PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
Título: O Software Educativo GeoGebra no Ensino das Funções
Trigonométricas
Autor
Siuvania Locatelli
Escola de Atuação
Colégio Estadual Vinícius de Moraes EFMP.
Município da Escola
Tupãssi
Núcleo Regional de Educação
Assis Chateaubriand
Professor Orientador
Prof.ª Dr.ª Kelly Roberta Mazzutti Lϋbeck
Instituição de Ensino Superior
Unioeste – Universidade do Oeste do
Estado do Paraná
Disciplina/Área
Matemática
Produção Didático-pedagógica
Unidade Didática
Relação Interdisciplinar
Público Alvo
Alunos do 2 º ano do Ensino Médio
Resumo
Esta unidade didática baseia-se no ensino
da matemática através da informática,
especificamente através do uso do Software
Educativo GeoGebra, um programa livre de
geometria
dinâmica
disponível
nos
laboratórios do Programa Paraná Digital.
Com este software é possível trabalhar
geometria, álgebra e cálculo. Este trabalho
apresenta algumas sugestões de atividades,
tendo os seguintes objetivos específicos:
Usar o Software Educativo GeoGebra como
ferramenta pedagógica a ser inserida no
ensino de: Razões trigonométricas no
Triangulo Retângulo; Ensino de Seno e
Cosseno no ciclo Trigonométrico; De Arcos
Trigonométricos; Funções Seno e Cosseno
de Variável Real; Relação Fundamental da
Trigonometria;Construção de Gráfico das
funções Seno e Cosseno. Apresentar ao
aluno uma aula atrativa e interessante do
ponto de vista didático, levando em
consideração a importância do conteúdo
trabalhado; proporcionar uma melhor
interação entre o objeto de estudo da
matemática e o aluno. Desta forma,
pretende-se mostrar que é possível usar a
informática como recurso didático que
desperte no aluno o interesse pela busca do
conhecimento matemático.
Palavras-chave
Ensino-Aprendizagem; Software Educativo
GeoGebra; Funções Trigonométricas;
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
PROFESSORA PDE: SIUVANIA LOCATELLI
UNIDADE DIDÁTICA
O SOFTWARE EDUCATIVO GEOGEBRA NO ENSINO DAS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
NR: ASSIS CHATEAUBRIAND
2012
PROFESSORA PDE: SIUVANIA LOCATELLI
O SOFTWARE EDUCATIVO GEOGEBRA NO ENSINO DAS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola,
desenvolvido como parte do Plano Integrado
de Formação Continuada do Programa de
Desenvolvimento Educacional – PDE 2012 da
Secretaria de Estado da Educação do Paraná.
Orientadora: Profaª. Drª. Kelly Roberta Mazzutti
Lübeck
NR: ASSIS CHATEAUBRIAND
2012
1. APRESENTAÇÃO
Na atualidade a tecnologia computacional está presente em quase todas
as atividades exercidas pelo homem e a área educacional também segue essa
tendência.
Hoje os professores através dos avanços tecnológicos tem um recurso
que os auxiliam nas aulas de matemática, a informática. Por meio dela, é
possível motivar o aluno, para que este passe a visualizar e manipular
representações gráficas de modo mais eficaz que a utilização de lápis e papel,
possibilitando que o aluno faça simulações procure resultados que satisfaçam
os objetivos propostos, compreendendo e assimilando melhor alguns
conteúdos matemáticos.
Este
trabalho
refere-se
a
uma
produção
didático-pedagógica
apresentada em formato de Unidade Didática, onde se propõe o uso do
Software GeoGebra como recurso pedagógico no ensino das Funções
Trigonométricas para motivar a aprendizagem da Matemática.
Nesta unidade didática comentaremos um pouco sobre o computador no
ensino da Matemática, uma referência sobre o que é o Software Educativo
GeoGebra e, como principal objetivo, serão apresentadas algumas sugestões
de atividades envolvendo os conteúdos básicos de Funções Trigonométricas,
visando melhorar e favorecer o processo de ensino e aprendizagem deste
conteúdo.
O Software GeoGebra permite a exploração e interação dos registros
algébricos e geométricos simultaneamente e de forma intuitiva. O aluno pode
visualizar uma função e sua representação gráfica, pode constatar o que ocorre
no gráfico quando altera determinado coeficiente da função de forma rápida e
interativa. Portanto, podemos dizer que é um software que tem o potencial de
tornar o ensino mais significativo e motivador.
O trabalho será desenvolvido com os alunos do Ensino Médio do
Colégio Estadual Vinícius de Moraes EFMP no 1º semestre de 2013, no
Laboratório de Informática do Colégio, através do software de geometria
dinâmica o GeoGebra, que é um programa livre e disponível nos laboratórios
do Programa Paraná Digital.
O trabalho prevê questionar a utilização do computador como uma
ferramenta pedagógica, onde o professor, através de seu conhecimento teórico
sistematizado, promove interação entre aluno e o computador para propiciar
oportunidades de ocorrer à aprendizagem. Nesta intervenção entre o
computador e o aluno, o professor norteia os caminhos do conhecimento de
forma dialética, respeitando as referências do aluno nessa interação.
Neste trabalho serão investigadas as funções trigonométricas em três
contextos. O primeiro contexto será desenvolvido a unidade didática elaborada
neste projeto com a turma do 2⁰ A do ensino médio onde se irá explorar o
ambiente computacional.
Para esse contexto pretende-se introduzir o conteúdo das funções
trigonométricas com aulas no laboratório de informática com auxílio do
Software Educativo Geogebra.
O segundo contexto refere-se à sala de aula e será constituído por aulas
ministradas pelo professor sem utilização de mídias, em classe do 2⁰B do
ensino médio.
O terceiro contexto refere-se à sala de aula constituído por aulas
ministradas por outro professor sem utilização de mídias, em classe do 2⁰ C do
ensino médio.
2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS
2.1 O computador e o Ensino da Matemática
A tecnologia computacional está presente em quase todas as atividades
exercidas pelo homem. A inserção do computador como recurso pedagógico
ao ensino da Matemática pode oportunizar a aprendizagem de conceitos
matemáticos e despertar a busca de novos conceitos.
Isso implica entender o computador como uma nova maneira de
representar o conhecimento provocando um redimensionamento
dos conceitos já conhecidos e possibilitando a busca e
compreensão de novas ideias e valores. (VALENTE, 1999, p.
25).
Neste sentido, o papel do professor será de promover condições para
que o aluno construa o seu conhecimento, através dos recursos tecnológicos.
Nas Diretrizes Curriculares de Matemática o uso de recursos
tecnológicos potencializa o processo pedagógico conforme citação.
Os recursos tecnológicos, como o software, a televisão, as
calculadoras, os aplicativos da internet, entre outros têm
favorecido as experimentações matemáticas, e potencializado
formas de resolução de problemas (PARANÁ, 2008, p. 65).
Dessa forma, o uso das ferramentas tecnológicas auxilia e permite a
construção, a interação, o trabalho colaborativo, os processos de descoberta
de forma dinâmica e o confronto entre a teoria e a prática.
Segundo Borba e Penteado (2010, p. 45) “Entendemos que uma nova
mídia, como a informática, abre possibilidades de mudanças dentro do próprio
conhecimento [...]”.
Neste sentido, o uso do computador em práticas educativas pode ser
aproveitado com o objetivo de experimentar, de visualizar e de representar os
conceitos matemáticos.
2.2 O Ensino das Funções
O uso de novas tecnologias no estudo de funções pode proporcionar a
coordenação entre representações múltiplas, conforme destaca Borba e
Penteando (2010, p. 32) “Conhecer sobre funções passa a significar saber
coordenar representações. Essa nova abordagem só ganha força com
ambientes computacionais que geram gráficos vinculados a tabelas e
expressões algébricas.”
Entende-se que o uso de mídias tecnológicas bem como o uso de
softwares educativos contribui para o ensino da matemática auxiliando na
construção do conhecimento do aluno.
O estudo das Funções Trigonométricas, na maioria das escolas, têm
sido trabalhada através de construções de gráficos com o auxilio de tabelas
que requerem tempo para determinar seus períodos e a imagem. Os alunos
precisam construir uma tabela para descobrir tais informações. Essa
metodologia deixa muito a desejar, pois se concentra na construção de gráficos
sem a preocupação de determinar a influência dos coeficientes das funções.
Segundo as Diretrizes Curriculares de Matemática (Paraná, 2008, p. 59),
“... o aluno deve compreender que as Funções estão presentes nas diversas
áreas do conhecimento e modelam matematicamente situações que, pela
resolução de problemas auxiliam o homem em suas atividades”.
Ao se trabalhar o conteúdo de Funções Trigonométricas, utilizando-se o
Software Geogebra com o objetivo de construir o conceito do conteúdo de
forma dinâmica e interessante possibilita-se a realização de atividades de
investigação nas quais o aluno constrói, observa, questiona, reflete e socializa
as ideias. Dessa maneira o aluno terá maior facilidade em compreender e
utilizar este conteúdo.
Para Borba e Penteado (2010, p. 26) “o uso de tecnologia nas atividades
traz a visualização para o centro da aprendizagem enfatizando um aspecto
fundamental da disciplina que é a experimentação”.
Neste sentido o uso do computador enriquece a aulas e possibilita a
contextualização, dando uma nova abordagem pedagógica no sentido de
construir conhecimento e desenvolver habilidades importantes como saber
pensar, criar e aprender.
É fundamental transmitir para o aluno que as funções são modelos
matemáticos usados em situações nas quais a dependência necessita ser
expresso. No caso da trigonometria o professor pode explorar bem a variação e
a dependência, auxiliando o aluno a melhor compreender estas funções.
2.3 O Software Educativo Geogebra
O Software Educativo Geogebra1 é um programa livre de geometria
dinâmica desenvolvida pelo Professor Markus Hohenwarter para ser utilizado
em sala de aula. Seu criador iniciou o projeto em 2001 na University of
Salzburg e tem continuado o seu desenvolvimento na Flórida Atlantic
University. Com esse programa pode-se realizar construções utilizando pontos,
vetores, segmentos, retas, seções cônicas bem como outras funções e alterar
todos esses objetos dinamicamente após a construção estar finalizada. Ainda
podem ser incluídas equações e coordenadas diretamente.
Assim, o Geogebra é capaz de lidar com variáveis para números,
vetores e pontos, derivar e integrar funções e ainda oferece comandos para
encontrar raízes e pontos extremos de uma função. Deste modo o programa
reúne as ferramentas tradicionais de geometria, com outras mais adequadas à
álgebra e ao cálculo.
O
software
geogebra
poderá
ajudar
no
ensino
das
funções
trigonométricas por ser um meio de promover a aprendizagem com significado,
compreensão e sentido, auxiliando o aluno na construção do conhecimento.
Este trabalho se propõe a construir um referencial teórico prático da
utilização das mídias tecnológicas no processo de ensino da matemática no
conteúdo das Funções Trigonométricas, socializando com os demais
professores e, ao mesmo tempo, ter uma ação coletiva dessas metodologias
na escola pública.
2.4 Conhecendo o Software Educativo Geogebra
Quando acessamos o software Geogebra uma tela de apresentação
mostra diversos recursos. Por meio dos recursos de construção na BARRA DE
1
O Software Educativo Geogebra esta disponível em: http://www.geogebra.org/cms
FERRAMENTAS podemos fazer construções na ÁREA DE TRABALHO com o
uso do mouse. Ao mesmo tempo as coordenadas e equações correspondentes
são mostradas na JANELA DE ÁLGEBRA. O CAMPO DE ENTRADA de texto é
usado para digitar coordenadas, equações, comandos e funções diretamente, e
estes são mostrados na ÁREA DE TRABALHO imediatamente depois de
pressionar a tecla “Enter”.
Janela de Álgebra
Barra de Menus
Barra de Ferramentas
Área de Trabalho
Campo de Entrada
2.4.1 Barra de ferramentas
A barra de ferramenta do software Geogebra está dividida em 12 ícones
(janelas) conforme apresentados abaixo:
Cada ícone (janela) contém várias ferramentas, para selecionar uma
função, devemos clicar na setinha do canto direito inferior de cada ícone, e
arrastar o cursor para baixo, quando a função desejada estiver selecionada é
só dar um clique.
Algumas informações
Através do menu “Exibir” é possível ativar ou desativar a janela de
álgebra, o sistema de eixos, a malha e outros.
No canto superior direito da tela, há o comando Desfazer, que apaga as
últimas ações realizadas, pode-se usar também o teclado, pressionando Ctrl+z
para desfazer e Ctrl+y para refazer, isto quantas vezes for necessário.
Cada vez que selecionamos uma ferramenta, o Geogebra dá
informações de como proceder para utilizá-la
Para tornar objetos desenhados visíveis ou invisíveis, clique sobre eles
com o lado direito do mouse e escolha “Exibir Objeto”.
A aparência dos objetos (cor e tipo de linha) também é alterada
facilmente clicando sobre o objeto com o lado direito do mouse e escolhendo
“Propriedades”.
O menu “Exibir _ Protocolo de Construção” fornece uma tabela listando
todos os passos que você tomou fazendo sua construção. Ele serve para
revisar a construção passo a passo utilizando as teclas de seta.
No rodapé da tela do Geogebra tem uma linha de ENTRADA DE
COMANDOS que nos permite inserir equações e coordenadas diretamente,
basta digitar e teclar “Enter” que o objeto aparecerá na ÁREA DE TRABALHO
e algebricamente na JANELA DE ÁLGEBRA.
No CAMPO DE ENTRADA devemos respeitar algumas notações como:
- O sistema decimal recebe ponto em vez de vírgula;
- O sinal de multiplicação é representado por ( * );
- O sinal de divisão é representado por ( / );
- Para representar potência usamos o símbolo ( ^ ). Ex: x^2 é o mesmo que x2.
Para obter mais informações acesse o documento de ajuda do
Geogebra
–
O
Manual
Oficial
esta
disponível
em:
http://www.geogebra.org/help/docupt_BR.pdf
3. METODOLOGIA
Neste trabalho serão investigadas as funções trigonométricas em três
contextos. O primeiro contexto será desenvolvido a unidade didática elaborada
neste projeto com a turma do 2⁰ A do ensino médio onde o conteúdo será
explorado no ambiente computacional.
Para esse contexto pretende-se introduzir o conteúdo das funções
trigonométricas com aulas no laboratório de informática com auxílio do
Software Educativo Geogebra.
Trabalhar de forma criativa desperta a curiosidade, motivando e
contribuindo para o desenvolvimento da autonomia e de diversas habilidades e
competências. Para tanto, propomos a elaboração de uma sequencia didática.
No contexto do computador teremos atividades, retomadas das
definições das razões trigonométricas, extensão ao ciclo, introdução das
funções seno e cosseno.
O segundo contexto refere-se à sala de aula e será constituído por aulas
ministradas pelo professor sem utilização de mídias, em classe do 2⁰B do
ensino médio.
O terceiro contexto refere-se à sala de aula constituído por aulas
ministradas por outro professor sem utilização de mídias, em classe do 2⁰ C do
ensino médio.
Com esta pesquisa temos o objetivo de observar a influência dos
contextos na aprendizagem.
Nossa intenção é pesquisar se introduzir o assunto através do auxilio do
computador se mostra mais interessante, desafiador e eficaz para a
aprendizagem.
3.1 Contexto do Computador
O estudo das razões trigonométricas e a introdução da Função Seno e
Função Cosseno será feito utilizando-se o Software Educativo Geogebra.
Neste contexto buscamos formular atividades nas quais o aluno possa lidar
com razões trigonométricas, com o auxilio do computador. O aluno poderá
explorar o ciclo trigonométrico, analisar período, amplitude, domínio e imagem
das funções trigonométricas.
Primeiramente serão apresentados os principais comandos do sofware
Geogebra, onde serão feitas algumas construções para os alunos se
familiarizarem com o programa.
Depois será feita algumas construções de triângulos retângulos, cálculos
de área, perímetro e as razões trigonométricas. Depois os alunos construirão
ciclo trigonométrico e, nele, um ponto móvel P. O aluno, ao movimentar o ponto
ao longo do ciclo, observara as projeções de P sobre os eixos, associando
cada arco ao seno e cosseno correspondentes.
A partir de suas observações na tela, o aluno preencherá uma ficha de
atividades que abordara sinal assumido pelo seno, coseno em cada quadrante,
crescimento, decrescimento, valores, máximo e mínimo. O objetivo será
desenvolver um estudo exploratório do conteúdo, nesta fase inicial.
Depois
passaremos
a
construção
dos
gráficos
das
funções
trigonométricas, onde os alunos observarão e analisarão diferentes gráficos
alongamentos, compressão, reflexão e translação. A partir da observação da
tela os alunos irão preencher uma ficha de atividades que abordara questões
referentes ao domínio, imagem, período dos gráficos.
Os registros dos dados serão feitos com os alunos do segundo ano do
ensino médio, os registros serão através de fotos e vídeos. E relatórios das
observações feitas pelo professor.
Espera-se que essa maneira de trabalhar as funções trigonométricas no
contexto computacional, venha contribuir para as percepções dos estudantes
sobre funções, facilitando a relação ensino e aprendizagem. Para tanto,
propomos a elaboração de uma sequência didática.
3.2 Proposta Didática
A sequência didática, que servira de ferramenta para atingir nossos
objetivos será:
1. Apresentação e familiarização do software Geogebra.
2. Retomar as razões trigonométricas no triângulo retângulo.
3. Definir seno e cosseno no ciclo trigonométrico.
4. Definir as funções seno e cosseno de variável real.
5. Construir o gráfico das funções seno e cosseno.
Concluída a sequência didática, espera-se que o aluno seja capaz de:
a) Associar número real ao arco correspondente, no ciclo trigonométrico e
determinar seu seno e cosseno.
b) Reconhecer e aplicar a relação fundamental da trigonometria.
c) Interpretar expressões do tipo:
y = a +b.sen (cx + d) e y = a + b.cos (cx + d) reconhecendo a conexão
entre gráfico e expressão algébrica com diferentes coeficientes.
d) Analisar domínio, imagem e período em gráfico e expressões que
envolvam essas funções.
e) Ligar fenômenos periódicos às funções senoidais e cossenoidais.
3.3 Orientações para a realização das atividades
No laboratório de informática e por meio do software Geogebra, os
alunos do 2⁰ ano do Ensino Médio
irão desenvolver atividades sobre o
conteúdo de Funções Trigonométricas, com o objetivo de construir os conceitos
de forma dinâmica e interessante, através da realização de atividades de
investigação nas quais o aluno constrói, observa, questiona, reflete e socializa
as ideias.
Em cada computador ficarão 1 ou 2 alunos. Primeiramente o aluno
deverá digitar na tela inicial o login e a senha para ter acesso ao Paraná Digital.
Em seguida selecionar: Aplicativos _ Educação _ Matemática _ Geogebra.
O professor apresentará aos alunos o software Geogebra, passando
algumas informações básicas sobre as janelas e as ferramentas disponíveis no
programa. Na sequência iniciam-se as atividades onde os alunos seguirão
passo a passo as orientações do professor. Para a realização de cada
atividade temos: conteúdos a serem explorados, objetivos a serem atingidos e
procedimentos que mostram de maneira detalhada como utilizar os recursos do
programa para desenvolver as atividades.
3.4 Recursos / materiais
- Computador
- Software Geogebra
- Pendrive
- Livro didático
- Caderno e lápis
- Roteiros para os alunos
Tempo previsto
- Serão necessárias uma ou duas aulas para cada unidade.
Avaliação
- A ação avaliativa será através da participação e envolvimento dos alunos no
desenvolvimento de todas as atividades propostas.
4 Unidade Didatica
Unidade 1 - Atividades de familiarização com as operações básicas do
software Geogebra
Objetivos:
- Apresentar os principais comandos do Software Educativo Geogebra para
que o aluno possa conhecer e ter contato com o programa.
Atividade 1.Trace uma reta que passe pelos pontos A e B.
Passo 1: Marcar os pontos A e B; para isso ative a 2ª janela, selecione a opção
novo ponto e clique na janela de visualização .
Passo 2: Marcar a reta que passa pelos pontos A e B; para isso ative a 3ª
janela, selecione a opção reta definida por dois pontos e clique no ponto no
ponto B.
Atividade 2. Construa um segmento com uma medida de 4 cm, marque o
ponto médio do segmento. Renomeie o ponto C e mude a cor do segmento.
Passo 1: Ative a 3ª janela, selecione a opção segmento com comprimento fixo.
Passo 2: Ative a 2ª janela e selecione a opção ponto médio, clicar no ponto A e
B, com o botão contrário do mouse sob o ponto C, selecione a opção
renomear.
Atividade 3. Construa duas retas r e s paralelas. Construa ainda uma reta t
paralela e equidistante as retas r e s.
Passo 1: Criar uma reta para isso ative a 3ª janela selecione a opção reta
definida por dois pontos .
Passo 2: Ative 4ª janela, selecione a opção reta paralela, clique na reta e
depois em outro ponto da janela de visualização que deseja que a reta passe.
Atividade 4. Construção de um Quadrado, cálculo de sua área e perímetro.
Passo 1: Construa um ponto livre A, ative a 2ª janela e selecione a opção novo
ponto.
Passo 2: Construa uma reta perpendicular ao eixo x, que passe em A. Para
isto, ative a 4ª janela e selecione a opção reta perpendicular. Clique sobre o
eixo x e em seguida clique no ponto A.
Passo 3: Construa uma reta perpendicular ao eixo y, que passe em A. Para
isto, ative a 4ª janela e selecione a opção reta perpendicular. Clique sobre o
eixo y e em seguida no ponto A.
Passo 4: Construa um ponto B sobre
uma das retas. Ative a 2ª janela e
selecione a opção novo ponto. Em seguida clique sobre a reta.
Passo 5: Construa um círculo, com centro em A e que passe em B. Para isto,
ative a 6ª janela e selecione a opção círculo dados o centro e um de seus
pontos. Clique no ponto A e em seguida no ponto B.
Passo 6: Faça a intersecção entre a reta e o círculo, ativando a 2ª janela a
opção intersecção de dois pontos e, logo em seguida, clicando sobre a
intersecção da reta e o círculo. O ponto de intersecção será chamado C.
Passo 7: Construa uma reta paralela a reta que passe no ponto C. Para isto,
ative a 2ª janela e selecione a opção reta paralela, clique sobre a reta e em
seguida clique no ponto C.
Passo 8: Construa uma reta paralela A reta que passa no ponto B. para isso,
ative a 4ª janela e selecione a opção reta paralela. Clique sobre a reta e em
seguida clique no ponto B.
Passo 9: Faça a intersecção entre as retas ativando a 2ª janela e selecionando
a opção intersecção de duas retas.
Passo 10: Esconda todos os objetos auxiliares utilizados até agora, deixando
visível apenas os pontos A,B,C e E. Para isto, clique sobre cada destes objetos
com o botão direito do mouse e selecione a opção esconder objeto.
Passo 11: Construa um polígono sobre os pontos ABCE, ativando a 5ª janela e
selecionando a opção polígono. Clique sobre os pontos ABCE.
Passo 12: Calcular a área e o perímetro do polígono. Para isto ative a 8ª janela
e selecione a opção área e clique no polígono, depois escolher a opção
perímetro e clique no polígono.
Obs.: Pode-se obter um quadrado com a opção polígono de 4 lados, fixando-se
um dos lados AB.
Atividade 5. Construção e manipulação de um triângulo ABC.
Passo 1: Ative a 5ª janela e selecione a opção polígono, com três cliques do
mouse em pontos distintos e não colineares da tela construído um triângulo.
Contudo o programa exige que o último clique coincida com o ponto inicial,
fechando assim a poligonal com três lados (triângulo).
Para mudar a cor do contorno da poligonal no Geogebra, clique sobre a
poligonal com a tecla direita do mouse, ative a opção propriedades e selecione
a cor desejada na janela cor. Também é possível retirar ou aumentar o
preenchimento, assim como, aumentar a espessura da reta suporte da
poligonal.
Passo 2: Manipule os vértices um de cada vez. Para isto, ative a 1ª janela e
selecione a opção mover, clique em um dos vértices e mova-o para outra parte
da tela de desenho, tente agora manipular a poligonal de três lados (triângulo)
e um dos lados do triângulo, observe a diferença existente entre os comandos
anteriores e este.
Passo 3: Clique na 1ª janela e selecione a opção giro em torno de um ponto.
Observe que esta opção permite girar objetos construídos em torno de um
ponto selecionado ou de seu centro geométrico. Aplique este passo sobre o
triângulo, escolhendo um vértice de cada vez, e observe os efeitos .
Passo 4: Clique na 8ª janela e selecione a opção distância. A medida do
segmento aparecerá na janela objetos dependentes.
Passo 5: Manipule os vértices e observe que a medida dos lados do triângulo
são modificadas automaticamente. Para isto, ative a 1ª janela e selecione a
opção mover. Para calcular o perímetro da poligonal de três lados utilizamos o „
“campo de entrada” do menu exibir. Quando ativada, esta função permite
calcular o perímetro do triângulo acima, clique no link de “entrada” que aparece
na parte inferior da tela e digite no campo em branco os parâmetros a serem
somados (a+b+c), para finalizar dê um enter. O Geogebra apresentará um
parâmetro d como resultado na janela de álgebra.
Passo 6: Clique na 8ª e selecione a opção ângulo. Clique sobre os vértices B,
A e C, nesta ordem, e observe que uma marca de ângulo aparecerá no vértice
A. Repita o passo para marcar os ângulos com os vértices em B e C,
respectivamente. Agora, clique sobre os vértices A, B e C, nesta ordem, e
observe onde a marca de ângulo aparecerá (Se clicar nos vértices no sentido
horário, as marcas de ângulos aparecerão no interior do polígono). Para exibir
no seu desenho as medidas que aparecem na janela de álgebra, clique no
menu editar e selecione a opção propriedades ou clique com o botão direito do
mouse sobre algum ente geométrico e selecione a mesma opção. Assim que
aparecer a janela de propriedades, clique no ícone exibir rótulo, caso esteja
desativado, e escolha uma das opções que aparece na caixa ao lado (Nome,
Nome&Valor ou Valor).
Passo 7: Ative o campo de entrada. Some as três medidas dos ângulos obtidas
no passo 6. Mova os pontos e observe o que ocorre com a soma dos ângulos.
O que se pode concluir?
Digite no campo de entrada a fórmula, α+ β+ γ , e finalize com o enter ou se
preferir busque a opção ângulo na janela comando e digite entre os colchetes
os ângulos teclando na janela anterior ao comando. Ao finalizar este comando,
aparecerá nos objetos dependentes um ângulo δ = 180º como resultado.
Passo 8: Clique na Janela de Comando e selecione a opção área. Depois de
ativar opção área, digite dentro do colchete os pontos do polígono construído,
por exemplo, a área do triângulo ABC: no campo de entrada aparecerá Área
[A,B,C] para finalizar tecle enter. O Geogebra apresentará o resultado na janela
de “Objetos dependentes”. O Geogebra usa o cm como unidade padrão de
medida de comprimento e área.
Passo 9: Ative 1ª janela a opção mover, manipule os vértices do triângulo e o
próprio triângulo. Observe que os resultados obtidos no campo de entrada
(lados, ângulos, perímetro, área) acompanham as mudanças.
Passo 10: Enviando uma imagem do GeoGebra para o Word. Abra o menu
arquivo na opção exportar clique na opção copiar para a área de transferência
depois abra o Microsoft Word e cole a figura com a ferramenta colar do
programa. Para finalizar corte o excesso e salve o seu trabalho com uma figura
do Word. Além de enviar um arquivo para o Word é possível salvar o seu
arquivo como foto utilizando a opção janela de visualização como figura (png, eps) da
mesma janela exportar.
Atividade 6. Construa as seguintes figuras geométricas planas: quadrado,
trapézio, triângulo, e indique para cada um destes os vértices, área, nome do
polígono, tipo do polígono.
Atividade 7. Construa uma caixa em forma de paralelepípedo.
Atividade 8. Utilizando seus conhecimentos no GeoGebra construa uma casa.
Faça um plano no papel antes de iniciar o desenho da casa ou de outra
construção.
Unidade 2: Razões trigonométricas.
Objetivos:
- Construir um triângulo retângulo.
- Retomar as razões trigonométricas.
Construção
Passo 1: Marque o ponto A(0,0) , o ponto B(2,1).
Passo 2: Traçar uma reta perpendicular ao ponto B em relação ao eixo x. Para
isto ative a 4ª janela e selecione a opção reta perpendicular. (clicar no ponto B
e depois no eixo x).
Passo 3: Marcar o ponto de intersecção entre a reta perpendicular e o eixo x.
Passo 4: Esconder a reta perpendicular. Para isto, na 12ª janela na opção
exibir/esconder objeto (clicar sobre a reta com o botão contrário do mouse em
propriedades selecionar exibir/objetos).
Passo 5: Unir os pontos A,B e C. Para isto ative a 3ª janela e selecione a opção
segmento definido por dois pontos. (clicar no ponto A, B e C).
Passo 6: Medir os segmentos. Para isto, ative a 8ª janela e selecione a opção
distância, comprimento ou perímetro. (clicar no ponto A e C, C e B e A e B).
Na janela comando de entrada definir as razões: r1 = BC/ AB; r2 = AC/AB;
r3 = BC /AC.
Passo 7: Mudar a cor dos segmentos. Para isto, clicar com o botão contrário do
mouse sobre o segmento, ativar a opção propriedades e selecionar a cor.
Passo 8: Mover o ponto B. Para isto, ativar a 1ª janela e selecionar a opção
mover ( clicar no ponto B).
Atividade 1. Movimente o ponto B em direção ao ponto A, tal que o ponto B,
assuma as coordenadas da tabela abaixo e complete-a.
Ponto B
AB
AC
B(4,2)
B(8,4)
B(12,6)
Momento de Reflexão:
BC
BC/AB
AC/AB
BC/AC
1) O que você pode concluir, comparando as razões calculadas nos
triângulos?
2) Explique por que isso ocorre.
Obs.: O professor, após a discussão deve corrigir.
Atividade 2. No mesmo triângulo agora vamos medir o ângulo Â, para isto,
ative a 8ª janela e selecione a opção ângulo. (clicar no segmento AC e AB).
Agora movimente o ponto B em direção ao ponto A, tal que o ângulo Â
assuma os valores da tabela abaixo e complete-a.
Ângulo
CB/AB
CB/AB
AC/AB
AC/AB
BC/AC
BC/AC
30⁰
45⁰
60⁰
Momento de Reflexão:
1) O que você pode concluir, comparando as razões calculadas nos
triângulos?
2) Explique por que isso ocorre.
3) Ao movimentar o ponto B você identificou algum valor igual?
Atividade 3: Construa a reta y = 0,57735*x.
Marque A (0,0), B cole a reta e C como a interseção da reta ao eixo x que
passa por B. Ocultar retas. Marcar triângulos ABC. Marque as relações: r1 =
AC/AB; r2 = BC/AB; Mover o ponto B.
Espera-se que a final destas atividades os alunos sejam capazes de
perceberem que as razões estão relacionadas ao ângulo considerado. Por isso,
definimos que em qualquer triângulo retângulo o valor do seno do ângulo:
como a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. O valor do cosseno do
ângulo como a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. O valor da
tangente ângulo como a razão entre cateto oposto e cateto adjacente.
Atividade 4: Uma rampa lisa de 10 m de comprimento faz ângulo de 30⁰ com
o plano horizontal. Uma pessoa que sobe essa rampa inteira eleva-se quantos
metros verticalmente?
Atividade 5: Um caminhão sobe uma rampa inclinada de 10⁰ em relação
horizontal. Se a rampa tem 20 m de comprimento, a quantos metros o
caminhão se eleva, verticalmente, após percorrer toda a rampa?
Unidade 3 : Construção do triângulo retângulo no ciclo trigonométrico
Citar aos alunos que marquem o ângulo CÂB.
Objetivos:
- Construir o triângulo retângulo no ciclo trigonométrico.
- Compreender as razões trigonométricas.
Construção
Passo 1: Ative a 6ª janela e selecione a opção círculo dados centro e raio.
Coloque o centro na origem e raio 1 unidade.
Passo 2: Marque um ponto B na circunferência, para isto, ative a 2ª janela e
selecione a opção novo ponto e o ponto C pertencente a circunferência no IQ.
Passo 3: Traçar os segmentos AB, AC .
Passo 4: Medir o ângulo BÂC.
Passo 5: Trace uma reta perpendicular ao eixo x passando no ponto B. Para
isto ative a 4ª janela e selecione a opção reta perpendicular (clicar no ponto B
depois no eixo x).
Passo 6: Marque o ponto de intersecção da reta perpendicular e o eixo x. Para
isto, ative a 2ª janela e selecione a opção ponto de intersecção.
Passo 7: Construa um triângulo unindo os pontos A,B, C. para isto, ative a 3ª
janela e selecione a opção segmento definido por dois pontos (clicar em AB e
AC e BC).
Passo 8: Mudar a cor do segmento AC. Para isto, vá com o cursor sobre o
segmento BC com o botão contrário do mouse clicar em propriedades e
selecionar a opção cor.
Passo 9: Esconder objeto, para isto, clicar sobre a reta perpendicular com o
botão contrário do mouse ativar a opção exibir objeto.
Passo 10: Mover o ponto B. Para isto, ative a 1ª janela e selecione a opção
mover. (clicar no ponto B e arrastar).
Passo 11: Definir as razões r1 = BC/AB; r2 = AC/AB ; r3 = BC/AC.
Atividade 1. Movimente o ponto B para que o ângulo assuma os valores
determinados e complete a tabela abaixo:
Ângulo
BC/AB
AC/AB
BC/AC
30⁰
45⁰
60⁰
70⁰
90⁰
120⁰
150⁰
220⁰
300⁰
Momento de reflexão:
1) O que você pode concluir comparando as razões calculadas quando é
fixado o valor da hipotenusa em 1 unidade?
2)
Analise os valores encontrados com uma tabela de razões trigonométricas.
Ao concluir esta atividade os alunos irão perceber que ficará mais fácil calcular
seno, cosseno e tangente de um ângulo α quando o valor da hipotenusa for 1 unidade .
Unidade 4: Arco trigonométrico
Objetivos:
- Construir o arco trigonométrico.
- Diferenciar comprimento de circunferência e comprimento de arcos.
- Compreender congruência de arcos.
Construção
Passo 1: Construa uma circunferência. Para isto, ative a 6ª janela e selecione a
a opção círculo dados centro e raio, sendo centro origem A(0,0) e raio 1
unidade.
Passo 2: Marque o ponto B(1,0) e um ponto C na circunferência pertencente
ao 1⁰ quadrante.
Passo 3: Marque o segmento AB e AC e BC. Para isto, ative a 3ª janela e
selecione a opção segmento definido por dois pontos.
Passo4: Marque um arco circular. Para isto, ative a 6ª janela e selecione a
opção arco circular dado centro e dois pontos. (clicar no ponto A,B e C). Mude
a cor do arco BC.
Passo 5: Marcar o ângulo Â. Para isto, ative a 8ª janela e selecione a opção
ângulo. (clicar no eixo x, depois no segmento AC).
Passo 6: Mova o ponto C. Para isto, ative a 1ª janela e selecione a opção
mover ( clicar no ponto C e movimenta-lo).
Atividade 1. Movimente o ponto C obtendo um arco de ângulo central 30⁰.
Agora movimente o ponto C obtendo um ângulo central de 360⁰.
Vamos relembrar o comprimento da circunferência que é 2πr, então a
circunferência de raio = 1, seu comprimento será 2π. Existe outra unidade de
medida de ângulo além do grau, que é o radiano.
A circunferência orientada de centro na origem do sistema, de raio
unitário (r = 1) e cujo sentido positivo é o anti-horário, é denominado
circunferência trigonométrica.
O sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xÔy, dividem a
circunferência trigonométrica em quatro partes iguais, que são chamadas
quadrantes. Os quadrantes apresentam as seguintes variações em graus ou
radianos.
Arcos côngruos
Construção
Passo 1: Construa uma circunferência. Para isto, ative a 6ª janela e selecione a
a opção círculo dados centro e raio, sendo centro origem A(0,0) e raio 1
unidade.
Passo 2: Marque o ponto B(1,0) e um ponto C na circunferência pertencente
ao 1⁰ quadrante.
Passo 3: Marque o segmento AB e AC e BC. Para isto, ative a 3ª janela e
selecione a opção segmento definido por dois pontos.
Passo4: Marque um arco circular. Para isto, ative a 6ª janela e selecione a
opção arco circular dado centro e dois pontos. (clicar no ponto A,B e C). Mude
a cor do arco BC.
Passo 5: Marcar o ângulo Â. Para isto, ative a 8ª janela e selecione a opção
ângulo. (clicar no eixo x, depois no segmento AC).
Passo 6: Construir uma circunferência de centro e raio 2.
Passo 7: Marque o ponto D, ponto de interseção do eixo x com a circunferência
de raio 2. Marque o ponto E na circunferência de raio 2 no IQ. Agora marque os
segmentos AD, AE e DE.
Passo 8: Marque o ângulo EÂD. Marque o arco circular AE, mude a cor do
arco.
Passo 9: Construir uma circunferência de centro na origem e raio 3. Marque um
ponto F de intersecção do eixo x com a circunferência de raio 3. Marque um
ponto G na circunferência de raio 3 no IQ.
Passo 10: Marque os segmentos AF,AG e FG. Marque o ângulo FÂG. Marque
o arco circular GF. Mude a cor do arco.
Passo 11: Marque um ponto H fora das circunferências e marque o segmento
AH.
Atividade 2: Mova o ponto C até obter 45⁰.
Movimente o ponto E percorrendo uma volta completa na circunferência, agora
percorra 45⁰ da segunda volta. Quantos graus você percorreu?---------------------Observe que a abertura de um arco de 45⁰ é a mesma de um arco de 405⁰.
Agora movimente o ponto G percorrendo 2 voltas completas e pare em 45⁰ da
terceira volta. Quantos graus você percorreu?--------------------------------------------Compare a abertura dos arcos de 45⁰, 405⁰ e 765⁰, o que você observa?-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Então podemos concluir que arcos côngruos são: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Atividade 3. Um objeto partindo do ponto de origem dos arcos, percorreu um
arco de 1690⁰. Quantas voltas completas e em qual quadrante parou?
Atividade 4. Quantas voltas completas dá e em qual quadrante parou um
móvel que partindo da origem dos arcos, percorre um arco de:
a) 1875⁰ ------------------- b) 2310⁰ -------------------- c) -3250⁰ -----------------------d) -1290⁰ ------------------e) 31π/6-----------------------f) 19π/3 ----------------------Atividade 5. Descubra a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral
dos arcos:
a) -1970⁰ --------------------------------------------------------------------------------------b) 1550⁰ ---------------------------------------------------------------------------------------c) 13π/2 --------------------------------------------------------------------------------------Atividade 6. Converta as unidades completando a tabela abaixo:
X(⁰)
0
X(rad)
0
30
45
60
90
120
135
150
180
210
225
240
270
300
315
330
360
2π
Momento de reflexão
1) Por que circunferência orientada?
2) Qual o significado ângulo negativo?
Unidade 5: Construção da Função Seno
Objetivos:
- Definir o seno de um ângulo maior que 90⁰.
- Definir senx como ordenada, de um ponto P do ciclo, correspondente à
extremidade do arco de medida x.
-
Fazer uma analise qualitativa dos valores de senx como função de x,
estudando os sinais de crescimento e decrescimento.
- Determinar valores notáveis assumidos pelo seno.
- Determinar os valores máximos e mínimos assumidos pelo seno.
Agora vamos trabalhar com números reais, com a reta real, com
percurso no sentido anti-horário. Para isso a medida do arco estará sempre
representada em radianos.
Construção
Passo 1: Ativar a 6ª janela e selecione a opção círculo dados centro e raio,
marcar o centro na origem e raio = 1.
Passo 2: Marcar os pontos de interseção dos eixos cartesianos com a
circunferência.
Passo 3: Marque um ponto C na circunferência pertencente ao primeiro
quadrante.
Passo 4: Marque o arco BC. Para isto ative a 6ª janela e selecione a opção
arco circular dados centro e dois pontos. Mudar a cor do arco.
Passo 5: Marcar o ângulo BÂC. Para isto ative a 8ª janela e selecione a opção
ângulo.
Passo 6: Traçar uma reta perpendicular que passa pelo ponto C. Para isto,
ative a 4ª janela e selecione a opção reta perpendicular (clicar no ponto C e no
eixo x).
Passo 7: Marque o ponto de intersecção entre a reta perpendicular e o eixo x.
Para isto, ative a 2ª janela e selecione a opção interseção de dois pontos.
Passo 8: Unir os pontos A,C e D. Para isto, ative a 3ª janela e selecione a
opção segmento definido por dois pontos.
Passo 9: Traçar uma reta paralela ao eixo x que passa pelo ponto C. Para isto,
ative a 4ª janela e selecione a opção reta paralela (clicar no eixo e no ponto C).
Passo 10: Marcar o ponto de intersecção da reta paralela e o eixo y. Para isto,
ative a 2ª janela e selecione a opção ponto de interseção de dois pontos.
Passo 11: Marque o segmento OF e CF. Para isto, ative a 3ª janela e selecione
a opção segmento definido por dois pontos.
Passo 12: Mudar a cor do segmento OF. Para isto, clicar sobre o segmento
com o botão contrário do mouse, ativar a opção propriedades e selecionar a
cor.
Passo 11: Esconder as retas. Para isto, clicar com o botão contrário do mouse
sobre a reta e selecionar a opção exibir objeto.
Consideremos um sistema cartesiano acoplado a uma circunferência de
raio unitário, com origem coincidente com o centro O da circunferência.
Sejam os pontos A,B,C,D os pontos de interseção dos eixos do sistema
cartesiano com a circunferência. Então se a medida do arco AP = x definiu:
senx = OF ( projeção de OP sobre o eixo vertical y)
Como estamos no sistema cartesiano, temos que, se OF esta na semireta OB é positivo e, se esta na semi- reta OD, negativo.
Considera-se uma origem para os arcos (o ponto A) e um sentido de
percurso como sendo o positivo (o anti-horário). Podemos determinar seno e
cosseno de ângulos maiores de 360⁰ e também de arcos de medidas
negativas. Podendo ainda relacionar o arco AP, de medida x, com a projeção
em cada um dos eixos, comparando comprimentos.
Atividade 1. Seja AP = x, deslocando o ponto P no sentido anti-horário, ao
longo dos quadrantes, de tal forma que AP= x esteja nas posições I a IV
abaixo, complete a tabela.
Conforme
P
se
AP = x
Valor
aproxima
de
sen
aumenta ou diminui
I→ A
0<x<π/2
II → B
π/2<x<π
III → C
Π<x<3π/2
IV → D
3π/2<x<2π
x
Sinal
Quando P esta sobre A
AP = x = 0
Sen 0 = 0
Quando P esta sobre B
AP = x = π/2
Sen π/2 =
Quando P esta sobre D
Quando P esta sobre A
Quando P esta sobre 3π
sen
positivo ou negativo
Atividade 2. Complete a tabela abaixo:
Quando P esta sobre C
de
x
Momento de Reflexão
1) Qual o valor máximo assumido pelo seno?
2) Caso continue a movimentar o ponto P tal que AP > 2π, o que você
pode prever em relação aos sinais e ao crescimento ou decrescimento
do seno?
Atividade 3. Marque o ângulo Ô na circunferência. Para isto, ative a 8ª janela
e selecione a opção ângulo (clicar no segmento OE e OP).
Medir o segmento OF. Para isto, ative a 8ª janela e selecione a opção
distância, comprimento e perímetro, clicar no segmento.
Movimente o ponto P e complete a tabela abaixo:
X (⁰)
(rad)
Senx
0⁰
0 rad
Sen0=0
30⁰
rad
45⁰
60⁰
90⁰
120⁰
135⁰
150⁰
180⁰
sen30⁰= sen
=
210⁰
225⁰
240⁰
270⁰
300⁰
315⁰
330⁰
360⁰
Momento de reflexão
1) Existem valores de x, entre os dados que você observou que possuem o
mesmo seno? Justifique.
2) Compare o sen40⁰ com o sen140⁰ o que ocorre com seus valores?
Justifique.
3) Para determinar o seno de um arco fora da 1ª volta, basta considerar
seu côngruo n a 1ª volta.
Atividade 4. Encontre o valor de :
a) sen210⁰............. b) sen135⁰..............c) sen330⁰............d) sen390⁰.........
e) sen750⁰............. f) sen11π/6............ g) sen325⁰............h) sen94⁰..........
Atividade 5. Encontre o valor dos senos de :
a) sen 685⁰................b) sen 15 π/2 rad .................c) sen - 400⁰...................
d) sen 850⁰ ..............e) sen - 1310⁰ ...................... f) sen 3π/6 rad.................
Atividade 6. Determine x tal que 0≤ x <2 e sen x = - .
Espera-se que ao final da atividade os alunos conseguirão perceber que:
- Para determinar o seno de um ângulo do 2⁰ quadrante, basta compará-lo com
o ângulo correspondente do 1⁰ quadrante. sen(π-x)=senx.
- Para determinar o seno de um ângulo do 3⁰ quadrante, basta compará-lo
com o ângulo correspondente no 1⁰ quadrante. sen(π+x)=-senx.
- Para determinar o seno de um ângulo do 4⁰ quadrante, basta compará-lo com
o ângulo do 1⁰ quadrante. Sen(2π-x)=-senx.
Unidade 6: Construção da Função Cosseno
Objetivos:
- Definir o cosseno de um ângulo maior que 90⁰.
- Definir cosx como ordenada, de um ponto P do ciclo, correspondente à
extremidade do arco de medida x.
- Fazer uma analise qualitativa dos valores de cosx em função de x, estudando
os sinais de crescimento e decrescimento.
- Determinar valores notáveis assumidos pelo cosseno.
- Determinar os valores máximos e mínimos assumidos pelo cosseno.
Agora vamos trabalhar com números reais, com a reta Real, percurso no
sentido anti-horário. Para isso a medida do arco estará sempre representada
em radianos.
Passo 1: Ativar a 6ª janela e selecione a opção círculo dados centro e raio,
marcar o centro na origem e raio = 1.
Passo 2: Marcar os pontos de interseção dos eixos cartesianos com a
circunferência (A,B, C, D).
Passo 3: Marque um ponto P na circunferência pertencente ao primeiro
quadrante.
Passo 4: Traçar uma reta perpendicular que passa pelo ponto P. Para isto,
ative a 4ª janela e selecione a opção reta perpendicular (clicar no ponto P e no
eixo x).
Passo 5: Marque o ponto de intersecção entre a reta perpendicular e o eixo x.
Para isto, ative a 2ª janela e selecione a opção interseção de dois pontos.
Passo 6: Unir os pontos O,E e P. Para isto, ative a 3ª janela e selecione a
opção segmento definido por dois pontos.
Passo 7: Traçar uma reta paralela ao eixo x que passa pelo ponto P. Para isto,
ative a 4ª janela e selecione a opção reta paralela (clicar no eixo e no ponto P).
Passo 8: Marcar o ponto de intersecção da reta paralela e o eixo y. Para isto,
ative a 2ª janela e selecione a opção ponto de interseção de dois pontos.
Passo 9 : Marque o segmento OP e OE. Para isto, ative a 3ª janela e selecione
a opção segmento definido por dois pontos.
Passo 10: Mudar a cor do segmento OE. Para isto, clicar sobre o segmento
com o botão contrário do mouse, ativar a opção propriedades e selecionar a
cor.
Passo 11: Esconder as retas. Para isto, clicar com o botão contrário do mouse
sobre a reta e selecionar a opção exibir objeto.
Consideremos um sistema cartesiano acoplado a uma circunferência de
raio unitário, com origem coincidente com o centro O da circunferência.
Sejam os pontos A,B,C,D os pontos de interseção dos eixos do sistema
cartesiano com a circunferência. Então se a medida do arco AP = x definiu:
cosx = OE ( projeção de OP sobre o eixo horizontal) .
Como estamos no sistema cartesiano, temos que, se OE esta na semireta OA é positivo e, se esta na semi-reta OC, é negativo.
Atividade 1. Seja AP = x, deslocando o ponto P no sentido anti-horário, ao
longo dos quadrantes, de tal forma que AP= x esteja nas posições I a IV
abaixo, complete a tabela.
Conforme
P
se
AP = x
Valor
aproxima
de
cos
aumenta ou diminui
I→ A
0<x<π/2
II → B
π/2<x<π
III → C
Π<x<3π/2
IV → D
3π/2<x<2π
x
Sinal de cosx positivo
ou negativo
Atividade 2. Complete a tabela abaixo:
Quando P esta sobre A
AP = x = 0
cos 0 = 0
Quando P esta sobre B
AP = x = π/2
cos π/2 =
Quando P esta sobre C
Quando P esta sobre D
Quando P esta sobre A
Quando P esta sobre 3π
Momento de Reflexão
1) Qual o valor máximo assumido pelo cosseno?
2) Caso continue a movimentar o ponto P tal que AP > 2π, o que você
pode prever em relação aos sinais e ao crescimento ou decrescimento
do cosseno?
Atividade 3. Marque o ângulo Ô na circunferência. Para isto, ative a 8ª janela
e selecione a opção ângulo (clicar no segmento OE e OP). Medir o segmento
OE. Para isto, ative a 8ª janela e selecione a opção distância, comprimento e
perímetro, clicar no segmento.
Movimente o ponto P e complete a tabela abaixo:
X (⁰)
(rad)
Cosx
0⁰
0 rad
cos0=cos 0 rad=1
30⁰
rad
45⁰
60⁰
90⁰
120⁰
135⁰
150⁰
cos30⁰= cos
=
180⁰
210⁰
225⁰
240⁰
270⁰
300⁰
315⁰
330⁰
360⁰
Momento de reflexão
1) Existem valores de x, entre os dados que você coletou que possuem o
mesmo cosseno? Justifique.
2) Compare o cos60⁰ com o cos300⁰ o que ocorre com seus valores?
Justifique.
3) Para determinar o cosseno de um arco fora da 1ª volta, basta considerar
seu côngruo n a 1ª volta.
Atividade 4. Encontre o valor de :
a) cos210⁰............ b) cos135⁰..............c) cos330⁰............d) cos390⁰.........
e) cos750⁰............. f) cos340⁰............ g) cos325⁰............h) cos94⁰..........
Atividade 5. Encontre o valor dos senos de :
b) cos 685⁰................b) cos 15 π/2 rad .................c) cos - 400⁰...................
e) cos 850⁰ ...............e) cos - 1310⁰ ..................... f) cos 3π/6 rad...............
Atividade 6. Determine x tal que 0≤ x <2 e cos x =
.
Espera-se que ao final da atividade os alunos conseguirão perceber que :
- Para determinar o cos de um ângulo do 2⁰ quadrante, basta compará-lo com
o ângulo correspondente do 1⁰ quadrante. cosx(π-x)=-cosx.
- Para determinar o cosseno de um ângulo do 3⁰ quadrante, basta compará-lo
com o ângulo correspondente no 1⁰ quadrante. cos(π+x)=-cosx.
- Para determinar o cosseno de um ângulo do 4⁰ quadrante, basta compará-lo
com o ângulo do 1⁰ quadrante. cosn(2π-x)=cosx.
Unidade 7: Construção da função Seno e Função Cosseno num mesmo
ciclo trigonométrico.
Objetivos:
- Construir, visualizar e movimentar as funções seno e cosseno.
- Definir a relação fundamental da trigonometria.
Passo 1: Ativar a 6ª janela e selecione a opção círculo dados centro e raio,
marcar o centro na origem e raio = 1.
Passo 2: Marcar os pontos de interseção dos eixos cartesianos com a
circunferência (A,B, C, D).
Passo 3: Marque um ponto P na circunferência no primeiro quadrante.
Passo 4: Traçar uma reta perpendicular que passa pelo ponto P. Para isto,
ative a 4ª janela e selecione a opção reta perpendicular (clicar no ponto P e no
eixo x).
Passo 5: Marque o ponto de intersecção entre a reta perpendicular e o eixo x.
Para isto, ative a 2ª janela e selecione a opção interseção de dois pontos.
Passo 6: Unir os pontos O,E e P. Para isto, ative a 3ª janela e selecione a
opção segmento definido por dois pontos.
Passo 7: Traçar uma reta paralela ao eixo x que passa pelo ponto P. Para isto,
ative a 4ª janela e selecione a opção reta paralela (clicar no eixo e no ponto P).
Passo 8: Marcar o ponto de intersecção da reta paralela e o eixo y. Para isto,
ative a 2ª janela e selecione a opção ponto de interseção de dois pontos.
Passo 9 : Marque o segmento OP e OE. Para isto, ative a 3ª janela e selecione
a opção segmento definido por dois pontos.
Passo 10: Mudar a cor dos segmentos OE e OF. Para isto, clicar sobre o
segmento com o botão contrário do mouse, ativar a opção propriedades e
selecionar a cor.
Passo 11: Esconder as retas. Para isto, clicar com o botão contrário do mouse
sobre a reta e selecionar a opção exibir objeto.
Passo 12: Marque o ângulo Ô na circunferência. Para isto, ative a 8ª janela e
selecione a opção ângulo (clicar no segmento OE e OP).
Passo 13: Medir os segmentos OE e OF. Para isto, ative a 8ª janela e
selecione a opção distância, comprimento e perímetro, clicar no segmento.
.
Atividade 1. Responda as questões propostas abaixo:
a) Desloque o ponto P no 1⁰ quadrante, observe o ΔOPE. Que tipo de
triângulo é este?
b) Qual a relação entre esses lados deste triângulo?
c) Movimente o ponto P ao longo do ciclo trigonométrico, o que acontece com o
segmento OP?
d) O que este segmento OP representa em relação ao ciclo? Qual o seu valor?
e) Que relação pode-se concluir observando o movimento do ponto P no ciclo
trigonométrico?
Espera-se com essa atividade que os alunos consigam compreenderem
a relação fundamental da trigonometria: sen2 x + cos 2 x = 1.
Atividade 2. Calcule usando arcos côngruos:
a) cos
b) cos(-330⁰)
c) cos1140⁰ d) sen
e) sen750⁰
Atividade 3. Determine x nos seguintes casos:
a) 0⁰≤ x < 360⁰ tal que cosx =
b) 0⁰≤ x <
tal que senx=
Atividade 4. Dado senx= , com 0 < x <
calcular cos x.
Unidade 8: Construção do Gráfico da Função Seno de alfa.
Objetivos:
- Construir, interpretar e analisar domínio, imagem e período da Função Seno.
- Identificar os intervalos onde as funções são crescentes e decrescentes e
onde são positivas, negativas ou nulas.
Passo 1: Ativar a 6ª janela e selecione a opção círculo dados centro e raio,
marcar o centro na origem e raio = 1.
Passo 2: Marcar os pontos de interseção dos eixos cartesianos com a
circunferência.
Passo 3: Marque um ponto P na circunferência pertencente ao primeiro
quadrante.
Passo 4: Traçar uma reta perpendicular que passa pelo ponto P. Para isto,
ative a 4ª janela e selecione a opção reta perpendicular (clicar no ponto P e no
eixo x).
Passo 5: Marque o ponto de intersecção entre a reta perpendicular e o eixo x.
Para isto, ative a 2ª janela e selecione a opção interseção de dois pontos.
Passo 6: Unir os pontos O,E e P. Para isto, ative a 3ª janela e selecione a
opção segmento definido por dois pontos.
Passo 7: Traçar uma reta paralela ao eixo x que passa pelo ponto P. Para isto,
ative a 4ª janela e selecione a opção reta paralela (clicar no eixo e no ponto P).
Passo 8: Marcar o ponto de intersecção da reta paralela e o eixo y. Para isto,
ative a 2ª janela e selecione a opção ponto de interseção de dois pontos.
Passo 9 : Marque o segmento OF e PF. Para isto, ative a 3ª janela e selecione
a opção segmento definido por dois pontos.
Passo 10: Mudar a cor do segmento OF. Para isto, clicar sobre o segmento
com o botão contrário do mouse, ativar a opção propriedades e selecionar a
cor.
Passo 11: Esconder as retas. Para isto, clicar com o botão contrário do mouse
sobre a reta e selecionar a opção exibir objeto.
Passo 12: Construir o gráfico da função seno de alfa. Para isto, marcar um
ponto fora da circunferência ponto G, clicar sobre o ponto G com o botão direito
do mouse, ativar propriedades selecionar a cor e mudar.
Passo 13: Com o cursor sobre o ponto G, duplo clique, mudar as coordenadas
G(α, sin (α)), habilitar rastro , mover o ponto P.
Passo 14: mudar o valor do eixo x para radianos. Para isto, clicar com o botão
contrario do mouse sobre o eixo x, ativar a janela de visualização, selecionar a
opção eixo x opção distancia e na barra de rolagem escolha π /2, selecionar a
unidade π.
Dado um ângulo de medida x, a função seno é a relação que associa a
cada x em R, o seno do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função
é denotada por f(x)=sen(x) ou y=sen(x).
Atividade 1. Movimente o ponto P ao longo do ciclo trigonométrico, observe o
gráfico do movimento do ponto e de o domínio a imagem da função seno.
Atividade 2. Esta função é periódica? Por que ela recebe este nome e qual é o
seu período?
Atividade 3. Quantos períodos completos você está visualizando Na tela?
Atividade 4. Em quais intervalos de x a função seno é positiva? E negativa?
Atividade 5. Em quais intervalos de x a função é crescente? E decrescente?
Atividade 6. Construa o ciclo com o gráfico da Função Cosseno de alfa e faça
as atividades 1 a 5 referente a função cosseno.
Unidade 9: Construção do gráfico das Funções Seno e Cosseno
Objetivos:
- Interpretar gráficos de funções trigonométricas.
- Analisar as constantes reais a, b, α, no gráfico, no domínio, na imagem e no
período das funções.
Os gráficos dessas funções podem ser obtidos alongando, comprimindo,
transladando e refletindo apropriadamente cada gráfico, a partir das funções
y= senx e y = cos x respectivamente.
Após entrar no programa Geogebra, clique com o botão direito do mouse
sobre o eixo do x, clique em janela de visualização ative a opção distancia e
na barra de rolagem escolha
e feche.
Grupo 1
(A) y = senx
(B) y = 2senx
(C) y= 4senx
Passo 1: Digite na barra de entrada y=sin(x), enter.
Passo 2: Clique com o botão direito do mouse sobre o gráfico, ative a opção
propriedades mudar cor.
Passo 3: Ativar a 10ª janela, selecionar a opção inserir texto e escrever a
função.
Passo 4: Digite na barra de entrada y=2sin(x), enter.
Passo 5: Digite na barra de entrada y= 4sin(x), enter.
Momento de Reflexão:
1. Quando se compararam as curvas B e C com a curva A, observa-se,
nesta família de funções, que houve alongamento vertical.
Atividade 1. Qual o domínio, a imagem e o período dessas funções?
Grupo 2
(A) y = senx
(B) y = senx
(C) y = senx
Passo 1: Digite na barra de entrada y=sin(x), enter.
Passo 2: Clique com o botão direito do mouse sobre o gráfico, ative a opção
propriedades mudar cor.
Passo 3: Ativar a 10ª janela, selecionar a opção inserir texto e escrever a
função.
Passo 4: Digite na barra de entrada y= sin(x), enter.
Passo 5: Digite na barra de entrada y= sin(x), enter.
Momento de Reflexão:
1. Quando se compararam as curvas B e C com a curva A, observa-se,
nesta família de gráficos, que houve compressão vertical.
Atividade 1. Qual o domínio, a imagem e o período dessas funções?
Grupo 3
(A) y= senx
(B) y = -senx
Passo 1: Digite na barra de entrada y=sin(x), enter.
Passo 2: Clique com o botão direito do mouse sobre o gráfico, ative a opção
propriedades mudar cor.
Passo 3: Ativar a 10ª janela, selecionar a opção inserir texto e escrever a
função.
Passo 4: Digite na barra de entrada y= -sin(x), enter.
Momento de Reflexão:
1. Quando se comparara a curva B com a curva A, observa-se, nesta
família de funções, que houve reflexão vertical.
Atividade 1: Qual o domínio, a imagem e o período dessas funções?
Grupo 4
(A) y = sen x
(B) y = sen(x-1)
(C) y = sen(x+3)
Passo 1: Digite na barra de entrada y=sin(x), enter.
Passo 2: Clique com o botão direito do mouse sobre o gráfico, ative a opção
propriedades mudar cor.
Passo 3: Ativar a 10ª janela, selecionar a opção inserir texto e escrever a
função.
Passo 4: Digite na barra de entrada y=sin(x-1), enter.
Passo 5: Digite na barra de entrada y=sin(x+3), enter.
Momento de Reflexão:
1. Quando se compararam as curvas B e C com a curva A, observa-se,
nesta família de funções, que houve translação vertical de três
unidades para cima e uma unidade para baixo respectivamente.
Atividade 1: Qual o domínio, a imagem e o período dessas funções?
Grupo 05
(A) senx
(B) sen(x+2)²
(C) sen(x-3)²
Passo 1: Digite na barra de entrada y=sin(x), enter.
Passo 2: Clique com o botão direito do mouse sobre o gráfico, ative a opção
propriedades mudar cor.
Passo 3: Ativar a 10ª janela, selecionar a opção inserir texto e escrever a
função.
Passo 4: Digite na barra de entrada y=sin(x+2)^2, enter.
Passo 5: Digite na barra de entrada y=sin(x-3)^2, enter.
Momento de Reflexão:
1. Quando se compararam as curvas B e C com a curva A, observa-se
nesta família de funções, que houve translação horizontal de duas
unidades para esquerda e três unidades para direita respectivamente.
Atividade 1. Qual o domínio, a imagem e o período dessas funções?
Grupo 6
(A) y = senx
(B) y = sen(x+1)² + 5
(C) y = sen(x -2)² - 4
Passo 1: Digite na barra de entrada y=sin(x), enter.
Passo 2: Clique com o botão direito do mouse sobre o gráfico, ative a opção
propriedades mudar cor.
Passo 3: Ativar a 10ª janela, selecionar a opção inserir texto e escrever a
função.
Passo 4: Digite na barra de entrada y= sin(x+1)^2+5, enter.
Passo 5: Digite na barra de entrada y=sin(x-2)^2-4, enter.
Momento de Reflexão:
1. Quando se compararam as curvas B e C com a curva A, observa-se,
nesta família de funções, que houve translação vertical de cinco unidades para
cima e quatro unidades para baixo, houve também translação horizontal de
uma unidade para a esquerda e duas unidades para a direita respectivamente.
Através desses exemplos podemos mostrar a influência de cada
coeficiente nas funções y = a + b.sen (cx + d) e y = a + b.cos (cx + d),
concluindo que:
•o parâmetro a é o responsável pelo deslocamento vertical da curva.
•o parâmetro b é a amplitude da curva, ou seja, a altura da curva.
•o parâmetro c influência no período da função que é calculado por: p = 2π/c.
•o parâmetro d provoca translação no sentido horizontal.
Atividade 1. Coloque na barra de entrada as funções abaixo, dando
domínio, a imagem e o período:
o
a) y = -1+ sin(x)
b) y = 2 sin(x)
c) y = 3sin(x)
d) y = 4sin(x)
e) y= 1+cos(x)
f) y= 2 + cos(x)
Momento de Reflexão:
1. O que o parâmetro a representa na função?
2. O que o parâmetro b representa na função?
3. O que o parâmetro c representa na função?
4. O que o parâmetro d representa na função?
Unidade 10: Função Seno e Função Cosseno num período determinado.
Objetivos:
- Analisar as constantes reais a, b, c e d, no gráfico, no domínio, na imagem e
no período das funções.
- Compreender a influência de cada coeficiente nas funções y=a+b.sen(cx + d)
e y =a+b.cos(cx + d).
Para entrar com uma função determinando o período, digite na barra de
entrada: função[asin(bx),0,2π] enter e função[acos(x),0,2 π] enter, obs: (devese colocar um valor para b, para colocar o π, ativar o alfa no lado direito da
barra de entrada e procura o π) .
Atividade 1. Coloque na barra de entrada as funções abaixo, dando o domínio,
a imagem e o período:
a) função [sin(x),0,2π]
b) função [sin(2x),0,2π]
c) função [sin(4x),0,2π]
d) função [cos(x),0,2π]
e) função[cos(2x),0,2π]
Momento de Reflexão:
1. O que acontece com o período dessas funções?
Espera-se que os alunos percebam a influência de cada coeficiente nas
funções y = a +b.sen (cx + d) e y = a + b.cos (cx + d), e concluam que:
• o parâmetro c influencia no período da função que é calculado por p =2π/c
• o parâmetro b é a amplitude da curva, ou seja, a altura da curva;
• o parâmetro a é o responsável pelo deslocamento vertical da curva, enquanto
que d provoca translação no sentido horizontal;
• a imagem é o intervalo [a - b, a + b];
• se d = 0 então o gráfico da função seno passa pelo ponto (0,a), enquanto que
a função cosseno passa pelo ponto (0, a + b) ou (0, a – b), dependendo do
sinal do parâmetro b.
Atividade 2. Construa o gráfico de y = 3 cos (
)+ 1 , y = 3 cos ( )– 1 e y =
cosx e preencha a tabela:
Função
y = 3 cos(
Imagem (Im)
Período (P)
+1
y = 3 cos( )– 1
y = cosx
Compare os três gráficos. O que você observa?
Atividade 3. Construa o gráfico de y = -2 cos(2x) , y = 2 cos(2x) + 1 e y = 2
cosx + 1. Preencha a tabela abaixo:
Função
Imagem (Im)
y = -2 cos(2x)
y = 2 cos(2x)
y = 2 cosx + 1
Compare os três gráficos. O que você observa?
Período (P)
Atividade 4. Qual a influência das constantes no formato , no domínio, na
imagem e no período das funções da atividade 2 e 3?
Atividade 5. Analise no gráfico, quais os valores de x, para os quais a função
é crescente e quais é decrescente? Analise para quais valores de x a função é
positiva e qual é negativa? Qual o valor de máximo e valor mínimo da função?
Atividade 6. O gráfico abaixo representa a função:
a) Y= -2 cosx
b) y= cos
c) y = 2 senx
d) y = sem
e) y= 2 sen2x
Atividade 7. Sabemos que as marés são variações periódicas e podem ser
modeladas de acordo com a função h(t)=msen(
), em que o coeficiente a
determina a variação máxima em relação ao nível médio do mar. Os extremos
dessa variação são chamados de maré alta e maré baixa. De modo geral, a
água se espalha por uma grande área e sobe/desce apenas alguns
centímetros, porém existem algumas regiões, como a baia de Fundy, no
Canadá, em que e a diferença entre a maré alta e a maré baixa chega a 18 m
na lua cheia. Considerando a baía de Fundy no período de lua cheia,
determine:
a) A função h que relaciona a altura da maré, em metros, em função do
tempo t, em horas.
b) O gráfico da função no período de 0h a 12,4h.
Resolução : A diferença entre a maré alta e baixa é de 18 m; então a variação
máxima em relação ao nível médio do mar é m= =9, ou seja, a função é
dada por h(t)=9sen(
.
Para construir o gráfico vamos seguir os passos abaixo:
Passo 1: Inserir no campo de entrada função[9sin(5π/31x),0,12.4] enter.
Passo 2: Marcar os pontos A,B e C. Para isto, ative a 2ª janela, selecionar a
opção interseção de dois objetos, clicar na interseção do gráfico com o eixo x.
Passo 3: Marcar a mediatriz do segmento AB e BC. Para isto, ativar a 4ª janela
e selecionar a opção mediatriz.
Passo 4: Marcar o ponto E e D.Para isto, ativar a 2ª janela e selecionar a opção
interseção de dois objetos, clicar na mediatriz e no gráfico.
Passo 5: Clicar com com o botão contrario do mouse sobre o ponto D e E,
ativar propriedades, selecionar exibir rótulo ativar nome e valor.
Passo 6: Inserir texto. Para isto, ativar a 10ª janela, selecionar a opção inserir
texto.
Atividade 8. Uma função tem como expressão y= cos (x +
), qual deve ser o
domínio, a imagem e o período dessa função? Compare o domínio, a imagem
e o período com a função y = cos x, o que Ocorre?
Atividade 8. Descreva a amplitude do mar em um dia em determinado local
sabendo que nesse dia, na maré alta, a altitude do mar foi de 1,6 m e na maré
baixa foi 0,2 m. As marés altas ocorreram as 2 h e às 14 h e as marés baixas
ocorreram às 8 h e às 20 h. Considere a contagem do tempo em horas a partir
da meia-noite. Resp. h(t)=0,9+0,7sen( t + ).
5 REFERÊNCIAS
ARAUJO, Luís C. L. de, NOBRIGA, Jorge C.C. Aprendendo Matemática com
o Geogebra. São Paulo: Exato, 2010.
BORBA, Marcelo C., PENTEADO, Mirian G. Informática e educação matemática.
Belo Horizonte: Autêntica, 2001.
BORBA, Marcelo C.,PENTEADO Mirian G. Informática e Educação Matemática. 4.
ed. Belo Horizonte:Autentica, 2010.
DANTE, Luiz R. Matemática. São Paulo: Ática, 2005.
PARANÁ, Secretaria de Educação do Estado do Paraná. Diretrizes Curriculares do
Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: SEED, 2008.
FIORENTINI, Dario, LORENZATO, Sergio. Investigação em educação matemática
percursos teóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados, 2009.
FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes à prática educativa. São Paulo:
Paz e Terra, 2011.
LIBÂNIO, José C. Didática. São Paulo: Cortez, 1994.
LORENZATO, Sérgio. O laboratório de ensino de matemática na formação de
professores. Campinas: Autores associados, 2006.
LORENZATO, Sérgio. Para aprender matemática. São Paulo: Autores Associados,
2008.
MOREIRA, Marco A., MASINI, Elcie F.S. Aprendizagem significativa: a teoria de
David Ausubel. São Paulo: Centauro, 2001.
SOUZA, Joamir R. Novo Olhar Matemática. São Paulo: FTD, 2010.
VALENTE, José A. O computador na sociedade do conhecimento. Campinas,
Unicamp/NIED, 1999.
Sites: http://www.geogebra.org/cms. Acesso em: 01 de fevereiro de 2012.
Sites: http://didisurf.googlepages.com/cefetba2007.Acesso em: 09 de março de 2012.
Sites: http://www.laboratoriovirtualdematematica.org/
Sites: http://www4.pucsp.br/geogebrala/submissao/pdfs/30Isabel.pdf