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Capítulo 2
Torção
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
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Estruturas III
2.1 – Revisão
Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo
longitudinal.
Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo
permanecerão inalterados.
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Estruturas III
• Torque aplicado ao eixo produz tensões de
cisalhamento nas faces perpendiculares ao
eixo.
• A existência de componentes de
cisalhamento axial é demonstrada,
considerando um eixo formado por tiras
axiais separadas.
• As tiras deslizam umas em relação as
outras quando torques iguais e opostos são
aplicados às extremidades do eixo.
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Estruturas III
• A experiência mostra que o ângulo de
torção da barra é proporcional ao torque
aplicado e ao comprimento da barra.
 T
L
• Quando submetido à torção, cada seção
transversal de um eixo circular permanece
plana e indeformada.
• Seções transversais para barras circulares
cheias ou vazadas permanecem planas e
indeformadas, porque a barra circular é
axissimétrica.
• Seções transversais de barras não circulares
são distorcidos quando submetidas à torção.
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 max 
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Estruturas III
Tr
Ip
e 
T
Ip
Ip: momento polar de inércia da área da seção.
ρ: distância radial da linha central do eixo
T: torque interno resultante que age na seção
τ: tensão de cisalhamento (máxima na
superfície externa)
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Ângulo de torção:
TL

I pG
G : módulo de elasticidade ao cisalhamento
L: comprimento do eixo
ϕ: ângulo de torção (rad)
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Se a carga de torção ou a seção transversal da
barra ou o material muda ao longo do
comprimento, o ângulo de rotação é
encontrado como a soma de rotações de cada
Ti Li
segmento.

Convenção de sinais
i I
pi
Gi
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Exemplo 1 O eixo de seção circular BC é vazado com
diâmetros interno e externo de 90 mm e 120
mm, respectivamente. Os eixos de seção
circular AB e CD são cheios e têm diâmetro d.
Para o carregamento mostrado na figura,
determine: (a) as tensões de cisalhamento
máxima e mínima no eixo BC, (b) o diâmetro d
necessário para os eixos AB e CD, se a tensão
de cisalhamento admissível nesses eixos for de
65 MPa.
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Estruturas III
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Estruturas III
Cortar seções ao longo das barras AB e BC e realizar análise de
equilíbrio estático para encontrar cargas de torque.
 M x  0  6 kN  m   TAB
TAB  6 kN  m  TCD -
 M x  0  6 kN  m   14 kN  m   TBC
TBC  20 kN  m
-
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(a)Aplicar fórmulas de torção
elástica para encontrar tensões
mínima e máxima na barra BC.
Ip 

2
 r24  r14  
(b)Dada a tensão de cisalhamento
admissível e torque aplicado, invertese a fórmula de torção elástica e
encontra-se o diâmetro necessário.

 0,060 4   0,045 4 
2
Tr Tr
6kN  m
 13,92  106 m4
 max    4 65MPa   3
Ip 2 r
2r
TBC r2  20 kN  m   0,060m 
 max   2 

 86.2MPa
Ip
13,92  106 m4
3
r  38,9  10 m
 min   1 
TBC r1  20 kN  m  0,045m 

 max  86,2MPa
Ip
13,92  106 m4
 min  64,7MPa
 min  64,7MPa
d  2r  77,8mm
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2.2 – Eixos Estaticamente Indeterminados
Dadas as dimensões da barra e do torque aplicado
(solicitação), gostaríamos de encontrar as reações
de torque em A e B. A partir de uma análise de
corpo livre da barra,
estaticamente
TA TB  T
(1)
indeterminado
EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE:
Dividindo o eixo em dois componentes que devem
ter deslocamentos rotacionais compatíveis,
AB  AC
TALAC TB LCB
 CB 

0
I pG
I pG
LAC
TB 
TA
LCB
(2)
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Teremos um sistema:
T A  TB  T


L
TB  AC T A
LCB



LCB
Ll
LAC
TB  T
Ll
TA  T
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Exercício de fixação
1)O eixo maciço de aço mostrado abaixo tem diâmetro de 20mm. Se for
submetido aos dois torques, determine as reações nos apoios fixos A e B.
Respostas: TA=-345Nm e TB=645Nm
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Exercício de fixação
2)Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo. Ip é
constante. Resposta: 16,3MPa
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Exercício de fixação
3) O eixo de aço é composto por dois segmentos: AC, com diâmetro de 0,5in
e CB, com diâmetro de 1in. Se estiver preso em suas extremidades A e B e
for submetido a um torque de 500lb.ft, determine a tensão de cisalhamento
máxima no eixo. Gaço=10,8(103)ksi. Resposta: τmax=29,3ksi
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2.3- Estruturas heterogêneas quanto
aos materiais
O eixo mostrado na figura é composto por um tubo de aço unido a um
núcleo de latão. Se um torque de T=250Nm for aplicado em sua
extremidade, como se distribuem as tensões de cisalhamento ao longo da
linha radial de sua área de seção transversal?
GAÇO=80GPa
GLAT=36GPa
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A reação na parede é representada pelas quantidades desconhecidas de
torque às quais resistem o aço e o latão. O equilíbrio exige:
TAço TLAT  250Nm
(1)
Compatibilidade:
Exige-se que o ângulo de torção na
extremidade A sejam o mesmo para o aço e
para o latão, visto que eles estão unidos.
  AÇO  LAT
Aplicando a relação carga-deslocamento,
TAÇO L
TLAT L

I pAÇOG AÇO I pLAT G LAT
TAÇO
  TL / I pG
temos:

TLAT
4
 /2  20mm 4   10mm 4   80  103 N / mm 2   /2  10mm   36  103 N / mm 2
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TAÇO  33,33TLAT
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(2)
Resolvendo o sistema:
TAÇO  242,72Nm
 max
TLAT  7,28Nm
 LAT máx
Pela fórmula da torção:
 
AÇO
máx
 
AÇO
mín



7,28  103  Nmm10mm
242,72 103  Nmm20mm
  /2  20mm  4   10mm  4 
242,72 103  Nmm10mm
  /2  20mm    10mm  
4
4
  /2  10mm 4
Tr

Ip
 4,63MPa
 20,6MPa
 10,3MPa
Observe a descontinuidade da tensão de cisalhamento na interface latãoaço. Isso era de se esperar, já que os materiais têm módulos de rigidez
diferentes.
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Exercício de fixação
4)O eixo é feito de um tubo de aço com núcleo de latão. Se estiver preso a
um dos apoio rígido, determine o ângulo de torção que ocorre em sua
extremidade. GAÇO=75GPa e GLAT=37GPa
Respostas:   0,00617rad
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Exercício de fixação
5)Uma barra de aço sólida de diâmetro 1,2in está circundada por um tubo de
diâmetro externo igual a 1,8in e diâmetro interno igual a 1,4in. Tanto a barra
como o tubo estão fixados rigidamente na extremidade A e unidos de forma
bem segura na extremidade B. A barra composta, que tem 20in de
comprimento, é torcida por um torque T=4400lb.in agindo na placa da
extremidade. Determine as tensões de cisalhamento máximas na barra e no
tubo e o ângulo de torção em graus da placa, assumindo que o módulo de
elasticidade do aço é G=11,6x106psi. Respostas:  barra  3,08ksi tubo  4,62ksi
  0,507
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2.4 – Eixos maciços não circulares
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A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com
seção transversal não circular são:
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A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com
seção transversal retangular são:
a
a/b
c1
c2
1,0
0,208
0,1406
1,2
0,219
0,1661
1,5
0,231
0,1958
2,0
0,246
0,229
2,5
0,258
0,249
3,0
0,267
0,263
4,0
0,282
0,281
5,0
0,291
0,291
10,0
0,312
0,312
a→maior lado
b→menor lado
b
T
 max 
c 1ab 2
TL

c 2ab 3G
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Exemplo 2O eixo de alumínio 6061-T6 tem área de seção transversal na forma de um
triângulo equilátero. Determine o maior torque T que pode ser aplicado à
extremidade do eixo se a tensão de cisalhamento admissível for τadm = 56 MPa
e o ângulo de torção na extremidade estiver restrito a Φadm = 0,02 rad.
Gal = 26 GPa.
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O torque interno resultante em qualquer seção transversal ao longo da linha
central do eixo também é T.
 adm 
adm 
20T
a3
;
46TL
a G al
4
56
;
T  24,12 Nm
N
20T

 T  179200 Nmm=179,2Nm
2
3
3
mm 40 mm
0,02rad 
46T  1,2  103  mm
N 
404 mm 4 26  103 

mm 2 
 T  24120Nmm  24,12Nm
Por comparação, o torque é limitado devido ao ângulo de torção.
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Exercício de fixação
6)O eixo é feito de latão vermelho C83400 e tem seção transversal elíptica.
Se for submetido ao carregamento de torção mostrado, determine a tensão
de cisalhamento máxima no interior das regiões AC e BC.
Respostas:  BC máx  0,955MPa  AC máx  1,592MPa
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7)Determinar o maior torque T que pode ser aplicado a cada uma das duas
barras de alumínio mostradas, e o correspondente ângulo de torção em B,
sabendo-se que G=26GPa e  adm  50MPa .
Respostas:
a )T  2,25kNm
 =0,816°
b )T  1,77kNm
 =0,901°
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2.5 – Tubos de parede fina com
seções transversais fechadas
A tensão de cisalhamento média para tubos com paredes finas é
 méd 
T
2tAm
τméd = tensão de cisalhamento média
T = torque interno resultante na seção
transversal
t = espessura do tubo
Am = área média contida no contorno da
linha central
Para o ângulo de torção,

TL
ds
4 Am2 G  t
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Exemplo 3Um tubo quadrado de alumínio tem as mesmas dimensões. Determine a tensão
de cisalhamento média no tubo no ponto A se ele for submetido a um torque
de 85 Nm. Calcule também o ângulo de torção devido a esse carregamento.
Considere Gal = 26 GPa.
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O torque interno no ponto A é T = 85 Nm.
2
2
A área sombreada é Am  50  2.500 mm .
Para tensão de cisalhamento média:
85 103  Nmm
T
 méd 

2tAm 2 10mm   2.500mm 2 
 méd  1,7MPa
Para ângulo de torção,
    ds  0,19610  mm ds

    10
TL ds
85 103 1,5 103
 2  
2
4 AmG t
42.500 26 103
4
1
A integral representa o comprimento em torno da linha central do contorno
do tubo. Assim,   0,196  104   4  50 
  3,92 103  rad
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Exercício de fixação
8)O tubo da figura é construído em bronze e tem a seção transversal na
forma e dimensões indicadas. Se está sujeito aos dois torques como
mostrado, determine o valor da tensão tangencial nos pontos A e B, e o
ângulo de torção do extremo C em relação ao suporte fixo E. Considerar
G=38GPa. Respostas:  A  1,75MPa ,  B  2,92MPa e =0,00626rad
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9)Um torque de 1,2kNm é aplicado a uma barra vazada de alumínio, que
tem a seção mostrada na figura. Determinar a tensão de cisalhamento da
barra. Respostas:   44,4MPa
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10)O tubo é feito de plástico, tem 5mm de espessura e as dimensões
médias são mostradas na figura. Determine a tensão de cisalhamento
média nos pontos A e B se o tubo for submetido a um torque de T=500Nm.
Respostas:  9,6MPa