4a Lista de Álgebra I
1. A que número entre 0 e 6 é congruente módulo 7 o produto 11.18.2322.13.19.
2. A que número entre 0 e 3 é congruente módulo 4 a soma 1 + 2 + 22 + 23 + · · · + 219 .
3. Utilizando congruência determine os critérios de divisibilidade por 3, 4, 5, 7, 8 e
11.
4. Mostre que n2 ≡ 1 (mod 4) se n é ı́mpar e n2 ≡ 0 (mod 4) se n é par.
5. A equação x2 ≡ 3 (mod4) possui solução x ∈ Z?
6. Mostre que n13 ≡ n (mod 2730).
7. Determinar o resto das divisões de 250 por 7, 4165 por 7 e 15 + 25 + 35 + · · · + 1005
por 4.
8. Usar congruência para verificar que: 89|(244 − 1),
97|(248 − 1) e 23|(211 − 1).
9. Seja a ∈ Z. Prove que:
a) a21 ≡ a (mod 15).
b) a7 ≡ a (mod 42).
c) a37 ≡ a (mod 1729).
d) a79 ≡ a (mod 158).
10. Resolva os sistemas de congruências lineares:
a) x ≡ 1 (mod 3), x ≡ 2 (mod 5), x ≡ 3 (mod 7).
b) x ≡ 5 (mod 6), x ≡ 4 (mod 11), x ≡ 3 (mod 7).
11. Determinar o menor inteiro a ≥ 100 tal que 2|a, 3|(a + 1), 4|(a + 2) e 5|(a + 3).
12. Mostrar que o sistema de congruências x ≡ 5 (mod 6) e x ≡ 7 (mod 15) não tem
solução.
13. Se de uma cesta com ovos retiramos duas unidades por vez sobra um ovo. O
mesmo acontece se os ovos são retirados 3 a 3, 4 a 4, 5 a 5 ou 6 a 6. Mas não
resta nenhm ovo se retirarmos 7 unidades por vez. Encontrar o menor número
possı́vel de ovos.
14. Mostre que n17 − n é divisı́vel por 510 para todo n natural.
15. Sejam a e b inteiros, prove que se ap ≡ bp (mod p) então a ≡ b (mod p).
16. Sejam p e q primos distintos ı́mpares tais que (p − 1)|(q − 1). Se o mdc(a, pq)=1,
prove que aq−1 ≡ 1 (mod pq).
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