Par de Variáveis Aleatórias
Exercícios
1.
Encontre a f.d.a marginal de X e Y das seguintes f.d.a conjuntas:
(a) Fx,y (X, Y ) = 1 − e−x − e−y + e−(x+y) , x, y ≥ 0
√
(b) Fx,y (X, Y ) = x2 y, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
(c)
Fx,y (X, Y ) = 2xy, 0 ≤ x ≤ 12 , 0 ≤ y ≤ 1
(d) Fx,y (X, Y ) =
1
3
x2 y + 2xy 2 , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
2.
Em um sistema de transmissão de dados o bit "0" é transmitido pelo símbolo -1V e o
bit "1" é transmitido pelo símbolo +1V. A probabilidade do bit "1"é de 50%. Sabendo
que nesse sistema existe um ruído de potência σ 2 = 0, 2V 2 e que o ruído é uma V.A.
que segue a distribuição normal de média 0, qual é a probabilidade de erro desse
sistema? Dica: encontre a probabilidade do sinal passar +0V quando o símbolo -1V
foi enviado e qual a probabilidade de do sinal passar -0V quando o símbolo +1V foi
enviado.
3.
Um equipamento pode se encontrar entre dois estados possíveis: operação normal
e operação anormal. A probabilidade de o equipamento encontrar-se em operação
normal é de 0,8. Ligado a este equipamento tem-se um painel de controle on um
termômetro com escala em graus Celsius indica a temperatura do equipamento a
cada instante. Considere que a indicação do termômetro é uma variável aleatória t
cuja função de densidade de probabilidade depende do estado em que o equipamento
se encontra. Se o equipamento está em operação normal (N ), tem-se:
1
pt|N (T ) = p
(2π)10
(T − 30)2
200
e
−
Por outro lado se o equipamento está em operação anormal (Ñ ) tem-se:
1
pt|Ñ (T ) = p
(2π)10
(T − 50)2
200
e
−
Determine a probabilidade de que a indicação do termômetro exceda 40 graus Celsius. Determine a probabilidade de que a operação seja normal dade que a indicação
do termômetro está compreendida entre 40 e 50 graus Celsius. Suponha que se resolve decidir a respeito do estado do equipamento (operação normal ou anormal) a
partir da indicação do termômetro. Estabelece-se então a seguinte regra de decisão:
se t < T0 decide-se por operação normal
se t ≥ T0 decide-se por operação anormal.
Calcule a probabilidade de se cometer um erro quando se usa este critério de decisão
com T0 = 45. Calcule o menor valor de T0 tal que a probabilidade de se decidir por
operação anormal quando é normal não excede 0,0075.
4.
Esboce no plano xy as regiões correspondentes aos seguintes eventos:
(a) Ω = {(−2 ≤ x ≤ 2) ∩ (−2 ≤ y ≤ 2)}
p
(b) Ω = { x2 + y 2 ≤ 1}
5.
Um trem chega a uma estação e para por cinco minutos antes de prosseguir. O
instante de de chegada do trem, contando a partir das 9:00 horas, em minutos, pode
ser modelado por uma v.a. t com função de densidade de probabilidade:
pt (T ) = 0, 15e−0,15T u(T )
(a) Calcule a probabilidade de o trem chegar antes das 9:20 horas.
(b) Assumindo que um estudante queira pegar esse trem, qual o atraso máximo para
que a probabilidade de ele pegar o trem seja maior que 0,5?
(c) Considere a distribuição ptx (T, X) indicando a distribuição conjunta da chegada
do aluno em X e a chegada do trem em T :
ptx (T, X) = 0, 06e−(0,15T +0,4X) u(T )u(X)
Qual a probabilidade do aluno pegar o trem?
6.
Considere um computador que está ocupado 80% do tempo, e nesse caso o tempo de
espera para uma operação é uma exponencial decrescente de constante 1. O tempo
de espera é de 0 se o computador está livre. Qual o tempo médio de espera para uma
operação?
7.
Em uma estação de medição de poluentes do ar, quantidade de partículas de ozônio
e carbono são gravadas todos os dias. Sendo X a concentração de carbono (µg/m2 )
e Y a concentração de ozônio (ppm), e suponha que (X, Y ) é uma normal bivariada
tal que X ∼ N (10.7, 29),Y ∼ N (0.1, 0.02) e ρ = 0.72. O nível de ozônio é considerado
prejudicial à saúde se passar 0.3. Suponha que o equipamento que é usado para
medir ozônio falha, de maneira que podemos medir somente o nível de carbono. Se
a medida de carbono for 20µg/m3 :
(a) Qual é o valor esperado para o ozônio?
(b) Qual é a probabilidade do ozônio ser prejudicial à saúde?
ii
Respostas
1. Dicas: Fazer primeiramente a variável parcial dupla para encontrar as densidades
conjuntas.
(a) e−x − 1 e e−y − 1
(b) 2x e −2y −3
(c) ...
2. 1,3%
3. 29,52% / 61,43% / 7,63%
4. (a) Quadrado
(b) Círculo
5. (a) 95%
(b) 9,62 min
(c) 96,31%
6. 0,8s
7. (a) 27,58%
(b) 41%
iii