1
Engenharia da Computação
4º / 5° Semestre
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – APOSTILA 01
Prof Daniel Hasse
Características Geométricas de Figuras Planas
SÃO JOSÉ DOS CAMPOS, SP
Mecânica dos Materiais
5
Ricardo Gaspar
44
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS
O dimensionamento e a verificação da capacidade resistente de barras, como de
qualquer elemento estrutural dependem de grandezas chamadas tensões, as quais se
distribuem ao longo das seções transversais de um corpo. Daí vem a necessidade de se
conhecer claramente as características ou propriedades das figuras geométricas que
formam essas seções transversais.
A Figura abaixo ilustra uma barra reta de seção transversal constante, chamada
barra prismática. O lado da barra que contém o comprimento (L) e a altura (h) é chamado
de seção longitudinal e o que contém a largura (b) e a altura (h) é chamado de seção
transversal.
h
h
L
b
seção
longitudinal
seção
transversal
L
h
b
Figura 5.1 Barra prismática
As principais propriedades geométricas de figuras planas são:
Área (A)
Momento de Inércia (I)
Momento estático (M)
Módulo de resistência (W)
Centro de gravidade (CG)
Raio de giração (i)
5.1
Área
A área de uma figura plana é a superfície limitada pelo seu contorno. Para
contornos complexos, a área pode ser obtida aproximando-se a forma real pela
justaposição de formas geométricas de área conhecida (retângulos, triângulos, etc).
A unidade de área é [L]2 (unidade de comprimento ao quadrado).
A área é utilizada para a determinação das tensões normais (tração e compressão) e
das tensões de transversais ou de corte.
Mecânica dos Materiais
5.2
Ricardo Gaspar
45
Momento Estático
Analogamente à definição de
momento de uma força em relação a um
eixo qualquer, defini-se Momento Estático
(M) de um elemento de superfície como o
produto da área do elemento pela distância
que o separa de um eixo de referência.
y
dA
x
y
M x = y ⋅ dA e M y = x ⋅ dA
x
y
Momento Estático de uma
superfície plana é definido como a
somatória de todos os momentos estáticos
dos elementos de superfície que formam a
superfície total.
A
y
M x = ∫ ydA e M y = ∫ xdA
A
dA
x
A
A unidade do Momento Estático é área é [L]× [L]2 = [L]3.
x
O Momento Estático é utilizado para a determinação das tensões transversais que
ocorrem em uma peça submetida à flexão.
O Momento Estático de uma superfície composta por várias figuras conhecidas é a
somatória dos Momentos Estáticos de cada figura.
Exemplo: determinar o Momento Estático das figuras abaixo
A1
CG 1
M 1, x = yCG1 ⋅ A1
2
M 2, x = yCG 2 ⋅ A2
CG 2
1
A
2
y CG
M 3, x = yCG 3 ⋅ A3
y CG
CG
y CG
A3
3
M x = M 1, x + M 2, x + M 3, x
3
x
Elemento vazado
1
2
M x = M 1, x − M 2, x
Mecânica dos Materiais
5.3
Ricardo Gaspar
46
Centro de Gravidade
Se um corpo for dividido em partículas mínimas, estas ficam sujeitas à ação da
gravidade, isto é, em todas estas partículas está aplicada uma força vertical atuando de
cima para baixo. A resultante de todas estas forças verticais e paralelas entre si, constitui o
peso do corpo.
Mesmo mudando a posição do corpo aplicando-lhe uma rotação, ele permanecerá
sempre sujeito à ação da gravidade. Isto significa que as forças verticais girarão em relação
ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais. O ponto onde se cruzam as
resultantes dessas forças paralelas, qualquer que seja a posição do corpo, chama-se Centro
de Gravidade (CG).
Portanto, atração exercida pela
Terra sobre um corpo rígido pode ser
representada por uma única força P. Esta
força, chamada peso do corpo, é aplicada
no seu baricentro, ou cento de gravidade
(CG). O centro de gravidade pode
localizar-se dentro ou fora da superfície.
y
x CG
CG
y CG
O centro de gravidade de uma
superfície plana é, por definição, o ponto
de coordenadas:
xCG
My
1
=
= ∫ x ⋅ dA
A
AA
x
yCG
M
1
= x = ∫ y ⋅ dA
A
AA
onde:
xCG = distância do CG da figura até o eixo y escolhido arbitrariamente;
yCG = distância do CG da figura até o eixo x escolhido arbitrariamente;
Mx = momento estático da figura em relação ao eixo x;
My = momento estático da figura em relação ao eixo y;
A = área da Figura.
Centro de gravidade de áreas compostas por várias figuras
O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras, é expresso
por:
y
n
A
xn
n
xCG =
∑A ⋅x
i
n
∑A
i
i =1
A1
x1
i
i =1
n
yn
y1
yCG =
x
∑A ⋅y
i
i =1
n
∑A
i =1
i
i
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47
Centro de gravidade de algumas figuras planas
retângulo
y
x CG
xCG =
b
2
yCG =
h
2
CG
h
y CG
x
b
triângulo
y
b
3
h
=
3
xCG =
h
CG
yCG
y CG
x
x CG
b
círculo
y
xCG = 0
CG
yCG = 0
x
Semicírculo
r
r
CG
4R
___
3
π
¼ de círculo
4R
___
3
π
r
CG
yCG =
4r
3π
xCG =
4r
3π
yCG =
4r
3π
4R
___
3
π
trapézio
y
h1 =
h a + 2b
⋅
3 a+b
h2 =
h 2a + b
⋅
3 a+b
h2
CG
h1
x
Mecânica dos Materiais
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48
Exemplos
1. Determinar o centro de gravidade CG do retângulo
dA
em relação ao eixo x que passa pela sua base.
dy
Área do retângulo A = b ⋅ h
h
O Momento Estático do retângulo em relação ao eixo
x é somatória do produto de cada elemento de área dA
pela sua distância em relação ao eixo x.
x
b
Momento Estático
Centro de Gravidade
dA = b ⋅ dy
h
y CG
M x = ∫ y ⋅ dA = ∫ y ⋅ b ⋅ dy
0
2
Mx =
b⋅h
2
2
2. Determinar o CG da Figura.
yCG =
2
h
2
1
(medidas em centímetros)
2
6
A = A1 − A2 − A3
1
2
A = 84 cm 2
2
15
A = (8 × 15) − (6 × 4 ) − (4 × 3)
y CG = 10
h
b ⋅ y 
b⋅h
b ⋅0
Mx = 
=
−

2
2
 2 0
2
y CG = 7,5
A
b ⋅ h2
M
h
= x = 2 =
A
b⋅h
2
2
3
y CG = 3,5
3
3
2
M 1, x = yCG1 ⋅ A1 = 7,5 × (8 ×15) = 900 cm 3
M 2, x = yCG 2 ⋅ A2 = 10 × (6 × 4 )
= 240 cm 3
M 3, x = yCG 3 ⋅ A3 = 3,5 × (3 × 4 )
= 42 cm 3
M x = M 1, x − M 2, x − M 3, x = 900 − 240 − 42 = 618 cm 3
yCG =
M x 618 cm 3
=
= 7,36 cm
A
84 cm 2
4
2
x
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49
3. Determinar o centro de gravidade da figura hachurada.
A1 = (12 × 8) = 96 cm 2
A2 = (3 × 3) = 9 cm 2
3
1
2
A = A1 − A2 = 87 cm 2
5,69
9
12
3
3
M 1, x = 6 × 8 × 12
= 576 cm 3
M 2, x = 9 × 3 × 3
= 81 cm 3
M x = M 1, x − M 2, x = 495 cm 3
x CG
8
yCG =
M x 576 cm 3
=
= 5,69 cm
A
87 cm 2
4. Determinar o centro de gravidade da figura hachurada (medidas em centímetro).
y
3
4
A
Figura
hachurada pode ser o
resultado
de
um
retangulo (12×6) cm
do qual foram retirados
um triângulo e um
semicírculo.
2
3
4
6
5,15
3
x
Área da figura
A = AR − AT − ASC
A = (12 × 6 ) − [0,5 × (3 × 6 )] − (0,5 × π × r 2 ) = 56,72 cm 2
A = 53,72 cm 2
Momento Estático
M R , x = 12 × 6 × 3
= 216 cm 3
M T , x = 4 × 0,5 × 3 × 6
=
36 cm 3
4×2

3
M SC , x = 0,5π × 2 2  6 −
 = 32,37 cm
3π 

M x = M R , x − M T , x − M CC , x
= 147,63 cm 3
Coordenada yCG do centro de gravidade
yCG =
Mx
A
yCG =
147,63
= 2,6 cm
56,72
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
50
Analogamente, determina-se a coordenada xCG.
y
3
3
4
2
8
6
1
6
x
M R , y = 6 × 12 × 6
=
432 cm 3
M T ,y = 1 ×
=
9 cm 3
M SC , y
= 50,26 cm 3
3×6
2
π × 22
= 8×
2
M y = M R , y − M T , y − M SC , y = 372,73 cm 3
Coordenada xCG do centro de gravidade
xCG =
5.4
My
xCG =
A
372,73
= 6,57 cm
56,72
Momento de Inércia
O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de referência é
definido como sendo a integral de área dos produtos dos elementos de área que compõem a
superfície pelas suas respectivas distâncias ao eixo de referência, elevadas ao quadrado.
y
dA
x
I x = ∫ y 2 dA
A
A
I y = ∫ x 2 dA
y
A
x
A unidade do momento de inércia é [L]2×[L]2=[L]4 .
O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no
dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores numéricos, a
resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da seção transversal de uma
peça, maior a sua resistência.
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
51
A
Propriedade:
CG
1
A
O momento de inércia total de uma
superfície é a somatória dos momentos de
inércia das figuras que a compõe.
I x = I 1, x + I 2, x + I 3, x
2
CG
A
2
CG
3
1
3
Exemplo
Determinar o momento de inércia da superfície hachurada em relação ao eixo x que passa
pelo CG. (medidas em centímetros)
8
3
b ⋅ h3
12
4
6
I xCG =
I xCG =
4
x CG
I xCG = 1.024 cm 4
6
5.5
1
(
8 × 123 − 3 × 83 )
12
Translação de eixos
O momento de inércia de uma
superfície em relação a um eixo qualquer
é igual ao momento de inércia em relação
ao eixo que passa pelo seu centro de
gravidade, acrescido do produto da área
(A) pelo quadrado da distância que separa
os dois eixos.
2
I x = I xCG + A ⋅ yCG
2
I y = I yCG + A ⋅ xCG
y
y CG
x CG
x CG
CG
y CG
onde:
x
Ix = momento de inércia da figura em relação ao eixo x.
Iy= momento de inércia da figura em relação ao eixo x.
I xCG = momento de inércia da figura em relação ao eixo xCG que passa pelo CG da figura.
I yCG = momento de inércia da figura em relação ao eixo yCG que passa pelo CG da figura.
xCG = distância do eixo y até o eixo yCG .
y CG = distância do eixo x até o eixo xCG .
Mecânica dos Materiais
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52
O momento de inércia é utilizado para a determinação das tensões normais a que
estão sujeitas as peças submetidas à flexão.
As formulações acima podem ser expressas em função do momento estático:
Mx = y⋅ A
→
M x2 = y 2 ⋅ A2
→
y2 =
M x2
A2
I x = I xCG +
→
2
I x = I xCG + A ⋅ y CG
I x = I xCG +
M x2
⋅A
A2
M x2
A
⇒
M x2
= Ix −
A
I xCG
Exemplo:
Determinar o momento de inércia do retângulo em relação aos seguintes eixos:
a) x, passando pela base inferior.
b) xCG , passando pelo CG.
a)
dA=b.dy
I x = ∫ y 2 dA
A
dy
h
h
h
 b ⋅ y3 
I x = ∫ y bdy = 

 3 0
0
2
x
b
b)
h
I xCG
+h/2
h/2
b ⋅ h3
→ Ix =
3
h
 b ⋅ h3  2
= ∫ y bdy = 

 3  −h 2
−h
2
2
2
CG
x
I xCG =
h/2
-h/2
3
3
b  h   h  
⋅   −  −  
3  2   2  
b
I xCG = ∫ y dA
2
A
I xCG =
I xCG =
b  h3 h3 
⋅
+ 
3  8
8
b 2h 3 b ⋅ h 3
⋅
=
3 8
12
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
53
Utilizando a formulação de mudança de eixos
2
I x = I xCG + A ⋅ yCG
h/2
CG
h
Ix =
x CG
h/2
x
b
Momento de inércia do retângulo em
b ⋅ h3
relação ao seu CG → I x ,CG =
12
5.6
Ix =
b ⋅ h3
h
+ bh ⋅  
12
2
2
b ⋅ h 3 b ⋅ h 3 bh 3 + 3 ⋅ bh 3
+
=
12
4
12
4b ⋅ h 3
Ix =
12
⇒
b ⋅ h3
Ix =
3
Módulo Resistente
Define-se módulo resistente de uma superfície plana em relação aos eixos que
contém o CG como sendo a razão entre o momento de inércia relativo ao eixo que passa
pelo CG da figura e a distância máxima entre o eixo e a extremidade da seção estudada.
y
y sup
Wx =
I CG
y max
Wy =
I CG
x max
CG
x
y inf
x esq
x dir
onde:
ICG = momento de inércia da peça em relação ao CG da figura
x, y = distância entre o eixo do CG da figura e a extremidade da peça.
A unidade do módulo resistente é
[L]4 = [L]3 .
[L]
O módulo resistente é utilizado para o dimensionamento de peças submetidas à
flexão.
Para o retângulo, tem-se:
h/2
CG
h/2
b
Ix =
b ⋅ h3
12
A = b⋅h
b ⋅ h3
b ⋅ h3 2 b ⋅ h2
12
Wx =
=
⋅ =
h
12 h
6
2
Mecânica dos Materiais
5.7
Ricardo Gaspar
54
Raio de Giração
Define-se raio de giração como sendo a raiz quadrada da relação entre o momento
de inércia e a área da superfície. A unidade do raio de giração é o comprimento. O raio de
giração é utilizado para o estudo da flambagem.
cm 4
= cm
cm 2
I
A
i=
Características Geométricas de algumas figuras conhecidas
Momento de
Inércia
Figura
Momento
Resistente
Raio de Giração
Quadrado
Ix =
CG
h
h4
12
Wx =
h3
6
ix =
ix =
h
12
h
Retângulo
CG
h
x CG
I xCG =
bh 3
12
Wx =
b ⋅ h2
6
I xCG =
bh 3
36
Wx =
b ⋅ h2
12
πd 4
Wx =
h
12
b
Triângulo
h
x CG
CG
ix =
h⋅ 2
6
b
Círculo
CG
x CG
I xCG =
64
π ⋅ D3
ix =
32
D
4
D
Círculo vazado
D
d
I x CG =
CG
x CG
π (D 4 − d 4 )
64
Wx =
π (D 3 − d 3 )
32
ix =
1
D2 + d 2
4
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
Exemplo
A figura representa a seção transversal de
uma viga “T”. Para a figura, determinar:
a) o centro de gravidade;
b) o momento de inércia em relação ao
eixo x;
c) os módulos Resistentes superior e
inferior;
d) o raio de giração.
(medidas em centímetros)
2
55
3
2
1
2
3
3
y sup
x CG
CG
5
y inf
x
Para facilitar a determinação das propriedades geométricas de figuras compostas, convém
montar a seguinte tabela:
Figura
1
2
3
b (cm)
3
2
3
h (cm)
2
7
2
Σ
yCG (cm)
6
3,5
6
A (cm2)
6
4
6
26
Mx (cm3)
36
49
36
121
ICGi (cm4)
2
57,17
2
Ixi (cm4)
218
228,67
218
664,67
Centro de gravidade (CG)
y CG =
∑M
∑A
x
=
121
= 4,65 cm
26
Como o eixo de referência passa pela base da figura, então yinf=4,65cm e ysup=2,35cm.
Na coluna ICGi (cm4) foi determinado o momento de inércia de cada figura, passando pelo
respectivo centro de gravidade. Por se tratar de retângulos, utilizou-se a expressão
I x = b ⋅ h 3 / 12 . Em seguida, deve-se proceder à translação destes momentos de inércia para
eixo x de referência para determinar a sua somatória.
A translação de eixos é feita por meio da expressão: I x = I CG + y 2 ⋅ A
Obtido o momento de inércia total em relação ao eixo x, deve-se agora proceder à
translação para o eixo x que passa pelo centro de gravidade da figura, por meio da seguinte
expressão:
I CG
M x2
= Ix −
A
I CG
1212
= 664,67 −
26
O momento de inércia da figura em relação ao seu centro de gravidade é I CG = 101,55 cm 4
Em seguida, calculam-se os momentos resistentes:
Wx ,sup =
I CG 101,55
=
= 43,21 cm 3
ysup
2,35
Finalmente, determina-se o raio de giração.
ix =
I CG
A
ix =
101,55
= 1,98 cm
26
Wx ,inf =
I CG 101,55
=
= 21,84 cm 3
4,65
y inf