5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque
Aula 7
Oscilações Amortecidas
O modelo do sistema massa-mola visto nas aulas passadas, que
resultou nas equações do MHS, é apenas uma idealização das
situações mais realistas existentes na prática.
Sempre que um sistema físico é posto para oscilar livremente, as
oscilações decaem com o tempo até desaparecer completamente.
Todo sistema real possui características dissipativas que levam a sua
energia mecânica (cinética mais potencial) a se converter em outras
formas de energia (calor, por exemplo).
Portanto, o modelo do MHS que leva à descrição matemática de um
sistema oscilante em termos de uma função senoidal de amplitude
constante e que perdura indefinidamente deve ser modificado para
que possa descrever de maneira mais precisa as oscilações que
decaem com o tempo.
A força resistiva de um fluido (ar, água, etc) a um corpo em
movimento é função da velocidade do corpo. Ela se opõe ao sentido
da velocidade e seu módulo é dado por
R(v) = b1v + b2v 2 ,
(1)
onde v é o módulo de v e b1 e b2 são constantes positivas.
1
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Pergunta: quais as unidades de b1 e b2?
Quando as velocidades são pequenas, como é o caso para pequenas
oscilações, o termo quadrático na equação acima pode ser
desprezado e fica-se apenas com o termo linear:
R(v) = bv .
(2)
Vamos novamente tomar o modelo de um corpo preso a mola como
o protótipo de um sistema oscilando. No presente caso,
considerando que há uma força resistiva se opondo ao movimento
do corpo como a da equação (2), a segunda lei de Newton para o
corpo é
d 2x
m 2 = − kx − bv .
dt
(3)
Esta equação pode ser reescrita como:
d 2x
dx
m 2 + b + kx = 0
dt
dt
ou
d 2x
dx
2
+
γ
+
ω
0x =0,
dt 2
dt
(4)
onde
2
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ω02 =
k
m
e
γ=
b
m.
(5)
Pergunta: quais as unidades de γ?
A constante γ caracteriza o amortecimento e, quando ela é nula, não
há amortecimento e o corpo oscila com freqüência angular ω0 como
nos casos vistos anteriormente.
A equação (4) é uma equação diferencial linear homogênea de 2a
ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-la, iremos usar o
método da exponencial complexa e supor que a solução x(t) é a parte
real do vetor girante z(t) que satisfaz a equação complexa
d 2z
dz
2
+
γ
+
ω
z = 0.
0
2
dt
dt
(6)
A solução da equação acima pode ser encontrada pelo método da
substituição. Vamos supor uma solução da forma
z (t ) = eipt .
(7)
Substituindo (7) em (6) obtemos (mostre como exercício):
− p 2eipt + iγpeipt + ωo2eipt = 0 .
3
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Para que esta equação seja satisfeita para todos os valores de t
devemos ter:
− p 2 + iγp + ωo2 = 0 .
(8)
Esta equação é conhecida como equação característica.
Observe que, pela equação acima, p não pode ser um número real
puro. Por causa do termo ipγ, se p for um número real puro
(diferente de zero) a equação não tem solução (a menos que γ seja
nulo, o que não nos interessa aqui).
Portanto, p tem que ser um número complexo. Vamos escrevê-lo
como:
p = c + id .
Então,
p 2 = c 2 + 2icd − d 2 .
Substituindo estas duas expressões na equação (8):
− c 2 − 2icd + d 2 + icγ − γd + ωo2 = 0 ⇒
(
)
⇒ − c 2 + d 2 − γd + ω02 − i (2cd − cγ ) = 0 .
Esta equação só é satisfeita se os dois termos entre parênteses forem
simultaneamente nulos:
4
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− c 2 + d 2 − γd + ω02 = 0
2cd − cγ = 0 .
Da segunda equação temos que:
d=
γ
2.
Substituindo na primeira equação:
2
2
0
c =ω −
2
0
γ2
⇒
4
c=± ω −
γ2
4 .
(9)
Observe que há três possibilidades para c:
a) Se ω02 >
2
0
b) Se ω =
c) Se ω 02 <
γ2
4
γ2
4
γ2
4
, c é um número real diferente de zero;
, c é zero;
, c é um número imaginário puro.
A primeira leva ao caso chamado de amortecimento subcrítico, a
segunda leva ao caso chamado de amortecimento crítico, e a terceira
5
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leva ao caso chamado de amortecimento supercrítico. Veremos a
razão para estes nomes mais adiante, quando interpretarmos
fisicamente as soluções.
Vamos começar considerando a possibilidade (a), que é a que faz
com que c seja um número real não nulo. Considerando então que
γ2
2
0
ω >
4 ,
(10)
temos que
2
2
0
c =ω −
γ2
4
>0
e
2
0
c=± ω −
γ2
4
≡ ±ω .
(11)
A solução obtida implica que há dois valores possíveis de p:
p1 = ω + i
γ
2
e
p2 = −ω + i
γ
2,
ou seja, há dois valores possíveis de z:
z1 = eip1t = e
γ

i  ω + i t
2

e
z2 = eip 2 t = e
γ

i  −ω + i  t
2

.
6
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A solução mais geral de (6) para este caso é dada por uma
combinação linear das duas soluções acima:
z (t ) = a1e
γ

i  ω + i t
2

⇒ z (t ) = e
−
γt
2
+ a2 e
[a e
iω t
1
γ

i  −ω + i  t
2

⇒
]
+ a2e − iωt ,
(12)
onde as constantes a1 e a2 podem ser números complexos.
O fato de que a1 e a2 podem ser números complexos implica que, em
princípio, há quatro constantes reais arbitrárias na solução acima
(porque?). Porém, a equação diferencial (6) é de segunda ordem e
sabemos que a sua solução geral deve conter apenas duas constantes
reais arbitrárias.
O número de constantes independentes pode ser reduzido a dois se
fizermos que os dois números complexos a1 e a2 sejam complexos
conjugados:
a1 = r + is
e
a2 = a1* = r − is ,
onde r e s são números reais.
Na forma trigonométrica, dois números complexos conjugados são
escritos como (mostre como exercício):
a1 = Beiϕ
e
a2 = a1* = Be − iϕ ,
7
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onde B e φ são números reais.
Substituindo esses números complexos conjugados nas suas formas
trigonométricas na equação (12), obtemos:
z (t ) = Be
−
γt
2
[e (
i ωt + ϕ )
]
+ e − i (ωt +ϕ ) .
(13)
Tomando a parte real desta expressão como a solução x(t)
procurada, obtemos:
x(t ) = Ae
−
γt
2
cos(ωt + ϕ ) ,
(14)
onde definiu-se A = 2B.
Para interpretar esta solução, vejamos o seu gráfico para o caso
particular em que φ = 0.
8
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Exercício: tente reproduzir este gráfico usando o Excel ou outro
programa qualquer. Dica: o gráfico foi feito para um caso em que γ
<< ω0, onde ω0 é a freqüência angular do oscilador não amortecido.
Observe que o gráfico mostra uma oscilação cuja amplitude diminui
com o tempo. Ela corresponde à noção intuitiva que temos de um
oscilador amortecido.
A grandeza ω, definida por (11), é chamada de frequência do
oscilador amortecido. Estritamente falando, não se pode definir uma
frequência para o caso de um oscilador amortecido, pois o
movimento não é periódico (o oscilador nunca passa duas vezes pela
mesma posição com a mesma velocidade).
Para o caso de um amortecimento fraco, em que γ << ω0 (que é o
caso da figura acima), pode-se escrever
2
0
ω= ω −
γ2
4
≅ ω0 .
Desta forma, pode-se usar o termo “frequência” sem incorrer em um
grande erro, mas deve-se ter em mente que o termo só tem
significado preciso quando γ = 0. Apesar disso, é costume se referir
ao termo ω como a “frequência” angular do oscilador amortecido e
isto será feito aqui.
9
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Assim como se define uma “frequência” para o oscilador
amortecido, também se define o “período”, dado por
T=
2π
ω
.
Note que a frequência do oscilador amortecido é sempre menor que
a frequência do oscilador sem amortecimento. Por outro lado, o
período do oscilador amortecido é sempre maior que o período do
oscilador não amortecido.
Continuando com os abusos de linguagem, também é costume
chamar o fator Ae–γt/2 de “amplitude” da oscilação amortecida.
Observe que essa amplitude decai com o tempo de forma
exponencial. As curvas
x± A (t ) = ± Ae
−
γt
2
definem a envoltória (ou envelope) das oscilações. Essas duas
curvas também estão mostradas na figura acima.
Define-se o tempo de decaimento τd (uma constante) como o tempo
que a amplitude acima leva para cair a um valor igual a 1/e do seu
valor inicial. Logo:
10
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−
γτ d
x± A (τ d ) 1
Ae 2
1
= ⇒
= ⇒
x± A (0) e
A
e
⇒e
−
γτ d
2
= e −1 ⇒
2
⇒τd =
γ
=
γτ d
2
=1⇒
2m
b .
(15)
Pode-se então reescrever a equação (14) como:
−
x(t ) = Ae
t
τd
cos(ωt + ϕ ) .
(16)
A forma acima é útil quando se estuda experimentalmente um
movimento oscilatório com amortecimento. Isto porque o tempo de
decaimento τd pode ser determinado experimentalmente e, a partir
dele, o valor de b.
A determinação experimental de τd pode ser feita da seguinte
maneira: Mede-se o valor da amplitude da oscilação x0 para um
tempo t0 correspondente a um dos picos mostrados na figura da
página 8. Depois, mede-se a amplitude xN em um tempo tN que esteja
N picos à frente (ou seja, em um tempo NT depois de t0).
11
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Da equação (16), temos que a razão entre as duas amplitudes é
−
t0
(t N − t 0 )
x0 e τ d
τd
= tN = e
−
,
xN
e τd
de maneira que o tempo de decaimento é dado por:
τd =
(t N − t0 )
ln ( x0 xN ) .
(17)
Apesar disso, no resto desta aula continuaremos a representar o
movimento oscilatório amortecido pela equação (14).
Ao contrário do caso do oscilador harmônico simples, visto nas
aulas passadas, a energia do oscilador amortecido não é constante ao
longo do tempo. Pelo contrário, ela é continuamente dissipada e
transformada em calor ou outras formas de energia.
A energia mecânica do oscilador amortecido num instante de tempo
t é dada por:
E (t ) =
1 2
1
mx& (t ) + kx 2 (t ) .
2
2
(18)
A taxa de variação temporal da energia é, portanto (usando-se a
notação do “ponto” para expressar a derivada temporal):
12
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dE
= mx&&x& + kxx& = x& (m&x& + kx ) .
dt
(19)
Relembrando das equações (3) e (5),
m&x& = − kx − bx&
e
γ=
b
⇒
m
⇒ m&x& + kx = −bx& = − mγx& ,
de maneira que
dE
= −mγx& 2 .
dt
(20)
A taxa de perda de energia é proporcional ao quadrado da
velocidade instantânea do corpo. Logo, a diminuição da energia não
é uniforme. A taxa de perda de energia possui máximos nos pontos
em que o corpo atinge os máximos de velocidade e é
instantaneamente nula nos pontos em que a velocidade do corpo é
zero.
Esses pontos podem ser obtidos calculando-se a expressão para a
velocidade do corpo. De (14) temos que (mostre como exercício):
x& (t ) = − Ae
−
γt
2
γ

cos
(
ω
t
+
ϕ
)
+
ω
sen
(
ω
t
+
γ
)
2
,


de maneira que (mostre como exercício),
13
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γ 2

γω
x& = A e  cos 2 (ωt + ϕ ) + ω 2sen 2 (ωt + γ ) +
sen[2(ωt + ϕ )]
2
4

2
2 − γt
e
2

dE
γω
2 − γt  γ
= −mγA e  cos 2 (ωt + ϕ ) + ω 2sen 2 (ωt + γ ) +
sen[2(ωt + ϕ )] .(21)
dt
2
4

Os gráficos para E(t) e dE/dt estão dados a seguir. Os gráficos foram
feitos para os mesmos parâmetros e condições usadas para construir
o gráfico da página 8. Exercício: tente reconstruir os dois gráficos
abaixo.
14
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A análise feita até agora mostra que o oscilador amortecido é
caracterizado por dois parâmetros: ω0 e γ = b/m. A constante ω0 é a
freqüência angular das oscilações sem amortecimento e a constante γ
caracteriza o amortecimento. Se você fez a análise dimensional de γ
corretamente acima (página 3), terá visto que γ tem dimensão de
inverso de tempo. Esta é a mesma dimensão de ω0.
Portanto, pode-se definir uma grandeza adimensional para
caracterizar o oscilador amortecido:
Q≡
ω0
γ .
(22)
O parâmetro Q é chamado de fator “Q” (de qualidade) ou fator de
mérito do oscilador.
O fator Q de um oscilador amortecido é um número puro que pode
ser usado para caracterizar a força do amortecimento. Em termos de
Q, a equação (11) torna-se
2
2
0
ω =ω −

1 

= ω02 1 −
2 .
4
 4Q 
γ2
(23)
Note que quanto maior o valor de Q, mais próximo de ω0 fica o
valor de ω. Valores grandes do fator Q (>> 1) indicam
15
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amortecimento fraco, enquanto que valores pequenos indicam
amortecimento forte.
O fator Q é muito utilizado na descrição de oscilações de voltagem
ou de corrente em circuitos elétricos, e é por isso que ele foi
apresentado aqui. Quando vocês estudarem circuitos elétricos
compostos por capacitores, indutores e resistores, verão que
aparecerão equações idênticas à equação (4) e o fator Q será útil na
análise do comportamento dessas oscilações não mecânicas.
Vamos passar agora aos outros dois casos possíveis para a equação
(9):
2
0
b) Se ω =
2
0
c) Se ω <
γ2
4
γ2
4
, c é zero;
, c é um número imaginário puro.
No caso (b), se c for zero as duas soluções possíveis do caso (a) (p1 e
p2) tornam-se apenas uma:
p = id = i
γ
⇒
2
γ
⇒ z (t ) = e = e
ipt
− t
2
.
16
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Neste caso, pode-se mostrar por substituição que uma segunda
função dada por
γ
z1 (t ) = te
− t
2
também é solução da equação diferencial (6) (mostre como
exercício).
Como z = eat e z1=teat são linearmente independentes, a solução mais
2
0
geral da equação diferencial (6) para o caso em que ω =
γ
z (t ) = Ae
− t
2
γ
+ Bte
− t
2
γ2
4
é:
γ
= ( A + Bt )e
− t
2
.
(24)
A parte real desta solução é ela mesma (note que não há mais o
número complexo i). Portanto, a solução para a equação diferencial
(4) no caso (b) é:
γ
x(t ) = ( A + Bt )e
− t
2
.
(25)
O gráfico desta solução é dado abaixo (supondo que x(0) = A e que
x& (0) = 0) .
17
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Note
que
não
há
mais
oscilações.
O
movimento
decai
exponencialmente em direção a zero!
2
0
Vejamos agora o caso (c) em que ω <
γ2
4
e c é um número
imaginário puro. Neste caso,
c = ±i
γ2
4
− ω02 ≡ ±iβ ,
onde β é uma constante real positiva.
Os dois valores possíveis para p são:
p1 = iβ + i
γ

= i + β 
2 2

γ
e
p2 = −iβ + i
γ

= i − β 
2 2

γ
18
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e os dois valores de z são então:
z1 = eip1t = e
γ

− + β t
2

e
z2 = eip 2 t = e
γ

− − β t
2

.
Notem que estas duas soluções também não são mais complexas (os
fatores dependentes de i desapareceram todos!).
Podemos, portanto, passar a escrever as soluções diretamente como
x1 e x2, e a solução mais geral de (4) para este caso é dada por uma
combinação linear de x1 e x2:
x(t ) = a1e
γ

− + β t
2


+ a2 e
γ

−  − β t
2


.
(26)
onde as constantes a1 e a2 são dois números reais arbitrários.
Observem que a solução acima não é mais oscilatória, assim como
no caso (b). Ela é dada pela soma de duas exponenciais e, portanto,
pode ser uma função que cresce indefinidamente ou decresce
indefinidamente, dependendo dos valores relativos dos expoentes
constantes que multiplicam t nas duas exponenciais.
O expoente da primeira exponencial é
γ

− + β,
2

que é sempre
negativo; portanto, a primeira exponencial é sempre decrescente. O
19
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expoente da segunda exponencial é
γ

− − β
2

e também é sempre
negativo, pois γ/2 > β (para mostrar isto, basta lembrar da definição
de β:
β 2 = (γ 2 4) − ω 02 ⇒ (γ 2 4 ) − β 2 = ω 02 > 0 ⇒ γ 2 4 > β 2 ⇒ γ 2 > β ).
Portanto, a segunda exponencial também é sempre decrescente.
Em
resumo,
a
solução
(26)
para
o
caso
(c)
decresce
exponencialmente no tempo e sem oscilações.
O gráfico abaixo mostra dois comportamentos típicos da solução
(26). Nos dois o corpo começa a se movimentar da posição inicial
x(0) = A, mas em um a velocidade inicial é zero ( x& (0) = 0 ) e no outro
a velocidade inicial é maior do que zero ( x& (0) > 0 ).
20
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Se a velocidade do corpo no instante inicial é positiva, a posição do
corpo aumenta a partir desse instante, atinge um máximo e depois
decai em direção a zero. Se a velocidade inicial do corpo é nula, sua
posição decai monotonamente em direção a zero.
Notem que para tempos grandes os dois decaimentos se igualam.
Observando a solução (26), vemos que o termo exponencial cujo
expoente é
γ

− + β
2

cujo expoente é
decai mais rapidamente que o termo exponencial
γ

− − β
2

(explique o porquê disto).
Isto implica que, para tempos grandes, o termo cujo expoente é
γ

− − β
2

domina o comportamento da solução (26):
x(t ) ≅ a2e
γ

− − β t
2

,
(para t grande) .
(27)
Independentemente da velocidade inicial do corpo e do que acontece
para valores pequenos de t, para tempos grandes o decaimento da
solução para o caso (c) é sempre o mesmo, de tipo exponencial
como na equação (27).
Exercício: Use um programa como o Excel ou qualquer outro
similar para estudar o comportamento da solução (26) para
21
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Aula 7
diferentes valores de x& (0) (supondo sempre que x(0) = A). Em
particular, veja o que acontece quando a velocidade inicial for
negativa e tiver um módulo suficientemente grande.
O gráfico abaixo sintetiza os comportamentos dos três casos de
amortecimento estudados nesta aula (a, b e c). Nos três casos, para
facilitar a comparação, a posição inicial do corpo é x(0) = A e a sua
velocidade inicial é x& (0) = 0 .
O gráfico explica a razão dos nomes dados aos três casos.
• O único dos três casos que é oscilatório é o do amortecimento
subcrítico;
• Os casos de amortecimento crítico e supercrítico levam a um
decaimento monótono (sem oscilações) em direção ao repouso;
22
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• A solução com amortecimento crítico é a que decai mais
rapidamente em direção ao repouso;
• O nome “crítico” vem do fato de que é para o valor do
parâmetro γ deste caso (γ/2 = ω0) que o comportamento de
decaimento do corpo em direção ao repouso deixa de ser
oscilatório e passa a ser monótono (exponencial).
O caso de amortecimento crítico tem aplicação prática importante
na construção de balanças ou outros instrumentos de precisão
baseados em sistemas mecânicos elásticos. A ideia é construir o
aparelho de maneira que o seu amortecimento seja crítico para
que o movimento atinja o equilíbrio o mais depressa possível e
permita uma rápida leitura do resultado.
Amortecedores de automóveis também são ajustados para o caso
crítico, para retornar o mais rapidamente possível ao equilíbrio
após um buraco para estar prontos para o próximo.
23