GABARITO COMENTADO MATEMÁTICA – SIMULADO EDUCON
ENEM 2012
Questão 46. D
Divide o círculo em 6 partes iguais
Custo = C/6.
Questão 47. D
R + 2R = 1m
5R = 100 cm
R = 20 cm
= 3.(200).100 = 60000cm3
M = 60000.(0,9) = 54000g = 54 kg
Questão 48 C
Teorema de Pitágoras no triângulo AED: AD = 9 + 16  AD = 5
2
AB é a altura relativa à hipotenusa: AB.ED = AE.AD  5.AB = 3.4  AB = 2,4 m
Questão 49 A
1
3
0,333... =
;
9
1
2 =
;
2
-1
16 4
 16  2
2 1
 9  = 9 = 3 ; 0,5 = ;
4
 
1 1 4
1 2
 .

3
2
3
3
3  1  1

A expressão fica:
1
1
4 4
1 1
 1 

4 2
 4 


 
Questão 50 A
 
22
410
10
A metade de 4 é:

2
2
10

220
 219 .
2
Questão 51. C
5
x = 3200000 = 32 . 10
-5
y = 0,00002 = 2 . 10
5
-5
0
x . y = 32 . 10 . 2 . 10 = 64 . 10 = 64
Questão 52 E
2
2
2
2
2
2
(a + b) - (a - b) = a + 2a.b + b – a + 2.a.b –b = 4.a.b
Questão 53. D
84 km/h..............5 h/d............12 dias
105 km/h...........3 h/d.............X
velocidade e dias são inversamente proporcionais
horas por dia e dias são inversamente proporcionais
12/X = 105/84 * 3/5
105 : 5 = 21: 7 = 3
84 : 3 = 28 : 7 = 4
12/X = 3/4
12/X = 3/4
12 * 4 = 48
X = 48/3 -> 16
Questão 54 B
x + 2 + y + x = x+2 + x+3 + x+ 4
y = x + 7
a+ x+3 + b = x + b + x + 4  a = 2x + 4 –x -3
 a = x+1
x+2 + a + 16 = x+2 + x+ 3 + x+ 4  a = 3x + 9 –x – 18
Logo: 2x -9 = x+ 1
 a = 2x – 9
 x = 10.
O valor de y é: y = x + 7 = 10 + 7  y = 17.
Questão 55 C
1,05 . 1,04 . 1,1 = 1,2012 -> 20,12%
Questão 56 D
y = a . (x – 0) . (x – 6)
9 = a . 3 . (-3) ∴ a = -1
2
y = -1 . (x – 6x)
p/x = 3 -> y = 9
2
∴
y = -x + 6x
a = -1 ; b = 6 ; c = 0
Questão 57 D
V(0) = 720
*144ª = -720
V(12) = 0
a = -5
2
-> V(0) = a . 6 + b = 720
2
-> V(t) = -5t + 720
2
V(12) = a . 12 + b = 0*
2
V(10) = -5 . 10 + 720 = 220
Questão 58 B
x
x
x
y
3x + y = 180 -> y = 180 – 3x *
A=x.y
A = x . (180 – 3x)
x=
−180
2(−3)
2
A = 180x – 3x
* y = 180 – 3 . 30
= 30
∴
y = 90
Questão 59 A
2
m<0 ∆≤0
8m ≤ -16
m ≤ -2
mx – 4x – 2 = 0
* 16 + 8m ≤ 0
m<0
Questão 60 E
f ( f(2) )
f(2) = -3
f(-3) = 1
Logo: = f(-3)
=1
Questão 61 B
30º 01’ 59”
0º 2’ 20”
30º 3’ 79”
30 . 60 . 60 + 3. 60 + 19 = 108.199” -> 30º 4’ 19”
segundos
30 . 60 . 60
perímetro
2𝜋 . 6375
108199
x
360 . 60 . 60 . x = 2𝜋 . 6375 . 108199
Questão 62 A
5x = 140 -> x = 28
3x + y = 180 -> y = 96
->
x ≈ 3342
2
(-4) – 4 . m(-2) ≤ 0 *
Questão 63 E
Homens
Mulheres
total
maiores
0,60x
0,25x
0,85x
menores
0,12x
0,03x
0,15x
total
0,72x
0,28x
X
Logo:
0,03𝑥
0,15𝑥
= 0,20 = 20%
Questão 64 B
80% das mulheres não jogam xadrez; logo, 20% das mulheres jogam xadrez; se 20% dos homens jogam
xadrez, então 20% de todo o grupo jogam xadrez.
Como foi dito que 14 pessoas jogam xadrez, então:
20% → 14
100% → x
portanto x = 70
Questão 65 D
Com os dados do problema podemos construir a figura abaixo, onde D é o ponto procurado e h
altura do prédio:
a
Consideramos o ∆ DBC; pelo teorema do ângulo externo: 60º = 30º + ∝ portanto ∝ = 30º e o ∆ DBC é
isósceles, logo 𝐷𝐵 + 𝐵𝐶 .
O ∆ BAC é retângulo; então: cos 60º =
𝐴𝐵
𝐵𝐶
∴
1
2
=
𝐴𝐵
𝐵𝐶
∴ 𝐵𝐶 = 2𝐴𝐵 = 2 X 90 = 180
Então 𝐷𝐵 = 180 e 𝐷𝐴 = 𝐷𝐵 + 𝐴𝐵 = 180 + 90 = 270
Questão 66 B
Construamos a figura onde:
A
B
0,7x
x
O = 25km
X
Ax: trecho em descida (de A para B)
XY : trecho plano
YB: trecho em subida
Y
Pelos dados do problema e pela figura, sendo BY > XÁ, o ciclista demora mais tempo para ir de A para
B do que para ir de B para A.
Tempo para ir de A para B: 𝑡𝐴𝐵
Tempo de ir de B para A: 𝑡𝐵𝐴
Então 𝑡𝐴𝐵 =
𝑡𝐵𝐴 + 48(min)
𝑡𝐴𝐵 = 𝑡𝐵𝐴 +
ou
4
5
(h) (I)
Com as velocidades dadas podemos fazer:
𝑡𝐴𝐵 =
0,7𝑥
30
𝑋𝑌
+
𝑥
+ 15
25
𝑥
𝑡𝐵𝐴 = 30 +
e
𝑋𝑌
25
+
0,7𝑥
15
Substituindo esses valores na equação (I)
0,7𝑥
30
+
𝑋𝑌
25
𝑥
𝑥
+ 15 =
30
𝑋𝑌
+
25
+
0,7𝑥
15
4
+5
∴ 0,7x + 2x = x + 1,4x + 24 ∴ 0,3x = 24 ∴ x = 80
Então: Ax = 56 km, YB = 80 e XY = 156 – (56 + 80) = 20
Questão 67 C
Chamando de E a expressão a ser simplificada:
E = 2 3 + 2 12 – 2 75 ; fatorando 12 e 75 em fatores primos temos:
E = 2 3 + 2 22 𝑋 3 – 2 3 𝑋 5 2
ou
E = 2 3 + 4 3 – 10 3 = - 4 3
Questão 68 C
2
2
2
A expressão a + b + 2ab – 4c pode ser reescrita como uma diferença de quadrados ou seja:
2
2
2
2
2
a + b + 2ab – 4c = (a + b) – 4c = (𝑎 + 𝑏 + 2𝑐) (a + b – 2c) = 35
5
7
Questão 69 E
O Bufê oferece 7 opções das quais 3 (alface, cebola e tomate) sempre devem constar das saladas. Como
a salada deve conter 5 componentes, restam 2, que serão escolhidos entre os 4 componentes restantes:
agrião, pepino, beterraba e cenoura.
Trata-se de um problema de combinação:
𝐶4,2 =
4!
2!2!
=
4𝑋3𝑋2
2𝑋2
= 6 ∴ há 6 opções de saladas.
Questão 70 B
Se à vista o produto custa R$ 700,00 e esse valor contém um desconto de 30% sobre o preço de tabela,
então o preço de tabela é:
700,00
1−0,3
= 1.000,00
Como na compra com cartão há um acréscimo de 10% sobre o preço de tabela, então esse valor será:
1.000,00 X 1,1 = 1.100,00
Questão 71 A
Consideremos que a cartolina quadrada tem lado medindo 2ª ; pelo enunciado podemos construir a
figura:
MD é a linha de dobra onde M é o ponto médio de 𝐵𝐶
Após a dobra o ponto C ocupará a posição C’
Polígono P resultante: BMDA
Chamemos de 𝑆𝑝 = área do polígono P
𝑆𝑄 = área do quadrado ABCD
𝑆𝑇 = área do triangulo MC’D
2
2
2
Então 𝑆𝑝 = 𝑆𝑄 – 𝑆𝑇 = 4ª – a = 3ª
Chamemos agora de 𝑆𝐵 a área branca visível da cartolina após a dobra; pela figura temos:
2
2
2
𝑆𝐵 = 𝑆𝑝 – 𝑆𝑇 = 3ª – a = 2ª
Logo
𝑆𝐵
𝑆𝑇
2
= 2ª = 2 ≅ 66,66% - melhor aproximação: 67%
2
3ª
3
Questão 72 E
Seja x o número de moedas de 50 centavos existentes no cofre; logo, teremos nesse cofre (60 – x)
moedas de 10 centavos.
A quantia T existente no cofre será:
T= 0,5x + (60 – x). 0,1 , em reais
Foi dado que 24,00 < T < 26,00 Então
24 < 0,5x = (60 – x). 0,1 < 26 ou 24 < 0,5x + 6 – 0,1x < 26 ou 18 < 0,4x < 20 ∴ 45 < x < 50
Logo, x poderá valer: 46, 47, 48 ou 49.
Há, portanto, 4 soluções.
Questão 73. B
Idade de Rafael , R = 20
Idade de Patrícia, P = 18
Seja R2 a idade de Rafael daqui a X anos, R2 = R + X = 20 + X
Seja P2 a idade de Patrícia daqui a X anos, P2 = P + X = 18 + X
Em quantos anos X que P2 = 0,92*R2, ou seja, em quantos anos X em que (18+X) = 0,92*(20+X)
18 + X = 0,92*20 + 0,92 *X
18 + X = 18,4 + 0,92*X
X – 0,92*X = 18,4 – 18
0,08*X = 0,4
X = 0,4/0,08
X=5
Daqui a 5 anos, a idade de Patrícia é 92% da idade de Rafael.
Questão 74 B
A soma das raízes é: x’ + x” =
-p
4
O produto das raízes é: x’.x”=
1
4
-p
1 1
x"  x '
A soma dos inversos das raízes é: '  ''  5  ' "  5  4  5p = 5
1
x x
x .x
4
Questão 75 D
b + 60 = 120  b = 60
o
o
o
x + b +60 = 180  x + 120 = 180  x = 60
o
o
o
o
f = m + 100 ou m = f – 100
f= r/2 ou r = 2f
2000m + 200f+25r = 700 000
Logo: 2000(f-100) + 200f + 25.2f = 700 000
2000f – 200 000 + 200f + 50 f = 700 000
2250f = 900 000
 f = 400
Como m = f – 100  m = R$ 300,00
Questão 76 C
f = m + 100 ou m = f – 100
f= r/2 ou r = 2f
2000m + 200f+25r = 700 000
Logo: 2000(f-100) + 200f + 25.2f = 700 000
2000f – 200 000 + 200f + 50 f = 700 000
2250f = 900 000
 f = 400
Como m = f – 100  m = R$ 300,00
o
Questão 77 D
Usa semelhança de triângulos.
x/10 = 1,8/0,5
0,5x = 18
x = 36m
Questão 78 D
Questão 79 D
AC = 2a  2a = 100  a = 50 m
BD = 2b  2b = 60 m  b – 30 m
a = b + c  50 = 30 + c  c = 1 600  c = 40 m
2
2
2
2
2
2
2
A distância entre os focos vale: 2c = 2. 40 = 80 m.
Questão 80 B
Para o jogo final ficam dois participantes. Para um determinado participante ganhar um dos prêmios é
50%.
Questão 81 E
Duas faces hexagonais: 2.6 = 12 arestas
Seis faces retangulares: 6,4 = 24 arestas.
Para que a mesma aresta não seja contada duplamente temos: A =
12 + 24 36
=
= 18 arestas .
2
2
Questão 82 C
M(t) = 32 x 0,835t
sendo t em dias, para t=1 (um dia) temos:
M(1)= 32 x 0,835 x 1
M(1)= 26.72g
ao final de um dia a massa dessa substância será 26,72g. Então a massa desintegrada é:
massa desintegrada = massa inicial - massa final
massa desintegrada = 32 - 26,72
massa desintegrada= 5,28g
Portanto ocorreu uma desintegração de 5,28 g da massa dessa substância, após 1 dia
Questão 83 B
Consideramos o sistema de juros compostos.
M = C.(1 + i) para cada mês
1590 = 1 500(1 + i)  1590 = 1500 + 1500i  1500i = 90  i =
90
 0,06 .
1500
1590.1,06 = 1 685,40
1685,40.1,06 =1 786,52
1,786,52.1,06 = 1 893, 51
1 893,51.1,06 = 2 007, 24
2 007,34 .1,06 = 2 127,78
Questão 84 A
tg  = 0,05 
1
5
 y = 20 m
=
y 100
Teorema de Pitágoras: x = 1 + 20  x = 401  x =
2
2
2
2
401 = 20,02 m.
Questão 85 C
h=
x 3
2
9
S1 81

 k 2 k =
10
S2 100
H-h 9
H 1 L 3
3
 10H -10h = 9H  10h = H  h =
=
=
= .
L
H 10
10 10 2
20
Questão 86 C
 y2 = 1200.2500  y = 1000 3
PG (x, 1200, y, 2500)
A razão dessa PG é: q =
1000 3 5 3
.
=
1200
6
Portanto no ano de 1800 a população mundial era aproximadamente:
X=
1200 7200 1440 1440 3
=
=
=
= 480 3  830 mi
3
5 3 5 3
3
6
Questão 87 A
Questão 88 A
PA (1500; 2 200, 2 900; ...)
No vigésimo dia: a20 = a1 + 19.700 = 1500 + 13 300 = 14 800 m = 14,8 km.
A soma dos 20 dias é dada por:
S20 =
 a1 + a20  .20 =
2
A média diária é:
X=
1500 + 14800 .10 = 163 000 m
163 000
= 8150 m ou 8,15 km
20
Questão 89 B
A esfera em I não cabe totalmente na caixa porque seu diâmetro é maior que a altura da caixa, o mesmo
ocorrendo com o cubo, que possui aresta maior que a altura da caixa. O cilindro em II cabe inteiramente
na caixa, basta colocá-lo deitado e paralelo ao lado 4 dm da caixa.
Questão 90 D
Considere X o número de faces do dado de cima que está em contato com o dado de baixo. Se
somarmos as noves faces visíveis com este X temos 32 + X. Como cada par da face tem soma 7, a
soma dessas 10 faces tem soma 35, pois temos cinco pares de soma 7 cada. Assim, X + 32 = 35, ou
seja, X = 3. A face superior do dado tem um número Y tal que X + Y = 7. Portanto Y = 4.