GEOPLANO CIRCULAR: PROPICIANDO A CONSTRUÇÃO DO
CONHECIMENTO
Maria da Gloria Vasconcellos Cid
Faculdades Integradas Geraldo Di Biase – Volta Redonda –RJ
[email protected]
INTRODUÇÃO
A Matemática tem trazido preocupações a professores, alunos, pais e à sociedade
diante do baixo rendimento escolar. Vários pesquisadores consideram que o fracasso do
ensino - aprendizagem da Matemática está relacionado com a tríade: relação professor aluno, conteúdo matemático e metodologia.
Apesar de muitos estudos e dos avanços nas teorias de aprendizagem, nosso sistema
de ensino ainda tem como figura central o professor, aquele que possui o conhecimento
que deve ser transmitido aos alunos. Esta visão do ensino desenvolve uma relação entre
professor e aluno baseada no saber do professor. Deste saber origina-se um saber poder, que nada mais é do que uma forma de autoritarismo que conduz o aluno à
passividade e ou à obediência servil, caracterizando uma relação bastante delicada,
levando muitas vezes o aluno a gerar um sentimento negativo em relação à Matemática
e ao professor (Cid, 1994). Também sabemos que, este modelo tradicional de aula, onde
só o professor fala e quando fala, aborda um conteúdo sem significado cujo ponto de
partida é uma definição seguida de teoremas, demonstrações e propriedades, concluindo
com exemplos e exercícios propostos para fixação (com o objetivo de desenvolver a
técnica do cálculo - a mecanização), torna o aluno um receptor silencioso e submisso:
um mero espectador.
Hoje os educadores matemáticos consideram que desta postura passiva do aluno, que
não contempla sua participação ativa na construção do conhecimento, o que
verdadeiramente decorre é apenas um acúmulo de informações e não de conhecimento.
Assim, faz-se necessário romper com este modelo tradicional de aula. Para isso é
preciso que o professor se conscientize de que deve e pode começar a inovar, a criar
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novos modelos e representações em relação ao ensino, ao professor, à aula, ao
programa, etc...
“Cabe-nos como educadores refletir sobre a nossa atuação, rever criticamente
a nossa forma de ensinar, (...) tentarmos introduzir alguma atividade prática, que
possa fazer alguma diferença dentro da sala de aula, que possa atenuar e aliviar
o sentimento de fracasso de nossos alunos.” (Boruchovitch, 1993)
UMA ESTRATÉGIA DE AULA QUE PROPICIE A CONSTRUÇÃO DO
CONHECIMENTO
Tendo em vista toda esta problemática, desenvolvemos uma estratégia de aula, onde o
professor tem como função auxiliar os alunos na construção do conhecimento,
promovendo o debate, reformulando e valorizando soluções adequadas, fornecendo
informações que os alunos não tenham condições de obter sozinhos, estimulando a
cooperação entre alunos e observando se os objetivos propostos estão sendo atingidos
ou, se é necessário, reorganizar a atividade para que isso aconteça, conforme sugerem os
Parâmetros Curriculares Nacionais.
Ressaltamos que o aluno agora é a figura central da aula, é ele quem deve construir o
conhecimento.
No desenvolvimento de nosso projeto de Iniciação Científica: Oficina de Recursos
Didáticos tivemos o cuidado de enfatizar que os materiais didáticos, por si só, não
alteram uma metodologia tradicional de aula.
Para que o aluno seja o elemento central do processo aprendizagem, é necessário que
o material usado na aula, seja manipulado e explorado pelo aluno a fim de auxilia-lo na
construção do conhecimento. Consideramos que a mudança fundamental na postura do
professor e do aluno seja que se invertam os papéis: o professor questiona e o aluno
responde em detrimento do que sempre ocorreu: o aluno pergunta e o professor
responde.
Nossas aulas propõem atividades dirigidas para que os alunos desenvolvam, em
duplas, de forma gradual, fazendo uso de seus conhecimentos acumulados, e através,
tanto do diálogo intelectual quanto do emocional, acertando, errando, expondo dúvidas,
compartilhando conhecimentos com os colegas e/ou com o professor, ultrapassem as
etapas necessárias para concluírem o proposto: um simples conceito ou até mesmo uma
fórmula.
Entendemos que desta forma estaremos trabalhando no que Vygotsky denomina zona
de desenvolvimento proximal. A zona de desenvolvimento proximal é a distância entre
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o nível real, que permite ao indivíduo determinar, de forma independente, solução para
os problemas e o nível de desenvolvimento potencial do indivíduo, que, com a ajuda de
outra pessoa, possibilita o indivíduo solucionar problemas. Vygotsky (1984) demonstra
que aquilo que é a zona de desenvolvimento proximal hoje, será o nível de
desenvolvimento real amanhã - ou seja, aquilo que uma criança pode fazer com
assistência hoje, ela será capaz de fazer sozinha amanhã.
ATIVIDADE
A atividade abaixo foi realizado em 2 momentos de 2 tempos de aula cada um, em
uma turma de 7a série do Colégio Aplicação das Faculdades Integradas Geraldo Di
Biase, com um geoplano circular, material construído durante o desenvolvimento do
nosso projeto no Laboratório de Ensino de Matemática da FGB.
A visualização dos elementos geométricos e suas relações são fundamentais na
construção de conceitos. O Geoplano Circular é um material elaborado para facilitar o
desenvolvimento de estudos da geometria plana.
Trata-se de um tabuleiro de madeira aglomerada, com formato quadrado, com 25
pinos de madeira distribuídos sobre duas circunferências concêntricas divididas em 12
arcos congruentes.
No primeiro momento tivemos como objetivo principal a determinação da fórmula
da soma dos ângulos internos de um polígono regular. A aula foi no Laboratório de
Matemática. A turma era de 18 alunos e formamos 9 duplas. Os três alunos bolsistas,
participantes do projeto, também acompanharam o desenvolvimento da atividade. Os
alunos bolsistas eram alunos do 4o ano do curso de Licenciatura de Matemática portanto
os chamaremos de aluno - professor. Cada aluno - professor pode acompanhar 2 duplas,
e as demais 3 duplas foram assistidas por mim. Nossa conduta foi estimular a discussão,
a troca de idéias, a cooperação entre eles enfim possibilitando que o andamento da
atividade transcorresse de forma plena.
No 2o momento, apresentamos e analisamos as diferentes estratégias que surgiram
para o cálculo da soma dos ângulos dos diferentes polígonos pedido, em seguida
passamos à formalização do conteúdo: a soma dos ângulos internos de um polígono é
igual ao produto do número de lados do polígono diminuído de 2 unidades por 180o ,
em linguagem matemática, Si=(n - 2).180o sendo Si a soma das medidas dos ângulos
internos de um polígono de n lados, e concluímos a atividade propondo exercícios para
verificação e fixação da aprendizagem.
Segue abaixo a atividade como foi proposta.
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FUNDAÇÃO EDUCACIONAL ROSEMAR PIMENTEL
FACULDADES INTEGRADAS GERALDO DI BIASE
Curso de Licenciatura em Matemática
Atividade do Laboratório de Matemática
Professora: Maria da Gloria Cid
Aluno:_________________________________________ Turma: ________
Vamos trabalhar soma dos ângulos internos de um polígono?
Com o Geoplano Circular, vamos seguir as seguintes etapas:
1. Construa os seguintes polígonos regulares:
Um triângulo equilátero;
Um quadrado;
Um hexágono regular;
Um dodecágono regular;
2. Determine a soma dos ângulos internos de cada um desses polígonos.
Triângulo
Si = ________
Quadrado
Si = ________
Hexágono
Si
= ____________
Dodecágono Si
= ___________
3. Escreva uma expressão matemática que determine a soma dos ângulos internos para
cada um dos polígonos que você construiu.
Triângulo
____________________________
Quadrado
____________________________
Hexágono
____________________________
Dodecágono ____________________________
4. Escreva uma expressão geral (fórmula) que determine a soma dos ângulos internos
para um polígono que tenha um número qualquer de lados.
__________________________________________
DESCRIÇÃO E AVALIAÇÃO DA ATIVIDADE
Certamente teve um papel relevante para a ruptura da aula cotidiana dos alunos todo
o contexto: o material - geoplano circular, um tabuleiro de madeira pintado de amarelo
no formato de um quadrado, com 25 pinos distribuídos em 2 circunferências
concêntricas divididas em 12 arcos congruentes, e lã para tricô de diversos tamanhos e
cores; o ambiente - o Laboratório de Matemática, com duas bancadas e ao redor
prateleiras com vários objetos geométricos coloridos; e a forma descontraída da conduta
do trabalho, a estimulação da conversa e da colaboração entre eles.
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Constatamos a participação ativa de todos os alunos. A maioria chegou a fórmula da
soma dos ângulos internos de um polígono regular (objetivo), e aqueles que não
chegaram, puderam ter pleno entendimento da mesma, tendo em vista o quanto dela se
aproximaram.
1O MOMENTO
O que mais nos surpreendeu foram as diferentes estratégias apresentadas pelos
alunos para a resolução das situações propostas, tendo em vista que em sua maioria
foram totalmente diferentes do que os livros didáticos apresentam e, por conseguinte
também a que os professores usam em suas aulas expositivas.
Quando solicitamos a construção dos polígonos no geoplano circular pudemos,
através do diálogo, verificar os conhecimentos prévios que os alunos tinham sobre os
conceitos de: eqüilátero e regular bem como das propriedades das circunferências e etc.
Para que eles pudessem verificar se o triângulo construído era realmente eqüilátero ou
se o quadrilátero era o quadrado e etc. consideramos válido qualquer estratégia correta
que o aluno quisesse usar - medir os lados com a régua e/ou os ângulos com o
transferidor ou justificar através de conhecimento sobre os arcos da circunferência e as
características do geoplano a regularidade do polígono.
Da mesma forma quando solicitamos a soma dos ângulos internos de cada polígono.
Alguns alunos já tinham o conhecimento de que a soma dos ângulos internos do
triângulo é igual a 180°, outros mediram com o transferidor para determinar e ainda
houve aluno que deduziu a partir do quadrado - cada ângulo do quadrado mede 90° logo
a soma dos ângulos internos do quadrado é igual a 360o, como o quadrado pode ser
decomposto em dois triângulos então cada triângulo tem a soma dos ângulos internos
igual a 180o.
No caso do hexágono tivemos soluções interessantes.
Decompondo o hexágono conforme a figura ao lado apareceram três soluções
diferentes.
1a solução
Se o hexágono pode ser dividido em 6 triângulos e em cada triângulo temos 180o então a
soma dos ângulos internos do hexágono é a soma dos ângulos dos 6 triângulos menos
os 6 ângulos centrais que formam um ângulo de 360o logo teremos Si = 6 x 180o - 360o
2a solução
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Se o hexágono é composto de 6 triângulos eqüilátero e cada ângulo do triângulo
eqüilátero mede 60o então cada ângulo do hexágono mede 120o logo Si = 6 x 120o .
3a solução
Se o hexágono é composto de 6 triângulos eqüilátero e cada ângulo do triângulo
eqüilátero mede 60o então a soma dos ângulos internos do hexágono é igual a 12
ângulos de 60o , logo Si = 12 x 60o .
Decompondo o hexágono conforme a figura:
o aluno argumentou: o hexágono contém 2 triângulos e um retângulo portanto a soma
dos ângulos internos do hexágono é igual a Si = 2 x 180o + 360o .
No caso do dodecágono as estratégias usadas foram bem semelhantes as que foram
usadas para o hexágono.
Para escrever a expressão da soma dos ângulos internos de cada polígono, a maioria
escreveu:
Triângulo
S = 1 x 180o
Quadrado
S = 2 x 180o
Neste momento alguns alunos verificaram se o pentágono seria 3 x 1800 .
Hexágono
S = 6 x 180o – 360o = 180o (6 – 2 ) = 4 x 180o
Dodecágono
S = 12 x 180o - 360o = 180o(12 – 2) = 10 x 180o
E por fim 6 duplas escreveram a expressão geral como sendo
S = ( x – 2 ). 180o onde x é o número de lados ou
S = ( l – 2) x 180o , l é igual ao número de lados
2O MOMENTO
No 2o momento da atividade percebemos também que os alunos realizaram de forma
interessada e com facilidade os exercícios propostos, inclusive deduzindo novos
conhecimentos, tais como a expressão da medida de cada ângulo interno, a partir do que
haviam estudado.
Coletamos alguns depoimentos muito positivos como “a aula foi muito legal”, “a
aula deveria ser todos os dias assim”, estes confirmaram o quanto eles gostaram e mais,
que de forma alegre e diria mesmo divertida, usando sua criatividade, dialogando com o
professor e com o seu colega bem diferente daquele modelo que vem perpetuando o
ensino, o aluno aprende.
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Portanto, é preciso que o professor se conscientize de que ele deve e pode começar a
inovar, a criar novos modelos em relação à aula, a postura do professor, a postura do
aluno, a escola, ao programa, ao ensino, e etc.
PALAVRAS CHAVES: Geoplano; Construção do Conhecimento
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Boruchovitch, Evely. A Psicologia Cognitiva e a Metacognição: Novas
Perspectivas para o Fracasso Escolar Brasileiro. Tecnologia Educacional. v. 22
(110/111) p.26.
Cid, M. G. As Representações Sociais da Matemática e suas Interferências no
Processo Ensino - Aprendizagem. RJ:1994. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática) Universidade Santa Úrsula.
Vygotsky, L. S. A Formação Social da Mente. São Paulo, M. Fontes, 1984. p.100