Física Geral I - F 128
Aula 7
Energia Cinética e Trabalho
2o semestre, 2011
Energia
As leis de Newton permitem analisar vários movimentos. Essa análise
pode ser bastante complexa, necessitando de detalhes do movimento que
são inacessíveis. Exemplo: qual é a velocidade final de um carrinho na
chegada de um percurso de montanha russa? Despreze a resistência do
ar e o atrito, e resolva o problema usando as leis de Newton.
vi = 0
vf = ?
F128 – 1o Semestre de 2012 2 Energia
Vamos aprender uma técnica muitas vezes mais poderosa (e mais
simples) para analisar o movimento. Essa maneira acabou sendo
estendida a outras situações, tais como reações químicas, processos
geológicos e funções biológicas.
Essa técnica alternativa envolve o conceito de energia, que
aparece em várias formas.
O termo energia é tão amplo que é difícil pensar em uma
definição concisa.
Tecnicamente, a energia é uma grandeza escalar associada a um
estado de um ou mais corpos (sistema). Entretanto, esta definição é
excessivamente vaga para ser útil num contexto inicial. Devemos nos
restringir a determinadas formas de energia, como a manifestada
pelo movimento de um corpo, pela sua posição em relação a outros,
pela sua deformação, etc.
F128 – 1o Semestre de 2012 3 Energia
Energia é um conceito que vai além da mecânica de Newton e
permanece útil também na mecânica quântica, relatividade,
eletromagnetismo, etc.
A conservação da energia total de um sistema isolado é uma lei fundamental da natureza. F128 – 1o Semestre de 2012 4 Energia
Importância do conceito de energia:
•  Processos geológicos
•  Balanço energético no planeta Terra
•  Reações químicas
•  Funções biológicas (maquinas nanoscópicas)
ADP
ATP ( energia armazenada)
ATP
ADP ( energia liberada)
•  Balanço energético no corpo
humano
F128 – 1o Semestre de 2012 5 Energia cinética e trabalho
A energia cinética K é a energia associada ao estado de movimento de
um objeto. A energia cinética K de um objeto de massa m, movendo-se com
velocidade v (muito menor que a velocidade da luz) é:
1
K = mv 2
2
A unidade de energia cinética no SI é o joule (J):
1 joule = 1 J = 1 kg.m2.s-2
Quando se aumenta a velocidade de um objeto aplicando-se a ele uma
força, sua energia cinética aumenta. Nessa situação, dizemos que um
trabalho é realizado pela força que age sobre o objeto.
“Realizar trabalho”, portanto, é um ato de transferir energia. Assim,
o trabalho tem a mesma unidade que a energia e é uma grandeza escalar.
F128 – 1o Semestre de 2012 6 Energia cinética e trabalho
Veremos a relação entre forças agindo sobre um corpo e sua energia cinética.
Problema 1-D: um corpo de massa m desloca-se na direção-x sob ação de uma
força resultante constante que faz um ângulo θ com este eixo.

Da segunda lei de Newton a aceleração na direção-x é:
F
Fx
Fx
2
2
ax =
v − v 0 = 2a x d = 2 d


m
v
v
m
0
θ
x
•
•
1
1 2

m
2
m v − mv0 = Fx d
Então:
d
2
2
O lado esquerdo representa a variação da energia cinética do corpo e o lado
direito é o trabalho, W, realizado pela força para mover o corpo por uma distância
d:
 
W = Fxd = F ⋅ d
(o produto escalar vem
do fato que Fx = F cosθ)
Se um objeto está sujeito a uma força resultante constante, a velocidade varia
conforme a equação acima após percorrer uma distância d.
F128 – 1o Semestre de 2012 7 Trabalho de força constante: força gravitacional
Se o corpo se eleva de uma altura d, então o trabalho realizado pela força peso é:

v
W = mgd cosθ= mgd cos 1800 = − mgd

Fg

vo

d

Fg
O sinal negativo indica que a força gravitacional retira a energia
mgd da energia cinética do objeto durante a subida.
Agora, qual é o trabalho realizado pela força peso sobre um corpo
de 10,2 kg que cai 1,0 metro?
W = mgd = 10,2×9,8×1,0 ≈ +100 J
Neste caso, qual é a velocidade final do corpo, se ele parte do repouso?
ΔK =
1 2 1 2 1 2
mv f − mvi = mv f = W ⇒
2
2
2
F128 – 1o Semestre de 2012 vf =
2W
200
=
= 4,4 m/s
m
10,2
( O mesmo resultado,
obviamente, poderia ter
sido obtido diretamente da
equação de Torricelli).
8 Trabalho de forças constantes
Modelo para resolver o problema:

f at

N

mg

F
Δx
Trabalho realizado
pelos carregadores:
Trabalho realizado
pela força de atrito:
Se o carrinho se desloca
com velocidade constante:
Wc = FΔx
Wa = f aΔx cos π = − f aΔx
ΔK =0
E a força resultante é nula, pois não há aceleração:
  
∑i Fi = F + fa
Isto é consistente com o fato de que o trabalho total ser nulo: Wc+Wa = 0.
(O trabalho da força peso e normal são nulos, pois o deslocamento é perpendicular a estas forças!)
F128 – 1o Semestre de 2012 9 Trabalho e energia cinética em 2D ou 3D
(Força resultante constante com 3 componentes)


Δ
s
Se uma força resultante F constante
numa
 provoca um deslocamento
partícula de massa m, o trabalho de F é:
Para cada componente:
1
1
Fx Δx = mvx2 − mv02x
2
2
 
W = F ⋅Δs
1
1
Fy Δy = mv y2 − mv02y
2
2
1
1
Fz Δz = mvz2 − mv02z
2
2
Então:
 
1
1
W = F ⋅Δs = Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz = m(v 2x +v 2y + v 2z ) − m( v 0 2x +v 0 2y + v 02z )
2
2
Ou seja:
F128 – 1o Semestre de 2012 1
1
2
W = mv − mv02
2
2
10 Trabalho de uma força variável (1-D)
Seja F = F(x) a força resultante que atua sobre uma
partícula de massa m.
Dividimos o intervalo (x2 - x1 ) em um número muito
grande de pequenos intervalos Δxi.
Então:
W = ∑ i FiΔxi
No limite, fazendo Δxi à 0
Δxi à 0
x2
W = ∫ F ( x)dx
x1
(O trabalho é a área sob a curva de força em função da posição!)
F128 – 1o Semestre de 2012
11
Energia cinética e trabalho
Substituindo a força pela segunda lei Newton teremos:
xf
xf
W = ∫ F(x) dx = m∫
xi
xi
x f (v f )
vf
dv
dx
dx = m ∫ dv = m∫ v dv
dt
dt
x (v )
v
i
i
i
1
= m(v 2f − vi2 ) = ΔK
2
Ou seja:
1
W = m(v 2f − vi2 ) = ΔK
2
Este é o teorema do trabalho-energia cinética:
W = área = ΔK
“O trabalho da força resultante que atua sobre uma
partícula entre as posições x1 e x2 é igual à variação da
energia cinética da partícula entre estas posições”.
F128 – 1o Semestre de 2012
12
Trabalho realizado por uma força elástica
Força da mola: F(x) = − kx
F(x)
F(x) = − kx
xf
Wmola =
xi
xf
∫ F(x) dx
xi
x
xf
Wmola

F
x
(mola sendo esticada)
F128 – 1o Semestre de 2012 1
= −k ∫ xdx = − k ( x 2f − xi2 )
2
xi
Se o trabalho sobre a mola (massa) for
realizado por um agente externo, seu valor
é o obtido acima, porém com sinal trocado.
Se xi < xf à W < 0
13 Teorema do trabalho-energia cinética: força variável

v
Uma massa m atinge uma mola não distendida com velocidade 0 .
Qual é a distância que a massa percorre até parar?

v0
k O trabalho da força da mola até a massa parar é:
m Δx
1
1
W = − k ( x 2f − xi2 ) = − kx 2f
2
2
A variação da energia cinética será: ΔK =
(pois xi = 0)
1
1 2
2
2
m ( v f − vi ) = − mv0
2
2
Portanto,
ΔK = W ⇒ kx 2f = mv02 ⇒ x f = −
F128 – 1o Semestre de 2012 m
v0 ⇒
k
Δx =
m
v0
k
14 Trabalho de uma força variável: 3D

O trabalho infinitesimal dW de uma
 força F agindo em uma partícula ao longo de
 
um deslocamento infinitesimal ds é:

F

ds

ds

F
dW =F ⋅ ds
(Trajetória C) Portanto o trabalho total, W, será a soma de

F
(em cada instante
devemos calcular
dW = Fds cosθ)
θ
todos estes trabalhos infinitesimais, dW, ao
longo da trajetória descrita pela partícula.
Esta soma leva uma nome e uma símbolo
especial; é a Integral de Linha
 
W = ∫dW =∫ F ⋅ ds = ∫ F ds cosθ

ds
C


Se F = Fx i + Fy ˆj + Fz kˆ
e
Fx = Fx (x ) ; Fy = Fy ( y ) ; Fz = Fz (z )
F128 – 1o Semestre de 2012 C
C
xf
yf
zf
xi
yi
zi
W = ∫ Fx dx + ∫ Fy dy + ∫ Fz dz
15 Exemplo: Movimento circular uniforme

v
Ausência de trabalho no movimento circular uniforme

ds
A força centrípeta não realiza trabalho:





dW = Fc ⋅ ds = 0 , pois Fc ⊥ ds
F
c
Ou, pelo teorema do trabalho-energia cinética:
ΔK = W = 0

v =cte

A força Fc altera apenas a direção do vetor velocidade, mantendo o seu
módulo inalterado.
F128 – 1o Semestre de 2012 16 Potência
Até agora não nos perguntamos sobre quão rapidamente é realizado um
trabalho!
A potência P é a razão (taxa) de realização do trabalho por unidade de tempo:
dW
P=
dt
Unidade SI:
J/s = watt (W)
Considerando o trabalho em mais de uma dimensão:


dW
dr
P=
=F⋅
dt
dt
 
dW = F ⋅ dr
O segundo termo é a velocidade. Então:

P= F ⋅v
F128 – 1o Semestre de 2012 17 Trabalho e potência
100 m rasos × Maratona
P. A. Willems et al, The Journal of Experimental Biology 198, 379 (1995)
100 m rasos
Maratona (42.142 m)
Trabalho realizado sobre o corredor:
2,1 × 104 J
Trabalho realizado sobre maratonista:
5,9 × 106J
Potência:
2,1×104 J
P100 =
= 2100 W
10 s
Potência:
F128 – 1o Semestre de 2012 5,9×106 J
P100 =
= 816 W
2×60×60 s
18 Um pouco de história
definição da unidade
cavalo-vapor:
1 cv = 550 lb.ft/s
1 cv = 746 W
James Watt 1736-1819
v = 1,0 m/s
m ~ 76 kg
Esquema de máquina a vapor de
James Watt (1788)
F128 – 1o Semestre de 2012 Unidade de potência criada por Watt para fazer o
marketing de sua máquina em uma sociedade
fortemente dependente do (e acostumada ao)
trabalho realizado por cavalos.
1a motivação: retirada da água das minas de carvão.
19 Energia cinética relativística: curiosidade
(energia cinética relativística)
relativística
K/mc2
⎛
⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜ 1
⎟⎟
2⎜
⎜
K = m0 c ⎜
−1⎟⎟
2
⎟⎟
⎜⎜
v
⎟⎟
⎜⎜ 1− 2
⎟⎠
⎝
c
clássica
No limite para v << c :
1
K = m0 v 2
2
v/c
(energia cinética clássica)
F128 – 1o Semestre de 2012
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