Escola Estadual de
Educação Profissional - EEEP
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Curso Técnico em Edificações
Resistência dos Materiais
Governador
Cid Ferreira Gomes
Vice Governador
Francisco José Pinheiro
Secretária da Educação
Maria Izolda Cela de Arruda Coelho
Secretário Adjunto
Maurício Holanda Maia
Secretário Executivo
Antônio Idilvan de Lima Alencar
Assessora Institucional do Gabinete da Seduc
Cristiane Carvalho Holanda
Coordenadora de Desenvolvimento da Escola
Maria da Conceição Ávila de Misquita Vinãs
Coordenadora da Educação Profissional – SEDUC
Thereza Maria de Castro Paes Barreto
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Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
CURSO TÉCNICO INTEGRADO EM EDIFICAÇÕES
DISCIPLINA DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO E ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES ..............................................03
1.1 INTRODUÇÃO.........................................................................................................................03
1.2 EXERCÍCIOS............................................................................................................................04
1.3 PRESSUPOSTOS E HIPÓTESES BÁSICAS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS......................06
1.3.1 Continuidade Física.................................................................................................................06
1.3.2 Homogeneidade......................................................................................................................07
1.3.3 Isotropia.................................................................................................................................07
1.3.4 Equilíbrio................................................................................................................................07
1.3.5 Pequenas Deformações............................................................................................................07
1.3.6 Saint-Venant...........................................................................................................................07
1.3.7 Seções Planas..........................................................................................................................07
1.3.8 Conservação das Áreas............................................................................................................07
1.3.9 Lei de Hooke...........................................................................................................................07
1.3.10 Princípio da Superposição de Efeitos.......................................................................................07
2 OBJETIVO.................................................................................................................................08
3 TIPOS DE CARGAS...................................................................................................................08
3.1 CARGA CONCENTRADA........................................................................................................08
3.2 CARGA DISTRIBUIDA.............................................................................................................09
3.3 CARGAS PERMANENTES.......................................................................................................09
3.4 CARGAS ESTÁTICAS..............................................................................................................09
3.5 CARGAS ACIDENTAIS.............................................................................................................09
3.6 CARGAS MÓVEIS....................................................................................................................09
4 ESFORÇOS EXTERNOS...........................................................................................................09
4.1 CARGAS CONCENTRADAS....................................................................................................09
4.2 CARGAS DISTRIBUIDAS.........................................................................................................09
4.3 FORÇA DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO....................................................................................09
5 ESFORÇOS INTERNOS............................................................................................................09
5.1 MOMENTOS............................................................................................................................09
Resistência dos Materiais
3
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5.1.1 Momento Fletor......................................................................................................................09
5.1.2 Momento Torsor.....................................................................................................................10
5.2 CISALHAMENTO (FORÇAS CONSTANTES)...........................................................................10
6 TIPOS DE ESTRUTURA............................................................................................................10
6.1 ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS..................................................................................................10
6.2 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS...........................................................................................11
7 TIPOS DE APOIO.......................................................................................................................11
7.1 PRIMEIRO GÊNERO ESTÁTICO..............................................................................................11
7.2 SEGUNDO GÊNERO ESTÁTICO..............................................................................................11
7.3 TERCEIRO GÊNERO ESTATICO...............................................................................................12
8 CALCULO DAS REAÇÕES.......................................................................................................12
8.1 CONVENÇÕES ........................................................................................................................12
8.2 EXEMPLOS..............................................................................................................................12
9 DIAGRAMA DO MOMENTOFLETOR ....................................................................................21
10 DIAGRAMA DE ESFORÇO CONSTANTE..............................................................................27
11 EXERCÍCIOSDE FIXAÇÃO 1..................................................................................................30
12 EXERCÍCIOSDE FIXAÇÃO 2..................................................................................................34
13 RESISTÊNCIA..........................................................................................................................43
14 MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA FIGURA PLANA QUALQUER EM RELAÇÃO A UM EIXO
QUALQUER.................................................................................................................................48
15 EXERCICIOS GERAIS............................................................................................................51
16 BIBLIOGRAFIA.......................................................................................................................54
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Resistência dos Materiais – Jayme Ferreira da Silva Jr.
Resistência dos Materiais – Timoshenko – volume 1 e 2
Resistência dos Materiais – Alerson Moreira da Rocha
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Resistência dos Materiais
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1 INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES
1.1 INTRODUÇÃO
Um conceito da grandeza tensão pode ser encarado como uma extensão do conceito da grandeza
pressão.
Imaginemos o sistema de êmbolos apresentado abaixo:
Utilizando-se os conceitos de física, pode-se dizer que a pressão P no interior do duto é constante
e tem valor:
onde F1 e F2 são as forças aplicadas nas extremidades e A1 e A2 são as áreas da seção transversal do duto
onde são aplicadas F1 e F2, respectivamente.
Os macacos hidráulicos são aplicações diretas da equação acima, pois com uma pequena força
aplicada na extremidade 2 do sistema de êmbolos afim de se produzir uma força de magnitude
considerável na extremidade 1, dependendo da razão entre as áreas A1 e A2.
Algumas conclusões já podem ser obtidas analisando a grandeza pressão:

Sua unidade de medida será: unidade de força dividida por unidade de área. No Sistema
Internacional de Unidades (SI): Pa (Pascal) = N/m2. Como 1 Pa representa uma pressão
relativamente pequena 1 normalmente se utiliza prefixos do tipo kilo (103) ou mega (106).
Exemplos: 10 MPa, 45 kPa, etc.
 O módulo da pressão é o mesmo no interior do duto, mas a direção e sentido não.Pode-se dizer então que a pressão é uma grandeza vetorial.
 A direção da força F2 gerada no sistema de êmbolo é sempre a mesma da pressão atuante na seção
2, e esta direção é sempre normal a superfície do êmbolo.
Porque surgiu pressão no interior do duto?
A resposta é simples: Sempre que se tenta movimentar uma massa de fluido e existem restrições
ao deslocamento, surgem as pressões. Assim sendo, no caso do êmbolo da figura 1, se não existir resistênResistência dos Materiais
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cia na seção 2, o fluido entraria em movimento acelerado e escoaria sem o surgimento de pressões internas. Em outras palavras, é preciso que haja confinamento (pressão positiva) ou aumento do volume dos
dutos (pressão negativa).
Um raciocínio análogo pode ser aplicado aos sólidos. Supondo que se exerça uma força
F sobre um sólido qualquer conforme figura abaixo.
Da mesma maneira que nos fluidos, têm-se duas possibilidades: ou o sólido entra em movimento
ou, no caso onde existam restrições ao deslocamento (como no exemplo da figura 2), surgem o que nos
sólidos se denominam tensões.
A grande diferença entre sólidos e fluidos pode ser observada na figura 1.3:
Em ambos os casos na figura surgirão pressões (para o fluido) e tensões (para o sólido) quando se
aplica a carga F1 (direção axial do tubo). Entretanto, quando se aplica a carga F2 (transversal ao tubo)
pode-se verificar que o fluido não oferece a menor resistência ao corte ou cisalhamento, porém no sólido
isso não acontece. Esta diferença motivou os pesquisadores a estudarem os sólidos e os fluidos em duas
grandes áreas do conhecimento:
Resistência dos Materiais
6
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Mecânica dos Sólidos e Mecânica dos Fluidos.
Então, diferentemente dos líquidos, as tensões em um sólido podem ocorrer de duas formas:


Tensões normais: Estas tensões são resultados de um carregamento que provoca a aproximação
ou o afastamento de moléculas que constituem o sólido. E o caso do carregamento F1 da figura
1.3.
Tensões cisalhantes ou tangenciais: Estas tensões são resultado de um carregamento que provoca
um deslizamento relativo de moléculas que constituem o sólido. É o caso do carregamento F2 da
figura 1.3.
1.2 EXERCÍCIOS
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1.3 PRESSUPOSTOS E HIPÓTESES BÁSICAS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A Resistência dos Materiais é uma ciência desenvolvida a partir de ensaios experimentais e de
análises teóricas.
Os ensaios ou testes experimentais, em laboratórios, visam determinar as características físicas dos
materiais, tais como as propriedades de resistência e rigidez, usando corpos de prova de dimensões
adequadas.
As análises teóricas determinam o comportamento mecânico das peças em modelos matemáticos
idealizados, que devem ter razoável correlação com a realidade. Algumas hipóteses e pressupostos são
admitidos nestas deduções e são eles:
1.3.1 Continuidade Física
A matéria apresenta uma estrutura continua, ou seja, são desconsiderados todos os vazios e
porosidades.
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1.3.2 Homogeneidade
O material apresenta as mesmas características mecânicas, elasticidade e de resistência em todos
os pontos.
1.3.3 Isotropia
O material apresenta as mesmas características mecânicas elásticas em todas as direções. “Ex: As
madeiras apresentam, nas direções das fibras, características mecânicas e resistentes distintas daquelas em
direção perpendicular e, portanto não é considerado um material isótropo”.
1.3.4 Equilíbrio
Se uma estrutura está em equilíbrio, cada uma de suas partes também está em equilíbrio.
1.3.5 Pequenas Deformações
As deformações são muito pequenas quando comparadas com as dimensões da estrutura.
1.3.6 Saint-Venant
Sistemas de forças estaticamente equivalentes causam efeitos idênticos em pontos suficientemente
afastados da região de aplicação das cargas.
1.3.7 Seções planas
A seção transversal, após a deformação, permanece plana e normal à linha média (eixo
deformado).
1.3.8 Conservação das áreas
A seção transversal, após a deformação, conserva as suas dimensões primitivas.
1.3.9 Lei de Hooke
A força aplicada é proporcional ao deslocamento.
F = k.d
Onde: F é a força aplicada; k é a constante elástica de rigidez e d é o deslocamento.
1.3.10 Princípio da Superposição de efeitos
Os efeitos causados por um sistema de forças externas são a soma dos efeitos produzidos por cada
força considerada agindo isoladamente e independente das outras.
A fim de compensar as incertezas na avaliação das cargas, na determinação das propriedades dos
materiais, nos pressupostos ou nas simplificações, é previsto nas Normas Técnicas a adoção de
coeficientes de segurança. Consiste em se majorar as cargas e se reduzir a resistência dos materiais. Os
diversos critérios adotados para escolha dos coeficientes de segurança adequados são estudados ao longo
do curso de Engenharia Civil.
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Adota-se neste texto um coeficiente de segurança único que reduz a capacidade de carga da
estrutura.
2 OBJETIVO
Estudar os esforços internos e externos que atuam nas peças de uma construção de modo a
resolver os problemas.
Fig. 2
3 TIPOS DE CARGA
3.1 CARGA CONCENTRADA: Se apóiam em pequenas áreas e podem ser consideradas como apoiadas
em um ponto.
Fig. 3.1
Resistência dos Materiais
10
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3.2 CARGA DISTRIBUIDA: Se apóiam em grandes áreas, podendo ser uniformes ou variadas.
Fig. 3.2
Fig. 3.2
3.3 CARGAS PERMANENTES: Atuam durante toda a vida da estrutura, sem mudar de valor.
3.4 CARGAS ESTÁTICAS: Atuam em cargas paradas, não sofrem efeito de impacto.
3.5 CARGAS ACIDENTAIS: Cargas móveis sofrem efeito de impacto, podendo ou não mudar de valor.
3.6 CARGAS MÓVEIS: Carga acidental
4 ESFORÇOS EXTERNOS
4.1 CARGAS CONCENTRADAS
4.2 CARGAS DISTRIBUIDAS
4.3 FORÇA DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO
5 ESFORÇOS INTERNOS
5.1 MOMENTOS
5.1.1 Momento Fletor ( Ma = F x d)
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11
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Fig. 5.1.1
5.1.2 Momento Torsor
Fig. 5.1.2
5.2 CISALHAMENTO (FORÇAS CONSTANTES)
Fig. 5.2
6 TIPOS DE ESTRUTURAS
6.1 ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
N° de Eq. ≥ N° de incógnitas
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∑ Fu = 0
∑ Fv = 0
∑M=0
6.2 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
N° de Eq. ≥ N° de incógnitas
7 TIPOS DE APOIO
Entendemos como apoio qualquer estrutura que impeça o deslocamento.
7.1 PRIMEIRO GÊNERO ESTÁTICO
Só impede o deslocamento vertical
Símbolo
Fig. 7.1
7.2 SEGUNDO GÊNERO ESTÁTICO
Impede o deslocamento vertical e horizontal, mas permite a rotação.
Fig. 7.2
Resistência dos Materiais
13
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7.3 TERCEIRO GÊNERO ESTÁTICO
Fixa totalmente a peça, impedindo o deslocamento horizontal, vertical e a rotação.
Fig. 7.3
8 CÁLCULO DAS REAÇÕES
8.1 CONVENÇÕES
Fig. 8.1
8.2 EXEMPLOS
Exemplo 1
Fig. 8.2.1
Resistência dos Materiais
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a) ∑ Fv = 0
RA + RB – 2 – 4 – 2 = 0
RA + RB = 8t
4 + RB = 8
RB = 4t
b) ∑ MB = 0
RA x 6 – 2 x 5 – 4 x 3 – 2 x 1 = 0
6 RA - 10 – 12 – 2 = 0
RA = 24
6
RA = 4t
Exemplo 2
Fig. 8.2.2
a) ∑ FV = 0
RA + RB – 2 – 4 – 4 = 0
RA + RB = 10
4,8 + RB = 10
RB = 5,20t
b) ∑ MB = 0
RA x 5 – 2 x 4 – 4 x 3 – 4 x 1 = 0
5RA = 8 + 12 + 4
5RA = 24
RA = 4,80t
Resistência dos Materiais
15
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Exemplo 3
Fig. 8.2.3
Sen 30° = 0,50
Cos 30° = 0,87
a) ∑ FV = 0
RA + RB – 2 – 4.sen 30° - 2 = 0
RA + RB = 6t
RA = 6 – 3,67
RA = 2,33t
b) ∑ MB = 0
RHA + 3,87 = 0
RHA = 3,87t
Ou
c) ∑ MA = 0
-2 x 7 + RB x 6 – 4.0,5 x 3 – 2 x 1 = 0
-14 + 6RB – 6 – 2 = 0
6RB = 22
RB = 3,67 t
d) ∑ MB = 0
RA x 6 – 2 x 5 – 2 x 3 + 2 x 1 = 0
6RA = 14
RA = 2,33t
Resistência dos Materiais
16
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Exemplo 4
Fig. 8.2.4
a) ∑ FV = 0
RA + RB – 4 – 4 - 2 = 0
RA + RB = 10t
b) ∑ FH = 0
HA = 4t
c) ∑ MB = 0
RA x 5 x 4 x 5 – 2 x 3 – 4 x 5 – 4 x 3 = 0
5RA + 20 – 6 – 20 – 12 = 0
RA = 18
5
RA = 3,60t e RB = 6,40 t
Exemplo 5
Fig. 8.2.5
Resistência dos Materiais
17
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a) ∑ FV = 0
RA + RB – 4 – 6 - 2 = 0
RA + RB = 12t
RB = 6,12t
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b) ∑ FH = 0
HA + 2 + 3,48 – 4 - 2 = 0
HA + 5,48 – 6 = 0
HA = 0,52t
c) ∑ MB = 0
RA x 5 + 0,52 x 3 + 2 x 2 + 2 x 2 – 4 x 5 - 6 x 2 – 3,48 x 2 = 0
5RA + 1,52 + 4 + 4 - 20 – 6,96 = 0
RA = 5,88t
Exemplo 6
Fig. 8.2.6
a) ∑ FV = 0
RA + RB – 2 – 4 - 6 = 0
RA + RB = 12t
RB = 5,20t
b) ∑ FH = 0
RHA + 2 – 4 = 0
RHA = 2t
c) ∑ MB = 0
RA x 5 + 2 x 2 - 2 x 5 – 4 x 3 - 4 x 4 = 0
5RA + 4 - 10 – 12 - 16 = 0
5RA = 34
RA = 34
5
RA = 6,80t
Resistência dos Materiais
18
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Exemplo7
Fig. 8.2.7
a) ∑ FV = 0
RA + RB – 4 – 2 – 2 = 0
RA + RB = 8t
RB = 7,50t
b) ∑ FH = 0
HB + 2 – 4 = 0
HB = - 2t
c) ∑ MB = 0
RA x 4 + 4 x 6 - 4 x 4 – 2 x 2 - 2 x 3 = 0
4RA + 24 - 16 - 4 - 6 = 0
4RA = 2
RA = 2
4
RA = 0,50t
* Calcular as reações
Exemplo 8
Fig. 8.2.8
Resistência dos Materiais
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a) ∑ FV = 0
RA + RB – 4 – 2 – 4 – 2 - 4 = 0
RA + RB = 16t
RB = 8t
b) ∑ MB = 0
RA x 6 - 4 x 5 - 2 x 4 – 4 x 3 - 2 x 2 – 4 x 1= 0
6RA - 20 - 8 - 12 – 4 - 4 = 0
6RA = 48
RA = 48
6
RA = 8t
Exemplo 9
Fig. 8.2.9
a) ∑ FV = 0
RA + RB = 2 + 6 + 2 + 12
RA + RB = 22t
RB = 8,83t
b) ∑ MB = 0
-2 x 7 + RA x 6 - 6 x 5,50 - 2 x 4 – 12 x 2 = 0
6RA = 14 + 33 + 8 + 24
6RA = 79
RA = 79
6
RA = 13,17t
Resistência dos Materiais
20
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Exemplo 10
Fig. 8.2.10
a) ∑ FV = 0
RA + RB = 24t
RB = 11,40t
b) ∑ MB = 0
RA x 5 – 2 x 6 – 6 x 4,5 – 2 x 4 – 6 x 2 + 2 x 1 – 2 x 3 = 0
5RA - 12 – 24 – 8 – 12 + 2 - 6
RA = 12,60t
Exemplo 11
Fig. 8.2.11
Resistência dos Materiais
21
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a) ∑ FV = 0
RA + RB = 8t
RB = 5,33t
b) ∑ MB = 0
RA x 3 + 4 x 3 – 4 x 1 – 4 x 2 – 4 x 1 = 0
3RA = 8
RA = 2,67t
Exemplo 12
Fig. 8.2.12
a) ∑ FV = 0
RA + RB – 4 – 2 – 2 = 0
RA + RB = 8t
RB = 7,50t
b) ∑ FHA = 0
HA + 2 = 4
HB = 2t
c) ∑ MB = 0
RA x 3 + 2 x 3 + 2 x 0,5 – 4 x 1,5 - 2 x 1 – 2 x 1 = 0
3RA + 6 + 1 – 13,50 - 2 - 2 = 0
RA = 3,50t
Resistência dos Materiais
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9 DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR
Definição: É igual ao somatório de todos os momentos fletores, de um mesmo lado da seção.
Convenções:
Fig. 9.1
Fig. 9.2
MFs = P x l
y = a . x ( Carga concentrada )
RA + RB = 2P // RA = 2P = P
2
RA = P e RB = P
Fig. 9.3
Resistência dos Materiais
23
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MFs = q . l x l - q . l x l =
2 2
2 4
MFs = q. l2 - q. l2 =
4
8
MFs = 2q.l2 – q.l2
8
MFs = q . l2 e y = a . x2
8
Exemplos
Traçar os diagramas de momento fletor das estruturas.
Fig. 9.4
Fig. 9.5
MF1 = 4 x 1 = 4tm // MF2 = 4 x 3 – 2 x 2 = 8tm // MF3 = 4 tm
Fig. 9.7
Fig. 9.6
Nas extremidades da peça o momento é zero!
Resistência dos Materiais
24
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MFA = MFB = 0
MF1 = 6 x 2 – 4 x 1 = 8tm
MF2 = 6 x 3 – 4 x 2 = 10tm
MF3 = 6 x 2 – 4 x 1 = 8tm
Fig. 9.8
Fig. 9.9
a) ∑ FV = 0
RA + RB = 17t
RB = 7,50t
∑ MB = 0
RA x 6 - 4 x 5 - 2 x 4 - 12 x 2 – 2 x 1 = 0
6RA - 20 - 8 - 24 - 2 = 0
RA = 9t
RB = 11t
MFA = MFB = 0
MF1 = 4 x 2 – 4 x 1
MF1 = 14tm
MF2 = 11 x 1 – 3 x 0,5
MF2 = 9,5tm
Fig. 9.10
Resistência dos Materiais
Fig. 9.11
25
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a) ∑ FV = 0
RA + RB = 2 + 6 + 4 + 6 + 2 + 2
RB = 11,50t
b) ∑ MB = 0
-2 x 5 + RA x 4 - 6 x 3,5 - 4 x 2 - 6 x 1 + 2 x 0,5 + 2 x 1 = 0
- 10 + 4RA - 21 - 8 - 6 + 2 + 1 = 0
4RA = 42
RA = 10,50t
c) MF1 = MF3 = 0
MFA = - 2 x 1 – 2 x 0,5 = - 3tm
MF2 = - 6 – 9 + 21
MF2 = 6tm
MFB = - 2 x 5 – 6 x 3,5 + 10,50 x 4 – 4 x 2
MFB = -10 – 21 + 42 – 8
MFB = 3tm
d) MC1
E=0
D = -2t
MCA
E = - 2 – 2 = -4t
D = - 4 + 10,50 = 6,50t
MC2
E = 6,5t – 4 = 2,50t
D = 2,50 - 4 = - 1,50t
MCB
E = -1,50 - 6 = - 7,50t
D = -7,50 + 11,50 = 4t
MC2
E = 4 - 2 = 2t
D=2-2=0
Resistência dos Materiais
26
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Traçar os D.M.F das estruturas
Fig. 9.12
a) ∑ FH = 0
HA + 2 - 4 – 2 = 0
HA = 4t
b) ∑ FV = 0
RA + RB = 3,48 + 6 + 4 - 4
RA + RB = 17,48t
c) ∑ MB = 0
RA x 5 + 4 x 2 - 4 x 1 – 3,48 x 5 - 6 x 3,5 – 4 x 2 - 2 x 1 = 0
5RA + 8 – 4 – 17,40 – 21 – 8 - 2 = 0
5RA = 44,50
RA = 8,88t
RB = 8,60t
d) ∑ MB = 0
MFA = MFB = 0
MF1 = 4 x 2 – 4 x 1
MF1 = 4tm
MF2 = MF3 = 4 x 4 – 4 x 3 – 2 x 2
= 16 – 12 – 4 = 0
Resistência dos Materiais
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MF4 = 8,88 x 3 + 4 x 4 – 4 x 3 – 2 x 2 – 3,48 x 3
MF4 = 7,20tm
MF5 = MF6 = - 2 x 1 = -2tm
Fig. 9.13
Fig. 9.14
Resistência dos Materiais
28
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10 DIAGRAMA DE ESFORÇO CONSTANTE (D. E. C.)
Força constante de uma secção
Definição: É igual ao somatório de todas as forças perpendiculares à estrutura de um mesmo lado da
secção.
_ Convenções:
Fig. 9.15
_ Diagrama:
+
-
Fig. 9.16
a) ∑ FV = 0
RA + RB = 8t
E=0
FA D = 4t
E = 4t
FC1 D = 4 – 2 = 2t
FC2
Resistência dos Materiais
E = 4 – 2 = 2t
D = 4 – 2 - 4 = -2t
29
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
E = -2t
FC3 D = – 2 - 2 = -4t
E = -4t
FCB D = – 4 + 4 = 0
MFA = MFB = 0
MF1 = MF3 = 4 x 1 = 4tm
MF2 = 4 x 3 – 2 x 2 = 8tm
Fig. 9.17
Fig. 9.18
Fig. 9.19
Resistência dos Materiais
30
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Fig. 9.20
MFA = MFB = 0
MF1 = MF3 = 12tm
MF2 = 14 tm
FCA
E=0
D = 8t
FC1
E = 8 – 4 = 4t
D = 4 – 2 = 2t
FC2
E = 2t
D = 4 - 2 = 2t
E = -2t
FC3 D = – 2 - 2 = -4t
E = - 4 – 4 = -8t
FCB D = – 8 + 8 = 0
Resistência dos Materiais
31
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
11 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1
1)
Fig. 10.1
a) ∑ FV = 0
RA + RB = 2 + 4 + 2
RA + RB = 8t
RB = 4t
b) ∑ MB = 0
RA x 6 – 2 x 5 – 4 x 3 – 2 x 1 = 0
6 RA = 10 + 12 + 2
RA = 24 = 4t
6
2)
Fig. 10.2
a) ∑ FV = 0
RA + RB = 2 + 4 + 2
RA + RB = 8t
RB = 3,60t
Resistência dos Materiais
b) ∑ MB = 0
RA x 5 – 2 x 4 – 4 x 3 – 2 x 1 = 0
5 RA = 8 + 12 + 2
5RA = 22
RA = 22 = 4,40t
5
32
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
3)
Fig. 10.3
a) ∑ FV = 0
RA + RB = 2 + 2 + 2
RA + RB = 6t
RB = 3,66t
b) ∑ MB = 0
RA x 6 – 2 x 5 – 2 x 3 + 2 x 1 = 0
6RA – 10 – 6 - 2 = 0
6RA = 14
RA = 14 = 2,33t
6
4)
Fig. 10.4
a) ∑ FV = 0
RA + RB = 4 + 4 + 2
RA + RB = 10t
b) ∑ FH = 0
HA = 4t
c) ∑ MB = 0
RA x 5 + HA x 5 – 2 x 3 – 4 x 5 – 4 x 3 = 0
5RA + 20 – 6 – 20 - 12 = 0
5RA = 18
RA = 18 = 3,60t // RB = 6,40t
5
Resistência dos Materiais
33
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
5)
Fig. 10.5
a) ∑ FV = 0
RA + RB = 4 + 6 + 2
RA + RB = 12t
b) ∑ FH = 0
HA + 2 – 4 – 2 + 3,48 = 0
HA – 0,52 = 0
HA = 0,52
c) ∑ MB = 0
RA x 5 + 2 x 2 – 4 x 5 – 6 x 2 – 3,48 x 2 + 0,52 x 3 + 2 x 2 = 0
5RA + 4 – 20 – 12 – 6,96 + 1,56 + 4 = 0
5RA = 29
RA = 29 = 5,88t // RB = 6,12t
5
6)
Fig. 10.6
a) ∑ FV = 0
RA + RB = 2 + 4 + 6
RA + RB = 12t
RB = 5,20t
Resistência dos Materiais
b) ∑ FH = 0
HA + 2 – 4 = 0
HA = 8t
34
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
c) ∑ MB = 0
RA x 5 + 2 x 2 – 2 x 5 – 4 x 3 – 4 x 4 = 0
5RA + 4 – 10 – 12 – 16 = 0
5RA = 36
RA = 36 = 6,80t
5
7)
Fig. 10.6
a) ∑ FV = 0
RA + RB = 4 + 2 + 2
RA + RB = 8t
b) ∑ FH = 0
HA + 2 – 4 = 0
HA = 2t
c) ∑ MB = 0
RA x 4 + 4 x 6 – 4 x 4 – 2 x 2 – 2 x 3 = 0
4RA + 24 – 16 – 4 – 6 = 0
4RA = 2
RA = 2 = 0,50t // RB = 7,50t
4
Resistência dos Materiais
35
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
12 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 2
* Traçam os D.M.F e D.E.C
1)
Fig. 11.1
a) ∑ FV = 0
RA + RB = 6 + 4 + 2 + 6 + 2
RA + RB = 20t
RB = 11,67t
b) ∑ MB = 0
RA x 6 – 6 x 5,5 – 4 x 3 – 2 x 2 - 6 x 0,5 + 2 x 1 = 0
6RA - 33 – 12 – 4 – 3 + 2 = 0
6RA = 50
RA = 50 = 8,33t
6
MF1 = MF5 = 0
MFA = - 2 x 0,5 = - 1tm
MF2 = - 6 x 1,5 + 8,33 x 2 = 7,66tm
MF3 = 8,33 x 3 – 6 x 2,5 = 9,99tm
MF4 = - 2 x 3 + 1,67 x 2 – 6 x 1,5 = 8,34tm
MFB = - 2 x 1 – 2 x 0,5 = - 3tm
E=0
FC1 D = 0
FCA
E = 0 – 2 = -2t
D = – 2 + 8,33 = 6,33t
E = 6,33 – 4 = 2,33t
FC2 D = 2,33t
Resistência dos Materiais
36
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
FC3
E = 2,33t
D = 2,33 - 4 = -1,67t
FC4
E = - 1,67t
D = – 1,67 - 2 = -3,67t
FC5
E = 4 – 2 = 2t
D = 2 - 2 = 0t
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Diagrama do momento fletor:
Resistência dos Materiais
37
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Fig. 11.2
a) ∑ FV = 0
RA + RB = 2 + 6 + 2 + 2 + 6 + 2
RA + RB = 20t
RB = 10,33t
b) ∑ MB = 0
- 2 x 7 + RA x 6 – 6 x 5,5 – 2 x 4 – 2 x 1 - 6 x 0,5 + 2 x 1 = 0
- 14 + 6RA - 33 – 8 – 2 – 3 + 2 = 0
RA = 4,67t
MF1 = MF5 = 0
MFB = MFA = - 2 x 0,5 – 2 x 1= - 3tm
MF2 = - 6 x 1,5 + RA x 2 – 2 x 3 = - 9 + 9,67 x 2 – 6 – 4,34 tm
MF3 = 9,67 x 4 – 6 x 3,5 – 2 x 2 – 2 x 5 = 38,68 – 21 – 4 – 2 x 5= 3,68 tm
MF4 = - 2 x 6 + 9,67 x 5 – 6 x 4,5 – 2 x 3 – 2 x 0,5 = - 12 + 48,35 – 27 – 6 – 1 = 2,37 tm
FC1
E=0
D = 0 – 2t
E = - 2 – 2 = -4t
FCA D = – 4 + 9,67 = 5,67t
E = 5,67 – 4 = 1,67t
FC2 D = 1,67 – 2 = - 0,33t
E = - 0,33t
FC3 D = - 0,33t
FC4
Resistência dos Materiais
E = 0,33 – 2 = - 2,33t
D = – 2,33 - 2 = -4,33t
38
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
E = - 4,33 – 2 = -6,33t
FCB D = - 6,33 + 10,33 = 4t
E = 4 – 2 = 2t
FC5 D = 2 – 2 = 0
Diagrama do momento fletor:
Resistência dos Materiais
39
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Fig. 11.3
a) ∑ FV = 0
RA + RB + 2 = 2 + 6 + 9 + 2 + 6 + 2
RA + RB = 25t
RB = 13,07t
b) ∑ MB = 0
- 2 x 8 + RA x 7 – 6 x 6,5 + 2 x 5 – 9 x 3,5 - 2 x 3 – 6 x 0,5 + 2 x 1 = 0
- 16 + 7RA – 39 + 10 – 31,5 – 6 – 3 + 2 = 0
RA = 11,93t
c) MF1 = MF5 = 0
MFB = MFA = - 2 x 0,5 – 2 x 1= - 3tm
MF2 = - 2 x 3 + – 6 x 1,5 + 11,93 x 2 = – 6 – 9 + 23,86 = 8,86 tm
MF3 = - 2 x 5 – 6 x 3,5 + RA x 4 + 2 x 2 – 6 x 1= 14,72 tm
MF4 = - 2 x 6 + 11,93 x 5 – 6 x 4,5 + 2 x 3 – 9 x 1,5 – 2 x 1 = - 12 + 59,65 – 27 + 6 – 13,50 - 2 = 11,15 tm
MF4 = - 6 + 26,14 – 4 = 11,14 tm
E=0
FC1 D = 0 – 2 = -2t
FCA
E = - 2 – 2 = -4t
D = – 4 + 11,93 = 7,93t
FC2
E = 7,93 – 4 = 3,93t
D = 3,93 + 2 = 5,93t
E = 5,93 – 6 = - 0,07t
FC3 D = - 0,07 – 2 = -2,07t
E = - 2,07 – 3 = - 5,07t
FC4 D = – 5,07t
Resistência dos Materiais
40
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
E = - 5,07 – 4 = - 9,07t
FCB D = - 9,07 + 13,07 = 4t
E = 4 – 2 = 2t
FC5 D = 2 – 2 = 0
Diagrama do Momento Fletor:
Resistência dos Materiais
41
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
* Traçar os D.M.F e D.E.C das estruturas:
Sen30° = 0,50
Cos30° = 0,87
2.sen30 = 2 x 0,5 = 1t
Fig. 11.4
a) ∑ FV = 0
RA + RB – 6 – 4 – 9 – 2 – 6 – 2 + 1 = 0
RA + RB = 28t
b) ∑ MB = 0
RA x 7 – 6 x 6,5 - 4 x 5 – 9 x 3,5 - 2 x 3 + 1 x 2 – 6 x 0,5 + 2 x 1 = 0
7RA – 39 - 20 – 31,5 – 6 + 2 – 3 + 2 = 0
RA = 95,5 // RA = 13,64 t
7
RB = 14,36t
c) MF1 = MF5 = 0
MFA = 2tm
MF2 = 13,64 x 2 – 6 x 1,5 = 27,28 – 9 = 18,28 tm
MF3 = 13,64 x 4 – 6 x 3,5 – 4 x 2 = 19,56 tm
MF4 = - 2 x 3 + 14,36 x 2 – 6 x 1,5 = - 6 + 28,72 – 9 = 13,72tm
MFB = - 2 x 1 – 2 x 0,5 = -3,02tm
D.M.F
Fig.11.5
Resistência dos Materiais
42
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
E=0
FC1 D = 0
FCA
E = - 2t
D = – 2 + 13,64 = 11,64t
FC2
E = 11,64 – 4 = 7,64t
D = 7,64 - 4 = 3,64t
E = 3,64 – 6 = - 2,36t
FC3 D = - 2,36 – 2 = - 4,36t
E = - 4,36 – 3 = - 7,36t
FC4 D = – 7,36 + 1 = - 6,36t
E = - 6,36 – 4 = - 10,36t
FCB D = - 10,36 + 14,36 = 4t
FC5
E = 4 – 2 = 2t
D=2–2=0
D.E.C
Fig. 11.6
Resistência dos Materiais
43
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
a) ∑ FV = 0
RA + RB – 3,48 – 6 – 4 – 4 = 0
RA + RB = 17,48t
b) ∑ FH = 0
HA + 2 – 2 – 4 = 0
HA = 4t
c) ∑ MB = 0
RA x 5 + 4 x 1 – 3,48 x 5 – 6 x 3,5 - 4 x 2 - 2 x 1 = 0
5RA + 4 – 17,4 – 21 – 8 – 2 = 0
RA = 44,4 // RA = 8,88t
5
RB = 8,60t
d) MFA = MB5 = 0
MF1 = 4 x 2 – 4 x 1 = 8 - 4 = 4tm
MF2 = 4 x 4 – 4 x 3 – 2 x 2 = 16 – 12 – 4 = 0t
MF2 = MF3 = 0
MF4 = 8,88 x 3 + 4 x 4 – 4 x 3 – 2 x 2 – 3,48 x 3 – 6 x 1,5 = 26,64 + 16 – 12 – 4 – 10,44 – 9 = 7,24 tm
MF5 = - 2 x 1 = – 2 tm = MF6
Resistência dos Materiais
44
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
13 RESISTÊNCIA
Fig. 12.1
a) RA + RB = 50 + 1000 + 100
RA + RB = 1150 kg
b) ∑ MB = 0
- 50 x 5 + RA x 4 – 1000 x 2,5 - 100 x 1 = 0
-250 + 4RA – 2500 – 100 = 0
4RA = 2500 + 100 + 250
RA = 2850
// RA = 712,50 kg
4
RB = 437,50 kg
c) MF1 = MFB = 0
MFA = - 50 x 1 – 200 x 0,5 = - 150 kg.m
MF2 = 437,50 x 1 – 200 x 0,5 = 337,50 kg.m
E=0
FC1 D = - 50t
FCA
E = - 50 – 200 = -250 kg
D = – 250 + 712,5 = 462,5 kg
E = 462,5 - 600 = - 137,5 kg
FC2 D = - 137,50 - 100 = - 237,5 kg
E = - 237,5 – 200 = - 437,5 kg
FCB D = - 437,5 + 437,5 = 0
Resistência dos Materiais
45
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Fig. 12.2
Fig.12.3
FC5 = 0
- 50 + 712,5 – 200x = 0
x = 662,5
x = 3,31 m
200
MMÁX = MF5 = -50 x 3,31 + 712,5 x 2,31 – 665,5 = 387,25 kg.m
Resistência dos Materiais
46
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
* Centro de Gravidade de uma Figura Plana
Fig. 12.4
* Centro de Gravidade de uma figura plana qualquer
Então:
x = ∑ si . xi
sT
y = ∑ si . yi
sT
Fig. 12.5
Exercícios: Calcular os C.G da figuras dadas:
Resistência dos Materiais
47
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Fig. 12.6
Fig. 12.7
Resistência dos Materiais
48
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Fig. 12.8
Fig. 12.9
Resistência dos Materiais
49
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
14 MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA FIGURA PLANA QUALQUER EM RELAÇÃO A UM
EIXO QUALQUER
Definição: é igual ao somatório do momento de inércia em relação ao C.G paralelo ao eixo dado de cada
elemento de área pelo quadrado da distância que separam os dois eixos.
Fig. 13.1
Então: Jx = ∑ (Jx + Si . y2)
Jy = ∑ (Jy + Si . x2)
Ex: Calcular os M.I em relação aos eixos: x, y, x1, y1 xcg, ycg da figura:
Fig. 13.2
Resistência dos Materiais
50
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Jx =
b1h13 + s1.y12
12
Jx =
40.103 + 2800 . 352
12
+
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
b2h23 + s2.y22
+
30.303 + 900.152
12
Jx = ( 1143333,33 + 3430000) + (67500 + 202500)
Jx = 4573333,33 + 270000
Jx = 4843333,33 cm4
Jy =
h. b3 + s1.x12
12
Jy =
70.403 + 2800 . 202
12
+
30.303 + 900.552
12
Jy =
70.6400 + 2800 . 400
12
+
30.2700 + 900.3025
12
+
hb3 + sx.x22
12
Jy = ( 373333,33 + 1120000) + (67500 + 2722500)
Jy = 1493333,33 + 2790000
Jy = 4283333,33 cm4
Fig. 13.3
Resistência dos Materiais
51
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
15 EXERCÍCIOS GERAIS
1) Calcular a altura da secção para suportar as tensões máximas e iguais de tração e compressão com
valor de 4,83 kg/cm2.
Fig. 14
2) Calcular o momento fletor máximo da estação abaixo.
Fig. 15
3) Traçar os D.M.F e D.E.C da estação abaixo.
Fig. 16
Resistência dos Materiais
52
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
4) Calcular os M.I em relação aos eixos: xCG e yCG da figura abaixo:
Fig. 17
Resistência dos Materiais
53
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
ANOTAÇÕES GERAIS
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Resistência dos Materiais
54
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP]
Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
BIBLIOGRAFIA
Resistência dos Materiais – Jayme Ferreira da Silva Jr.
Resistência dos Materiais – Timoshenko – volume 1 e 2
Resistência dos Materiais – Alerson Moreira da Rocha
Notas de aula
Resistência dos Materiais
55
Hino Nacional
Hino do Estado do Ceará
Ouviram do Ipiranga as margens plácidas
De um povo heróico o brado retumbante,
E o sol da liberdade, em raios fúlgidos,
Brilhou no céu da pátria nesse instante.
Poesia de Thomaz Lopes
Música de Alberto Nepomuceno
Terra do sol, do amor, terra da luz!
Soa o clarim que tua glória conta!
Terra, o teu nome a fama aos céus remonta
Em clarão que seduz!
Nome que brilha esplêndido luzeiro
Nos fulvos braços de ouro do cruzeiro!
Se o penhor dessa igualdade
Conseguimos conquistar com braço forte,
Em teu seio, ó liberdade,
Desafia o nosso peito a própria morte!
Ó Pátria amada,
Idolatrada,
Salve! Salve!
Brasil, um sonho intenso, um raio vívido
De amor e de esperança à terra desce,
Se em teu formoso céu, risonho e límpido,
A imagem do Cruzeiro resplandece.
Gigante pela própria natureza,
És belo, és forte, impávido colosso,
E o teu futuro espelha essa grandeza.
Terra adorada,
Entre outras mil,
És tu, Brasil,
Ó Pátria amada!
Dos filhos deste solo és mãe gentil,
Pátria amada,Brasil!
Deitado eternamente em berço esplêndido,
Ao som do mar e à luz do céu profundo,
Fulguras, ó Brasil, florão da América,
Iluminado ao sol do Novo Mundo!
Do que a terra, mais garrida,
Teus risonhos, lindos campos têm mais flores;
"Nossos bosques têm mais vida",
"Nossa vida" no teu seio "mais amores."
Ó Pátria amada,
Idolatrada,
Salve! Salve!
Brasil, de amor eterno seja símbolo
O lábaro que ostentas estrelado,
E diga o verde-louro dessa flâmula
- "Paz no futuro e glória no passado."
Mas, se ergues da justiça a clava forte,
Verás que um filho teu não foge à luta,
Nem teme, quem te adora, a própria morte.
Terra adorada,
Entre outras mil,
És tu, Brasil,
Ó Pátria amada!
Dos filhos deste solo és mãe gentil,
Pátria amada, Brasil!
Mudem-se em flor as pedras dos caminhos!
Chuvas de prata rolem das estrelas...
E despertando, deslumbrada, ao vê-las
Ressoa a voz dos ninhos...
Há de florar nas rosas e nos cravos
Rubros o sangue ardente dos escravos.
Seja teu verbo a voz do coração,
Verbo de paz e amor do Sul ao Norte!
Ruja teu peito em luta contra a morte,
Acordando a amplidão.
Peito que deu alívio a quem sofria
E foi o sol iluminando o dia!
Tua jangada afoita enfune o pano!
Vento feliz conduza a vela ousada!
Que importa que no seu barco seja um nada
Na vastidão do oceano,
Se à proa vão heróis e marinheiros
E vão no peito corações guerreiros?
Se, nós te amamos, em aventuras e mágoas!
Porque esse chão que embebe a água dos rios
Há de florar em meses, nos estios
E bosques, pelas águas!
Selvas e rios, serras e florestas
Brotem no solo em rumorosas festas!
Abra-se ao vento o teu pendão natal
Sobre as revoltas águas dos teus mares!
E desfraldado diga aos céus e aos mares
A vitória imortal!
Que foi de sangue, em guerras leais e francas,
E foi na paz da cor das hóstias brancas!