X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
O ENSINO DE ÂNGULOS POR MEIO DA MANIPULAÇÃO DE MATERIAIS
DIDÁTICOS E SITUAÇÕES PROBLEMA
Emanuela Régia de Sousa Coelho1
Universidade Estadual da Paraíba
[email protected]
Kléber Mendes Vieira2
Universidade Estadual da Paraíba
[email protected]
Maxsuel da Silva3
Universidade Estadual da Paraíba
[email protected]
Rafaella Mayne Costa Silva4
Universidade Estadual da Paraíba
[email protected]
Resumo: Propomos neste minicurso apresentar uma abordagem sobre o desenvolvimento
integrado dos diferentes conceitos e medidas de ângulos, por meio de uma serie de
situações problemas a serem resolvidas através da manipulação de materiais didáticos
(réguas, esquadros, compassos e transferidores e dobraduras). Em especial abordando
soma dos ângulos internos de triângulos e polígonos, medidas de ângulo complementar e
suplementar. Direcionado para alunos de licenciatura e professores do ensino fundamental
de matemática, utiliza como referencial a Teoria das Situações Didáticas de Brosseau,
partindo das situações de ações realizadas por meio de manipulativos, seguida das
situações de formulações, de justificativas e de institucionalização nas quais participantes
expressam na linguagem os resultados obtidos, fundamentando-os e registrando-os
matematicamente sob acompanhamento do professor.
Palavras-chave: Ângulos; ensino-aprendizagem; situações didáticas; materiais
manipulativos.
PÚBLICO ALVO: Professores do Ensino Fundamental e/ou Estudantes de Graduação em
Matemática.
VAGAS: 20 (vinte).
INTRODUÇÃO
1
Aluna do curso de Licenciatura em Matemática da UEPB.
Professor da Rede de Ensino Municipal de Campina Grande; Mestrando do Programa em Ensino de
Ciências e Matemática/UEPB
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Aluno do curso de Licenciatura em Matemática da UEPB.
4
Aluna do curso de Licenciatura em Matemática da UEPB.
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Diversas pesquisas confirmam a existência de uma crise no processo de ensino e
aprendizagem de Geometria, a exemplo dos trabalhos de Duarte e Silva (2006), Búrigo
(1989) e Pavanello (1989). Soares (2001) alega que o enfoque seguido pela matemática
moderna alterou o equilíbrio entre o ensino de Álgebra e o de Geometria, priorizando o
primeiro. Esta crise se reflete no ensino de geometria na formação inicial sendo reduzida a
presença dos conteúdos desta disciplina nos currículos.
Em muitos cursos de licenciatura, o ensino de geometria se reduz a uma disciplina
de Geometria Euclidiana, sob um enfoque extremamente formal e abstrato o que, de
acordo com Pavanello (1989), é insuficiente, devido ao pouco domínio deste campo pelos
licenciandos. Pouco é trabalhado o estudo sobre espaços e formas e as suas representações,
com base nos aspectos intuitivos.
A partir da década de 90, educadores e autoridades educacionais tentam implantar
novas propostas curriculares, a exemplo da contida nos PCN’s de Matemática, que
possibilitem ao país um salto de qualidade quanto à formação dos nossos jovens. Para os
PCN’s, a Geometria é concebida como “espaço e forma”, e possui um papel
importantíssimo, tanto para o currículo de Matemática, quanto para a formação do
educando.
Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de
Matemática no ensino fundamental, porque, por meio deles, o aluno
desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite
compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em
que vive.
(BRASIL, 1998, p. 51)
Conforme podemos observar nos PCN’s de Matemática:
As atividades de Geometria são muito propícias para que o professor
construa junto com seus alunos um caminho que a partir de experiências
concretas leve-os a compreender a importância e a necessidade da prova
para legitimar as hipóteses levantadas. Para delinear esse caminho, não se
deve esquecer a articulação apropriada entre os três domínios: o espaço
físico, as figuras geométricas e as representações gráficas.
(BRASIL, 1998, p. 126)
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Recomenda-se assim a introdução dos conceitos geométricos de maneira informal
no ensino fundamental servindo os conteúdos de Geometria, pelo seu caráter intuitivo e
semi-concreto, para introduzir as primeiras demonstrações formais em todos os campos,
geralmente a partir do 3º ciclo inicial (6º ano), evoluindo passo a passo com a construção
da linguagem e do rigor matemático.
O estudo de ângulo se destaca, pelas suas aplicações entre os conteúdos abordados
na Geometria, na educação básica. Existe mais de um conceito associado a ângulo: a)
como a união de duas semi-retas com uma origem comum; b) Como região no espaço e c)
Como uma quantidade de giro.
Nos últimos tempos, vem se discutido muito a respeito do uso de recursos
manipulativos, jogos e desafios e quebra-cabeças nas aulas de matemática. As dúvidas
atuais não são sobre a sua eficácia como ponto inicial das aprendizagens, pois as principais
teorias construtivistas reconhecem a sua importância na geração de modelos associados aos
sentidos que servirão de base para posteriores abstrações e representações. Um dos
problemas que se coloca, é o de saber como e quando utilizá-los. Nesta direção
utilizaremos a Teoria das Situações didáticas de Brosseau, partindo de situações concretas,
envolvendo o uso de materiais manipuláveis dentro das situações de ações, que em seguida
serão representadas no plano, expressas na linguagem e finalmente postas na linguagem
matemática adequada ao final do nível fundamental.
Pretendemos apresentar alguns recursos pedagógicos que visam motivar e facilitar
o aprendizado dos alunos em relação conteúdo ângulos, trabalhando a nível do concreto,
das representações planas e da linguagem geométrica. Os traçados técnicos e geométricos
utilizando esquadros, transferidores, régua e compasso nos permitem a construção de
ângulos de maneira clara, prática e alternativa e, neste minicurso, elas serão associadas ao
uso de dobraduras. Utilizando este recurso e as técnicas de origami serão construídos
ângulos especiais (180º, 90º, 45º, 60º e 30º), efetuada a divisão de um ângulo em partes
iguais (quando possível), trabalhado processos de operar, construir e medir ângulos,
associando-os á construção de polígonos – em especial triângulos e quadriláteros. A partir
da construção e representação de uma Rosa dos Ventos será desenvolvida a idéia de ângulo
de giro; jogos sobre figuras geométricas servirão para tirar resultados e exercitar
conhecimentos desenvolvidos.
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OBJETIVO GERAL
Propomos neste minicurso apresentar uma abordagem sobre o desenvolvimento
integrado dos diferentes conceitos e medidas envolvendo ângulos, por meio de uma serie
de situações problemas a serem resolvidas através da manipulação de materiais didáticos
(réguas, esquadros, compassos e transferidores, jogos e dobraduras) em nível do Ensino
Fundamental - anos finais.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Apresentar o conteúdo ângulos nas séries finais do Ensino Fundamental de forma
integrada e contextualizada, integrando os seus diferente conceitos;
 Possibilitar a realização de atividades envolvendo a utilização de instrumentos
geométricos, dobraduras e o recurso de jogos, desafios e quebra cabeçamatemáticos;
 Construir e estabelecer relações entre figuras geométricas, em especial os
polígonos, destacando operações e medidas de ângulos;
 Associar figuras e formas no espaço, sua representação no plano e na linguagem
matemática.
DESENVOLVIMENTO DO MINICURSO
O desenvolvimento do minicurso se dará da seguinte maneira:
1. Discussão informal acerca dos conhecimentos prévios dos cursistas, com relação ao
uso de materiais manipuláveis no ensino de ângulos e apresentação do minicurso a
ser vivenciado;
2. Desenvolvimento das tarefas:
2.1 Medindo ângulos com a Rosa dos Ventos:
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A Rosa dos Ventos representa os pontos cardeais (Norte – N, Sul – S, Leste –E,
Oeste – O) que, como visto na figura 1, se distanciam entre si formando ângulos
de 90º, acrescido dos pontos colaterais (Nordeste – NE, Noroeste – NO,
Sudoeste – SO, Sudeste – SE) que dividem os cardeais ao meio formando, com
os eles, ângulos de 45º.
A partir disso, a proposta didática para essa atividade é desenvolver o conceito
de ângulos de giro com base na localização desses pontos no desenho, como
também a noção de bissetriz e a classificação dos ângulos: reto, obtuso, agudo,
complementar e suplementar.
2.2 Estudo dos quadriláteros a partir de dobraduras:
Utilizando apenas, papel, cola e tesoura podemos mostrar que a soma dos
ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360°, como por exemplo:
Construir dois anéis de papel com as mesmas medidas, e colá-los um
perpendicular ao outro, conforme a figura 2.
Observemos que serão formados quatro ângulos de
90°. Em seguida, cortemos conforme o pontilhado
mostrado na figura 2, ao estendermos o papel,
veremos a figura de um quadrado, no qual contem
quatro ângulos internos de 90° cada um, cuja soma é
igual a 360°.
2.3 Construção de ângulos utilizando instrumentos geométricos:
Em Desenho Geométrico, os traçados técnicos são construídos utilizando
apenas esquadros, transferidor e compasso, já nos traçados geométricos usa-se
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somente régua e compasso. Com esses dois tipos de traçados, podemos
construir diversos tipos de ângulos, bissetrizes e efetuar medições.
2.4 Jogo das Propriedades Geométricas:
O Jogo das Propriedades Geométricas consta de um tabuleiro (figura 3)
contendo diversas figuras geométricas e cartões com propriedades dessas
figuras, dai os participantes irão sortear dois cartões por vez e a partir das
propriedades contidas neles identificarão qual figura o texto se refere. Essas
propriedades se referem aos conteúdos estudados durante o minicurso, por
exemplo:
Contem quatro ângulos de 90º; tem dois ângulos agudos.
2.3.Construção dos principais polígonos regulares, utilizando instrumentos de desenho
geométrico e estabelecendo relações entre os lados e ângulos, classificando os
triângulos e os quadriláteros e trabalhando as medidas dos ângulos internos.
2.4 Conclusão das atividades com uma avaliação feita pelo grupo com relação às
situações desenvolvidas e a possibilidade de aplicação das mesmas em sala de aula.
Todas as atividades serão desenvolvidas com situações de ação, formulação, validação e
institucionalização, segundo a Teoria das Situações Didáticas de Brosseau, ou seja, a partir
da manipulação do material e da construção de figuras, seão efetuadas discussões e
promovido momentos de análise, reflexão, verificação e representação matemática das
soluções obtidas e dos conceitos construidos.
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RECURSOS
Para a vivência do minicurso solicitamos os seguintes recursos:
 Sala com lugares para 20 cursistas;
 5 mesas (cada mesa comportando 4 pessoas);
 Quadro branco;
 Pincel para quadro branco (1 azul, 1 preto e 1 vermelho).
 01 resma de papel A4
 500 cópias xerox (20 x 25).
Todos os instrumentos a serem utilizados serão levados e disponibilizados pelos
proponentes dos cursos, inclusive papel para dobraduras.
REFERÊNCIAS
BRASIL. PCNs de 5ª a 8ª Séries do Ensino Fundamental. Matemática/Secretaria de
Educação Fundamental – Brasília: MEC/SEF. 2001.
BÚRIGO, Elisabete Zardo. Matemática moderna: progresso e democracia na visão de
educadores brasileiros nos anos 60. Teoria da Educação, 1990.
DUARTE, A. R. S., SILVA, M. C. da. Abaixo Euclides e acima quem? Uma análise do
ensino de Geometria nas teses e dissertações sobre o Movimento da Matemática Moderna.
Revista Práxis Educativa, Ponta Grossa PR, v. 1, n. 1, 2006.
LORENZATO, Sergio. O Laboratório de Ensino de Matemática. Campinas. Ed. Autores
Associados, 2006
PAVANELLO, Regina M. O abandono do ensino de geometria: uma abordagem histórica.
1989. 195f. Dissertação (Mestrado em Educação) – UNICAMP, Campinas.
RÊGO, Rogéria Gaudencio do; RÊGO, R. M. ; GAUDENCIO JÚNIOR, Severino . A
Geometria do Origami - Atividades de ensino através de dobraduras. 1. ed. João Pessoa Paraíba: Editora Universitária da UFPB, 2003. v. 3.000. 148 p.
RÊGO, R. G.; RÊGO, R. M.. Matematicativa*. 2ª. ed. Campinas: Autores Associados,
2009. v. 01. 260 p.
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SOARES, F. S. Movimento da Matemática Moderna no Brasil: Avanço ou Retrocesso?
Dissertação Mestrado em Matemática, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro,
2001.
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