X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
DISTRIBUIÇÃO NORMAL: UMA INTRODUÇÃO VOLTADA AO ENSINO
MÉDIO POR SIMULAÇÕES VIA PLANILHA ELETRÔNICA E EXERCÍCIOS
INTERATIVOS
Osmar Antonio de Lima
Secretaria Estadual de Educação-SP/ Faculdade Pitágoras-SP
[email protected]
Resumo: O objetivo deste minicurso é introduzir a noção da Distribuição Normal para os
participantes, sendo proposta uma abordagem que busca a interação entre dois ambientes,
atividade com lápis e papel (sala de aula) e laboratório de informática. O referencial
teórico apoia-se na Teoria Antropológica do Didático – TAD para alcançar o objetivo
pretendido, que se resume em compreender os conceitos estocásticos que envolvem a
Distribuição Normal, por meio de simulação de experimentos, utilizando a planilha
eletrônica (Excel) e, também, exercícios interativos. Com essa proposta, temos como
intuito que os participantes do minicurso passem a reconhecer as características e a
representação gráfica de uma Distribuição Normal, e a partir das análises de exercícios
propostos realizadas em conjunto (professor e alunos), verifiquem que é possível relacionar
os conteúdos da estatística descritiva com os de probabilidade e, dessa forma, passem a ter
uma noção da relação entre estatística descritiva e probabilidade denominada por
estocástica. Em síntese, o uso de uma planilha eletrônica (Excel), em conjunto com
exercícios interativos poderão possibilitar aos participantes a identificação dos conceitos
envolvendo a Distribuição Normal, facilitando sua interação com o objeto de estudo.
Palavras-chave: Distribuição Normal. Formação de conceitos. Informática na Educação
Estatística. Exercícios Interativos. Ensino Médio.
Justificativa
Nas últimas décadas, o ensino da Estatística tem sido alvo de diversas
investigações, como as de: Cohen e Chechile (1997); Tauber (2001); Souza (2002) entre
outros. Na reflexão abrangente sobre o ensino da Estatística e da Matemática, podemos
atentar para o fato de que a educação atravessa uma fase de mudanças históricas que requer
novos métodos de ensino que conciliem as necessidades e os interesses reais verificados
em sala de aula.
Em todas as etapas da História da Humanidade, os avanços que foram responsáveis
pela alteração nos processos nos mais diversos campos da atividade humana, trouxeram
sempre consigo mudanças nas atitudes socioculturais dos povos. Na área da Educação, a
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introdução das tecnologias da comunicação é um desses marcos e tem sido objeto de vários
estudos.
A informática passa a ser inserida no contexto educacional como um elemento a
mais para contribuir na construção do conhecimento, objetivando a promoção da
autonomia humana. Nesse sentido, podemos afirmar que o computador deve ser usado na
sala de aula, como um instrumento potencializador do desenvolvimento humano.
Neste contexto, procuramos fundamentar nosso minicurso em trabalhos que
visaram à inserção das novas tecnologias no ensino da análise exploratória dos dados, no
ensino da distribuição de probabilidade, assim como nas orientações inseridas nos
Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998).
Este minicurso tem como objetivo:

Introduzir os primeiros conceitos relativos à Distribuição Normal no EM ainda
de forma intuitiva, utilizando como recurso didático uma planilha eletrônica
(Excel). A planilha permite a realização de simulações experimentais cuja
variável aleatória associada pode ser representada e explicada por esse modelo.

O reconhecimento, por parte dos alunos, da representação de uma Distribuição
Normal, como uma curva em forma de sino, assintótica ao eixo horizontal;

a compreensão dos alunos sobre o conceito de simetria da curva normal em
relação aos valores médios;

o entendimento dos alunos sobre a leitura do gráfico, de modo que fique claro
que a área abaixo da curva refere-se à probabilidade de ocorrer um determinado
evento; e

o entendimento dos alunos de que dentro do intervalo de [μ  3σ; μ  3σ] está a
quase totalidade dos dados.
A hipótese é que o uso da planilha eletrônica (Excel) na abordagem da Distribuição
Normal de Probabilidade permite o dinamismo no tratamento dos dados, mantendo o foco
na análise e modelagem, facilitando para que os alunos compreendam esse conteúdo.
Referencial teórico
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Almouloud (2007) aborda a Didática da Matemática e seus fundamentos, tendo
como foco a ênfase na compreensão de fenômenos que interferem no processo de ensino e
aprendizagem dos conceitos matemáticos.
Segundo o autor:
A didática da matemática é vista como uma ciência que tem por objeto
investigar fatores que influenciam o ensino e a aprendizagem da
matemática e o estudo de condições que favorecem a sua aquisição pelos
alunos. (ALMOULOUD, 2007, p. 17)
Almouloud (2007) dedica o capítulo VII da obra supracitada à abordagem da Teoria
Antropológica do Didático (Chevallard, 1999), que estuda as condições das possibilidades
e o funcionamento dos sistemas didáticos, compreendidos como relações sujeitoinstituição-saber.
A Teoria Antropológica do Didático permite a interpretação da transposição
didática baseada no desenvolvimento de uma tripla ruptura epistemológica provocada pela
teoria das situações, em que o saber matemático situa-se no centro de toda problematização
didática.
Para a didática da Matemática, sob o enfoque da Antropologia do Didático, tudo é
objeto, fazendo a distinção dos tipos de objetos particulares: as instituições, os indivíduos e
as posições que estes ocupam nas instituições, tomando-os como sujeitos.
A Teoria Antropológica do Didático possibilita a modelagem de práticas sociais,
em geral, e, em particular, a atividade matemática fundamentada em três postulados:

Toda prática institucional pode ser analisada, sob diferentes pontos de vista e de
distintas maneiras, em um sistema de tarefas relativamente bem delineadas;

O cumprimento de toda tarefa decorre do desenvolvimento de uma técnica; e

A ecologia das tarefas e técnicas são as condições e necessidades que permitem
a produção e a utilização destas nas instituições, ou seja, as condições e
restrições que permitem sua produção e seu uso nas instituições, supondo que,
para existir uma instituição, a técnica deve ser compreensível, legível e
justificada. O discurso descritivo sobre a tarefa e a técnica é denominado
discurso teórico-tecnológico.
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O significado da palavra “tarefa” engloba atividades gerais como fechar uma porta,
entre outras. Em nosso caso, calcular a média e o desvio-padrão de um conjunto de valores,
bem como analisar os dados obtidos é um tipo de tarefa. Na prática institucional, a
delimitação de tarefas depende do ponto de vista em que essa prática se desenvolve.
A palavra técnica terá uma dimensão maior que a usual, ou seja, será usada como
uma “maneira de fazer” particular e não sendo um procedimento estruturado e metódico,
ou algoritmo, caso particular de uma técnica.
Uma técnica pode ser apropriada para a resolução de determinadas tarefas, mas não
para todas, o que lhe confere a chamada “capacidade intelectual da técnica”.
A partir das noções de tarefa e técnica, cria-se um bloco técnico-prático associado a
um saber-fazer, no qual a vida das instituições é feita das escolhas de tarefas e técnicas, e
uma pessoa pode realizar várias tarefas em instituições distintas, a que ela está sujeita,
concomitante ou sucessivamente, mostrando sua relação pessoal com os objetos com os
quais mantêm contato.
No campo da tecnologia, estão os conceitos e as noções que permitem controlar e
compreender a atividade humana. A teoria trata da especulação abstrata da tecnologia; e,
no plano teórico, estão as definições, os teoremas, as demonstrações que servem para dar
sustentação às técnicas e produzir tecnologias. Dessa forma, cria-se um bloco teóricotecnológico associado ao saber.
Portanto, podemos entender a Noção de Praxeologia como um conjunto de
Técnicas, de Tecnologia e de Teorias organizadas para uma determinada tarefa.
No que se refere à natureza dos objetos matemáticos, estes podem se apresentar de
duas formas: ostensivos e não ostensivos:
 Objetos ostensivos: se referem a todo objeto que, tendo uma natureza
sensível e certa materialidade, tem, para o sujeito, uma realidade
perceptível. Pode-se dizer, dessa forma, que os ostensivos são os
objetos manipuláveis na realização da atividade matemática.
 Objetos não-ostensivos: são todos os objetos que, como as ideias, as
instituições ou os conceitos, existem institucionalmente sem que, no
entanto, sejam vistos, ditos, escutados, percebidos ou mostrados por
conta própria. Assim, esses objetos somente podem ser evocados ou
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invocados pela manipulação adequada de certos objetos ostensivos que
lhes são associados, tais como uma palavra, uma frase, um gráfico,
uma escrita, um gesto ou todo um discurso. (ALMOULOUD, 2007, p.
119)
Conforme refere Almouloud (2007), na Teoria Antropológica do Didático, o
cumprimento de toda tarefa compreende necessariamente a manipulação de objetos
ostensivos regulados pelos não ostensivos, tornando os objetos ostensivos parte perceptível
da atividade.
Atividades do minicurso
Este minicurso se dará por meio de cinco atividades a seguir:
1. Resolução das medidas resumo de um conjunto de dados trazidos pelo
palestrante;
2. Simulação de uma Curva Normal com os dados encontrados (média e desvio
padrão) em um arquivo pronto;
3. Esboço de uma curva normal por meio de papel quadriculado;
4. Resolução de exercícios interativos;
5. Questionário final.
Para a realização do minicurso, além dos materiais básicos como, lápis, borracha e
papel (atividade 1), necessitamos de computadores para que os participantes possam fazer
suas simulações no programa Excel por meio de um arquivo criado pelo professor.
Disponibilizaremos aos participantes: uma folha de papel quadriculado para que realizem o
esboço de uma curva normal (atividade 3); uma folha contendo os exercícios interativos e
o questionário final.
ATIVIDADE 1: Coleta de dados e análise exploratória
O objetivo dessa etapa é mostrar aos participantes como podem ser realizadas a
coleta e a análise dos dados, bem como a elaboração de uma planilha a partir dos dados
coletados (construção de um banco de dados).
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Para a coleta de dados e análise exploratória, vamos empregar uma tabela com
dados relativos à medida de 40 palmos que variavam de 15 cm (mínimo) a 21,5 cm
(máximo). Estes dados serão apresentados em uma tabela elaborada pelo pesquisador
(professor) para a realização do estudo.
Após os cálculos descritivos dos dados da tabela, preparamos um questionário
específico para a atividade, que visa encaminhar os alunos para uma pré-interpretação dos
intervalos de normalidade, levando-os a uma reflexão da concentração dos dados em torno
da média a partir dos parâmetros média e desvio-padrão, elementos necessários para a
apreensão da Distribuição Normal.
ATIVIDADE 2: Simulações de uma Distribuição Normal
O objetivo desta etapa é mostrar aos alunos como devem ser realizadas as
simulações e sua aplicação. Desse modo, será possível que os alunos conheçam a respeito
das simulações na planilha eletrônica, utilizando-se dos valores da média e desvio-padrão
calculados na etapa 1. Nessa fase (etapa 2), os alunos passam a realizar simulações por
meio de um arquivo elaborado pelo pesquisador (professor).
ATIVIDADE 3: Atividade em papel quadriculado
O objetivo dessa etapa é estudar com os participantes como elaborar gráficos.
Nesse momento do minicurso, solicitaremos que esbocem o gráfico de uma
Distribuição Normal de probabilidades, apenas de posse dos parâmetros média e desviopadrão. Essa etapa será realizada em papel quadriculado. Iremos propor que façam o
esboço da representação de uma Distribuição Normal, cujos parâmetros seja média igual a
2 e desvio-padrão igual a 1.
O intuito da realização desse esboço é o de verificar se os participantes farão a
ligação com a atividade anterior, pois ao realizarem as simulações na planilha eletrônica
será possível a visualização da representação gráfica de uma distribuição normal com sua
característica em forma de sino e, então, buscaremos verificar se os alunos conseguem, de
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posse apenas dos parâmetros média e desvio-padrão, interpretar e desenhar uma curva
normal, segundo as visualizações possibilitadas pela planilha eletrônica.
ATIVIDADE 4: Resolução de exercícios
Essa etapa tem como objetivo mostrar aos alunos como analisar um gráfico de uma
Distribuição Normal no contexto de uma situação que acontece diariamente na cidade de
São Paulo. Nessa etapa da pesquisa os alunos passarão a analisar o gráfico de uma
Distribuição Normal que representa o horário de pico no trânsito da cidade. O tema
escolhido deve-se ao fato de ser bem atual para todos que precisam se deslocar em um
grande centro.
A situação tem por objetivo propiciar aos participantes uma reflexão sobre o
horário de pico no trânsito da cidade de São Paulo, abordando o congestionamento no
trânsito, com ponto de máximo em torno das 18 horas, ou seja, a média do horário é de
18h. Essa análise tem como objetivo levar os alunos a refletir sobre o tema e, em seguida,
propor questões para que se inicie a apreensão do conceito da Distribuição Normal por
meio das observações dos intervalos de normalidade, sua representação gráfica, a
simulação em uma planilha eletrônica e a resolução dos exercícios interativos.
ATIVIDADE 5: Questionário avaliativo
O objetivo desta etapa foi conhecer a opinião dos alunos sobre a sequência didática
e avaliar seu desempenho em situações que envolvessem os conceitos estudados. A última
etapa da sequência didática, ocorreu por meio de um questionário adaptado da tese de
doutorado intitulada “La construcción del significado de la distribución normal a partir de
actividades de análisis de datos”1, defendida por Liliana M. Tauber, em 2001, na
Universidad de Sevilla, tendo como orientadora a Prof.ª Dr.ª Camem Batanero.
O questionário foi atrelado às atividades anteriores, no qual buscamos aferir os
conceitos da Distribuição Normal de Probabilidades que os alunos participantes
construíram durante a realização das atividades propostas. Com isso, comparamos as
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Disponível em <http://www.ugr.es/~batanero/publicaciones%20index.htm> Acesso em 25/01/2009.
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atividades propostas com as questões respondidas, estando cada questão relacionada a um
determinado conceito.
Referências
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BRASIL, SECRETARIA DE EDUCAÇÃO MÉDIA E TECNOLÓGICA. Parâmetros
Curriculares Nacionais Ensino Médio. Brasília. MEC/SEMTEC, 1998.
COHEN, S.; CHECHILE, R. A. Probability Distributions, Assessment and
Instructional Software: Lessons Learned from an Evaluation of Curricular Software.
In: GAL, I.; GARFIELD, J. B. The Assessment Challenge in Statistics Education.
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IOS
Press.
1997.
p.253–262.
Disponível
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<http://www.stat.auckland.ac.nz/~iase/publications/assessbk/chapter19.pdf>. Acesso em:
18/abr/2008.
CHEVALLARD, Y. L´analyse des pratiques enseignantes en théorie anthropologique du
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n.2, p.121-266, 1999.
HOCHSZTAIN, E.; RAMIREZ, R.; ALVAREZ, R. La computadora en la enseñanza de
la estadística. In: Atas da Conferência Internacional "Experiências e Expectativas do
Ensino de Estatística - Desafios para o Século XXI". 1999. Santa Catarina. Anais... Santa
Catarina: UFSC, 1999. Disponível em: < http://www.inf.ufsc.br/~cee/frame2.htm>. Acesso
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SOUZA, C. A. A distribuição binomial no ensino superior. 2002. Dissertação (Mestrado
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TAUBER, L. M. La construcción del significado de la distribución normal a partir de
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Universidad
de
Sevilla.
Sevilla.
2001.
Disponível
em:
<http://www.ugr.es/~batanero/publicaciones%20index.htm>. Acesso em 28/ago/2007.
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