Tábua de Pitágoras e a obtenção dos divisores de um número
Professora Ms.Gabriela dos Santos Barbosa, UERJ e FIC
Resumo
Trata-se da apresentação dos dados obtidos quando observamos alunos da 5a
Série do Ensino Fundamental utilizando a Tábua de Pitágoras para obter os divisores de
alguns números. Esta atividade integra uma seqüência mais ampla que visa à construção
de novos significados acerca da decomposição de um número em fatores primos por
parte dos alunos. A seqüência foi elaborada e analisada segundo os princípios da Teoria
dos Campos Conceituais, de Vergnaud (1990).
Palavras-chave: situação, representação, múltiplo, divisor.
Introdução
O estudo da teoria dos números (a saber: números primos, fatoração, m.d.c. e
m.m.c. etc.) não tem sido enfatizado no Ensino Fundamental. Embora ocorra,
observamos nos livros didáticos, um tratamento mecanizado, a partir de exercícios
repetitivos e problemas idealizados. Em outras palavras, todas as possibilidades de
abordagem dos conceitos ligados à teoria dos números são reduzidas ao ensino de
algoritmos.
A obtenção e a utilização da fatoração de um número pode contribuir para que
os alunos desenvolvam habilidades de cálculo mental e de resolução de problemas que
envolvem multiplicação e divisão. Entretanto, ocorrendo da maneira descrita acima, não
permite que o aluno desenvolva sua criatividade e, muito menos, aplique e reflita sobre
seus conhecimentos ligados à teoria dos números.
Diante deste quadro, intrigou-nos as seguintes questões: Que atividades
favorecem uma aprendizagem significativa dos números primos e da fatoração de um
número – uma vez que estes são conceitos centrais na teoria dos números? Que
estratégias os alunos usam para enfrentar situações ligadas a estes conceitos? Quais são
os erros mais comuns cometidos por eles?
Na busca das respostas, elaboramos uma seqüência de atividades. Elas foram
aplicadas no 1o semestre de 2006 numa turma de 5a série de uma escola particular e
verificou-se uma mudança na conduta dos alunos não só no que diz respeito ao cálculo
mental, como também à resolução de problemas.
Tais atividades foram elaboradas e analisadas à luz da Teoria dos Campos
Conceituais de Vergnaud (1990). Segundo esta teoria um conceito pode ser
compreendido da seguinte maneira:
“C = (S, I, R) onde: S é um conjunto de situações que dão sentido ao conceito; I é um
conjunto de invariantes (objetos, propriedades e relações) sobre os quais repousa a
operacionalidade do conceito, ou o conjunto de invariantes operatórios associados ao conceito,
ou o conjunto de invariantes que podem ser reconhecidos e usados pelos sujeitos para analisar e
dominar as situações do primeiro conjunto; R é um conjunto de representações simbólicas
(linguagem natural, gráficos e diagramas, sentenças formais, etc.) que podem ser usadas para
indicar e representar esses invariantes e, conseqüentemente, representar as situações e os
procedimentos para lidar com elas. (...) O primeiro conjunto – de situações – é o referente do
conceito, o segundo – de invariantes operatórios – é o significado do conceito, enquanto o
terceiro – de representações simbólicas – é o significante.” (p.140)
Assim a idéia central, presente em cada atividade é de que ensinar uma operação
é, na verdade, ensinar o campo conceitual relativo àquela operação e campo conceitual,
por sua vez, é um conjunto informal e heterogêneo de problemas, situações, conceitos,
relações, estruturas, conteúdos e operações de pensamento, conectados uns aos outros e,
provavelmente, entrelaçados durante o processo de aquisição. Vamos aqui apresentar
apenas os dados obtidos na realização da terceira atividade desta seqüência: a utilização
da Tábua de Pitágoras.
Atividades de reconhecimento dos divisores de um número
Como já dissemos, nossa pesquisa consiste numa ampla seqüência de atividades
que visa à construção de novos significados acerca da decomposição de um número em
fatores primos por parte dos alunos. Iniciamos a seqüência com o jogo dos restos1. Nele
os alunos conceituaram múltiplo e fator de um número a partir das distribuições de resto
zero, reconheceram, na análise da situação, que, se um número é múltiplo de outro,
então este último é divisor do primeiro e utilizaram o simbolismo associado aos
conceitos de múltiplo e divisor de um número. Dando continuidade, neste segundo
grupo de atividades, a discussão acerca da obtenção dos divisores de um número se
intensificou e os aluno puderam confrontar os conceitos de números primos e números
1
A descrição e a análise dos dados obtidos no jogo dos restos se encontram nos anais da VIII Reunião de
Didática da Matemática do Cone Sul.
compostos. Foram duas atividades: a construção de retângulos2 e a tábua de
Pitágoras. Vamos descrever e analisar os dados obtidos na segunda.
Apresentação da Tábua de Pitágoras
A tábua de Pitágoras é uma tabela de dupla entrada 11 x 11 cujas células da
primeira coluna são preenchidas a partir da segunda linha com os números naturais de 1
a 10 e cujas células da primeira linha são preenchidas a partir da segunda coluna com os
números naturais de 1 a 10. As demais células amn são preenchidas pelo produto de (m –
1) por (n – 1) com 2 ≤ m, n ≤ 11. A figura abaixo corresponde a uma Tábua de Pitágoras
já preenchida:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Objetivos da atividade
Por meio desta atividade pretende-se criar condições que favoreçam ao aluno:
- Memorizar o repertório multiplicativo de cada base.
- decompor um inteiro como produto de dois números.
- Tomar consciência de que um número pode ser múltiplo/divisor de muitos outros.
- Identificar os divisores de um número.
- Explicitar a relação multiplicação/divisão. Para cada multiplicação inferir duas
divisões.
Material usado
2
A descrição e a análise dos dados obtidos na construção de retângulos se encontram nos anais do IX
ENEM.
- Uma folha de papel com o desenho da tábua para cada aluno.
- Uma grande tábua para ser preenchida coletivamente.
- Giz de cera colorido.
Descrição da atividade
Realizamos esta atividade em duas etapas. A primeira consistiu em preencher e
pintar partes da tábua e a segunda consistiu em refletir sobre o que foi pintado. Pedimos
aos alunos que preenchessem a linha e a coluna do 2, que chamamos de tábua do 2 e,
em seguida, pintassem-nas de azul. Solicitamos o mesmo trabalho com as tábuas do 5 e
do 8 cujos termos foram coloridos, respectivamente , de amarelo e de vermelho.
Finalmente pedimos que completassem as demais tábuas.
Já, na segunda etapa, colocamos as seguintes questões para que os alunos
tentassem responder em dupla ou individualmente:
- Por que são aqueles números que estão na tábua de 2?
- Como podemos obter um número da tábua de 2 conhecendo o seu antecessor? E se
conhecêssemos apenas o seu sucessor?
- Os números que estão na tábua de 2 são pares ou ímpares? Se prolongássemos a tábua
apareceria algum número ímpar? Por quê?
- Há números que também pertencem à tábua do 5?
- Se
prolongássemos a
tábua,
que
outros
números também
pertenceriam
simultaneamente à tabua do 2 e do 5?
- Quais os números da tábua de 4 que já foram escritos na tábua do 2?
- Quais os números da tábua de 2 que foram escritos na tábua do 4? E quais não foram
escritos?
- Quais os números da tábua de 8 que já foram escritos na tábua do 4?
- Quais os números da tábua de 4 que foram escritos na tábua do 8? E quais não foram
escritos?
- Quais os números da tábua de 8 que já foram escritos na tábua do 2?
- Quais os números da tábua de 2 que foram escritos na tábua do 8? E quais não foram
escritos?
- Quais números pertenciam simultaneamente às tábuas de 2 e 4?
- Os números da tábua de 10 pertenciam simultaneamente a que tábuas?
Análise da atividade
Destacamos, na primeira etapa, alguns aspectos interessantes. A representação
escrita dos termos foi feita de duas maneiras diferentes. Houve aqueles alunos que
apenas colocavam o número e houve aqueles que escreveram uma igualdade
matemática. Por exemplo, o termo correspondente à linha do 2 e à coluna do 3 foi
representado por alguns alunos apenas pelo número 6 e, por outros alunos, pela
igualdade 2 x 3 = 6.
Além destas diferentes representações, identificamos duas estratégias distintas
para obtenção dos números, que são:
a) Demonstraram já ter internalizado as tabuadas e obtinham imediatamente os números
adequados ao preenchimento;
b) Adicionavam o número da tábua ao termo anterior para obter o termo seguinte;
Passando à segunda etapa, a reflexão sobre a tábua permitiu que abordássemos
as seguintes propriedades:
1) A seqüência dos múltiplos consecutivos de um número é uma progressão
aritmética cuja razão é este número.
O preenchimento das tábuas contribuiu bastante para que os alunos concluíssem
esta propriedade. Além disso, pedíamos que falassem em voz alta os termos
consecutivos que compõem cada tábua, o que impediu a construção da equivocada idéia
de que a seqüência dos múltiplos de um número é finita. “Cantando os números”, como
costumavam chamar este momento, os alunos percebiam a lei de formação da seqüência
e, na maioria das vezes, ultrapassavam os limites da tabela.
Outra evidência de que haviam identificado uma progressão aritmética na
seqüência dos números que compõem cada tábua, pode ser percebida numa das
estratégias usadas para preencher a tábua. Eles demonstraram saber que, conhecendo o
termo anterior, basta adicionar a ele a razão para obtermos o termo seguinte. Ou, para
obtermos o termo anterior, basta subtrairmos a razão do termo seguinte.
2) Para cada coluna, obtêm-se três igualdades matemáticas
Como mencionamos, alguns alunos escreviam em cada célula a igualdade
matemática correspondente. Estas escritas nos serviram como ponto de partida para a
reflexão sobre a obtenção de outras igualdades. Desejávamos que, observado, por
exemplo, a igualdade 2 x 3 = 6, os alunos escrevessem 6 : 3 = 2 e 6 : 2 = 3. Ou ainda,
observando a igualdade 6 : 2 = 3, escrevessem 2 x 3 = 6 e 6 : 3 = 2.
Nas discussões, eles concluíram que era necessário “percorrer um caminho” (linha e
coluna) para localizar a célula. Concluíram também que este caminho fornece os
números que compõem o primeiro membro da igualdade matemática que escreviam na
célula.
Como tivemos dificuldades para discernir os alunos que acertavam compreendendo
a estrutura matemática em questão daqueles que acertavam sem uma compreensão clara
dos procedimentos que adotavam, oferecemos uma igualdade envolvendo quociente e
pedimos que escrevessem outras duas – uma com produto e outra com quociente.
Percebemos que os alunos haviam criado uma representação para 2 x 3, outra
representação para 3 x 2 e reconheciam a comutatividade da multiplicação. Além disso,
o fato de identificar as duas possíveis células que teriam “gerado” a igualdade que
propomos (6 : 3 = 2) nos sugeriu alguma compreensão da estrutura multiplicativa e não
apenas um conhecimento superficial fundamentado na posição que os números
ocupavam na igualdade.
Outro aspecto abordado com base nas igualdades matemáticas foi o uso das
expressões múltiplo, fator ou divisor. Tentamos promover o uso adequado destes
termos. Entretanto, quando pensávamos que os alunos dominavam a nomenclatura,
éramos surpreendidas por algum equívoco que cometiam. Podemos afirmar que ainda
não foi nesta atividade que as dificuldades relativas ao uso da nomenclatura foram
superadas. O que é mais curioso é que tais equívocos não constituíram obstáculos para
que identificassem os fatores de um número. Mesmo usando, em alguns momentos, a
nomenclatura inadequadamente, os alunos reconheciam que, para cada número que
escolhessem, há um conjunto formado por números que o dividem de forma exata. E,
assim, passaram à obtenção de todos os fatores de alguns números. O procedimento
adotado que adotaram pode ser sintetizado nos seguintes passos:
1º passo: Localizar na tábua todas as células em que o número cujos fatores se deseja
obter aparece.
2º passo: Percorrer o “caminho” de cada célula, isto é, identificar os números de sua
linha e de sua coluna. Estes números são alguns dos fatores do número.
3º passo: Acrescentar aos fatores identificados acima o 1 e o próprio número.
Verificamos, porém, que, com estes passos, a possibilidade de obtenção de todos
os fatores do número em questão é bastante reduzida. Isto porque nem todos os produtos
se encontram na tabela 10 por 10. Por exemplo, seguindo os passos para obter os fatores
de 30, os alunos encontravam 1, 3, 5, 6, 10 e 30. Não incluíam o 2 e o 15, porque o
produto 2 x 15 não consta na tabela 10 por 10. Era preciso que ficassem atentos às
necessidades de ampliar a tabela. E isto até já estava se concretizando. As questões que
se levantavam eram: que critérios deviam adotar para reconhecer a necessidade de
expandir a tabela? Como decidir até que tamanho era necessário expandi-la?
Assim, concluímos que esta atividade em muito havia contribuído para que os alunos
admitissem que a todo número inteiro está associado um conjunto que contém todos os
seus fatores, porém ela não lhes assegurava a obtenção de todos os elementos deste
conjunto. Tal conclusão nos levou a aprofundar as discussões acerca de critérios de
divisibilidade.
3) A discussão de alguns critérios de divisibilidade
A observação de regularidades no preenchimento da tábua criou condições para que
os alunos enunciassem critérios de divisibilidade por 2, 5 e 10. Iniciamos pelo critério
de divisibilidade por 2 e concluímos o tanto que os aspectos da estrutura aditiva
influenciam diretamente a construção de conceitos ligados ao campo multiplicativo.
Mesmo sem enunciar formalmente, alguns alunos ainda utilizaram resultados mais
sofisticados como a soma de números pares é sempre um número par e a soma de um
número par com um número ímpar é sempre um número ímpar.
Em seguida, priorizando o critério de divisibilidade por 5, solicitamos aos alunos
que nos ajudassem a acabar de completar a tábua do 5 na tabela que havíamos colocado
no quadro. Há dois aspectos importantes que não podemos deixar de mencionar. O
primeiro corresponde à tentativa de alguns alunos de identificar na situação que estava
sendo discutida (números usados para preencher a tábua do 5) princípios que utilizam
em outras situações (leitura das horas num relógio). Em outras palavras, eles
aproximaram a situação que estavam vivendo de outra que já dominam plenamente. O
outro aspecto diz respeito ao enunciado do critério de divisibilidade por 5.
Diferentemente da discussão acerca do critério de divisibilidade por 2, neste caso, além
da reflexão tendo por base a seqüência dos múltiplos de 5, os alunos tentaram formular
verbalmente o critério de uma maneira mais formal e desprezaram os exemplos
numéricos.
Mas o fato que mais chamou nossa atenção foi a tentativa de alguns alunos de
formular critérios de divisibilidade por outros números diferentes de 2 e de 5. Eles
tentavam aplicar o procedimento de observar apenas o algarismo das unidades do
número para decidir sobre sua divisibilidade. A fim de criarmos condições para que
revissem este pensamento, propomo-lhes alguns contra-exemplos. Pedimos que
verificassem se os números 10, 13, 16 e 19 são divisíveis por 3. Realmente, por meio
dos contra-exemplos, muitos alunos conseguiram perceber que não é possível estender
para a divisibilidade por 3 o procedimento de observar o algarismo das unidades do
número, procedimento próprio dos critérios de divisibilidade por 2 e por 5. Entretanto,
os contra-exemplos não foram suficientes para que eles deduzissem o critério de
divisibilidade por 3.
Embora alguns tenham demonstrado interesse por outros critérios de divisibilidade,
julgamos que aprofundar esta discussão nos faria fugir dos objetivos centrais desta
pesquisa e conduzimos a discussão para a descoberta de múltiplos comuns ao 2 e ao 5.
Este foi o momento mais crítico. A tábua de Pitágoras se revelou um meio útil para que
os alunos percebessem que um número pode ser múltiplo de muitos outros, mas a
observação das cores os conduzia a desconsiderar os vários múltiplos comuns de dois
números. Por exemplo, alguns alunos identificaram como múltiplo de 2 e de 5 aquele
número que ficou pintado de verde. Desse modo, consideraram apenas o 10 e
desprezaram outros como 20, 30, 40 etc. Retomando o diálogo, procuramos dar ênfase
aos critérios de divisibilidade por 2 e por 5. Observando novamente a tabela, todos
puderam concluir que, além do 10, havia números que são múltiplos de 2 e de 5 que não
estavam pintados de verde. Chamaram este fato de Perigo da Tabela. Indagados sobre o
porquê deste nome, responderam: “Porque a gente fica pensando que só o 10 que serve
porque ele está verde, mas tem muito mais. A última linha toda!”
4) Se a é múltiplo de b, todo múltiplo de a será múltiplo de b, mas nem todo
múltiplo de b será múltiplo de a.
Dando seqüência, partimos para a reflexão sobre múltiplos comuns de 2 e de 8.
Distinguimos três ações diferentes adotadas pelos alunos para identificar os números
que são múltiplos comuns a 2 e a 8:
a) Simplesmente observar a tábua do 2 e a tábua do 8, buscando os números que
constam nas duas tábuas.
b) Testar a divisibilidade por 2 e por 8 de todos os números da tabela.
c) Verificar entre os múltiplos de 8 aqueles que são pares.
As três ações, entretanto, conduziram a resultados diferentes. Enquanto os
alunos que executaram a primeira encontraram apenas o 8 e o 16, aqueles que
executaram a segunda e a terceira concluíram que todos os números da tábua do 8 são
múltiplos de 2.
Pensamos inicialmente que, diante dos resultados, pelo menos, estes últimos
pudessem já ter concluído por conta própria que todo múltiplo de 8 é múltiplo de 2, pois
o 8 é múltiplo de 2, o que não aconteceu. Os alunos repetiam o procedimento adotado
na identificação dos múltiplos comuns a 2 e a 5 e não se referiam ao fato de o 8 ser
múltiplo de 2. Isto aconteceu somente quando propusemos questões semelhantes,
envolvendo o par 2 e 4.
Finalmente, questionávamos se conseguiriam estender este raciocínio a outros
pares de números, como, por exemplo, 3 e 9 ou 3 e 12. Conseguiriam perceber que todo
múltiplo de 9 é múltiplo de 3 e que todo múltiplo de 12 é múltiplo de 3? Ou só
conseguiam refletir acerca da divisibilidade por 2?
Mas os alunos estenderam o raciocínio apenas ao par 3 e 9. Numa análise de
suas colocações, concluímos que os fatos de 9 ser o quadrado de 3 e de o único fator
positivo de 9, diferente dos triviais, ser o 3 foram fundamentais para tal procedimento.
Suas respostas sugerem que estenderam indevidamente para a estrutura multiplicativa a
propriedade da estrutura aditiva que garante que a soma de números divisíveis por certo
número também é divisível por ele. Além disso, o fato de não haver registro da tábua do
12 e, portanto, os alunos não poderem observar a seqüência dos seus múltiplos, suas
regularidades e características, prejudicou suas possibilidades de conjecturar acerca do
par 3 e 12.
Considerações Finais
Como foi visto, em todas as etapas da atividade, os alunos produziram
significados para os conceitos de múltiplo, divisor e suas propriedades tendo como
suporte a tábua de Pitágoras. O conhecimento destas condições nos fez questionar o seu
alcance e a veracidade dos dados obtidos: Os objetivos foram realmente contemplados?
Os alunos conseguiriam generalizar as propriedades dos múltiplos e divisores de um
número que deduziram a partir da observação da tábua? Nesse sentido, a análise das
transcrições dos diálogos e a observação das filmagens da atividade nos permitiram
concluir que apenas parte da turma iniciava o processo de abstração e, devido ao fato de
este ainda não estar completo, muitas vezes, os alunos voltavam a observar a tábua.
Decidimos, então, realizar a atividade de construção de retângulos com unidades
quadradas, o que nos permitiu retomar o assunto com os alunos e favorecer-lhes mais
alguns passos no caminho da abstração das idéias matemáticas ligadas às propriedades
das relações “múltiplo de” e “divisor de” que se estabelecem entre pares de números.
Referências Bibliográficas
Franchi, A. (1995). Compreensão das situações multiplicativas elementares. Tese de
doutorado. PUC-SP.
Franchi, A. (1999). Considerações sobre a teoria dos campos conceituais. In Alcântara
Machado, S.D. et al. (1999). Educação Matemática: uma introdução. São Paulo. EDUC.
pp. 155-195.
Moreira, M.A. e Sousa, C.M.S.G. (2002). Dificuldades de alunos de Física Geral com o
conceito de potencial elétrico. Projeto de pesquisa em andamento.
Vergnaud. G. (1990). La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des
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