AVALIAÇÃO DE EQUAÇÕES DE AFILAMENTO EM UM PLANTIO DE
Araucaria angustifolia (Bert.) O. Ktze UTILIZANDO O DIÂMETRO COMO
VARIÁVEL DEPENDENTE
Gabrielle Hambrecht Loureiro1, Rafaella De Angeli Curto2, Nelson Carlos Rosot3, Gabriel Paes Marangon4
Resumo
O presente estudo objetivou testar modelos de afilamento do fuste para indivíduos de Araucaria angustifolia,
avaliando a influência da estratificação dos dados em três diferentes classes de diâmetro no ajuste de modelos
não lineares nas estimativas da variável diâmetro (di). Os dados para ajuste dos modelos de afilamento foram
obtidos por meio da cubagem rigorosa (Smalian) de 21 árvores de Araucaria angustifolia em diferentes classes
de DAP. Os modelos utilizados neste trabalho foram Garay, Demaerschalk, Ormerod, e Biging. Para seleção do
melhor modelo para estimar di’s, foram observados os critérios Coeficiente de determinação ajustado (𝑅2 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡),
erro padrão da estimativa em percentagem (𝑆𝑦𝑥 %), análise gráfica dos resíduos, viés (V); média das diferenças
absolutas (MD) e desvio padrão das diferenças (DPD), a partir das quais procedeu-se a ordenação das funções
segundo o maior ou menor grau de precisão. O melhor modelo geral foi o de Garay, seguido pelos modelos de
Demaerschalk e Biging empatados, e Ormerod. O modelo de Garay continuou sendo o melhor para o ajuste dos
dados por classe diamétrica, seguido de Demaerschalk, Biging e Ormerod, respectivamente. Todas as estimativas
por classe diamétrica foram superiores as estimativas com parâmetros gerais.
Palavras-chave: modelos não lineares; classe diamétrica; fuste.
Abstract
Taper function evaluation in a Araucaria angustifolia (Bert.) O. Ktze plantation using the diameter as dependent
variable.This study aimed to test stem taper models for Araucaria angustifolia, evaluating the data stratification
influence in three diameter classes in the adjust of nonlinear models in the diameter (di) estimation. The data for
the taper models adjusting were obtained by cubed (Smalian) of 21 Araucaria angustifolia trees in different
classes of DBH. The models used in this study were Garay, Demaerschalk, Omerod and Biging. To select the
best model for di estimation were observed adjust determination coefficient (𝑅2 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡),estimate standard error in
percentage (𝑆𝑦𝑥 %), graphic analysis of the waste, bias (V), average of the differences (MD) and standard
deviation of the differences (DPD), from which it proceeded the function ordering by greater or lesser precision
degree. The best general model was Garay, following Demaerschalk and Biging models (matched) and Ormerod.
The Garay model continued to be the best adjust for the data by diameter classes, followed Demaerschalk,
Biging and Ormerod models, respectively. All estimates by diameter class were higher than the estimates with
general parameters.
Keywords: nonlinear models; diameter class; stem.
INTRODUÇÃO
A Araucaria angustifolia (Bert.) O. Ktze, conhecida como araucária, pinheiro do Paraná, ou pinheiro
brasileiro, já foi a espécie florestal mais explorada da floresta nativa do sul do Brasil, como fonte de madeira
serrada, tanto para uso doméstico, quanto para exportação. Sua exploração foi a base da economia florestal da
região até os anos 70 (DE HOOGH, 1981).
A madeira da Araucaria angustifolia apresenta boas características físicas e mecânicas em relação à sua
massa específica, sendo indicada para construções em geral, caixotaria, móveis, laminados e vários outros usos
(MAINIERI e CHIMELO, 1989).
Para a determinação dos diversos usos da madeira, torna-se necessário o conhecimento sobre a forma
das árvores, o qual determinará a metodologia de cubagem mais adequada para cada caso. Essa variação das
árvores ocorre devido ao afilamento do diâmetro da base para o topo, influenciando no volume do fuste, podendo
essa variação ser ocasionada pela espécie, idade, espaçamento e qualidade do sítio (MÜLLER, 2004).
1
Engenheira Florestal, Mestranda do Programa de Pós-graduação em Engenharia Florestal, Setor de Ciências Agrárias, Universidade Federal
do Paraná, Av. Pref. Lothário Meissner, 632, CEP 80210-170, Curitiba (PR). [email protected]
2
Engenheira Florestal, M.Sc., Doutoranda do Programa de Pós-graduação em Engenharia Florestal, Setor de Ciências Agrárias,
Universidade Federal do Paraná, Av. Pref. Lothário Meissner, 632, CEP 80210-170, Curitiba (PR). [email protected]
3
Engenheiro Florestal, Dr. Professor Associado do Departamento de Ciências Florestais, Universidade Federal do Paraná, CEP 80210-170,
Curitiba (PR). [email protected]
4
Engenheiro Florestal, Doutorando do Programa de Pós-graduação em Engenharia Florestal, Centro de Ciências Rurais, Universidade
Federal de Santa Maria, Av. Roraima, 1000, CEP 97105-900, Santa Maria (RS). [email protected]
A forma do fuste é definida pela taxa de decréscimo do diâmetro (d), em relação ao DAP (diâmetro a
1,30 m do solo), ao longo do tronco (HUSCH et al., 2003), sendo a relação d/DAP conhecida também como
afilamento do fuste (taper), que é a razão fundamental de variação na forma e no volume destes fustes.
De acordo com Scolforo (2005), a forma do fuste muda com o tamanho da copa, hereditariedade,
espaçamento, tratos culturais, posição sociológica, idade e sítio, sendo que de uma maneira geral os perfis dos
fustes das árvores genericamente não se assemelham a um sólido geométrico específico. Devido a estas
variações de forma e a dificuldade de se encontrar o ponto de transição entre os diferentes sólidos, o cálculo do
volume de uma árvore é feito a partir do somatório de pequenas partes do fuste, cubagem rigorosa, visando
diminuir os erros provenientes destas variações.
Segundo Campos e Leite (2009), estudos de afilamento se baseiam em equações que permitem estimar
o diâmetro em qualquer altura ao longo do fuste, a partir das variáveis DAP e altura total. Assim, essas equações
permitem, por transformações algébricas, estimar o volume de qualquer seção, além de qualquer altura num
diâmetro definido, ou seja, quantificam os multiprodutos da madeira.
Assim, o estudo da forma do fuste de árvores é feito por meio de modelos de regressão, podendo ser
citados modelos consagrados na literatura como, por exemplo, os modelos propostos por Kozak et al. (1969),
Demaerschalk (1972), Ormerod (1973), Garay (1979), Biging (1984), sendo os quatro últimos modelos não
lineares. Apesar da existência desses e de muitos outros modelos, não existe um que seja eficiente em todos os
casos, ou seja, para qualquer amostra de dados.
Para proporcionar maior exatidão nas estimativas, Campos e Leite (2009) relatam que se devem utilizar
equações específicas para uma espécie, de acordo com espaçamento, idade e por regime de corte, embora muitas
vezes seja utilizada uma única equação para toda a população.
Para Santos et al. (2006), a separação das árvores em classes de diâmetro tem como finalidade gerar
modelos mais precisos e confiáveis, pois segundo estes mesmos autores, tentativas iniciais de gerar equações
com todas as árvores, sem separá-las em classes, foram mal sucedidas. Portanto, reforça-se a necessidade de
desenvolver modelos separando-as em classes distintas.
Dessa forma, objetivou-se testar modelos de afilamento do fuste para indivíduos de Araucaria
angustifolia, avaliando a influência da estratificação dos dados em três diferentes classes de diâmetro no ajuste
de modelos não lineares nas estimativas da variável diâmetro.
MATERIAL E MÉTODOS
Área de estudo
O estudo foi desenvolvido em um plantio de Araucaria angustifolia de 39 anos, instalado inicialmente
com espaçamento 3,00 m x 1,90 m, localizado na estação experimental de Rio Negro. A fazenda encontra-se no
Município de Rio Negro, ao sul do Estado do Paraná.
O clima da região de acordo com a classificação de Koeppen é tipo do Cfb, com verões amenos e
inverno com geadas freqüentes, sem estação seca definida, com precipitação média anual em torno de 1300,5
mm bem distribuídos ao longo do ano. A temperatura média anual varia de 12ºC a 18ºC, com frequentes geadas
no inverno e altitude acima de 800 metros (MAACK, 1981).
O solo da região é classificado como podzólico vermelho amarelo, fase profunda; com baixa fertilidade;
apresenta alta acidez (pH 4,3), altíssimo teor de alumínio tóxico, pobre em relação às bases trocáveis e fósforo
(BALDANZI e ARAUJO, 1971, apud SANTOS, 2006 ).
Obtenção das variáveis
Os dados para ajuste dos modelos de afilamento foram obtidos por meio da cubagem rigorosa (Smalian)
de 21 árvores de Araucaria angustifolia em diferentes classes de diâmetro a 1,30 m do solo (DAP).
Em cada árvore foi medido, o DAP e a altura total. As posições pré-determinadas foram: 5%; 10%;
15%; 20%; 25%; 30%; 40%; 50%; 60%; 70% 80%; 90%; 95% e 100% da altura total.
Funções de afilamento testadas
A partir das variáveis dendrométricas obtidas das 21 árvores, foi realizado o ajuste de funções de
afilamento, com todos os dados e com estes agrupados em três classes de diâmetro (DAP) como uma alternativa
em obter melhores estimativas do diâmetro ao longo do tronco (di).
Os modelos utilizados neste trabalho, que expressam o afilamento das árvores em função da variável
independente diâmetro, estão descritos na Tabela 1, sendo todos eles não-lineares.
Tabela 1. Modelos de afilamento e correspondentes expressões de diâmetro.
Table 1. Taper models and corresponding diameter expressions.
Autor
Modelo
Garay (1979)
𝑑 = 𝐷𝐴𝑃𝛽0 �1 + 𝛽1 ln (1 − 𝛽2 ℎ𝛽3 ℎ𝑡 −𝛽3 )� + 𝜀
Demaerschalk (1972)
𝑑 = 𝐷𝐴𝑃�102𝛽0 𝐷𝐴𝑃2𝛽1−2 𝐿2𝛽2 𝐻𝑇 2𝛽3 + 𝜀
Ormerod (1973)
𝐻𝑇 − ℎ 2𝛽1
�
� +𝜀
𝑑 = 𝐷𝐴𝑃 �
𝐻𝑇 − 1,3
1
Biging (1984)
−𝛽1
ℎ 3
𝑑 = 𝐷𝐴𝑃 �𝛽1 + 𝛽2 ln �1 − � � �1 − 𝑒 𝛽2 ��� + 𝜀
𝐻𝑇
em que: d = diâmetro na altura h (cm); DAP = diâmetro na altura de 1,30 m (cm); HT = altura total da árvore
(m); h = altura ao longo do fuste da árvore (m); L = (HT-h); βi = parâmetros da regressão, sendo i = 0,1,...,n; ε =
erro aleatório.
Para todos os modelos testados para estimativa de diâmetro ao longo do fuste (di), os ajustes, os
parâmetros estatísticos de comparação entre os modelos e suas análises de resíduos foram realizados no software
Excel versão 2010.
Avaliação dos Modelos
Para seleção do melhor modelo para estimar di’s, foram observados os seguintes critérios: Coeficiente
de determinação ajustado (𝑅2 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡), erro padrão da estimativa em percentagem (𝑆𝑦𝑥 %), além da análise gráfica
dos resíduos.
O coeficiente de determinação ajustado é dado pela seguinte fórmula:
𝑅2 =
𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔
𝑛−1
��
→ 𝑅2 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 = 1 − �(1 − 𝑅2 ). �
𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑛−𝑝−1
em que:
𝑅2 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 = coeficiente de determinação ajustado;
R² = coeficiente de determinação;
𝑛 = nº de árvores;
𝑝 = nº de variáveis independentes de um modelo;
𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔 = soma de quadrados da regressão;
𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = soma de quadrados do total.
Para o cálculo do erro padrão da estimativa (𝑆𝑦𝑥 ) erro padrão da estimativa em percentagem (𝑆𝑦𝑥 %)
utilizaram-se as seguintes fórmulas:
Syx =
SQ Re s
n− p
→ Syx(%) =
Syx
100
Y
em que:
𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠 = soma dos quadrados dos resíduos;
𝑛 = número de dados;
𝑝 = número de coeficientes de cada modelo utilizado;
𝑌� = média dos valores observados.
Os valores de erro padrão da estimativa em percentagem (𝑆𝑦𝑥 % ) foram calculados para fins de
comparação. Para a análise gráfica dos resíduos foram utilizados os resíduos na forma relativa (percentagem) em
função da variável dependente estimada, para comparar os diversos modelos ajustados, sendo:
em que:
𝑌 = valores observados
𝑌� = valores estimados
𝑅𝑒𝑠í𝑑𝑢𝑜(%) =
�𝑌 − 𝑌��
100
𝑌
Para complementar a análise gráfica de resíduos, foram realizados testes complementares (Tabela 2),
por meio das seguintes estatísticas: viés (V); média das diferenças absolutas (MD) e desvio padrão das diferenças
(DPD). A partir da análise das estatísticas V, MD e DPD, procedeu-se a ordenação das funções segundo o maior
ou menor grau de precisão, sendo atribuídos pesos de acordo com os resultados das estatísticas obtidas para cada
equação. O modelo mais acurado foi o que resultou em menor somatório dos pesos, levando em consideração
que para o modelo mais preciso analisado foi atribuído o menor valor para cada estatística. Na Tabela 2 estão os
critérios e respectivas estatísticas para avaliação do ajuste dos modelos.
Tabela 2. Critérios para avaliação do ajuste e validação dos dados.
Table 2. Criteria for evaluating the data adjust and validation.
Critério
Estimador
n
n ^
∑ Yi − ∑ Yi
Viés (V)
i =1
V = i =1
n
^
n
∑ / Yi − Yi /
Média das diferenças absolutas (MD)
MD = i =1
n
2
n 2

n

Desvio padrão das diferenças (DPD)
DPD =  ∑ di −  ∑ di 
 i =1
n  n −1
=
1
i




em que: 𝑌𝑖 = valor observado e 𝑌� 𝑖 = valor estimado; 𝑛 = número de observações; e 𝑝 = número de parâmetros de
cada modelo, 𝑑𝑖 = �𝑌𝑖 − 𝑌�𝑖 �.
A escolha do melhor modelo foi feita pela classificação proposta pelo menor somatório das estatísticas
2
complementares conjuntamente com 𝑅𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡
, Syx (%) e análise gráfica de resíduos.
Para verificar a existência de diferenças entre os tratamentos foi utilizado inicialmente o teste de
Bartlett, que verifica a homogeneidade das variâncias dos tratamentos, partindo-se da hipótese (H0) de que as
variâncias são homogêneas.
O teste “F” (5% de probabilidade) da análise de variância (ANOVA) foi aplicado a fim de averiguar a
existência de diferenças entre as médias dos diâmetros estimados com os modelos testados, e diâmetros reais.
Caso o teste F indique diferenças significativas entre pelo menos uma das médias dos tratamentos, o
teste de Tukey a 5% de probabilidade deve ser aplicado.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Ajuste dos modelos
As estimativas dos parâmetros dos modelos testados com toda a amostra (modelo geral) e por classe
diamétrica estão apresentados na Tabela 3.
Tabela 3. Estimativas dos parâmetros (modelo geral) e por classe diamétrica para os modelos testados.
Table 3. Parameters estimates (general model) and for diameter class to the tested models.
�𝟎
�𝟏
�𝟐
�𝟑
Modelos
𝜷
𝜷
𝜷
𝜷
Garay
1,1412
0,2238
0,9745
0,2879
Demaerschalk
0,1108
1,9814
0,4464
-0,5034
Geral
Ormerod
0,4469
Biging
1,0982
0,2245
Garay
1,1777
0,2259
0,9699
0,3408
Demaerschalk
0,2480
1,7169
0,3998
-0,3584
Classe 1
Ormerod
0,3820
Biging
1,0982
0,2245
Garay
1,1837
0,2045
0,9800
0,2157
Demaerschalk
0,1692
2,1323
0,4149
-0,6889
Classe 2
Ormerod
0,4359
Biging
1,0983
0,2195
Garay
Classe 3
1,1323
0,2269
0,9741
0,2992
Demaerschalk
Ormerod
Biging
0,7885
-
1,8052
0,4527
1,0956
0,4391
0,2259
-0,8074
-
Na Tabela 4 constam as estatísticas de precisão para estimativas do diâmetro ao longo do fuste (di)
geradas pelo modelo geral e em classes de diâmetro (DAP). É possível perceber que os valores de
2
𝑅𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡
foram altos para as duas situações, superiores a 98%. Porém, as estimativas de diâmetro foram levemente
melhores quando os dados foram estratificados por classe de DAP. O mesmo ocorreu com os valores de Syx(%),
que foram precisos, não ultrapassando 10%, para o ajuste de todos os modelos considerando as duas formas de
ajuste.
Tabela 4. Estatísticas dos modelos gerais e por classe de diâmetro para estimar o diâmetro ao longo do fuste.
Table 4. Statistics to the general models and diameter class models to estimate the diameter along the stem.
Geral
Classes de DAP (conjuntamente)
Garay
Demaerschalk
Ormerod
Biging
Garay
Demaerschalk
Ormerod
Biging
2
98,96
98,37
98,07
98,73
99,04
99,50
98,10
98,74
𝑅𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡
Syx
1,1170
1,3539
1,4672
1,2313 1,0713
1,3001
1,4575
1,2257
Syx %
6,93
8,40
9,11
7,64
6,65
8,08
9,05
7,61
Na Figura 1, onde estão apresentadas as análises de resíduos dos modelos testados, pode-se perceber
que as estimativas de di utilizando o modelo de Biging apresentam mesma tendência, tanto quando executadas
com parâmetros gerais quanto por classe de DAP, o que pode ser comprovado nas estatísticas de precisão na
Tabela 3 (R²ajust. de 98,73% e 98,74% e Syx (%) de 7,64 e 7,61 com os parâmetros geral e por classes de DAP
respectivamente). Já quando os dados são estratificados por classe diamétrica, os modelos de Garay,
Demaerschalk e Ormerod apresentam uma melhora nas estimativas dos di’s entre 0,1 á 10 cm.
Figura 1: Distribuição dos resíduos da variável diâmetro ao longo do fuste usando as estimativas dos parâmetros,
em porcentagem, em função de di, para os modelos testados.
Figure 1: Residuals distribution of the variable diameter along the stem using the parameter estimates, in
percentage, according to di for the tested models.
Para um melhor entendimento das estimativas, foi desenvolvida uma estatística complementar e ranking
para comparação entre os modelos estudados com os parâmetros gerais e também parâmetros por classe de
diâmetro (Tabela 5), a fim de comparar, se estimar por classe de diâmetro é melhor do que estimar com todos os
dados conjuntamente.
Tabela 5. Resultado das estatísticas viés (V), média das diferenças absolutas (MD), desvio padrão das diferenças
(DPD) e o ranking para as estimativas do diâmetro ao longo do fuste para cada modelo ao estimar os parâmetros
gerais e por classes de diâmetro.
Table 5. Result of the statistics bias (V), average of the differences(MD) and standard deviation of the
differences (DPD) and ranking for the diameter estimates along the stem for each model in estimating the
general parameters and diameter classes.
V
MD
DPD
Total
Classificação
Modelos
Garay
Geral
Classes
0,179637 (2)
0,041198 (1)
0,824331 (2)
0,781846 (1)
0,064955 (2)
0,063083 (1)
(6)
(3)
2
1
Demaeschalk
Geral
Classes
0,073365 (2)
0,025365 (1)
0,994087 (2)
0,94079 (1)
0,085155 (2)
0,081777 (1)
(6)
(3)
2
1
Ormerod
Geral
Classes
0,021296 (1)
-0,03561 (2)
1,020376 (2)
1,014008 (1)
0,085855 (2)
0,08527 (1)
(5)
(4)
2
1
Geral
0,200168 (1)
Classes
0,214315 (2)
*Valores entre parêntesis referem-se à nota
0,878929 (2)
0,873421 (1)
0,071214 (2)
0,070735 (1)
(5)
(4)
2
1
Biging
Por meio do ranking apresentado na Tabela 5, foi possível confirmar que os quatro modelos possuem
melhor desempenho com dados estratificados por classe de DAP.
Já as estatísticas complementares da Tabela 6 foram executadas para auxiliar na escolha do melhor
modelo geral e por classe diamétrica, dentre os quatro modelos não lineares testados, em que os melhores
modelos são os que resultam em um menor somatório das notas.
Tabela 6. Resultado das estatísticas viés (V), média das diferenças absolutas (MD), desvio padrão das diferenças
(DPD) e o ranking para as estimativas do diâmetro ao longo do fuste para os quatro modelos testados, para os
parâmetros gerais e para os parâmetros por classe de diâmetro.
Table 6. Result of the statistics bias (V), average of the differences (MD) and standard deviation of the
differences (DPD) and ranking for the diameter estimates along the stem to the four tested models, to the general
parameters and to the class diameter parameters.
Geral
Modelos
Garay
Demaeschalk
Ormerod
Biging
V
0,179637 (3)
0,073365 (2)
0,021296 (1)
0,200168 (4)
MD
0,824331 (1)
0,994087 (3)
1,020376 (4)
0,878929 (2)
DPD
0,064955 (1)
0,085155 (3)
0,085855 (4)
0,071214 (2)
Classe
Modelos
V
MD
Garay
0,041198 (3)
0,781846 (1)
Demaeschalk
0,025365 (1)
0,94079 (3)
Ormerod
-0,03561 (2)
1,014008 (4)
Biging
0,214315 (4)
0,873421 (2)
*Valores entre parêntesis referem-se à nota.
DPD
0,063083 (1)
0,081777 (3)
0,08527 (4)
0,070735 (2)
Total
Classificação
(5)
(8)
(9)
(8)
1
2
3
2
Total
Classificação
(5)
(7)
(10)
(8)
1
2
4
3
O melhor modelo geral foi o de Garay, seguido pelos modelos de Demaerschalk e Biging empatados e
Ormerod. O modelo de Garay continuou sendo o melhor para o ajuste dos dados por classe diamétrica, seguido
de Demaerschalk, Biging e Ormerod, respectivamente.
Leite et al. (2006), estudando funções de afilamento para Virola surinamensis (Roll.) Warb, também
obtiveram boas estimativas para di com o modelo de Garay, além de encontrar estimativas consistentes com o
mesmo modelo, para as variáveis altura e volume. Os mesmos autores relatam que esse modelo é derivado da
função Chapman-Richards, e é flexível o suficiente para descrever as variações de forma em árvores de
diferentes espécies e tamanhos e consistente em relação às variáveis diâmetro, altura e volume.
O modelo de Garay apresentou melhor resultado em relação aos modelos de Schöepfer e Hradetzky, na
estimativa de altura comercial em estudo de modelos de afilamento em Eucalyptus sp. (SOUZA et al., 2008)
O teste de Bartlett indicou que os valores do qui-quadrado (𝑋 2 ) apresentaram-se não significantes ao
nível de 5% de probabilidade, concluindo-se que há homogeneidade entre as variâncias dos tratamentos. O teste
F da análise de variância (ANOVA) foi não significativo ao nível de 5% de probabilidade, indicando que todas
as formas de estimativas testadas apresentam médias iguais. Desta forma, o teste de Tukey não foi aplicado.
CONCLUSÕES
O melhor modelo geral foi o de Garay seguido pelos modelos de Demaerschalk e Biging empatados e
Ormerod.
O modelo de Garay foi o melhor para o ajuste dos dados por classe diamétrica, seguido de
Demaerschalk, Biging e Ormerod, respectivamente.
Todas as estimativas por classe diamétrica foram superiores as estimativas com parâmetros gerais.
REFERÊNCIAS
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Seatlhe: Coll. Forest. Resour., Inst. Forest Prod. Univ. Wash., 64 p, 1979. (Contrib. 36).
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