Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne
sont pas tousiours reelles;
reelles; mais quelque fois
seulement imaginaires;
imaginaires; c’est a dire qu’
qu’on peut bien
tousiours en imaginer autant que iay dit en chasque
Equation;
Equation; mais qu’
qu’il n’y a quelque fois aucune
quantité
quantité, qui corresponde a celles qu’
qu’on imagine.
Descartes
A construção dos números complexos
A construção dos números complexos
5. Introdução ao capítulo
Na parte 5.1 do presente capítulo, analisamos as diferentes abordagens de Gomes
Teixeira, sobre a construção dos números complexos, nas quatro edições do Curso.
Começamos por estudar a memória de Gomes Teixeira “Sur la théorie des
imaginaires”, publicada no jornal Annales de la Société Scientifique de Bruxelles, de
1883, que ele incluiu na 1.ª edição do Curso e publicou no volume VI (1885) do JSMA.
Gomes Teixeira refere os dois estudos de Cauchy, “Mémoire sur la théorie des
équivalences algébriques substituées à la théorie des imaginaires” e “Mémoire sur la
quantité Géométrique i = 1π et sur la réduction d’une quantité géométrique quelconque
2
à la forme x + yi ”. Elaboramos um estudo comparado destas duas memórias de
Cauchy, com as abordagens de Gomes Teixeira, na 1.ª edição. Apresentamos, no Anexo
C, Memória 5.2 e Memória 5.4, um resumo de cada uma daquelas memórias.
Ainda na 1.ª edição do Curso, Gomes Teixeira citou o livro de Bellavitis,
intitulado Spozione [sic] methodo delle equipollenze1, de 1854, onde se encontra a teoria
dos complexos, baseado nas equipolências, e que Gomes Teixeira também tratou.
Encontrámos, na Biblioteca Geral da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto,
dois livros, sobre o método de Bellavitis: um manual, tradução de Laisant, intitulado
Exposition de la méthode des équipollences par Giusto Bellavitis, de 1874, e um resumo
de Hoüel, com o título Sur le calcul des équipollences, Méthode d’Analyse Géométrique
de M. Bellavitis, de 1869.
Neste capítulo, fazemos um estudo comparado, entre o método de Bellavitis e a
abordagem de Gomes Teixeira. Apresentamos o resumo da tradução de Laisant, que se
encontra, no Anexo C, Memória 5.3.
Paralelamente a este estudo, fazemos a análise comparativa das diversas
abordagens de Gomes Teixeira, sobre os números complexos, nas quatro edições do
Curso. Sempre que oportuno, cotejamos as memórias, referenciadas por Gomes
Teixeira, com os textos do manual, analisando se houve, ou não, influências destes
trabalhos, no desenvolvimento da teoria dos números complexos, ao longo das várias
edições do Curso.
1
Não se encontra, na Bibliografia, por não termos encontrado o livro.
315
A construção dos números complexos
Na parte 5.2, apresentamos algumas ideias de síntese, a que fomos conduzidos
pelo estudo realizado.
No quadro 5.1, encontram-se os autores e as respectivas obras, referenciados por
Gomes Teixeira, nas quatro edições, no desenvolvimento dos números complexos.
Bibliografia referenciada no Curso de Analyse Infinitesimal – Calculo Differencial
Números complexos
1.ª edição - 1887
2.ª edição - 1890
3.ª edição - 1896
4.ª edição - 1906
Cauchy
Exercices d’analyse et de Physique
mathématique
1847
Cauchy
“Mémoire sur la quantité Géométrique
i = 1π et sur la réduction d’une quantité
2
géométrique quelconque a la forme
x + yi ”
1847
Cauchy
“Mémoire sur une nouvelle théorie des
imaginaires, et sur les racines symbolique
des équations et des équivalences.”
Gomes Teixeira
“Sur la théorie des imaginaires”
Société scientifique de Bruxelles
t. VII,
1883
Argand
Essai sur une manière de représenter les
quantités imaginaires dans les
constructions géométriques
Paris
1806
G. Bellavitis
Spozione [sic] del methodo delle
equipollenze
1854
D’Arzilla Fonseca
Principios elementares do calculo dos
quaterniões
1884
Hankel
Theorie der complexen
Zahlsysteme
Leipzig
1867
Moivre
Gaspar Wessel
Gauss
Argand
Hamilton
Bellavitis
Côtes
Bibliografia referenciada no Curso de Analyse Infinitesimal – Calculo Differencial
Números complexos
Quadro 5.1
316
A construção dos números complexos
5.1 Conjunto dos números imaginários
Gomes Teixeira apresentou, pela primeira vez, um trabalho sobre imaginários, na
memória intitulada “Sur la théorie des imaginaires”, de 1883, na qual definiu as
operações dos imaginários e respectivas propriedades, tratadas por via analítica, com
base na teoria das congruências, teoria já desenvolvida por Cauchy.
Aquela memória faz parte do texto dos Fragmentos, publicados no ano lectivo
1884-1885, bem como de um artigo inserido no JSMA de 1885, constando, ainda, no
texto da primeira edição do Curso, de 1887, mas não sendo inserida nos textos, a partir
da segunda edição.
Na 1.ª edição do Curso, para além da referida representação analítica dos
complexos, Gomes Teixeira fez o estudo da sua representação geométrica, com base na
teoria das equipolências, devida a Bellavitis – abordagem, que também eliminou, a
partir da segunda edição do Curso – e desenvolveu, ainda, os complexos representados
na forma trigonométrica, abordagem, que manteve em todas as edições. Ainda na
primeira edição e na NOTA (ver Anexo C, Estrutura do Curso), Gomes Teixeira
apresentou as operações, com imaginários na forma a + b − 1 , conteúdo, que vai
manter nas edições posteriores, como fazendo parte do corpo de texto do manual. Na 4.ª
edição, acrescentou a representação vectorial dos complexos e fez um resumo histórico,
no qual citou os nomes de vários matemáticos, que trabalharam os números complexos.
5.1.1 A memória “Sur la théorie des imaginaires”
A construção dos números complexos e o significado de
− 1 e sua substituição
por i foram problemas, com os quais os matemáticos do século XIX tiveram
dificuldades em lidar, causando mesmo, em Cauchy, uma certa relutância.
Mostrando-se a par desta corrente, publicou Gomes Teixeira, em 1883, no jornal
Annales de la Société scientifique de Bruxelles (tome VII, p. 417-427), uma memória
com o título “Sur la théorie des imaginaires” 2 (Ilustração 5.1) (ver Anexo C, Memória
5.1), sobre as operações com complexos. Neste trabalho, definiu as operações com
complexos e suas propriedades, com base na teoria das congruências, desenvolvida, pela
primeira vez, por Cauchy, na memória intitulada “Mémoire sur la théorie des
équivalences algébriques substituées à la théorie des imaginaires”, inserida em Œuvres
2
Como se pode ver, em nota manuscrita, e ainda pela nota de rodapé da página 4 da primeira edição do
Curso, este trabalho foi transcrito, em Mathesis (tomo III), e traduzido para italiano para a Rivista di
Matematica (tomo V).
317
1883
Primeiro
trabalho de
Gomes
Teixeira sobre
imaginários
A construção dos números complexos
Complètes d’Augustin Cauchy, IIe Série, Tome XIV, p. 93-120, 1938 (ver Anexo C,
Memória 5.2). Para além deste trabalho, Cauchy publicou, também, a memória, sobre
complexos, intitulada “Mémoire sur la quantité Géométrique i = 1π et sur la réduction
2
d’une quantité géométrique quelconque a la forme x + yi ”, inserida em Œuvres
Complètes d’Augustin Cauchy, IIe Série, Tome XIV, p. 241–249, 1938 (ver Anexo C,
Memória 5.4).
Primeira página do artigo “Sur la théorie des imaginaires”, publicado nos
Annales de la Société scientifique de Bruxelles (tome VII, p. 417-427), 1883,
com apontamentos manuscritos de Gomes Teixeira
Ilustração 5.1
Na sua memória, Gomes Teixeira afirmou conhecer as duas primeiras memórias
de Cauchy, acima referidas, sobre os imaginários. Assim, reconhecendo Gomes Teixeira
318
A construção dos números complexos
que a teoria das equivalências algébricas, aplicadas aos complexos, já tinha sido tratada
por um dos mais eminentes matemáticos, questionámo-nos sobre as razões, que o
levaram, no início da sua carreira, a desenvolver um trabalho, sobre o mesmo tema. É o
próprio Gomes Teixeira, que o explica:
[…] Dans le premier il substitue à la théorie des imaginaires la théorie des
congruences dont le module est i 2 + 1 , et dans le deuxième, la théorie des quantités
géométriques. Mais, tandis que dans le deuxième l’imaginaire a un sens bien clair, il
n’en est pas de même dans le premier; […] Le but de ce mémoire est d’exposer la
méthode analytique de Cauchy en suivant la marche qu’on a l’habitude de suivre
dans l’exposition de la théorie géométrique […].3
Deste modo, Gomes Teixeira pretendeu clarificar as ideias de Cauchy,
acrescentando algumas definições à sua teoria, na tentativa de dar um significado, mais
claro, a
− 1 e à sua substituição por i , o que se pode depreender das suas palavras:
[…] ont voit que cette théorie des congruences conduit aux résultats auxquels
conduisent les imaginaires en algèbre, en remplaçant
− 1 par i , mais on ne voit
pas bien la raison de cette coïncidence. […] Alors les inconvénients que nous venons
de signaler disparaissent, et l’imaginaire
− 1 a un sens bien déterminé […].4
Com esta preocupação, Gomes Teixeira pareceu mostrar-se sensibilizado para a
perspectiva da aritmetização da análise, pois a memória apresentada teve, como
objectivo, encontrar justificação aritmética para a generalização das operações aos
números complexos.
Em nosso entender, com a apresentação do referido trabalho para ser publicado, o
jovem matemático português parece mostrar alguma ousadia e autoconfiança – nem
todos os matemáticos ousariam afirmar que o eminente Cauchy não teria sido claro na
sua exposição – e transmite, mais uma vez, a sua preocupação pelos aspectos didácticos,
no desenvolvimento de conteúdos científicos.
[…] No primeiro, substitui a teoria dos imaginários pela teoria das congruências, cujo módulo é i 2 + 1 ,
e no segundo, pela teoria das quantidades geométricas. Mas, enquanto que, na segunda, o imaginário
tem um sentido bem claro, não acontece o mesmo, na primeira; […] O objectivo desta memória é expor
o método analítico de Cauchy, seguindo os passos, que habitualmente se segue, na exposição da teoria
geométrica […].
Teixeira F. G., 1883a, p. 1.
4
[…] vê-se que esta teoria das congruências conduz aos resultados aos quais conduzem os imaginários
3
em álgebra, substituindo
− 1 por i , mas não se vê bem a razão desta coincidência. […] Então os
inconvenientes que acabámos de assinalar desaparecem, e o imaginário
determinado […].
Teixeira F. G., 1883a, p. 1.
− 1 tem um sentido bem
319
Razões da
publicação da
memória de
Gomes
Teixeira
A construção dos números complexos
Mas, a atitude ousada de Gomes Teixeira teve os seus frutos, pois culminou com a
publicação da memória que, antes de ser publicada, foi sujeita a um relatório prévio, da
responsabilidade de Mansion.
No seu parecer, tal como tinha escrito Gomes Teixeira, Mansion assinalou ter sido
Cauchy o primeiro matemático a expor, sob uma forma rigorosa, a teoria das
quantidades imaginarias. Apesar do assunto já ter sido tratado, com rigor, por Cauchy,
Mansion, no referido relatório, afirmou:
[…] au point de vue scientifique, le travail de l’illustre géomètre est évidemment
irréprochable. Mais au point de vue didactique, on peut le trouver un peu trop bref,
particulièrement en ce qui concerne la division et l’extraction des racines [...].5
A abordagem de Cauchy, que Mansion considerou muito breve, foi assinalada por
Gomes Teixeira, como sendo menos clara, o que nos leva a pensar que ambos teriam
razão nas suas argumentações, pois, sendo uma exposição concisa, poderia ser pouco
clara para alguns.
No relatório, Mansion entendeu que:
[…] C’est pourquoi M. Teixeira, dans le mémoire que nous analysons, a cru devoir
faire un exposé nouveau de l’ingénieuse théorie de Cauchy.6
Mas, se o próprio Gomes Teixeira tinha assinalado o eminente Cauchy, como
autor da referida teoria, qual teria sido o contributo do matemático português? Teria
feito um desenvolvimento diferente dos mesmos conteúdos? Teria dado alguma
contribuição pessoal inovadora?
Mansion respondeu a estas questões, em termos genéricos, quando, ao referir-se à
memória do matemático português, afirmou:
Pour cela, il rattache étroitement la théorie des congruences de module i 2 + 1 , aux
définitions générales et purement formelles des opérations algébriques […].
[…] toutes les obscurités sont dissipées et
− 1 lui-même, le symbole que l’on
voulait bannir de l’algèbre, reçoit une interprétation claire et nette dans le nouveau
système […].
[…] le mémoire de M. Teixeira qui expose sous une forme claire et rigoureuse les
principes de la nouvelle théorie nous semble donc devoir être imprimé dans nos
Annales.7
5
[…] sob o ponto de vista científico, o trabalho do ilustre geómetra é, evidentemente, irrepreensível. Mas,
sob o ponto de vista didáctico, podemos considerá-lo demasiado breve, particularmente no que diz
respeito à divisão e à extracção de raízes [...].
Teixeira F. G., 1883a, p. 15.
6
[…] É por isso que M. Teixeira, na memória que analisamos, entendeu dever fazer uma nova exposição
da engenhosa teoria de Cauchy.
Teixeira F. G., 1883a, p. 15.
320
A construção dos números complexos
Conforme Mansion escreveu, nada havendo a assinalar, cientificamente, no
trabalho de Cauchy, sob o ponto de vista didáctico, o texto era menos claro, no que se
refere à divisão e à radiciação, pelo que se entende que Gomes Teixeira tenha escrito a
memória, sobre imaginários, segundo ele, de forma a tentar tornar mais evidente, em
alguns pontos, o texto de Cauchy.
Pelas observações de Mansion, o contributo de Gomes Teixeira situou-se, apenas,
nas definições das operações de imaginários e respectivas propriedades.
Apesar de tudo, parece-nos de interesse histórico fazer uma análise desta memória
de Gomes Teixeira, cotejando-a com a de Cauchy, não apenas pela importância
científica da sua reformulação, no desenvolvimento da teoria das operações dos
complexos, mas pelo que reflecte da personalidade e empenhamento científico e
didáctico de Gomes Teixeira e pelo que mostra da sua actualização científica.
Como já afirmámos, o texto da memória de Gomes Teixeira foi inserido, com
alterações pontuais, na primeira edição do Curso, tendo eliminado esta abordagem nas
edições seguintes. Este facto, reforçou o nosso interesse na análise da memória, pois
pretendíamos compreender por que razão Gomes Teixeira eliminara o texto da
memória, na edição seguinte do Curso, passados apenas três anos, após a publicação da
primeira edição.
Na nossa pesquisa, encontrámos, na Biblioteca Geral da Faculdade de Ciências do
Porto, a colectânea cc-226, que contém trabalhos de/e sobre Gomes Teixeira, na qual se
encontra o seu artigo sobre os imaginários, “Sur la théorie des imaginaires”, com
algumas emendas manuscritas.
Assim, estávamos em presença de três textos diferentes da mesma memória: o
texto original, o texto com correcções manuscritas e o texto da 1.ª edição do Curso.
Deste modo, o nosso estudo focalizou-se em três aspectos: o cotejo das memórias de
Cauchy e de Gomes Teixeira; a análise e comparação do texto original, com o texto
corrigido à mão; o estudo comparativo destes dois últimos textos, com o da primeira
edição do Curso.
7
Para isso, ele associa, estreitamente, a teoria das congruências de módulo i 2 + 1 às definições
gerais e puramente formais das operações algébricas […].
[…] todas as dúvidas são dissipadas e a própria − 1 , o símbolo que se desejaria banir da
álgebra, recebe uma interpretação clara e transparente no novo sistema […].
[…] a memória de M. Teixeira, que expõe, sob uma forma clara e rigorosa, os princípios da nova teoria,
parece-nos, assim, dever ser impressa nos Annales.
Société scientifique de Bruxelles, séance de 3 avril 1883, in Documento cc-226 (37) da Biblioteca Geral
da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, p. 15.
321
A construção dos números complexos
Da análise da memória de Cauchy “Mémoire sur la théorie des équivalences
algébriques substituées à la théorie des imaginaires” elaborámos um texto sucinto, que
se encontra em anexo (ver Anexo C, Memória 5.2). Neste resumo, interessou-nos,
apenas, focar os pontos fundamentais da memória, que levam à compreensão do
significado de
− 1 , para nos facilitar a compreensão do contributo do matemático
português.
Gomes Teixeira estruturou a sua memória “Sur la théorie des imaginaires”,
dividindo-a em três partes. Na primeira parte, intitulada Différence entre les opérations
de l’Arithmétique et celles de l’Algèbre, começou por fazer a distinção entre operações
da aritmética e as operações da álgebra e frisou que começaria com as operações sobre
inteiros, generalizando, depois, as definições das mesmas, de maneira a torná-las
aplicáveis aos números fraccionários. Não fez referência aos irracionais, mas, na 1.ª
edição do Curso, acrescenta: e aos incomensuráveis. Definiu, em seguida, as operações
algébricas e suas propriedades. A finalizar esta parte, afirmou que, como nas igualdades,
que ele considerava como congruências, aquelas operações, que nelas figuram, não têm
o significado das operações ordinárias da aritmética, iria usar o sinal “
”8, devido a
Cauchy, em vez do sinal “=”.
Na segunda parte da memória, intitulada Généralisation des opérations de
l’Arithmétique, Gomes Teixeira aplicou a teoria das congruências, desenvolvida por
Cauchy, às definições das operações com imaginários, assunto que este matemático não
focou especificamente, para o divisor i 2 + 1 (ver Anexo C, Memória 5.2).
Considerando as funções f (i ) , f 1 (i ) , etc., inteiras em relação a i , Gomes Teixeira
definiu, claramente, as operações, a que deu o nome de operações congruas9 de divisor
i 2 + 1 , empregando, para as representar, sinais engenhosos, da sua autoria. Eis como
definiu a adição congrua:
Nous appellerons addition congrue l’opération qui a pour but de chercher le reste de
la division par i 2 + 1 de la somme des fonctions données.
Nous emploierons pour l’indiquer le signe +! de manière que
f (i ) +! f1 (i)
représente le reste de la division par i 2 + 1 de la somme ordinaire de f (i) et f1 (i) .10
8
Imagem digitalizada da Memória de Cauchy (ver Anexo C, Memória 5.2).
Traduzimos a palavra congrue por congrua, para utilizarmos a tradução e a escrita de Gomes Teixeira,
na 1.ª edição do Curso.
10
Chamaremos adição congrua a operação, que tem, por finalidade, encontrar o resto da divisão da soma
das funções dadas, por i 2 + 1 .
9
322
A construção dos números complexos
Nesta definição, Gomes Teixeira nada diz sobre as propriedades da adição
congrua, afirmando, apenas:
Si les fonctions données sont a + bi et a '+b' i , l’addition congrue coïncide avec
l’addition ordinaire.11
É evidente que, assim sendo, a adição congrua satisfaz as propriedades, já enunciadas
no parágrafo primeiro da memória.
De modo semelhante ao que fez para a adição, Gomes Teixeira definiu as
restantes operações, usando as seguintes notações:
f (i ) −! f 1 (i )
f (i ) × ! f 1 (i )
f (i )
!
f 1 (i )
[ f (i)]!m
! n f (i)
Fez um estudo, mais pormenorizado, da multiplicação e suas propriedades,
começando por definir a multiplicação congrua, como sendo a operação, que tem, por
fim, procurar o resto da divisão do produto das funções dadas, por i 2 + 1 .
Como as funções f (i ) e f 1 (i ) são, por hipótese, inteiras, relativamente a i , os
restos da sua divisão por i 2 + 1 serão da forma a + bi e a '+b' i . Considerou, então, o
produto usual
(a + bi ) (a '+b' i ) = aa'+(ab'+ba ' )i + bb' i 2
que, dividido por i 2 + 1 , dá resto
aa '−bb'+ (ab'+ba ' ) i
pelo que concluiu
f (i ) × ! f1 (i )
aa '−bb'+ (ab'+ba ' ) i
Gomes Teixeira afirmou que a multiplicação congrua satisfazia as propriedades
da multiplicação algébrica, já enunciadas, no parágrafo primeiro da memória.
Demonstrou a propriedade distributiva da multiplicação, em relação à adição, e a regra
Nós empregaremos, para a indicar, o sinal +! de maneira que f (i ) +! f 1 (i ) representa o resto da divisão
da soma usual de f (i) com f1 (i ) , por i 2 + 1 .
Teixeira F. G., 1883a, p. 4.
11
Se as funções dadas são a + bi e a'+b' i , a adição congrua coincide com a adição ordinária.
Teixeira F. G., 1883a, p. 4.
323
A construção dos números complexos
dos sinais. As demonstrações são simples, embora consideremos a escrita densa e até de
difícil leitura, devido aos sinais operatórios empregados (ver Anexo C, Memória 5.1).
Antes de entrar na demonstração da propriedade distributiva, Gomes Teixeira
enunciou e demonstrou as propriedades relativas aos restos da soma e produto de
congruências.
Deu também Gomes Teixeira a definição de potencia congrua, como produto de
factores iguais, e ainda a de extracção congrua das raizes, como operação inversa da
potenciação, isto é, a operação, que tem por fim procurar um resto, cuja potência de
ordem n , sendo dividida por i 2 + 1 , dê o mesmo resto, que a função dada12.
Depois desta definição, não apresentando nenhuma explicação, Gomes Teixeira
afirmou simplesmente:
Ainsi, en particulier, ! − 1 indique le reste dont le carré étant divisé par i 2 + 1 donne
le reste −1 , de manière qu’on peut écrire ! − 1
i .13
Acrescentou que, definidas as operações da forma dada,
− 1 passava a ter
significado bem determinado, o que não acontecia, quando se davam as definições
ordinárias das operações.
Gomes Teixeira fez a generalização para potências de expoente fraccionário,
afirmando apenas que era fácil ver que, representando as raizes congruas por potencias
congruas de expoente fraccionário, o princípio fundamental das potencias congruas
ainda tinha lugar.
No final, Gomes Teixeira afirmou que as propriedades definidas subsistiam,
quando se passava das definições ordinárias das operações às definições congruas, pelo
que todas as relações da álgebra eram ainda válidas, quando os sinais +,−,×, etc.,
representavam operações congruas, devendo então substituir-se o sinal “=” pelo sinal
“
”, de significado definido.
Provavelmente, pela relutância que tinha em representar
chegou a escrever
i 4m+ 2
− 1 por i , Cauchy não
− 1 = i , estando contudo implícita aquela igualdade, na congruência
− 1 (ver Anexo C, Memória 5.2). Note-se, ainda, que Cauchy, para além de
12
Teixeira F. G., 1883a, p. 8.
13
Assim, em particular, ! − 1 indica o resto, cujo quadrado, sendo dividido por i 2 + 1 , dá o resto −1 , de
forma que se pode escrever ! − 1
Teixeira F. G., 1883a, p. 8.
i.
324
A construção dos números complexos
não aludir às operações, no caso particular das congruências imaginárias, não fez
referência directa nem à divisão nem à radiciação (ver Anexo C, Memória 5.2).
Por tal motivo, tal como Mansion afirmava, apesar das formas engenhosas, como
Gomes Teixeira abordou o problema, e da escrita densa, que empregou, parece-nos que
foi mais claro do que Cauchy, na medida em que apresentou a definição das operações
com imaginários, na tentativa de dar um significado para
− 1 . Parece-nos, todavia, que
Gomes Teixeira, tal como Cauchy, indicia alguma hesitação em escrever
− 1 = i (ver
Anexo C, Memória 5.1), o que, mais uma vez, mostra a dificuldade que os matemáticos
do século XIX experimentavam, ao lidar com os complexos.
Depois, Gomes Teixeira, sucintamente, concluiu que, chegados à relação
A
B , com A e B quantidades reais, se podia substituir o sinal “
”pelo sinal
“=”, já que as expressões
a ±!b ,
a×! b ,
a
!,
b
! n a (com a positivo)
representavam o mesmo que
a ± b,
a×b,
a
,
b
n
a.
Na terceira parte da sua memória, sem título impresso, mas acrescentado, à mão,
no texto corrigido (ver Anexo C, Memória 5.1), Sur les problèmes dont la solution est
imaginaire, Gomes Teixeira debruçou-se sobre a resolução de problemas, cuja solução
era imaginária, empregando, para isso, uma forma bastante artificiosa de resolução.
Para ele, tais problemas eram absurdos, pelo que se devia encontrar um processo,
para que tal não acontecesse. Ora, ainda segundo ele, a dificuldade ultrapassava-se,
fazendo a transformação do enunciado do problema, num outro enunciado, de modo que
o problema deixasse de ser absurdo e ao qual o resultado imaginário satisfazia. Diz, em
síntese e como regra:
Quand la résolution d’une question conduit à des résultats imaginaires, nous
pouvons la transformer en une autre qui soit possible, en faisant dans l’énoncé de
cette question un changement correspondant au changement des équations,
auxquelles conduit cette question, en congruences de module i 2 + 1 .14
Em seguida, Gomes Teixeira elucida o exposto, com vários exemplos.
14
Quando a resolução de uma questão conduz a resultados imaginários, podemos transformá-la numa
outra, que seja possível, fazendo, no enunciado desta questão, uma mudança, que corresponda à
mudança das equações, às quais conduz esta questão, em congruências de módulo i 2 + 1 .
Teixeira F. G., 1883a, p. 10.
325
A construção dos números complexos
Si l’on demande, par exemple, un nombre dont le carré soit égal à deux fois le
nombre moins 5, on aura
x 2 = 2x − 5 .
On tire de là
x = 1± 2 −1
donc le problème proposé est absurde.15
Para que o problema deixasse de ser absurdo, alterou engenhosamente o
enunciado, afirmando:
Mais si nous modifions l’énoncé du problème en demandant un nombre dont le carré
divisé par i 2 + 1 donne le même reste que le double du nombre diminué de 5 divisé
par le même diviseur, on aura
x 2 ≡ 2x − 5
et la solution sera
x = 1 ± 2i
comme il est facile de vérifier.16
Resolve-se, pois, o problema – e os demais – fazendo a tal transformação no
enunciado e passando, depois, das operações congruas a operações ordinárias, pela
substituição de “
” por “ ≡ ”. Assim procedeu Gomes Teixeira em todos os
exemplos, que, logo depois, descreveu.
Com a forma engenhosa de alteração do enunciado dos problemas de solução
imaginária, noutro enunciado, de forma a poderem ser aceites os complexos, como
soluções de problemas, Gomes Teixeira reflecte, mais uma vez, a já aludida dificuldade
em lidar com complexos.
5.1.1.1 A Memória de Gomes Teixeira com correcções manuscritas
Gomes Teixeira fez correcções manuscritas à memória 5.1, que acabámos de
analisar (Ilustração 5.2), sendo algumas, meras emendas de gralhas e outras, de natureza
científica.
Substituiu, nas congruências, o sinal de Cauchy “
” pelo sinal “=”. Por
exemplo, em vez de
15
Se é pedido, por exemplo, um número, cujo quadrado seja igual ao dobro do número menos 5,
ter-se-á x 2 = 2 x − 5 . Daí se tira, x = 1 ± 2 − 1 , pelo que o problema proposto é absurdo.
16
Mas, se modificamos o enunciado do problema, pedindo um número, cujo quadrado, dividido
por i 2 + 1 , dá o mesmo resto, que o dobro do número, diminuído de 5, dividido pelo mesmo
divisor, ter-se-á x 2 ≡ 2 x − 5 e a solução será x = 1 ± 2i , como é fácil de verificar.
Teixeira F. G., 1883a, p. 10.
326
A construção dos números complexos
f (i ) × ! f 1 (i )
aa '−bb'+( ab'+ba ' ) i ,
aparece
f (i ) × ! f 1 (i ) = aa '−bb'+ (ab'+ba ' ) i
e, em vez da congruência
! −1
−1,
escreveu
! − 1 = −1.
Páginas 6 e 7 do artigo “Sur la théorie des imaginaires”, publicado nos Annales de la Société scientifique de Bruxelles,
(tome VII), 1883, com correcções manuscritas de Gomes Teixeira
Ilustração 5.2
No nosso entender, o sinal de Cauchy estaria mais de acordo com a teoria, pois
estamos em presença de congruências e não de igualdades.
Mas há correcções de linguagem, que denotam a preocupação de Gomes Teixeira
em pretender dar maior rigor ao texto, como, por exemplo, a substituição da expressão
funções em i , para funções inteiras em i .
327
A construção dos números complexos
Páginas 6 e 7 do artigo “Sur la théorie des imaginaires”, inserido nos Fragmentos, ano lectivo 1884-1885
Ilustração 5.3
Como já assinalámos, para demonstrar a propriedade distributiva, Gomes Teixeira
enunciou e demonstrou, primeiramente, os teoremas dos restos da adição e da
multiplicação de congruências. Na memória, ao iniciar a demonstração da propriedade
distributiva, afirmou “Depois das definições precedentes…”. Ora, de facto, Gomes
Teixeira não se está a apoiar apenas nas definições, mas também e essencialmente, nos
teoremas, que acabara de demonstrar. Mas, na correcção manuscrita, ele é muito mais
preciso, escrevendo Depois das definições e das proposições precedentes, alteração, que
manteve, na primeira edição do Curso.
5.1.2 Os complexos na primeira edição do Curso
Antes de iniciar o estudo dos complexos, no capítulo I, da Introducção (ver
Anexo C, Estrutura do Curso), Gomes Teixeira tratou as operações na aritmética e na
álgebra, assunto que desenvolveu, com algumas alterações pontuais, na primeira parte
da memória, e manteve, nas edições posteriores do Curso.
Gomes Teixeira fez o desenvolvimento dos complexos, nas partes II e III e IV do
capítulo I da Introducção, intitulados Theoria Analytica dos imaginarios, Theoria
328
A construção dos números complexos
geometrica dos imaginarios e Operações sobre imaginarios, em cada um dos quais
adoptou diferentes abordagens.
5.1.2.1 Theoria Analytica dos imaginarios
Na parte II, do capítulo I, da Introducção, com o título Theoria Analytica dos
imaginarios (ver Anexo C, Estrutura do Curso), Gomes Teixeira transcreveu a 2.ª parte
da memória e alguns exemplos da 3.ª, fazendo algumas alterações que, nem sempre,
correspondem às correcções manuscritas.
Primeira página da parte II, do capítulo I, da Introducção,
da 1.ª edição do Curso
Ilustração 5.4
Gomes Teixeira definiu adicção congrua – como ele lhe chamou – e afirma, sem
qualquer explicação, que esta operação satisfaz todos os princípios da adição,
enunciados no primeiro capítulo.
329
A construção dos números complexos
Em todo o texto da primeira edição do Curso, relativo aos imaginários, Gomes
Teixeira substituiu a expressão funcção inteira de i , por polynomio inteiro
relativamente a i . Introduziu, ainda, algumas alterações de linguagem, mas a diferença
mais relevante é a substituição do sinal “
” pelo sinal “ ≡ ”, dizendo que empregava
este sinal para designar as igualdades segundo as operações definidas, significando a
igualdade dos restos17. Assim aparece ! − 1 ≡ i , notação que, como já tivemos ocasião
de afirmar, nos parece mais de acordo com a sua teoria dos complexos do que
−1 = i ,
que está na correcção manuscrita.
A título de exemplo de algumas das alterações feitas por Gomes Teixeira, nos três
textos referidos, apresentamos, no quadro 5.2, em itálico e a “bold”, partes de textos,
em que são visíveis as diferentes tentativas de Gomes Teixeira de clarificação e de
precisão.
Memória
On appelle division congrue
l’opération inverse de la
multiplication, c’est-à-dire
l’opération dont le but est de
chercher un reste qui, multiplié
par le reste de la division par
i 2 + 1 d’une fonction
donnée f1(i ) , donne un produit
dont le reste soit égal à celui
d’une autre fonction
donnée f (i ) . Ce reste cherché
f (i )
sera représenté par
!.
f1(i )
(1883)
Texto corrigido à mão
Texto da primeira edição
On appelle division congrue l’opération
inverse de la multiplication, c’est-à-dire
l’opération dont le but est de chercher une
fonction entière en i du premier degré
qui, multipliée par le reste de la division
Chama-se divisão congrua a operação
inversa da multiplicação, isto é a
operação que tem por fim procurar
um resto, que multiplicado pelo resto
donne un produit dont le reste soit égal à
celui d’une autre fonction donnée f (i ) .
Cette fonction cherchée sera représentée
f (i )
par
!.
f1(i )
da divisão por i 2 + 1 d’um
polynomio f1(i ) dado, dê um
producto cujo resto seja igual ao que
provem d’um outro polynomio dado
f (i ) Este resto será representado por
f (i )
!
f1(i )
(sem data)
(1887)
par i 2 + 1 d’une fonction donnée f1(i ) ,
Transcrição de algumas das alterações manuscritas, feitas por Gomes Teixeira, na memória “Sur la théorie des imaginaires”
Quadro 5.2
5.1.2.2 Theoria geometrica dos imaginarios
A parte III, do capítulo I, da Introducção, intitula-se Theoria geometrica dos
imaginarios (ver Anexo C, Estrutura do Curso).
Apesar de Gomes Teixeira assinalar que esta teoria era devida, principalmente, a
Argand, afirmou que seguia um método para resolver questões de geometria plana,
17
Teixeira F. G., Introducção, 1887, p. 5.
330
A construção dos números complexos
descoberto e desenvolvido por Bellavitis, intitulado Spozione del methodo delle
equipollenze, de 1854.
Primeira página da parte III, do capítulo I, da Introducção,
da 1.ª edição do Curso
Ilustração 5.5
Este matemático italiano trocou correspondência com Gomes Teixeira18 e
escreveu dois artigos, nos volumes I e II do JSMA (ver Anexo C, JSMA, Lista de
colaboradores e Artigos do JSMA) resolvendo, pelo seu método, alguns problemas
propostos naquele jornal. Genericamente, este método consiste em traduzir as questões
geométricas, em equipolências, em vez de as traduzir em equações, e tratar, em seguida,
18
Vilhena H., 1936, cartas 1134 a 1139, p. 272.
331
A construção dos números complexos
as equipolências, como se fossem equações. Bellavitis enviou a Gomes Teixeira 15
trabalhos que se encontram em vários volumes da 1.ª e 2.ª séries das Separatas (ver
Anexo B, Colecção de Separatas).
Encontrámos, na Biblioteca Geral da Faculdade de Ciências da Universidade do
Porto, dois livros, sobre o método de Bellavitis: um é a tradução de Laisant do livro de
Bellavitis e intitula-se Exposition de la méthode des équipollences par Giusto Bellavitis,
de 1874 (Ilustração 5.6) (ver Anexo C, Memória 5.3)19, e o outro é uma adaptação do
mesmo livro de Bellavitis, feita por Hoüel20 e com o título Sur le calcul des
équipollences, Méthode d’Analyse Géométrique de M. Bellavitis, de 1869 (Ilustração
5.7)21.
Capa do manual Exposition de la méthode des
équipollences par Giusto Bellavitis,
tradução de Laisant
Ilustração 5.6
Capa do manual Sur le calcul des équipollences, Méthode
d’Analyse Géométrique de M. Bellavitis, de Höuel
Ilustração 5.7
Conforme se pode ler na Introducção de cada uma das obras, os dois textos
tiveram a anuência e o apoio de Bellavitis, que deu indicações pessoais e pôs, à
19
cota 17–3–47.
Existem 13 trabalhos de Hoüel, em vários volumes da 1.ª e 2.ª séries das Separatas.
Ver Anexo B, Colecção de Separatas.
21
cota 17–1–30.
20
332
A construção dos números complexos
disposição dos autores, material para a realização dos textos. Por tais motivos, ambas os
trabalhos nos parecem fiáveis. Como não encontrámos o original de Bellavitis,
decidimos analisar o trabalho de Laisant, por ser uma tradução do original do
matemático italiano. Saliente-se que, Laisant trocou correspondência com Gomes
Teixeira (ver Anexo A, Colectânea de cartas da correspondência de Gomes Teixeira,
carta 785)22 e escreveu um artigo, no volume X do JSMA (ver Anexo C, JSMA, Lista de
colaboradores e Artigos do JSMA) resolvendo, pelo seu método, alguns problemas
propostos naquele jornal.
Para melhor compreender a aproximação e o afastamento do desenvolvimento da
teoria de Gomes Teixeira, relativamente à teoria das equipolências, desenvolvida por
Bellavitis, no sentido de compreender o significado de
− 1 = i , segundo a teoria das
equipolências, e que permitisse fazer o cotejo com o texto de Gomes Teixeira,
elaborámos um resumo sucinto do trabalho de Laisant (ver Anexo C, Memória 5.3).
Apesar de Gomes Teixeira afirmar que ia desenvolver a teoria dos imaginários,
segundo a teoria das equipolências de Bellavitis, não seguiu, textualmente, o método
devido ao matemático italiano. De facto, desenvolvendo um método baseado em alguns
conceitos e algumas notações de Bellavitis, Gomes Teixeira adoptou noções, notações e
desenvolvimento retirados da memória de Cauchy “Mémoire sur la quantité
Géométrique i = 1π et sur la réduction d’une quantité géométrique quelconque à la
2
forme x + yi ”.
Para melhor compreensão do desenvolvimento, dado por Gomes Teixeira, sobre o
estudo geométrico dos imaginários, elaborámos, também, um texto sucinto sobre a
memória de Cauchy (ver Anexo C, Memória 5.4). Assim, iremos fazer uma análise
comparativa do texto de Gomes Teixeira com o de Bellavitis e o de Cauchy.
No seu texto, Gomes Teixeira começou por considerar linhas de grandeza e
direcção determinadas, afirmando que uma linha, cuja grandeza é ρ e que faz um
ângulo θ com uma linha de direcção fixa, se representava por ρθ . Esta notação não é
semelhante à de Bellavitis, mas sim à de Cauchy, que representou por r p uma
quantidade geométrica, em que r é o módulo e p o argumento (ver Anexo C,
Memórias 5.3 e 5.4). Mas, logo depois, Gomes Teixeira segue explicitamente Bellavitis:
22
Vilhena H., 1936, cartas 131, 780 a 788, p. 131 e 257.
333
A construção dos números complexos
Chamaremos, com Bellavitis, equipollentes duas linhas iguaes, parallelas e dirigidas
no mesmo sentido e equipolência a expressão da relação d’igualdade entre rectas
consideradas em grandeza e direcção, e empregamos o sinal
duas linhas são equipolentes.
23
para designar que
24
Gomes Teixeira usa, também, a notação de Bellavitis, definindo a somma
geometrica por:
AB + BC + CD
AD ,
ilustrando-a com uma figura (Ilustração 5.8).
Páginas 12 e 13, parte III, capítulo I, Introducção, 1.ª edição do Curso, 1887
Ilustração 5.8
Empregando esta notação, ele deu as propriedades da soma e da subtracção
geometrica e apresentou, em seguida, o caso em que as linhas tinham a mesma direcção
e sentidos opostos. Gomes Teixeira justificou, do seguinte modo, o uso das duas
notações, de Bellavitis e de Cauchy:
23
24
Imagem digitalizada da 1.ª edição do Curso.
Teixeira F. G., Introducção, 1887, p. 12.
334
A construção dos números complexos
Segundo a notação indicada para a representação das quantidades geometricas, a
recta AB póde representar-se por ρθ e a recta A' B' por ρθ +π .25
Empregou, indistintamente, as duas notações, usando, porém, com mais
frequência, as notações e as noções de Cauchy.
Gomes Teixeira chamou producto geometrico de duas linhas ρθ e ρ 'θ ' uma
linha de grandeza ρρ ' e de inclinação θ + θ ' , escrevendo-se ( ρρ ')θ +θ '
ρθ . ρ 'θ ' ,
justificando, em seguida, as propriedades desta operação.
A divisão de quantidades geométricas foi definida, como operação inversa da
multiplicação, escrevendo Gomes Teixeira
ρθ
ρ 'θ '
ρ
 
.
 ρ ' θ −θ '
Pela consulta do Anexo C, Memória 5.3, pode constatar-se que Bellavitis e
Gomes Teixeira apresentam definições diferentes da multiplicação e da divisão de
quantidades geométricas.
Gomes Teixeira definiu, também, a potência de uma quantidade geométrica, como
produto de quantidades geometricamente iguais, e assinalou que as potências pares das
quantidades geométricas podem ser negativas, ao contrário do que acontece, com as
quantidades numéricas. Assim,

ρ
 π
 2




2n
(ρ 2n )nπ
± ρ 2n
onde prevalece o sinal “+”, quando n é par e o sinal “–”, quando n é impar.
Para Gomes Teixeira, a extracção da raiz de uma quantidade geométrica é a
operação inversa da potenciação, isto é, consiste em encontrar uma quantidade
geometrica que elevada a uma potencia igual ao indice da raiz, reproduza a quantidade
geometrica dada26. Assim,
− 1 representa uma quantidade geométrica, que, elevada
ao quadrado, dá − 1 . Gomes Teixeira afirmou, ainda, que essa quantidade i é o mesmo

que 1π , pois que 1π
2
 2
25
26
2

 = 1 = −1 , de modo que é também 1 = − 1 .
π
π


2
Ibidem, p. 14.
Ibidem, p. 17-18.
335
A construção dos números complexos
Ora, esta notação é devida a Cauchy (ver Anexo C, Memória 5.4), que explica o
seu significado. Note-se, ainda, que Gomes Teixeira não usou o sinal de equipolência,
mas o de igualdade, mais uma vez seguindo Cauchy.
Gomes Teixeira elaborou um texto próprio, ora baseando-se em Cauchy, ora em
Bellavitis, não somente no que se refere à teoria, mas também às próprias notações,
pois, a partir deste ponto, tanto empregou o sinal de equipolência “
” como o sinal
“=”.
Página 18, parte III, capítulo I, Introducção, 1.ª edição do Curso, 1887
Ilustração 5.9
Seguindo Cauchy, Gomes Teixeira afirmou que
− 1 , não tendo significado na
Arithmetica, passa a representar uma recta perpendicular ao eixo e igual á unidade27.
27
Ibidem, p. 18.
336
A construção dos números complexos
Enquanto que Cauchy escreveu i 2 = −1 (ver Anexo C, Memória 5.4), Gomes Teixeira
limitou-se a escrever 1π = − 1 , não fazendo a substituição por i .
2
Ora, Bellavitis não seguiu este método e deu um desenvolvimento diferente para
chegar ao significado de
− 1 , empregando, para tal, o sinal algo engenhoso “
designou por ramun para significar
”, que
− 1 (ver Anexo C, Memória 5.3).
Em nosso entender, Gomes Teixeira é mais claro e menos artificioso do que
Bellavitis, na abordagem, que fez, para chegar ao significado de
− 1 (ver Anexo C,
Memória 5.3).
Quando Gomes Teixeira pretendeu dar significado geométrico a x + y − 1 ,
provavelmente foi buscar a Cauchy a ideia fundamental. De facto, Cauchy considerou
x e yi duas quantidades geométricas, de modo que se poderá escrever r p = x + yi (ver
Anexo C, Memória 5.4).
Gomes Teixeira não especificou o significado de x + y − 1 , nem substituiu
−1
por i , mas, de facto, considerou implicitamente x e y − 1 , como duas quantidades
geométricas AC e AB , cuja soma geométrica é AD , pois escreveu
x + y −1
x + y 1π
AC + AB
AD ,
2
que a ilustração 5.10 elucida.
Página 18, Introducção, 1.ª edição do Curso, 1887
Ilustração 5.10
337
A construção dos números complexos
Assim, para Gomes Teixeira, x + y − 1 representava uma linha AD 28, cujas
projecções, sobre os dois eixos coordenados rectangulares, são x e y , acabando por
escrever z = x + y − 1 .
Gomes Teixeira considerou que o cálculo feito com imaginários tem um sentido
concreto, bem definido, quando se consideram as letras e os sinais de álgebra,
representando linhas e operações com linhas.
É interessante ver como Gomes Teixeira passou das equipolências para as
igualdades, pois considerou que, se este calculo levar a um resultado real as linhas
correspondentes tem todas a mesma direcção, as operações tem a significação
ordinaria e póde substituir-se o signal “
”
pelo signal “=”29. Afirmou, ainda, que as
linhas podem, então, representar números e, portanto, são verdadeiros, na aritmética, os
resultados, a que se chega, quando se usam os imaginários, no cálculo.
Gomes Teixeira fez a súmula das suas ideias na afirmação seguinte, a que chamou
teorema:
Quando a resolução de uma questão de geometria leva a soluções imaginarias, a
questão é absurda, podemos porém transformal-a n’outra possivel fazendo no seu
enunciado uma mudança correspondente á mudança de equações em equipollencias,
isto é das operações ordinarias nas geometricas correspondentes. O resultado
primeiramente achado satisfará á nova questão, depois de se lhe fazer a mesma
mudança.30
Parece-nos que, nesta abordagem dos complexos, Gomes Teixeira não pretendeu
desenvolver uma nova teoria sobre complexos, mas, sim, elaborar um texto, que
pudesse ser compreensível para os alunos, muitas vezes fazendo apelo à intuição, ora
seguindo Bellavitis, ora Cauchy, provavelmente conforme pensava ser mais elucidativo.
5.1.2.3 Operações sobre imaginarios
Na parte IV, do capítulo I, da Introducção, com o título Operações sobre
imaginarios (ver Anexo C, Estrutura do Curso), Gomes Teixeira começou por afirmar
que as regras de cálculo tinham já sido justificadas, nos capítulos anteriores – Theoria
Analytica dos imaginarios e Theoria geometrica dos imaginarios – passando a tratar os
28
Note-se que Gomes Teixeira empregou, como Euclides, a palavra linha com o significado de segmento
de recta.
29
Teixeira F. G., Introducção, 1887, p. 19.
30
Ibidem.
338
A construção dos números complexos
imaginários, representados na forma trigonométrica, e a definir as operações, com
complexos, definidos nesta forma.
Primeira página da parte IV, do capítulo I, da Introducção,
da 1.ª edição do Curso
Ilustração 5.11
Foi no início do texto, que Gomes Teixeira substituiu, pela primeira vez,
− 1 por
i , quando afirma:
[...] que todo o imaginario x = iy (pondo − 1 = i ) póde ser reduzido à fórma
ρ (cos θ + i senθ ) [...].31
Acrescentou ainda que esta relação vem de x = ρ cos θ e y = ρ senθ e deu a
igualdade ρ = + x 2 + y 2 .
31
Ibidem, p. 20.
339
A construção dos números complexos
Empregando a nova representação de complexos, para além da definição das
operações, Gomes Teixeira apresentou novos resultados, envolvendo imaginários.
Página 22, Introducção, 1.ª edição do Curso, 1887
Ilustração 5.12
Enunciou e demonstrou que o módulo da soma algébrica de imaginários é sempre
menor32 do que a soma dos módulos das parcelas e que o módulo do produto de
imaginários é igual ao produto dos módulos dos factores e o argumento, igual à soma
dos argumentos dos factores33.
32
33
Gomes Teixeira considerou “menor” e não “menor ou igual”.
Teixeira F. G., Introducção, 1887, p. 20–21.
340
A construção dos números complexos
Apresentou, em seguida, a Fórmula de Moivre, z n = ρ n [cos nθ + i sen nθ ] ,
demonstrando que ainda é válida, quando o expoente é inteiro negativo,
z − n = ρ − n [cos (−nθ ) + i sen (−nθ )] .
Demonstrou, depois, a igualdade
n

 θ 2kπ 
 θ 2kπ
+
 + i sen +
n 
n
n
n
ρ (cos θ + i senθ = n ρ cos 




θ   2kπ
2kπ 
 θ
= n ρ cos + i sen  cos
+ i sen
n
n 
n
n 

afirmando que os valores deste radical representam as n raízes da equação binómia
z n − ρ (cos θ + i senθ ) = 0 .
5.1.2.4 Numeros negativos e numeros imaginarios
No capítulo III, da NOTA do final do Curso (ver Anexo C, Estrutura do Curso),
intitulado Numeros negativos e numeros imaginarios, Gomes Teixeira fez uma nova
abordagem aos complexos.
Primeira página do capítulo III, da NOTA
do final do Curso
Ilustração 5.13
341
A construção dos números complexos
Iniciou o capítulo, definindo a − b , com b > a , como uma nova espécie de
números – os números negativos – passando a definir a igualdade, a adição e a
multiplicação destes números
É a partir da existência dos números negativos, que Gomes Teixeira introduz os
complexos, afirmando que a raiz quadrada de quantidades negativas é uma operação
impossível, usando os números reais, e, daí, a necessidade de introduzir uma nova
espécie de números – os números imaginários ou números complexos – que considerava
compreenderem todos os outros, como casos particulares.
É notória, agora, a preocupação de Gomes Teixeira, na construção dos
imaginários, como uma generalização dos reais, o que evidencia, uma vez mais, a sua
actualização, relativamente às teorias da época.
Assim, Gomes Teixeira começou por definir as operações algébricas, sobre
complexos, representados na forma a + b − 1 .
Página 291, NOTA, 1.ª edição do Curso, 1887
Ilustração 5.14
342
A construção dos números complexos
Não tendo definido conjugado de um numero complexo, Gomes Teixeira definiu a
divisão do número a + b − 1 pelo número c + d − 1 , como operação inversa da
multiplicação, isto é, a operação, que tem por fim encontrar um número x + y − 1 , que,
multiplicado por c + d − 1 , dê a + b − 1 . Assim, a partir da igualdade
a + b −1= ( x + y −1) (c + d −1 )
tirou os valores de x e de y , chegando ao quociente pedido
a + b −1
c + d −1
=
ac + bd
c2 + d 2
+
bc − ad
c2 + d 2
−1 ,
e terminando, desta forma, o tratamento dos complexos, na 1.ª edição do Curso.
5.1.3 Os complexos a partir da segunda edição do Curso
A partir da segunda edição do Curso, Gomes Teixeira eliminou as partes II e III
da Introducção da 1.ª edição, referentes às teorias dos imaginários, com base na teoria
das congruências e na teoria das equipolências. Não nos estranha este facto. Por um
lado, porque estas teorias eram artificiosas, engenhosas, sendo por isso substituídas por
outras mais acessíveis. Por outro lado, porque, como vimos, Gomes Teixeira, já no final
da 1.ª edição, na NOTA, abordou os imaginários, segundo teorias mais actuais.
É natural, portanto, que, nas edições posteriores à 1.ª, Gomes Teixeira tenha
iniciado o desenvolvimento dos complexos, com o texto da NOTA, tratando, assim, os
imaginários, a partir dos números negativos e representados na forma a + b − 1 .
Assim, nas edições posteriores à 1.ª, Gomes Teixeira iniciou a teoria relativa aos
imaginários, na parte III, do capítulo I, da Introducção, com o título Numeros negativos
e numeros imaginarios, que é o mesmo título da parte III, da NOTA, da 1.ª edição.
Este novo texto, sendo semelhante nas restantes edições, apresenta algumas
alterações, de edição para edição, pois Gomes Teixeira foi acrescentando e corrigindo
conteúdos.
343
A construção dos números complexos
Primeira página da parte III, do capítulo I, da Introdução, 1896
Ilustração 5.15
Apenas na 2.ª edição, Gomes Teixeira afirmou:
Diz-se que a + b − 1 é maior do que c + d − 1 , ou que c + d − 1 é menor do que
a + b − 1 , quando é a 2 + b 2 > c 2 + d 2 .34
Hoje, parece-nos estranho, mas a verdade é que sabemos quantas dificuldades os
matemáticos tiveram em lidar com os complexos e em entender o seu significado.
Podemo-nos lembrar de Cardan que fala nas torturas mentais envolvidas no
cálculo da multiplicação de 5 + − 15 por 5 − − 15 35.
Podemo-nos lembrar de Euler, que, também, na sua memória, com o título em
inglês Elements of Algebra, escreveu:
Moreover, as √a multiplied by √b makes √ab we shall have √6 for the value of √-2
multiplied by √-3 […].36
34
35
Teixeira F. G., 1890, p. 10.
Cardano G., 1993, p. 219-220.
344
A construção dos números complexos
Podemo-nos lembrar de José Anastácio da Cunha que chama à raiz quadrada de
um número negativo “uma expressão absurda”37, não deixando, por isso, de considerar
os cálculos com tais expressões.
De certo modo, Cauchy, Bellavitis e o próprio Gomes Teixeira tentaram superar
essas dificuldades, dando uma interpretação das quantidades imaginárias. Se hoje não
sentimos as mesmas dificuldades é, como diz Sebastião e Silva, porque:
[…] essa dificuldade de ordem subjectiva em breve é superada com o hábito.38
Voltemos à análise do Curso.
Como já assinalámos, Gomes Teixeira, na 1.ª edição, fez a substituição de
−1
por i , sem qualquer comentário, mas, na 2.ª e nas seguintes, acrescentou o texto:
Para commodidade representa-se ordinariamente o imaginario
− 1 pela letra i
39
[...].
Ainda como exemplo, assinale-se que, na 1.ª edição, Gomes Teixeira afirmava
apenas que os valores do radical de ordem n representavam as n raízes da equação
binómia z n − ρ (cos θ + i senθ ) = 0 , mas, a partir da 2.ª edição, enunciou um teorema,
no qual se afirma que todo o radical de indice n tem n valores differentes. Com base
neste teorema, apresentou as regras da radiciação, para radicais de ordem n .
Demonstrou, por exemplo, que n z . n z ' = n z z ' , apresentando, apenas, os resultados
relativos às raízes índice n . Apenas, na 2.ª edição, afirmou:
A igualdade verdadeira em Arithmetica,
np
n
z mp = z m
não tem logar no caso em que se consideram os radicaes com toda a generalidade,
visto que o primeiro membro tem np valores e o segundo membro tem sómente n
valores.40
Relativamente à fórmula
( z)
n
m
=
m
zn
=
m
ρn
m
m


cos n (θ + 2kπ ) + i sen n (θ + 2kπ )

Gomes Teixeira, na 3.ª edição, acrescentou:
36
Além disso, como √a multiplicado por √b dá √ab teremos √6 para o valor de √-2 multiplicado por √-3
[…].
Euler L., 1972, p. 43.
37
Cunha J. A., 1987, p. 125.
38
Silva J. S., 1999, vol. II, p. 157.
39
Teixeira F. G., 1890, p. 12.
40
Ibidem, p. 16.
345
A construção dos números complexos
( )
m
Esta formula mostra que n z tem n valores distinctos, quando n e m são primos
entre si. Se porém é n = m' p 41, m = m' p , p representando o maior divisor
commum de m e n , a mesma formula mostra que
distintos.
(n z )m
tem só n' valores
42
Na 4.ª edição, este enunciado passou a ser o que segue e que Gomes Teixeira
demonstrou:
Esta formula mostra que
(n z )m
tem n valores distinctos, quando n e m são
primos entre si, os quaes correspondem aos valores 0, 1, 2,..., n − 1 de k.43
Página 18, Introducção, 4.ª edição do Curso, 1906,
onde se encontra parte da demonstração referida no texto
Ilustração 5.16
41
Deve haver uma gralha tipográfica, pois, em vez de “ m' ” deveria estar “ n' ”, caso contrário, a frase não
tem sentido.
42
Teixeira F. G., 1896, p. 17.
43
Teixeira F. G., 1906, p. 17.
346
A construção dos números complexos
Na 2.ª edição e posteriores, no que respeita à representação geométrica dos
imaginários, Gomes Teixeira abandonou a referência a quantidades geométricas,
afirmando, simplesmente,
que o imaginário
a + bi
pode ser representado,
geometricamente, por um ponto M , cuja abcissa é a e cuja ordenada é b . Acrescentou
que a cada valor do imaginário corresponde uma posição determinada do ponto M e
reciprocamente44.
Nestas mesmas edições, referiu, ainda, que às operações, sobre imaginários,
correspondem operações geométricas determinadas, apresentando apenas o caso da
adição de complexos. Assim, considerou os imaginários a + ib e a '+ib' , de módulo ρ e
ρ ' e de argumento θ e θ ' , respectivamente, sendo, então, a soma representada por um
ponto M ' , obtido a partir de OM , cujo comprimento é ρ e argumento é θ , traçando, a
partir de M o segmento MM ' , cujo comprimento é ρ ' e argumento é θ ' . Gomes
Teixeira escreveu:
[…] as coordenadas do ponto M ' são
ρ cos θ + ρ ' cos θ ' , ρ senθ + ρ ' senθ ' ,
e portanto M ' representa o imaginario
ρ cos θ + ρ ' cos θ '+i ( ρ senθ + ρ 'senθ ' )
que coincide com a somma dos imaginarios considerados.45
Apesar dos textos serem semelhantes na 2.ª, 3.ª e 4.ª edições, o gráfico, que
Gomes Teixeira apresentou, a acompanhar aquela explicação, não é o mesmo em todas
elas:
Página 17, 2.ª edição do Curso, 1890
Ilustração 5.17
44
45
Página 17, 3.ª edição do Curso, 1896
Ilustração 5.18
Página 19, 4.ª edição do Curso, 1906
Ilustração 5.19
Teixeira F. G., 1890, p. 16; 1896, p. 17; 1906, p.18.
Teixeira F. G., 1890, p. 17; 1896, p. 18; 1906, p. 19.
347
A construção dos números complexos
Note-se que, no gráfico da 2.ª edição (Ilustração 5.17), não é perfeitamente
perceptível se o ponto M ' tem ou não a mesma abcissa de M – na prática, um e outro
caso podem acontecer – mas, no gráfico da 3.ª edição (Ilustração 5.18), é perfeitamente
visível que os pontos M e M ' não têm a mesma abcissa.
O gráfico da 4.ª edição (Ilustração 5.19) ilustra o texto, mas permite, também,
visualizar uma nova abordagem dos complexos. De facto, nesta edição, Gomes Teixeira
apresentou os complexos, com base na teoria vectorial. Começou por definir vector,
como um segmento de recta de grandeza e direcção determinadas e que se supõe
descrito por um ponto, que se move em sentido determinado, partindo de uma
extremidade, que se diz inicial, até outra, que se diz final. Definiu dois vectores iguais,
quando têm a mesma grandeza e direcção e são descritos no mesmo sentido46.
Apoiando-se no gráfico inserido na 4.ª edição (Ilustração 5.19), Gomes Teixeira
afirmou:
[…] o vector OM ' , que se determina, tirando por M um vector MM ' , egual a ON ,
se diz somma dos vectores OM e ON , e que o vector cuja grandeza é egual a
OM × ON , e que forma, com Ox , um ângulo igual a MOx + NOx , se diz producto
dos dois vectores.47
Na mesma 4.ª edição, Gomes Teixeira acrescentou:
[…] como a cada ponto do plano corresponde um vector, que tem para extremidade
final este ponto e para extremidade inicial o ponto O , vê-se que a todo o imaginario
corresponde um vector, que tem O para extremidade inicial, e reciprocamente.
Assim, aos imaginarios a + ib e a '+ib' correspondem os vectores OM e ON ; á
somma d’estes imaginarios corresponde o vector OM ' , egual á somma dos vectores
correspondentes ás parcellas a + ib e a '+ ib' ; e ao producto dos mesmos imaginarios
corresponde um vector, egual ao producto dos vectores correspondentes aos factores
a + ib e a '+ ib' .48
Gomes Teixeira afirmou, então:
As operações sobre vectores, que vêem de ser consideradas, são uma generalização
das operações sobre segmentos consideradas na Geometria elementar; e da
correspondencia que vêem de ser indicada, entre aquellas operações e as operações
sobre imaginarios resulta que as operações sobre vectores se sujeitam ás leis
fundamentaes consideradas no n.º 1.49
46
Teixeira F. G., 1906, p. 19.
Ibidem.
48
Ibidem, p. 20.
49
Gomes Teixeira está a referir-se aos Caracteres das operações da Arithmetica e da Algebra.
Teixeira F. G., 1906, p. 20.
47
348
A construção dos números complexos
A finalizar o capítulo, Gomes Teixeira fez um breve apontamento histórico sobre
os complexos. Afirmou que Wessel foi o primeiro matemático a tratar a representação
geométrica dos imaginários, na memória de 1798, a qual ficou, por muito tempo,
desconhecida, e referiu que se seguiram Gauss e Argand.
Gomes Teixeira acrescentou, ainda, que, do método da representação geométrica
dos complexos, devida a Argand, se desenvolveu o método de Bellavitis e que estes
métodos geométricos abriram caminho a vários métodos analitico-geométricos,
principalmente desenvolvidos por Grassmann e Hamilton.
5.2 Súmula de ideias
Por tudo o que foi exposto, é perceptível que Gomes Teixeira conhecia os
trabalhos mais relevantes, na época, sobre complexos.
Nos seus textos reflecte uma preocupação não só de rigor, mas também, de
clarificação e simplicidade. Assim, Gomes Teixeira ora acrescenta novos items, ora os
elimina. De facto, Gomes Teixeira parte da abordagem, bem engenhosa, das
congruências, passando pela teoria das equipolências de Bellavitis e das notações de
Cauchy, que ele entrelaça num desenvolvimento próprio, com um objectivo didáctico
que nos parece claro, no caminho da maior simplicidade. Termina com a teoria dos
complexos segundo a teoria vectorial.
Como dissemos, os textos sobre irracionais, na 1.ª edição do Curso, podem ter
sido pensados por Gomes Teixeira com um certo desfasamento temporal em relação aos
outros assuntos. Porém, relativamente aos imaginários, não nos restam dúvidas que
tenham sido pensados para introduzir logo nos Fragmentos e 1.ª edição. Esta ideia é
corroborada pela publicação da memória “Sur la théorie des imaginaires”, de 1883, e da
publicação no volume VI (1885), do JSMA, de um artigo intitulado “Introducção á
theoria das funcções” no qual incluiu a “Theoria analytica dos imaginarios” (ver 2.1.7),
igual ao texto dos Fragmentos, e por isso, da 1.ª edição.
Foi, pois, com certa estranheza que lemos o artigo de Luís da Costa Almeida,
publicado no Instituto, vol. 39 (1891–92), intitulado “Primeiras noções sobre o calculo
das quantidades geometricas”. Assim, o autor afirma que o objectivo do seu trabalho é
justificar:
[…] attendendo a que theoria das quantidades geometricas, por entre nós ainda não
ter sido aproveitada na parte mais elementar da sciencia, se não encontra exposta sob
349
A construção dos números complexos
uma fórma que a torne accessivel, diligenciámos colligir d’essa theoria o que nos
pareceu sufficiente para o fim que tinhamos em vista […].50
De facto, Luís da Costa Almeida (ver 1.5, carta 1635), ao tratar o assunto do seu
artigo, não fez uma única referência a Gomes Teixeira, embora cite Cauchy, Hoüel,
Argand e Euler.
Ora, como vimos, o primeiro texto de Gomes Teixeira, sobre os números
imaginários, é de 1883 (ver Anexo C, Memória 5.1), o segundo é o dos Fragmentos,
que contém tudo o que expusemos relativo à 1.ª edição do Curso (1887), e que foi
publicado em 1884. No ano seguinte, no vol. VI, do JSMA, apareceu a Theoria
analytica dos imaginarios.
50
Almeida L. C., 1891-92, p. 563.
350