ; ; ; etc. 3 5 7 16 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 13 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 2.2.2. Frações Impróprias Nas frações impróprias, o numerador é sempre maior que o denominador. Consequentemente, o resultado da divisão do numerador pelo denominador é sempre maior que um. Exemplos: 5 9 11 19 ; ; ; ; etc. 3 5 7 16 Memorize para a prova: Frações próprias: o numerador é sempre menor que o denominador. Frações impróprias: o numerador é sempre maior que o denominador. 2.2.3. Números Mistos Os números mistos correspondem a outra forma de representação das frações impróprias. Para transformar uma fração imprópria em um número misto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente corresponderá ao número inteiro que vem na frente do número misto e o resto será representado na forma de fração própria. Relembrando da aula 0: a = b.q + r a = dividendo b = divisor q = quociente r = resto a numerador = b deno min ador Representando de forma diferente: a b r q Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 14 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Exemplos: 5 3 2 2 2 = + = 1+ = 1 3 3 3 3 3 9 5 4 4 4 = + = 1+ = 1 5 5 5 5 5 11 10 1 1 1 = + = 5+ = 5 2 2 2 2 2 Por outro lado, para passar de número misto para fração imprópria, basta multiplicar o número a frente do número misto pelo denominador da fração própria e somar esse número ao numerador da fração própria. A fração imprópria terá como numerador o resultado dessa operação e, como denominador, o denominador do número misto. Confuso? É, vamos ver um exemplo que fica bem mais fácil. Exemplo: 1 5 × 2 + 1 11 5 = = 2 2 2 Passos: Número a frente do número misto = 5 Fração própria = 1 2 I – Multiplique 5 pelo denominador da fração própria (2) = 5 x 2 = 10 II – Some o resultado I com o numerador da fração própria = 10 + 1 = 11 III – Denominador da fração própria = 2 IV – Resultado: 11 2 2.2.4. Menores Termos Uma fração estará com os menores termos quando nenhum número (exceto 1) divide o numerador e o denominador de forma exata. Veja: 4 ⇒ Essa fração não está com os menores termos, pois podemos dividir, tanto 6 o numerador como o denominador, por 2, e o resultado é exato. 4÷2 2 = ⇒ Essa fração está com os menores termos. 6÷2 3 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 15 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 2.2.5. Frações Equivalentes Repare que, se dividirmos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número, o resultado não é alterado (são frações equivalentes). Isto ocorre porque, na verdade, você está multiplicando a fração por um! Não entendeu? Veja o exemplo: 4÷2 4 2 4 = ÷ = ÷1 6÷2 6 2 6 4 2 = ⇒ Frações equivalentes. 6 3 Exemplo: João, torcedor fanático da seleção brasileira, decidiu comprar uma televisão de 52 polegadas nas Casas Rio de Janeiro, pois poderia pagar em 60 prestações mensais e iguais. Um ano após a compra, qual a fração que melhor representa o número de prestações já pagas em relação ao total? Bom, um ano após a compra, João já terá pago 12 prestações. Portanto, a relação será: 12 ⇒ repare que, tanto 12 como 60 são divisíveis por 12. Fazendo a divisão: 60 12 ÷ 12 1 = ⇒ João terá pago um quinto do total de prestações (essa é a 60 ÷ 12 5 fração dos menores termos). 12 1 = ⇒ Frações equivalentes. 60 5 2.2.6. Soma e Subtração de Frações Precisamos, inicialmente, calcular o denominador comum para que possamos fazer as operações de soma ou subtração das frações. O procedimento para determinar o denominador comum será o seguinte (vamos fazer com exemplo numérico): Suponha que você queira fazer a seguinte operação: 3 1 + . 8 6 I – Calcular o mínimo múltiplo comum dos denominadores: Opa, professor? Que papo é esse de Mínimo Múltiplo Comum? Tudo bem, você está certo(a). Vamos ao conceito então: Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.): o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é calculado utilizando o seguinte procedimento: Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 16 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior I. Fazer a fatoração dos números (em fatores primos), separadamente; e II. m.m.c = produto de todos os fatores comuns e não comuns elevados ao maior expoente. Notas: - Veremos expoentes com mais detalhes em aula posterior - Para fatorar, tente os números primos em ordem crescente: 2, 3, 5, 7, 11, 13, e assim por diante. - Números Primos: são todos os números naturais que são divisíveis apenas por 1 por ele mesmo. No nosso exemplo, os denominadores são 6 e 8. Portanto, teríamos: 8 2 4 2 2 2 1 Fatoração de 8 = 2 x 2 x 2 = 23 (Em “português”, 2 vezes 2 vezes 2 é igual a dois elevado ao cubo ou a terceira. O três representa o expoente do número 2, ou seja, indica que multiplicamos por 2 três vezes). 6 2 3 3 1 Fatoração de 6 = 2 x 3 Para achar o mínimo múltiplo comum, teríamos: A – Determinar os fatores comuns e não comuns: 8 = 23 6=2x3 Fator Comum = 2 Fator Não Comum = 3 B – Elevar os fatores comuns e não comuns aos maiores expoentes: Maior expoente de 2 = 3 Fator Comum elevado ao maior expoente = 23 Maior expoente de 3 = 1 Fator Não Comum = 31 = 3 mmc (8,6) = 23 x 3 = 24 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 17 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior II – Achar as frações equivalentes, considerando o mínimo múltiplo comum calculado acima como denominador: Verificando o primeiro termo da operação: 3 X = 8 24 Basta verificar por qual valor devemos multiplicar o 8 para chegar a 24. Neste caso, percebe-se que temos que multiplicar por 3. Para não alterar o resultado, devemos multiplicar o numerador e o denominador por 3 (frações equivalentes). Veja: 3 3 9 × = 8 3 24 Fazendo o mesmo para o segundo termo: 1 X = 6 24 Basta verificar por qual valor devemos multiplicar o 6 para chegar a 24. Neste caso, percebe-se que temos que multiplicar por 4. Para não alterar o resultado, devemos multiplicar o numerador e o denominador por 4 (frações equivalentes). Veja: 1 4 4 × = 6 4 24 Pronto! Agora já podemos fazer a nossa conta: 3 3 1 4 9 4 9 + 4 13 × + × = + = = 8 3 6 4 24 24 24 24 Caso seja possível, poderemos simplificar a resposta para encontrar os menores termos. No exemplo acima, não é possível, pois não existe um divisor comum de 13 (numerador) e 24 (denominador) que dê resultado inteiro. Vamos ver mais dois exemplos: Exemplo: Calcule 1 5 + . 15 12 I – Calcular o mínimo múltiplo comum dos denominadores: No nosso exemplo, os denominadores são 5 e 12. Portanto, teríamos: 15 3 5 5 1 Fatoração de 15 = 3 x 5 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 18 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 12 2 6 2 3 3 1 Fatoração de 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3 Para achar o mínimo múltiplo comum, teríamos: I – Determinar os fatores comuns e não comuns: 15 = 3 x 5 12 = 22 x 3 Fator Comum = 3 Fatores Não Comuns = 2 e 5 II – Elevar os fatores comuns e não comuns aos maiores expoentes: Maior expoente de 3 = 1 Fator Comum elevado ao maior expoente = 31 = 3 Maior expoente de 2 = 2 Fator Não Comum = 22 Maior expoente de 5 = 1 Fator Não Comum = 51 = 5 mmc (15,12) = 3 x 22 x 5 = 3 x 2 x 2 x 5 = 60 II – Achar as frações equivalentes, considerando o mínimo múltiplo comum calculado acima como denominador: Verificando o primeiro termo da operação: 1 X = 15 60 Basta verificar por qual valor devemos multiplicar o 15 para chegar a 60. Neste caso, percebe-se que temos que multiplicar por 4. Para não alterar o resultado, devemos multiplicar o numerador e o denominador por 4 (frações equivalentes). Veja: 1 4 4 × = 15 4 60 Fazendo o mesmo para o segundo termo: 5 X = 12 60 Basta verificar por qual valor devemos multiplicar o 12 para chegar a 60. Neste caso, percebe-se que temos que multiplicar por 5. Para não alterar o resultado, devemos multiplicar o numerador e o denominador por 5 (frações equivalentes). Veja: Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 19 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 5 5 25 × = 12 5 60 Pronto! Agora já podemos fazer a nossa conta: 1 4 5 5 4 25 4 + 25 29 × + × = + = = 15 4 12 5 60 60 60 60 5 1 Exemplo: Calcule − . 12 15 Os termos são iguais ao do exemplo anterior. Apenas a operação mudou. Portanto, fazendo os cálculos diretamente, teríamos: 5 5 1 4 25 4 25 − 4 21 × − × = − = = 12 5 15 4 60 60 60 60 Repare que tanto 21 (numerador), como 60 (denominador) são divisíveis por 3. Portanto, podemos simplificar essa fração para achar os menores termos: 21 3 7 ÷ = 60 3 20 Ou seja: 21 7 = ⇒ frações equivalentes. 60 20 Memorize para a prova: Soma e subtração de frações: é preciso calcular o mínimo múltiplo comum dos denominadores para realizar essas operações. 2.2.7. Multiplicação e Divisão de Frações Para multiplicar as frações deve ser adotado o seguinte procedimento: I – Transformar os números mistos em frações impróprias; II – Multiplicar os numeradores; III – Multiplicar os denominadores; e IV – Simplificar a resposta, se for possível (*). (*) Tente simplificar antes de fazer as multiplicações. Exemplos: A) 2 4 2× 4 8 × = = 3 5 3 × 5 15 B) 2 4 4 × 3 + 2 4 14 4 14 × 4 56 4 × = + = × = = 3 5 3 5 3 5 3 × 5 15 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 20 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior C) 5 4 5× 4 4 × = = ⇒ repare que é possível simplificar o 5 do numerador com 3 5 3× 5 3 o 5 do denominador. D) 5 3 1 5 × 3 ×1 × × = ⇒ repare que é possível simplificar o 5 do numerador 6 8 10 6 × 8 × 10 com o 10 do denominador, dividindo ambos por 5; e o 3 do numerador com o 6 do denominador, dividindo ambos por 3. 5 × 3 ×1 1× 1 × 1 1 = = 6 × 8 ×10 2 × 8 × 2 32 Para dividir as frações deve ser adotado o seguinte procedimento: I – Transformar os números mistos em frações impróprias; II – Inverter a segunda fração - divisora (denominador vira numerador e numerador vira denominador) e multiplicar pela primeira fração; III – Multiplicar os numeradores; IV – Multiplicar os denominadores; e V – Simplificar a resposta, se for possível (*). (*) Tente simplificar antes de fazer as multiplicações. Ou seja, a divisão de frações é praticamente igual à multiplicação das frações, exceto pelo item II. Vamos aos exemplos. Exemplos: A) B) 1 4 1 5 1× 5 5 ÷ = × = = 3 5 3 4 3 × 4 12 2 4 14 4 14 5 14 × 5 7 × 5 35 4 ÷ = ÷ = × = = = ⇒ repare que é possível 3 5 3 5 3 4 3× 4 3× 2 6 simplificar o 14 do numerador com o 4 do denominador, dividindo ambos por 2. 2.3. Decimais Podemos considerar que os decimais são frações especiais, tendo em vista que seus denominadores serão sempre múltiplos de 10 (10, 100, 1.000, 10.000, etc.), também chamados potências de 10. As potências de 10 são: 10 = 101 10 x 10 = 102 = 100 10 x 10 x 10 = 103 = 1.000 10 x 10 x 10 x 10 = 104 = 10.000 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 105 = 100.000 (...) Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 21 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Repare que o expoente do 10 indica o número de zeros do resultado, colocando sempre o 1 na frente. Exemplo: 105 = 100.000 (5 zeros) O número de casas decimais à direita da vírgula indica o número de zeros da potência de 10 que será escrita no denominador. Exemplos: A) 0,45 Há dois números após a vírgula (4 e 5). Portanto, a potência de 10 escrita no denominador será 102 = 100. 0,45 = 45 100 B) 0,451 Há três números após a vírgula (4, 5 e 1). Portanto, a potência de 10 escrita no denominador será 103 = 1.000. 0,451 = 451 1.000 C) 23,13335 Há cinco números após a vírgula (1, 3, 3, 3 e 5). Portanto, a potência de 10 escrita no denominador será 105 = 100.000. 23,13335 = 2.313.335 100.000 D) 0,25 Há dois números após a vírgula (2 e 5). Portanto, a potência de 10 escrita no denominador será 102 = 100. 0,25 = 25 1 = ⇒ repare que é possível simplificar o 25 do numerador com o 100 4 100 do denominador, dividindo ambos por 25. Para transformar qualquer fração em decimal, basta dividir o numerador pelo denominador. Vejamos alguns exemplos. Exemplos: A) 2 = 2 ÷ 5 = 0, 4 5 B) 1 = 1 ÷ 4 = 0, 25 4 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 22 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior C) 12 = 12 ÷ 5 = 2, 4 5 D) 9 = 9 ÷ 25 = 0,36 25 Está em dúvida de como dividir 9 por 25? Bom, vou efetuar esta conta: 9 resto 25 quociente I – Como 9 é menor que 25, é preciso adicionar um 0 após o nove e um “zero vírgula” no quociente: 90 resto 25 0, II – Agora podemos dividir 90 por 25: 25 x 3 = 75 25 x 4 = 100 (maior que 90) Portanto, devemos multiplicar 25 por 3 (=75). O resto será a diferença: 90 – 75 = 15 90 - 75 15 25 0,3 III – Como 15 é menor que 25, colocamos mais um zero à direita do 15 e efetuamos a divisão de 150 por 25. 90 25 - 75 0,3 150 25 x 5 = 125 25 x 6 = 150 Como 25 x 6 é igual a 150, a divisão é exata e o resto é igual a 0. 90 25 - 75 0,36 150 - 150 0 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 23 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Portanto, o resultado da divisão de 9 por 25 é 0,36. Vamos agora fazer outro exemplo de divisão, passo a passo. Exemplo: Calcule o resultado de 82.316,20/0,41158. A B D C A = dividendo B = divisor C = quociente D = resto Passo 1: verificar o número de casas decimais do denominador: 0,41158 ⇒ 5 casas decimais Passo 2: multiplicar o numerador e o denominador por: 10número de casas decimais do denominador = 105 = 100.000 82.316,20 x 100.000 = 8.231.620.000 (Dividendo) 0,41158 x 100.000 = 41.158 (Divisor) Passo 3: efetuar a divisão dos números obtidos no passo 2: Passo 3.1: utilizar o número formado pelos algarismos da esquerda para direita que é maior que o divisor e efetuar a primeira divisão: no caso, o número é 82.316. 8.231.6`20.000` 41.158 82.316 2 -82.316 0 Dividindo 82.316 por 41.158 chegamos ao resultado 2, com resto 0. Passo 3.2: utilizar o número formado pelos algarismos da esquerda para direita, a partir do último algarismo utilizado no passo anterior, que é maior que o divisor e efetuar a segunda divisão. Observe, que quando “abaixei” o 2 do dividendo não dava para continuar a conta. Por isso, registrei esta não continuidade através de um zero no quociente. Isto ocorreu até o último algarismo do dividendo (0) e o número, ainda assim, continuou menor que o divisor. Nesta situação, incluirei mais um 0 (em vermelho) no número a ser dividido por 41.158 e uma “vírgula” no quociente. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 24 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 8.231.6`20.000` 41.158 82.316 200.000,4 -82.316 0 200.000 -164.632 35.368 Logo, dividindo 200.000 por 41.158 chegamos ao resultado 4 com resto de 35.368, tendo em vista que: 41.158 x 4 = 164.632 200.000 – 164.632 = 35.368 Passo 3.3: Já “abaixei” todos os números do dividendo, mas ainda há resto e quero fazer a conta com duas casas decimais. Neste caso, coloco mais um 0 (em vermelho) no número a ser dividido por 41.158 e faço a conta. 8.231.6`20.000` 41.158 82.316 200.000,48 -82.316 0 200.000 -164.632 353.680 -329.264 24.416 Logo, dividindo 353.680 por 41.158 chegamos ao resultado 8 com resto de 35.368, tendo em vista que: 41.158 x 8 = 329.264 353.690 – 329.264 = 24.416 2.4. Critérios de Divisibilidade I) Divisibilidade por 2: um número natural será divisível por 2 sempre que for par, ou seja, terminar em 0, 2, 4, 6 e 8. Exemplos: 22 é divisível por 2; 1.246 é divisível por 2. II) Divisibilidade por 3: um número será divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3. Exemplos: 345 ⇒ Soma dos algarismos = 3 + 4 + 5 = 12 é divisível por 3 ⇒ 345 é divisível por 3. 1.329 ⇒ Soma dos algarismos = 1 + 3 + 2 + 9 = 15 é divisível por 3 ⇒ 1.329 é divisível por 3. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 25 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior III) Divisibilidade por 4: um número será divisível por 4 quando terminar em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos for divisível por 4. Exemplos: 1.000 ⇒ termina por 00 ⇒ é divisível por 4. 1.312 ⇒ Número formado pelos dois últimos algarismos = 12 é divisível por 4 ⇒ 1.312 é divisível por 4. IV) Divisibilidade por 5: um número será divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5. Exemplos: 1.000 ⇒ termina por 0 ⇒ é divisível por 5. 7.315 ⇒ termina por 5 ⇒ é divisível por 5. V) Divisibilidade por 6: um número será divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Exemplos: 408 ⇒ divisível por 2 (último número par) e divisível por 3 (soma dos algarismos = 4 + 0 + 8 = 12 é divisível por 3) ⇒ é divisível por 6. 5.316 ⇒ divisível por 2 (último número par) e divisível por 3 (soma dos algarismos = 5 + 3 + 1 + 6 = 15 é divisível por 3) ⇒ é divisível por 6. VI) Divisibilidade por 8: um número será divisível por 8 quando terminar em 000 ou quando o número formado pelos três últimos algarismos for divisível por 8. Exemplos: 1.000 ⇒ termina por 000 ⇒ é divisível por 8. 1.328 ⇒ Número formado pelos três últimos algarismos = 328 é divisível por 8 ⇒ 1.328 é divisível por 8. VII) Divisibilidade por 9: um número será divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9. Exemplos: 333 ⇒ Soma dos algarismos = 3 + 3 + 3 = 9 é divisível por 9 ⇒ 333 é divisível por 9. 2.358 ⇒ Soma dos algarismos = 2 + 3 + 5 + 8 = 18 é divisível por 9 ⇒ 2.358 é divisível por 9. VIII) Divisibilidade por 10: um número será divisível por 10 quando terminar em 0. Exemplos: 1.000 ⇒ termina por 0 ⇒ é divisível por 10. 11.560 ⇒ termina por 0 ⇒ é divisível por 10. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 26 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior IX) Divisibilidade por 11: um número será divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par é divisível por 11. Exemplos: 97845 ⇒ Soma dos algarismos de ordem ímpar = 9 + 8 + 5 = 22 Soma dos algarismos de ordem par = 7 + 4 = 11 Diferença = 22 – 11 = 11 ⇒ é divisível por 11. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 27 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 2.5. Memorize para a prova Inversos Aditivos ou Opostos X + (-X) = 0 ⇒ X e –X são inversos aditivos. 5 + (-5) = 0 ⇒ 5 e –5 são inversos aditivos. Números Positivos: São números maiores que zero. Números Negativos: São números menores que zero. Para um número positivo, quanto mais longe do zero (0), maior número. Para um número positivo, quanto mais perto do zero (0), menor número. Para um número negativo, quanto mais longe do zero (0), menor número. Para um número negativo, quanto mais perto do zero (0), maior número. Todo número negativo é menor que zero. Todo número positivo é maior que zero. Números positivos são sempre maiores que números negativos. Zero: não é um número positivo e não é um número negativo. é o é o é o é o Valor Absoluto ou Módulo Representa a distância do número até o zero. |x| = x, se x ≥ 0. |x| = -x, se x < 0. Soma de Números com Sinais Iguais Se os números possuem sinais iguais, some os números e repita o sinal no resultado da soma. (+X) + (+Y) + (+ Z) = + (X + Y + Z) (- X) – (- Y) – (- Z) = - (X + Y + Z) Soma de Números com Sinais Diferentes Se os números possuem sinais diferentes, calcule a diferença entre os valores absolutos dos números. O sinal do número que for mais distante do zero (maior valor absoluto) determinará o sinal da resposta. (+X) + (–Y) = + (|X| – |Y|), se o número positivo X está mais distante do zero (maior valor absoluto) que o número negativo Y. (+X) + (–Y) = – (|Y| – |X|), se o número negativo Y está mais distante do zero (maior valor absoluto) que o número positivo X. Subtração com Sinais Basta você utilizar as mesmas regras da adição, transformando a subtração em adição. (+X) – Y = (+X) + (–Y) = + (|X| – |Y|), se o número positivo X está mais distante do zero (maior valor absoluto) que o número negativo Y. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 28 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior (+X) – Y = (+X) + (–Y) = – (|Y| – |X|), se o número negativo Y está mais distante do zero (maior valor absoluto) que o número positivo X. (+X) – (+Y) = (+X) + (–Y) (+X) – (–Y) = (+X) + (+Y) (–X) – (+Y) = (–X) + (–Y) (–X) – (–Y) = (–X) + (+Y) Multiplicação e Divisão com Sinais Se os sinais são iguais, o resultado é positivo (+); e Se os sinais são diferentes, o resultado é negativo (–). Se a quantidade de números negativos for ímpar, o resultado é negativo. Se a quantidade de números negativos for par, o resultado é positivo. O caso do Zero Adição: 0 + X = X. Subtração: 0 – X = 0 + (–X) = –X. Multiplicação: 0 . X = 0. Divisão: 0 : X = 0. Você não deve utilizar o zero como divisor, pois não podemos dividir algo em zero partes. Os casos do Um e do menos Um Multiplicação: X . 1 = X. X . (-1) = (-X). Divisão: X : 1 = X. X : (-1) = (-X). Propriedade Comutativa A mudança da ordem dos números em uma operação não altera o resultado. X + Y = Y + X ⇒ a adição é comutativa X . Y = Y . X ⇒ a multiplicação é comutativa X–Y Y – X ⇒ a subtração não é comutativa, exceto se X = Y. X:Y Y : X ⇒ a divisão não é comutativa, exceto se X = Y ou X = –Y ≠ ≠ Propriedade Associativa A mudança da ordem das operações o não altera o resultado. Veja alguns exemplos: X + (Y + Z) = (X + Y) + Z ⇒ a adição é associativa X . Y = Y . X ⇒ a multiplicação é associativa X – (Y – Z) (X – Y) – Z ⇒ a subtração não é associativa, exceto em alguns casos. X:Y Y : X ⇒ a divisão não é associativa, exceto em alguns casos. ≠ ≠ Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 29 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Frações Fração = numerador deno min ador Denominador: indica em quantas partes o numerador será dividido. Frações Próprias Nas frações próprias, o numerador é sempre menor que o denominador. Consequentemente, o resultado da divisão do numerador pelo denominador é sempre menor que um. Frações Impróprias Nas frações impróprias, o numerador é sempre maior que o denominador. Consequentemente, o resultado da divisão do numerador pelo denominador é sempre maior que um. Números Mistos Os números mistos correspondem a outra forma de representação das frações impróprias.Para transformar uma fração imprópria em um número misto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente corresponderá ao número inteiro que vem na frente do número misto e o resto será representado na forma de fração própria. Exemplos: 5 3 2 2 2 = + = 1+ 1 3 3 3 3 3 9 5 4 4 4 = + = 1+ = 1 5 5 5 5 5 11 10 1 1 1 = + = 5+ = 5 2 2 2 2 2 Passar de número misto para fração imprópria: 1 5 × 2 + 1 11 5 = = 2 2 2 Menores Termos 4 ⇒ Essa fração não está com os menores termos, pois podemos dividir, tanto 6 o numerador como o denominador, por 2, e o resultado é exato. 4÷2 2 = ⇒ Essa fração está com os menores termos. 6÷2 3 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 30 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Frações Equivalentes 4 2 = ⇒ Frações equivalentes. 6 3 Soma e Subtração de Frações I – Calcular o mínimo múltiplo comum dos denominadores; Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.): o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é calculado utilizando o seguinte procedimento: I. Fazer a fatoração dos números (em fatores primos), separadamente; e II. m.m.c = produto de todos os fatores comuns e não comuns elevados ao maior expoente. II – Achar as frações equivalentes, considerando o mínimo múltiplo comum calculado acima como denominador; e III – Apurar o resultado. Multiplicação e Divisão de Frações Para multiplicar as frações deve ser adotado o seguinte procedimento: I – Transformar os números mistos em frações impróprias; II – Multiplicar os numeradores; III – Multiplicar os denominadores; e IV – Simplificar a resposta, se for possível (*). (*) Tente simplificar antes de fazer as multiplicações. Exemplo: A) 2 4 2× 4 8 × = = 3 5 3 × 5 15 Para dividir as frações deve ser adotado o seguinte procedimento: I – Transformar os números mistos em frações impróprias; II – Inverter a segunda fração - divisora (denominador vira numerador e numerador vira denominador) e multiplicar pela primeira fração; III – Multiplicar os numeradores; IV – Multiplicar os denominadores; e V – Simplificar a resposta, se for possível (*). (*) Tente simplificar antes de fazer as multiplicações. Exemplo: A) 1 4 1 5 1× 5 5 ÷ = × = = 3 5 3 4 3 × 4 12 Decimais O número de casas decimais à direita da vírgula indica o número de zeros da potência de 10 que será escrita no denominador. Exemplo: A) 0,451 Há três números após a vírgula (4, 5 e 1) = três casas decimais. Portanto, a potência de 10 escrita no denominador será 103 = 1.000. 0,451 = 451 1.000 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 31 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Critérios de Divisibilidade I) Divisibilidade por 2: um número natural será divisível por 2 sempre que for par, ou seja, terminar em 0, 2, 4, 6 e 8. II) Divisibilidade por 3: um número será divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3. III) Divisibilidade por 4: um número será divisível por 4 quando terminar em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos for divisível por 4. IV) Divisibilidade por 5: um número será divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5. V) Divisibilidade por 6: um número será divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. VI) Divisibilidade por 8: um número será divisível por 8 quando terminar em 000 ou quando o número formado pelos três últimos algarismos for divisível por 8. VII) Divisibilidade por 9: um número será divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9. VIII) Divisibilidade por 10: um número será divisível por 10 quando terminar em 0. IX) Divisibilidade por 11: um número será divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par é divisível por 11. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 32 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 2.6. Exercícios de Fixação 1.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Se a idade de uma criança hoje é a diferença entre a metade da idade que ela teria daqui a dez anos e a metade da idade que ela tinha há dois anos, qual a sua idade hoje? a) 3 anos. b) 2 anos. c) 4 anos. d) 5 anos. e) 6 anos. 2.(APO-Mpog-2008-Esaf) No último mês, cinco vendedores de uma grande loja realizaram as seguintes vendas de pares de calçados: Paulo vendeu 71, Ricardo 76, Jorge 80, Eduardo 82 e Sérgio 91. Ana é diretora de vendas e precisa calcular a venda média de pares de calçados realizada por estes cinco vendedores. Para este cálculo, a empresa disponibiliza um software que calcula automaticamente a média de uma série de valores à medida que os valores vão sendo digitados. Ana observou que, após digitar o valor de cada uma das vendas realizadas pelos vendedores, a média calculada pelo software era um número inteiro. Desse modo, o valor da última venda digitada por Ana foi a realizada por: a) Sérgio b) Jorge c) Paulo d) Eduardo e) Ricardo 3.(Analista de Finanças e Controle-STN-2008-Esaf) A calculadora de Eliane tem duas teclas especiais, T1 e T2, que realizam operações diferentes. A tecla T1 transforma o número t que está no visor em 1/t. A tecla T2 transforma o número t que está no visor em 1 – t. Eliane digita um número no visor. A seguir, de forma sucessiva e alternadamente, ela digita as duas teclas especiais, iniciando por T1 , isto é: T1, T2, T1, T2, T1, T2 .... . Sabendo-se que após 1204 operações o visor mostrava o número 5, pode-se corretamente concluir que o número que Eliane digitou no visor é igual a: a) 0,8 b) 0,7 c) 2,5 d) 0,42 e) 0,36 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 33 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 4.(Assistente de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Se a média aritmética dos números 6, 8, X e Y é igual a 12, então a média aritmética dos números (X + 8) e (Y - 4) será: a) 9,5 b) 13 c) 19 d) 20 e) 38 5.(Assistente de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Se X, Y e Z são inteiros positivos e consecutivos tais que X < Y < Z, então a expressão que necessariamente corresponde a um número inteiro ímpar é dada por: a) (X.Y) + (Y.Z) b) (X+Y).(Y+Z) c) X.Y.Z d) X + Y + Z e) X + Y.Z 6.(Assistente de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) O número X tem três algarismos. O produto dos algarismos de X é 126 e a soma dos dois últimos algarismos de X é 11. O algarismo das centenas de X é: a) 2 b) 3 c) 6 d) 7 e) 9 7.(AFT-MTE-1998-Esaf) Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 34 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 8.(Analista de Finanças e Controle-STN-1997-Esaf) Tomam-se os inteiros entre 1 e 100, inclusive, e constroem-se duas listas. Na lista D são colocados todos os inteiros divisíveis por 2 e, na lista T, são colocados todos os inteiros divisíveis por 3. O número de inteiros entre 1 e 100, inclusive, que são divisíveis por 2 e que não são divisíveis por 3 é igual a: a) 22 b) 24 c) 26 d) 28 e) 34 9.(Técnico Judiciário-Administrativa-TRF/4R-2010-FCC) A expressão N ÷ 0,0125 é equivalente ao produto de N por (A) 1,25. (B) 12,5. (C) 1 . 80 (D) 80. (E) 125 . 100 10.(Técnico Judiciário-Administrativa-TRF/4R-2010-FCC) Sejam x , y e z três números inteiros e positivos, tais que x < y < z. Sabe-se que o maior é a soma dos outros dois, e que o menor é um sexto do maior. Nessas condições, x, y e z são, nesta ordem, diretamente proporcionais a (A) 1, 3 e 6. (B) 1, 4 e 6. (C) 1, 5 e 6. (D) 1, 6 e 7. (E) 1, 7 e 8. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 35 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 11.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação/SP-2009FCC) Todo número racional pode ser escrito como fração contínua finita. Segue abaixo um exemplo de fração contínua finita. 1 2+ 1 3+ 1+ 1 6 A fração contínua finita indicada corresponde a um número racional cuja representação decimal é uma dízima de período (A) 259. (B) 257. (C) 239. (D) 197. (E) 175. 12.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação-Teresina2009-FCC)Júlia tem que distribuir certo número de balas em 99 embalagens de forma que todas as embalagens fiquem com o mesmo número de balas. Sua remuneração para a tarefa será o número de balas que sobrarem. Fazendo uso de uma calculadora, Júlia dividiu o total de balas por 99, obtendo como resultado no visor o número 9,86868686. Para descobrir qual será sua remuneração, Júlia deve pegar o número indicado no visor da calculadora, (A) somar 9 e multiplicar o resultado por 99. (B) somar 99 e dividir o resultado por 9. (C) subtrair 9 e multiplicar o resultado por 86. (D) subtrair 9 e multiplicar o resultado por 99. (E) subtrair 9 e multiplicar o resultado por 986. 13.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação-Teresina2009-FCC)Vários pacotes de papel sulfite foram empilhados como mostra a figura. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 36 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Para saber quantos pacotes tem esse empilhamento podemos proceder do seguinte modo: (A) 5 × 3 + 2 × 1 (B) (5 × 4) + (3 × 3) + (2 × 2) + 3 (C) (5 × 3 × 2 × 1) + (4 × 3 × 2 × 2) (D) (5 + 4) + (3 + 3) + 2 + 2) + 3 (E) (5 × 4) + (3 × 4) + (2 × 4) + 3 14.(Auxiliar Judiciário-Administrativa-TRF/2R-2007-FCC) Considere que os símbolos , que aparecem no quadro seguinte, substituem as operações que devem ser efetuadas em cada linha a fim de obter-se o resultado correspondente, que se encontra na coluna da extrema direita. Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogação deverá ser substituído pelo número (A) 16 (B) 15 (C) 14 (D) 13 (E) 12 15.(Técnico Judiciário-Administrativa-2007-TRF/1R-FCC)Um técnico judiciário foi incumbido da montagem de um manual referente aos Princípios Fundamentais da Constituição Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a contra-capa, a numeração das páginas foi feita a partir do número 1 e, ao concluí-la, constatou-se que foram usados 225 algarismos, o total de páginas que foram numeradas é (A) 97 (B) 99 (C) 111 (D) 117 (E) 126 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 37 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 16.(Professor Adjunto-Matemática-Secretaria Municipal de Educação/SP-2007-FCC)Uma possibilidade para a introdução das idéias da álgebra é a identificação de padrões associada à representação com letras da regularidade observada. Nesse sentido, um professor propôs que seus alunos observassem o seguinte padrão: Chamando de E o número da etapa, e de B o número de bolinhas dessa etapa, partindo de caminhos diferentes, quatro alunos apresentaram as seguintes fórmulas para expressar a regularidade observada: I. B = 2E + 3 II. B = 2 (E + 1) + 1 III. B = 3 (E + 1) − E IV. B = 3 (E − 1) + 5 Das respostas apresentadas, estão corretas APENAS (A) I e II. (B) I e III. (C) II e III. (D) I, II e III. (E) II, III e IV. 17.(Professor Adjunto-Matemática-Secretaria Municipal de Educação/SP-2004-FCC)Para representar um número natural qualquer podemos utilizar a letra n. Para representar um número natural ímpar qualquer podemos utilizar a notação 2n + 1. Sendo assim, o resultado de (2n + 1)2 sempre será, para qualquer n, um número (A) primo. (B) múltiplo de 3. (C) par. (D) ímpar. (E) divisor de 72. 18.(Professor Adjunto-Matemática-Secretaria Municipal de Educação/SP-2004-FCC)Os hindus, a partir do século VI, efetuavam multiplicações por um método denominado “por quadriculagem”. Vamos mostrá-lo, multiplicando 532 por 75. Para tal, desenhamos um retângulo composto por 6 outros retângulos, dispostos em três colunas (número de algarismos de 532) e duas linhas (número de algarismos de 75). Cada retângulo, dividido pela sua diagonal, traz em cada metade um algarismo do número resultante da multiplicação do algarismo da linha pelo da coluna. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 38 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A seguir, adicionam-se os algarismos compreendidos entre as diagonais, da esquerda para a direita e de cima para baixo, colocando-se os resultados no exterior do retângulo maior. Obtém-se, dessa forma, que o resultado de 532 x 75 é 39 900. O quadro seguinte, mostra a multiplicação entre dois números de dois algarismos: O produto obtido nessa multiplicação é igual a (A) 1 679 (B) 1 426 (C) 689 (D) 649 (E) 619 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 39 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 19.(Professor-Matemática-Sesi-2004-FCC)Imagine todas as adições possíveis de duas parcelas distintas que podemos efetuar com os divisores de 36. Dentre as somas obtidas, algumas serão números múltiplos de 5. Os possíveis múltiplos de 5, nesse caso, são (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 20.(Professor-Matemática-Sesi-2004-FCC)A soma de dois números inteiros é 924. Juntando 78 a cada um dos números, um dos resultados fica o dobro do outro. O menor desses números é (A) 78 (B) 156 (C) 231 (D) 282 (E) 308 2.7. Gabarito 1. E 2. B 3. A 4. C 5. B 6. D 7. E 8. E 9. D 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. C A D B D C D D A E D Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 40 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 2.8. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos 1.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Se a idade de uma criança hoje é a diferença entre a metade da idade que ela teria daqui a dez anos e a metade da idade que ela tinha há dois anos, qual a sua idade hoje? a) 3 anos. b) 2 anos. c) 4 anos. d) 5 anos. e) 6 anos. Resolução Idade Hoje = X Idade Daqui a 10 anos = X + 10 Idade Há 2 anos = X – 2 Pelo enunciado: a idade de uma criança hoje (X) é a diferença entre a metade da idade que ela teria daqui a dez anos tinha há dois anos X + 10 e a metade da idade que ela 2 X −2 . Ou seja, transformamos o enunciado em uma 2 expressão: X= X + 10 X − 2 X + 10 − X + 2 12 − = ⇒ X = = 6anos 2 2 2 2 GABARITO: E 2.(APO-Mpog-2008-Esaf) No último mês, cinco vendedores de uma grande loja realizaram as seguintes vendas de pares de calçados: Paulo vendeu 71, Ricardo 76, Jorge 80, Eduardo 82 e Sérgio 91. Ana é diretora de vendas e precisa calcular a venda média de pares de calçados realizada por estes cinco vendedores. Para este cálculo, a empresa disponibiliza um software que calcula automaticamente a média de uma série de valores à medida que os valores vão sendo digitados. Ana observou que, após digitar o valor de cada uma das vendas realizadas pelos vendedores, a média calculada pelo software era um número inteiro. Desse modo, o valor da última venda digitada por Ana foi a realizada por: a) Sérgio b) Jorge c) Paulo d) Eduardo e) Ricardo Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 41 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Resolução Informações do enunciado: Paulo ⇒ vendeu 71 pares de calçados ⇒ número ímpar Ricardo ⇒ vendeu 76 pares de calçados ⇒ número par Jorge ⇒ vendeu 80 pares de calçados ⇒ número par Eduardo ⇒ vendeu 82 pares de calçados ⇒ número par Sérgio ⇒ vendeu 91 pares de calçados ⇒ número ímpar Ana ⇒ Software ⇒ A média é calculada à medida que os valores vão sendo digitados Repare que os números ímpares divididos por um número par não dão resultados inteiros. Exemplo: 3 : 2 = 1,5. Portanto, os dois números ímpares de vendas (Paulo e Sérgio) serão os dois primeiros a serem digitados (para dividir por 2) ou o terceiro e quarto a serem digitados (para dividir por 4), visto que a soma dos dois é divisível por 2 e pode ser divisível por 4. Hipótese I – Ímpares no início: Ordem de digitação (pode ser Paulo e Sérgio ou Sérgio e Paulo) Paulo = 71 Sérgio = 91 ⇒ Média 1 = (91 + 71)/2 = 162/2 = 81 Repare que 162 também é divisível por 3 (162/3 = 54). Logo, o próximo número a ser digitado também deve ser divisível por 3. Contudo, as vendas que sobraram para digitar não são divisíveis por 3 (Ricardo = 76; Jorge = 80 e Eduardo = 82). Logo, a hipótese I não é válida. Hipótese II – Ímpares nas posições 3 e 4. Possibilidades de digitação: 1. 76, 80, 71, 91, 82 2. 76, 80, 91, 71, 82 3. 76, 82, 71, 91, 80 4. 76, 82, 91, 71, 80 5. 80, 82, 71, 91, 76 6. 80, 82, 91, 71, 76 Nas duas primeiras posições, como foram digitados somente números pares, independentemente da possibilidade, a média será um número inteiro, mesmo que as posições sejam alternadas entre si. Portanto, vamos analisar a partir da 3a posição. Possibilidades de digitação: 1. (76 + 80 + 71)/3 = 227/3 ⇒ não é número inteiro 2. (76 + 80 + 91)/3 = 247/3 ⇒ não é número inteiro 3. (76 + 82 + 71)/3 = 229/3 ⇒ não é número inteiro 4. (76 + 82 + 91)/3 = 249/3 = 83 ⇒ é número inteiro Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 42 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 5. (80 + 82 + 71)/3 = 233/3 ⇒ não é número inteiro 6. (80 + 82 + 91)/3 = 253/3 ⇒ não é número inteiro Logo, a única solução é a possibilidade “4”. Vamos, então, testar todas as médias: M1 M2 M3 M4 = = = = 76 + 82 = 158/2 = 79 ⇒ inteiro (76 + 82 + 91)/3 = 249/3 = 83 ⇒ inteiro (76 + 82 + 91 + 71)/4 = 320/4 = 80 ⇒ inteiro (76 + 82 + 91 + 71 + 80)/5 = 400/5 = 80 ⇒ inteiro Logo, o último vendedor a ser digitado foi: Jorge ⇒ vendeu 80 pares de calçados GABARITO: B 3.(Analista de Finanças e Controle-STN-2008-Esaf) A calculadora de Eliane tem duas teclas especiais, T1 e T2, que realizam operações diferentes. A tecla T1 transforma o número t que está no visor em 1/t. A tecla T2 transforma o número t que está no visor em 1 – t. Eliane digita um número no visor. A seguir, de forma sucessiva e alternadamente, ela digita as duas teclas especiais, iniciando por T1 , isto é: T1, T2, T1, T2, T1, T2 .... . Sabendo-se que após 1204 operações o visor mostrava o número 5, pode-se corretamente concluir que o número que Eliane digitou no visor é igual a: a) 0,8 b) 0,7 c) 2,5 d) 0,42 e) 0,36 Resolução Para resolvermos a questão temos que descobrir alguma regra de formação para a seqüência: T1, T2, T1, T2, T1, T2 .... Suponha que Eliane digitou, inicialmente, um número x. A partir daí começou a digitar as teclas na seqüência: T1, T2, T1, T2, T1, T2 .... Repare que T1 transforma t em 1/t e T2 transforma t em 1 – t. Se eu digitar, inicialmente, x: Tecla 1: Entrada = x ⇒ T1 ⇒ Saída = 1/x Tecla 2: Entrada = 1/x ⇒ T2 ⇒ Saída = 1 – (1/x) = (x – 1)/x Tecla 3: Entrada = (x – 1)/x ⇒ T1 ⇒ Saída = x/(x – 1) Tecla 4: Entrada = x/(x – 1) ⇒ T2 ⇒ ⇒ Saída = 1 - x/(x – 1) = (x – 1 – x)/(x – 1) = -1/(x – 1) = 1/(1 – x) Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 43 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Tecla 5: Entrada = 1/(1 – x) ⇒ T1 ⇒ Saída = 1 – x Tecla 6: Entrada = 1 – x ⇒ T2 ⇒ Saída = 1 – (1 – x) = 1 – 1 + x = x Ou seja, na sexta tecla, o valor retorna ao valor inicial x e começa tudo novamente: Tecla Tecla Tecla Tecla Tecla Tecla (….) 7: T1 = 1/x 8: T2 = 1 – (1/x) = (x – 1)/x 9: T1 = x/(x – 1) 10: T2 = 1 - x/(x – 1) = (x – 1 – x)/(x – 1) = -1/(x – 1) = 1/(1 – x) 11: T1 = 1 – x 12: T2 = 1 – (1 – x) = 1 – 1 + x = x A questão pede o valor após 1.204 operações, ou seja, quando for digitada a tecla 1.204. Primeiro, vamos verificar o resultado da divisão de 1.204 por 6: 1.204 : 6 = 200 com resto 4. Logo, o valor apurado será o equivalente à tecla 4, cujo resultado da divisão por 6 também dá resto 4. Tecla 4 = Tecla 10 = Tecla 16 = .... = Tecla 1.204 = 1/(1 – x) Portanto, de acordo com a questão: 1/(1 – x) = 5 ⇒ 1 = 5 – 5x ⇒ 5x = 4 GABARITO: A ⇒ x = 4/5 = 0,8 4.(Assistente de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Se a média aritmética dos números 6, 8, X e Y é igual a 12, então a média aritmética dos números (X + 8) e (Y - 4) será: a) 9,5 b) 13 c) 19 d) 20 e) 38 Resolução Bom, não falamos de média aritmética na aula, pois veremos em aula posterior. Contudo, vamos aos conceitos: Média Aritmética: X= ∑X i n Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 44 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Exemplo: S = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} X= ∑X n i = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 110 = = 11 10 10 Voltando à questão: Números: 6, 8, X e Y Total de 4 números ⇒ n = 4 Média Aritmética = (6 + 8 + X + Y)/4 = 12 ⇒ 6 + 8 + X + Y = 48 ⇒ ⇒ X + Y = 48 – 6 – 8 ⇒ X + Y = 34 (I) ⇒ Repare que a questão pede a média aritmética de (X + 8) com (Y – 4). Não temo sestes valores e nem é possível calcular os valores de X e de Y, tendo em vista que, até o momento, temos apenas uma equação (X + Y = 34). Contudo, se não temos (X + 8), vamos criá-lo! Não sabe como! Basta somar 8 na expressão (I). Para que a igualdade não seja alterada, temos que somar 8 dos dois lados da equação: (I) + 8 ⇒ (X + 8) + Y = 34 + 8 ⇒ (X + 8) + Y = 42 (II) Agora, para achar (Y – 4) faremos o mesmo procedimento acima, ou seja, subtrairemos 4 dos dois lados da equação (II): (II) – 4 ⇒ (X + 8) + (Y – 4) = 42 – 4 ⇒ (X + 8) + (Y – 4) = 38 (III) Como a questão pede a média aritmética de (X + 8) e (Y – 4), que são 2 números, basta dividir a expressão (III) por 2 (dos dois lados da equação para que não alteremos a igualdade): (III)/2 = Média Aritmética de (X + 8) e (Y – 4) ⇒ [(X + 8) + (Y – 4)]/2 = 38/2 = 19 GABARITO: C ⇒ 5.(Assistente de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Se X, Y e Z são inteiros positivos e consecutivos tais que X < Y < Z, então a expressão que necessariamente corresponde a um número inteiro ímpar é dada por: a) (X.Y) + (Y.Z) b) (X+Y).(Y+Z) c) X.Y.Z d) X + Y + Z e) X + Y.Z Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 45 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Resolução Se X, Y e Z são inteiros e consecutivos, temos duas hipóteses: 1) X é ímpar, Y é par e Z é ímpar 2) X é par, Y é ímpar e Z é par Análise das alternativas: Hipótese 1: Suponha, que X = 1, Y = 2 e Z = 3 (X é ímpar, Y é par e Z é ímpar) a) (X.Y) + (Y.Z) = 1 x 2 + 2 x 3 = 2 + 6 = 8 b) (X+Y).(Y+Z) = (1 + 2).(2 + 3) = 3 x 5 = 15 (ímpar) c) X.Y.Z = 1 x 2 x 3 = 6 d) X + Y + Z = 1 + 2 + 3 = 6 e) X + Y.Z = 1 + 2 x 3 = 1 + 6 = 7 (ímpar) Hipótese 2: Suponha, que X = 2, Y = 3 e Z = 4 (X é par, Y é ímpar e Z épar) a) (X.Y) + (Y.Z) = 2 x 3 + 3 x 4 = 6 + 12 = 18 b) (X+Y).(Y+Z) = (2 + 3).(3 + 4) = 5 x 7 = 35 (ímpar) c) X.Y.Z = 2 x 3 x 4 = 24 d) X + Y + Z = 2 + 3 + 4 = 9 (ímpar) e) X + Y.Z = 2 + 3 x 4 = 2 + 12 = 14 Logo, a única alternativa que é necessariamente independentemente da hipótese adotada, é a alternativa “b”. GABARITO: B ímpar, 6.(Assistente de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) O número X tem três algarismos. O produto dos algarismos de X é 126 e a soma dos dois últimos algarismos de X é 11. O algarismo das centenas de X é: a) 2 b) 3 c) 6 d) 7 e) 9 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 46 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Resolução X ⇒ três algarismos ⇒ X = ABC A.B.C = 126 ⇒ este produto deve corresponder ao resultado da multiplicação de três números inteiros de 1 a 9, tendo em vista que A, B e C correspondem aos algarismos que formam um número. Atenção, pois não é possível que um dos algarismos seja 0 (zero), pois 0 multiplicado por qualquer número 0 e a questão informa que a multiplicação dos três algarismos é igual a 126. Fatorando 126, teríamos: 126 63 21 7 1 2 3 3 7 126 = 2 x 32 x 7 Sabemos, do enunciado, que a soma dos dois últimos algarismos é 11. Com a fatoração de 126, poderíamos ter as seguintes possibilidades para algarismos de 1 a 9: Possibilidade 1: 2, 9 (32) e 7 Possibilidade 2: 6 (2 x 3), 3 e 7 Repare que, na possibilidade 2, não há algarismos que, somados, dêem resultado 11 (6 + 3 = 9; 6 + 7 = 13 e 3 + 7 = 10). Contudo, na possibilidade 1: 2 + 9 = 11. Portanto, temos que B = 2 e C = 9 ou B = 9 e C = 2. Deste modo, o algarismo das centenas só pode ser igual a 7, visto que, na possibilidade 1, temos os algarismos 2, 9 e 7 e os dois últimos algarismos (das unidades e das dezenas) são 2 e 9 ou 9 e 2. GABARITO: D 7.(AFT-MTE-1998-Esaf) Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi: Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 47 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolução Herança em barras de ouro Ana, Beatriz e Camile. ⇒ totalmente dividida entre três irmãs: n = número de barras de ouro (total da herança) I - Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Ana = n 1 n +1 + = 2 2 2 Sobra da Herança após Ana = n− n +1 n n +1 = − 2 1 2 Para fazer essa subtração, devemos achar o mínimo múltiplo comum dos denominadores 1 e 2. m.m.c. (1,2) = 2 Sobra da Herança = n 2 n + 1 2n − (n + 1) 2n − n − 1 n − 1 × − = = = 1 2 2 2 2 2 II - Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra n −1 1 n −1 1 1 n −1 1 Beatriz = 2 + = × + = + 2 2 2 2 2 4 2 Para fazer essa soma, devemos achar o mínimo múltiplo comum dos denominadores 2 e 4. m.m.c. (2,4) = 4 Beatriz = n −1 1 2 n −1 2 n −1 + 2 n + 1 + × = + = = 4 2 2 4 4 4 4 Sobra da Herança após Beatriz = Sobra da Herança após Ana – Barras da Beatriz ⇒ ⇒ Sobra da Herança após Beatriz = Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior n −1 n + 1 n −1 2 n + 1 − = × − ⇒ 2 4 2 2 4 www.pontodosconcursos.com.br 48 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 2n − 2 n + 1 2n − 2 − (n + 1) − = ⇒ 4 4 4 2n − 2 − n − 1) n − 3 ⇒ Sobra da Herança após Beatriz = = 4 4 ⇒ Sobra da Herança após Beatriz = III - Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia. Camile = 1,5 = Sobra da Herança após Beatriz = n−3 ⇒ 4 n−3 ⇒ 1,5 x 4 = n – 3 ⇒ 4 ⇒ 6 = n – 3 ⇒ n = 6 + 3 ⇒ n = 9 barras de ouro ⇒ 1,5 = Desse modo, Ana recebeu: Ana = n + 1 9 + 1 10 = = = 5 barras de ouro 2 2 2 GABARITO: E 8.(Analista de Finanças e Controle-STN-1997-Esaf) Tomam-se os inteiros entre 1 e 100, inclusive, e constroem-se duas listas. Na lista D são colocados todos os inteiros divisíveis por 2 e, na lista T, são colocados todos os inteiros divisíveis por 3. O número de inteiros entre 1 e 100, inclusive, que são divisíveis por 2 e que não são divisíveis por 3 é igual a: a) 22 b) 24 c) 26 d) 28 e) 34 Resolução U = inteiros de 1 a 100, inclusive = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 100} D (inteiros divisíveis por 2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...., 100} Número de elementos de D = 50 elementos (metade dos números de 1 a 100) T (inteiros divisíveis por 3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,..., 99} Vamos construir T´, que é o número de inteiros divisíveis por 2 e por 3, ou seja, são os números pares da lista T: T´(inteiros divisíveis por 2 e por 3) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96} Número de elementos de T´= 16 elementos Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 49 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Número de inteiros entre 1 e 100 divisíveis por 2 e não divisíveis por 3: N = 50 – 16 = 34 elementos GABARITO: E 9.(Técnico Judiciário-Administrativa-TRF/4R-2010-FCC) A expressão N ÷ 0,0125 é equivalente ao produto de N por (A) 1,25. (B) 12,5. (C) 1 . 80 (D) 80. (E) 125 . 100 Resolução Ainda lembra da parte teórica da aula! Espero que sim! Vamos relembrar: Decimais O número de casas decimais à direita da vírgula indica o número de zeros da potência de 10 que será escrita no denominador. No caso concreto da questão, temos o número 0,0125. Representando esse número em forma de fração, teríamos: Número de casas decimais à direita da vírgula = 4 Denominador = 104 = 10.000 Portanto: 0,0125 = 125 10.000 A questão quer saber qual é a expressão equivalente a N ÷ 0,0125: N ÷ 0,0125 = N ÷ 125 10.000 Mais um conceito da aula: dividir por uma fração é multiplicar pelo seu inverso, ou seja, o que numerador vira denominador e vice-versa. No caso, teríamos: N÷ 125 10.000 =Nx = N x 80 10.000 125 GABARITO: D Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 50 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 10.(Técnico Judiciário-Administrativa-TRF/4R-2010-FCC) Sejam x , y e z três números inteiros e positivos, tais que x < y < z. Sabe-se que o maior é a soma dos outros dois, e que o menor é um sexto do maior. Nessas condições, x, y e z são, nesta ordem, diretamente proporcionais a (A) 1, 3 e 6. (B) 1, 4 e 6. (C) 1, 5 e 6. (D) 1, 6 e 7. (E) 1, 7 e 8. Resolução Três números inteiros e positivos: x, y e z (x < y < z). Informações da questão: I - o maior é a soma dos outros dois: Maior número = z = Soma dos outros dois = x + y ⇒ z = x + y (I) II – o menor é um sexto do maior: Menor número = x = um sexto do maior = maior sobre 6 = z (II) 6 Repare que o valor “1” aparece em todas as alternativas. Logo, o menor número (x) tem que ser igual a 1. x=1 Da expressão (II), temos que x = z . Portanto, se multiplicarmos os dois lados 6 da expressão por 6 (para eliminar o denominador de z), não alteramos a igualdade: x.6= z .6 ⇒ z=6.x ⇒ z=6.1 ⇒ z=6 6 Da expressão (I), z = x + y ⇒ 6=1+y ⇒ y=6–1 ⇒ y=5 x = 1; y = 5 e z = 6 GABARITO: C 11.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação/SP-2009FCC) Todo número racional pode ser escrito como fração contínua finita. Segue abaixo um exemplo de fração contínua finita. 1 2+ 3+ 1 1+ 1 6 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 51 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A fração contínua finita indicada corresponde a um número racional cuja representação decimal é uma dízima de período (A) 259. (B) 257. (C) 239. (D) 197. (E) 175. Resolução Nessa questão, só há um jeito. Fazer os cálculos até ficar com uma única fração. Vamos lá: I) 1+ 1 1 1 = + 6 1 6 Primeiramente, temos que achar o m.m.c dos denominadores (1 e 6). Bom, com um denominador é igual ao número “1”, o m.m.c somente poderá ser o outro denominador (6). Portanto: m.m.c (1;6) = 6. Continuando a conta: 1 1 1 6 1 6 +1 7 + = × + = = 1 6 1 6 6 6 6 Por enquanto, temos: 1 2+ 1 3+ 1+ II) = 2+ 1 3+ 1 6 1 7 6 1 7 6 Dividir por uma fração é multiplicar pelo seu inverso, ou seja, o que numerador vira denominador e vice-versa. Logo, teremos: 1 6 6 = 1× = 7 7 7 6 Por enquanto, temos: 1 2+ 3+ 1 1+ Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior = 2+ 1 6 1 3+ 6 7 www.pontodosconcursos.com.br 52 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior III) 3+ 6 3 6 = + 7 1 7 Primeiramente, temos que achar o m.m.c dos denominadores (1 e 7). Bom, com um denominador é igual ao número “1”, o m.m.c somente poderá ser o outro denominador (7). Portanto: m.m.c (1;7) = 7. Continuando a conta: 3 6 3 7 6 21 6 21 + 6 27 + = × + = + = = 1 7 1 7 7 7 7 7 7 Por enquanto, temos: 1 2+ = 2+ 1 3+ 1+ 1 3+ 1 6 1 7 6 = 2+ 1 3+ 6 7 = 2+ 1 27 7 1 27 7 IV) Dividir por uma fração é multiplicar pelo seu inverso, ou seja, o que numerador vira denominador e vice-versa. Logo, teremos: 1 7 7 = 1× = 27 27 27 7 Por enquanto, temos: 1 2+ 1 3+ 1+ V) 2+ = 2+ 1 3+ 1 6 1 7 6 = 2+ 1 3+ 6 7 = 2+ 1 7 = 2+ 27 27 7 7 2 7 = + 27 1 27 Primeiramente, temos que achar o m.m.c dos denominadores (1 e 27). Bom, com um denominador é igual ao número “1”, o m.m.c somente poderá ser o outro denominador (27). Portanto: m.m.c (1;27) = 27. Continuando a conta: 2 7 2 27 7 54 7 54 + 7 61 + = × + = + = = 1 27 1 27 27 27 27 27 27 Ufa! Chegamos à fração final: 1 2+ 3+ = 2+ 1 1+ 1 6 1 3+ 1 7 6 = 2+ Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1 3+ 6 7 = 2+ 1 7 61 = 2+ = 27 27 27 7 www.pontodosconcursos.com.br 53 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior VI) Agora, temos que calcular o resultado da divisão de 61 por 27: 61` -54 (27 x 2) 70 (*1) -54 (27 x 2) 160 (*2) -135 (27 x 5) 250 (*3) - 243 (27 x 9) 70 (*1) -54 (27 x 2) 160 (*2) -135 (27 x 5) 250 (*3) - 243 (27 x 9) 7 (...) 27 2,259259... (*1) Como 7 é menor que 27, coloca-se o 0 após o 7 e a vírgula após o 2. (*2) Como 16 é menor que 27, coloca-se o 0 após o 16. (*3) Como 25 é menor que 27, coloca-se o 0 após o 25. Ou seja, a divisão de 61 por 27 tem como resultado um dízima periódica igual a 2,259259...(de período 259). GABARITO: A 12.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação-Teresina2009-FCC)Júlia tem que distribuir certo número de balas em 99 embalagens de forma que todas as embalagens fiquem com o mesmo número de balas. Sua remuneração para a tarefa será o número de balas que sobrarem. Fazendo uso de uma calculadora, Júlia dividiu o total de balas por 99, obtendo como resultado no visor o número 9,86868686. Para descobrir qual será sua remuneração, Júlia deve pegar o número indicado no visor da calculadora, (A) somar 9 e multiplicar o resultado por 99. (B) somar 99 e dividir o resultado por 9. (C) subtrair 9 e multiplicar o resultado por 86. (D) subtrair 9 e multiplicar o resultado por 99. (E) subtrair 9 e multiplicar o resultado por 986. Resolução Vamos entender a questão: Júlia tem que distribuir certo número (chamarei de X) de balas em 99 embalagens de forma que todas as embalagens fiquem com o mesmo número de balas e sua remuneração será o número balas que sobrarem, ou seja, será o resto da divisão de X por 99. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 54 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Vamos relembrar: X = 99 . q + r Onde: X = dividendo 99 = divisor q = quociente r = resto A questão já informou o resultado da divisão: 9,868686... X = 9,868686... 99 Multiplicando por 99 nos dois lados, não alteramos a igualdade (o objetivo aqui é eliminar o denominador): X × 99 = 9,868686... × 99 ⇒ X = 99 × 9,868686... 99 Também é fácil perceber que: 9,868686... = 9 + 0,868686..... Substituindo na expressão acima, teremos: X = 99 × 9,868686... = 99 × (9 + 0,868686...) ⇒ ⇒ X = 99 × 9 + 99 × 0,868686... Repare que o quociente (q) é igual a 9 e o resto (r) será igual a 99 x 0,868686... Portanto, para chegarmos à remuneração de Júlia a partir do resultado da divisão de X por 99, temos que subtrair 9 e multiplicar o resultado da subtração por 99. Veja: 9,868686.... – 9 = 0,868686... Resto = 99 x 0,868686... GABARITO: D Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 55 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 13.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação-Teresina2009-FCC)Vários pacotes de papel sulfite foram empilhados como mostra a figura. Para saber quantos pacotes tem esse empilhamento podemos proceder do seguinte modo: (A) 5 × 3 + 2 × 1 (B) (5 × 4) + (3 × 3) + (2 × 2) + 3 (C) (5 × 3 × 2 × 1) + (4 × 3 × 2 × 2) (D) (5 + 4) + (3 + 3) + 2 + 2) + 3 (E) (5 × 4) + (3 × 4) + (2 × 4) + 3 Resolução Para calcular o número de pacotes do empilhamento vamos verificar linha a linha: Linha 4: 3 Linha 3: 2 x 2 Linha 2: 3 x 3 Linha 1: 5 x 4 Total = (5 x 4) + (3 x 3) + (2 x 2) + 3 GABARITO: B Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 56 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 14.(Auxiliar Judiciário-Administrativa-TRF/2R-2007-FCC) Considere que os símbolos , que aparecem no quadro seguinte, substituem as operações que devem ser efetuadas em cada linha a fim de obter-se o resultado correspondente, que se encontra na coluna da extrema direita. Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogação deverá ser substituído pelo número (A) 16 (B) 15 (C) 14 (D) 13 (E) 12 Resolução Esta questão é mais de lógica: I) 36 : 4 = 9 9 + 5 = 14 Portanto: = divisão = soma II) 48 : 6 = 8 6 + 9 = 17 Confirmou a hipótese de I: = divisão e = soma III) 54 : 9 = 6 6 + 7 = 13 GABARITO: D Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 57 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 15.(Técnico Judiciário-Administrativa-2007-TRF/1R-FCC)Um técnico judiciário foi incumbido da montagem de um manual referente aos Princípios Fundamentais da Constituição Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a contra-capa, a numeração das páginas foi feita a partir do número 1 e, ao concluí-la, constatou-se que foram usados 225 algarismos, o total de páginas que foram numeradas é (A) 97 (B) 99 (C) 111 (D) 117 (E) 126 Resolução Esse trabalho desse servidor é chato, não? Risos. Montar o manual referente aos Princípios Fundamentais da Constituição Federal. A numeração foi feita a partir da página 1 e foram utilizados 225 algarismos. Como diria a minha avó, vamos comer o elefante em bifes! Quantos algarismos são utilizados das páginas 1 a 9: 9 algarismos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9). Esses são os números de 1 algarismo. Em relação aos números de 2 algarismos, teríamos: 1. De 10 a 19, seriam 10 números de algarismos (10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 e 19). Portanto, foram utilizados 20 algarismos (10 x 2). O mesmo ocorrerá nos intervalos de páginas abaixo: 2. De 20 a 29 = 20 algarismos 3. De 30 a 39 = 20 algarismos 4. De 40 a 49 = 20 algarismos 5. De 50 a 59 = 20 algarismos 6. De 60 a 69 = 20 algarismos 7. De 70 a 79 = 20 algarismos 8. De 80 a 89 = 20 algarismos 9. De 90 a 99 = 20 algarismos Portanto, até a página 99, temos um total de: Total de Algarismos = 9 + 20 x 9 = 9 + 180 = 189 Ainda não chegamos no número de algarismo utilizado, que é de 225. Continuando: De 100 a 109, seriam 10 números de 3 algarismos cada. Portanto, foram utilizados 30 algarismos (10 x 3). Portanto, até a página 109, temos um total de: Total de Algarismos = 189 + 30 = 219 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 58 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Faltam apenas 6 algarismos para 225 (225 – 219 = 6), ou seja, mais duas páginas: Próxima página (110) = 3 algarismos Última página (111) = 3 algarismos Total de algarismos = 219 + 3 + 3 = 225 GABARITO: C 16.(Professor Adjunto-Matemática-Secretaria Municipal de Educação/SP-2007-FCC)Uma possibilidade para a introdução das idéias da álgebra é a identificação de padrões associada à representação com letras da regularidade observada. Nesse sentido, um professor propôs que seus alunos observassem o seguinte padrão: Chamando de E o número da etapa, e de B o número de bolinhas dessa etapa, partindo de caminhos diferentes, quatro alunos apresentaram as seguintes fórmulas para expressar a regularidade observada: I. B = 2E + 3 II. B = 2 (E + 1) + 1 III. B = 3 (E + 1) − E IV. B = 3 (E − 1) + 5 Das respostas apresentadas, estão corretas APENAS (A) I e II. (B) I e III. (C) II e III. (D) I, II e III. (E) II, III e IV. Resolução Repare que: Etapa 1: 5 bolinhas Etapa 2: 7 bolinhas Etapa 3: 9 bolinhas Etapa 4: 11 bolinhas Portanto, basta verificar, dentre as opções fornecidas, aquelas que atendem a distribuição acima, sabendo-se que E é o número da etapa e B é o número de bolinhas. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 59 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior I. B = 2E + 3 Etapa 1: 5 bolinhas ⇒ E = 1 ⇒ B = 2 x 1 + 3 = 5 (ok) Etapa 2: 7 bolinhas ⇒ E = 2 ⇒ B = 2 x 2 + 3 = 7 (ok) Etapa 3: 9 bolinhas ⇒ E = 3 ⇒ B = 2 x 3 + 3 = 9 (ok) Etapa 4: 11 bolinhas ⇒ E = 4 ⇒ B = 2 x 4 + 3 = 11 (ok) II. B = 2 (E + 1) + 1 Etapa 1: 5 bolinhas ⇒ E = 1 ⇒ B = 2 x (1 + 1) + 1 = 5 (ok) Etapa 2: 7 bolinhas ⇒ E = 2 ⇒ B = 2 x (2 + 1) + 1 = 7 (ok) Etapa 3: 9 bolinhas ⇒ E = 3 ⇒ B = B = 2 x (3 + 1) + 1 = 9 (ok) Etapa 4: 11 bolinhas ⇒ E = 4 ⇒ B = 2 x (4 + 1) + 1 = 11 (ok) III. B = 3 (E + 1) − E Etapa 1: 5 bolinhas ⇒ E = 1 ⇒ B = 3 x (1 + 1) + 1 = 7 (errado) IV. B = 3 (E − 1) + 5 Etapa 1: 5 bolinhas ⇒ E = 1 ⇒ B = 2 x (1 − 1) + 5 = 5 (ok) Etapa 2: 7 bolinhas ⇒ E = 2 ⇒ B = 2 x (2 − 1) + 5 = 7 (ok) Etapa 3: 9 bolinhas ⇒ E = 3 ⇒ B = B = 2 x (3 − 1) + 5 = 9 (ok) Etapa 4: 11 bolinhas ⇒ E = 4 ⇒ B = 2 x (4 − 1) + 5 = 11 (ok) GABARITO: D 17.(Professor Adjunto-Matemática-Secretaria Municipal de Educação/SP-2004-FCC)Para representar um número natural qualquer podemos utilizar a letra n. Para representar um número natural ímpar qualquer podemos utilizar a notação 2n + 1. Sendo assim, o resultado de (2n + 1)2 sempre será, para qualquer n, um número (A) primo. (B) múltiplo de 3. (C) par. (D) ímpar. (E) divisor de 72. Resolução Se n é um número natural, 2n + 1 é um número ímpar. Veja: n=1 n=2 n=3 n=4 (...) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 2n 2n 2n 2n + + + + 1 1 1 1 = = = = 2 2 2 2 x x x x 1 2 3 4 + + + + 1 1 1 1 = = = = 3 5 7 9 (ímpar) (ímpar) (ímpar) (ímpar) E qual será o resultado de (2n + 1)2? Vamos ver: n = 1 ⇒ 2n + 1 = 2 x 1 + 1 = 3 (ímpar) (2n + 1)2 = (2n + 1) x (2n + 1) = 3 x 3 = 9 (ímpar) Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 60 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior n = 2 ⇒ 2n + 1 = 2 x 2 + 1 = 5 (ímpar) (2n + 1)2 = (2n + 1) x (2n + 1) = 5 x 5 = 25 (ímpar) n = 3 ⇒ 2n + 1 = 2 x 3 + 1 = 7 (ímpar) (2n + 1)2 = (2n + 1) x (2n + 1) = 7 x 7 = 49 (ímpar) n = 4 ⇒ 2n + 1 = 2 x 4 + 1 = 9 (ímpar) (2n + 1)2 = (2n + 1) x (2n + 1) = 9 x 9 = 81 (ímpar) (...) GABARITO: D 18.(Professor Adjunto-Matemática-Secretaria Municipal de Educação/SP-2004-FCC)Os hindus, a partir do século VI, efetuavam multiplicações por um método denominado “por quadriculagem”. Vamos mostrá-lo, multiplicando 532 por 75. Para tal, desenhamos um retângulo composto por 6 outros retângulos, dispostos em três colunas (número de algarismos de 532) e duas linhas (número de algarismos de 75). Cada retângulo, dividido pela sua diagonal, traz em cada metade um algarismo do número resultante da multiplicação do algarismo da linha pelo da coluna. A seguir, adicionam-se os algarismos compreendidos entre as diagonais, da esquerda para a direita e de cima para baixo, colocando-se os resultados no exterior do retângulo maior. Obtém-se, dessa forma, que o resultado de 532 x 75 é 39 900. O quadro seguinte, mostra a multiplicação entre dois números de dois algarismos: Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 61 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior O produto obtido nessa multiplicação é igual a (A) 1 679 (B) 1 426 (C) 689 (D) 649 (E) 619 Resolução Resolvi colocar esta questão nesta aula, pois é um bom método para multiplicar números, você não acha? O método está todo explicado na questão e pode ser, tranquilamente, utilizado. Vamos resolver a questão: No primeiro retângulo (superior esquerdo), temos: 3 x A = 06 ⇒ A= 6 = 2 (I) 3 No segundo retângulo (superior direito), temos: 3 x 3 = 09 (ok) No terceiro retângulo (inferior esquerdo), temos: B x A = C4 ⇒ B x 2 = C4 (II) No quarto retângulo (inferior direito), temos: B x 3 = 2D (III) Além disso, na diagonal de resultado 7, temos: Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 62 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 6 + 0 + D = 7 ⇒ D = 7 – 6 ⇒ D = 1 (IV) Substituindo (IV) em (III): B x 3 = 2D ⇒ B x 3 = 21 ⇒ B = Substituindo (V) em (II): B x 2 = C4 ⇒ 7 x 2 = C4 21 = 7 (V) 3 ⇒ 14 = C4 ⇒ C = 1 Calculando o resultado da multiplicação: 2 9 1 7 1 1 Logo, o resultado da multiplicação de 37 por 23 é: 1.679 GABARITO: A 19.(Professor-Matemática-Sesi-2004-FCC)Imagine todas as adições possíveis de duas parcelas distintas que podemos efetuar com os divisores de 36. Dentre as somas obtidas, algumas serão números múltiplos de 5. Os possíveis múltiplos de 5, nesse caso, são (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 Resolução Para descobrirmos todos os divisores de 36 temos que fatorá-lo: 36 18 9 3 1 2 2 3 3 Fatoração de 36 = 2 x 2 x 3 x 3 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 63 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Divisores de 36 (vamos verificar todas as combinações possíveis): 1 2 2x2=4 2x3=6 3x3=9 2 x 2 x 3 = 12 2 x 3 x 3 = 18 2 x 2 x 3 x 3 = 36 Divisores de 36 = {1, 2, 4, 6, 9, 12, 18, 36} Agora precisamos fazer todas as adições de duas parcelas distintas possíveis dos divisores de 36 e verificar quais dessas adições terão resultado múltiplo de 5. Lembre que o múltiplos de 5 terminam em 5 ou 0. 1 + 2 = 3 (não é múltiplo de 5) 1 + 4 = 5 (múltilplo de 5) 1 + 6 = 7 (não é múltiplo de 5) 1 + 9 = 10 (múltiplo de 5) 1 + 12 = 13 (não é múltiplo de 5) 1 + 18 = 19 (não é múltiplo de 5) 1 + 36 = 37 (não é múltiplo de 5) 2 + 4 = 6 (não é múltiplo de 5) 2 + 6 = 8 (não é múltiplo de 5) 2 + 9 = 11 (não é múltiplo de 5) 2 + 12 = 14 (não é múltiplo de 5) 2 + 18 = 20 (é múltiplo de 5) 2 + 36 = 38 (não é múltiplo de 5) 4 + 6 = 10 (é múltiplo de 5) 4 + 9 = 13 (não é múltiplo de 5) 4 + 12 = 16 (não é múltiplo de 5) 4 + 18 = 22 (não é múltiplo de 5) 4 + 36 = 40 (é múltiplo de 5) 6 + 9 = 15 (é múltiplo de 5) 6 + 12 = 18 (não é múltiplo de 5) 6 + 18 = 24 (não é múltiplo de 5) 6 + 36 = 42 (não é múltiplo de 5) 9 + 12 = 21 (não é múltiplo de 5) 9 + 18 = 27 (não é múltiplo de 5) 9 + 36 = 45 (é múltiplo de 5) 12 + 18 = 30 (é múltiplo de 5) 12 + 36 = 48 (não é múltiplo de 5) 18 + 36 = 54 (não é múltiplo de 5) Bom, achei 8 múltiplos de 5 e não 7, como o gabarito da questão. GABARITO: E Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 64 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 20.(Professor-Matemática-Sesi-2004-FCC)A soma de dois números inteiros é 924. Juntando 78 a cada um dos números, um dos resultados fica o dobro do outro. O menor desses números é (A) 78 (B) 156 (C) 231 (D) 282 (E) 308 Resolução Vamos entender a questão: Soma de dois números (vamos chamar de X e Y) é 924. Portanto: X + Y = 924 (I) Juntando 78 a cada um dos números, um dos resultados fica o dobro do outro. O que seria isso? Juntando 78? Na verdade o “juntando” da banca quer dizer “somando”. Nesse caso, teríamos:: X + 78 = 2 x (Y + 78) ⇒ X = 2Y + 2 x 78 – 78 ⇒ X = 2Y + 78 (II) Substituindo (II) em (I): X + Y = 924 ⇒ 2Y + 78 + Y = 924 ⇒ 3Y = 924 – 78 ⇒ 3Y = 846 ⇒ 846 ⇒ Y = 282 3 X = 2Y + 78 ⇒ X = 2 x 282 + 78 ⇒ X = 564 + 78 ⇒ X = 642 ⇒ Y= Portanto, o menor número é Y = 282. GABARITO: D Abraços e até a próxima aula, Bons estudos, Moraes Junior [email protected] Alexandre Lima [email protected] Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 65 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Bibliografia ALENCAR FILHO, Edgard de, Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo. Nobel, 2002. ANDRADE, Nonato de, Raciocínio Lógico para Concursos. Rio de Janeiro. Ed. Ferreira, 2008. ATENFELDER, Sérgio, Matemática Financeira para todos os concursos: com todas as questões comentadas. Rio de Janeiro. Elsevier, 2007. BARROS, Dimas Monteiro de, Raciocínio lógico, matemático e quantitativo. São Paulo. Novas Conquistas, 2001. BARROS, Dimas Monteiro de, Lógica para concursos. Araçatuba. São Paulo. Novas Conquistas, 2005. BARROS, Dimas Monteiro de, Enigmas, desafios, paradoxos e outros divertimentos lógicos e matemáticos. Araçatuba. São Paulo. Editora MB, 2009. CARVALHO FILHO, Sérgio de, Estatística Básica para concursos: teoria e 150 questões. Niterói/RJ. Impetus, 2004. CESAR, Benjamim, Matemática Financeira: teoria e 640 questões. 5a Edição. Rio de Janeiro. Impetus, 2004. DEWDNEY, A. K., 20.000 Léguas Matemáticas: um passeio pelo misterioso mundo dos números. Tradução: Vera Ribeiro; Revisão: Vitor Tinoco. Rio de Janeiro. Jorge Zahar Ed., 2000. DOLCE, Osvaldo, Fundamentos da Matemática Elementar. 9: Geometria Plana/ Dolce Osvaldo, José Nicolau Pompeo. 8a Edição. São Paulo. Atual, 2005. DOXIADIS, Apóstolos, Tio Petros e a conjectura de Goldbach: um romance sobre os desafios da Matemática. Tradução: Cristiane Gomes de Riba. São Paulo. Ed. 34, 2001. DOWNING, Douglas, Estatística Aplicada/Douglas Downing, Jeffrey Clark. Tradução: Alfredo Alves de Faria. 2a Edição. São Paulo. Saraiva, 2006. GUEDJ, Denis, O teorema do papagaio. Tradução: Eduardo Brandão. São Paulo. Companhia das Letras, 1999. IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 1: Conjuntos, Funções/ Gelson Iezzi, Carlos Murakami. 8a Edição. São Paulo. Atual, 2004. IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 3: Trigonometria/ Gelson Iezzi. 8a Edição. São Paulo. Atual, 2004. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 66 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 4: Seqüências, Matrizes, Determinantes, Sistemas/Gelson Iezzi, Samuel Hazzan. 7a Edição. São Paulo. Atual, 2004. IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 6: Complexos, Polinômios, Equações/Gelson Iezzi. 7a Edição. São Paulo. Atual, 2004. IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 11: Matemática Comercial, Matemática Financeira, Estatística Descritiva/Gelson Iezzi, Samuel Hazzan, David Mauro Degenszajn. 1a Edição. São Paulo. Atual, 2004. MORGADO, Augusto César, Raciocínio Lógico-Quantitativo: teoria, questões resolvidas, questões de concursos e mais de 850 questões/Augusto César Morgado, Benjamim César de Azevedo Costa. 4a Edição. Rio de Janeiro. Elsevier, 2009. NORBIM, Fernando Dalvi, Raciocínio Lógico Descomplicado: Mais de 400 questões resolvidas, comentadas e com gabarito oficial. Rio de Janeiro. Editora Ciência Moderna Ltda, 2009. ROCHA, Enrique, Raciocínio Lógico: você consegue aprender. Rio de Janeiro. Elsevier, 2005. SINGH, Simon, O Último Teorema de Fermat: a história do enigma que confundiu as maiores mentes do mundo durante 358 anos. Tradução: Jorge Luiz Calife; 7a Edição. Rio de Janeiro. Record, 2000. SINGH, Simon, O livro dos códigos. Tradução: Jorge Luiz Calife; 7a Edição. Rio de Janeiro. Record, 2001. STEWART, Ian, Será que Deus joga dados? Tradução: Maria Luiza X. de A. Borges; Revisão: Ildeu de Castro Moreira. Rio de Janeiro. Jorge Zahar Ed., 1991. 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